埃伦费斯特定理

埃伦费斯特定理[编辑]

量子力学里，埃伦费斯特定理（Ehrenfest theorem）表明，量子算符的期望值对于时间的导数，跟这量子算符与哈密顿算符的对易算符，两者之间的关系，以方程表达为[1]

；

其中，是某个量子算符，是它的期望值，是哈密顿算符，是时间，是约化普朗克常数。

埃伦费斯特定理是因物理学家保罗·埃伦费斯特命名。在量子力学的海森堡绘景里，埃伦费斯特定理非常显而易见；取海森堡方程的期望值，就可以得到埃伦费斯特定理。埃伦费斯特定理与哈密顿力学的刘维尔定理密切相关；刘维尔定理使用的泊松括号，对应于埃伦费斯特

定理的对易算符。实际上，从根据经验法则，将对易算符换为泊松括号乘以，再取趋向于0 的极限，含有对易算符的量子定理就可以改变为含有泊松括号的经典定理。

为，则算符的期望值对于时间的导数为

表明哈密顿算符与时间

。

。

，

。

将这三个方程代入的方程，则可得到

。

所以，埃伦费斯特定理成立：

。

使用埃伦费斯特定理，可以简易地证明，假若一个物理系统的哈密顿量显性地不含时间，则这系统是保守系统。

从埃伦费斯特定理，可以计算任何算符的期望值对于时间的导数。特别而言，速度的期望值和加速度的期望值。知道这些资料，就可以分析量子系统的运动行为。

保守的哈密顿量[编辑]

思考哈密顿算符：

。

假若，哈密顿量显性地不含时间，，则

，

哈密顿量是个常数

为的粒子，移动于一维空间．其

;

其中，为位置，是，

。

由于，位置的期望值对于时间的导数等于速度的期望值：

。

这样，可以得到动量的期望值。

动量的期望值对于时间的导数[编辑]

应用埃伦费斯特定理，

。

由于与自己互相交换，所以，。又在坐标空间里，动量算符不含时间：。所以，

。

将泊松括号展开，

。

。

在量子力学里，动量的期望值对于时间的导数，等于作用力的期望值。

，，则可得到一组完全的量子运动方程：

，

。

这组量子运动方程，精确地对应于经典力学的运动方程：

，

。

。这经典极限是什么呢？标记为。设定。

开于：

。

由于，，

。

这近似方程右手边的第二项目就是误差项目。只要这误差项目是可忽略的，就可以取经典极限。而这误差项目的大小跟以下两个因素有关：

一个是量子态对于位置的不可确定性。

另一个则是位势随着位置而变化的快缓。