高三数学一轮复习——导数的概念及运算

高三数学一轮复习——导数的概念及运算

考试要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1

x ，y ＝x 的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f (ax ＋b ))的导数；6.会使用导数公式表.

知 识 梳 理

1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数

(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→ f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ∆→ Δy

Δx

为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ∆→Δy

Δx ＝

lim

x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx .

(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 2.函数y ＝f (x )的导函数

如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )

Δx

称为函数y ＝f (x )在开区间内的导

函数. 3.导数公式表

基本初等函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数)

f ′(x )＝0

f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－

1

f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a ＞0) f ′(x )＝a x ln a f (x )＝ln x

f ′(x )＝1

x f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)

f ′(x )＝1

x ln a

4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0).

5.复合函数的导数

复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. [微点提醒]

1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.

2.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2. 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.

4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.

基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos x .( )

(3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).()

(4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()

解析(1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，(1)错.

(2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则f′(x)＝－cos x，(2)错.

(3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错.

答案(1)×(2)×(3)×(4)√

2.(选修2－2P19B2改编)曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()

A.－9

B.－3

C.9

D.15

解析因为y＝x3＋11，所以y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线方程为y－12＝3(x－1).令x＝0，得y＝9.

答案 C

3.(选修2－2P3例题改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－

4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝________ m/s，加速度a ＝______ m/s2.

解析v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.

答案－9.8t＋6.5－9.8

4.(2019·青岛质检)已知函数f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0等于()

A.e2

B.1

C.ln 2

D.e

解析f′(x)＝2 018＋ln x＋x×1

x

＝2 019＋ln x.

由f′(x0)＝2 019，得2 019＋ln x0＝2 019，则ln x0＝0，解得x0＝1.

答案 B

5.(2018·天津卷)已知函数f(x)＝e x ln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________.