弹性力学试卷上学期答案及评分标准

2０16-２0１7第二学期弹性力学考试答案及评分标准

一、 概念问答题

1、 以应力作未知量,应满足什么方程及什么边界条件?

答:以应力作为未知量应满足平衡微分方程、相容方程及边界条件。(5分） 2、平面问题的未知量有哪些？方程有哪些？

答：平面问题有σｘ、σy 、τxy 、εx 、εy 、γxy 、u 、v 八个,方程有两个平衡方程,三个几何方程,三个物理方程。（5分) 3、已知200x Pa σ= ，100y Pa σ=-，50xy Pa τ=-及100r Pa σ=，300Pa θσ=，

100r Pa θτ=-,试分别在图中所示单元体画出应力状态图。

（2分) (3分） 4、简述圣维南原理。

答:如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同,对同一点的主矩也相同）,那么,近处的应力分量将有显著的改变,但远处所受的影响可以不计。(5分）

5、简述应变协调方程的物理意义。 答：

⑴ 形变协调条件是位移连续性的必然结果。连续体→位移连续→几何方程→形变协调条件。（2分) ⑵ 形变协调条件是与形变对应的位移存在且连续的必要条件。 形变协调→对应的位移存在→位移必然连续;

形变不协调→对应的位移不存在→不是物体实际存在的形变→微分体变形后不保持连续。(３分）

6、刚体位移相应于什么应变状态。

答：刚体位移相应于零应变状态，对平面问题为

εx =εy =γxy ＝０ (5分)

7、简述最小势能原理，该原理等价于弹性力学的哪些基本方程? 答：由位移变分方程可得

()()0U Xu Yv Zw dxdydz Xu Yv Zw dS δ⎡⎤-++-++=⎣⎦

⎰⎰⎰⎰⎰ 或0δ∏= x

y

200Pa

=Pa

Pa

100r Pa

=-100Pa

=-

()()U Xu Yv Zw dxdydz Xu Yv Zw dS δ∏=-++-++⎰⎰⎰⎰⎰

其中∏ 为物体得总势能（形变势能和外力势能在之和),0δ∏=称为最小势能原理，它表明物体处于平衡位置时,总势能的一阶变分为零。可以证明：在线弹性体中,20δ∏>,即在所有几何可能的位移中,实际的位移使总势能取最小值。最小势能原理等价于平衡微分方程和静力边界条件。(5分）

二、已知下述应变状态是物体变形时产生的，试求各系数之间应满足的关系(5分）

)

()()(22210442210442210C y x xy C C y x y x B B y x y x A A xy y x +++=++++=++++=γεε 答:应变分量存在的必要条件是满足形变相容条件,即

22

22

2y xy

x y x x y

εγε∂∂∂+=∂∂∂∂ (2分） 由题中给出的应变可得：

2212

212x A y y ε∂=+∂,22

12212y B x x ε∂=+∂，222111233xy C x C y C C x y

γ∂=++∂∂ 则由相容条件可得:222211111221221233A y B x C x C y C C +++=++ 上式对任意ｘ,ｙ均成立，则有： 1111121221234

222C C A B C C A A C ==⎧⎧⇒⎨⎨

+=+=⎩⎩ （３分）

三、试写出图中所示各边的精确边界条件，图中ｓ、q 均为均匀分布荷载，ＡF 为固定边界。(１5分)

解:

ＡF 边:u =0，v =0 (２分)

ＡＢ边:σｙ=０,τxy =0 （2分）

y

EF 边:σy =0,τxy =０ (2分） ＢC 边: (4分）

sin l α=-=

,cos m α=-=

cos 222sin 222

x

xy xy y s s s s

σαα⎧--==⎪⎪⎨

⎪--=-=-⎪⎩ ⇒ x xy xy y s

s

σττσ+=-⎧⎪⎨

+=⎪⎩ CD 边:（2分) 0

x xy q

στ=-=

DE 边：（3分）

sin 2l α=-=-

,cos 2

m α==

cos sin 222

x

xy xy y s s s s

σαα⎧-==⎪⎪⎨

⎪-+==⎪⎩⇒ x xy xy y s

s

σττσ-+=⎧⎪⎨

-+=⎪⎩ 四、对于图中所示结构，l 远大于ｈ,已知

233

322842M h y y y y qx h h h ϕ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭

M 是集中弯矩,q 为均匀分布荷载，试证明它是圣维南条件下的解。（１5)

解：

（1） 验证相容方程:40ϕ∇= ，这里ϕ显然满足。（1分） （2） 应力分量:

22321216x My y qx y h h h ϕσ∂⎛⎫==+-+ ⎪∂⎝⎭

220y x

ϕ

σ∂==∂

222134xy y y q x y h h ϕ

τ⎛⎫∂=-=---+ ⎪∂∂⎝⎭

(3分）

（3） 边界条件 左侧2

h

y = ,0y σ=⇒ 成立

ﻩ ﻩ 113

00424xy τ=⇒--+= （2分）

右侧:2

h

y =-,0y σ=⇒ 成立

ﻩﻩ 113424xy q q q τ⎛⎫

=-⇒--++=- ⎪⎝⎭

成立 (2分）

顶部2

2322

120,0,0h h

h h x My x dy dy h σ--= = =⎰⎰ ，积分后为偶数，故为0 （2分）

22

0h h xy dy τ-=⎰

2

2

3

2222

132********

h

h h

y y y y y h h q dy q q h h h h h -⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎰

,成立 （２分)

22

h h x ydy M σ-=⎰

2

323

32

12422

h h h

My My dy M h

h h -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦-⎰

，成立 （3分) 五、试按逆解法推导轴对称问题的应力解和位移解。(15分)

解：应力数值轴对称—仅为ρ的函数,应力方向轴对称— 0ρφφρττ==

相应的应力函数()ΦΦρ= ,应力分量：

d ,d ρ1Φ

σρρ

= 22d ,d φΦσρ=0.ρφτ= （a ） （3分） (1) 相容方程

22d d ()0d d 21Φρρρ

+= 其中：

22

d d d d ()d d d d 211ρρρρρρρ

∇=+=