求曲线 的切线方程的几种方法

2017届高三数学二轮复习——求曲线)(x f y =的切线方程的

几种方法

课前预习

1、已知函数()ln (,)f x m x nx m n =+∈R ，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为220x y --=，则m n +=

2、若x 轴是曲线

3ln )(+-=kx x x f 的一条切线，则=k 3、已知曲线x y =与x

y 8=的交点为P ，两曲线在点P 处的切线分别为21,l l ，则切线21,l l 与y 轴所围成的三角形的面积为

4、已知函数x x f =)(，x a x ln )(g =，R a ∈.若曲线)(x f y =与曲线)(x g y =相交，且在交点处有相同的切线，则切线方程为

5、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线)0(2>=x x y

和)0(3>=x x y 均相切，切点分别为),(11y x A 和),(22y x B ,则=2

1x x 典型例题

例1、已知函数

x x x f 32)(3-=． （1）求)(x f 在点)1,1(-处的切线方程；

（2）若过点)1(t P ，存在3条直线与曲线)(x f y

=相切，求t 的取值范围．

例2、已知函数为常数）b a b ax x x x f ,(2

5)(23+++=，其图象是曲线C ． (1)当2-=a 时，求函数

)(x f 的单调递减区间； (2)已知点A 为曲线C 上的动点，在点A 处作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于另一个点B ，在点B 处作曲线C 的切线2l ，设切线21l l ，的斜率分别为21,k k ．问：是否存在常数λ，使得12

k k λ=若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

例3、对于函数

)(x f ，)(g x ，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数)(x f 和)(g x 在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点．设函数)0()(2≠-=a bx ax x f ，()x x ln g =．

（1）当0,1=-=b a 时，判断函数)(x f 和)(g x 是否相切，并说明理由；

（2）已知0>=a b a ，，且函数

)(x f 和)(g x 相切，求切点P 的坐标．

求曲线)(x f y =的切线方程的几种方法 巩固训练

1、已知)(x f 为偶函数，

当0

2、已知函数x x f e )(=，()n mx x g +=，设)()()(x g x f x h -=，若曲线)(x h y =在0=x 处的切线过点)0,1(，则=+n m ．

3、过曲线1(0)y x x x

=-

>上一点00(,)P x y 处的切线分别与x 轴，y 轴交于点A 、B ，O 是坐标原点，若OAB ∆的面积为13，则0x = ． 4、设函数

x x ax x f cos sin )(++=．若函数)(x f 的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线)(x f y =在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ．

5、曲线)0(1<-=x x

y 与曲线y =ln x 公切线(切线相同)的条数为 ． 6、在平面直角坐标系xOy 中，直线b x y

+=是曲线x a y ln =的切线，则当0>a 时，实数b 的最小值是 ．

7、在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线C 1：y ＝ax 3＋1(a >0)与曲线C 2：x 2＋y 2＝52

的一个公共点，若C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是________．

8、设函数⎩⎨⎧≤-->=0

.120,ln )(x x x x x f D 是由x 轴和曲线)(x f y =及该曲线在点)0,1(处的切线所围成的封闭区域，则y x z

2-=的最大值为________． 9、已知函数x x f e )(=，),(1)(2R b a bx ax x g ∈++=．

（1）若0≠a ，则b a ,满足什么条件时，曲线)(x f y

=与)(x g y =在0=x 处总有相同的切线？

（2）当1=a 时，求函数)

()()(x f x g x h =的单调递减区间．

10、已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=.

(1) 求函数)(x f 的单调区间；

(2) 若函数)(x f y =的图象在点))2(,2(f 处的切线的倾斜角为

45，且对于任意的[]2,1∈t ，函数)2

)()(g 23m x f x x x +⋅+=（在区间)3,(t 上总不是单调函数，求实数m 的取值范围．