分式方程及分式化简
分式的化简与求值
分式方程和分式的化简与求值【知识要点】1分式和分式方程的定义。
2、 分式的求值通常先把已知条件化成我们需要的等量关系，再代入所求得出结果。
3、 注意整体代入的思想方法。
1学会x的应用。
4、 学会等比设k 法的应用。
5、x(4)(1 )要使分式A. X1——有意义，则x 1B. xx应满足的条件是(2)(3)A.(2009年吉林省)化简x 2化简B.亠x 2时,C. x分式一1—无意义.x 2xy 2y4x-的结果是(4C. D.3x 22x 5x 6 2 x 4x 3(5)b2bD. x 12 2a b24ab 4b例3. (1)已知1 13，求分式2a 3ab 2b的值。
a b a ab ba2 2ab 3b22，求二2a2 6ab 7b2的值。
例8 .已知a 、 c 满足ab1 _b^ 3，b c1 ca 4‘c a1abc，求分式 的值。
例5 .已知ab-b c d例4 .已知：X 1xy 2 2 0，试求丄xyIII1 x 2000 y 2000的值。
的值。
例6. 已知4x(x24)AxBx CC，则A4,B,C2 x例7. 若x1x 3，求4 x2x2 x的值。
12、选择题1•将分式中的x 、y 的值同时扩大2倍，则扩大后分式的值（x y结 果是( )a 1A 、x6. 使分式有意义的2x 4=2 工 2 C.x= -27. 下列等式成立的是（a b 的值为 _________________A 、扩大2倍；B 、缩小2倍；C 、保持不变;D 、无法确定;3•计算的正确结果是4.若 x 2 0,则2.3 2 2 .的值等于（ （X 2 X ）2 1 3B.C. .3D. .3 或35•某人上山和下山走同一条路，且总路程为 =千米，若他上山的速度为千米/时，下山的速度为千米/时，则他上山和下山的平均速度为a b 2ab A. B.2 aC. b ( aba bD.)2s a bA. (-3 )-2=-9 B. ( -3 )-2=丄 C.912\a )2=a 14已知 a 2 6a9与b 1互为相反数,则式子练习a 2的取值范围是（3 19.方程——的解是 __________________2x x 32x m 10、当m时, 关于 x 的分式万程1无解x 311、若关于x 的方程 x 2 m无解，则m 的值是()x 2x 2=-4 B. m=-2C.m=-4 =212、若关于x 的分式方程 —a -1无解，则a 的值为（ ）x 1 xA. 1或-2D. 无法确定13. 某服装厂准备加工 400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了 20%结果共用了 18天完成任务，问计划每天加工服装多少套在这个问题中，设计划每天加工 x 套，则根据题意可得方程为二、计算22(x 1) 2x1 1 2.已知丄丄b a(1)2x 2x 31 2x 3(2)x1)2 A.型x400 (1 20%)x 18160 400 160(1 20%) x 18400 16020%x18D.400400 160 (1 20%) x18(3)(4)1x 22 x试求的值;2ab b3.已知x , y , z 均不为0，且满足4x 3y 6z 0 , x 2y 7z0，求尊黑罷2x 5y 7 z 之值。
初等代数中的分式运算
初等代数中的分式运算分数是初等代数中常见的数学表达形式，它由一个分子和一个分母组成。
在代数运算中，分数的加减乘除运算是非常重要的。
本文将重点介绍初等代数中的分式运算。
一、分式的加法和减法运算分式的加法和减法运算与整数的加法和减法类似，需要满足分母相同的条件。
例如，对于分数a/b和c/d，若分母相同，则可进行加法和减法运算。
假设a/b和c/d的分母相同，可以用以下公式进行计算：a/b + c/d = (a + c) / ba/b - c/d = (a - c) / b这里需要注意的是，分子的运算保持不变，只需对分子进行加减操作，分母保持不变。
二、分式的乘法运算分式的乘法运算可以通过以下公式进行计算：a/b × c/d = (a × c) / (b × d)在分数的乘法中，将两个分子相乘得到新的分子，同时将两个分母相乘得到新的分母，得到的分数即为乘法的结果。
三、分式的除法运算分式的除法运算可以通过以下公式进行计算：a/b ÷ c/d = (a × d) / (b × c)在分数的除法中，将被除数的分子乘以除数的分母得到新的分子，同时将被除数的分母乘以除数的分子得到新的分母，得到的分数即为除法的结果。
四、分式的化简在进行分式运算时，有时需要将分式化简到最简形式。
一个分式被称为最简形式，当且仅当分子和分母的最大公约数为1时。
要将一个分式化简到最简形式，可以通过求分子和分母的最大公约数，并将分子和分母同时除以最大公约数，得到最简形式的分数。
五、分式方程的解分式方程是含有分式的方程，解分式方程的方法与解代数方程类似。
首先，需要将分式方程转化为含有整数的方程，然后通过等式性质和代数的基本操作求解。
六、应用举例1. 分数的加法和减法运算：例如：1/2 + 1/3 = 5/63/4 - 1/5 = 11/202. 分数的乘法和除法运算：例如：2/3 × 4/5 = 8/153/4 ÷ 2/5 = 15/83. 分式方程的解：例如：(2/x) + 1 = 1/2解得 x = 4以上是初等代数中关于分式运算的基本知识和方法。
分式的化简和分式方程
分式的化简和分式方程①.教学内容知识点1. 分式1. 两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式.整式A 除以整式B,可以表示成B A 的形式.如果除式B 中含有字母,那么称B A 为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零.2. 整式和分式统称为有理式,即有:⎩⎨⎧分式整式有理式3. 进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变. )0(,≠÷÷=⨯⨯=M M B M A B A M B M A B A4. 一个分式的分子分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.知识点2.分式的乘除1. 分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.即: BD AC D C B A =⋅, CB D ACD B A D C B A ⋅⋅=⋅=÷ 2. 分式乘方,把分子、分母分别乘方. 即: )(为正整数n B A B A n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛ 逆向运用n n n B A B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=,当n 为整数时,仍然有n n n B A B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛成立. 3. 分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.知识点3.分式的加减法1. 分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.2. 分式的加减法: 分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减; 上述法则用式子表示是:C B A C B C A ±=± (2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;上述法则用式子表示是:BDBC AD BD BC BD AD D C B A ±=±=± 3. 概念内涵: 通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.知识点4.分式方程1. 解分式方程的一般步骤:①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;②解这个整式方程;③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去.2. 列分式方程解应用题的一般步骤:①审清题意;②设未知数;③根据题意找相等关系,列出(分式)方程;④解方程,并验根;⑤写出答案.②.教学辅助练习（或探究训练）知识点1.分式例1、练习1、1、下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .知识点2.分式的运算例2、例3、先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫1＋ 1 x －2÷ x 2－2x ＋1 x 2－4，其中x ＝－5． 【答案】解：412)211(22-+-÷-+x x x x ＝)2)(2()1(2122-+-÷-+-x x x x x ……………………2分＝2)1()2)(2(21--+⋅--x x x x x ＝12-+x x , ………………………………………………………………………5分 当5-=x 时，原式＝12-+x x ＝211525=--+-． ………………………………………8分 1、先化简再求值：)252(423--+÷--a a a a ， 其中1-=a2、先化简，再求值：)12(1aa a a a --÷-，并任选一个你喜欢的数a 代入求值.3、先化简22121111x x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值.4、知识点3.分式方程例4：解方程：（1）51144x x x --=--解： 51144x x x -+=-- 方程两边同乘以，得 ． ∴检验：把x =5代入 x -5，得x -5≠0所以，x =5是原方程的解.（2）22162242x x x x x -+-=+--解：方程两边同乘以，得， ∴ ． 检验：把x =2代入 x 2—4，得x 2—4=0。
初中数学常考分式化简计算题
初中数学常考分式化简计算题
在初中数学中，分式化简计算题是一个重要的知识点，也是中考数学考试中的一个重点。
以下是一些常见的分式化简计算方法和例题:
1. 分式化简的一般步骤:
(1) 找到分式中的常数项和系数;
(2) 将分式中的常数项和系数分别化成最简分数;
(3) 合并同类项，消去分母;
(4) 检查化简结果是否满足有理数范围。
2. 常用化简方法:
(1) 约分法：将分式中的分子和分母同时除以它们的最大公约数，以达到化简的目的;
(2) 代入法：将一个复杂的分式转化为一个较简单的分式，然后代入已知分式中进行化简;
(3) 加减法：对于两个分式，可以通过加减运算使其化为同一个分式的分子和分母，以达到化简的目的。
3. 例题展示:
例 1:将分式方程 5x+2=12x-7 化简成最简分式。
解：将方程两边同时除以 12，得到 x+5/6=7/6。
接着，将分式
方程中的常数项和系数分别化成最简分数，合并同类项，消去分母，最终化简得到 x=1/3。
例 2:将分式方程 3x+4=7x-1 化简成最简分式。
解：将方程两边同时除以 7，得到 x+3/7=x-1/7。
接着，将分式方程中的常数项和系数分别化成最简分数，合并同类项，消去分母，最终化简得到 x=2/7。
以上是分式化简计算题的一些常见方法和例题展示。
在初中数学学习中，同学们需要熟练掌握各种化简方法，并且多做一些练习题，才能熟练掌握分式化简的计算技巧。
分式化简知识点总结
分式化简知识点总结一、分式的定义分式是由分子和分母组成的数学表达式，通常表示为a/b的形式，其中a为分子，b为分母，b不能为0。
分式表示了两个数之间的比例关系，它可以用来表示比例、比率、百分数、概率等。
二、化简分式的规则化简分式是指将分式表达式化为最简形式，即分子与分母都不能再被约分的形式。
化简分式的规则如下：1. 将分子和分母的公因式约去。
2. 分式中的各项均不能再被约分为整数。
3. 如果分子和分母中含有指数，可以利用指数的性质进行化简。
例如，对于分式3/6，它可以化简为1/2；对于分式6x/9x，它可以化简为2/3。
三、分式的运算分式的运算包括加减乘除四则运算，下面我将分别介绍这四种运算的规则。
1. 分式的加法和减法：分式的加法和减法规则如下：1. 找到两个分式的公分母，并将它们化为相同的形式。
2. 将分子相加或相减，并保持分母不变。
例如，对于分式1/2 + 1/3，首先找到它们的最小公倍数为6，然后将它们化为相同的形式，得到3/6 + 2/6，最后将分子相加得到5/6。
2. 分式的乘法：分式的乘法规则如下：1. 将分式的分子和分母相乘，得到新的分子和分母。
2. 将新的分子和分母化为最简形式。
例如，对于分式1/2 * 2/3，将分子和分母相乘得到2/6，化简为1/3。
3. 分式的除法：分式的除法规则如下：1. 将分式的分子乘以倒数，得到新的分子。
2. 将新的分子和分母化为最简形式。
例如，对于分式1/2 ÷ 3/4，将分子乘以倒数得到1/2 * 4/3 = 4/6，化简为2/3。
四、分式方程分式方程是指方程中包含分式的等式。
解分式方程的一般步骤如下：1. 将方程中的分式化为最简形式。
2. 经过等式两边的乘除法，使得方程中的分式消失。
3. 求解方程得到分式的值。
例如，对于分式方程(2x-1)/3 = 1/3，首先将分式化为最简形式，得到(2x-1)/3 = 1/3，然后经过等式两边的乘除法，将分式消失，得到2x - 1 = 1，最后求解方程得到x=1。
分式与分式方程
分式与分式方程分式是指形如 $\frac{a}{b}$ 的数，其中 a 和 b 都是实数，且 b 不等于零。
分式方程则是含有分式的方程。
在解分式方程之前，我们先来了解一下分式、分式的化简和分式方程的一些基本概念。
一、分式的基本概念分式由分子和分母组成，分子表示分式的被除数，而分母则表示分式的除数。
1. 真分数和假分数当分子小于分母时，分式称为真分数；当分子大于等于分母时，分式称为假分数。
如 $\frac{3}{4}$ 是真分数，$\frac{5}{3}$ 是假分数。
2. 约分和通分约分是指将分式的分子和分母同时除以一个公约数，使得分子和分母的最大公约数为1。
通分是指将分式的分子和分母同时乘以一个系数，使得分式的分母相等。
通分后可以进行分式的加减运算。
如$\frac{3}{8}$ 和 $\frac{6}{16}$ 可以通分为 $\frac{6}{16}$ 和$\frac{6}{16}$。
二、分式的运算法则1. 分式的加减法当分母相同时，可以直接相加或相减分子，而分母保持不变。
例如，$\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$。
当分母不同时，需要先通分，然后再进行加减运算。
通分后，将分子相加或相减，分母保持不变。
例如，$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} =\frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$。
2. 分式的乘法分式的乘法是将两个分式的分子相乘，分母相乘。
例如，$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$。
3. 分式的除法分式的除法是将第一个分式的分子与第二个分式的分母相乘，第一个分式的分母与第二个分式的分子相乘。
例如，$\frac{2}{3} \div\frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} =\frac{5}{6}$。
分式及分式方程知识点总结
分式及分式方程知识点总结分式（Fraction）是由两个整数构成的比值，其中一个是分子（Numerator），另一个是分母（Denominator）。
分式可以表示为 a/b，其中 a 是分子，b 是分母。
分式可以是一个整数、一个小数、或者是两个整数的比值。
分式可以用于表示实际问题中的比例、率、百分比等。
在数学中，分式经常被用于代替除法运算，因为分式的形式更加简洁。
在处理分式时，有几个关键概念和知识点需要了解。
一、分式的简化与等价分式2.等价分式：如果两个分式的值相等，那么它们是等价的。
可以通过将一个分式的分子乘以另一个分式的分母，分母乘以另一个分式的分子，化简两个分式，然后判断它们的值是否相等，确定它们是否等价。
二、分式的加减乘除2.分式的乘除：两个分式的乘积等于它们的分子乘积作为新分子，分母乘积作为新分母；两个分式的除法等于第一个分式的分子乘以第二个分式的倒数作为新分子，第一个分式的分母乘以第二个分式的分子作为新分母。
三、分式方程分式方程（Fractional Equation）是包含一个或多个分式的方程。
解分式方程的关键是找到合适的方法将方程转化为整式方程。
1.方法一：通分2.方法二：消去如果分式方程中有一个分式，可以通过消去（Cancellation）或者消去因子（Cancellation Factor）的方式将分母消去，得到一个整式方程。
3.方法三：代入如果分式方程比较复杂，无法通过通分或者消去的方法解得，可以通过代入（Substitution）的方法，将一个变量用另一个变量的表达式代入，然后去掉分式，得到一个整式方程进行求解。
需要注意的是，在解分式方程时，需要验证得到的解是否满足原方程，因为有时候方程中的一些值可能导致分母为零，从而使分式无解。
四、常见的分式及分式方程1.比例和比例方程：比例是两个分式的等价形式，比例方程是一个或多个比例的方程。
2.百分比和百分比方程：百分比是分数的一种特殊形式，百分比方程是包含百分比的方程。
分式方程及分式化简
分式⽅程及分式化简分式⽅程及分式化简【知识精读】1. 解分式⽅程的基本思想：把分式⽅程转化为整式⽅程。
2. 解分式⽅程的⼀般步骤：（1）在⽅程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式⽅程；（2）解这个整式⽅程；（3）验根：把整式⽅程的根代⼊最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原⽅程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式⽅程，⼀般不要求检验。
3. 列分式⽅程解应⽤题和列整式⽅程解应⽤题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原⽅程的根，以及是否符合题意。
下⾯我们来学习可化为⼀元⼀次⽅程的分式⽅程的解法及其应⽤。
【分类解析】例1. 解⽅程：x x x --+=1211 分析：⾸先要确定各分式分母的最简公分母，在⽅程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：⽅程两边都乘以()()x x +-11，得x x x x x x x x x 22221112123232--=+---=--∴==()()()，即，经检验：是原⽅程的根。
例2. 解⽅程x x x x x x x x +++++=+++++12672356分析：直接去分母，可能出现⾼次⽅程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，⽽分⼦也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原⽅程两边化为分⼦相等的两个分式，利⽤分式的等值性质求值。
解：原⽅程变形为：x x x x x x x x ++-++=++-++67562312⽅程两边通分，得167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即经检验：原⽅程的根是x =-92。
例3. 解⽅程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+-- 分析：⽅程中的每个分式都相当于⼀个假分数，因此，可化为⼀个整数与⼀个简单的分数式之和。
分式的化简与分式方程练习题
分式的化简中考题集锦先化简，再求值：1、 先化简，再求值：12112---x x ，其中x =－2．2、 先化简，再求值：(x －1x －x －2x ＋1)÷2x 2－x x 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0．3、先化简，再求值：211(1)(2)11x x x -÷+-+-，其中6x =.4、 先化简，再求值：2211()11a a a a ++÷--，其中2a =. 5、 先化简，再求值：221211, 2.111x x x x x x x ⎛⎫-+-+÷= ⎪+-+⎝⎭其中6、先化简22()5525x x x x x x -÷---，然后从不等组23212x x --⎧⎨⎩≤的解集中，选取一个你认为符合题意．．．．的x 的值代入求值．7、 先化简，再求值：2121(1)1a a a a++-⋅+，其中a =2-1.8、先化简分式a 2－9a 2＋6a ＋9 ÷a －3a 2＋3a －a －a 2a 2－1，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a 值，代入求值．9、先化简代数式⎪⎭⎫ ⎝⎛-++222a a a ÷412-a ，然后选取一个合适．．的a 值，代入求值10、先化简，再求值：112112++-⋅-x x x x ，其中x=2.11、先化简，再求值：2x x 1x 2x 4x 4x 4x 22--++÷+--，其中x ＝2－2．12、先化简，再求值：2224441x x x x x x x --+÷-+-，其中32x =．13、化简2228224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭14、11212222--÷+++-+x x x x x x x ，其中23-=x 。
15、化简121a a a a a --⎛⎫÷- ⎪⎝⎭，并任选一个你喜欢的数a 代入求值． 16、计算 22()a b ab b a a a--÷- 17、 化简:35(2)482y y y y -÷+--- 18、先化简再计算：y x yx y x +---222，其中x =3，y =2．19、先将代数式⎝⎛⎭⎫x － x x ＋1 ÷⎝⎛⎭⎫1＋ 1 x 2－1 化简，再从－3＜x ＜3的围选取一个合适的整数x 代入求值．20、先化简，再求值：22332422a a a a a a ++÷---+，其中，3a21、老师布置了一道计算题：计算222222()()()()a b a b ab a b a b a b a b a b +--÷-+-+-+的值，其中2008,2009a b ==,小明把a b 、错抄成2009,2008a b ==，但老师发现他的答案还是正确的，你认为这是怎么回事？说说你的理由．解方程：1、 解分式方程：13321++=+x x x x2、解分式方程：31.12x x x -=-+3、解分式方程：23211x x x +=+-4、解分式方程：54145=----x x x5、解分式方程：x x x --=--2122216、解分式方程：0)1(213=-+--x x x x7、解分式方程：22111x x =---8、解分式方程：22333x x x -+=--（一）例题精选例1 庄、庄、马庄的位置如图所示，每两个村庄之间都有笔直的公路相连，他们计划共同投资达一眼机井，希望机井的位置到三条道路的距离相等，试确定机井的位置．例2 如图，用直尺和圆规在途中的直线MN 上找一点P ，使点P 到射线OA 和OB 的距离相等。
分式化简的解题思路及方法
分式化简的解题思路及方法分式化简是代数学习中常见的问题，正确化简分式可以简化计算过程，提高求解效率。
本文将介绍分式化简的解题思路及方法，帮助读者更好地掌握这一技能。
下面是本店铺为大家精心编写的5篇《分式化简的解题思路及方法》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《分式化简的解题思路及方法》篇1一、分式化简的解题思路分式化简的解题思路主要包括以下几个方面:1. 熟悉分式的基本形式：分式通常写成 $frac{a}{b}$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 都是代数式。
要化简分式，需要先将其转化为这种基本形式。
2. 确定公因式：在分式中，如果有公共的因子，可以先提出来，这样可以简化分式的形式。
3. 利用分式性质：分式具有一些特殊的性质，如分子分母同乘以一个数或一个代数式，分式的值不变。
利用这些性质，可以对分式进行化简。
4. 运用运算法则：分式的化简也需要运用代数运算法则，如合并同类项、分配律、结合律等。
二、分式化简的方法分式化简的方法主要有以下几种:1. 提取公因式法：这种方法是指在分式中提取公共的因子，将分式化简为最简形式。
例如，将 $frac{2x+4y}{x+2y}$ 化简为$frac{2(x+2y)}{x+2y}$，再进一步化简为 $2$。
2. 拆分分式法：这种方法是指将分式拆分成两个或多个分式，以便更好地提取公因式或运用运算法则。
例如，将$frac{x+y}{x-y}$ 拆分成 $frac{x+y}{x-y} cdot frac{x+y}{x+y} = frac{x^2+2xy+y^2}{x^2-y^2}$。
3. 合并同类项法：这种方法是指将分式中的同类项合并在一起，从而简化分式的形式。
例如，将 $frac{3x+2y}{x+y}$ 化简为$frac{3x+2y}{x+y} cdot frac{x+y}{x+y} =frac{3x^2+2xy+2xy+2y^2}{x^2+2xy+y^2} =frac{3x^2+4xy+2y^2}{x^2+2xy+y^2}$。
第三章分式的化简求值问题
第三章：分式一、中考要求：1 •经历用字母表示现实情境中数量关系（分式、分式方程）的过程，了解分式、分式方程的概念，体会分式、分式方程的模型思想，进一步发展符号感.2•经历通过观察、归纳、类比、猜想、获得分式的基本性质、分式乘除运算法则、分式加减运算法则的过程，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力.3•熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中分式不超过两个）会检验分式方程的根.4.能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识.5 •通过学习，能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值.二、中考卷研究（一）中考对知识点的考查：本章多考查分式的意义、性质，运算也是中考热点之一，另外分式方程及其应用也是热点考题.本章还多考查方程思想和转化思想以及学生收集和处理信息的能力，获取新知识的能力、分析问题和解决问题的能力.三、中考命题趋势及复习对策本章内容是中考命题的重要内容之一，在中考中占有一定的比例，命题的形式有填空、选择、计算、解答题，占4〜12分，主要考查学生对概念的理解和运用基础知识、计算、分析判断的能力.针对中考命题趋势，在复习时应夯实基础知识，锻炼计算能力，还应在方程的应用上多下功夫、加大力度，多观察日常生活中的实际问题.★★★ （I ）考点突破★★★考点1：分式的运算、考点讲解：A1.分式：整式A除以整式B，可以表示成g的形式，如果除式B中含有字母，那么称令错误!为分式. 注：（1 ）若B z 0，则错误！有意义；（2）若B=0，则错误！无意义；（2）若A=0且B z0,则错误!=02 .分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.3 .约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分.4 .通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.5 •分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.6 •分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.7 .通分注意事项：（1 ）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；（2）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉.8 .分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.9 .对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值.二、经典考题剖析：【考题1 - 1】（2004、南宁，2分）当x 时，分式错误！有意义.解：z 1点拨：考查分式有意义的条件 1 - x z 0,即X z 1.解：一1【考题1 —2】（2004、青岛）化简: a 2.a24a 4(a 2)【考题1 - 3】（2004、贵阳，8分）先化简，再求 2值：（3x x x 1，其中 x 2 2。
初三复习 分式的化简求值与分式方程
分式的化简求值与分式方程一、分式化简技巧1. 在分式的运算中，有整式时，可以把整式看做分母为1的式子，然后再计算。
2. 要注意运算顺序，先乘方、同级运算从左到右依次进行。
3. 如果分式的分子分母是多项式，可先分解因式，再运算。
4. 注意分式化简题不能去分母.类型一、分式化简1、计算：2、化简:类型二、化简求值3、先化简，再求值：⎪⎪⎭⎫⎝⎛--÷-x y xy x x y x 22，其中1,2-==y x 。
2、4、先化简，再求值：21121222+---÷+++x xx x x x x ，其中x=23-．2228224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭35(2)482y y y y -÷+---5、先化简，再求代数式的值．22+2(+)+111a a a a a ÷-+，其中2012(1)tan 60a =-+︒类型三、化简求值与不等式组6、先化简再求值：，其中x 是不等式组的整数解．类型四、化简求值，整体代入7、已知11)a b a b+=≠，求()()a b b a b a a b ---的值。
8、先化简，再求值：(x －1x －x －2x ＋1)÷2x 2－x x 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0．二、分式方程技巧：解分式方程的步骤：1、去分母，化分式方程为整式方程两边同乘 以最简公分母2、解整式方程-------去括号、移项、合并同类项、系数化为13、检验-------带入最简公分母，若为零，则为増根，应舍去。
1、解方程：22333xx x -+=--2、解分式方程：163104245--+=--x x x x3、解方程：．课后练习1、解分式方程：212111xx x -=--2、化简，：，12111xx x -=--2211()22x yx y x x y x +--++3、在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了 200 m 到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图 6－5－7)，由此可知，B、C 两地相距多少米。
一元一次方程的分式方程_概述说明以及解释
一元一次方程的分式方程概述说明以及解释1. 引言1.1 概述一元一次方程是数学中常见的基础概念，它描述了未知数与已知数之间的线性关系。
而当一元一次方程中存在分式时，我们就称之为一元一次方程的分式方程。
本文将对一元一次分式方程进行全面的概述、说明和解释。
1.2 一元一次方程的基本概念在数学中，一元一次方程是指一个未知数的最高指数为1、系数为实常数或者有理数的代数方程。
这种类型的方程可以通过等式左右两边进行运算变换来求得未知数的值。
例如，形如ax + b = c 的表达式即为一元一次方程。
1.3 分式方程的含义与特点分式（也叫有理式）通常表示为两个整式（多项式）相除得到的商。
当一个分式成为一个等式，并且其中至少有一个未知数时，我们将其称之为分式方程。
在分式方程中，未知量可能出现在分子或者分母中，并且会带来许多特殊情况和解法。
2. 一元一次方程的分式方程2.1 什么是一元一次方程的分式方程一元一次方程是指只有一个未知数，并且未知数的最高次幂为1的方程。
而分式方程则是在方程中含有分式（即带有分子和分母）的形式。
因此，一元一次方程的分式方程就是在一个未知数上出现了带有分子和分母的表达式。
2.2 分式方程的解法步骤解决一元一次分式方程可以遵循以下步骤：步骤1：将所有含有未知数的项移至等号左边，将常数项移到等号右边，以便将所有项集中到一个侧。
步骤2：利用乘法逆元素原理消去分母。
将整个等式两边都乘以除了含有未知数所在项之外的那个不含未知数的因子，从而消除掉等号两侧中带有分母的表达式。
步骤3：合并同类项并简化表达式。
整理等号两边得到一个简化后的方程。
步骤4：通过移项、合并同类项或者代入已知值，求解未知数。
步骤5：将求得的未知数代入原分式方程中，验证所得解是否符合原方程，同时检查是否存在约束条件。
2.3 解答实例和应用为了更好地理解和掌握一元一次分式方程的解法步骤，以下是一个实际问题的例子：例题：某商店原价200元的商品打8折出售后价格为160元，请问该商品的折扣率是多少？解答过程：步骤1：设折扣率为x，则根据折扣计算公式可得200 * (1 - x) = 160。
初中数学(初二)考点：分式的化简求值
1、考点名称:分式的化简求值5年考试次数:327考点内容:(1) 先把分式化简后,再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.(2) 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.(3) 化简的最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要化成最简分式或整式.规律方法：分式化简求值时需注意的问题：1.化简求值,一般是先化简为最简分式或整式,再代入求值.化简时不能跨度太大,而缺少必要的步骤,代入求值的模式一般为“当…时,原式=…”.2.代入求值时,有直接代入法,整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时,所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义,且除数不能为0.2、考点名称:解分式方程5年考试次数:247考点内容:(1)解分式方程的步骤:①去分母;②求出整式方程的解;③检验;④得出结论.(2)解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如下检验:①将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解.②将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式方程的解. 所以解分式方程时,一定要检验.3、考点名称:分式方程的应用5年考试次数:151考点内容:1、列分式方程解应用题的一般步骤:设、列、解、验、答.必须严格按照这5步进行做题,规范解题步骤,另外还要注意完整性:如设和答叙述要完整,要写出单位等.2、要掌握常见问题中的基本关系,如行程问题:速度=路程时间;工作量问题:工作效率=工作量工作时间等等.列分式方程解应用题一定要审清题意,找相等关系是着眼点,要学会分析题意,提高理解能力. 4、考点名称:待定系数法求一次函数解析式5年考试次数:76考点内容:待定系数法求一次函数解析式一般步骤是:(1)先设出函数的一般形式,如求一次函数的解析式时,先设y=kx+b;(2)将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式,得到关于待定系数的方程或方程组;(3)解方程或方程组,求出待定系数的值,进而写出函数解析式.注意:求正比例函数,只要一对x,y的值就可以,因为它只有一个待定系数;而求一次函数y=kx+b,则需要两组x,y的值.5、考点名称:三角形内角和定理5年考试次数:106考点内容:(1)三角形内角的概念:三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角,且每个内角均大于0°且小于180°.(2)三角形内角和定理:三角形内角和是180°.(3)三角形内角和定理的证明证明方法,不唯一,但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起,组合成一个平角.在转化中借助平行线.(4)三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角;②依据三角形中角的关系,用代数方法求三个角;③在直角三角形中,已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角6、考点名称:全等三角形的判定5年考试次数:136考点内容:(1)判定定理1:SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等.(2)判定定理2:SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.(3)判定定理3:ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.(4)判定定理4:AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)判定定理5:HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.方法指引:全等三角形的5种判定方法中,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边;若已知两角对应相等,则必须再找一组对边对应相等,且要是两角的夹边,若已知一边一角,则找另一组角,或找这个角的另一组对应邻边.7、考点名称:等腰三角形的判定5年考试次数:44考点内容:判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.简称:等边对等角说明:①等腰三角形是一个轴对称图形,它的定义既作为性质,又可作为判定办法.②等腰三角形的判定和性质互逆;③在判定定理的证明中,可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线,但不能作未来底边的中线;④判定定理在同一个三角形中才能适用.8、考点名称:勾股定理5年考试次数:760考点内容:(1)勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.(3)勾股定理公式a2+b2=c2的变形有:、及(4)由于a2+b2=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.9、考点名称:三角形中位线定理5年考试次数:229考点内容:(1)三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.(2)几何语言: 如图,∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC,DE=BC.10、考点名称:平行四边形的判定5年考试次数:102考点内容:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB∥DC,AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形.(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB=DC,AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形.(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB∥DC,AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形.(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形.(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.符号语言:∵OA=OC,OB=OD∴四边行ABCD是平行四边形.。
分式知识点总结与分式方程的应用
知识点1、分式概念重点：掌握分式的概念和分式有意义的条件难点：分式有意义、分式值为0的条件 分式的概念：形如B A ，其中分母B 中含有字母，分数是整式而不是分式. (1)分式无意义时，分母中的字母的取值使分母为零，即当B=0时分式无意义.(2)求分式的值为零时，必须在分式有意义的前提下进行，分式的值为零要同时满足分母的值不为零及分子的值为零，这两个条件缺一不可.(3)分式有意义，就是分式里的分母的值不为零.易错易混点(1) 对分式的定义理解不准确；(2)不注意分式的值为零的条件；知识点2、分式的基本性质重点：正确理解分式的基本性质.难点：运用分式的基本性质，将分式约分、通分分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，用式子表示是：AB=MB M A ⨯⨯，AB=M B M A ÷÷.(其中M 是不等于零的整式)分式中的A ，B ，M 三个字母都表示整式，其中B 必须含有字母，除A 可等于零外，B ，M 都不能等于零.因为若B=0，分式无意义；若M=0，那么不论乘或除以分式的分母，都将使分式无意义.分式的约分和通分(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．(2)分式约分的依据：分式的基本性质．(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．求几个分式的最简公分母的步骤：1．取各分式的分母中系数最小公倍数；2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。
各个分式的分母都是多项式，并且可以分解因式。
这时，可先把各分式的分母中的多项式分解因式，再确定各分式的最简公分母，最后通分。
易错易混点分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分。
专题10 分式方程(解析版)
专题10分式方程【考查题型】【知识要点】解分式方程的一般步骤：1）去分母(方程两边同乘最简公分母，约去分母，把分式方程化成整式方程)。
2）解整式方程。
3）验根(把整式方程的解代入最简公分母，情况一：最简公分母为0，则该根不是分式方程的解，这个根叫原分式方程的增根；情况二：若最简公分母不为0，则该根是分式方程的解。
分式的化简求值：1）分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0；2）灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式；3）化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义。
分式方程解决实际问题的步骤：1）根据题意找等量关系2）设未知数3）列出方程4）解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）5）写答案考查题型一解分式方程题型1．（2022·辽宁营口·中考真题）分式方程322x x =-的解是（）A ．2x =B ．6x =-C ．6x =D ．2x =-【答案】C【分析】先去分母，去括号，移项，合并同类项得出答案，最后检验即可．题型1-1．（2022·海南·中考真题）分式方程101x -=-的解是（）A ．1x =B ．2x =-C ．3x =D ．3x =-题型1-2．（2022·山东济南·中考真题）代数式2x +与代数式1x -的值相等，则x ＝______．()()3122x x -=+，去括号号3324x x -=+，解得7x =，检验：当7x =时，()()210x x +-≠，∴分式方程的解为7x =．故答案为：7．【名师点拨】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．题型1-3．（2022·四川内江·中考真题）对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝11a b-，若（2x ﹣1）⊕2＝1，则x的值为_____．题型1-4．（2022·湖南永州·中考真题）解分式方程01x x -=去分母时，方程两边同乘的最简公分母是______．故答案为：x (x +1)．【名师点拨】题目主要考查解分式方程中确定公分母的方法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键．题型1-5．（2022·湖南常德·中考真题）方程()21522xx x x+=-的解为________．【答案】4x =【提示】根据方程两边同时乘以()22x x -，化为整式方程，进而进行计算即可求解，最后注意检验．【详解】解：方程两边同时乘以()22x x -，()()222252x x ⨯-+=⨯-482510x x -+=-解得4x =经检验，4x =是原方程的解故答案为：4x =【名师点拨】本题考查了解分式方程，解分式方程一定要注意检验．题型1-6．（2022·浙江台州·中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是____．先化简，再求值：314xx -+-，其中x =解：原式3(4)(4)4xx x x -=⋅-+--34x x =-+-1=-题型1-7．（2022·四川泸州·中考真题）若方程33122x x x-+=--的解使关于x 的不等式()230-->a x 成立，则实数a 的取值范围是________．题型1-8．（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，ba b a ⊗=+．若21(1)++⊗=x x x x，则x 的值为___________．【答案】12-##0.5-题型1-9．（2022·青海西宁·中考真题）解方程：220x x x x-=+-．【答案】7x =【提示】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：方程两边同乘()()11x x x +-，得()()41310x x --+=，解得7x =，检验：当7x =时，()()110x x x +-≠，所以，原分式方程的解为7x =．【名师点拨】本题主要考查了解分式方程，掌握求解的方法是解题的关键，注意解分式方程一定要验根．题型1-10．（2022·广西梧州·中考真题）解方程：24133x x -=题型1-11．（2022·青海·中考真题）解分式方程：21244x x x -=．方程两边乘2(2)x -得：2(2)(2)4x x x ---=，解得：x =4，检验：当x =4时，220x ≠（﹣）．所以原方程的解为x =4．【名师点拨】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．考查题型二根据分式方程解的情况求值题型2．（2022·四川德阳·中考真题）关于x 的方程211x ax +=-的解是正数，则a 的取值范围是（）A ．a ＞－1B ．a ＞－1且a ≠0C ．a ＜－1D ．a ＜－1且a ≠－2题型2-1．（2022·内蒙古通辽·中考真题）若关于x 的分式方程：222x x--=--的解为正数，则k 的取值范围为（）A ．2k <B ．2k <且0k ≠C ．1k >-D ．1k >-且0k ≠∴2k ＜，∵分母不能为0，∴2x ≠，∴22k -≠，解得0k ≠，综上所述：2k ＜且0k ≠，故选：B ．【名师点拨】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键．题型2-2．（2022·黑龙江·中考真题）已知关于x 的分式方程23111x m x x--=--的解是正数，则m 的取值范围是（）A ．4m >B ．4m <C ．4m >且5m ≠D ．4m <且1m ≠题型2-3．（2022·重庆·中考真题）关于x 的分式方程133x a x x x-++=--的解为正数，且关于y 的不等式组92(2)213y y y a +≤+⎧⎪-⎨>⎪⎩的解集为5y ≥，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．13B ．15C ．18D ．20【答案】A【提示】先通过分式方程求出a 的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a 的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a 的有限个整数解．题型2-4．（2022·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组1351x x a-⎧-≥⎪⎨⎪-⎩＜的解集为2x ≤-，且关于y 的分式方程1211y ay y -=-++的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．－26B ．－24C ．－15D ．－13题型2-5．（2022·湖北黄石·中考真题）已知关于x 的方程1(1)x ax x x x +=++的解为负数，则a 的取值范围是__________．考查题型三分式方程无解的情况题型3．（2022·四川遂宁·中考真题）若关于x 的方程221mx x =+无解，则m 的值为（）A ．0B ．4或6C ．6D ．0或4【答案】D【提示】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当40m -=时，当40m -≠时，0x =或210x +=，进行计算即可．【详解】方程两边同乘(21)x x +，得2(21)x mx +=，整理得(4)2m x -=，题型3-1．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）若关于x 的分式方程233x x++=--无解，则a 的值为（）A ．3B ．0C ．1-D ．0或3题型3-2．（2021·四川宜宾·中考真题）若关于x 的分式方程322x x -=--有增根，则m 的值是（）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2【答案】C【提示】先把分式方程化为整式方程，再把增根x =2代入整式方程，即可求解．题型3-3．（2021·西藏·中考真题）若关于x的分式方程1x-﹣1＝1x-无解，则m＝___．考查题型四列分式方程题型4．（2022·辽宁阜新·中考真题）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x万人，根据题意，所列方程正确的是（）A．3030201.2x x-=B．3030 1.220x x-=-C．3030201.2x x-=D．3030 1.220x x-=-【答案】A1.2题型4-1．（2022·山东淄博·中考真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是（）A．2000020000(115%)10x x⨯-=-B．2000020000(115%)10x x⨯-=-C．2000020000(115%)10x x⨯-=D．2000020000(115%)10x x⨯-=题型4-2．（2022·辽宁朝阳·中考真题）八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，出发30min后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶x km，根据题意，所列方程正确的是（）A．60x﹣601.5x＝3060B．601.5x﹣60x＝3060C．60x﹣601.5x＝30D．601.5x﹣60x＝30【答案】A，根据基地距学校题型4-3．（2022·贵州黔西·中考真题）某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水田x 亩，则可以得到的方程为（）A ．363024x x=⨯B ．363024x x=⨯C ．363024x x =⨯D ．363024x x =⨯题型4-4．（2022·山东潍坊·中考真题）观察我国原油进口月度走势图，2022年4月原油进口量比2021年4月增加267万吨，当月增速为6.6%（计算方法：267100% 6.6%4036⨯≈）．2022年3月当月增速为14.0%-，设2021年3月原油进口量为x 万吨，下列算法正确的是（）A ．4271100%14.0%4271x -⨯=-B ．4271100%14.0%4271x-⨯=-C ．4271100%14.0%x x-⨯=-D ．4271100%14.0%xx-⨯=-题型4-5．（2022·湖北恩施·中考真题）一艘轮船在静水中的速度为30km/h ，它沿江顺流航行144km 与逆流航行96km 所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为v km/h ，则符合题意的方程是（）A ．144963030v v =+-B ．1449630v v=-C ．144963030v v=D ．1449630v v=题型4-6．（2022·广西·中考真题）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x 米，根据题意可列方程（）A ．1.482.413x x -=-B ．1.482.413x x +=+C ．1.4282.4213x x -=-D ．1.4282.4213x x +=+【答案】D(2.4+2题型4-7．（2022·湖北荆州·中考真题）“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3:4，结果甲比乙提前20min．．．到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3x km/h．．．．，则依题意可列方程为（）A．6110334x x+=B．6102034x x+=C．6101343x x-=D．6102034x x-=题型4-8．（2022·四川广元·中考真题）某药店在今年3月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为x元，则列方程正确的是（）A．960010x-＝1600xB．960010x+＝1600xC．9600x＝160010x-D．9600x＝1600x+10【答案】B【提示】设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是x元，则购进N95口罩的单价是（x+10）元，利用数量=总价÷单价，结合购进两种口罩的只数相同，即可得出关于x的分式方程．【详解】解：设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是x元，则购进N95口罩的单价是（x+10）元，题型4-9．（2022·山东临沂·中考真题）将5kg 浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精．设需要加水kg x ，根据题意可列方程为（）A ．0.9850.75x ⨯=B ．0.9850.755x ⨯=+C ．0.7550.98x ⨯=D ．0.7550.985x⨯=-题型4-10（2022·浙江丽水·中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50004000302x x=-，则方程中x 表示（）A ．足球的单价B ．篮球的单价C ．足球的数量D ．篮球的数量题型4-11（2022·湖北襄阳·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x 天，则可列方程为（）A．900900213x x=⨯+-B．900900213x x⨯=+-C．900900213x x=⨯-+D．900900213x x⨯=-+题型4-12．（2022·山东青岛·中考真题）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为__________．考查题型五分式方程的实际应用题型5．（2022·重庆·中考真题）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5:6:7，需香樟数量之比为4:3:9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2:3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_________．题型5-1．（2022·西藏·中考真题）某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中，给学生发放笔记本2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同．(1)笔记本和钢笔的单价各多少元？(2)若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本？解得：x＝10，经检验：x＝10是原方程的解，故笔记本的单价为：10+2＝12（元），答：笔记本每本12元，钢笔每支10元．（2）设购买y本笔记本，则购买钢笔（50﹣y）支，依题意得：12y+10（50﹣y）≤540，解得：y≤20，故最多购买笔记本20本．【名师点拨】本题考查了用分式方程和一元一次不等式解决问题，找到题目中的等量关系并列出关于未知数的方程或不等式，仔细计算是本题的解题关键．题型5-2．（2022·宁夏·中考真题）某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．已知330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．(1)篮球和排球的单价各是多少元？(2)现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元．篮球最多购买多少个？题型5-3．（2022·山东东营·中考真题）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？由题意得：()()()6485150450y a a a =-+--=-+，∵－1＜0，∴y 随a 的增大而减小，∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，∴()2150a a -≥，解得：100a ≥，∴当100a =时，y 取最大值，此时100450350y =-+=，15050a -=，答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．【名师点拨】本题考查了分式方程的应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，找出合适的等量关系列出方程和解析式是解题的关键．题型5-4．（2022·贵州安顺·中考真题）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，A 块种植杂交水稻，B 块种植普通水稻，A 块试验田比B 块试验田少4亩．(1)A 块试验田收获水稻9600千克、B 块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？(2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B 块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700题型5-5．（2022·贵州铜仁·中考真题）科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了40%．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？题型5-6．（2022·湖南益阳·中考真题）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．(1)甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？(2)某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？题型5-7．（2022·吉林长春·中考真题）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？【名师点拨】本题考查了分式方程的应用，明确题意列出分式方程是解答本题的关键．题型5-8．（2022·山东聊城·中考真题）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．(1)求实际施工时，每天改造管网的长度；(2)施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？题型5-9．（2022·重庆·中考真题）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．题型5-10．（2022·山西·中考真题）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．【答案】这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元．元，则燃油车平均每公里的充电费为题型5-11．（2022·四川自贡·中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．。
分式方程的解法分式方程的运算规则
分式方程的解法分式方程的运算规则分式方程的解法分式方程是指含有分式的方程。
解分式方程的方法可以通过通分、消去分母等步骤来实现。
本文将介绍两种常见的解分式方程的方法，并总结分式方程的运算规则。
一、通分法1. 将分式方程中的各分式通分，即找到具有相同分母的公倍数，并将各分式化为相应的分子并列的形式。
例如，对于分式方程：1 1 1—— + —— = ——2x 3x-1 6x我们可以将分母通分为6x，得到：3 2 1——(3x-1) + ——(2x) = 16x 6x 6x2. 将通分后的方程中的分子相加，并合并同类项，化简方程。
继续上述例子，合并同类项得到：3(3x-1) + 2(2x) = 6x继续上述例子，将方程化简为：9x - 3 + 4x = 6x解得：x = 3二、消去法1. 通过消去法将分式方程中的分母消去。
例如，对于分式方程：1 2 3—— + —— = ——x x+1 x+2我们可以通过乘以各分式的分母的方式进行消去，得到： (x+1)(x+2) + 2x(x+2) = 3x(x+1)2. 合并同类项，并化简方程。
继续上述例子，合并同类项得到：x² + 3x + 2 + 2x² + 4x = 3x² + 3x化简为：3x² + 3x + 2 = 3x² + 3x继续上述例子，将方程化简为：2 = 0由此可得方程无解。
分式方程的运算规则1. 分式的加减法：对于分式方程的加减法，首先需要找到相同的分母，然后对应分子进行相加或相减，并保持分母不变。
例如，对于分式方程：1 2 3—— + —— = ——x x+1 x+2我们可以通过通分法将方程化简为：(x+1)(x+2) + 2x(x+2) = 3x(x+1)2. 分式的乘法：对于分式方程的乘法，只需将两个分式的分子相乘，并将两个分式的分母相乘。
例如，对于分式方程：1 2 3—— * —— = ——x x+1 x+2我们可以将方程化简为：1(x+1) * 2(x+2) = 3(x)(x+1)3. 分式的除法：对于分式方程的除法，只需将第一个分式的分子与第二个分式的分母相乘，并将第一个分式的分母与第二个分式的分子相乘。
可化为一元一次方程的分式方程分式方程及其解法
物体加热或冷却的过程。
工程问题
01
02
03
建筑设计
在建筑设计领域，分式方 程可以用来优化设计方案， 例如，计算建筑物的最佳 尺寸和比例。
机械设计
在机械设计中，分式方程 可以用来分析机器的性能 和效率，例如，计算齿轮 的转速和扭矩等。
电子工程
在电子工程中，分式方程 可以用来描述电路的工作 状态，例如，计算电流、 电压和电阻等。
解的验证
验证解的有效性
在得到分式方程的解后，应进行验证，确保解是有效的并且满足原方程。
考虑特殊情况
在验证解的过程中，应考虑特殊情况，如分母为零、无穷大等情况，以确保解 的全面性和准确性。
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分子有理化的方法是将分子与适当的表达式相乘，以消去根号或使分数形式简化。
分子有理化有助于简化方程，使其更容易求解。
03 可化为一元一次方程的分 式方程
方程的转化
1 2
将分式方程化为整式方程
通过通分、消去分母，将分式方程转化为整式方 程。
展开整式方程
将整式方程展开，整理成标的解
02
对代回后的分式方程进行化简，得到最终的分式方程的解。
检查解的合理性
03
对求出的分式方程的解进行检验，确保其满足原分式方程的定
义域和值域条件。
04 分式方程的解法
公式法
定义
公式法是一种通过对方程进行整 理，将其转化为标准的一元二次 方程，然后利用一元二次方程的 解公式来求解分式方程的方法。
定义域问题
确定分母不为零的解
在解分式方程时，需要特别注意定义 域问题，确保分母不为零，否则会导 致无解或解不合法。
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分式方程及分式化简【知识精读】1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。
2. 解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。
3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。
下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。
【分类解析】 例1. 解方程：x x x --+=1211 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以()()x x +-11，得x x x x x x x x x 22221112123232--=+---=--∴==()()()，即，经检验：是原方程的根。
例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。
解：原方程变形为：x x x x x x x x ++-++=++-++67562312方程两边通分，得167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即经检验：原方程的根是x =-92。
例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+-- 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。
解：由原方程得：3143428932874145--++-=--++-x x x x 即2892862810287x x x x ---=---于是，所以解得：经检验：是原方程的根。
1898618108789868108711()()()()()()()()x x x x x x x x x x --=----=--==例4. 解方程：61244444402222y y y y y y y y +++---++-=2分析：此题若用一般解法，则计算量较大。
当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。
解：原方程变形为：622222220222()()()()()()()y y y y y y y y ++-+--++-=约分，得62222202y y y y y y +-+-++-=()()方程两边都乘以()()y y +-22，得 622022()()y y y --++=整理，得经检验：是原方程的根。
21688y y y =∴==注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。
因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。
5、中考题解： 例1．若解分式方程2111x x m x x x x+-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. --12或B. -12或C. 12或D. 12或-分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。
由题意得增根是：x x ==-01或，化简原方程为：21122x m x -+=+()()，把x x ==-01或代入解得m =-12或，故选择D 。
例2. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。
解：设甲班每小时种x 棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树， 由题意得：60662x x =+60120662020222x xx x x +=∴==∴+=经检验：是原方程的根答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。
说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。
6、题型展示：例1. 轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。
求这艘轮船在静水中的速度和水流速度分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。
解：设船在静水中的速度为x 千米/小时，水流速度为y 千米/小时由题意，得8042740707x y x yx y x y++-=++-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪解得：经检验：是原方程的根x y x y ==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩173173答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。
例2. m 为何值时，关于x 的方程22432x mx x x -+-=+2会产生增根？ 解：方程两边都乘以x 24-，得2436x mx x ++=- 整理，得()m x -=-110当时，如果方程产生增根，那么，即或（）若，则（）若，则（）综上所述，当或时，原方程产生增根m x m x x x x m m x m m m ≠=---===-=--=∴=-=---=-∴==-11014022121012422101263462 说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根【实战模拟】1. 甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（ ）A.Sa b+B.S av b - C. S av a b -+ D. 2Sa b+ 2. 如果关于x 的方程2313x mx m -=--有增根，则的值等于（）A. -3B. -2C. -1D. 33. 解方程：（） (11101121231)9102x x x x x x x ++++++++++=()()()()()()（）2112141024x x x x x x xx-++++++=4. 求x 为何值时，代数式293132x x x x++---的值等于2？5. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程。
已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的23，求甲、乙两队单独完成各需多少天？分式化简已知234x y z==，则222x y z xy yz zx ++=++___________．【巩固】已知345x y y z z x==+++，则222x y z xy yz zx ++++=__________. 【巩固】若a b c d b c d a ===，求a b c da b c d-+-+-+的值.【例1】 已知222222()()()(2)(2)(2)b c c a a b b c a c a b a b c -+-+-=+-++-++-，求分式222(1)(1)(1)(1)(1)(1)bc ca ab a b c ++++++的值.【例2】 设1x y z u +++=，()()()2:12:22:3(2):4x y y z z u u x +=+=+=+，则733x y z u +++=___________． 【例3】 若x y z x y z x y z z y x +--+-++==，求()()()x y y z z x xyz +++的值. 【巩固】已知x y y z u z u x =++++z u u x y x y z ==++++．求x y y z z u u xz u u x x y y z+++++++++++的值． 【例4】 已知9p q r ++=，且222p q rx yz y zx z xy==---，则 px qy rzx y z++++的值等于（ ）A. 9 B.10 C. 8 D.7【例5】 已知2220(0)x yz y zx z xyxyz a b c---==≠≠，求证：222a bc b ca c ab x y z ---==. 【例6】 已知()()()()()()222222222x y y z z x x y z y z x z x y -+-+-=+-++-++-，求()()()()()()222111111xy yz zx xy z ++++++的值。
【例7】 已知20x x -=，求2221412211x x x x x x --⋅÷+-+-的值. 【例8】 已知，12ab a b =-+=，，则_______.b aa b+＝【巩固】已知1,12x y xy +==，求代数式222()3x y x y xy +++的值.【例9】 已知210a b +-=，求代数式22()(1)()aa b a b a b-+÷-+的值．【巩固】已知224a a +=，求121111122+-+÷--+a a a a a 的值． 【例10】 已知3a ba b -=+，求代数式2()4()3()a b a b a b a b +---+的值 【例11】 已知：2380x x +-=，求代数式21441212x x x x x x -+-⋅--++的值． 【例12】 已知：12xy =-，4x y +=-，求1111x y y x +++++的值. 【巩固】已知210x y xy +=，求代数式4224x xy yx xy y++-+的值.【例13】 已知：111x y x y +=+，求y xx y +的值. 【巩固】设1114x y -=，求2322y xy xy x xy +---【例14】 设113x y -=，求3237y xy xx xy y+-+-的值【巩固】如果235x y y x+=-，求2222410623x xy y x y +++的值. 【例15】 已知111m n -=，求575232m mn nn mn m+---的值.【例16】 已知a ，b ，c 为实数，且13ab a b =+，14bc b c =+，15ca c a =+，求abcab bc ca++. 【例17】 已知13x x +=，则代数式221x x +的值为_________．【巩固】已知：1x x -=，求221x x +的值.【巩固】已知：2213a a +=，求1a a -的值.【巩固】设1x x -1x x +的值.【巩固】若11a a -=，求1a a+的值.【例18】 若12x x +=，求2421x x x ++的值.【巩固】若13x x +=，则33441713x x x x++++=___________ 【例19】 已知a 是2310x x -+=的根，求5432225281a a a a a -+-+的值. 【巩固】设21xa x x =++，其中0a ≠，则2421x x x =++ 【巩固】设211xx mx =-+，求36331x x m x -+的值. 【例20】 已知：2510a a -+=，求4221a a a ++的值.【巩固】已知：2310x x -+=，求221x x+的值.【巩固】若2310x x -+=，则74843231x x x x x ++=++________．【例21】 已知2410a a ++=，且42321533a ma a ma a++=++，求m .【例22】 已知代数式25342()x ax bx cx x dx +++，当1=x 时，值为1，求该代数式当1-=x 时的值．【例23】 已知10x y z m n p m n p x y z++=++=，，求222222x y z m n p ++的值。