人教A版选修4-4双曲线的参数方程抛物线的参数方程跟踪练习及答案解析(最新整理)
人教A版数学选修4人教版高中数学选修4-4《第二章参数方程》章节测试卷A(含答案).docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作数学选修4-4《第二章 参数方程》章节测试卷A （含答案）一、选择题（每小题4分，共48分）1．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 2．直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3．设椭圆的参数方程为()πθθθ≤≤⎩⎨⎧==0sin cos b y a x ，()11,y x M ，()22,y x N 是椭圆上两点，M ，N 对应的参数为21,θθ且21x x <，则（ ）A ．21θθ<B ．21θθ>C ．21θθ≥D ．21θθ≤4．经过点M(1，5)且倾斜角为3π的直线，以定点M 到动 点P 的位移t 为参数 的参数方程是( )A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211B. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211C. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=t y t x 235211D. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 2352115．点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t y t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2 6．曲线1=xy 的参数方程是（ ）（A ）⎪⎩⎪⎨⎧==-.,2121t y t x （B ）⎩⎨⎧==.csc ,sin ααy x （C ）⎩⎨⎧==.sec ,cos ααy x （D ）tan ,cot .x y αα=⎧⎨=⎩ 7．参数方程()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=θθθsin 1212sin 2cos y x ()πθ20<<表示( )(A) 双曲线的一支，这支过点⎪⎭⎫⎝⎛211，(B) 抛物线的一部分，这部分过⎪⎭⎫⎝⎛211，(C) 双曲线的一支，这支过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-211，(D) 抛物线的一部分，这部分过⎪⎭⎫ ⎝⎛-211，8．如果实数,x y 满足等式22(2)3x y -+=，那么yx的最大值是（ ）A ．12B ．32C ．33D ．39．已知抛物线12-=x y 上一定点)0,1(-B 和两动点P 、Q ,当P 点在抛物线上运 动时,PQ BP ⊥,则点Q 的横坐标的取值范围是 ( )A. ]3,(--∞B. ),1[∞+C. [-3, -1]D. ),1[]3,(∞+--∞10．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A ．1(,2)2-B ．31(,)42- C ．(2,3) D ．(1,3)11．直线112()3332x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为（ ）A ．(3,3)-B ．(3,3)-C ．(3,3)-D ．(3,3)-12．直线2()1x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ）A ．98B ．1404 C ．82 D ．9343+二、填空题（每小题3分，共18分） 13．把参数方程{sin cos ()1sin 2x y θθθθ=+=+为参数化为普通方程为 。
高中数学选修4-4(人教A版)第二讲参数方程2.1知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：高中数学选修4-4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程一、知识清单参数方程二、知识讲解1.参数方程曲线的参数方程定义设平面上取定了一个直角坐标系，把坐标系，表示为第三个变量的函数如果对于的每一个值（），式所确定的点都是在一条曲线上；而这条曲线上的任一点，都可由的某个值通过式得到，则称式为该曲线的参数方程，其中变量称为参数．直线的参数方程直线的参数方程的一般形式是．圆的参数方程若圆心在点，半径为，则圆的参数方程为 ． 圆锥曲线的参数方程若椭圆的中心不在原点，而在点，相应的椭圆的参数方程为．抛物线的参数方程抛物线的参数方程为．双曲线的参数方程双曲线的参数方程为．摆线的参数方程一圆沿一直线作无滑动滚动式，圆周上的一定点的轨迹称为摆线．设半径为的圆在轴上滚动，开始时定点在原点处．取圆滚动时转过的角度（以弧度为单位）为参数．当圆滚过角时，圆心为，圆与轴的切点为，．所摆线的参数方程为．xOy x y t {a ≤t ≤b ．(2−3)x =f (t )y =g (t )t a ≤t ≤b (2−3)M (x ,y )M (x ,y )t (2−3)(2−3)t {t ∈R x =+lt x 0y =+mty 0(,)M 0x 0y 0R {0≤θ≤2πx =+R cos θx 0y =+R sin θy 0(,)M 0x 0y 0{0≤t ≤2πx =+a cos t x 0y =+b sin ty 0{x =2p t 2y =2pt{x =a sec θy =b tan θM a x M O t t B x A ∠ABM =t {x =a (t −sin t )y =a (1−cos t )下列方程中可以看成参数方程的是（ ）A． B． C．x −y −t =0+−2ax −9=0x 2y 2{=x 2t 2y =2t −1。
【同步练习】2020人教A版选修4-4课后练习本《双曲线的参数方程和抛物线的参数方程》含答案解析)
2020人教A 版选修4-4课后练习本： 双曲线的参数方程和抛物线的参数方程一、选择题1.方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t ＋e －t，y ＝e t －e －t(t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支 D ．双曲线下支2.已知点M(3，m)在以F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t(t 为参数)上，则|MF|=( )A ．1B ．2C ．3D ．43.已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R)，它们的交点坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫1，255 B ．(5,2) C ．(5，－2) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，454.已知过曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P 和原点O 的连线PO 的倾斜角为π4，则P 点的坐标是( ) A ．(3,4) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，125 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫322，22 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫125，1255.下列双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 23－x 29=1B.y 23－x 29=－1C.y 23－x 2=1D.y 23－x 2=－16.若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1(θ为参数)与直线x=m 相交于不同的两点，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0，1)D ．[0，1)7.点P(1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (参数t∈R)上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．28.P 为双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )A ．9x 2－16y 2=16(y≠0)B ．9x 2＋16y 2=16(y≠0)C ．9x 2－16y 2=1(y≠0)D ．9x 2＋16y 2=1(y≠0)二、填空题9.如果双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sec θ，y ＝6tan θ(θ为参数)上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的左焦点距离是________．10.双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec 2，y ＝tan 2的顶点坐标为________．11.设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．12.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)=－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．三、解答题13.过点A(1，0)的直线l 与抛物线y 2=8x 交于M ，N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．14.已知直线l过点A(1，0)，抛物线C的方程为y2=8x，若直线l与抛物线C交于M，N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．答案解析1.答案为：B ；解析：因为x 2－y 2=e 2t ＋2＋e －2t －(e 2t －2＋e －2t)=4，且x=e t ＋e －t ≥2e t ·e －t=2，所以表示双曲线的右支．2.答案为：D ；解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t得⎩⎪⎨⎪⎧t 2＝x 4，t ＝y4，∴y 216=x 4，即y 2=4x ，∴p=2，∴|MF|=3＋p 2=4.故选D ．3.答案为：A ；解析：由⎩⎨⎧x ＝ 5 cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)，得x 25＋y 2=1(y≥0)．由x=54t 2，y=t(t ∈R)得x=54y 2，∴5y 4＋16y 2－16=0，解得y 2=45或y 2=－4(舍去)．所以x=54y 2=1.又θ≥0，得交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，255.4.答案为：D ；解析：直线PO 的方程是y=x ，又点P 为曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ上一点，故3cos θ=4sin θ即tan θ=34，因为倾斜角为π4，0≤θ≤π，所以曲线与直线的交点在第一象限，故sin θ=35，cos θ=45，所以x=y=125.5.答案为：B ；解析：双曲线的普通方程为x 23－y 2=1，离心率为23=233，渐近线为y=±33x.B 中y 23－x 29=－1，即x 29－y 23=1.其离心率为233，渐近线为y=±33x ，故选B.6.答案为：D ；解析：将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1化为普通方程得(y ＋1) 2=－(x －1)(0≤x ≤1)．它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m<1.7.答案为：B ；解析：设Q(x ，y)为曲线上任一点，则d 2=|PQ|2=(x －1)2＋y 2=(t 2－1)2＋4t 2=(t 2＋1)2.由t 2≥0得d 2≥1，所以d min =1.8.答案为：A ；解析：由题意知a=4，b=3，可得c=5，故F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设P(4sec θ，3tan θ)，重心M(x ，y)，则x=－5＋5＋4sec θ3=43sec θ，y=0＋0＋3tan θ3=tan θ.从而有9x 2－16y 2=16(y≠0)．9.答案为：10或6；解析：由双曲线参数方程可知a=1，故P 到它左焦点的距离|PF|=10或|PF|=6. 10.答案为：(±3，0)；解析：由双曲线的参数方程知双曲线的顶点在x 轴，且a=3，故顶点坐标为(±3，0)．11.答案为：ρcos 2θ－sin θ=0；解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2化为普通方程为y=x 2，由于ρcos θ=x ，ρsin θ=y ， 所以化为极坐标方程为ρsin θ=ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ=0.12.答案为：(2，－4)；解析：曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y=－2，曲线C 2的普通方程为y 2=8x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2，y 2＝8x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4，所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)． 13.解：设抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)，可设M(8t 21，8t 1)，N(8t 22，8t 2)，则k MN =8t 2－8t 18t 22－8t 21=1t 1＋t 2. 又设MN 的中点为P(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 21＋8t 222，y ＝8t 1＋8t 22.所以kAP=4（t 1＋t 2）4（t 21＋t 22）－1. 由k MN =k AP 知t 1·t 2=－18，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4（t 21＋t 22），y ＝4（t 1＋t 2），则y 2=16(t 21＋t 22＋2t 1t 2)=16⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－14=4(x －1)．所以所求轨迹方程为y 2=4(x －1)．14.解：设抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)，可设M(8t 21，8t 1)，N(8t 22，8t 2)，则k MN =8t 2－8t 18t 22－8t 21=1t 1＋t 2. 又设MN 的中点为P(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 21＋8t 222，y ＝8t 1＋8t 22.所以k AP =4（t 1＋t 2）4（t 21＋t 22）－1. 由k MN =k AP 知t 1·t 2=－18，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4（t 21＋t 22），y ＝4（t 1＋t 2），则y 2=16(t 21＋t 22＋2t 1t 2)=16⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－14=4(x －1)．所以所求轨迹方程为y 2=4(x －1)．。
(压轴题)高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：22x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上的点到直线l ：230x y -+=的距离的最小值为（ ）A ．23B ．223C ．233D ．22．已知22451x y +=，则25x y +的最大值是（ ） A ．2 B ．1C ．3D ．93．在参数方程cos sin x a t y b t θθ=+⎧⎨=+⎩，(0θπ<，t 为参数)所表示的曲线上有,B C 两点，它们对应的参数值分别为1t ，2t ，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） A ．122t t - B ．122t t + C ．122t t - D ．122t t + 4．曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ．2D ．5．已知点()1,2A -，()2,0B ，P 为曲线2334y x =-上任意一点，则AP AB ⋅的取值范围为（ ） A ．[]1,7B ．[]1,7-C ．1,33⎡+⎣D ．1,323⎡-+⎣6．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()y 4t?x t t 为参数=⎧⎨=+⎩，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为=424πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则直线l 和曲线C 的公共点有 A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个7．已知抛物线的参数方程为2x 4t y 4t ⎧=⎨=⎩，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为( )A ．22B ．42C ．8D ．48．若曲线2sin301sin30x t y t =-︒⎧⎨=-+︒⎩（t 为参数）与曲线22ρ=相交于B ，C 两点，则BC 的值为（ ）A ．27B ．60C ．72D ．309．已知点(),P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且[),2θππ∈）上，则点P 到直线21x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的距离的取值范围是( )A ．3232,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．0tan 60x = C ．(2,22⎤⎦D ．:::2x r r q q q e αα==10．圆ρ=r 与圆ρ=-2rsin （θ+4π）（r ＞0）的公共弦所在直线的方程为（ ） A ．2ρ（sin θ+cos θ）=r B ．2ρ（sin θ+cos θ）=-rC ．2ρ（sin θ+cos θ）=rD ．2ρ（sin θ+cos θ）=-r 11．在极坐标系下，已知圆的方程为，则下列各点在圆上的是 （ ）A ．B ．C ．D ．12．极坐标cos ρθ=和参数方程12x ty t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(02)且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点．则α的取值范围为_________14．已知点B 在圆O ：2216x y +=上，()2,2,A OM OA OB =+，若存在点N 使得MN 为定长，则点N 的坐标是______． 15．直线1413x ty t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的斜率为______.16．点(),M x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2m x y =+的最大值为______17．设直线315:{45x tl y t=+=（t 为参数），曲线1cos :{sin x C y θθ==（θ为参数），直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则AB =__________.18．已知椭圆C 的方程为2212x y +=，若F 为C 的右焦点，B 为C 的上顶点，P 为C 上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF 的面积的最大值为__________． 19．曲线1C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=，曲线2C 的参数方程为31x ty t =-⎧⎨=-⎩，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点最近的距离为__________．20．设(,0)M p 是一定点，01p <<，点(,)A a b 是椭圆2214xy +=上距离M 最近的点，则()==a f p ________.三、解答题21．已知直线5:12x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求AB 的值．22．已知直线l的参数方程为12{2x ty ==(t 为参数)，曲线C 的参数方程为4cos {4sin x y θθ==(θ为参数)． (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程：1221x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴（取相同单位长度）建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为：2cos 0ρθ+=．（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求圆C 上的点到直线l 的距离的最小值，并求出此时点的坐标． 24．已知曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以直角坐标系的原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是：12cos sin 6θθρ+=（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程：（Ⅱ）点P 是曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值与最小值.25．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值. 26．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.（t 为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 30p ρθ-+=.（1）求l 的普通方程及C 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设曲线C上点的坐标为()2t ，利用点到直线的距离公式表示出距离，即可求出最小值. 【详解】设曲线C上点的坐标为()2t ， 则C 上的点到直线l的距离2233d===，即C 上的点到直线1． 故选：C. 【点睛】本题考查参数方程的应用，属于基础题.2．A解析：A 【分析】设1cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2cos sin 4x πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数有界性得到最值.【详解】22451x y +=，则设1cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，则2cos sin 4x πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当4πα=，即4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选：A 【点睛】本题考查了求最大值，利用参数方程1cos 25x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是解题的关键. 3．D解析：D 【解析】 【分析】根据参数的几何意义求解即可。
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课后训练1．当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( )．A ．(2,3)B ．(1,5)C ．π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(2,0) 2．将参数方程222sin ,sin x y θθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程为( )． A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)3．设曲线C 的参数方程为23cos ,13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 的距离为71010的点的个数为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．若P (2，－1)为圆O ：15cos ,5sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(0≤θ＜2π)的弦的中点，则该弦所在直线l 的方程是( )．A ．x －y －3＝0B ．x ＋2y ＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝05．圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r ＞0)，点M 在圆上，O 为原点，以∠MOx ＝φ为参数，那么圆的参数方程为( )．A ．cos sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=⎩ B ．1cos sin x r y r ϕϕ=(+)⎧⎨=⎩ C ．cos 1sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=(+)⎩ D ．1cos2sin2x r y r ϕϕ=(+)⎧⎨=⎩6．直线cos ,sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩(t 为参数)与圆42cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)相切，则θ＝__________. 7．两动直线3x ＋2y ＝6t 与3tx －2ty ＝6相交于点P ，若取t 为参数，则点P 的轨迹的参数方程为________．8．已知某条曲线C 的参数方程为212,x t y at =+⎧⎨=⎩(t 是参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上． (1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程． 9．已知弹道曲线的参数方程为2π2cos ,6π12sin ,62x t y t gt ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)(1)求炮弹从发射到落地所需的时间；(2)求炮弹在运动中达到的最大高度．10．设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求：(1)点P (x ＋y ，xy )的轨迹；(2)点Q (x (x ＋y )，y (x ＋y ))的轨迹．参考答案1. 答案：D解析：当2cos θ＝2，即cos θ＝1时，3sin θ＝0.2. 答案：C解析：转化为普通方程为y ＝x －2，但由于x ∈[2,3]，y ∈[0,1]，故普通方程为y ＝x －2(2≤x ≤3)．3. 答案：B解析：∵曲线C 的方程为23cos ,13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数)， ∴(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.而l 为x －3y ＋2＝0，∴圆心(2，－1)到l 的距离|232|7710101910d ++===+. 又∵710<310，1410>310，∴有2个点． 4. 答案：A解析：∵圆心O (1,0)，∴k PO ＝－1．∴k l ＝1．∴直线l 的方程为x －y －3＝0.5. 答案：D解析：如图，设圆心为O ′，连接O ′M .∵O ′为圆心，∴∠MO ′x ＝2φ.∴圆的参数方程为cos2,sin2.x r r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩ 6. 答案：π6或5π6解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，作出图形，相切时，易知倾斜角为π6或5π6. 7. 答案：221,312t x t t y t ⎧+=⎪⎪⎨(-)⎪=⎪⎩(t 为参数，t ≠0) 解析：两方程联立，得326,32 6.x y t tx ty +=⎧⎨-=⎩①②①×t ＋②，得21t x t +=；①×t －②，得2312t y t(-)=. ∴所求点P 的轨迹的参数方程为221,31.2t x t t y t ⎧+=⎪⎪⎨(-)⎪=⎪⎩(t 为参数，t ≠0) 8. 解：(1)由题意，可知2125,4,t at +=⎧⎨=⎩故2,1,t a =⎧⎨=⎩ 所以a ＝1．(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为212,.x t y t =+⎧⎨=⎩由第一个方程，得12x t -=，代入第二个方程，得212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 即(x －1)2＝4y .故曲线C 的普通方程为(x －1)2＝4y .9. 解：(1)令y ＝0,2π12sin =062t gt -，∴t 1＝0， 220.204t g=≈.即从发射到落地需0.204. (2)22π132sin6263g y t gt x x =-=-+，是开口向下的抛物线， ∴2max 330.05146y g ⎛⎫- ⎪⎝⎭=≈⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭． 即最大高度为0.051．10. 解：(1)设点M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点P (x ′，y ′)， 则cos sin ,cos sin ,x'y'θθθθ=+⎧⎨=⎩①② ①2－2×②，得x ′2－2y ′＝1，即21=2'2x'y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴所求点P 的轨迹为抛物线21=22x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的一部分1||2,||2x y ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭. (2)设M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q (x 1，y 1)，则()()2121cos cos sin cos cos sin ,sin cos sin sin cos sin ,x y θθθθθθθθθθθθ⎧=+=+⎪⎨=+=+⎪⎩ ∴112111sin2,11sin2sin 2.22x y x y θθθ+=+⎧⎪⎨=+⎪⎩将sin 2θ＝x1＋y1－1代入另一个方程，整理得2211111222 x y⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴所求点Q的轨迹是以11,22⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以22为半径的圆．。
第二课时双曲线、抛物线的参数方程-人教A版高中数学选修4-4优化练习
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：抛物线方程化为普通方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1， 所以|PF |为P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4.故选C. 答案：C2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t ＋e －t，y ＝e t－e －t (t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支D ．双曲线下支解析：∵x 2－y 2＝e 2t ＋2＋e －2t－(e 2t －2＋e－2t)＝4.且x ＝e t ＋e －t ≥2e t ·e －t ＝2.∴表示双曲线的右支． 答案：B3．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (其中，参数t ∈R)上的点的最短距离是( )A ．0B ．1 C. 2D ．2解析：方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t表示抛物线y 2＝4x 的参数方程，其中p ＝2，设点M (x ，y )是抛物线上任意一点，则点M (x ，y )到点P (1,0)的距离d ＝(x －1)2＋y 2＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|≥1，所以最短距离为1，选B.答案：B4．若曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，则曲线C 上的点的轨迹是( ) A ．直线x ＋2y －2＝0 B ．以(2,0)为端点的射线 C ．圆(x －1)2＋y 2＝1D ．以(2,0)和(0,1)为端点的线段解析：将曲线的参数方程化为普通方程得x ＋2y －2＝0(0≤x ≤2,0≤y ≤1)． 答案：D5．已知某条曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12⎝⎛⎭⎫a ＋1a ，y ＝12⎝⎛⎭⎫a －1a (其中a 是参数)，则该曲线是( )A ．线段B ．圆C ．双曲线D ．圆的一部分解析：将所给参数方程的两式平方后相减， 得x 2－y 2＝1.并且由|x |＝12⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥1，得x ≥1或x ≤－1， 从而易知结果． 答案：C6．已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋22·y sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝0(θ为参数)，则圆心的轨迹方程是________．解析：圆心轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2θ，y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θcos θ，y ＝－(sin θ＋cos θ).消去参数得： y 2＝1＋2x (－12≤x ≤12)．答案：y 2＝1＋2x (－12≤x ≤12)7．已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t(t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t 得y 2＝8x ，抛物线C 的焦点坐标为F (2,0)， 直线方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0. 因为直线y ＝x －2与圆(x －4)2＋y 2＝r 2相切， 由题意得r ＝|4－0－2|2＝ 2.答案： 28．曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a sec α，y ＝b tan α(α为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a tan β，y ＝b sec β(β为参数)的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＋e 2的最小值为________．解析：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec α，y ＝b tan α(α为参数)的离心率e 1＝a 2＋b 2a，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a tan β，y ＝b sec β(β为参数)的离心率e 2＝a 2＋b 2b ，∴e 1＋e 2＝a 2＋b 2(a ＋b )ab ≥22abab ＝2 2.当且仅当a ＝b 时取等号，所以最小值为2 2. 答案：2 29．已知抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p ＞0)上的点M ，N 对应的参数值为t 1，t 2，且t 1＋t 2＝0，t 1t 2＝－p 2，求M ，N 两点间的距离．解析：由题知M ，N 两点的坐标分别为(2pt 21，2pt 1)，(2pt 22，2pt 2)，所以|MN |＝ (2pt 21－2pt 22)2＋(2pt 1－2pt 2)2＝(2pt 1－2pt 2)2＝2p |t 1－t 2|＝2p (t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝4p 2.故M ，N 两点间的距离为4p 2.10.如图所示，O 是直角坐标系的原点，A ，B 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上异于顶点的两动点，且OA ⊥OB ，A ，B 在什么位置时△AOB 的面积最小？最小值是多少？解析：根据题意，设点A ，B 的坐标分别为A (2pt 21，2pt 1)，B (2pt 22，2pt 2)(t 1≠t 2，且t 1t 2≠0)，则|OA |＝ (2pt 21)2＋(2pt 1)2＝2p |t 1|t 21＋1， |OB |＝(2pt 22)2＋(2pt 2)2＝2p |t 2|t 22＋1.因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即2pt 21·2pt 22＋2pt 1·2pt 2＝0，所以t 1·t 2＝－1. 又因△AOB 的面积为： S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12·2p |t 1|t 21＋1·2p |t 2|t 22＋1 ＝2p 2|t 1t 2|(t 21＋1)(t 22＋1) ＝2p 2t 21＋t 22＋2＝2p 2t 21＋1t 21＋2≥2p 22＋2＝4p 2. 当且仅当t 21＝1t 21，即t 1＝1，t 2＝－1或t 1＝－1，t 2＝1时，等号成立． 所以A ，B 的坐标分别为(2p,2p )，(2p ，－2p )或(2p ，－2p )，(2p,2p )时，△AOB 的面积最小，最小值为4p 2.[B 组 能力提升]1．P 为双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )A ．9x 2－16y 2＝16(y ≠0)B ．9x 2＋16y 2＝16(y ≠0)C ．9x 2－16y 2＝1(y ≠0)D ．9x 2＋16y 2＝1(y ≠0)解析：由题意知a ＝4，b ＝3，可得c ＝5， 故F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设P (4sec θ，3tan θ)，重心M (x ，y )，则x ＝－5＋5＋4sec θ3＝43sec θ，y ＝0＋0＋3tan θ3＝tan θ.从而有9x 2－16y 2＝16 (y ≠0)． 答案：A2．参数方程⎩⎨⎧x ＝⎪⎪⎪⎪cos θ2＋sin θ2，y ＝12(1＋sin θ)(0＜θ＜2π)表示( )A ．双曲线的一支，这支过点⎝⎛⎭⎫1，12 B ．抛物线的一部分，这部分过点⎝⎛⎭⎫1，12 C ．双曲线的一支，这支过点⎝⎛⎭⎫－1，12 D ．抛物线的一部分，这部分过点⎝⎛⎭⎫－1，12解析：∵x 2＝(cos θ2＋sin θ2)2＝1＋sin θ＝2y ，∴方程x 2＝2y 表示抛物线．又∵x ＝⎪⎪⎪⎪cos θ2＋sin θ2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π4， 且0＜θ＜2π， ∴0≤x ≤ 2，故选B. 答案：B3．抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝t ，关于直线x ＋y －2＝0对称的曲线的焦点坐标是________．解析：抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 的普通方程为y 2＝x ，是以x 轴为对称轴，顶点在原点，开口向右的抛物线，当关于直线x ＋y －2＝0对称时，其顶点变为(2,2)，对称轴相应变为x ＝2，且开口方向向下，所以焦点变为⎝⎛⎭⎫2，2－14，即⎝⎛⎭⎫2，74.答案：⎝⎛⎭⎫2，74 4．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a ＞b ＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．解析：先将参数方程与极坐标方程化为普通方程，再根据直线过焦点、直线与圆相切建立关于椭圆方程中a ，b ，c 的等式，再结合a 2＝b 2＋c 2求得离心率．由已知可得椭圆标准方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m 可得ρsin θ＋ρcos θ＝m ，即直线的普通方程为x ＋y ＝m ，又圆的普通方程为x 2＋y 2＝b 2，不妨设直线l 经过椭圆C 的右焦点(c,0)，可得c ＝m .又因为直线l 与圆O 相切，所以|m |2＝b ，因此c ＝2b ，即c 2＝2(a 2－c 2)，整理，得c 2a 2＝23，故椭圆C 的离心率为e ＝63. 答案：635.如图，自双曲线x 2－y 2＝1上一动点Q 引直线l ：x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 中点P 的轨迹方程．解析：设点Q 的坐标为(sec φ，tan φ)，(φ为参数)． ∵QN ⊥l ，∴可设直线QN 的方程为x －y ＝λ.① 将点Q 的坐标代入①得：λ＝sec φ－tan φ. 所以线段QN 的方程为x －y ＝sec φ－tan φ.② 又直线l 的方程为x ＋y ＝2.③由②③解得点N 的横坐标x N ＝2＋sec φ－tan φ2.设线段QN 中点P 的坐标为(x ，y )， 则x ＝x N ＋x Q 2＝2＋3sec φ－tan φ4，④4×④－②得 3x ＋y －2＝2sec φ.⑤ 4×④－3×②得 x ＋3y －2＝2tan φ.⑥⑤2－⑥2化简即得所求的轨迹方程为 2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0.6．已知曲线C 的方程为⎩⎨⎧x ＝12(e t ＋e －t )cos θ，y ＝12(e t－e－t)sin θ.(1)当t 是非零常数，θ为参数时，C 是什么曲线？(2)当θ为不等于k π2(k ∈Z)的常数，t 为参数时，C 是什么曲线？(3)两曲线有何共同特征？解析：(1)将原参数方程记为①，将参数方程①化为⎩⎨⎧2xe t ＋e －t＝cos θ，2ye t－e－t＝sin θ.平方相加消去θ，得x 2⎝⎛⎭⎫e t ＋e －t 22＋y 2⎝⎛⎭⎫e t －e －t 22＝1.②因为(e t ＋e －t )2＞(e t －e －t )2＞0，故方程②的曲线为椭圆，即C 为椭圆．(2)将方程①化为⎩⎨⎧2xcos θ＝e t ＋e－t，2ysin θ＝e t－e－t.平方相减消去t ，得x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1.③所以方程③的曲线为双曲线，即C 为双曲线． (3)在方程②中⎝⎛⎭⎫e t＋e －t22－⎝⎛⎭⎫e t －e －t22＝1，则c ＝1，椭圆②的焦点坐标为(－1,0)，(1,0)，因此椭圆和双曲线有共同的焦点．。
最新整理高中数学人教A版选修4-4自我小测：第二讲二 圆锥曲线的参数方程 Word版含解析.doc
自我小测1．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的焦点坐标为( ) A ．(±5,0) B ．(±4,0)C ．(±3,0)D ．(0，±4)2．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)所表示的曲线必经过点( ) A ．(0,2) B ．(1,3)C ．(2,3)D ．(2,0)4．若抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的参数方程是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4t 2，y ＝－4t (t 为参数) B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4t 2，y ＝4t(t 为参数) C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8t 2，y ＝－8t (t 为参数) D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数) 5．当θ取一切实数时，连接A (4sin θ，6cos θ)和B (－4cos θ，6sin θ)两点的线段的中点的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．直线D ．线段6．若实数x ，y 满足3x 2＋4y 2＝12，则2x ＋3y 的最大值是________．7．以椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为焦点，以直线⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝4t(t 为参数)为渐近线的双曲线的参数方程是__________． 8．已知双曲线⎩⎨⎧x ＝3tan θ，y ＝sec θ(θ为参数)，则它的两条渐近线所成的锐角的度数是________．9．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点．(1)若椭圆C 上的点A ⎝⎛⎭⎫1，32到F 1，F 2的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设点P 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F 1P 的中点的轨迹的普通方程．10．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)． (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值．参考答案1．解析：将参数方程化为普通方程，得x 225＋y 29＝1.故焦点坐标为(±4,0)． 答案：B2．解析：抛物线方程化为普通方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1，所以|PF |为P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4.故选C.答案：C3．解析：把方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)消去参数化为普通方程为x 24＋y 29＝1， 显然方程表示的图象经过点(2,0)，故选D.答案：D4．解析：由于抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，故p ＝4，抛物线的标准方程为y 2＝8x (x ≥0)．根据x ≥0，故排除A ，C ；再根据y 2x＝8，排除B.故选D. 答案：D5． 解析：设线段AB 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式，得x ＝2sin θ－2cos θ，y ＝3cos θ＋3sin θ，即x 2＝sin θ－cos θ，y 3＝sin θ＋cos θ，两式平方相加，得x 24＋y 29＝2，即所求中点的轨迹是椭圆．答案：B6． 解析：因为实数x ，y 满足3x 2＋4y 2＝12，所以设x ＝2cos α，y ＝3sin α， 则2x ＋3y ＝4cos α＋3sin α＝5sin (α＋φ)，其中sin φ＝45，cos φ＝35. 当sin (α＋φ)＝1时，2x ＋3y 有最大值为5.答案：57． 解析：椭圆x 225＋y 216＝1的焦点坐标为(25－16，0)，(－25－16，0)， 即为(3,0)，(－3,0)，则双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)， 直线⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝4t (t 为参数)，即为直线y ＝22x ，所以b a＝2 2. 由题意得，c ＝3，a 2＋b 2＝32，所以a ＝1，b ＝2 2.故双曲线的标准方程为x 2－y 28＝1. 因为sec 2θ－tan 2θ＝1，所以双曲线的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝sec θ，y ＝22tan θ(θ为参数)． 答案：⎩⎨⎧ x ＝sec θ，y ＝22tan θ(θ为参数) 8． 解析：因为⎩⎨⎧ x ＝3tan θ，y ＝sec θ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝tan θ， ①y ＝sec θ， ②②2－①2得y 2－x 23＝1，其渐近线为y ＝±33x ，故两条渐近线所成的锐角的度数是60°. 答案：60°9．解：(1)由椭圆上点A 到F 1，F 2的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又点A ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上，因此14＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，得b 2＝3，于是c 2＝a 2－b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．(2)设椭圆C 上的动点P 的坐标为(2cos θ，3sin θ)，线段F 1P 的中点坐标为(x ，y )，则x ＝2cos θ－12，y ＝3sin θ＋02，所以x ＋12＝cos θ，2y 3＝sin θ.消去θ，得⎝⎛⎭⎫x ＋122＋4y 23＝1，故线段F 1P 的中点的轨迹的普通方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋4y 23＝1.10． 解：(1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：x 264＋y 29＝1. C 1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆．C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4,4)，设Q (8cos θ，3sin θ)， 故M ⎝⎛⎭⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ.C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|，其中φ为锐角，tan φ＝34.故d 的最小值为855.。
人教A版高中数学选修4-4同步练习双曲线的参数方程、抛物线的参数方程
2．4 双曲线的参数方程、抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程当以F 1，F 2所在的直线为x 轴，以线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，双曲线的普通方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．此时参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝□01a cos φ，y ＝□02b tan φ(φ为参数)．其中φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝□03b tan φ，y ＝□04a sec φ(φ为参数)．2．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝□052pt 2，y ＝□062pt(t ∈R )．(2)参数t 的几何意义是□07抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)双曲线x 29－y 216＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4sec φ，y ＝3tan φ(φ为参数)．( )(2)双曲线y 225－x 24＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2tan φ，y ＝5sec φ(φ为参数)．( )(3)y 2＝16x 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝16t 2，y ＝16t (t 为参数)．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ 2．做一做(1)双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的两焦点坐标是________．答案 (0，±43)(2)如果双曲线⎩⎨⎧x ＝sec θ，y ＝6tan θ(θ为参数)上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的左焦点距离是________．答案 10或6(3)过抛物线⎩⎨⎧y ＝2t ，x ＝t 2(t 为参数)的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6．则|AB |＝________．答案 8(4)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t (t 为参数)表示的曲线的焦距为________．答案 42探究1 双曲线的参数方程的应用例1 在双曲线x 2－y 2＝1上求一点P ，使P 到直线y ＝x 的距离为2． 解 本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题需要先求出双曲线的参数方程，设出P 点的坐标，建立方程求解．设P 的坐标为(sec φ，tan φ)，由P 到直线x －y ＝0的距离为2得|sec φ－tan φ|2＝2，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos φ－sin φcos φ＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|， 平方得1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)， 即5sin 2φ－2sin φ－3＝0． 解得sin φ＝1或sin φ＝－35． sin φ＝1时，cos φ＝0(舍去)． sin φ＝－35时，cos φ＝±45．∴P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，－34或⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，34．本例的求解充分利用了双曲线的参数方程．一般地，当与二次曲线上的动点有关时，可将动点用参数形式表示，从而将x ，y 都表示为某角θ的函数，运用三角知识求解，可大大减少运算量，收到事半功倍的效果．【跟踪训练1】 求证：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．证明 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，得两条渐近线的方程是bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0，设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)，它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2， 则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋(－a )2＝|a 2b 2(sec 2φ－tan 2φ)|a 2＋b 2＝a 2b 2a 2＋b 2(定值)．探究2 抛物线参数方程的应用例2 连接原点O 和抛物线2y ＝x 2上的动点M ，延长OM 到P 点，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线．解 设M (x ，y )为抛物线上的动点，P (x 0，y 0)在OM 的延长线上，且M 为线段OP 的中点，抛物线的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2t ，y ＝2t 2，由中点坐标公式得⎩⎨⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2，变形为y 0＝14x 20，即x 2＝4y ．表示的为抛物线．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数化为普通方程，如果动点轨迹与圆锥曲线有关，通常以圆锥曲线参数方程中的参数作为中间变量．【跟踪训练2】 已知抛物线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l ．过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________．答案 2解析 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，±6p ，F p 2，0，所以p 2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去)．探究3 圆锥曲线的参数方程的综合应用例3 如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线⎩⎨⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离．解 ∵双曲线的普通方程为x 216－y 29＝1， ∴右焦点(5，0)，右顶点(4，0)． 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ∴a ＝5，c ＝4，b ＝3． ∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1． 设椭圆上一点P (5cos θ，3sin θ)，双曲线一渐近线为3x －4y ＝0， ∴点P 到渐近线的距离d ＝|3×5cos θ－12sin θ|5＝3|41sin (θ－φ)|5⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝54．∴d max ＝3415．在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x ，y 表示成关于参数的函数)，然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．【跟踪训练3】 已知抛物线C ：⎩⎨⎧x ＝2t 2，y ＝2t (t 为参数)，设O 为坐标原点，点M 在抛物线C 上，且点M 的纵坐标为2，求点M 到抛物线焦点的距离．解 由⎩⎨⎧x ＝2t 2，y ＝2t 得y 2＝2x ，即抛物线的标准方程为y 2＝2x ．又∵M 点的纵坐标为2，∴M 点的横坐标也为2． 即M (2，2)．又∵抛物线的准线方程为x ＝－12．∴由抛物线的定义知|MF |＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2＋12＝52．即点M 到抛物线焦点的距离为52．1．双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数cot φ，sec φ，csc φ的意义分别为cot φ＝1tan φ，sec φ＝1cos φ，csc φ＝1sin φ．2．抛物线的参数方程⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，由于y x ＝1t ，因此t 的几何意义是抛物线的点(除顶点外)与抛物线的顶点连线的斜率的倒数．3．利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等．1．曲线⎩⎨⎧x ＝t 2－1，y ＝2t ＋1(t 为参数)的焦点坐标是( )A ．(1，0)B ．(0，1)C ．(－1，0)D ．(0，－1) 答案 B解析 将参数方程化为普通方程(y －1)2＝4(x ＋1)，该曲线为抛物线y 2＝4x 向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0，1)．2．方程⎩⎨⎧x ＝e t ＋e －t ，y ＝e t－e－t (t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支 D ．双曲线下支 答案 B解析 ∵x 2－y 2＝e 2t ＋2＋e －2t －(e 2t －2＋e －2t )＝4． x ＝e t ＋e －t ≥2e t ·e －t ＝2． ∴表示双曲线的右支．3．抛物线⎩⎨⎧x ＝2m ，y ＝－m 2(m 为参数)的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝1C ．y ＝－2D ．y ＝2 答案 B解析 由抛物线的参数方程，消去参数m ，得抛物线的普通方程为x 2＝－4y ，则p ＝2，p2＝1，故该抛物线的准线方程为y ＝1．4．将方程⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos2t1＋cos2t化为普通方程是________．答案 y ＝x 2解析 由y ＝1－cos2t 1＋cos2t＝2sin 2t2cos 2t ＝tan 2t ，将tan t ＝x 代入上式，得y ＝x 2，即为所求方程．A 级：基础巩固练一、选择题1．已知某条曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a (其中a 是参数)，则该曲线是( )A ．线段B ．圆C ．双曲线D ．圆的一部分 答案 C解析 将所给参数方程的两式平方后相减， 得x 2－y 2＝1．并且由|x |＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥1，得x ≥1或x ≤－1，从而易知结果． 2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2＋1t 2(t 为参数)所表示的曲线是( )A ．抛物线B ．一条直线C ．两条射线D ．两条曲线 答案 D解析 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2＝t 2＋2＋1t 2，故把参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2＋1t 2(t 为参数)消去参数，化为普通方程为x 2＝y ＋2(x ≥2或x ≤－2)表示两条曲线，故答案为D ．3．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎨⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 抛物线为y 2＝4x ，准线为x ＝－1，|PF |为P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4．4．过点M (2，4)且与抛物线⎩⎨⎧x ＝2t 2，y ＝4t (θ为参数)只有一个公共点的直线有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条 答案 C解析 由⎩⎨⎧x ＝2t 2，y ＝4t ，得y 2＝8x ，∴点M (2，4)在抛物线上．∴过点M (2，4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条．5．P 为双曲线⎩⎨⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )A ．9x 2－16y 2＝16(y ≠0)B ．9x 2＋16y 2＝16(y ≠0)C ．9x 2－16y 2＝1(y ≠0)D ．9x 2＋16y 2＝1(y ≠0) 答案 A解析 由题意知a ＝4，b ＝3，可得c ＝5， 故F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设P (4sec θ，3tan θ)，重心M (x ，y )，则x ＝－5＋5＋4sec θ3＝43sec θ，y ＝0＋0＋3tan θ3＝tan θ．从而有9x 2－16y 2＝16(y ≠0)．6．若曲线⎩⎨⎧x ＝2pt ，y ＝2pt 2(t 为参数)上异于原点的不同两点M 1，M 2所对应的参数分别是t 1，t 2(且t 1≠t 2)，则弦M 1M 2所在直线的斜率是( )A ．t 1＋t 2B ．t 1－t 2C ．1t 1＋t 2 D ．1t 1－t 2答案 A解析 设M 1(2pt 1，2pt 21)，M 2(2pt 2，2pt 22)，因为t 1≠t 2，所以kM 1M 2＝2pt 22－2pt 212pt 2－2pt 1＝2p (t 2＋t 1)(t 2－t 1)2p (t 2－t 1)＝t 2＋t 1．二、填空题7．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，且0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t 为参数，且t ∈R )，它们的交点坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，255 解析 两曲线的普通方程分别为x 25＋y 2＝1(y ≥0)，y 2＝45x (x ≥0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 2＝1，y 2＝45x ，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝255.8．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若点P 为直线ρcos θ－ρsin θ－4＝0上一点，点Q 为曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝14t 2(t 为参数)上一点，则|PQ |的最小值为________．答案322解析 由题可知，点P 在直线x －y －4＝0上，点Q 在曲线y ＝14x 2上．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，y ＝14x 2得x 2－4x －4b ＝0，由Δ＝0得b ＝－1．两直线x －y －4＝0，x －y－1＝0间的距离即为|PQ |的最小值，所以其最小值为|4－1|2＝322． 9．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ＝π4(ρ≥0)与曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52解析 射线θ＝π4(ρ≥0)的直角坐标方程为y ＝x (x ≥0)，曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t为参数)的普通方程为y ＝(x －2)2．联立方程组⎩⎨⎧y ＝x (x ≥0)，y ＝(x －2)2，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4.故线段AB 的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52．三、解答题10．已知抛物线⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p >0)上的点M ，N 对应的参数值为t 1，t 2，且t 1＋t 2＝0，t 1t 2＝－p 2，求M ，N 两点间的距离．解 由题知M ，N 两点的坐标分别为(2pt 21，2pt 1)，(2pt 22，2pt 2)， ∴|MN |＝(2pt 21－2pt 22)2＋(2pt 1－2pt 2)2＝(2pt 1－2pt 2)2＝2p |t 1－t 2| ＝2p (t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4p 2． 故M ，N 两点间的距离为4p 2．B 级：能力提升练1．已知抛物线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4t ，y ＝1－4t2(t 为参数)，则它在x 轴上截得的线段的长是多少？解 令y ＝0，得抛物线与x 轴的交点对应的参数t ＝±12．当t ＝12时，x ＝2；当t ＝－12时，x ＝－2．故抛物线与x 轴的交点坐标为(2，0)，(－2，0)， 所以它在x 轴上截得的线段的长为4．2．已知圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P ，Q 两点距离的最小值．解 设Q (sec θ，tan θ)，在△O 1QP 中，|O 1P |＝1，|O 1P |＋|PQ |≥|O 1Q |． 又|O 1Q |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4)＝2tan 2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3．当tan θ＝1，即θ＝π4时，|O 1Q |2取最小值3，此时有|O 1Q |min ＝3．∴|PQ |min ＝3－1．。
高中数学人教A版选修4-4第二章参数方程章末综合测评-含答案解析版
人教A 版选修4-4第二章参数方程章末综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列点不在直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22ty ＝2＋22t (t 为参数)上的是( )A ．(－1,2)B ．(2，－1)C ．(3，－2)D ．(－3,2)2．圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q (－2,23)是圆上一点，则对应的参数θ的值是( )A.π3B.23πC.43πD.53π 3．直线⎩⎨⎧x ＝3＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)的斜率为( )A ．2B ．－2 C.32D ．－324．已知O 为原点，当θ＝－π6时，参数方程⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝9sin θ(θ为参数)上的点为A ，则直线OA 的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π65．已知A (4sin θ，6cos θ)，B (－4cos θ，6sin θ)，当θ为一切实数时，线段AB 的中点轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线6．椭圆⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)的离心率是( )A.74B.73C.72D.757．已知圆M ：x 2＋y 2－2x －4y ＝10，则圆心M 到直线⎩⎨⎧x ＝4t ＋3，y ＝3t ＋1(t 为参数)的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．若直线⎩⎨⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B.π4或3π4 C.π3或2π3D ．－π6或－5π69．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θθ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．(2－2，1)B ．[2－2，2＋2]C ．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)D ．(2－2，2＋2)10．实数x ，y 满足3x 2＋2y 2＝6x ，则x 2＋y 2的最大值是( ) A ．2 B ．4 C.92 D ．511．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ2(θ为参数，0≤θ＜2π)所表示的曲线是( )A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12D ．抛物线的一部分，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 12．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2－t (t 为参数)，抛物线C 的方程y 2＝2x ，l 与C 交于P 1，P 2，则点A (0,2)到P 1，P 2两点距离之和是( )A ．4＋ 3B ．2(2＋3)C ．4(2＋3)D ．8＋ 3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．双曲线⎩⎨⎧x ＝tan φ，y ＝sec φ(φ是参数)的渐近线方程为________．14．在极坐标系中，直线过点(1,0)且与直线θ＝π3(ρ∈R )垂直，则直线极坐标方程为________．15．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．16．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m (m为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知圆O 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)．(1)求圆心和半径；(2)若圆O 上点M 对应的参数θ＝5π3，求点M 的坐标． 【解】 (1)由⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(0≤θ<2π)，平方得x 2＋y 2＝4， ∴圆心O (0,0)，半径r ＝2.(2)当θ＝5π3时，x ＝2cos θ＝1，y ＝2sin θ＝－3， ∴点M 的坐标为(1，－3)．18．(本小题满分12分)已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)．(1)将C 的方程化为普通方程；(2)若点P (x ，y )是曲线C 上的动点，求2x ＋y 的取值范围． 【解】 (1)由曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 3＝1即x 216＋y 29＝1.(2)2x ＋y ＝8cos φ＋3sin φ＝73sin(φ＋θ)， ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ由tan θ＝83确定， ∴2x ＋y ∈[－73，73]，∴2x ＋y 的取值范围是[－73，73]．19．(本小题满分12分)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 【解】 (1)由曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ得x 2＋y 2＝16，∴曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t代入x 2＋y 2＝16，整理，得t 2＋33t －9＝0. 设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，则 t 1＋t 2＝－33，t 1t 2＝－9.|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝37.20．(本小题满分12分)已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．【解】 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)， Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程； (2)若曲线C 与直线相交于不同的两点M ，N ，求|PM |＋|PN |的取值范围． 【解】 (1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，所以C ：x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入C ：x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，则有⎩⎨⎧Δ＝16(sin α＋cos α)2－16>0，t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1·t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又α∈[0，π)， 所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，t 1<0，t 2<0.而|PM |＋|PN |＝(4＋t 1cos α－4)2＋(2＋t 1sin α－2)2＋ (4＋t 2cos α－4)2＋(2＋t 2sin α－2)2＝|t 1|＋|t 2| ＝－t 1－t 2＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，所以|PM |＋|PN |的取值范围为(4,42]．22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝cos φy ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(a ＞b ＞0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；(2)设当α＝π4时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－π4时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．【解】(1)C1是圆，C2是椭圆．当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.当α＝π2时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和x29＋y2＝1.当α＝π4时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝22，与C2交点B1的横坐标为x′＝310 10.当α＝－π4时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．故四边形A1A2B2B1的面积为(2x′＋2x)(x′－x)2＝2 5.人教A版选修4-4第二章参数方程章末综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列点不在直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22ty ＝2＋22t (t 为参数)上的是( )A ．(－1,2)B ．(2，－1)C ．(3，－2)D ．(－3,2)【解析】 直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0， 因此点(－3,2)的坐标不适合方程x ＋y －1＝0. 【答案】 D2．圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q (－2,23)是圆上一点，则对应的参数θ的值是( )A.π3B.23πC.43πD.53π 【解析】 ∵点Q (－2,23)在圆上， ∴⎩⎨⎧－2＝4cos θ，23＝4sin θ且0≤θ<2π，∴θ＝23π. 【答案】 B3．直线⎩⎨⎧x ＝3＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)的斜率为( )A ．2B ．－2 C.32D ．－32【解析】 直线的普通方程为2x ＋y －8＝0， ∴斜率k ＝－2. 【答案】 B4．已知O 为原点，当θ＝－π6时，参数方程⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝9sin θ(θ为参数)上的点为A ，则直线OA 的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6【解析】 当θ＝－π6时，x ＝332，y ＝－92， ∴k OA ＝tan α＝yx ＝－3，且0≤α<π， 因此α＝2π3. 【答案】 C5．已知A (4sin θ，6cos θ)，B (－4cos θ，6sin θ)，当θ为一切实数时，线段AB 的中点轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【解析】 设线段AB 的中点为M (x ，y )， 则⎩⎨⎧ x ＝2sin θ－2cos θ，y ＝3sin θ＋3cos θ(θ为参数)， ∴⎩⎨⎧3x ＋2y ＝12sin θ，3x －2y ＝－12cos θ. ∴(3x ＋2y )2＋(3x －2y )2＝144， 整理得x 28＋y 218＝1，表示椭圆． 【答案】 C6．椭圆⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)的离心率是( )A.74 B.73 C.72D.75【解析】 椭圆⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ的标准方程为x 29＋y 216＝1，∴e ＝74.故选A.【答案】 A7．已知圆M ：x 2＋y 2－2x －4y ＝10，则圆心M 到直线⎩⎨⎧x ＝4t ＋3，y ＝3t ＋1(t 为参数)的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由题意易知圆的圆心M (1,2)，由直线的参数方程化为一般方程为3x －4y －5＝0，所以圆心到直线的距离为d ＝|3×1－4×2－5|32＋42＝2.【答案】 B8．若直线⎩⎨⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B.π4或3π4 C.π3或2π3D ．－π6或－5π6【解析】 直线的普通方程为y ＝tan α·x ，圆的普通方程为(x －4)2＋y 2＝4，由于直线与圆相切，则|4tan α|tan 2x ＋1＝2.∴tan α＝±33，∴α＝π6或5π6.故选A. 【答案】 A9．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θθ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．(2－2，1)B ．[2－2，2＋2]C ．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)D ．(2－2，2＋2)【解析】 由⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ消去θ，得(x －2)2＋y 2＝1.(*)将y ＝x －b 代入(*)，化简得2x 2－(4＋2b )x ＋b 2＋3＝0，依题意，Δ＝[－(4＋2b )]2－4×2(b 2＋3)>0，解得2－2<b <2＋ 2.【答案】 D10．实数x ，y 满足3x 2＋2y 2＝6x ，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．2B ．4 C.92 D ．5【解析】 由3x 2＋2y 2＝6x ，得3(x －1)2＋2y 2＝3，令x ＝1＋cos θ，y ＝62sin θ，代入x 2＋y 2，得x 2＋y 2＝(1＋cos θ)2＋32sin 2θ＝－12(cos θ－2)2＋92，∴当cos θ＝1时，(x 2＋y 2)max＝4.【答案】 B11．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋sin θy ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ2(θ为参数，0≤θ＜2π)所表示的曲线是( )A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 D ．抛物线的一部分，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 【解析】 由y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ2 ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ2＝1＋sin θ2， 可得sin θ＝2y －1，由x ＝1＋sin θ 得x 2－1＝sin θ，∴参数方程可化为普通方程x 2＝2y .又x ＝1＋sin θ∈[0，2]，故选D.【答案】 D12．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2－t(t 为参数)，抛物线C 的方程y 2＝2x ，l 与C 交于P 1，P 2，则点A (0,2)到P 1，P 2两点距离之和是( )A ．4＋ 3B ．2(2＋3)C ．4(2＋3)D ．8＋ 3 【解析】 将直线l 参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－32t ′y ＝2＋12t ′(t ′为参数)，代入y 2＝2x ，得t ′2＋4(2＋3)t ′＋16＝0，设其两根为t 1′、t 2′，则t 1′＋t 2′＝－4(2＋3)，t 1′t 2′＝16>0.由此知在l 上两点P 1，P 2都在A (0,2)的下方，则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2＋3)．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．双曲线⎩⎨⎧x ＝tan φ，y ＝sec φ(φ是参数)的渐近线方程为________． 【解析】 化参数方程为普通方程，得y 2－x 2＝1.故其渐近线为y ＝±x ，即x ±y ＝0.【答案】 x ±y ＝014．在极坐标系中，直线过点(1,0)且与直线θ＝π3(ρ∈R )垂直，则直线极坐标方程为________．【解析】 由题意可知在直角坐标系中，直线θ＝π3的斜率是3，所求直线是过点(1,0)，且斜率是－13，所以直线方程为y ＝－13(x －1)，化为极坐标方程ρsin θ＝－13(ρcos θ－1)，化简得2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1.【答案】 2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1或2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1或ρcos θ＋3ρsin θ＝1 15．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎨⎧ x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．【解析】 曲线⎩⎨⎧ x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2可化为y ＝(x －2)2，射线θ＝π4可化为y ＝x (x ≥0)，联立这两个方程得：x 2－5x ＋4＝0，点A ，B 的横坐标就是此方程的根，线段AB的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52 16．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．【解析】 由已知可得椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m 可得ρsin θ＋ρcos θ＝m ，即直线的普通方程为x ＋y ＝m .又圆的普通方程为x 2＋y 2＝b 2，不妨设直线l 经过椭圆C 的右焦点(c,0)，则得c ＝m .又因为直线l 与圆O 相切，所以|m |2＝b ，因此c ＝2b ，即c 2＝2(a 2－c 2)．整理，得c 2a 2＝23，故椭圆C 的离心率为e ＝63.【答案】 63。
高中数学新人教A版选修4-4 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程
由 kPA＝x－y 1，又 k MN＝xy11－－xy22＝y1＋8 y2＝4y， ∴x－y 1＝4y.∴y2＝4(x－1)． ∴线段 MN 的中点 P 的轨迹方程为 y2＝4(x－1)．
“应用创新演练”见“课时跟踪检测(十一)” (单击进入电子文档)
是________．
x＝tan t，
(2)将方程y＝11－ ＋ccooss
2t 2t
化为普通方程是________．
[思路点拨] (1)可先将方程化为普通方程求解； (2)利用代入法消去 t. [解析] (1)将yx＝＝62se3ctαan α， 化为3y62 －1x22＝1， 可知双曲线焦点在 y 轴上，且 c＝ 36＋12＝4 3， 故焦点坐标是(0，±4 3)． (2)由 y＝11－ ＋ccooss 22tt＝22csions22tt＝tan2t， 将 tan t＝x 代入上式，得 y＝x2 即为所求方程． [答案] (1)(0，±4 3) (2)y＝x2
二 圆锥曲线的参数方程
2～3.双曲线的参数方程 抛物线的参数方程
1．双曲线的参数方程 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线xa22－yb22＝1 的参数
方程是xy＝＝batsaenc
φ， φ，
规定参数 φ 的取值范围为[0,2π)且 φ≠π2，
φ≠32π.
(2)中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线ya22－bx22＝1 的参数 方程是yx＝＝absteacnφφ.，
人教A版选修4-4双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 跟踪练习及答案解析
双曲线的参数方程 抛物线的参数方程跟踪练习一、选择题1．曲线⎩⎨⎧x ＝t 2－1，y ＝2t ＋1(t 为参数)的焦点坐标是( )A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(0，－1)2．圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ是参数)的焦点坐标是( )A ．(－5,0)B ．(5,0)C ．(±5,0)D ．(0，±5)3．方程⎩⎨⎧x ＝e t＋e －t ，y ＝e t－e－t (t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支D ．双曲线下支4．点Μ0(0,2)到双曲线x 2－y 2＝1的最小距离(即双曲线上任一点Μ与点Μ0的距离的最小值)是( )A ．1B ．2 C. 3 D ．3二、填空题5．已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋22y ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝0(θ为参数)．则圆心的轨迹方程是________．6．双曲线⎩⎨⎧x ＝3tan θ，y ＝sec θ(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．7．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．三、解答题8．已知圆O1：x2＋(y－2)2＝1上一点P与双曲线x2－y2＝1上一点Q，求P，Q两点距离的最小值．9．已知双曲线方程为x2－y2＝1，Μ为双曲线上任意一点，点Μ到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．10．过点A(1,0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M，N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．双曲线的参数方程 抛物线的参数方程跟踪练习答案一、选择题1．曲线⎩⎨⎧x ＝t 2－1，y ＝2t ＋1(t 为参数)的焦点坐标是( )A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(0，－1)解析：选B 将参数方程化为普通方程(y －1)2＝4(x ＋1)， 该曲线为抛物线y 2＝4x 向左、向上各平移一个单位得到， 所以焦点为(0,1)．2．圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ是参数)的焦点坐标是( )A ．(－5,0)B ．(5,0)C ．(±5,0)D ．(0，±5)解析：选C 由⎩⎨⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)得 x 216－y 29＝1，∴它的焦点坐标为(±5,0)．3．方程⎩⎨⎧x ＝e t＋e －t ，y ＝e t－e－t (t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支D ．双曲线下支解析：选B ∵x 2－y 2＝e 2t ＋2＋e －2t －(e 2t －2＋e －2t )＝4. 且x ＝e t ＋e －t ≥2e t ·e －t ＝2. ∴表示双曲线的右支．4．点Μ0(0,2)到双曲线x 2－y 2＝1的最小距离(即双曲线上任一点Μ与点Μ0的距离的最小值)是( )A ．1B ．2 C. 3D ．3解析：选C ∵双曲线方程为x 2－y 2＝1，∴a ＝b ＝1. ∴双曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)．设双曲线上一动点为Μ(sec θ，tan θ)， 则||Μ0Μ2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2 ＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4) ＝2tan 2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3. 当tan θ＝1时，||Μ0Μ2取最小值3， 此时有||Μ0Μ＝ 3. 二、填空题5．已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋22y ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝0(θ为参数)．则圆心的轨迹方程是________．解析：圆心轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2θ，y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.即⎩⎨⎧x ＝sin θcos θ，y ＝－(sin θ＋cos θ).消去参数，得 y 2＝1＋2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12.答案：y 2＝1＋2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12 6．双曲线⎩⎨⎧x ＝3tan θ，y ＝sec θ(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．解析：将参数方程化为y 2－x 23＝1，此时a ＝1，b ＝3，设渐近线倾斜角为α，则tan α＝±13＝±33.∴α＝30°或150°. 答案：30°或150°7．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________． 解析：由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝ t (t 为参数)得y ＝x ，又由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)得x 2＋y 2＝2.由⎩⎨⎧ y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1,1)． 答案：(1,1) 三、解答题8．已知圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P ，Q 两点距离的最小值．解：由题意可知O 1(0,2)，∵Q 为双曲线x 2－y 2＝1上一点，设Q (sec θ，tan θ)， 在△O 1QP 中，|O 1P |＝1，|O 1P |＋|PQ |≥|O 1Q |. 又|O 1Q |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2 ＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4) ＝2tan 2θ－4tan θ＋5 ＝2(tan θ－1)2＋3.∴当tan θ＝1，即θ＝π4时，|O 1Q |2取最小值3，此时有|O 1Q |min ＝ 3.∴|PQ |min ＝3－1.9．已知双曲线方程为x 2－y 2＝1，Μ为双曲线上任意一点，点Μ到两条渐近线的距离分别为d 1和d 2，求证：d 1与d 2的乘积是常数．证明：设d 1为点Μ到渐近线y ＝x 的距离，d 2为点Μ到渐近线y ＝－x 的距离， 因为点Μ在双曲线x 2－y 2＝1上，则可设点Μ的坐标为(sec α，tan α)． d 1＝||sec α－tan α2，d 2＝||sec α＋tan α2，d 1d 2＝||sec 2α－tan 2α2＝12， 故d 1与d 2的乘积是常数．10．过点A (1,0)的直线l 与抛物线y 2＝8x 交于M ，N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．解：法一：设抛物线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)，可设M (8t 21，8t 1)，N (8t 22，8t 2)， 则k MN ＝8t 2－8t 18t 22－8t 21＝1t 1＋t 2. 又设MN 的中点为P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 21＋8t 222，y ＝8t 1＋8t 22.∴k AP ＝4(t 1＋t 2)4(t 21＋t 22)－1， 由k MN ＝k AP 知t 1t 2＝－18，又⎩⎨⎧x ＝4(t 21＋t 22)，y ＝4(t 1＋t 2)，则y 2＝16(t 21＋t 22＋2t 1t 2)＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－14＝4(x －1)． ∴所求轨迹方程为y 2＝4(x －1)．法二：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由M ，N 在抛物线y 2＝8x 上知⎩⎨⎧y 21＝8x 1，y 22＝8x 2， 两式相减得y 21－y 22＝8(x 1－x 2)，即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝8(x 1－x 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2.设线段MN 的中点为P (x ，y )，∴y 1＋y 2＝2y . 由k PA ＝y x －1，又k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝4y ，∴y x －1＝4y .∴y 2＝4(x －1)． ∴线段MN 的中点P 的轨迹方程为y 2＝4(x －1)．。
_学年高中数学课时跟踪检测(十一)双曲线的参数方程抛物线的参数方新人教A版选修4_4
课时跟踪检测(十一) 双曲线的参数方程 抛物线的参数方一、选择题1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2－1，y ＝2t ＋1(t 为参数)的焦点坐标是( )A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(0，－1)解析：选B 将参数方程化为普通方程(y －1)2＝4(x ＋1)， 该曲线为抛物线y 2＝4x 向左、向上各平移一个单位得到， 所以焦点为(0,1)． 2．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ是参数)的焦点坐标是( )A ．(－5,0)B ．(5,0)C ．(±5,0)D ．(0，±5)解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)得 x 216－y 29＝1，∴它的焦点坐标为(±5,0)．3．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t＋e －t，y ＝e t －e－t(t 为参数)的图形是( )A ．双曲线左支B ．双曲线右支C ．双曲线上支D ．双曲线下支解析：选B ∵x 2－y 2＝e 2t＋2＋e －2t－(e 2t －2＋e－2t)＝4.且x ＝e t＋e －t≥2e t ·e －t＝2. ∴表示双曲线的右支．4．点Μ0(0,2)到双曲线x 2－y 2＝1的最小距离(即双曲线上任一点Μ与点Μ0的距离的最小值)是( )A ．1B ．2 C. 3 D ．3解析：选C ∵双曲线方程为x 2－y 2＝1，∴a ＝b ＝1. ∴双曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)．设双曲线上一动点为Μ(sec θ，tan θ)， 则||Μ0Μ2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4) ＝2tan 2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3.当tan θ＝1时，||Μ0Μ2取最小值3，此时有||Μ0Μ＝ 3. 二、填空题5．已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋22y ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝0(θ为参数)．则圆心的轨迹方程是________．解析：圆心轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2θ，y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θcos θ，y ＝－θ＋cos θ消去参数，得y 2＝1＋2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12.答案：y 2＝1＋2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤126．双曲线⎩⎨⎧x ＝3tan θ，y ＝sec θ(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．解析：将参数方程化为y 2－x 23＝1，此时a ＝1，b ＝3，设渐近线倾斜角为α，则tan α＝±13＝±33. ∴α＝30°或150°. 答案：30°或150°7．(广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t(t为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝ t(t 为参数)得y ＝x ，又由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)得x 2＋y 2＝2.由⎩⎨⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1,1)． 答案：(1,1) 三、解答题8．已知圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P ，Q 两点距离的最小值．解：由题意可知O 1(0,2)，∵Q 为双曲线x 2－y 2＝1上一点，设Q (sec θ，tan θ)， 在△O 1QP 中，|O 1P |＝1，|O 1P |＋|PQ |≥|O 1Q |. 又|O 1Q |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4) ＝2tan 2θ－4tan θ＋5 ＝2(tan θ－1)2＋3.∴当tan θ＝1，即θ＝π4时，|O 1Q |2取最小值3，此时有|O 1Q |min ＝ 3.∴|PQ |min ＝3－1.9．已知双曲线方程为x 2－y 2＝1，Μ为双曲线上任意一点，点Μ到两条渐近线的距离分别为d 1和d 2，求证：d 1与d 2的乘积是常数．证明：设d 1为点Μ到渐近线y ＝x 的距离，d 2为点Μ到渐近线y ＝－x 的距离， 因为点Μ在双曲线x 2－y 2＝1上，则可设点Μ的坐标为(sec α，tan α)．d 1＝||sec α－tan α2，d 2＝||sec α＋tan α2，d 1d 2＝||sec 2α－tan 2α2＝12， 故d 1与d 2的乘积是常数．10．过点A (1,0)的直线l 与抛物线y 2＝8x 交于M ，N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．解：法一：设抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)，可设M (8t 21，8t 1)，N (8t 22，8t 2)，则k MN ＝8t 2－8t 18t 22－8t 21＝1t 1＋t 2. 又设MN 的中点为P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 21＋8t 222，y ＝8t 1＋8t22.∴k AP ＝t 1＋t 2t 21＋t 22－1，由k MN ＝k AP 知t 1t 2＝－18，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 21＋t 22，y ＝t 1＋t 2，则y 2＝16(t 21＋t 22＋2t 1t 2)＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－14＝4(x －1)．∴所求轨迹方程为y 2＝4(x －1)．法二：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由M ，N 在抛物线y 2＝8x 上知⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，两式相减得y 21－y 22＝8(x 1－x 2)，即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝8(x 1－x 2)， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2.设线段MN 的中点为P (x ，y )，∴y 1＋y 2＝2y . 由k PA ＝yx －1，又k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝4y ， ∴yx －1＝4y.∴y 2＝4(x －1)． ∴线段MN 的中点P 的轨迹方程为y 2＝4(x －1)．。
数学人教A版选修4-4课后导练 第二讲二圆锥曲线的参数
课后导练基础达标1.点P(x,y)在椭圆4)2(2-x +(y-1)2=1上,则x+y 的最大值是( )A.3+5B.5+5C.5D.3解析:由于点P(x,y)在椭圆4)2(2-x +(y-1)2=1上,有⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin 1,cos 22y x (φ为参数).∴x +y=3+2cosφ+sinφ.由三角函数性质知x+y 的最大值为3+5. 答案:A 2.参数方程⎩⎨⎧∙=+=θθθθcos sin ,cos sin y x (θ为参数)表示的曲线为( )解析:由x=sinθ+cosθ两边平方,得x 2=1+2sinθcosθ=1+2y. ∴y=21x 2-21, 且x=sinθ+cosθ=2sin(θ+4π)∈［2,2-］ 答案:C3.在椭圆42x +y 2=1上求一点P,使点P 到直线x-y+4=0的距离最小.解:∵点P 在椭圆42x +y 2=1上,可设P(2cosφ,sinφ),则有d=⇒-+=+-2sin cos 242|4sin cos 2|ϕϕϕϕd=2)sin(54θϕ--.当φ-θ=2π时,d 最小=21024254-=-. 这时P(51,54-).4.直线y=2x-21与曲线⎩⎨⎧==ϕϕ2cos ,sin y x (φ为参数)的交点坐标是____________. 解析:曲线方程消去参数得y=1-2x 2与y=2x-21联立得4x 2+4x-3=0. ∴x 1=21,x 2=23-. ∵-1≤x≤1,∴x=21,y=21. 答案:(21,21)5.曲线⎩⎨⎧==θθsin 32,cos 2y x (θ为参数)上一点到直线y=x-5的距离d 的最小值为( )A.225 B.229 C.22D.0 解析:d=2|5)3cos(4|2|5sin 32cos 2|-+=--πθθθ,∵-9≤4cos(θ+3π)-5≤-1, ∴d 的最小值为2221=. 答案:C6.设直线l:x+2y+1=0交椭圆C:4(x-1)2+9(y+2)2=36于A 、B 两点,在椭圆上求一点P,使△ABP 的面积最大.分析:因为A 、B 为两定点,AB 为定长,所以可将问题转化为在椭圆上求一点到直线的距离最大的问题.解:设椭圆C 上的点P(1+3cosθ,-2+2sinθ),由于定直线l 和定椭圆C 截得的弦长为定长,又设P 到直线l 的距离为d,则d=515|1)sin 22(2cos 31|=++-++θθ|5sin(θ+α)-2|,其中tanα=43.故当sin(θ+α)=-1,即θ=2kπ+23π-α,k ∈Z 时,d 有最大值,这时△ABP 的面积最大. ∵sinθ=sin(2kπ+23π-α)=-cosα=54-,cosθ=-sinα=53-,∴P(54-,518-)为所求.综合运用7.已知抛物线y 2=2px(p>0)上存在两点关于直线x+y-1=0对称,求p 的取值范围. 分析:利用抛物线的参数方程,设点A 、B 的坐标分别为(2px 12,2px 1),(2px 22,2px 2),又二者关于直线x+y-1=0对称,则可列出等价方程,建立p 的不等式.解:设抛物线上两点A 、B 的坐标分别为(2px 12、2px 1),(2px 22,2px 2)且关于直线x+y-1=0对称,则有⎪⎩⎪⎨⎧=--=+++.1)(2)(2,1)()(212212212221x x p x x p x x p x x p由第二个方程可得x 1+x 2=1,代入第一个方程得x 12+x 22=pp-1>0, 故0<p<1.又由)2(2212221x x x x +>+2,得pp -1>21, 即0<p<32为所求. 8.点P 在圆x 2+(y-2)2=41上移动,点Q 在椭圆x 2+4y 2=4上移动,求PQ 的最大值与最小值,及相应的点Q 的坐标.解:设Q(2cosα,sinα),O′(0,2),则O′Q 2=(2cosα)2+(sinα-2)2 =4cos 2α+sin 2α-4sinα+4=-3(sinα+32)2+8+34. 故当sinα=32-时,O′Q 2取最大值为328,O′Q=3212.当sinα=1,O′Q 2取最小值为1,O′Q=1. 又圆的半径为21, 故圆上的点P 与Q 的最大距离为PQ=21+3212, P 与Q 的最小距离为PQ=1-21=21.PQ 取最大值时,si nα=32-,cosα=±941-=±35,Q 的坐标为(32,352-)或(32,352--); PQ 取最小值时,sinα=1,cosα=0,点Q 的坐标为(0,1).9.(1)求椭圆2222by a x +=1的内接矩形的最大面积;(2)已知矩形ABCD 中,点C 坐标为(4,4),A 点在曲线x 2+y 2=9(x>0,y>0)上移动,且AB 、AD 两边始终分别平行于x 、y 坐标轴,求矩形ABCD 面积最小时点A 的坐标.解:(1)设内接矩形在第一象限内的顶点为P(acosθ,bsinθ),则有S 内接矩形=4S 矩形AOBP =4·acosθ·bsinθ=2absin2θ. ∵θ∈［0,2π］, ∴2θ∈［0,π］.∴S 内接矩形的最大值为2ab.(2)如图所示,设A(x,y),又设矩形ABCD 的面积为S,则有S=(4-x)(4-y)=16-4(x+y)+xy. ∵A(x,y)在曲线x 2+y 2=9上, ∴x 2+y 2=(x+y)2-2xy=9.∴xy=29)(2-+y x .∴S=16-4(x+y)+29)(2-+y x =21［(x+y)-4］2+27.又∵x=3cosθ,y=3sinθ(0<θ<2π), ∴x+y=3(cosθ+sinθ)=23sin(θ+4π). ∵4π<θ+4π<43π,∴3<x+y≤23. ∴当x+y=4时,S 有最小值.解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=±=⎪⎩⎪⎨⎧=-=∙=+.224,224,272916,4 y x y x y x 得 ∴A 点坐标为(224,224-+)或(224,224+-).拓展探究10.已知直线l 过坐标原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上,若点A(-1,0)、B(0,8)关于l 的对称点都在C 上,求直线l 和抛物线C 的方程.分析:本题的运算量较大,如果直接用普通方程来求解,其计算量会更大,同学们不妨一试. 解:设A 、B 关于直线l 的对称点分别为A 1、B 1,由对称性知∠A 1OB 1=∠AOB=90°,由抛物线的参数方程可设A 1(2pt 12,2pt 1)(t 1<0),B 1(2pt 22,2pt 2),又OA 1=OA=1,OB 1=OB=8,则有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.64)2()2(,1)2()2(2222221221pt pt pt pt两式相除得21412242t t tt ++=64.又∵211,111t k t k OB OA ==,OA 1⊥OB 1, ∴11O B O A k k ∙=-1,即t 1·t 2=-1. 则可将t 2=11t -代入上式,得t 16=641,t 1=-21.故有2p=554. ∴A 1(552,55-).∴251,2511+=-=t AA k k . 故所求直线l 的方程为y=251+x,抛物线C 的方程为y 2=554x.。
新人教A版选修4-4《抛物线的参数方程》习题及答案
高中数学 2.2.3抛物线的参数方程练习 新人教A 版选修4-4►预习梳理1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为________，准线方程是________； 抛物线x 2＝2y 的焦点坐标为________，准线方程是________． 2．曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，t ∈R)其中p 为正的常数．这是焦点在______________上的抛物线参数方程．►预习思考抛物线y 2＝x 的一个参数方程为____________________．, 预习梳理1．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 y ＝－18 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 y ＝－12 2．x 轴正半轴 预习思考⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t (t 为参数)一层练习1．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．1．(1，0)2．点P (1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数，t ∈R)上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2 2.B3．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt 2(t 为参数)上异于原点的不同两点M 1、M 2所对应的参数分别是t 1、t 2，则弦M 1M 2所在直线的斜率是( )A ．t 1＋t 2B ．t 1－t 2 C.1t 1＋t 2 D.1t 1－t 23.A4．在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C的参数方程分别为l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)和C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，则|AB |＝________． 4. 25．连接原点O 和抛物线x 2＝2y 上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求点P 的轨迹方程，并说明它是何种曲线．5．解析：设抛物线x 2＝2y 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t2(t 为参数)．∵点M 在抛物线上， ∴M 的坐标为(2t ，2t 2)．设P 的坐标为(x 0，y 0)，由|OM |＝|MP |知，M 为OP 的中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2.消去参数t ，得y 0＝14x 20，即点P 的轨迹方程是x 2＝4y ，表示的曲线为抛物线．二层练习6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)表示的曲线为( )6．C7．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)上两点A 、B 所对应的参数分别为t 1、t 2，且t 1＋t 2＝0，则|AB |为 ( )A ．|2p (t 1－t 2)|B ．2p (t 1－t 2)C ．2p (t 21＋t 22) D ．2p (t 1－t 2)27.A 8．设曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．8.ρcos 2θ－sin θ＝09．(2015·广东卷Ⅱ，数学文14)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t2y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．9．解析：曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝－2，曲线C 2的普通方程为y 2＝8x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2y 2＝8x 得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－4，所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)． 答案：(2，－4)10．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．10．16三层练习11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，试求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．11．解析：∵直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t .∴消去参数t 后得直线的普通方程为2x －y －2＝0.① 同理得曲线C 的普通方程为y 2＝2x .②①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1.12．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过顶点的两弦OA ⊥OB ，求分别以OA 、OB 为直径的两圆的另一交点Q 的轨迹．12．解析：设A (2pt 21，2pt 1)，B (2pt 22，2pt 2)，则以OA 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 21x －2pt 1y ＝0，以OB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 22x －2pt 2y ＝0，即t 1、t 2为方程2pxt2＋2pty －x 2－y 2＝0的两根．∴t 1t 2＝－x 2＋y 22px.又OA ⊥OB ，∴t 1t 2＝－1，x 2＋y 2－2px ＝0.∴另一交点Q 的轨迹是以(p ，0)为圆心，p 为半径的圆．13．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的顶点作两条互相垂直的弦OA 、OB (如下图)．(1)设OA 的斜率为k ，试用k 表示点A 、B 的坐标； (2)求弦AB 中点M 的轨迹过程．13．解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，解得x A ＝2p k 2，y A ＝2pk.以－1k代替上式中的k ，可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2px ， 得x B ＝2pk 2，y B ＝－2pk .∴A ⎝⎛⎭⎪⎫2p k 2，2p k ，B (2pk 2，－2pk )．(2)设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2，y ＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k ，消去参数k ，得y 2＝px －2p 2，此即为点M 轨迹的普通方程． 14．已知方程y 2－2x －6y sin θ－9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0. (1)证明：不论θ为何值，该抛物线顶点的轨迹方程一定为椭圆；(2)求抛物线在直线x ＝14上截得的弦长的取值范围，并求弦取得最值时相应的θ值． 14．(1)证明：将原方法配方得(y －3sin θ)2＝2(x －4cos θ)，曲线为抛物线，顶点为(4cos θ，3sin θ)，设顶点为Q (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，消去θ得x 216＋y 29＝1，所以该抛物线顶点的轨迹为椭圆．(2)解析：将x ＝14代入已知方程，得y 2－6y sin θ－9cos 2θ＋8cos θ－19＝0，得y＝3sin θ±28－8cos θ.因为－8≤8cos θ≤8，所以20≤28－8cos θ≤36.设抛物线在直线x ＝14上截得的弦长为l ，则l ＝|y 1－y 2|＝228－8cos θ，所以45≤l ≤12.当cosθ＝1时，即θ＝2k π(k ∈Z)，l min ＝45；当cos θ＝－1，即θ＝(2k ＋1)π(k ∈Z)时，l max ＝12.1．已知抛物线的标准方程，可转化为参数方程，也可由参数方程转化为普通方程． 2．在利用参数方程求焦点坐标、准线方程时，应先判断抛物线的对称轴及开口方向，在方程的转化过程中要注意参数的范围限制．3．抛物线的参数方程是一、二次函数形式，抛物线的图形分布和一、二次函数的值域相对应．【习题2.2】1．解析：因为2a ＝15565，2b ＝15443，所以a ＝7782.5，b ＝7721.5.所求的椭圆参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7782.5cos φ，y ＝7721.5sin φ(φ为参数)．2．证明：设M (a cos φ，b sin φ)，P (x P ，0)，Q (x Q ，0)．因为P ，Q 分别为B 1M ，B 2M 与x 轴的交点，所以kB 1P ＝kB 1M ，kB 2Q ＝kB 2M .由斜率公式并计算得x P ＝a cos φ1＋sin φ，x Q ＝a cos φ1－sin φ，所以|OP |·|OQ |＝|x P |·|x Q |＝|x P ·x Q |＝a 2(定值)．3．证明：设等轴双曲线的普通方程为x 2－y 2＝a 2(a >0)，则它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝a tan φ(φ为参数)，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos φ，a tan φ是双曲线上任意一点，则点M 到两渐近线y ＝x 及y ＝－x 的距离之积是⎪⎪⎪⎪⎪⎪a cos φ－a tan φ12＋12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a cos φ＋a tan φ12＋12＝|a2cos 2 φ－a 2tan φ|2＝a 22(常数)．4．证明：设点A ，B 的坐标分别为(2pt 21，2pt 1)，(2pt 22，2pt 2)，则点C 的坐标为(2pt 22，－2pt 2)．直线AB 的方程为y －2pt 1＝1t 1＋t 2(x －2pt 21)，所以点D 的坐标为(－2pt 1t 2，0)．直线AC 的方程为y －2pt 1＝1t 1－t 2(x －2pt 21)，所以E 的坐标为(2pt 1t 2，0)．因为DE 的中点为原点O (0，0)，所以抛物线的顶点O 平分线段DE .5．解析：直线OA 的方程为y ＝kx ，直线OB 的方程为y ＝－1k x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px 得点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 2，2p k ；解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2px得点B 的坐标是(2pk 2，－2pk )．设点M 的坐标为(x ，y )，则x ＝2pk2＋2pk 22＝p k 2＋pk 2，y ＝2pk －2pk2＝pk－pk ，所以线段AB 的中点M 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk2＋pk 2，y ＝p k －pk(k 为参数)．。
数学人教A版选修4-4课后导练 第二讲一曲线的参数方程
课后导练基础达标1.已知某条曲线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)1(21),1(21a a y a a x (其中a 是参数),则该曲线是( ) A.线段 B.圆 C.双曲线 D.圆的一部分解析:把a 表示出来,化简,得x 2-y 2=1且由|x|=21|a+a1|≥1知x≤-1或x≥1,易知结果. 答案:C2.已知某条曲线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=1,2322t y t x (0≤t≤5),则该曲线是( ) A.线段 B.圆弧C.双曲线的一支D.射线解析:消去t,得x-3y=5.又0≤t≤5,故-1≤y≤24.故曲线是线段.答案:A3.若曲线⎩⎨⎧=+=θθ2sin ,2cos 1y x (θ为参数),则点(x,y)的轨迹是( )A.直线x+2y-2=0B.以(2,0)为端点的射线C.圆(x-1)2+y 2=1D.以(2,0)和(0,1)为端点的线段解析:∵x=1+cos2θ=1+1-2sin 2θ=2-2y,且0≤x≤2,0≤y≤1,∴轨迹是以(2,0)和(0,1)为端点的线段.答案:D4.曲线C 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧++=++=54,3222t t y t t x (t ∈R ),则曲线C 的图象在( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:只需就其方程来判断横、纵坐标的符号即可.答案:A5.直线系方程为xcosφ+ysinφ=2,圆的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin 2,cos 2y x (φ为参数),则直线与圆的位置关系为( )A.相交不过圆心B.相交且经过圆心C.相切D.相离解析:圆的普通方程为x 2+y 2=4,圆心(0,0)到直线xcosφ+ysinφ-2=0的距离d=12=2,等于半径.故直线与圆相切.答案:C 6.点P(3,b)在曲线⎪⎩⎪⎨⎧--=+=12,12t y t x 上,则b=__________. 解析:3=2t +1,∴t=±2.∴y 1=-5=b,y 2=3=b.答案:3或-57.圆⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin 2,cos r r y r r x (θ为参数,r>0)的直径是4,则圆心坐标是____________. 解析:∵2r=4,∴r=2.∴圆心是(r,2r ),即(2,1). 答案:(2,1)8.动点(2-cosθ,cos2θ)的轨迹的普通方程是_____________.解析:设动点坐标为(x,y),得⎩⎨⎧=-=θθ2cos ,cos 2y x 消去θ,得y=2(2-x)2-1,即(2-x)2=21(y+1). 由于|y|≤cos2θ≤1,动点轨迹只是抛物线的一部分, 即(x-2)2=21(y+1)(1≤x≤3). 答案:y=2(x-2)2-1(1≤x≤3)9.已知实数x 、y 满足条件x 2+y 2-2x+4y=0,则x-2y 的取值范围是__________-.解析:由题意可知,(x,y)在圆x 2+y 2-2x+4y=0上移动.由数形结合思想,圆的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=θθsin 52,cos 51y x ∴x-2y=5+5(cosθ-2sinθ)=5+5sin(α-θ).答案:［0,10］10.求u=θθcos 1sin 2--的最小值.解:令P(cosθ,sinθ),Q(1,2),则知P 为x 2+y 2=1上任意一点.则u=θθcos 1sin 2--即是直线的斜率. 设过Q 与圆x 2+y 2=1相切的直线方程为y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0.∵圆心O 到切线PQ 的距离等于半径1, ∴21|2|k k +-=1.解之,得k=43. ∴u 的最小值为43. 综合运用11.已知实数x 、y 满足(x+1)2+(y-2)2=16,求3x+4y 的最值.解:由数形结合,利用参数方程来解.由题意知,设⎩⎨⎧+=+-=θθsin 42,cos 41y x 代入3x+4y=3(-1+4cosθ)+4(2+4sinθ)=20cos(θ+α)+5,于是3x+4y 的最大值为25,最小值为-15.12.参数方程⎩⎨⎧-=+=ϕϕϕϕsin 3cos 4,sin 4cos 3y x (φ为参数)的图形是___________. 解析:由方程知x 2=9cos 2φ+24sinφcosφ+16sin 2φ,y 2=16cos 2φ-24sinφcosφ+9sin 2φ.∴x 2+y 2=25.答案:圆13.已知点Q 是圆x 2+y 2=4上的动点,定点P(4,0),若点M 分所成的比为1∶2,求点M 的轨迹.解:设点Q(2cosθ,2sinθ),M(x,y),则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++=.211sin 2,2112cos 2θθy x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-.sin 223,cos 2223θθy x 消去θ得(23x-2)2+(23y)2=4, 即(x-34)2+y 2=916,故其轨迹为以点(34,0)为圆心,34为半径的圆. 拓展探究14.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c,且c=10,cosA ∶cosB=b ∶a=4∶3,P 为△ABC 的内切圆上的动点,求点P 到顶点A 、B 、C 的距离的平方和的最大值与最小值. 解:与三角函数中的正、余弦定理相联系.由cosA ∶cosB=b ∶a 得AB B A sin sin cos cos =. ∴sin2A=sin2B.∵a≠b,A≠B,故2A=2π-2B,即A+B=2π,由此知△ABC 为直角三角形. 又c=10,b ∶a=4∶3,a 2+b 2=c 2,得a=6,b=8.故其内切圆半径为r=2c b a -+=2. 以顶点C 为原点,CA 所成直线为x 轴,则相应内切圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=,sin 22,cos 22θθy x 则该圆上动点P 的坐标为(2+2cosθ,2+2sinθ).故PA 2+PB 2+PC 2=80-8cosθ.故所求的最大值与最小值分别为88、72.。
(必考题)高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于D 、E 两点，115,DF F E=2DF =2DF x ⊥轴.若点P 是圆22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）A ．[3,5]B ．[2,5]C ．[2,4]D ．[3,4]2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l的方程为4x y +=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值是（ ） ABC ．1D ．23．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心4．已知P 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）上一点，O 为原点，直线PO 的倾斜角为4π，则P 点的坐标是（ ） A ．(3,4)B．⎝ C ．(-3,-4)D ．1212,55⎛⎫⎪⎝⎭ 5．已知(,)P x y是椭圆sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，则点P到40x -=的距离的最大值为（ ） AB．2CD．26．直线4x 1t 5(t 3y 1t5⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为( )A ．15B ．710C ．75D ．577．已知抛物线的参数方程为2x 4t y 4t⎧=⎨=⎩，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为( )A ．22B ．42C ．8D ．48．已知直线l 的参数方程为3332112x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与圆2216x y +=相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标为（ ） A ．(3,3)-B ．(3,3)-C ．(3,3)-D ．33(,)-9．已知直线3:2x tl y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），抛物线C 的方程22,y x l =与C 交于12,P P ，则点()0,2A 到12,P P 两点距离之和是（ ）A ．43+B ．2(23)+C ．4(23)+D ．83+10．过()0,2P -，倾斜角为60︒的直线与曲线232y x x =-+交于A B 、两点，则PA PB ⋅= ( )A ．623+B ．16C ．8D ．623-11．直线1sin 70{2cos70x t y t =+=+(t 为参数)的倾斜角为 ( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°12．直线（为参数）被曲线截得的弦长是（ ）A ．B ．2C ．D ．2二、填空题13．直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A B ，分别在曲线13cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为______.14．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线参数方程为2x 4ty 4t (t =⎧=⎨⎩为参数)焦点为F ，直线l 的极坐标方程为π2ρsin θ4⎛⎫-= ⎪⎝⎭F 到直线l 的距离为______．15．在直角坐标系xOy 中，若直线:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆4cos :5sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的左顶点，则a =__________．16．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线1222x cos y sin αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）,相交于两点A 和 B ，则AB =__________．17．设P 、Q 分别为直线1,82x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数，t R ∈）和曲线1,:2x C y θθ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数，R θ∈）上的点，则PQ 的取值范围是______． 18．在极坐标系中，圆1C的方程为4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为1cos (1x a y asin θθθ=-+⎧⎨=-+⎩为参数），若圆1C 与圆2C 外切，则正数a = _________.19．内接于半径为R 的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为_____________20．在椭圆2211612x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小.则这个点的坐标为________三、解答题21．已知直线1l 过点()1,3M ，倾斜角是3π，直线2:sin cos 20l ρθρθ+-=. （1）写出直线1l 的参数方程；（2）直线1l 与直线2l 的交点为N ，求MN .22．已知直线5:12x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求AB 的值．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数） （1）将直线l 的参数方程化为极坐标方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.24．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x m y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（其中t 为参数，0)m >．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=，l 被C（1）求实数m 的值；（2）设l 与C 交于点A ，B ，若点P的坐标为(m ，求||||PA PB +的值．25．已知曲线2cos ,:2sin ,x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设曲线C 经过伸缩变换,12x x y y ='='⎧⎪⎨⎪⎩得到曲线C '，以直角坐标中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C '的极坐标方程；（2）若,A B 是曲线C '上的两个动点，且OA OB ⊥，求22|OA OB +的最小值．26．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【分析】由题意可得,D E 两点坐标，代入椭圆方程可求出椭圆的焦点，然后设()cos ,sin P θθ， 利用两点间的距离公式以及三角函数的性质可求出12PF PF ⋅的范围. 【详解】由题意可知，(D c，7,5E c ⎛- ⎝⎭，将,D E 代入椭圆方程得2222222222112492412525c c a b a c b a b ⎧⎧+=⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩， 所以()12,0F -，()22,0F ， 设()cos ,sin P θθ， 则12PF PF ⋅==，所以12PF PF ⋅的取值范围是[3,5]. 故选：A 【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化与化归的思想，同时考查了圆的参数方程以及三角函数的性质，属于中档题.2．B解析：B 【分析】设曲线C 上任意一点的坐标为),sin θθ，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式可得出曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值. 【详解】设曲线C 上任意一点的坐标为),sin θθ，所以，曲线C 上的一点到直线l的距离为d ==42sin πθ⎛⎫-+ ⎪=， 当()232k k Z ππθπ+=+∈时，d取最小值，且min d == B. 【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，解题时可将椭圆上的点用参数方程表示，利用三角恒等变换思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.3．D解析：D 【分析】分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】 圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)224x y ⇒+=直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--= 圆心到直线的距离为：925d r =<=相交 圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.4．D解析：D 【解析】 【分析】根据两点斜率公式求出点P 的参数θ即可求解. 【详解】设点P 的坐标为(3cos ,4sin )θθ. 由题意知3cos 4sin θθ=，∴3tan 4θ=，又0θπ， ∴3sin 5θ=，4cos 5θ=， ∴4123cos 355x θ==⨯=，3124sin 455y θ==⨯=， ∴点P 的坐标为1212,55⎛⎫⎪⎝⎭.故选D. 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，直线的倾斜角.5．A解析：A【分析】设点,sin )P αα，求得点P到直线的距离为d =数的性质，即可求解. 【详解】由题意，点(),P x y是椭圆x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，设点,sin )P αα，则点P到直线40x -=的距离为d ==当cos()14πα+=-时，距离dA. 【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程的应用，以及点到直线的距离公式和三角函数的性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的参数方程，设点,sin )P αα，再利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6．C解析：C 【解析】 【详解】分析：先把参数方程和极坐标方程化为普通方程，并求出圆心到直线的距离d ，再利用关系：l =l ．详解：直线415(t 315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)化为普通方程：直线3410x y ++= ． ∵曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，展开为2cos sin cos sin ρθθρρθρθ=-∴=-，， 化为普通方程为22x y x y +=- ，即22111()()222x y -++＝， ∴圆心11()22C r -，，圆心C到直线距离110d == ， ∴直线被圆所截的弦长75l =． 故选C ．点睛：本题考查直线被圆截得弦长的求法，正确运用弦长l 、圆心到直线的距离、半径r 三者的关系：l =是解题的关键．7．C解析：C 【解析】分析：先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y ，根据韦达定理求得12x x +的值，进而根据抛物线的定义可知1222p p AB x x =+++， 求得答案． 详解：抛物线的参数方程为24t 4x y t⎧=⎨=⎩，普通方程为24y x = ，抛物线焦点为10（，） ，且直线l 斜率为1，则直线方程为1y x =- ，代入抛物线方程24y x =得2610x x -+=，设112212,6Ax y B x y x x ∴+=（，），（，） 根据抛物线的定义可知|121262822p pAB x x x x p =+++=++=+=，， 故选：C ．点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质．对学生基础知识的综合考查．关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得|AB|值，从而解决问题．8．C解析：C 【解析】分析：将直线l 的参数方程化为普通方程，与圆方程联立，由韦达定理结合中点坐标公式可得结果.详解：直线112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），即x =-， 代入圆2216x y +=化简可得y y -+=2680，126y y ∴+=，即AB 的中点的纵坐标为3，AB ∴的中点的横坐标为=故AB的中点的坐标为()，故选C.点睛：本题主要考查参数方程化为普通方程，以及直线与圆的位置关系，属于中档题. 消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法.9．C解析：C 【分析】先写出直线的标准参数方程，再代入y 2＝2x ，利用直线参数方程t 的几何求解. 【详解】将直线l参数方程化为122x y t ''⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t′为参数)，代入y 2＝2x ，得t′2＋4(2＋16＝0，设其两根为t 1′，t 2′，则t 1′＋t 2′＝－4(2， t 1′t 2′＝16>0.由此知在l 上两点P 1，P 2都在A(0，2)的下方， 则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2． 故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查直线的参数方程和t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 过定点()00,P x y 、倾斜角为α的直线的参数方程00x x tcos y y tsin αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.当动点A 在定点()00,P x y 上方时,0,||t t PA >=且. 当动点B 在定点()00,P x y 下方时,0,|t t PB =-且.(3)解答本题不能直接把参数方程代入圆的方程，一定要化成标准形式，才能利用参数方程t 的几何意义解答.10．B解析：B 【解析】设直线参数方程12,()22x t t y 为参数⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入曲线，得2122(3160,16,t t t t -+==由参数t 的几何意义可知，PA PB ⋅1216t t ==．选B.【点睛】对于过定点P 且知道倾斜角（或斜率）的直线，与曲线交于两点A,B,求22,,PB PA PB PA PB PA +⋅+等式子的值时，我们常设直线的参数方程，再利用参数t 的几何意义解题．11．B解析：B 【解析】 由题设可知02cos70sin 20tan 201sin 70cos 20y k x -====-，故依据直线的斜率与与倾斜角之间的关系可知该直线的倾斜角为020α=，应选答案B 。
新课标人教版高中数学选修4-4第二讲第二节双曲线与抛物线的参数方程练习题2
帰时訓练10 珥曲绻与抠物缉的赛数方穩1■■ '- 4- -. *■ 1D.抛物线的一部分、这部分过点(-141». ti 知勵纯的壽?敕方榨沖『 “ \t 为壽#O,点A.B 虑曲纯匕时应的翕数分團为“和乩若巧十1円搭 亦=0*则帆El 零于C >&2扒气一岭〉B. 2^<^+tz)二"填空题⑴2+临1抄如为曇數)的渐近线的方耦为____________ .y "■ &ec <p +8. _____________________________________________ 抛物线疋一罕的顶点敕迹的普遹方程为__________________________________________________________ ・R. . - , , . 5 , , ■朿小■1| J ■■ ― V r ,JF1峙—»木 _________________________________ <r 为雾数川>0片则曲线C 的普通方程为 _____________________________ ・HE 设M 为拋物线工上的动点*结定点M s (-l t 0),点F 分的比为2 T’卿点尸的轨迹方 程基 *一“选择题4嬴E 怡甦蠶数)的像点坐标是(®帚3饰n 0扎(-5*0)監已知某条曲线的藝数方理为B. <5.0)L=^(a+-i), '1 / 1 \C.a 是裁数儿则该曲纯A.銭段Ia 双曲线为参数)的两然点坐标遷( t=5sec aA*【0,—4庙〉8 fe武；七：- ■ ' * -1/ -'，二u®W )*(o ，Q氏圆U 双曲純BM —必 屈 0)D.W;TW ；4.点F(bO)到曲线严T t 参数坨田上的点的最短距离为( =2; /：■■-A.0B.1.…. ^ ..-9亠十a cos y+sm@为参数，且0<tf<2K )«示( )尸評】+血冊■，' •弘■'. ■ . . '■^ 打 .1•J■..■ 「” ■ T. ”" ''■ >i-,1- g >A. 抛物线的一部分，这部分过点(l.y)1Ai S *. J 8 4J' " ' : "P - ■,「：. ..'* -B, 取曲銭的一支•这支过点(嗨)“——"bf)U 双曲线的一支，谊支过点>■1C, 2小一奇工双曲线 ，已知曲鰻C 的蠢数方程为三、解答题口设M为抛物线= 上的动点.定点M( —1沱片点P为线段M“M的币点，求点P的轨迹方程.12.已知圆O1 ’云+6 —2尸弓1上〜点P •与双曲线护一y = 1上一点Q,求F,Q两点距离的最小值*13.如图，址P为筹轴双曲线才一b = l上的一点，耳，F,是两个焦点，* r1:'圧明訂尸鬥I • \PF i\^\OP\\ ,厂，-参考答案：•,…• I丰 7 -■ ■;"课时训练e 双曲钱与抛物线的参数方程一*选探题*#_ ¥；'小.品出/⑴为秦#o,3tan 8：・00惟曲践是中心在廉点，洪轴在足轴上的取曲一'•-j IB.'i线皿=4/士 3.丄=,.・•.:■;■■ W ::::・;-..:、:Ac J=!a :1 + 6e ~25*i ・'・「=5・ 二它苗氷点坐标曲(士队0人■卜■r.• ■*■；(“十寺卜 > =■ ■-. . •两真枷加得工+』・"，®cos 2 务十昂讨-|'T F2CQ 3 y-sin 1 + sin ff t斗申'i ' a ■iti d-*k 、：,卓亠? ..j ・・； J] f T"1_•■■ •「・y -三F#且x>0.»表示抛杨线的J 邯分.bC 僅申由JT 严2曲丰苍=2pf 訂 ’• L ___JA JT , — J ；2—2p<(；—+^)((] —E J=-Q 则有 i AB|f |凶一”X V y r = 2^1* t T yi•启―■*I —2, h ; !|J V S ；{3. A 4, B 5. A 解析：lan a=^—seej2^3 6 ：,iij sec 1 or —： n ；得若— —h —6£<2^>! ' 36 12 * i "I W . i .AAA y 轴上，且』=□"+卅=48$■易痔戒曲践的駄点坐标是(0.-473),(0M#),r. _ 2 ■>^r 1 ■；f ：. ■.. Us --解析疽B=a —m+y =(严一M+*严=広十1尸a H- !，- ..■■■- .i「 ；丁疋R 匸逛.二1 J解析；苗養数汙程密JC'= !：■• i-r ■ 4 r ? • / -*. J :- S ,-二*填空题 ；'it ： ■ ■厂：「G ■/丁」—士*（工一21解箭’艰曲裁,的歌数才祂花为普通芳1 ' - II芒；；、"程菊b 一竺产=4取塾线的中占在段小几鶯点在 直线 X = 2 ±,<a=l f 6*-3f咒漸近議去段初=士专9一2匚 -;解析：拠畅蛭曲程可化为丿（比一+）；■ .■ /.'-> 上’：'■■/'；<：-7二其顶点弟（+，-*） d© MQ ：心）寿册求轨逵上（ 1 •;仃■姜旷得卅（上梓Oh9. +6 t# 析：国论 J ：所必 卅+ g = E 十丄=寻*E u I ・fet 曲歧C 时普通污程为3工*一，十或土①f1軌"=可工+不，解柝；血囲*母M （2iS2O J J Cx^>,V 点P 分M a M 的比为 2 < U」•FR2 " 3 .4消去参it 冇得，■百方粒三JMf ,、； 、 （. ■ ^ ;用11■解:设点 M （竝■ $•人壶F （』■$）■令 恥=则 竝=・. - B¥=2凡得抛勵减的舉數方輕为 $'列‘"为參 2 L 严如J 1 ■|r B - E■［亠 卡 」 I事 r ； •:, A如，即动点JVf （2i\2d,定点 H （-1JO ）\曲申甜 童■卜=寺（-1+2产），—_JL 十儿 标公却彳 印f2十八仃为(W十口七T 一一 Z1十20+2X2(工十g A ■ -4,和为卩松的轨徒…”■-T：U=X家数）是F点妁轨迹的泰數才萩•其化为普通方軽痈, i _T r<i.I I " 「二］—I " . +、：i .衬=H+豆. —，£*. =■■'・• * •@解：设Q（沁佻Urn £?）t A RtAOiQP 中・|0屮| =1, IOP| + |PQ"|QQ|「「' ^ X IO|Q|r ==1sec I（?+,（tan ' ■--:-,=Ktan:&+1）4-（tan1 ff— 4tan。
2020年高中数学人教A版选修4-4课时跟踪检测 参数方程的概念(含答案解析)
(x-acos θ)2＋(y-bsin θ)2=a2cos2θ＋b2sin2θ.
x＝acos θ，
∴
(θ为参数)．
y＝bsin θ
这就是所求的轨迹方程．
12.解：设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ=θ，
由 PQ⊥OA，PB∥OA，得
x=OD=OQcos θ=OAcos2θ=2acos2θ，
程．
12.如图所示，OA 是圆 C 的直径，且 OA=2a，射线 OB 与圆交于 Q 点，和经过 A 点的切线交于 B 点，作 PQ⊥OA，PB∥OA，试求点 P 的轨迹方程．
第2页共6页
13.试确定过 M(0,1)作椭圆 x2＋y2=1 的弦的中点的轨迹方程． 4
x＝3t，
14.已知曲线 C 的参数方程是
为( )
x＝acos φ， A.
y＝asin φ
x＝a 1＋cos φ ， B.
y＝asin φ
x＝acos φ， C.
y＝a 1＋sin φ
x＝a 1＋cos 2φ ， D.
y＝asin 2φ
6.由方程 x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4=0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )
x＝2t， A.
y＝t
x＝－2t，
x＝2t，
B.
C.
y＝t
y＝－t
x＝－2t， D.
y＝－t
二、填空题
x＝2sin θ＋1，
7.已知曲线
(θ为参数，0≤θ＜2π)．
y＝sin θ＋3
下列各点：A(1,3)，B(2,2)，C(-3,5)，其中在曲线上的点是________．
8.动点 M 作匀速直线运动，它在 x 轴和 y 轴方向的分速度分别为 9 和 12，运动开始时，点 M 位 于 A(1,1)，则点 M 的参数方程为________________________．
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双曲线的参数方程抛物线的参数方程
跟踪练习
一、选择题
1．曲线Error!(t为参数)的焦点坐标是( )
A．(1,0) B．(0,1)
C．(－1,0) D．(0，－1)
2．圆锥曲线Error!(θ是参数)的焦点坐标是( )
A．(－5,0) B．(5,0)
C．(±5,0) D．(0，±5)
3．方程Error!(t为参数)的图形是( )
A．双曲线左支B．双曲线右支
C．双曲线上支D．双曲线下支
4．点Μ0(0,2)到双曲线x2－y2＝1的最小距离(即双曲线上任一点Μ与点Μ0的距离的最小值)是( )
A．1 B．2 C.D．3
3
二、填空题
5．已知动圆方程x2＋y2－x sin 2θ＋2y·sin＝0(θ为参数)．则圆心的轨迹方程
2(θ＋π4)
是________．
6．双曲线Error!(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．
7．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为Error!(t为参数)和Error!(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
三、解答题
8．已知圆O1：x2＋(y－2)2＝1上一点P与双曲线x2－y2＝1上一点Q，求P，Q两点距离的最小值．
9．已知双曲线方程为x2－y2＝1，Μ为双曲线上任意一点，点Μ到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．
10．过点A(1,0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M，N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．
双曲线的参数方程抛物线的参数方程
跟踪练习答案
一、选择题
1．曲线Error!(t 为参数)的焦点坐标是( )
A ．(1,0)
B ．(0,1)
C ．(－1,0)
D ．(0，－1)
解析：选B 将参数方程化为普通方程(y －1)2＝4(x ＋1)，
该曲线为抛物线y 2＝4x 向左、向上各平移一个单位得到，
所以焦点为(0,1)．
2．圆锥曲线Error!(θ是参数)的焦点坐标是( )
A ．(－5,0)
B ．(5,0)
C ．(±5,0)
D ．(0，±5)
解析：选C 由Error!(θ为参数)得 －＝1，x 216y 29
∴它的焦点坐标为(±5,0)．
3．方程Error!(t 为参数)的图形是( )
A ．双曲线左支
B ．双曲线右支
C ．双曲线上支
D ．双曲线下支
解析：选B ∵x 2－y 2＝e 2t ＋2＋e －2t －(e 2t －2＋e －2t )＝4.
且x ＝e t ＋e －t ≥2＝2.
e t ·e －t ∴表示双曲线的右支．
4．点Μ0(0,2)到双曲线x 2－y 2＝1的最小距离(即双曲线上任一点Μ与点Μ0的距离的最小值)是( )
A ．1
B ．2 C. D ．3
3解析：选C ∵双曲线方程为x 2－y 2＝1，∴a ＝b ＝1.
∴双曲线的参数方程为Error!(θ为参数)．
设双曲线上一动点为Μ(sec θ，tan θ)，
则2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2
|Μ0Μ|＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4)
＝2tan 2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3.
当tan θ＝1时，2取最小值3，
|Μ0Μ|此时有＝
.
|Μ0Μ|3二、填空题
5．已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋2
y ·sin ＝0(θ为参数)．则圆心的轨迹方程2(θ＋π4)是________．
解析：圆心轨迹的参数方程为Error!
即Error!消去参数，得
y 2＝1＋2x .(－12≤x ≤12)
答案：y 2＝1＋2x (－12≤x ≤12)
6．双曲线Error!(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．
解析：将参数方程化为y 2－＝1，x 23
此时a ＝1，b ＝，
3设渐近线倾斜角为α，则tan α＝±
＝±.1
333∴α＝30°或150°.
答案：30°或150°
7．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为Error!(t 为参数)和Error!(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．
解析：由Error!(t 为参数)得y ＝，
x 又由Error!(θ为参数)得x 2＋y 2＝2.
由Error!得Error!
即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
三、解答题
8．已知圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P ，Q 两点距离的最小值．
解：由题意可知O 1(0,2)，∵Q 为双曲线x 2－y 2＝1上一点，设Q (sec θ，tan θ)，在△O 1QP 中，|O 1P |＝1，|O 1P |＋|PQ |≥|O 1Q |.
又|O 1Q |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2
＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4)
＝2tan 2θ－4tan θ＋5
＝2(tan θ－1)2＋3.
∴当tan θ＝1，即θ＝时，|O 1Q |2取最小值3，此时有|O 1Q |min ＝.
π4
3∴|PQ |min ＝－1.39．已知双曲线方程为x 2－y 2＝1，Μ为双曲线上任意一点，点Μ到两条渐近线的距离分别为d 1和d 2，求证：d 1与d 2的乘积是常数．
证明：设d 1为点Μ到渐近线y ＝x 的距离，d 2为点Μ到渐近线y ＝－x 的距离，因为点Μ在双曲线x 2－y 2＝1上，则可设点Μ的坐标为(sec α，tan α)．d 1＝，d 2＝，|sec α－tan α|
2
|sec α＋tan α|2d 1d 2＝＝，|sec 2α－tan 2α|212
故d 1与d 2的乘积是常数．
10．过点A (1,0)的直线l 与抛物线y 2＝8x 交于M ，N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．
解：法一：设抛物线的参数方程为Error!(t 为参数)，可设M (8t ，8t 1)，N (8t ，8t 2
)，212则k MN ＝＝.8t 2－8t 18t 2－8t 2
11t 1＋t 2又设MN 的中点为P (x ，y )，
则Error!∴k AP ＝，4(t 1＋t 2)
4(t 21＋t 2)－1
由k MN ＝k AP 知t 1t 2＝－，又Error!18
则y 2＝16(t ＋t ＋2t 1t 2)＝16＝4(x －1)．212(x 4－14)
∴所求轨迹方程为y 2＝4(x －1)．
法二：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由M ，N 在抛物线y 2＝8x 上知Error!
两式相减得y －y ＝8(x 1－x 2)，即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝8(x 1－x 2
)，212∴＝.设线段MN 的中点为P (x ，y )，∴y 1＋y 2＝2y .y 1－y 2x 1－x 28y 1＋y 2
由k PA ＝，又k MN ＝＝＝，y x －1y 1－y 2x 1－x 28y 1＋y 24y
∴＝.∴y 2＝4(x －1)．y x －14y
∴线段MN 的中点P 的轨迹方程为y 2＝4(x －1)．。