2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式

2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式
模块基本信息
一级模块名称 微分学
二级模块名称
基础模块
三级模块名称 高阶导数的概念及常见高阶导数
公式
模块编号 2-10 先行知识
导数的概念 模块编号
2-2
知识内容 教学要求
掌握程度
1、高阶导数的概念 1、理解高阶导的概念
一般掌握
2、常见初等函数的高阶导数 2、熟记常见初等函数的高阶导
3、莱布尼兹公式
3、掌握隐函数高阶导的求解（一般
是二阶）
4、隐函数的高阶导数
4、掌握参数方程高阶导的求解（一
般是二阶）
5、参数方程的高阶导数
5、熟记正弦、余弦等常见函数的n
阶导数公式
能力目标 1、提高学生的观察分析能力
2、培养学生的逻辑思维、类比推导能力
时间分配
45分钟
编撰
黄小枚
校对
方玲玲
审核
危子青
修订
肖莉娜 二审 危子青
一、正文编写思路及特点：
思路：本文先借助速度和加速度的概念引出高阶导数的定义，
然后分别介绍常见的初等函数的高阶导数、莱布尼兹公式、隐函数的高阶导数、参数方程的高阶导数。

特点：通过实际问题引出高阶导数的概念，在求解高阶导数时分类进行讲解，层层递进，有助于学生理解和掌握。

二、授课部分 1.引例
（1） 变速直线运动的速度)(t v 是位置函数)(t s 对时间t 的导数，即
)()('t s t v = 或dt
ds
t v =
)( （2） 速度函数)(t v 对时间t 的变化率就是加速度)(t a ，即)(t a 是)(t v 对t 的导数：
[]'
')(')()(t s t v t a ==或)()(dt
ds
dt d t a =
（3）加速度)(t a 就是位置函数)(t s 对时间t 的导数的导数，称
为)(t s 对t 的二阶导数，记为)('
't s 或22dt
s
d
2．高阶导数的定义
设y=f(x)在某区间上可导，即有 ()x f ' 存在，如果()x f '也可导，则称()x f ' 的导数为函数 f(x) 的二阶导数。

记 y '', 或
)(x f '', 22dx y d , dx x f d )
(2
根据导数的定义可知：''0()()
()lim x f x x f x f x x
→+-''=V V V
类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作
y ''', y (4), ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ⋅ ⋅ ⋅ , n
n dx
y
d .
函数f (x )具有n 阶导数, 也常说成函数f (x )为n 阶可导. 注：（1）如果函数f(x)在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f(x)在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数.
（2）二阶及二阶以上的导数y '' y ''' y (4) ⋅⋅ y (n )统称高
阶导数.
3.常见初等函数的高阶导数
例1 已知3y x = 求()n y （一级） 解: ()()423;6;6;0;,0.n y x y x y y y ''''''=====L 课堂练习：已知y =e x 求它的n 阶导数. 例2 已知sin y x =求它的n 阶导数. （一级） 解:)2
sin(cos π+=='x x y ,
)2
2sin()2
2
sin()2
cos(ππππ⋅+=++=+=''x x x y ,
)2
3sin()2
2
2sin()2
2cos(ππππ⋅+=+⋅+=⋅+='''x x x y ,
)2
4sin()2
3cos()4(ππ⋅+=⋅+=x x y ,
一般地, 可得
)2
sin()(π⋅+=n x y n , 即)2
sin()(sin )(π⋅+=n x x n .
用类似方法, 可得)2
cos()(cos )(π⋅+=n x x n .
（选讲）例3 已知()1
1y x -=+求它的n 阶导数. （一级） 解：()()2
11;y x -'=-+ ()()()3121;
y x -''=--+
()()()()4
1231;
y x -'''=---+
一般的，可得
()()()
()
11!1.
n
n n y n x -+=-⋅⋅+
课堂练习：求函数()ln 1x +的n 阶导数
常见初等函数的高阶导数
()()
()
()()()
()()()()()()
()()
()
()
()()()
()
()
()()
()
1
111,02sin sin 23cos cos 24ln 1!
5ln 1111n n
n
n
n n
x x n n n
x n x R x x x n x x n a a a n x x x ααααααππ--=⋅--+⋅∈>⎛⎫
=+⋅ ⎪
⎝
⎭⎛
⎫=+⋅ ⎪
⎝
⎭=-+=->-+g L g
4.莱布尼茨公式
如果函数()u u x =及()v v x =都在点x 处具有n 阶导数, 那么显然函数,u v uv ±，也在点x 处具有n 阶导数, 且 ()
()
()()n n n u v u v ±=±
∑=-=n
k k k n k n
n v u C uv 0
)()()()(, 此式称为莱布尼茨公式.
例4．22x y x e =求()20y ). （二级） 解: 设22,x u e v x == 则 ()()221,2,,20k k x u e k ==L
()()
2,2,03,4,20k
v x v v k '''====L
代入莱布尼茨公式, 得
()(
)
200020111922183317202002020202020uv C v u C v u C v u C v u C v u =+++++L
022*******
18220202022222x x x C x e C x e C e =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
()202222095x e x x =⋅++
5.隐函数的高阶导数
例 1.()y y x =是由方程y e xy e +=所确定的隐函数,试求()/y 0,()//y 0。

（二级）
解: 方程两边对x 求导： y //e y y xy 0++= ①
方程两边再对x 求导：
()2
y //y ////e y e 2y xy 0y +++= ②
由原方程知，当0x =时，1y =，代入①得/1(0)y e
=-
再将0x =，1y =，/1(0)y e
=-代入②式，
得 //21(0)y e
=
注：隐函数的高阶导数就是对方程两边多求几次导，然后把低价导数代入等式。

6.参数方程的高阶导数
例1 求方程⎩
⎨
⎧==t b y t
a x sin cos ()π20≤≤t 所确定的函数的一阶导数dx dy
及二阶导数22dx y d . （二级）
解：
t a
b t a t b dx dy cot sin cos -=-= t
a b
t a t
a b
dt dx dx dy dt d dx y d 3
2222
sin sin csc /-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛= 注：求参数方程的高阶导数应注意在求导数的时候找准函数的自变量.
三、能力反馈部分 1、（考查函数的二阶导数的掌握程度）
已知sin x y e -=，求''y
2、（考查隐函数的n 阶导数的掌握程度）
已知6y x xe ye +=，求()n y
3、（考查参数方程的高阶导数的掌握程度）
33
cos sin x a t y b t ⎧=⎨=⎩
已知22
d y dx 求.。