【数学三】2007年全国硕士研究生入学统一考试真题

2007年考研数学（三）真题
一．选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）
（1） 当0x +→ ）
A .1- .ln(1
B + 1
C .1
D -
（2） 设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是： ( )
A .若0()lim
x f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x
→+-存在，则(0)0f = .C .若0()lim x f x x →存在，则'(0)f 存在 .D 若0()()lim x f x f x x →--存在，则'(0)f 存在 （3） 如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),x F x f t dt =
⎰则下列结论正确的是：（ ） .A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4
F = .C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4
F =-- （4） 设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)x dx f x y dy ππ⎰⎰等于（ ）
.A 10arcsin (,)x dy f x y dx ππ+⎰
⎰ .B 10arcsin (,)y dy f x y dx ππ-⎰⎰ .C 1
arcsin 02(,)y dy f x y dx ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02
(,)y dy f x y dx ππ
-⎰⎰ （5） 设某商品的需求函数为1602Q ρ=-，其中Q ，ρ分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性
的绝对值等于1，则商品的价格是（ ）
.A 10 .B 20 .C 30 .D 40
（6） 曲线1ln(1),x y e x
=++渐近线的条数为（ ） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3
（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是( )
（A ）12αα-2131,,αααα-- (B)21αα-2331,,αααα++
（C ）1223312,2,2αααααα--- (D)1223312,2,2αααααα+++
（8）设矩阵211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭，100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭
则A 与B （ ）
（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似
(C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似
(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )
2()3(1)A p p - 2()6(1)B p p -
22()3(1)C p p - 22()6(1)D p p -
(10) 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()x y f x f y 分别表示X, Y 的概率密度，则在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y x y f 为( )
（A ）()X f x (B)()y f y
(C)()()x y f x f y (D)()()
x y f x f y 二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上
（11）323
1lim (sin cos )________2x x x x x x x →∞+++=+. （12）设函数123
y x =+，则()(0)_________n y =. （13）设(,)f u v 是二元可微函数，(,),y x
z f x y =则
z z y x y ∂∂-=∂∂________. （14）微分方程
31()2dy y y dx x x
=-满足11x y ==的特解为__________. （15）设距阵01000010,00010000A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
则3A 的秩为_______. (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为________. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17）（本题满分10分）
设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点（1，1）附近的凹凸性.
（18）（本题满分11分）
设二元函数
2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤ 计算二重积分
(,).D f x y d σ⎰⎰其中{}
(,)2D x y x y =+≤ （19）（本题满分11分）
设函数()f x ，()g x 在[],a b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a ＝()g a ，()f b ＝()g b ，证明：
（Ⅰ）存在(,),a b η∈使得()()f g ηη=；
（Ⅱ）存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ=
（20）（本题满分10分） 将函数21()34
f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间. 12312321
23123(21)(11)
020
(1)4021
(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解
（22）（本题满分11分）
设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)T λλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.
（Ⅰ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；
（Ⅱ）求矩阵B.
（23）（本题满分11分）
设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为
2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他
（Ⅰ）求{}2P X Y >；
（Ⅱ）求Z X Y =+的概率密度()Z f z .
（24）（本题满分11分）
设总体X 的概率密度为
1,0,
21(;),1,2(1)
0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩
其他.
其中参数(01)θθ<<未知，12,,...n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值. （Ⅰ）求参数θ的矩估计量θ； （Ⅱ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.。