人教A版选修4-4双曲线的参数方程抛物线的参数方程跟踪练习及答案解析(最新整理)

双曲线的参数方程抛物线的参数方程

跟踪练习

一、选择题

1．曲线Error!(t为参数)的焦点坐标是( )

A．(1,0) B．(0,1)

C．(－1,0) D．(0，－1)

2．圆锥曲线Error!(θ是参数)的焦点坐标是( )

A．(－5,0) B．(5,0)

C．(±5,0) D．(0，±5)

3．方程Error!(t为参数)的图形是( )

A．双曲线左支B．双曲线右支

C．双曲线上支D．双曲线下支

4．点Μ0(0,2)到双曲线x2－y2＝1的最小距离(即双曲线上任一点Μ与点Μ0的距离的最小值)是( )

A．1 B．2 C.D．3

3

二、填空题

5．已知动圆方程x2＋y2－x sin 2θ＋2y·sin＝0(θ为参数)．则圆心的轨迹方程

2(θ＋π4)

是________．

6．双曲线Error!(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．

7．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为Error!(t为参数)和Error!(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．

三、解答题

8．已知圆O1：x2＋(y－2)2＝1上一点P与双曲线x2－y2＝1上一点Q，求P，Q两点距离的最小值．

9．已知双曲线方程为x2－y2＝1，Μ为双曲线上任意一点，点Μ到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．

10．过点A(1,0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M，N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．

双曲线的参数方程抛物线的参数方程

跟踪练习答案

一、选择题

1．曲线Error!(t 为参数)的焦点坐标是( )

A ．(1,0)

B ．(0,1)

C ．(－1,0)

D ．(0，－1)

解析：选B 将参数方程化为普通方程(y －1)2＝4(x ＋1)，

该曲线为抛物线y 2＝4x 向左、向上各平移一个单位得到，

所以焦点为(0,1)．

2．圆锥曲线Error!(θ是参数)的焦点坐标是( )

A ．(－5,0)

B ．(5,0)

C ．(±5,0)

D ．(0，±5)

解析：选C 由Error!(θ为参数)得 －＝1，x 216y 29

∴它的焦点坐标为(±5,0)．

3．方程Error!(t 为参数)的图形是( )

A ．双曲线左支

B ．双曲线右支

C ．双曲线上支

D ．双曲线下支

解析：选B ∵x 2－y 2＝e 2t ＋2＋e －2t －(e 2t －2＋e －2t )＝4.

且x ＝e t ＋e －t ≥2＝2.

e t ·e －t ∴表示双曲线的右支．

4．点Μ0(0,2)到双曲线x 2－y 2＝1的最小距离(即双曲线上任一点Μ与点Μ0的距离的最小值)是( )

A ．1

B ．2 C. D ．3

3解析：选C ∵双曲线方程为x 2－y 2＝1，∴a ＝b ＝1.

∴双曲线的参数方程为Error!(θ为参数)．

设双曲线上一动点为Μ(sec θ，tan θ)，

则2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2

|Μ0Μ|＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4)

＝2tan 2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3.

当tan θ＝1时，2取最小值3，

|Μ0Μ|此时有＝

.

|Μ0Μ|3二、填空题

5．已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋2

y ·sin ＝0(θ为参数)．则圆心的轨迹方程2(θ＋π4)是________．

解析：圆心轨迹的参数方程为Error!

即Error!消去参数，得

y 2＝1＋2x .(－12≤x ≤12)

答案：y 2＝1＋2x (－12≤x ≤12)

6．双曲线Error!(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．

解析：将参数方程化为y 2－＝1，x 23

此时a ＝1，b ＝，

3设渐近线倾斜角为α，则tan α＝±

＝±.1

333∴α＝30°或150°.

答案：30°或150°

7．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为Error!(t 为参数)和Error!(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．

解析：由Error!(t 为参数)得y ＝，

x 又由Error!(θ为参数)得x 2＋y 2＝2.

由Error!得Error!

即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1,1)．

答案：(1,1)

三、解答题

8．已知圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P ，Q 两点距离的最小值．

解：由题意可知O 1(0,2)，∵Q 为双曲线x 2－y 2＝1上一点，设Q (sec θ，tan θ)，在△O 1QP 中，|O 1P |＝1，|O 1P |＋|PQ |≥|O 1Q |.

又|O 1Q |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2

＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4)

＝2tan 2θ－4tan θ＋5

＝2(tan θ－1)2＋3.

∴当tan θ＝1，即θ＝时，|O 1Q |2取最小值3，此时有|O 1Q |min ＝.

π4

3∴|PQ |min ＝－1.39．已知双曲线方程为x 2－y 2＝1，Μ为双曲线上任意一点，点Μ到两条渐近线的距离分别为d 1和d 2，求证：d 1与d 2的乘积是常数．

证明：设d 1为点Μ到渐近线y ＝x 的距离，d 2为点Μ到渐近线y ＝－x 的距离，因为点Μ在双曲线x 2－y 2＝1上，则可设点Μ的坐标为(sec α，tan α)．d 1＝，d 2＝，|sec α－tan α|

2

|sec α＋tan α|2d 1d 2＝＝，|sec 2α－tan 2α|212

故d 1与d 2的乘积是常数．

10．过点A (1,0)的直线l 与抛物线y 2＝8x 交于M ，N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．

解：法一：设抛物线的参数方程为Error!(t 为参数)，可设M (8t ，8t 1)，N (8t ，8t 2

)，212则k MN ＝＝.8t 2－8t 18t 2－8t 2

11t 1＋t 2又设MN 的中点为P (x ，y )，

则Error!∴k AP ＝，4(t 1＋t 2)

4(t 21＋t 2)－1

由k MN ＝k AP 知t 1t 2＝－，又Error!18

则y 2＝16(t ＋t ＋2t 1t 2)＝16＝4(x －1)．212(x 4－14)

∴所求轨迹方程为y 2＝4(x －1)．

法二：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由M ，N 在抛物线y 2＝8x 上知Error!

两式相减得y －y ＝8(x 1－x 2)，即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝8(x 1－x 2

)，212∴＝.设线段MN 的中点为P (x ，y )，∴y 1＋y 2＝2y .y 1－y 2x 1－x 28y 1＋y 2