华东理工大学概率论答案-15-16

第十五次作业

一. 选择题：

1. 设随机变量ξ密度函数为()p x ，则31ηξ=-的密度函数()p y η为（ A ）。

A 、11()33y p +

B 、13()3y p +

C 、1(3(1))3p y +

D 、1

3()3

y p -

2. 设随机变量ξ和η相互独立，其分布函数分别为 )(x F ξ与)(y F η，则

),max(ηξζ＝ 的分布函数 )(z F ζ等于 （ B ） A ．)}(),(max {z F z F ηξ B. )()(z F z F ηξ

C ．)]()([2

1

z F z F ηξ+ D. )()()()(z F z F z F z F ηξηξ-+

二. 填空：

已知ξ～)1,0(N ,3

1ξη=, 则η的概率密度为=)(y ηϕ

2

2

6

e

23y y

-

π

。

三. 计算题

1. 已知随机变量]2,0[~U ξ，求2ξη=的概率密度。

解: ⎩⎨⎧<≥--=⎩

⎨

⎧<≥≤≤-=≤=0

0)()(00

}{}{)(2y y y F y F y y y y P y P y F ξξηξξ

故()

⎪⎩

⎪

⎨⎧<≥--=000)()(21

)(y y y p y p y y p ξξ

η＝⎪⎩⎪

⎨⎧≤≤其他

4041

y y

2. 设随机变量X 的概率分布为：

求)2

sin(

X Y π

=的概率分布。

解：由于⎪⎩

⎪

⎨⎧-==-=-=3

41

20

141)2sin(k x k x k x x π Λ,2,1=k

故随机变量Y 的可能取值为：-1，0，1。 随机变量Y 的∑∞

=-==-=1}14{}1{k k X P Y P ∑

∞

=-=-⨯==1

4

1

415

212118121k k ； ∑∞

====1

}2{}0{k k X P Y P ∑

∞

==-⨯==12

23112114121k k

； ∑∞

=-===1

}34{}1{k k X P Y P ∑

∞

=-=-⨯=

=1

4

3

415

812112121k k ， 于是随机变量Y 的分布律为：

3．设~ξ)1,0(U ，求η =ξξ

ln 的分布 。

解：对应于η =ξ

ξ

ln ，

)(2

)(ln ln x f e

x y x x

=== ，由于

x

x e x f x 1

ln 2)(2)(ln '⋅⋅= 。

当)1,0(∈x 时，

0)('

y

e y

f x ln 1

)(--==

)(y ηϕ=y

y e y

y y f x y

y f x 其它),1(,.

,0ln 21|))((||)(ln '

1)(1+∞∈⎪⎩

⎪⎨⎧=-

-=-ξϕ

其中当]1,(-∞∈y 时，

)

(y ηϕ=0是由)1,0(∈x 时),1(+∞∈y 而导出的。

4. 设ηξ、 是两个相互独立且均服从正态分布⎪⎭

⎫

⎝⎛21,0N 的随机变量，求

|)(|ηξ-E 。

解: 由已知条件可得：)1,0(~N ηξ-，所以

π

π

π

π

ηξ2

e

22d e

22d e

21|||)(|0

2

2

2

222=

-

==

⋅

=-+∞

--

∞

+-

∞

+∞

-⎰

⎰x x x x x x x E

5. 已知随机变量ηξ、 的概率分布分别为

4

12

14

1}

{101i x P =-ξξ

2

12

1}

{1

0j y P =ηη

而且1}0{==ξηP 。

(1)求ηξ、 的联合概率分布；(2)问ηξ、 是否独立？ (3)求), max(ηξζ=的概率分布。

解: 由于(0)1P ξη==,可以得到(1,1)(1,1)0P P ξηξη=-=====,从而

1(0,1)(1)2P P ξηη=====

, 1(1,0)(1)4P P ξηξ=-===-=, 1

(1,0)(1)4P P ξηξ=====, (0,0)(0)(0,1)0P P P ξηξξη====-===,

汇总到联合分布列,即

(2)由于(,)()()P i j P i P j ξηξη==≠=⋅=,故,ξη不独立. (3)

1(0)(1,0)(0,0)4

P P P ζξηξη===-=+===

,