高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)
高等数学同济版下册期末考试题和答案解析四套
高等数学（下册）期末考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x的符号为。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为。
7、方程04)4(=-y y 的通解为。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ）y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（）（A ）y x +；（B ）x ；(C)y ；(D)0。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。
同济大学高等数学第七版下册系列练习题答案
《高等数学》期末练习题1答案题目部分，（卷面共有25题，100分，各大题标有题量和总分）一、选择（10小题，共30分）1-5．BCAAC 6-10．ABADC 二、填空（5小题，共10分）1．答案：π-arccos 452．答案：平面y x =上的所有点。
3．答案：-16xy4．答案：2220().d f r rdr πθ⎰⎰5．答案：1201611+-三、计算（8小题，共48分）1．答案：过点P 1021(,,)-，l 1方向向量为S 1221=-{,,}，过点P 2131(,,)-，l 2方向向量为S 2421=-{,,}，n S S P P =⨯==-12126012152{,,},{,,}距离为d P P n n ==⋅=Prj ||/||12152．答案：cos cos αβ==22∂∂∂∂z xzy==11，所以∂∂z n =+=222223．解：d d d u u x x u y y =+∂∂∂∂=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪1x e y x y xx y yx sin cos d d 4．解：由z x z y x y =-==+=⎧⎨⎩220240，得D 内驻点(1，－2)，且z (,)1215-=-在边界x y 2225+=上，令L x y x y x y =+-+-++-2222241025λ()由L x x L y y L x y x y =-+==++==+-=⎧⎨⎪⎩⎪2220242025022λλλ得x y =±=525, ，(()zz 5251510552515105-=--=+比较后可知，函数z 在点(,)12-处取最小值z (,)1215-=-在点(-525,处取最大值()5101552,5+=-z 。
5．解：原式1212001==⋅=⎰⎰⎰⎰dx xydy xdx ydy 6．解：212321xxI dx dy x y zdz=⎰⎰⎰2221027112168516xdx xy dy x dx ===⎰⎰⎰7．解：消z 后，可得L 的参数方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===t z t y t x sin 21sin 21cos 0t2πt t t t t s d d cos 21cos 21sin d 222=++=，故⎰Lsxyz d 61sin 21sin 21cos 2=⋅⋅=⎰πtdt t t 8．答案：()41122lim lim1=++=∞→+∞→n n a a n nn n ∴级数的收敛半径41=R 四、判断（2小题，共12分）1．解：设f x x x()=+⎛⎝ ⎫⎭⎪1221，于是()ln ()ln f x x x=-+22取极限lim ln ()lim ln()lim x x x f x x x xx →∞→∞→=-+=-+202222=0故lim ()x f x →∞=1，从而有lim n nn →∞+⎛⎝⎫⎭=12121，故而12211n nn +⎛⎝ ⎫⎭⎪=∞∑发散。
【高等数学同济第五版下册工科期末资料】同济高等数学第五版
【高等数学同济第五版下册工科期末资料】同济高等数学第五版一、填空题（每空3分，共15分）z=（1）函数+20z=arctan的定义域为（2）已知函数y∂z=x，则∂x⎰（3）交换积分次序，dy⎰2yy2f(x,y)dx＝（4）已知L是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则⎰(x+y)ds=L（5）已知微分方程y""+2y"-3y=0，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）⎰x+3y+2z+1=0⎰2x-y-10z+3=0，平面π为4x-2y+z-2=0，则（）（1）设直线L为⎰A.L平行于πB.L在π上C.L垂直于πD.L与π斜交（2A.xyz=(1,0,-1)处的dz=（）22(x+y)dv⎰⎰⎰Ωdx+dyB.dxD.dx在柱面坐标系下化成三次积分为（）2224z=25(x+y)及平面z=5所围成的闭区域，将Ω（3）已知是由曲面A.⎰⎰2π02πdθ⎰r3dr⎰dz252r25⎰2π02πdθ⎰r3dr⎰dz45C.dθ⎰r3dr⎰5dz∞⎰D.12dθ⎰rdr⎰dz225（4）已知幂级数nn∑2n=1n，则其收敛半径（）x**"""y-3y+2y=3x-2eyy=（）（5）微分方程的特解的形式为A.2B.1C.A.B.C.三、计算题（每题8分，共48分）(ax+b)xex(ax+b)+cexD.(ax+b)+cxexx-1y-2z-3x+2y-1z====LL0-1且平行于直线2：211的平面方程求过直线1:1∂z∂zz=f(xy2,x2y)，求∂x，∂y已知设D={(x,y)x+y≤4}22，利用极坐标求⎰⎰xdxdyDy2求函数f(x,y)=e2x(x+y2+2y)的极值2⎰x=t-sint⎰(2xy+3sinx)dx+(x-e)dyy=1-cost从点O(0,0)到A(π,2)的一段弧⎰5、计算曲线积分L，其中L为摆线⎰6、求微分方程四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算外侧xy"+y=xex满足yx=1=1的特解22xzdydz+yzdzdx-zdxdy⎰⎰∑z=∑，其中由圆锥面与上半球面z=所围成的立体表面的")(102、（1）判别级数∑(-1)n-1n=1∞n3n-1的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6"）（2）在x∈(-1,1)∑∞nxn求幂级数n=1的和函数（6"）高等数学（下）模拟试卷二一．填空题（每空3分，共15分）z=（1）函数的定义域为；（2）已知函数z=exy，则在(2,1)处的全微分dz=；⎰e1dxf(x,y)dy（3）交换积分次序，⎰lnx0＝；（4）已知L是抛物线y=x2上点O(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧，则⎰=；（5）已知微分方程y""-2y"+y=0，则其通解为.二．选择题（每空3分，共15分）⎰⎰x+y+3z=0（1）设直线L为⎰x-y-z=0，平面π为x-y-z+1=0，则L与π的夹角为（）；πππA.0B.2C.3D.4∂z3=（2）设z=f(x,y)是由方程z-3xyz=a3确定，则∂x（）；yzyzxzxyA.xy-z22B.z-xyC.xy-z2D.z2-xy2x*（3）微分方程y""-5y"+6y=xe 的特解y的形式为y*=（）；A.(ax+b)e2xB.(ax+b)xe2xC.(ax+b)+ce2x2xD.(ax+b)+cxedv（4）已知Ω是由球面x2+y2+z2=a2所围成的闭区域,将⎰⎰⎰Ω在球面坐标系下化成三次积分为（）；π⎰2πdθ⎰2ϕdϕ⎰ar22ππa2ππa2ππAsin0drdϕB⎰0dθ⎰20dϕ⎰0rdrC⎰0dθ⎰0dϕ⎰0rdrdθD.⎰⎰sinϕ⎰ar2dr∑∞2n-1n（5）已知幂级数n=12nx，则其收敛半径）.1A.2B.1C.2D.三．计算题（每题8分，共48分）求过A(0,2,4)且与两平面π1:x+2z=1和π2:y-3z=2平行的直线方程.∂z∂z已知z=f(sinxcosy,ex+y)，求∂x，∂y.设D={(x,y)x2+y2≤1,0≤y≤x}，利用极坐标计算⎰⎰arctanyDxdxdy.1..求函数f(x,y)=x2+5y2-6x+10y+6的极值. 1、利用格林公式计算⎰L(exsiny-2y)dx+(excosy-2)dy，其中L为沿上半圆周(x-a)2+y2=a2,y≥0、从A(2a,0)到O(0,0)的弧段. y"-y36、求微分方程+1=(x+1)2x的通解.四．解答题（共22分）∑∞(-1)n-12nsinπ1、（1）（6"）判别级数n=13n的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；∞x（2）（4"）在区间(-1,1)内求幂级数∑nn=1n的和函数.2xdydz+ydzdx+zdxdy222、(12")利用高斯公式计算⎰⎰∑，∑为抛物面z=x+y(0≤z≤1)的下侧高等数学（下）模拟试卷一参考答案一、填空题：（每空3分，共15分）1、{(x,y)|x+y>0,x-y>0}-y2、x2+y23⎰40dx⎰1xf(x,y)dy2x-3x45、y=C1e+C2e二、选择题：（每空3分，共15分）1.C2.D3.C4A5.D三、计算题（每题8分，共48分）1、解：A(1,2,3)s→→1={1,0,-1}s2={2,1,1}2"→→i→→→→jkn=s1⨯s2=10-1=→i-3→j+→2116"∴平面方程为x-3y+z+2=08"2、解：令u=xy2v=x2y2"∂z=∂z∂f21"⋅y+f2"⋅2xy∂x∂u⋅u∂x+∂z∂v∂v⋅∂x=∂z∂z∂u∂z∂6"∂y=∂u⋅∂y+∂v⋅v∂y=f1"⋅2xy+f2"⋅x23、解：D:0≤θ≤2π0≤r≤28"，3"∴⎰⎰x2dxdy=3cos2θdrdθ=2π2⎰2D⎰⎰rD⎰0cosθdθ0r3dr=4π8"⎰⎰⎰f(x,y)=e2x(2x+2y2x+4y+1)=04．解：⎰⎰f(x,y)=e2x(2y+2)=01y(,-1)得驻点24"A=fxx(x,y)=e2x(4x+4y2+8y+4),B=fxy(x,y)=e2x(4y+4),C=fyy(x ,y)=2e2x16"A=2e>0,AC-B2=4e2>0∴f(,-1)=-1e极小值为228"∂P∂Q5．解：P=2xy+3sinx,Q=x2-ey=2x=∂x,∴，有∂y曲线积分与路径无关2"积分路线选择：L1:y=0,x从0→π，L2:x=π,y从0→24"x2-ey)dy=⎰L(2xy+3sinx)dx+(⎰LPdx+Qdy+1⎰LPdx+Qdy2=π22-ey)dy=2π2-e2+7⎰03sinxdx+⎰0(π8"y"+1xy=ex⇒P=1x,Q=ex6．解：2"P(x)dx11[⎰Q(x)e⎰P(x)dxdx+C]=e-∴⎰x dx[⎰exe⎰xdx通解为y=e-⎰dx+C]4"=1[x⎰ex⋅xdx+C]=1x[(x-1)ex+C]6"y=1[(x-1)x代入y=1e+1]x=1，得C=1，∴特解为x8"四、解答题⎰⎰2xzdydz+yzdzdx-z2dxdy=⎰⎰⎰(2z+z-2z)dv=⎰⎰⎰zdv1、解：∑ΩΩ4"=⎰⎰⎰r3cosϕsinϕdrdθdϕΩπ6"dθ方法一：原式＝⎰2π0⎰4cosϕsinϕd0ϕ⎰3dr=π210"2π1方法二：原式＝⎰dθ⎰0rdr⎰r=2π⎰r(1-r2π)dr=210"n-1∞un-1nn=(-1)limun+1=n+131n2、解：（1）令3n-1n→∞ulimnn→∞3n⋅n=3∴∑(-1)n-1nn=13n-1绝对收敛。
高数期末考试题及答案同济
高数期末考试题及答案同济一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数\( f(x) = x^2 \)在区间[-1, 1]上的最大值是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：D2. 曲线\( y = x^3 \)在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 4答案：C3. 若\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \)为：A. 0B. 1C. 2D. 不存在答案：B4. 函数\( f(x) = \frac{1}{x} \)在区间(0, +∞)上的连续性是：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 有界答案：A5. 定积分\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)的值是：A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{1}{4} \)D. \( \frac{1}{6} \)答案：D6. 微分方程\( y'' - y' - 6y = 0 \)的特征方程是：A. \( r^2 - r - 6 = 0 \)B. \( r^2 + r - 6 = 0 \)C. \( r^2 - r + 6 = 0 \)D. \( r^2 + r + 6 = 0 \)答案：A7. 若\( \lim_{x \to \infty} f(x) = L \)，则\( \lim_{x \to \infty} f(2x) \)为：A. \( \frac{L}{2} \)B. \( 2L \)C. \( L \)D. 不存在答案：C8. 函数\( f(x) = \ln(x) \)的原函数是：A. \( x \)B. \( x^2 \)C. \( e^x \)D. \( x \ln(x) - x \)答案：D9. 函数\( f(x) = e^x \)的泰勒展开式是：A. \( 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots \)B. \( 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \ldots \)C. \( 1 + x - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} - \ldots \)D. \( 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \ldots \)答案：A10. 若\( \int_{a}^{b} f(x) dx = 0 \)，则\( f(x) \)在区间[a, b]上：A. 恒为0B. 有界C. 单调递增D. 至少有一个零点答案：D二、填空题（每题2分，共10分）1. 若\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)，则\( f'(x) = \)______。
高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)
高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、z=log(a,(x+y))的定义域为D={(x,y)|x+y>0}。
2、二重积分22ln(x+y)dxdy的符号为负号。
3、由曲线y=lnx及直线x+y=e+1，y=1所围图形的面积用二重积分表示为∬(x+y-e-1)dxdy，其值为1/2.4、设曲线L的参数方程表示为{x=φ(t),y=ψ(t)}(α≤t≤β)，则弧长元素ds=sqrt(φ'(t)^2+ψ'(t)^2)dt。
5、设曲面∑为x+y=9介于z=0及z=3间的部分的外侧，则∬(x+y+1)ds=27√2.6、微分方程y'=ky(1-y)的通解为y=Ce^(kx)/(1+Ce^(kx))，其中C为任意常数。
7、方程y(4)d^4y/dx^4+tan(x)y'''=0的通解为y=Acos(x)+Bsin(x)+Ccos(x)e^x+Dsin(x)e^x，其中A、B、C、D为任意常数。
8、级数∑n(n+1)/2的和为S=1/2+2/3+3/4+。
+n(n+1)/(n+1)(n+2)=n/(n+2)，n≥1.二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数z=f(x,y)在(x,y)处可微的充分条件是（B）f_x'(x,y)，f_y'(x,y)在(x,y)的某邻域内存在。
2、设u=yf(x)+xf(y)，其中f具有二阶连续导数，则x^2+y^2等于（B）x。
3、设Ω：x+y+z≤1,z≥0，则三重积分I=∭Ω2z dV等于（C）∫0^π/2∫0^1-rsinθ∫0^1-r sinθ-zrdrdφdθ。
4、球面x^2+y^2+z^2=4a^2与柱面x^2+y^2=2ax所围成的立体体积V=（A）4∫0^π/4∫0^2acosθ∫0^4a-rsinθ rdrdφdθ。
高等数学同济版下册期末考四套试题及答案
高等数学同济版（下册）期末考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程x yx y dx dy tan +=的通解为 。
7、方程04)4(=-y y的通解为 。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰212sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。
河大高等数学(同济)下册期末考试题与答案
高等数学(下册)考试试卷(一)一、填空题(每小题3分，共计24分)1、z= . log a(x^y2)(a 0)的定义域为D= 。
2、二重积分ln(x2 y2)dxdy的符号为。
|x| | y| 13、由曲线y lnx及直线x y e 1，y 1所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。
4、设曲线L的参数方程表示为x⑴(x ),则弧长元素y (t)ds 。
5、设曲面刀为x2 y2 9介于z 0及z 3间的部分的外侧，则(x2y21)ds 。
6、微分方程鱼-tan#的通解为。
dx x x7、方程y⑷4y 0的通解为。
8、级数J的和为。
n 1 n(n 1)二、选择题(每小题2分，共计16分)1、二元函数z f (x, y)在(X0，y0)处可微的充分条件是( )(A ) f (x,y)在(x°, y°)处连续;(B ) f x(x,y) , f y(x, y)在(x°,y。
)的某邻域内存在;(C) z f x(x°,y°) x f y(x°,y°) y当、、(x)2( y)20时，是无穷小;(D )z limx 0y 02、设xu yf ()y(A)x y;3、设 2:x 5叮f y(2x0,y0)y 0。
(x)2 ( y)2xf(y),其中f具有二阶连续导数，x2则x」Ux2y-U等于(y(B) x; (C)y; (D)0y2 z2 1,z 0,则三重积分I zdV等于(1 -(A) 4。
厲02d0r sin cos dr ; (B)2 d d r2 sin dr ;0 0 0(C) 1r3sin cos dr ; ( D )1r3sin cosdr。
4、 球面x 2y 2 z 2 4a 2与柱面x 2 y 2 (A ) 4 2d 2aC0S ,4a 2 r 2dr ;o o2acos --------------- 22(C )8 2dr . 4a r dr ；0 05、 设有界闭区域D 由分段光滑曲线 2ax 所围成的立体体积V=()2a cos ------------- 22(B )4 02 d o r . 4a r dr ；a cos(D )2dr 4a r dr 。
高等数学同济版下册期末考精彩试题及四套
实用文档文案大全高等数学（下册）期末考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、z=)0()(log22??ayx a的定义域为D=。
2、二重积分?????1||||22)ln(yx dxdyyx的符号为。
3、由曲线xyln?及直线1???eyx，1?y所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。
4、设曲线L的参数方程表示为),()()(???????????xtytx则弧长元素?ds。
???dsyx)122 5、设曲面∑为922??yx介于0?z及3?z间的部分的外侧，则???（。
6、微分方程xyxydxdytan??的通解为。
7、方程04)4(??yy的通解为。
8、级数????1)1(1n nn的和为。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(yxfz?在),(00yx处可微的充分条件是（）（A）),(yxf在),(00yx处连续；（B）),(yxf x?，),(yxf y?在),(00yx的某邻域内存在；（C）yyxfxyxfz yx???????),(),(0000当0)()(22????yx时，是无穷小；（D）0)()(),(),(lim22000000???????????????yxyyxfxyxfz yxyx。
2、设),()(xyxfyxyfu??其中f具有二阶连续导数，则2222yuyxux?????等于（）（A）yx?；（B）x； (C)y； (D)0 。
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4、球面22224azyx???与柱面axyx222??所围成的立体体积V=（）（A）???20cos202244???a drrad；（B）???20cos202244???a drrard；（C）???20cos202248???a drrard；（D）????22cos20224????a drrard。
高等数学同济版下册期末考四套试题及答案
高等数学同济版下册期末考四套试题及答案高等数学同济版（下册）期末考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、$z=\log_a(x+y)$ $(a>0)$的定义域为$D=\{(x,y)|x+y>0\}$。
2、二重积分$\iint_{|x|+|y|\leq1}2\ln(x+y)dxdy$的符号为正。
3、由曲线$y=\ln x$及直线$x+y=e+1$，$y=1$所围图形的面积用二重积分表示为$\iint_D dxdy$，其值为$e-2$。
4、设曲线$L$的参数方程表示为$\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$$(\alpha\leqx\leq\beta)$，则弧长元素$ds=\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}dt$。
5、设曲面$\Sigma$为$x+y=9$介于$z=0$及$z=3$间的部分的外侧，则$(x+y+1)ds=\iint_{\Sigma}(x+y+1)dS=27$。
6、微分方程$\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)$的通解为$y=\varphi(x,c)$，其中$c$为任意常数，$\varphi(x,c)$是微分方程的一族特解。
7、方程$y^{(4)}+y'''-4y=0$的通解为$y=c_1e^x+c_2e^{-x}+c_3\cos x+c_4\sin x-\dfrac{1}{2}x\cos x$。
8、级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n(n+1)}{2}$的和为$\dfrac{1}{6}\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(n+1)(n+2)$，再利用$\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(n+1)(n+2)=\dfrac{1}{4}\sum\limits _{n=1}^{\infty}n(n+1)(2n+1)$，最终得到$\dfrac{1}{12}\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(2n+1)(n+1)=\dfrac{1}{12}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 4=\dfrac{1}{3}$。
河大高等数学同济下册期末考试题及答案
咼等数学(下册)考试试卷 (一、填空题(每小题 3分，共计24分)1、 z = log a (x 2 y 2)(a 0)的定义域为 D= ____________________2 22、 二重积分In(xy )dxdy 的符号为 ______________ 。
|x| |y| 13、 由曲线 y In x 及直线x y e 1， 为 ___________ 。
x(t) 4、 设曲线L 的参数方程表示为y(t)2 25、 设曲面刀为x y 9介于z 0及zy 1所围图形的面积用二重积分表示为( x ),则弧长元素ds ______________223间的部分的外侧，贝U (x y 1)ds6、 微分方程dy y tan#的通解为 _______________________dx x x7、 方程y ⑷ 4y 0的通解为 ___________________ 。
、选择题(每小题 2分，共计16分)1、二元函数z f (x, y)在(X 0,y °)处可微的充分条件是()(A ) f (x, y)在(x °, y °)处连续;f x (x, y) , f y (x, y)在(X 0,y °)的某邻域内存在;(C ) f x (x 0,y 。
) x f y (x 0,y 。
)y 当,(x)2 y)20时，是无穷小;(D) limxf x (x °,y °) x f y (x °,y °) y i 2 2 (x) ( y) 2、设U yf(-) y xf(2),其中 x f 具有二阶连续导数，则ux 2 y xU 2 y等于 (A ) x y ；(B ) x ;(C) y ;(D)0 。
3、设2 :x 2 y z 2 1,z0,则二重积分 I zdV 等于()(A ) 4和2d13 .r sincos dr ; (B )0 .1 2 .d r sin0 0dr ;2 2y，其值8级数1n 1n(n 1)的和为(B)2 - 1 3(C) d 2 d r sin cos dr ； ( D)0 0 0 ? v2 2 2 鼻 2 —丄、亍2 2 4、球面x y z 4a与柱面x y2a cos ----------- 2 2(A) 4 2 d . 4a r dr ；o o ，a cos(C) 8 2 d r .. 4a2r2dr ；o o ，2d d0 013r sincos dr。
高等数学同济第五版下册工科期末资料
高等数学（下）模拟试卷一一、 填空题（每空3分，共15分） （1）函数11z x y x y =++-的定义域为（2）已知函数arctany z x =，则zx ∂=∂（3）交换积分次序，2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()L x y ds +=⎰ （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（ ）A. L 平行于πB. L 在π上C. L 垂直于πD. L 与π斜交 （2）设是由方程2222xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（ ）A.dx dy +B.2dx dy +C.22dx dy +D.2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()x y dv Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（ ）A.2253000d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B. 24530d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D.2252d r dr dzπθ⎰⎰⎰（4）已知幂级数，则其收敛半径（ ）A. 2B. 1C. 12D. 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=（ ）A . B.()x ax b xe + C.()x ax b ce ++ D.()xax b cxe ++1 2 nn nn x ∞= ∑三、计算题（每题8分，共48分） 1、求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z+-==的平面方程2、已知22(,)z f xy x y =，求zx ∂∂， z y∂∂3、 设22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求2Dx dxdy⎰⎰4、 求函数22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值5、计算曲线积分2(23sin )()y Lxy x dx xe dy++-⎰， 其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧6、求微分方程 xxy y xe '+=满足 11x y ==的特解四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰Ò，其中∑由圆锥面z =与上半球面z =所围成的立体表面的外侧(10)'2、（1）判别级数111(1)3n n n n∞--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）（2）在(1,1)x ∈-求幂级数1nn nx∞=∑的和函数（6'）高等数学（下）模拟试卷二一．填空题（每空3分，共15分）（1）函数2224ln(1)x y z x y -=--的定义域为 ； （2）已知函数xyz e =，则在(2,1)处的全微分dz = ； （3）交换积分次序，ln 1(,)e xdx f x y dy⎰⎰＝ ；（4）已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则Lyds =⎰；（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 .二．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（ ）； A. 0 B. 2πC.3πD.4π（2）设是由方程333z xyz a -=确定，则z x ∂=∂（）；A. 2yzxy z - B. 2yzz xy - C. 2xz xy z - D. 2xy z xy- （3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=（ ）； A.2()x ax b e + B.2()xax b xe + C.2()x ax b ce ++ D.2()x ax b cxe ++ （4）已知Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域, 将dvΩ⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为（ ）；A2220sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰B220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C20ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰D.220sin a d d r drππθϕϕ⎰⎰⎰（5）已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑，则其收敛半径（ ）.A. 2B. 1C. 12D.三．计算题（每题8分，共48分）5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、已知(sin cos ,)x yz f x y e +=，求zx ∂∂， z y ∂∂ .7、设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰.8、 求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)xx Ley y dx e y dy-+-⎰，其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段.6、求微分方程32(1)1y y x x '-=++的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（6'）判别级数11(1)2sin3n n nn π∞-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1n n x n∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰，∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧高等数学（下）模拟试卷一参考答案一、填空题：（每空3分，共15分）1、 {(,)|0,0}x y x y x y +>->2、22y x y -+ 3、4102(,)xdx f x y dy⎰⎰45、312x xy C e C e -=+二、选择题：（每空3分，共15分） 1.C 2.D 3.C 4A 5.D 三、计算题（每题8分，共48分） 1、解： 12(1,2,3){1,0,1}{2,1,1}A s s →→=-=2'121013211ij kn s s i j k →→→→→→→→→=⨯=-=-+ 6'∴平面方程为 320x y z -++=8'2、解： 令22u xy v x y == 2'2122z z u z v f y f xy x u x v x ∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 6' 2122z z u z v f xy f x y u y v y ∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 8' 3、解：:0202D r θπ≤≤≤≤， 3'22232230cos cos DDx dxdy r drd d r drπθθθθ∴==⎰⎰⎰⎰⎰⎰4π= 8'4．解：222(,)(2241)0(,)(22)0xx x y f x y e x y y f x y e y ⎧=+++=⎪⎨=+=⎪⎩ 得驻点1(,1)2-4'2222(,)(4484),(,)(44),(,)2x x xxx xy yy A f x y e x y y B f x y e y C f x y e ==+++==+== 6'2220,40A e AC B e =>-=>∴Q 极小值为11(,1)22f e -=-8' 5．解：223sin ,yP xy x Q x e =+=-，有2,P Q x y x ∂∂==∴∂∂曲线积分与路径无关 2'积分路线选择：1:0,L y x =从0π→，2:,L x yπ=从02→4'122(23sin )()y LL L xy x dx x e dy Pdx Qdy Pdx Qdy++-=+++⎰⎰⎰222203sin ()27y xdx e dy e πππ=+-=-+⎰⎰8'6．解：11,x x y y e P Q e x x '+=⇒== 2'∴通解为11()()[()][]dx dx P x dxP x dxx x x y e Q x e dx C e e e dx C --⎰⎰⎰⎰=+=+⎰⎰ 4'11[][(1)]x x e xdx C x e C x x =⋅+=-+⎰ 6'代入11x y ==，得1C =，∴特解为1[(1)1]x y x e x =-+8'四、解答题 1、解：22(22)xzdydz yzdzdx z dxdy z z z dv zdv ∑ΩΩ+-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò4'3cos sin r drd d ϕϕθϕΩ=⎰⎰⎰6'方法一：原式＝234cos sin 2d d dr πππθϕϕϕ=⎰⎰⎰10'方法二： 原式＝211202(1)2rd rdr zdz r r dr ππθπ=-=⎰⎰⎰⎰10'2、解：（1）令11(1)3n n n n u --=-1111131lim lim 1333n n n n n n n n u n n u n -∞+-→∞→∞=+=⋅=<∴∑收敛， 4'111(1)3n n n n∞--=∴-∑绝对收敛。
河大高等数学同济下册期末考试题及答案
高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。
7、方程04)4(=-y y的通解为 。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰212sin ππϕϕθdr r d d ； （C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。
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高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。
7、方程04)4(=-y y的通解为 。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰22013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。
4、球面22224a z y x =++与柱面ax y x 222=+所围成的立体体积V=（ ）（A ）⎰⎰-20cos 202244πθθa dr r a d ； （B ）⎰⎰-20cos 202244πθθa dr r a r d ；（C ）⎰⎰-20cos 202248πθθa dr r a r d ； （D ）⎰⎰--22cos 20224ππθθa dr r a r d 。
5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则⎰=+LQdy Pdx )(（A ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy x Q y P )(； （B ）⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy x P y Q )(； （C ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y Q x P )(； （D ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y P x Q )(。
6、下列说法中错误的是（ ） （A ） 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； （B ） 方程x y dxdyx dx dy ysin =+是一阶微分方程； （C ） 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； （D ）方程xyx dx dy 221=+是伯努利方程。
7、已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ，则曲线的方程为=y （ ）（A ）x e x2sin -； （B ）)2cos 2(sin x x e x-； （C ）)2sin 2(cos x x e x-； （D ）x e x2sin 。
8、设0lim =∞→n n nu , 则∑∞=1n nu（ ）（A ）收敛； （B ）发散； （C ）不一定； （D ）绝对收敛。
三、求解下列问题（共计15分）1、（7分）设g f ,均为连续可微函数。
)(),,(xy x g v xy x f u +==，求yu x u ∂∂∂∂,。
2、（8分）设⎰+-=t x tx dz z f t x u )(),(，求tux u ∂∂∂∂,。
四、求解下列问题（共计15分）。
1、计算=I ⎰⎰-2022xy dy edx 。
（7分） 2、计算⎰⎰⎰Ω+=dV y x I )(22，其中Ω是由x 21,222===+z z z y 及所围成的空间闭区域（8分） 五、（13分）计算⎰++-=L y x ydxxdy I 22，其中L 是xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点)0,0(O 的封闭曲线的逆时针方向。
六、（9分）设对任意)(,,x f y x 满足方程)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+，且)0(f '存在，求)(x f 。
七、（8分）求级数∑∞=++--11212)2()1(n n nn x 的收敛区间。
高等数学（下册）考试试卷（二）1、设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，则=∂∂+∂∂yzx z 。
2、=+-→→xyxyy x 93lim0 。
3、设⎰⎰=202),(x xdy y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。
4、设)(u f 为可微函数，且,0)0(=f 则⎰⎰≤+→=++222)(1lim 223t y x t d y x f t σπ 。
5、设L 为取正向的圆周422=+y x ，则曲线积分⎰=-++Lx x dy x ye dx ye y )2()1( 。
6、设→→→+++++=k xy z j xz y i yz x A )()()(222，则=A div 。
7、通解为xxe c e c y 221-+=的微分方程是 。
8、设⎩⎨⎧<<<≤--=ππx x x f 0,10,1)(，则它的Fourier 展开式中的=n a 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）。
1、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222422y x y x yx xy y x f ,则在点（0，0）处（ ）（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在。
2、设),(y x u 在平面有界区域D 上具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂y x u 及 +∂∂22x u 022=∂∂yu， 则（ ）（A ）最大值点和最小值点必定都在D 的内部； （B ）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上；（C ）最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上； （D ）最小值点在D 的内部，最大值点在D 的边界上。
3、设平面区域D ：1)1()2(22≤-+-y x ，若⎰⎰+=Dd y x I σ21)(，⎰⎰+=Dd y x I σ32)(则有（ ）（A ）21I I <； （B ） 21I I =； （C ）21I I >； （D ）不能比较。
4、设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间区域，则⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32 =（ ） （A ）3611； （B ）3621； （C ）3631 ； （D ）3641。
5、设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ )(βα≤≤t ，其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ， 则曲线积分⎰=Lds y x f ),(（ ）(A) ⎰βαψϕdt t t f ))(),((； (B)⎰'+'αβψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22 ；(C)⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22； (D)⎰αβψϕdt t t f ))(),((。
6、设∑是取外侧的单位球面1222=++z y x ， 则曲面积分⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz =（ ）(A) 0 ； (B) π2 ； (C)π ； (D)π4。
7、下列方程中，设21,y y 是它的解，可以推知21y y +也是它的解的方程是（ ） (A) 0)()(=++'x q y x p y ； (B) 0)()(=+'+''y x q y x p y ；(C) )()()(x f y x q y x p y =+'+''； (D) 0)()(=+'+''x q y x p y 。
8、设级数∑∞=1n na为一交错级数，则（ ）(A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若)0(0→→n a n ，则必收敛。
三、求解下列问题（共计15分） 1、（8分）求函数)ln(22z y x u ++=在点A （0，1，0）沿A 指向点B （3，-2，2）的方向的方向导数。
2、（7分）求函数)4(),(2y x y x y x f --=在由直线0,0,6===+x y y x 所围成的闭区域D 上的最大值和最小值。
四、求解下列问题（共计15分） 1、（7分）计算⎰⎰⎰Ω+++=3)1(z y x dvI ，其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体域。
2、（8分）设)(x f 为连续函数，定义⎰⎰⎰Ω++=dv y x f z t F )]([)(222， 其中{}222,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω，求dtdF 。
五、求解下列问题（15分） 1、（8分）求⎰-+-=Lx x dy m y e dx my y e I )cos ()sin (，其中L 是从A （a ，0）经2x ax y -=到O（0，0）的弧。
2、（7分）计算⎰⎰∑++=dxdy z dzdx y dydz x I 222，其中∑是)0(222a z z y x ≤≤=+ 的外侧。
六、（15分）设函数)(x ϕ具有连续的二阶导数，并使曲线积分⎰'++-'Lx dy x ydx xe x x )(])(2)(3[2ϕϕϕ与路径无关，求函数)(x ϕ。