4第四讲(应变能和强度问题)

合集下载

材料力学材料的强度和变形行为

材料力学材料的强度和变形行为材料力学是研究材料在外力作用下的强度和变形行为的学科。

在工程设计和材料选择过程中，了解材料的强度和变形行为对提高产品性能和安全性至关重要。

本文将探讨材料的强度和变形行为，并深入了解不同材料在外力作用下的特性。

一、材料的强度1. 强度的概念材料的强度是指材料能够抵抗外力的能力。

强度取决于材料的内部结构和晶格排列。

不同材料具有不同的强度特性，例如金属材料通常具有较高的强度，而陶瓷材料则表现出较低的强度。

2. 抗拉强度抗拉强度是指材料在受到拉伸力作用下能够承受的最大应力。

材料的抗拉强度可以通过拉伸试验来测定。

在拉伸试验中，材料样品会受到均匀的拉力，直至样品发生断裂。

通过测量断裂前的拉力和样品的初始截面积，可以计算出材料的抗拉强度。

3. 压缩强度压缩强度是指材料在受到压缩力作用下能够承受的最大应力。

与抗拉强度类似，材料的压缩强度也可以通过压缩试验来测定。

在压缩试验中，材料样品会受到均匀的压力，直至样品发生压碎。

通过测量压碎前的压力和样品的初始截面积，可以计算出材料的压缩强度。

4. 剪切强度剪切强度是指材料在受到剪切力作用下能够承受的最大应力。

剪切强度通常小于抗拉强度和压缩强度。

材料的剪切强度可以通过剪切试验来测定。

在剪切试验中，材料样品会受到剪切力，直至样品发生切断。

通过测量切断前的剪切力和样品的初始截面积，可以计算出材料的剪切强度。

二、材料的变形行为1. 弹性变形弹性变形是指材料在受到外力作用后能够恢复到原始形状和尺寸的能力。

弹性变形的特点是应变与应力成正比，材料在弹性变形时不会发生永久变形。

弹性模量是衡量材料弹性变形能力的重要参数，通常以杨氏模量或剪切模量表示。

2. 塑性变形塑性变形是指材料在受到外力作用后发生永久性变形的能力。

塑性变形的特点是应变与应力不再成正比，材料在塑性变形时会改变内部结构，形成新的晶粒和位错。

塑性变形可以通过延伸试验、压缩试验或弯曲试验来观察和测定。

第四讲流体弹塑性模型

物质相态的改变
❖ 改变的条件压强或温度。
❖ 相变类型第一类相变：伴随着相变潜热和体积跃变。如：固固相变、固夜相变、以及一般的气液相变等。第二类相变：没有相变潜热和体积跃变，但是有比热等的变化。如：铁磁体转变为顺磁体，二元合金中的有序无序转变，金属转变为超导态，液态氦转变为超流态等。
1. 流体弹塑性基本概念（续）
2. 状态方程导引
状态方程的概念
通常是指物体的 PVT关系，即压强P、体积V、温度T之间的函数关系。有时除上述关系外，还将内能函数E(V、T)包括在内。
状态方程的建立
理论模型－－通过量子力学和统计物理的概念和方法从原子、分子运动角度建立模型。
工程理论－－在部分理论模型的基础上确定状态方程的基本形式，通过实验研究确定参数。
屈服函数
f ( ij , eij ) C
f (I1, I2 , I3) C
3.弹塑性应力应变关系（续）
❖ 初始屈服准则（续）
应力偏量张量 sij ij p ij
应变偏离张量
应力偏离形式屈服准则（不计静水压效应）
ij
eij
3
ij
f (J2,2
s22 s33
2. 状态方程导引（续）
c) 高温低密度
密度：稍大于常密度至远小于常密度
温度：几个105K至107K 物质状态：由于系统密度较低，温度较高，点阵结构不存在，分子的离解及原子中电子的电离现象十分显著。系统中粒子差不多都是带电粒子，需考虑粒子间静电相互作用。
采用的模型：
用离解电离平衡方程描述分子离解和电离过程。
用Debye－Huckel理论描述静电相互作用
2. 状态方程导引（续）
d) 过渡区（a、b区之间过渡区）

应变应力与强度刚度解析

应变应力与强度刚度解析在工程学中，应变应力与强度刚度是两个重要的概念。

应变应力是指物体在外力作用下发生形变时所产生的内部应力，而强度刚度则是指物体抵抗变形的能力。

本文将从理论和实践两个方面探讨应变应力与强度刚度的解析。

一、理论解析1. 应变应力的定义与计算方法应变应力是材料力学中的基本概念，用来描述物体在外力作用下的变形情况。

应变是指物体在外力作用下的形变程度，通常用单位长度的变形量表示。

应力则是指单位面积上的内部力，通常用外力作用下的单位面积的大小表示。

计算应变的方法有多种，常见的有拉伸应变、剪切应变等。

拉伸应变是指物体在拉伸力作用下的形变程度，可以通过材料的长度变化与原始长度之比来计算。

剪切应变是指物体在剪切力作用下的形变程度，可以通过物体的切变角度与单位长度来计算。

计算应力的方法也有多种，常见的有拉伸应力、剪切应力等。

拉伸应力是指物体在拉伸力作用下的内部力大小，可以通过外力的大小与物体的横截面积来计算。

剪切应力是指物体在剪切力作用下的内部力大小，可以通过外力的大小与物体的接触面积来计算。

2. 强度刚度的定义与计算方法强度刚度是指物体抵抗变形的能力，也可以理解为物体的刚性。

在工程学中，强度刚度通常用弹性模量来表示，弹性模量是材料的一种力学性质，表示材料在外力作用下的变形程度。

计算强度刚度的方法有多种，常见的有拉伸强度、剪切强度等。

拉伸强度是指物体在拉伸力作用下的抵抗能力，可以通过外力的大小与物体的横截面积来计算。

剪切强度是指物体在剪切力作用下的抵抗能力，可以通过外力的大小与物体的接触面积来计算。

二、实践解析1. 应变应力与强度刚度的关系应变应力与强度刚度之间存在着紧密的关系。

在工程设计中，通常需要根据物体的应变应力特性来确定其强度刚度，以保证物体在外力作用下能够承受变形而不发生破坏。

例如，在建筑设计中，需要根据材料的应变应力特性来选择合适的强度刚度，以确保建筑物在自然灾害等外力作用下能够保持稳定。

材料力学强度理论 ppt课件

(τ 13 τ 23) C
C—— 待定系数
(τ 12 τ (τ 12 τ
23
) （10-8a）
23
) （10-8b）
ppt课件
36
0

σ1 σ2 σ3
13
1 2
1
3

(τ 13 τ 12) C (τ 12 τ 23)
(τ 12 τ )
23 12
（10-4）
ppt课件
17
五、强度条件的统一形式
强度条件可统一写作：
r
r 称为相当应力
2 1 r
3
r
ppt课件
18
表 10 -1 四个强度理论的相当应力表达式
强度理论的分类及名称
第一类强度理论
（脆断破坏的理论）
第1强度理论 —最大拉应力理论第2强度理论 —最大伸长线应变理论第3强度理论
解：（1）对于图 (a) 所示的单元体，
已知 1= 0，2= 3= –120MPa,
120 MPa
r 3 1 3 0 120 120 MPa

120 MPa
r4
1 2
1

2 2 2 3 2 3 1 2

2 2
2
2

2
2

2
状态 (b)
设，则
1 2
ppt课件
3
26
由第四强度理论的计算应力
状态 (a )
r4
状态 (b )
2 3 2
r4

弹性变形能(应变能)课件

THANKS
应变能的计算实例
矩形梁的弯曲
考虑一个矩形梁在受到横向载荷作用下的弯曲变形，通过积分法计算梁的应变能。
圆柱体的扭转
分析一个圆柱体在受到扭矩作用下的扭转变形，采用直接法计算圆柱体的应变能。
应变能的计算结果分析
应变能与外力的关系
应变能与作用在物体上的外力之间存在一定的关系，可以通过计算结果分析这种关系。
特性
应变能与物体的材料性质、形变量的大小和外力的大小等因素有关，具有可逆性和可恢复性。
弹性变形能（应变能）的重要性
工程应用
在许多工程领域中，如桥梁、建筑、机械等，应变能的研究和应用对于提高结构的稳定性和安全性具有重要意义。
科学研究
应变能的研究有助于深入了解材料的力学性能和物理性质，推动相关学科的发展。
抗震设计
在抗震设计中，通过分析地震作用下结构的应变能变化，可以评估结构的抗震性能，并优化抗震设计。
在材料科学中的应用
材料性能评估
通过测试材料在不同受力状态下的应变能变化，可以评估材料的力学性能，如弹性模量、屈服强
度等。
材料损伤监测
应变能的异常变化可以用于监测材料的损伤和裂纹扩展，为材料的寿命预测和维护提供依据。
弹性变形能（应变能课件
目录
• 弹性变形能（应变能）概述 • 弹性力学基础 • 弹性变形能（应变能）的计算 • 弹性变形能（应变能）的应用 • 弹性变形能（应变能）的未来发展
01
弹性变形能（应变能）概述
定义与特性
定义
弹性变形能（应变能）是指物体在受到外力作用发生形变时，由于弹力作用而存储在物体内部的能量。
弹性变形能（应变能）的物理意义
能量守恒

应力和应变分析和强度

泊松比
总结词
泊松比是描述材料横向变形与纵向变形之间关系的物理量。
详细描述
当材料受到外力作用时，会发生形变。泊松比是表示材料在受到外力作用时，横向变形与纵向变形之间的比例关系。其值通常在-0.5到0.5之间，但不同材料的泊松比可能会有所不同。
屈服强度
总结词
屈服强度是描述材料在受到外力作用时开始发生屈服现象的应力极限。
应力和应变分析和强度
目录
• 应力分析 • 应变分析 • 强度分析 • 材料性能 • 应力和应变的关系 • 工程应用
01
应力分析
定义与概念
01
02
03
应力
物体受到外力作用时，单位面积上的内力。
应变
物体在外力作用下发生的形状和尺寸的改变。
应力分析
通过数学模型和实验手段，研究物体在受力状态下的应力分布、大小和方向的过程。
应力分类
正弯曲应力
由于弯曲产生的应力。
扭曲应力
由于扭曲产生的应力。
应力计算方法
解析法
通过数学公式和物理定律，计算应力的方法。
有限元法
将物体离散化为有限个小的单元，通过求解每个单元的应力，再组合得到整体的应力分布。
实验法
通过实验手段测量物体的应力分布。
应变计算方法
有限元分析法
有限元分析是一种数值计算方法，通过将物体离散化为有限个小的单元，对每个单元进行受力分析和形变计算，再通过单元的集合来模拟整个物体的形变。这种方法可以处理复杂的几何形状和边界条件，广泛应用于工程领域。
实验测量法
通过在物体上粘贴应变片或使用激光干涉仪等设备来测量物体的形变，这种方法可以直接获得物体的应变值，但需要专业的设备和操作技能。

材料力学应变能知识点总结

材料力学应变能知识点总结应变能是材料力学中的重要概念，它描述了物体在受力作用下发生形变时所具有的能量。

掌握应变能的基本原理和计算方法对于材料力学的学习和应用具有重要意义。

本文将对材料力学中应变能的知识点进行总结，并提供相应的计算方法。

一、应变能的定义及表示在材料力学中，应变能是指物体在受力作用下发生形变时所储存的能量。

通常用符号U表示，单位为焦耳（J）或牛顿·米（Nm）。

二、应变能的计算1. 弹性应变能弹性应变能是指物体在弹性变形过程中所储存的能量。

对于弹性体来说，弹性应变能可以通过下式计算：U = 0.5 × k × ε^2其中，k为弹性系数，ε为物体的应变。

2. 弯曲应变能弯曲应变能是指梁在弯曲变形过程中所储存的能量。

计算弯曲应变能需要考虑梁的截面形状和材料的性质。

一种常见的计算方法是使用梁的截面惯性矩和弹性模量，根据以下公式计算：U = (1/2) × E × I × ε^2其中，E为梁的弹性模量，I为梁的截面形状的惯性矩，ε为变形挠度。

3. 拉伸应变能拉伸应变能是指材料在拉伸变形过程中所储存的能量。

对于拉伸变形的材料来说，拉伸应变能可以通过以下公式计算：U = (1/2) × A × σ × ε其中，A为受力截面的面积，σ为应力，ε为应变。

4. 剪切应变能剪切应变能是指材料在剪切变形过程中所储存的能量。

对于剪切变形的材料来说，剪切应变能可以通过以下公式计算：U = (1/2) × V × τ × γ其中，V为受力断面的体积，τ为剪应力，γ为剪应变。

三、应变能的应用应变能的计算和应用在实际工程问题中具有广泛的应用。

例如，在弹性体的设计中，我们可以根据材料的应力-应变关系和几何形状，计算弹性应变能来确定物体需要具备的弹性性能。

在工程结构的设计中，可以通过计算弯曲应变能来确定材料和截面形状的选择。

第四讲岩石流变性质

• 应力为恒定时，应变保持不变，故无蠕变现象。
– 圣维南体：摩擦片，是理想刚塑性体，即屈服前为刚体、屈服后为塑性流动； • 本构关系：当 s 时：当 s 时：
0

研究生思考：如果摩擦片是有硬化特性的理想塑性体，其应力应变关系图是怎样的？
s 为塑性屈服极限。
特点： •小于屈服极限时，应变为零； •超过屈服极限后，应变无限制增长（理论上）。
– 牛顿体：粘壶，是粘性体，其表示符号见图示。
• 它的本构关系：应力与应变速率成正比：

或
（2-45）（2-46）
d dt
特点： •无瞬时变形； •有永久变形，无弹性后效； •无应力松弛。
s0
σt o t
s∞
t
流变学家—袁龙蔚
• 袁龙蔚，流变学家，中国流变学研究的开拓者之一。倡导缺陷体流变学、加工工艺流变学、中医基础理论流变学三个新的分支学科。运用新技术于材料破坏过程中裂尖断裂过程区内形成的温度场、位移场、质量场、磁场的变化规律，建立了缺陷体流变学的基本理论框架，应用于水电站混凝土大坝的裂纹扩展分析及加固处理获得成功。 • 1. 袁龙蔚.流变性概论.上海：上海科技出版社， 1961. • 2. 袁龙蔚.流变力学.北京：科学出版社，1986. • 3. 袁龙蔚，智荣斌，李之达.流变断裂学基础.北京: 防工业出版社，1992. • 5. 袁龙蔚.缺陷体流变学.北京：国防工业出版社， 1994.
• Kelvin模型的特点：
– 属于稳定蠕变； – 有弹性后效； – 没有应力松弛。
• 用途：描述具有上述特点的岩石模型。
Prandtl 体
• Prandtl体：由虎克体和库仑体串联组成，见图： • 本构关系：

材料力学应力与应变分析强度理论

3
1 2
E
( 1
2
3)
1 2
E
(
x
y
z
)
例2 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别
为：i=24010-6， j=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3，试求该点处的主应力及另一主应变。
解 : 自由面上 k 0 所以，该点处为平面应力状态
j
i
E
xy
tg
2
0
2 xy x
y
xy S sin 0
tg 0
x 1 xy
y O
y
3
主单元体
x
xy10
x
四、最大切应力
令:d 0 d 1
tg
21
x
2 xy
y
mmainx
± （x
y
2
）2 x2y
y
3
主单元体
x
y
xy 1
Ox
' max
' min
i
2
j
空间应力状态：
max min
1
3
2
max
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）：三个主应力都不为零的应力状态。
二向应力状态（Plane State of Stress）：一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）：一个主应力不为零的应力状态。
0
0
1
95
y
Ox
25 3
y 45MPa
xy 25 3MPa

应力和应变分析和强度理论

机械设计
01
02
03
零件强度校核
通过应力和应变分析，可以校核机械零件的强度，确保零件在正常工作载荷下不会发生破坏。
优化装配设计
通过应力和应变分析，可以优化机械装配设计，减少装配误差和应力集中，提高装配质量和可靠性。
振动和噪声控制
通过应力和应变分析，可以预测和控制机械系统的振动和噪声，提高机械系统的性能和舒适性。
总结词
最大拉应力理论
详细描述
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的主要因素，当最大拉应力达到材料的极限抗拉强度时，材料发生断裂。
第二强度理论
总结词
最大伸长应变理论
详细描述
该理论认为最大伸长应变是导致材料破坏的主要因素，当最大伸长应变达到材料的极限抗拉应变时，材料发生断裂。
第三强度理论
总结词
03
应力和应变的应用
结构分析
结构稳定性
01
通过应力和应变分析，可以评估结构的稳定性，预测结构在不
同载荷下的变形和破坏模式。
结构优化设计
02
通过对应力和应变的精确计算，可以优化结构设计，降低结构
重量，提高结构效率。
结构疲劳寿命预测
03
通过应力和应变分析，可以预测结构的疲劳寿命，为结构的维
护和更换提供依据。
能量法
总结词
能量法是一种基于能量守恒和变分原理的数值分析方法，通过将问题转化为能量泛函的极值问题，并采用变分法或有限元法进行求解。
VS
详细描述
在应力和应变分析中，能量法可以用于求解各种力学问题，如弹性力学、塑性力学等。通过构造合适的能量泛函和约束条件，能量法能够提供精确和高效的数值解。同时，能量法还可以用于优化设计、稳定性分析和控制等领域。

建筑力学常见问题解答4杆件的强度、刚度和稳定性计算

建筑力学常见问题解答4 杆件的强度、刚度和稳定性计算1.构件的承载能力，指的是什么？答：构件满足强度、刚度和稳定性要求的能力称为构件的承载能力。

(1)足够的强度。

即要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力，在荷载作用下不致于发生破坏。

(2)足够的刚度。

即要求构件应具有足够的抵抗变形的能力，在荷载作用下不致于发生过大的变形而影响使用。

(3)足够的稳定性。

即要求构件应具有保持原有平衡状态的能力，在荷载作用下不致于突然丧失稳定。

2.什么是应力、正应力、切应力？应力的单位如何表示？答：内力在一点处的集度称为应力。

垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用ζ表示；相切于截面的应力分量称切应力或切向应力，用η表示。

应力的单位为Pa。

1 Pa=1 N／m2工程实际中应力数值较大，常用MPa或GPa作单位1 MPa=106Pa1 GPa=109Pa3.应力和内力的关系是什么？答：内力在一点处的集度称为应力。

4.应变和变形有什么不同？答：单位长度上的变形称为应变。

单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。

单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表示横向应变。

5.什么是线应变？什么是横向应变？什么是泊松比？答：（1）线应变单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。

对于轴力为常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为l l∆=ε（4-2）拉伸时ε为正，压缩时ε为负。

线应变是无量纲（无单位）的量。

（2）横向应变拉(压)杆产生纵向变形时，横向也产生变形。

设杆件变形前的横向尺寸为a，变形后为a1，则横向变形为aaa-=∆1横向应变ε/为aa∆=/ε （4-3）杆件伸长时，横向减小，ε/为负值；杆件压缩时，横向增大，ε/为正值。

因此，拉(压)杆的线应变ε与横向应变ε/的符号总是相反的。

（3）横向变形系数或泊松比试验证明，当杆件应力不超过某一限度时，横向应变ε/与线应变ε的绝对值之比为一常数。

应变能的名词解释

应变能的名词解释应变能是指材料在外力作用下，发生形变时所储存的能量。

在物理学中，应变能是弹性势能的一种特殊形式，它是由于材料的形变而导致的能量变化。

应变能的概念在材料科学和工程领域中具有重要的意义，并广泛应用于材料设计、结构分析和工程实践中。

一、应变能的产生当外力作用于一个杨氏弹性体时，会导致材料发生形变。

根据虎克定律，物体内部的每一层物质都会受到拉伸或压缩的力。

材料的形变会导致其内部应力的产生和分布，同时也会储存相应的应变能。

当外力作用消失后，材料会恢复到其初始状态，释放出储存的应变能。

二、应变能的计算计算应变能的常用方法是应用弹性势能密度原理。

该原理认为，材料内部的应变能被储存在单位体积的弹性势能中。

弹性势能密度等于应力和应变的乘积，即应变能与单位体积的比值。

在物理学中，应变能的计算公式可以根据材料的性质和应变形式进行推导。

对于线性弹性体，应变能可以表示为弹簧的形式，即W = (1/2)kx²，其中W代表应变能，k代表弹性系数，x代表形变量。

当材料发生轴对称的拉伸或压缩时，应变能的计算公式可以简化为W =(1/2)σεV，其中W代表应变能，σ代表应力，ε代表应变，V代表体积。

这个公式是由杨氏弹性模量E定义的，可用于许多工程材料的分析。

三、应变能的应用应变能的概念在材料科学和工程实践中有广泛的应用。

首先，它是材料设计的重要参数之一。

通过计算材料在外力作用下的应变能储存情况，可以评估和选择最适合的材料。

对于某些特殊工程，例如航天器、汽车和建筑物的设计，应变能的计算和控制非常重要。

其次，应变能还用于衡量材料的强度和韧性。

强度代表材料在承受外力作用下抵抗破坏的能力，而韧性则表示材料在断裂前可以吸收的应变能。

通过计算材料的弹性势能密度和断裂应变能，可以评估材料的强度和韧性。

这对于材料选择和结构设计具有重要意义。

最后，应变能在结构分析中起到关键作用。

通过计算和分析应变能分布，可以确定结构中的应力集中区域，并评估结构的稳定性。

应变能与应变导数的计算

应变能与应变导数的计算在材料力学和固体力学的领域中，应变能和应变导数是非常重要的概念。

理解和掌握它们的计算方法对于解决各种工程和科学问题至关重要。

首先，让我们来搞清楚什么是应变能。

应变能可以简单地理解为物体在变形过程中储存的能量。

想象一下，当我们拉伸或压缩一根弹簧时，我们需要对它做功，而这些功就转化为了弹簧储存的能量。

对于一般的固体材料，其应变能的产生也是类似的原理。

应变能的计算通常与材料的本构关系密切相关。

不同的材料具有不同的应力应变关系，这会影响应变能的具体表达式。

比如，对于线性弹性材料，其应力和应变之间存在线性关系，应变能的计算相对较为简单。

而对于非线性材料，情况就会复杂得多。

在线性弹性情况下，假设我们有一个简单的一维杆件，受到轴向拉力。

根据胡克定律，应力与应变成正比。

应变能可以通过对应力应变曲线下的面积进行积分来计算。

如果应力用σ 表示，应变用ε 表示，弹性模量用 E 表示，那么应力可以表示为σ ＝Eε 。

应变能密度（单位体积的应变能）就可以表示为 U ＝1/2 σ ε ，对整个杆件进行积分就能得到总的应变能。

然而，在实际问题中，我们往往面对的是更复杂的三维情况。

这时，需要用到张量的概念来描述应力和应变。

对于各向同性的线性弹性材料，应变能密度可以表示为 U ＝ 1/2 （σε₁₁＋τ₂₃γ₂₃＋τ₁₂γ₁₂＋τ₁₃γ₁₃＋σ₂₂ε₂₂＋σ₃₃ε₃₃) ，其中σ 和ε 分别表示应力张量和应变张量的分量，τ 表示剪应力，γ 表示剪应变。

接下来，我们谈谈应变导数。

应变导数在力学分析中有着重要的作用，它可以帮助我们了解物体在变形过程中应变的变化率。

比如说，在研究材料的动态响应时，应变导数就显得尤为重要。

如果应变随时间的变化很快，那么材料所承受的载荷和内部的应力分布也会发生快速变化。

计算应变导数的方法取决于应变的表达方式。

如果应变是以某个变量（如时间、空间坐标等）的函数给出，那么可以通过对该函数求导来得到应变导数。

第四章杆件的应变能 ppt课件

7
三、等直圆轴在扭转时的应变能
纯剪切应力状态下的比能假设单元体左侧固定，因此变形后右侧将向下
移动 dx。
(a) a
因为很小，所以在变形过程中上，下两面上的外力将不作
功。只有右侧面的外力(dydz) 对相应的位移 dx 作了功。
b z
y
' d x
dx
dx
第四章杆件的应变能
8
当材料在线弹性范围内内工作时，上述力与位移成正比，因此，
EI"w M(x)
d
FS(x)
M(x)+dM(x)
dx M(x)
代入上式得梁应变能的计算公式
V
l
(EI'')w 2dxEI(w'')2dx
2EI
2l
第四章杆件的应变能
17
例题抗弯刚度为 EI 的悬臂梁受一集中荷载 P 作用,
如图所示,试求此梁内积蓄的弯曲应变能Vε并利用功能原理
求 A 端的挠度 wA。解 : 任一横截面上的弯矩为 f A
θ
15
横力弯曲时, 梁内的应变能包含两部分: 与弯曲变形相应的弯曲应变能和与剪切变形相应的剪切应变能。
取长为dx的一段来研究,
其弯曲应变能为
M2(x)
dV
dx 2EI
全梁的弯曲应变能为
d
FS(x)
M(x)+dM(x)
dx M(x)
M2(x)
V
l
dx 2EI
第四章杆件的应变能
16
略去剪切应变能。将
Mechanics of Materials
第四章杆件的应变能
1
§4-1 轴向拉伸或压缩时的变形 §4-2 拉伸、压缩超静定问题 §4-3 圆轴扭转变形与刚度条件.超静定问题 §4-4 梁的变形.挠曲线微分方程及其积分 §4-5 用叠加法求弯曲变形 §4-6 简单静不定梁 .提高梁得刚度得措施 §4-7 杆的应变能

弹性变形能(应变能)

§3-2应变能
余能
弹性变形能（应变能） ——构件由于发生弹性变形而储存的能量（如同弹簧）, 表示为 V 。单位：1J=1N· m 变形体的功能原理 ——弹性范围内，构件受静载外力产生变形的过程中，能量守恒，即：外力功=变形能略去动能及能量损耗
2019/2/14
d
1
Ⅰ 应变能（1）线弹性体 1. 基本变形形式【材料力学（Ⅰ）】
之差（图d）,故称Wc 为余功。Wc只有几何图形上的意义，无物
理概念，即没有什么力作的功为Wc 。
2019/2/14
17
（2）余能
1 仿照 Vε W , 余能为 V W dF c c Δ
F
余能密度为余能为
vc ds
0
s1
0
（3－7）（3－8）（3－9）
V c v c dV

0
22 2 F R ( 1 c o s) P
R F R ( s i n ) d R d 2 G I 2 E I
22 2 0
3F2R3 F2R3 4G IP 4E I
③外力功等于应变能
3 3 3 F R F R fA 2 G IP 2E I
0
F1
纯弯曲
2 2 2 3 M l FM l 1 1 F l e e V Fw M ε C eA 2 2 96 EI 6 EI 16 EI
2019/2/14
4
横力弯曲对于细长梁来说一般可略去剪切应变能
弯曲应变能 M M
M

dx d M
F(x) T(x) M(x) V dx dx dx l 2EA 2GI 2EI l P l

极限应变能强度理论

- 1 -极限应变能强度理论刘光连中南大学研究生院，湖南长沙（410083）Email: glliu@摘要：分析了同一截面上切应力和正应力对晶体滑移和攀移的影响，基于正应力应变比能和切应力应变比能的共同作用，提出了总等效应变比能概念和计算式：()E v s 2/)2(22τσ+=；并提出了极限应变能强度理论：对各向同性材料，当总等效应变比能的极大值达到材料在单向应力状态下塑性屈服或脆性断裂应变比能的值时，材料将发生塑性屈服或脆性断裂。

根据提出的极限应变能强度理论，应用单元体应力分析、函数极值理论等数理方法，得出了各种主应力状态下统一的相当应力计算式：当主应力为全拉应力状态时，相当应力为最大拉应力1σ；当主应力为全压应力状态时，相当应力为绝对值最大的压应力3σ；当主应力为拉—压应力状态时，相当应力为2321σσ+。

定义当主应力为全拉应力状态时03=σ，当主应力为全压应力状态时01=σ，判断材料塑性屈服或脆性断裂的判据为：12321=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛cs ts σσσσ。

据极限应变能强度理论，首次得到了塑性材料的拉伸屈服强度ts σ、压缩屈服强度cs σ和剪切屈服强度s τ的关系式：22cstscs ts s σσσστ+⋅=。

从理论上说明了应力状态对材料失效的显著影响，拉—压主应力状态下材料的拉伸失效强度和压缩失效强度对防止材料的失效具有同等作用，各向同性金属材料在各种应力状态下的失效与中间主应力和静水应力无关。

极限应变能强度理论的计算结果与金属在单向、二向和三向应力状态下的实验结果相吻合，克服了现有强度理论的不足，为极限强度设计提供了新理论。

关键词：位错理论相当应力总等效应变比能极限应变能强度理论强度理论是解释材料塑性屈服或脆性断裂等失效行为的假说或学说，并经得起试验和实践的检验，是一个经典的研究课题。

根据材料的两种主要失效形式，主要有解释塑性屈服和脆性断裂两类强度理论。

材料力学应变能

材料力学应变能材料力学应变能是材料力学中的一个重要概念，它描述了材料在受力作用下所发生的变形程度。

应变能是由应力和应变共同决定的，它是材料力学研究的基础之一。

应变能的概念最早由英国物理学家Thomas Young提出，他认为材料在受力作用下会发生变形，并将其描述为应变能。

应变能是材料内部储存的能量，当材料受到外力作用时，这些能量会被释放出来，使材料发生形变。

材料力学应变能可以通过应力-应变关系来计算。

在弹性区域内，应变能可以用弹性模量和应变来表示。

弹性模量是材料特性的一种度量，它描述了材料在受到外力后恢复原状的能力。

应力和应变的关系可以用胡克定律来描述，即应力等于弹性模量乘以应变。

根据这个关系，可以计算出材料在受力作用下的应变能。

应变能在材料力学中具有重要的应用价值。

首先，它可以用来描述材料的变形特性。

通过对应变能的研究，可以了解材料在受力作用下的变形行为，进而指导工程实践中材料的选择和设计。

其次，应变能可以用来评估材料的强度和稳定性。

材料在受力作用下，应变能的大小与其强度和稳定性密切相关。

通过对应变能的分析，可以评估材料的承载能力和抗破坏能力。

最后，应变能还可以用来研究材料的损伤和疲劳行为。

当材料受到重复载荷作用时，应变能的积累可能导致材料的损伤和疲劳断裂。

因此，研究应变能对于预测材料的寿命和安全性具有重要意义。

应变能的研究不仅在工程领域有重要意义，也在科学研究中具有广泛应用。

例如，在材料科学中，研究材料的力学性能和应变能可以为新材料的开发提供指导。

在地质学中，研究地壳的应变能可以帮助我们了解地震和地壳运动等现象。

在生物学中，研究细胞和组织的应变能可以揭示生物力学行为和生物力学疾病的机制。

材料力学应变能是材料力学中的重要概念，它描述了材料在受力作用下所发生的变形程度。

应变能可以用来描述材料的变形特性、评估材料的强度和稳定性，以及研究材料的损伤和疲劳行为。