连续与可测函数

设 Q = {r1 , r2 ,
}
是有理数集合集合。 ∀δ > 0 ，令
则 Eδ
是闭集，且
由于 Eδ 不含有理数， D ( x ) 在 Eδ 恒为0， 因此在 Eδ 上连续。
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注意：鲁津定理定理中，δ > 0 不能够改为 0，即对 于 E 上几乎处处有限的可测函数 f ( x) ，未必存在闭 子集 F ⊂ E ，使得 m( E \ F ) = 0 且在 F 上连续。
i =1
7
k
由引理1，f 是 Eδ 上的连续函数。
一般情形。设 f 是 E 上可测函数，不放设 f 处处有限。
由于可以作变换
这里 g 有界可测且和 f 连续性相同，故设 f 有界。
由引理3，存在简单函数列{ f n }在 E 上一致收敛于 f 。 对 ∀δ > 0 ，由已经证明的情形，对简单函数 f k ,存在 E 的闭子集 Fk ： f k 在 Fk 连续且
4
引理 2、设 A ⊆
n
可测集合，则
1） ∀ε > 0 ， ∃开集 G ⊇ A使得 m ( G \ A ) < ε ; 2）∀ε > 0 ，∃闭集 F ⊆ A 使得 m ( A \ F ) < ε . 若 m ( A ) < ∞ ，则 F 可 以是有界闭集。
引理 3、设 f 是可测集 E 上有界可测函数，则存在 可测简单函数列{ f n ( x )}使得
i =1
k
f ( x ) = ∑ ai χ Fi ( x ) 是 F 上连续函数。
证明：设 x0 ∈ F 。则存在 i0 ：x ∈ Fi 。 0 由于 F , , F 互不相交， x ∉ ∪ Fi 。由闭集性质，
1 k
i ≠i0
i =1
∀ε > 0 ，当 x ∈ F 且 d ( x, x0 ) < δ 时，必有 x ∈ Fi0 。于是，
，当 x < δ 时，
1 g ( x ) − g (0) < 4
1 则若 g ( 0 ) ≥ 2 ， ( −δ , 0 ) ⊆ E ( f ≠ g ) 1 则若 g ( 0 ) ≤ 2 ， ( 0, δ ) ⊆ E ( f ≠ g )
因此， m ( E ( f ≠ g ) ) ≥ δ > 0 ，即不会几乎处处相等
8
令
Eδ = ∩ Fk
k =1
∞
则 Eδ ⊆ E 是闭集，且
m ( E \ Eδ ) = m
(∪
∞
∞
E \ F ( k )) k =1
<δ
≤ ∑ m ( E \ Fk )
k =1
由于每个 f k 在闭集 Eδ 上连续，且
fk ⇒ f ，
f 在 Eδ 上连续。
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例：考虑 Dirichlet 函数 D ( x ) 。
fn ( x ) ≤ f ( x )
，且
fn ⇒ f
。
5
定理 2.3.10(鲁津定理）若 f ( x ) 是可测集合 E 上几乎 处处有限的可测函数，则任给的δ > 0 ，存在 E 中闭集
Eδ ，使得 m( E \ Eδ ) < δ ， f ( x) 在 Eδ 上连续。
证明：分两种情形给出证明。 首先设 f ( x ) 是简单函数。即，
f ( x ) = ∑ ai χ Ei ( x ),
i =1
k
其中， E = ∪ Ei . E1 ,
i =1
k
, Ek 是互不相交的可测集，
6
由引理2，
∀δ > 0 ，对每个 Ei ，存在闭集Fi ⊆ Ei ：
令 Eδ = ∪ Fi ，则 Eδ 是 E 中的闭集，则
i =1
k
由于
f
Eδ
= ∑ ai χ Fi ( x )
由于 ∀t ∈ R
k =1 1
E ( f > t ) = ∪ Fk ( f > t ) ∪ E0 ( f > t )
k =1
∞
是可测集合，故 f ∈ M ( E )
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上连续函数列{ g k }使得 f k → f a.e.E
推论：设 f 是可测集合 E 上几乎处处有限的可测函数，则存 在
n
证明：课后阅读(需Urysohn引理和Tietze扩张定理)。12
鲁津定理的逆命题：
设 f ( x) 是可测集 E 上实值函数。若 ∀ε > 0 ，存在闭集 F ⊆ E ：
m( E \ F ) < ε ， f F 上连续，则 f ( x) ∈ M ( E ) 。 1 ,(k = 1, 2, ) ，存在闭集 Fk ⊆ E 使得 证明：对于 k 1 f F 连续，且 m( E \ Fk ) < k k ∞ 令 E0 = E \ ∪ Fk 则 m( E0 ) = 0 。
但是考察函数
D Q ，即
D在有理数集合上的限制。
D Q是 Q 上的连续函数。
类似的，Dirichlet函数在无理数集合上的限制也连续。 这个例子表明，对于不连续函数，若缩小定义域，则 不连续函数可以变成连续函数。 度？
பைடு நூலகம்
3
引 理 1 设 F1 ,
k
, Fk 是 互 不 相 交 闭 集 ， F = ∪ Fi ， 则
2.3.3可测函数与连续函数关系
教学目的： 欧式空间上可测函数和连续函数关系—— 揭示了可测函数的构造。 要点：连续函数可测；可测函数可以用连续函数逼近。
1
定义：
2
例1． 考察 R 上的 Dirichlet 函数
⎧1, x ∈ D ( x) = ⎨ ⎩0, x ∉
则 D ( x ) 处处不连续。
继而，可测函数未必和连续函数几乎处处相等。 例子：设
⎧1, x ∈ [ 0, +∞ ) ⎪ f ( x) = ⎨ ⎪ ⎩0, x ∈ ( −∞, 0 )
若 δ = 0 则存在连续函数 g ( x ) ，使得 f = g a.e. 下证这不可能。 为此反设存在连续函数
g= f
a.e. 11
由于
g 连续，存在 δ > 0