重庆市名校联盟2019～2020学年度第一次联合考试 数学试题(高2021级)

秘密★启用前 【考试时间：2019年11月14日 15:00—17:00】

重庆市名校联盟2019～2020学年度第一次联合考试

数学试题（高2021级）

（本试卷共2页，总分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座

位号及科类名称。

2．请将准考证条形码粘贴在右侧的[考生条形码粘贴处]的方框内。

3．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整、笔迹清楚。 4．请按题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。 5．保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符

合题目要求的） 1．抛物线y x 2

1

2

-

=的焦点坐标是（ ） A ．（0，1

4

-

） B ．（0，18

-

） C ．1

08

-（，）

D ．1

04

-（，）

2．圆（x －2）2

+（y +3）2

＝2的圆心和半径分别是（ ）

A ．（－2，3），2

B ．（2，－3），2

C ．（－2，3），2

D ．（2，－3），2

3．如图，△A 'B 'C '是△ABC 的直观图，其中A ′B ′＝A ′C ′，A ′B ′∥x ′轴，A ′C ′∥y ′轴，那么△ABC 是（ ）

A ．等腰三角形

B ．钝角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．直角三角形 4．下列命题正确的是（ ） A ．三点确定一个平面

B ．如果两个平面有三个不共线的公共点，则两个平面重合

C ．若b a ,是两条直线，βα，是两个平面，且βα⊂⊂b a ,，则a 与b 异面

D ．若两条直线与第三条直线垂直，则这两条直线平行

5．若圆C ：04642

2=+--+y x y x 与圆M 关于y 轴对称，则圆M 的方程为（ ） A ．（x +2）2

+（y －3）2

＝9

B ．（x －2）2+（y +3）2

＝9

C ．（x +2）2+（y －3）2

＝3

D ．（x －2）2+（y +3）2

＝3

6．已知圆锥的高为1，侧面积为π52，则这个圆锥的体积等于（ ） A ．

3

4

π B ．

3

8π C ．4π D ．8π

7．若直线x －y +m ＝0被圆（x －1）2

+y 2

＝5

截得的弦长为m 的值为（ ） A ．1

B ．－3

C ．1或－3

D ．2

8．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝1，AB ＝AD ＝2，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，则异面直线AD 1与EF 所成角的余弦值为（ ） A

．

5

B

．

5

C ．

35

D ．

45

9．已知P 、Q 是椭圆1532

2

=+y x 上的两动点，且满足OQ OP ⊥（O 为坐标原点），则

2

2

11OQ

OP

+

为（ ） A ．

8

1 B ．

15

8 C ．8

D ．无法确定

10．已知双曲线122

22=-b

y a x （a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线

交双曲线的两条渐近线于M ，N 两点，若∆MF 2N 是钝角三角形，则该双曲线离心率的范围是（ ） A ．（2，+∞）

B

．+∞）

C ．（1+2，∞+）

D

．(11+，

11．设区域G ＝{（x ，y ）| x 2

+y 2

－4y +2≤0}，P （x ，y ）是区域G 内的任意一点，则

2

222y x y x ++的取

值范围是（ ）

A ．[0

，

2

] B ．

[

2

，1] C ．[0，1] D ．[1，2]

12．已知椭圆C ：22

198

x y +=的左、右顶点分别为A 、B ，F 为椭圆C 的右焦点，圆x 2+y 2＝9上有一

动点P （P 不同于A ，B 两点），直线P A 与椭圆C 交于点Q ，k 1，k 2分别为直线BP ，QF 的斜率，则

1

2

k k 的取值范围是（ ） A ．（－∞，

9

8

） B ．（－∞，－1）（－1，0） C ．3

4

∞（-，）

D ．（－∞，0）

3

(0,

)4

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知圆x 2+y 2＝1与圆x 2+y 2

－6x －8y +m ＝0外切，则m 的值为 . 14．以y ＝± x 为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为 . 15．已知直线l 过点P （2，1），且与双曲线x 2

－

2

4

y

＝1相交于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的方程为 .

16．在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面SAB

BC ＝4，当四棱锥S －ABCD 体积最大时，该四棱锥外接球的表面积等于 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）

如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为a ，连接A C ''，,,,,,A D A B BD BC C D '''' 得到一个三棱锥，求：

（1）三棱锥A BC D ''-的表面积与正方体表面积的比值； （2）三棱锥A BC D ''-的体积． 18．（本小题满分12分）

已知圆C 经过点A （0，0），B （7，7），圆心在直线4

3

y x =

上． （1）求圆C 的标准方程；

（2）若直线l 与圆C 相切且在x ，y 轴的截距相等，求直线l 的方程． 19．（本小题满分12分）

已知双曲线C 过点（3，－2

）和点(

1)2

． （1）求双曲线C 的标准方程；

（2）若点M 在双曲线C 上，F 1，F 2为双曲线的左、右焦点，且|MF 1|

＝2|MF 2|，求∆F 1MF 2的面积。

20．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P －ABCD 中，⊥PA AC ，⊥PA AD ，AD//BC ，

AB=AD=AC=3，PA=4，CD=6，2=，N 是PC 中点，E 为PB 中点. （1）证明：MN//AE ；

（2）求AN 与PM 所成角的余弦值. 21．（本小题满分12分）

已知抛物线M ：y 2

＝2px （p ＞0）上一点()a A ,1，且FA =2（F 为抛物线M 的焦点）。

（1）若⎪⎭⎫

⎝⎛b B ,21，⎪⎭

⎫

⎝⎛c C ，35是M 上的两点，证明：|FB |，|F A |，|FC |依次成等比数列； （2）若直线y ＝kx －3（k ≠0）与M 交于P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）两点，且OP OQ ⋅＝－4，

求线段PQ 的垂直平分线在x 轴上的截距.

22．（本小题满分12分）