2.1.1合情推理(第1课时)归纳推理 学案(含答案)
探究式导学案7：2.1.1合情推理
4.综合法：从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列
的中间推理,最后导出所求证的命题.综合法是一种由因所果的证明方法.
5.分析法:一般地，从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，
逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻
2.1.1合情推理
一.知识再现
1.归纳推理的定义：由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳)
2.类比推理的定义：由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推测出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
合为止，这种证明的方法叫做分析法．分析法是一种执果索
因的证明方法.
6.反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立
7.数学归纳法：定义:设 是一个与正整数相关的命题集合,如果(1)证明起始命题 (或 )成立;(2)在假设 成立的前提下，推出 也成立， 对一切正整数都成立.
比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}
的前n项和．
(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确？并加以证明；
(2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．
2．如图，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α、β，则cos2α＋cos2β＝1，则在立，且 ，则 （）
A．0 B． C． D．
学案8：2.1.1 合情推理
2.1.1 合情推理自学引导了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理.课前热身1. 归纳推理．由某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这种特征的推理，称为________．概括为由________到________的推理．2. 类比推理．由两类对象具有某些________和其中一类对象的某些________，推出另一类对象也具有________的推理称为类比推理，其特征是由________到特殊的推理．3. 合情推理．根据已有的________，经过观察、分析、________、________，再进行________、________，然后提出猜想的推理，统称为合情推理.名师讲解1. 归纳推理(1) 归纳推理的分类①完全归纳推理：由某类事物的全部对象推出结论，显然该结论一定正确．②不完全归纳推理：由某类事物的部分对象推出结论．该结论不一定正确．(2) 归纳推理的一般步骤第一步：观察、分析所有特殊情况的共性，如图形中的点、线的个数、位置关系，数列中项的变化规律，一系列式子的运算特点等．第二步：把第一步观察到的共性进行推广，形成一般化的结论．如数列的通项公式，式子的运算结果等等．2. 类比推理(1) 特点①类比推理是由特殊到特殊的推理．②类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．③类比推理以旧的知识作基础，推出新的结果，具有发现功能．(2) 类比推理的一般步骤第一步：找出两类事物之间的相似性或一般性；第二步：用一类事物的性质推测出另一类事物的性质，得出一个明确的结论．3. 合情推理(1) 合情推理过程可用下图表示为：(2) 特点由合情推理的过程知，合情推理的结论往往超越前提所包容的范围，带有猜想的成份，所以推理所得的结论未必正确，但是合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供证明的思路和方 向的作用.典例剖析题型一 归纳推理的应用例1 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n(n ∈N *)，试猜想这个数列的通项公式．变式训练1 由数列的前四项32，1，58，38，…，归纳出通项公式．题型二 类比推理的应用例2 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．规律技巧 利用直角三角形的有关性质，通过观察四面体的结构分析面的关系，比较二者的内在联系，从中类比出四面体的相似命题提出猜想.结论中S 2＝S 21＋S 22＋S 23为真命题. 变式训练2 通过计算可得下列等式：22－12＝2×1＋1，32－22＝2×2＋1，42－32＝2×3＋1，……(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，将以上各等式两边分别相加得(n ＋1)2－12＝2(1＋2＋…＋n )＋n ，即1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 类比上述求法，请你写出12＋22＋32＋…＋n 2的结果．题型三 合情推理的应用例3 设f (n )＝n 2＋n ＋41(n ∈N *)，计算f (1)，f (2)，f (3)，…，f (10)的值，同时作出归纳推理，并判断是否对所有n∈N*都成立．变式训练3观察下列等式13＋23＝9，13＋23＋33＝36，13＋23＋33＋43＝100，13＋23＋33＋43＋53＝225，……想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？猜一猜有什么规律，并把这些规律用等式表示出来．参考答案课前热身1.归纳推理特殊一般2.类似特征 已知特征 这些特征 特殊3.事实 比较 联想 归纳 类比例1 解：在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n(n ∈N *)， ∴a 2＝2a 12＋a 1＝23， a 3＝2a 22＋a 2＝2×232＋23＝12＝24， a 4＝2a 32＋a 3＝2×242＋24＝25， ……由此可以猜想a n ＝2n ＋1. 变式训练1 解：32＝1＋22，1＝2＋222，58＝3＋223，38＝616＝4＋224… 故通项公式为a n ＝n ＋22n . 例2 解：如图①所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.设a ，b ，c 分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.类似地，在四面体P DEF 中，∠PDF ＝∠PDE ＝∠EDF ＝90°.设S 1，S 2，S 3和S 分别表示△PDF ，△PDE ，△EDF 和△PEF 的面积(图②)，相应于图①中直角三角形的两条直角边a ，b 和1条斜边c ，图②中的四面体有3个“直角面”S 1，S 2，S 3和1个“斜面”S .于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S 2＝S 21＋S 22＋S 23成立．变式训练2 解：∵23－13＝3×12＋3×1＋1，33－23＝3×22＋3×2＋1，43－33＝3×32＋3×3＋1，……(n ＋1)3－n 3＝3×n 2＋3n ＋1.将以上各等式两边分别相加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n )＋n ，∴12＋22＋32＋…＋n 2＝13[(n ＋1)3－1－n －32n (n ＋1)] ＝16n (n ＋1)(2n ＋1)． 例3 解：f (1)＝12＋1＋41＝43，f (2)＝22＋2＋41＝47，f (3)＝32＋3＋41＝53，f (4)＝42＋4＋41＝61，f (5)＝52＋5＋41＝71，f (6)＝62＋6＋41＝83，f (7)＝72＋7＋41＝97，f (8)＝82＋8＋41＝113，f (9)＝92＋9＋41＝131，f (10)＝102＋10＋41＝151.从中知f (1)，f (2)，f (3)，…，f (10)的值都为质数， 所以归纳得出猜想：f (n )＝n 2＋n ＋41的值为质数． 因为f (40)＝402＋40＋41＝41×41为合数，所以猜想f (n )＝n 2＋n ＋41的值为质数是错误的． 变式训练3 解：13＋23＝(1＋2)2，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2， ……由此可以猜想的结论是13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2(n ＝1,2,3…)．。
学案9：2.1.1 合情推理
2.1.1 合情推理学习目标：1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．教材新知：知识点一：归纳推理提出问题如图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图乙中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA1，OA2，…，OA n的长度构成数列{a n}，问题1：试计算a1，a2，a3，a4的值．问题2：由问题1中的结果，你能猜想出数列{a n}的通项公式a n吗？问题3：直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？问题4：以上两个推理有什么共同特点？导入新知1．归纳推理的定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．2．归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．化解疑难归纳推理的特点(1)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具；(2)一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠.知识点二：类比推理和合情推理 提出问题问题1：在三角形中，任意两边之和大于第三边．那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？问题2：三角形的面积等于底边与高乘积的12.那么，在四面体中，如何表示四面体的体积？问题3：以上两个推理有什么共同特点？问题4：以上两个推理是归纳推理吗？导入新知1．类比推理的定义由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理．2．类比推理的特征类比推理是由特殊到特殊的推理． 3．合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，称为合情推理．化解疑难对类比推理的定义的理解(1)类比推理是两类对象特征之间的推理．(2)对象的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互联系和相互制约的，如果两个对象有些性质相似或相同，那么它们另一些性质也可能相似或相同．(3)在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比提出新问题和获得新发现． 例题讲解：题型一：数、式中的归纳推理例1：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23，且S n ＋1S n ＋2＝a n (n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．类题通法归纳推理的一般步骤归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．该过程包括两个步骤：(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)． 活学活用：(1)观察分析下表中的数据：． (2)将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10…按照以上排列的规律，则第n (n ≥3)行从左向右数第3个数为________． 题型二：图形中的归纳推理例2：(1)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36(2)把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是________．类题通法解决图形中归纳推理的方法解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手： (1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．活学活用：如图，第n 个图形由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1，2,3，…)，则第n 个图形中的顶点个数为( )A ．(n ＋1)(n ＋2)B ．(n ＋2)(n ＋3)C ．n 2D ．n题型三：类比推理例3：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列． 类题通法类比推理的一般步骤类比推理的思维过程大致是：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论． 该过程包括两个步骤：(1)找出两类对象之间的相似性或一致性；(2)用一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题(猜想)． 活学活用：如图，在△ABC 中，a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，写出对空间四面体性质的猜想．题型四：从平面到空间的类比例4：三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，并填写下表：1．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到()A．空间中平行于同一直线的两直线平行B．空间中平行于同一平面的两直线平行C．空间中平行于同一直线的两平面平行D．空间中平行于同一平面的两平面平行2．根据给出的等式猜测123 456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111A．1 111 110B．1 111 111C．1 111 112D．1 111 1133．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．4．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为____________________．5．已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则AGGD＝2.”若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则AOOM＝k(k为定值)”，求k的值．参考答案教材新知：知识点一：归纳推理问题1：答：由图知a 1＝OA 1＝1， a 2＝OA 2＝OA 21＋A 1A 22＝12＋12＝2， a 3＝OA 3＝OA 22＋A 2A 23＝22＋12＝3， a 4＝OA 4＝OA 23＋A 3A 24＝32＋12＝4＝2.问题2：答：能猜想出a n ＝n (n ∈N *)． 问题3：答：所有三角形的内角和都是180°. 问题4：答：都是由个别事实推出一般结论． 知识点二：类比推理和合情推理 提出问题问题1：答：四面体中任意三个面的面积之和大于第四个面的面积． 问题2：答：四面体的体积等于底面积与高乘积的13.问题3：答：根据三角形的特征，推出四面体的特征．问题4：答：不是．归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从特殊到特殊的推理 例题讲解：题型一：数、式中的归纳推理例1：解：当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－43，所以S 2＝－34；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－54，所以S 3＝－45；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－65，所以S 4＝－56.猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2，n ∈N *.活学活用：【解析】(1)观察表中数据，并计算F ＋V 分别为11,12,14，又其对应E 分别为9,10,12，容易观察并猜想F ＋V －E ＝2.(2)前(n －1)行共有正整数[1＋2＋…＋(n －1)]个，即n 2－n2个，因此第n 行从左向右数第3个数是全体正整数中第⎝⎛⎭⎫n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62. 【答案】(1)F ＋V －E ＝2 (2)n 2－n ＋62题型二：图形中的归纳推理例2：【解析】(1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 【答案】(1)B (2)28活学活用：【解析】第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n 个图形共有(n ＋2)(n ＋3)个顶点. 【答案】B 题型三：类比推理例3：【解析】由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列．下面证明该结论的正确性：设等比数列{b n }的公比为q ，首项为b 1，则T 4＝b 41q 6，T 8＝b 81q 1＋2＋…＋7＝b 81q 28，T 12＝b 121q 1＋2＋…＋11＝b 121q 66， T 16＝b 161q 1＋2＋…＋15＝b 161q120， ∴T 8T 4＝b 41q 22，T 12T 8＝b 41q 38， T 16T 12＝b 41q 54， 即⎝⎛⎭⎫T 8T 42＝T 12T 8·T 4，⎝⎛⎭⎫T 12T 82＝T 8T 4·T 16T 12， 故T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．【答案】T 8T 4 T 12T 8活学活用：解：如图所示，在四面体P ABC 中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面P AB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.题型四：从平面到空间的类比例4：解：三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的面， 即平面的线类比到空间为面．三角形的中位线对应四面体的中截面(以任意三条棱的中点为顶点的三角形)，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球．具体见下表：1．【解析】利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比． 【答案】D2．【解析】由题中给出的等式猜测，应是各位数都是1的七位数，即1 111 111. 【答案】B3．【解析】V 1V 2＝13S 1h113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.【答案】1∶84．【解析】观察等式，发现等式左边各指数幂的指数均为3，底数之和等于右边指数幂的底数，右边指数幂的指数为2，故猜想第五个等式应为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.【答案】13＋23＋33＋43＋53＋63＝2125．解：如图，易知球心O 在线段AM 上，不妨设四面体ABCD 的边长为1，外接球的半径为R ，则BM ＝32×23＝33， AM ＝12－⎝⎛⎭⎫332＝63，R ＝⎝⎛⎭⎫63－R 2＋⎝⎛⎭⎫332，解得R ＝64.于是，k ＝AOOM ＝6463－64＝3.。
学案14：2.1.1 合情推理
2.1.1 合情推理学习目标1.了解合情推理的含义及作用．2.理解归纳推理与类比推理的特点及步骤．3.会利用归纳和类比的方法进行推理．新知提炼1．推理(1)定义：根据一个或几个 (或假设)得出一个判断，这种思维方式就是 ．(2)结构：推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做 ；一部分是由已知判断推出的新判断，叫做 ．(3)分类：推理⎩⎨⎧2．合情推理(1)合情推理①定义：当前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．②分类： 和 是数学中常用的合情推理．(2)归纳推理和类比推理自我尝试1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理是由一般到一般的推理过程．( )(2)归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确．( )(3)类比推理得到的结论可以作为定理应用．( )2．数列5，9，17，33，x ，…中的x 等于( )A．47B．65C．63 D．1283．各项都为正数的数列{a n}中，a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，求数列{a n}的通项公式．题型探究题型一数与式的推理例1(1)由下列各式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…请你归纳出一般结论．(2)已知数列{a n}的第1项a1＝1，且a n＋1＝a n1＋a n(n＝1，2，3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．方法归纳由已知数、式进行归纳推理的步骤(1)要注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律．(2)要注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征．(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点．(4)运用归纳推理得出一般结论．跟踪训练 1.观察下列等式：1＋1＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，…照此规律，第n个等式可为________________________．2．已知数列{a n }满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n∈N＋)．(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项公式a n.题型二归纳推理在几何图形中的应用例2如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N＋)个点，每个图形总的点数记为a n，则a6＝________，a n＝________(n>1，n∈N＋)．方法归纳归纳推理在图形中的应用策略跟踪训练 1.把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．则第七个三角形数是()A．27B．28 C．29 D．302．根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有________个点．题型三 类比推理及其应用例3 类比平面内直角三角形的勾股定理，试写出空间中四面体性质的猜想．方法归纳类比推理的一般步骤跟踪训练 1.下面使用类比推理正确的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋b c(c ≠0)” D ．“(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”2．已知△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，用S △ABC 表示△ABC 的面积，则S △ABC ＝12r (a ＋b ＋c )．类比这一结论有：若三棱锥A BCD 的内切球半径为R ，求三棱锥A BCD 的体积．课堂小结1．利用归纳推理解决问题时，要善于归纳，要对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法，要准确捕捉有用信息并进行分析，大胆猜测，小心验证即可．2．利用类比推理解决问题时一定要注意两类事物的相似性，例如，拿分式同分数类比、平面几何与立体几何的某些对象类比等，但类比推理的结论不一定正确，需要证明．当堂检测1．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适( )A ．三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形2．由数列1，10，100，1000，…，猜测该数列的第n 项可能是( )A ．10nB ．10n －1C ．10n ＋1D ．10n －23．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．4．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有__________．参考答案新知提炼1．推理(1)已知事实 推理(2)前提 结论(3)合理推理 演绎推理2．合情推理(1)②归纳推理 类比推理(2) 部分 所有两类 类似 一致自我尝试1．(1)× (2)√ (3)×2．B3．a n ＝n （n ＋1）2题型探究题型一 数与式的推理例1 解：(1)由左、右两边各项幂的底数之间的关系：1＝1，1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，可得一般结论：13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2，即13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）22. (2)当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12； 当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13；当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14. 通过观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，由此归纳出a n ＝1n. 跟踪训练 1. (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)【解析】观察规律可知，左边为n 项的积，最小项和最大项依次为(n ＋1)，(n ＋n )，右边为连续奇数之积乘以2n ，则第n 个等式为：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)．2．解：(1)当n ＝1时，a 2＝2a 1＋1＝2×1＋1＝3，当n ＝2时，a 3＝2a 2＋1＝2×3＋1＝7，同理可得a 4＝15，a 5＝31.(2)由于a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1，所以可归纳猜想a n ＝2n －1(n ∈N ＋).题型二 归纳推理在几何图形中的应用例2 15 3n －3[解析] 依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a 6＝3×6－3＝15.由n ＝2，3，4，5，6的图形特点归纳得a n ＝3n －3(n >1，n ∈N ＋)． 跟踪训练 1. B【解析】把1，3，6，10，15，21，…依次记为a 1，a 2，…，则可以得到a 2－a 1＝2， a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，a 6－a 5＝6，所以a 7－a 6＝7，即a 7＝a 6＋7＝28.2．n 2－n ＋1【解析】观察图形的变化规律可得：图(2)从中心点向两边各增加1个点，图(3)从中心点向三边各增加2个点，图(4)从中心点向四边各增加3个点，如此，第n 个图从中心点向n 边各增加(n －1)个点，易得答案：1＋n ·(n －1)＝n 2－n ＋1.题型三 类比推理及其应用例3 解：如图(1)，在Rt △ABC 中，由勾股定理得：c 2＝a 2＋b 2；类比直角三角形的勾股定理，在四面体P DEF 中，如图(2)，猜想：S 2＝S 21＋S 22＋S 23(S 、S 1、S 2、S 3分别是四面体P DEF 的面△PEF 、△DEF 、△PFD 、△PDE 的面积)．跟踪训练 1. C【解析】A 错，因为类比的结论a 可以不等于b ；B 错，类比的结论不满足分配律；C 正确；D 错，乘法类比成加法是不成立的．2．解：内切圆半径r ――→类比内切球半径R ，三角形的周长：a ＋b ＋c ――→类比三棱锥各面的面积和：S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD ，三角形面积公式系数12 ――→类比三棱锥体积公式系数13. 所以类比得三棱锥体积V A BCD ＝13R (S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD )． 当堂检测1．C【解析】只有平行四边形与平行六面体较为接近．2．B【解析】数列各项依次为100，101，102，103…，由归纳推理可知，选B.3．1∶8【解析】V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18. 4．f (2n )>n ＋22【解析】通过观察归纳可得f (2n )>n ＋22.。
2.1.1合情推理---归纳推理类比推理演绎推理学案
12.1.1 合情推理（1）---归纳推理学习目标1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.学习过程学习探究探究任务一：考察下列示例中的推理问题1:.1．哥德巴赫猜想：哥德巴赫观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,50=13+37, ……1000=29+971，, …… 猜测：问题2：铜、铁、铝、金、银等金属能导电，归纳出：问题3：因为三角形的内角和是180(32)︒⨯-，四边形的内角和是180(42)︒⨯-，五边形的内角和是180(52)︒⨯-……归纳出n 边形的内角和是新知1归纳推理：有某类事物的部分对象具有的特征，推出该类事物的 叫做归纳推理。
简言之：，归纳推理是 的推理归纳推理的一般步骤1 通过观察个别情况发现某些相同的性质。
2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）。
典型例题例1观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23， 1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25， ……你能猜想到一个怎样的结论？变式1 观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100， …… 你能猜想到一个怎样的结论？例2.已知数列{}n a 的第一项11a =，且nnn a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通项公式例3.在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为1a ，公差为d 的等差数列{a n }的通项公式的？例4.设2()41,f n n n n N +=++∈计算(1),(2),(3,)...(10)f f f f 的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。
动手试试练1..练2. 观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律？三、总结提升学习小结1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.知识拓展四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.当堂检测1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）.A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2. 已知2()(1),(1)1()2f xf x ff x+==+*x N∈（），猜想(f x）的表达式为（）.A.4()22xf x=+B.2()1f xx=+C.1()1f xx=+D.2()21f xx=+课后作业1.已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,……1+2+3+……+n=(1)2n n+，观察下列立方和：13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，……试归纳出上述求和的一般公式。
教学设计7：2.1.1合情推理
2.1.1合情推理教学目标1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．知识链接1．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．由合情推理得到的结论可靠吗？答一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了．教学导入1．归纳推理和类比推理(1)归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出该类事物的所有对象都具有这种性质的推理，归纳是从特殊到一般的过程．(2)类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)，类比推理是由特殊到特殊的推理．2．合情推理(1)定义前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理．(2)合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想教学案例要点一归纳推理的应用例1观察如图所示的“三角数阵”1 (1)22 (2)343 (3)4774 (4)5 11 14 11 5 (5)…………记第n (n ＞1)行的第2个数为a n (n ≥2，n ∈N ＋)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________； (2)依次写出a 2、a 3、a 4、a 5； (3)归纳出a n ＋1与a n 的关系式．解 由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数． (1)6 16 25 25 16 6 (2)a 2＝2，a 3＝4，a 4＝7，a 5＝11. (3)∵a 3＝a 2＋2，a 4＝a 3＋3，a 5＝a 4＋4， 由此归纳：a n ＋1＝a n ＋n (n ≥2，n ∈N ＋)．规律方法 对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．跟踪演练1 根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1； (2)a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n；(3)对一切的n ∈N ＋，a n >0，且2S n ＝a n ＋1. 解 (1)由已知可得a 1＝3＝22－1， a 2＝2a 1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a 3＝2a 2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a 4＝2a 3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想a n ＝2n ＋1－1，n ∈N ＋. (2)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a.猜想a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a (n ∈N ＋)．(3)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1， ∴a 1＝1.又2S 2＝a 2＋1，∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0.∵对一切的n ∈N ＋，a n >0， ∴a 2＝3.同理可求得a 3＝5，a 4＝7， 猜想出a n ＝2n －1(n ∈N ＋)． 要点二 类比推理的应用例2 如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解如右图所示，在四面体P ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面P AB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ. 规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)平面图形与空间图形类比平面图形 空间图形 点 线 线 面 边长 面积 面积 体积 线线角 二面角 三角形四面体跟踪演练2 已知P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝py ，所以过P 的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________．【答案】2x －y －2＝0【解析】将双曲线方程化为y 2＝2(x 2－1)，类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′＝4x ，则y ′＝2x y ，即过P 的切线的斜率k ＝2x 0y 0，由于P (2，2)，故切线斜率k ＝222＝2，因此切线方程为y －2＝2(x －2)，整理得2x －y －2＝0. 要点三 平面图形与空间图形的类比 例3 三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：解球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．跟踪演练3类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．①②C．①②③D．③【答案】C【解析】由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确.当堂检测1．下列说法正确的是()A．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误 【答案】B【解析】根据合情推理定义可知，合情推理必须有前提有结论．2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大【答案】A【解析】由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色． 3．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ……………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 【答案】n 2－n ＋62【解析】前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.4．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________. 【答案】1 000【解析】由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000.。
合情推理(第一课时)
第二章合情推理与演绎推理§2.1.1.1合情推理(第一课时)一、教学目标：1、知识与技能：掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。
2、过程与方法：通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。
3、情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
二、教学重点：归纳推理及方法的总结。
三、教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。
四、教学过程：（一）问题情境：1、引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”①提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？②探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？从而引入两则小典故：A：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？B ：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。
③思考：整个过程对你有什么启发？④启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
2、数学皇冠明珠追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。
这是世界近代三大数学难题之一。
哥德巴赫是一位著名的数学家。
据说哥德巴赫无意中观察到：3+7=10，3+17=20，13+17=30，于是他对一些偶数进行验证，由此他大胆地猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。
这就是着名的哥德巴赫猜想，它是数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。
许多优秀的数学家都在努力证明这个猜想，而且也取得了很好的进展。
思考：哥德巴赫是如何提出这个猜想的？学生交流、探讨：他是通过对一些偶数的验证，发现它们总可以表示成两个奇质数之和，而且没有出现反例，从而提出这个猜想。
（二）推进新课1、归纳推理的定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。
探究式导学案4：2.1 .1合情推理
2.1.1合情推理——归纳推理（2）自学指导1、什么叫推理？学生活动：思考、交流、讨论……教师引导学生概括：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．任何推理都包含前提和结论两个部分．前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．2、什么样的推理是归纳推理呢？教师引导学生概括得到：上述几个例子均是从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理．3、该如何进行归纳推理？归纳推理的思维过程：→→4、归纳推理的结论一定成立吗？教学过程及方法环节二合作释疑环节三点拨拓展过程设计二次备课教材三个推理案例的共同点是它们都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是在推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可以分为合情推理与演绎推理．在案例1中，由“对自然数n的几个特殊值，211n n－＋都是质数”，推出“对所有自然数n，211n n－＋都是质数．”我们再看几个类似的推理实例：1．蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的．因为蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所以我们猜想所有的爬行动物都是用肺呼吸的．2．三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形实验、观察概括、推广猜测一般性结论的内角和是540︒．由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n ︒－×．3．221222221331332333+++ +++＜，＜，＜，，由此我们猜想：a a mb b m＋＜＋（a ，b ，m 均为正实数）． 学生活动 举出具有上述结构特征的推理的例子．教师引导学生概括得到：上述几个例子均是从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理． 归纳推理的一般步骤：（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； （2）提出带有规律性的结论，即猜想； （3）检验猜想． 归纳推理的思维过程：例1、已知数列}{n a 的每一项均为正数，221111(12)n n a a a n＋＝，＝＋＝，，，试归纳出数列}{n a 的一个通项公式．变式1、 已知数列{a n }的通项公式21()(1)n a n n +N ＝∈＋，12()(1)(1)(1)n f n a a a ⋅⋅⋅＝－－－．试通过计算(1)(2)(3)f f f ，，的值，推测出()f n 的值．变式2、分别写出下列各数列的前4项，并推测出此数列的通项公式 （1）111,21(n 2)n n a a a -==+≥ （2）111,(n )2n nn a a N n a *+==∈+ 实验，观察 概括，推广猜测一般性结论例2．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式。
合情推理第一课时教案
2.1.1合情推理（第一课时）
一、教学目标：
1．知识技能目标：
理解归纳推理的概念，了解归纳推理的作用，掌握归纳推理的一般步骤，会利用归纳进行一些简单的归纳推理.
2．过程方法目标：
学生通过积极主动地参与课堂活动，经历归纳推理概念的获得过程，了解归纳推理的含义;通过欣赏一些伟大猜想的产生过程，体会并认识利用归纳推理能猜测和发现一些新事实、得出新结论的作用并明确归纳推理的一般步骤；通过具体解题，通过自主学习归纳推理的一般方法，建构归纳推理的思维方式.
3．情感态度，价值观目标：
学生通过主动探究、合作学习、相互交流，培养不怕困难、勇于探索的优良作风，增强了数学应用意识.
二、教学重点，难点
重点：归纳推理的含义与作用难点：利用归纳法进行简单的合情推理。
2.1.1合情推理导学案
§2.1.1 合情推理（1）学习目标1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.【预习案】（预习教材P28~ P30，找出疑惑之处）在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是的思维过程.问题1:哥德巴赫猜想：观察6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想：.问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出.新知：归纳推理就是由某些事物的,推出该类事物的的推理，或者由的推理.简言之，归纳推理是由的推理.【我的疑惑】【探究案】探究1：观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23，1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25，……你能猜想到一个怎样的结论？变式：观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100，……你能猜想到一个怎样的结论？探究2：已知数列{}n a 的第一项11a =，且nn n a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通项公式.变式：在数列{n a }中，11()2n n na a a =+（2n ≥），试猜想这个数列的通项公式.高考回顾：1.（山东理15）设函数()(0)2x f x x x =>+,观察:1()(),2x f x f x x ==+21()(()),34x f x f f x x ==+ 32()(()),78x f x f f x x ==+43()(()),1516x f x f f x x ==+根据以上事实，由归纳推理可得：当n N +∈且2n ≥时1()(())n n f x f f x -== .2.（陕西理13）观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n 个等式为 。
合情推理学案
2.1.1合情推理（1）学习目标：1、结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义.2、能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 自学课本：P26—27自学指导：1、归纳推理：简称归纳，是由个别事实推演、猜想出一般性结论的推理。
即由 到 。
归纳推理的一般步骤：2、统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？3、归纳推理有何作用？4、归纳推理的结果是否正确？自学检测：1、观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？2、已知数列{}n a 的第1项11a =，且11n n n a a a +=+(1,2,)n = ，试归纳数列的通项公式．3、圆周上两个点所连的弦把圆的内部分成两部分，3个点所连的弦最多把圆的内部分成4部分，4个点所连的弦最多把圆的内部分成8部分，5个点所连的弦最多把圆的内部分成16部分，由此归纳出n 个点所连的弦最多把圆的内部分成＿＿＿＿＿＿部分合作探究例1： ,333232,232232,131232++<++<++<由此我们猜想：探究：上述结论都成立吗？例2：已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,…()21...321+=++++n n n ,观察下列立方和：31，3321+，333321++，33334321+++，3333354321++++，……试归纳出上述求和的一般公式。
练习：应用归纳推理猜测2n 122...2221...111个个-n 的值（n +∈N ）小结：1、归纳推理：根据_______________________________________________ 是从_________到_________过程。
2、归纳推理的一般步骤：课堂小测：1、观察：()110-2121=⨯⨯，()221-3221=⨯⨯，()332-4321=⨯⨯，()443-5421=⨯⨯归纳：第n 个式子为：______________________________2、?,21,32,1,2:4321=====n a a a a a 求已知{}?)()3(),2(),1(),1)......(1)(1()(),()1(121*2=---=∈+=n f f f f a a a n f N n n a a n n n 的值，推测出试通过求记的通项公式为已知数列。
第二章 2.1 2.1.1 合情推理(优秀经典导学案课时作业及答案详解)
[A组学业达标]1．下列说法正确的是()A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论无法判定正误解析：合情推理得出的结论不一定正确，故A错误；合情推理必须有前提有结论，故B正确；合情推理中的类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，可进行猜想，故C错误；合情推理得出的结论可以判定正误，故D错误．答案：B2．观察：(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义域在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于() A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)解析：通过观察可归纳推理出一般结论：若f(x)为偶函数，则导函数g(x)为奇函数．故选D.答案：D3．已知数列：1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则该数列的第k(k∈N*)项为()A．a k＋a k＋1＋…＋a2k B．a k－1＋a k＋…＋a2k－1C．a k－1＋a k＋…＋a2k D．a k－1＋a k＋…＋a2k－2解析：由已知数列的前4项归纳可得，该数列的第k项是从以1为首项，a为公比的等比数列的第k项(a k－1)开始的连续k项的和，故该数列的第k项为a k－1＋a k＋…＋a2k－2.答案：D4．我们知道，在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，通过类比的方法，可求得在空间中，点(2,4,1)到平面x ＋2y ＋3z＋3＝0的距离为( ) A ．3B ．5 C.8147 D ．3 5解析：类比点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，可知在空间中，点(2,4,1)到平面x ＋2y ＋3x ＋3＝0的距离为|2＋8＋3＋3|1＋4＋9＝8147.答案：C5．将石子摆成如图所示的梯形形状，称具有“梯形”结构的石子数构成的数列5,9,14,20，…为“梯形数列”，记为数列{a n }．根据“梯形”的构成，可知a 624＝( )A ．166 247B ．196 248C ．196 249D ．196 250 解析：观察图形可知a 1＝5，a 2＝9，a 3＝14， 则a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2，n ∈N *)， 由累加法得a n －a 1＝4＋5＋6＋…＋n ＋2， 则a n ＝(n ＋1)(n ＋4)2，n ≥2.故a 624＝(624＋1)×(624＋4)2＝625×314＝196 250.答案：D6．观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5；…… 归此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. 解析：根据已知，归纳可得结果． 答案：43n (n ＋1)7．观察分析下表中的数据：多面体 面数(F ) 顶点数(V )棱数(E ) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812解析：三棱柱中5＋6－9＝2，五棱锥中6＋6－10＝2，立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2. 答案：F ＋V －E ＝28.将全体正整数排成一个三角形数阵(如图所示：)按照以上排列的规律，第n (n ≥3，n ∈N *)行从左向右的第3个数为________．解析：前(n －1)行共有正整数的个数为1＋2＋…＋(n －1)＝n 2－n2，因此第n 行第3个数是全体正整数中第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－n 2＋3个，即n 2－n ＋62. 答案：n 2－n ＋629．利用类比推理，根据学过的平面向量的坐标表示，建立空间向量的坐标表示．解析：平面向量的坐标表示：若i，j分别为平面直角坐标系中x轴、y轴正半轴上的单位向量，a＝xi＋yi，则a＝(x，y)．类比可得空间向量的坐标表示：若i，j，k分别为空间直角坐标系中x轴、y轴、z轴正半轴上的单位向量，b＝xi＋yj＋zk，则b＝(x，y，z)．10．设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想的结论是否正确．解析：f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151，由此猜想，n为任意正整数时，f(n)＝n2＋n＋41都是素数．当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝41×41，所以f(40)为合数，因此猜想的结论不正确．[B组能力提升]11．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋11＋11＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋1x＝x求得x＝5＋12.类比上述过程，则3＋23＋2…＝()A．3 B．13＋1 2C．6 D．2 2解析：令3＋23＋2…＝m(m＞0)，两边平方，得3＋23＋23＋2…＝m2，即3＋2m＝m2，解得m＝3(m＝－1舍去)．答案：A12．观察下列式子： 1＋12＋13＞1， 1＋12＋13＋…＋17＞32， 1＋12＋13＋…＋115＞2， ……则仿照上面的规律，可猜想此类不等式的一般形式为________． 解析：观察式子可得规律：不等号的左侧是1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1，共(2n ＋1－1)项的和；不等号的右侧是n ＋12(n ∈N *)． 故猜想此类不等式的一般形式为1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1＞n ＋12(n ∈N *)．答案：1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1＞n ＋12(n ∈N *)13．阅读以下求1＋2＋3＋…＋n (n ∈N *)的过程：因为(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，n 2－(n －1)2＝2(n －1)＋1，…，22－12＝2×1＋1， 以上各式相加得(n ＋1)2－12＝2(1＋2＋…＋n )＋n ，所以1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋2n －n 2＝n (n ＋1)2. 类比上述过程，可得12＋22＋32＋…＋n 2＝________(n ∈N *)．解析：由(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，n 3－(n －1)3＝3(n －1)2＋3(n －1)＋1，…，23－13＝3×12＋3×1＋1，以上各式相加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n )＋n ，所以12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.答案：n (n ＋1)(2n ＋1)614．如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，依此类推．设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n ，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. 答案：1415．根据数列{a n }：2,5,9,19,37,75……的前六项找出规律，猜想a 7的值． 解析：后项加前项，观察原数列{a n }25 9 19 3775a 7 后项加前项 得数列{b n }2＋5 ＝75＋9 ＝149＋19 ＝2819＋37 ＝5637＋75 ＝112猜测b 6 ＝224计算1：由{b n }的前五项为7,14,28,56,112猜测可知，{b n }是首项为7、公比为2的等比数列，则b 6＝112×2＝224，即a 6＋a 7＝224，得a 7＝224－a 6＝224－75＝149.计算2：由{b n }的前五项为7,14,28,56,112猜测可知，{b n }是首项为7、公比为2的等比数列，则a n ＋1＋a n ＋2＝2(a n ＋a n ＋1)，即a n ＋2＝a n ＋1＋2a n ，得a 7＝a 6＋2a 5＝75＋37×2＝149.16．若a 1，a 2∈R ＋，则有不等式a 21＋a 222≥⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋a 222成立，此不等式能推广吗？若能，请你至少写出两个不同类型的推广． 解析：能．类型一：a 21＋a 22＋a 233≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2＋a 332， a 21＋a 22＋a 23＋a 244≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2＋a 3＋a 442， ……a 21＋a 22＋…＋a 2n n ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2＋…＋a n n 2. 类型二：a 31＋a 322≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 223， a 41＋a 422≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 224，……a n 1＋a n22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 22n .类型三：a 31＋a 32＋a 333≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2＋a 333， ……a n 1＋a n 2＋…＋a n n n ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2＋…＋a n n n . 上述a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，n ∈N *.。
2.1.1合情推理(第1课时)归纳推理 学案(含答案)
2.1.1合情推理（第1课时）归纳推理学案（含答案）2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理第1课时归纳推理学习目标1.了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理.2.了解归纳推理在数学发现中的作用知识点一推理1推理的定义从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理2推理的组成任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么知识点二归纳推理思考1铜.铁.铝.金.银等金属都能导电，猜想一切金属都能导电2统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体以上属于什么推理答案属于归纳推理符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理梳理1归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理2归纳推理的思维过程大致如图3归纳推理的特点归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑推理和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题1由个别到一般的推理为归纳推理2归纳的前提是特殊现象，归纳是立足于观察或实验的基础上的，结论一定正确类型一数列中的归纳推理例1已知fx，设f1xfx，fnxfn1fn1xn1，且nN*，则f3x的表达式为________，猜想fnxnN*的表达式为________答案f3xfnx解析fx，f1x.又fnxfn1fn1x，f2xf1f1x，f3xf2f2x，f4xf3f3x，f5xf4f4x，根据前几项可以猜想fnx.引申探究在本例中，若把“fnxfn1fn1x”改为“fnxffn1x”，其他条件不变，试猜想fnxnN*的表达式解fx，f1x.又fnxffn1x，f2xff1x，f3xff2x，f4xff3x.因此，可以猜想fnx.反思与感悟在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和1通过已知条件求出数列的前几项或前n项和2根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解3运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式跟踪训练1已知数列an的前n项和为Sn，a1，且Sn2ann2，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式解当n1时，S1a1；当n2时，2S1，所以S2；当n3时，2S2，所以S3；当n4时，2S3，所以S4.猜想Sn，nN*.类型二等式与不等式中的归纳推理例21观察下列等式1，1，1，，据此规律，第n个等式可为_________________________________答案1解析等式左边的特征第1个有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1.等式右边的特征第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个等式右边有n项，且由前几个等式的规律不难发现，第n个等式右边应为.2观察下列式子1，1，1，，猜想第n 个不等式为________________________答案1解析第1个不等式1，第2个不等式1，第3个不等式1，，故猜想第n个不等式1.反思与感悟已知等式或不等式进行归纳推理的方法1要特别注意所给几个等式或不等式中项数和次数等方面的变化规律2要特别注意所给几个等式或不等式中结构形成的特征3提炼出等式或不等式的综合特点4运用归纳推理得出一般结论跟踪训练21已知x1，等式x2；x23；x34；，可以推广为________________答案xnn1解析不等式左边是两项的和，第一项是x，x2，x3，，右边的数是2,3,4，，利用此规律观察所给不等式，都是写成xnn1的形式，从而归纳出一般性结论xnn1.2观察下列等式，并从中归纳出一般结论112，23432，3456752，4567891072，567891011121392，解等号的左端是连续自然数的和，且项数为2n1，等号的右端是项数的平方所以猜想结论nn13n22n12nN*类型三图形中的归纳推理例3如图，第n个图形是由正n2边形“扩展”而来n1,2,3，，则第n个图形中顶点的个数为________答案n2n3解析由已知中的图形我们可以得到当n1时，顶点共有1234个，当n2时，顶点共有2045个，当n3时，顶点共有3056个，当n4时，顶点共有4267个，，则第n个图形共有顶点n2n3个反思与感悟图形中归纳推理的特点及思路1从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系2从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化跟踪训练3黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________答案5n1解析观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6n155n1.1观察下列各式ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，，则a10b10________.考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对组中的应用答案123解析利用归纳法ab1，a2b23，a3b3314，a4b4437，a5b57411，a6b611718，a7b7181129，a8b8291847，a9b9472976，a10b107647123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和2按照图1.图2.图3的规律，第10个图中圆点的个数为________答案40解析图1中的点数为414，图2中的点数为824，图3中的点数为1234，，所以图10中的点数为10440.3已知a11，a2，a3，a4，则数列an的一个通项公式an________.答案nN*解析a1，a2，a3，a4，则annN*4观察x22x，x44x3，cosxsinx，由归纳推理可得若定义在R上的函数fx满足fxfx，记gx为fx的导函数，则gx________.考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对组中的应用答案gx解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数因此当fx是偶函数时，其导函数应为奇函数，故gxgx5将全体正整数排成一个三角形数阵按照以上排列的规律，求第n行n3从左向右数第3个数解前n1行共有正整数12n1个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第个，即为nN*1归纳推理的一般步骤1通过观察某类事物的个别情况，发现某些相同性质2对这些性质进行归纳整理，得到一个合理的结论3猜想这个结论对该类事物都成立2归纳推理应注意的问题归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明.。
配套学案：2.1.1合情推理(1)
2.1.1合情推理(一)【学习目标】1.了解归纳推理的定义，能利用归纳进行简单的推理，并作出猜想；2.了解归纳推理在数学发现中的作用；3.培养学生的想像能力和逻辑思维能力.【新知自学】知识回顾：（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是的思维过程.（3）已知一数列的前5项为2，4，6，8，10，你知道数列的第6项及第n项吗？在日常生活中，人们常常需要进行这样那样的推理,推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程.新知梳理：问题1：二百多年前，德国数学家哥德巴赫在研究自然数时偶然发现：6＝3＋3， 8＝3＋5， 10＝3＋7，12＝5＋7， 14＝7＋7, 16＝5＋11，…，1002=139+863，……于是他大胆地提出了一个猜想.继续上述过程你能提出一个猜想吗？问题2：铜、铁、铝、金、银等金属能导电，由此你能得出什么结论?问题3：三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒.由此我们猜想：凸边形的内角和是 .问题4：一个口袋里装有许多球，每次从中取出一个球，先后取20次均为白球，由此能肯定袋中剩余的球都是白球吗？应用归纳推理可以发现一般结论，其不足之处是什么？定义：归纳推理就是由某些事物的,推出该类事物的的推理，或者由的推理.简言之，归纳推理是由的推理.对点练习：1.观察下面的“三角阵”：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1… …1 10 45 … … 45 10 1试找出相邻两行数之间的关系.2.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）.A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能3.若2()41,f n n n n N =++∈，下列说法中正确的是（ ）.A.()f n 可以为偶数B. ()f n 一定为奇数C. ()f n 一定为质数D. ()f n 必为合数4.从22211,2343,345675=++=++++=中得出的一般性结论是_____________ .【合作探究】 典例精析：例1. 观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23，1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25，……你能猜想到一个怎样的结论？变式练习：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100，……你能猜想到一个怎样的结论？例2.已知数列{}n a 的第一项11a =，且nn n a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通项公式.变式练习：在数列{n a }中，11()2n n na a a =+（2n ≥），试猜想这个数列的通项公式.规律总结：→概括、推广→猜测一般性结论.2.归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.【课堂小结】【当堂达标】1.已知：223sin 30cos 60sin 30cos604++=; 223sin 20cos 50sin 20cos504++=; 223sin 15cos 45sin15cos 454++= 观察上述三等式的规律，请你猜想出一般性的结论：_____________________________________. 2．对于任意正整数n ，猜想12-n 与2)1(+n 的大小关系.:4.在数列{n a }中，11a =，122n n n a a a +=+（*n N ∈）,试猜想这个数列的通项公式.【课时作业】1.已知数列{}n a 满足12a =，111n n n a a a ++=-，)(n *∈N 则5432,,,a a a a 的值分别是 ， 1232007a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为 ．2.根据下列图案中的圆圈的排列规则，猜想第（5）个图形由多少个圆圈组成，是怎样排列的；第n 个图形有多少个圆圈3.111()1()23f n n N n +=+++⋅⋅⋅+∈，经计算得357(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222f f f f f =>>>>猜测当2n ≥时，有__________________________.(1)4.设()0(*),(2)4f n n N f >∈=，并且对于任意121212,*,()()()n n N f n n f n f n ∈+=成立。
高中数学人教A版理科学案选修2-2.2.1.1合情推理(1)(含答案)
目标定位：了解合情推理的含义（易混点）理解归纳推理和类比推理的含义，并能运用它进行简单的推理（重点、难点）了解合情推理在数学发展中的作用（难点）一、自主学习：归纳推理:1.归纳推理:由某类事物的_______对象具有某些特征,推出该类事物的________对象________这些特征的推理,或者由_________概括出_______的推理,称为归纳推理.简言之,归纳推理是由________到_______、由_______到_______的推理.2.归纳推理的一般步骤:第一步,通过观察个别情况发现____________;第二步,从已知的相同性质中推出一个能_______________.思考探究:1.归纳推理的结论一定正确吗?2.统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,是否属归纳推理?类比推理1.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中___________对象的某些已知特征,推出另一类对象_________这些特征的推理.简言之,类比推理是由_________到________的推理.2.类比推理的一般步骤:第一步:找出两类事物之间的________________;第二步:用一类事物的性质去推理另一类事物的性质,得出__________________.思考探究:1.类比推理的结论能作为定理应用吗?2.(1)圆有切线,切线与圆只交于一点,切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体? (2)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论?合情推理1.定义:归纳推理和类比推理都有是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.简言之,合情推理就是合乎情理的推理.2.推理的过程:→→思考探究:1.归纳推理与类比推理有何区别与联系?2.(1)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°,得出所有三角形内角和都是180°;(2)某次考试张军成绩是100分,得出全班同学成绩都是100分.以上是否属于合情推理?方法技巧:例2.已知椭圆具有性质:若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点,点P 是椭圆上任意一点,当直线PM 、PN 的斜率k PM 、k PN 都存在时,那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值,试写出双曲线12222=-by a x 具有类似的性质,并加以证明. 自主解答:方法技巧:三、学后总结反思。
学案10：2.1.1 合情推理
2.1.1 合情推理学习目标1．了解合情推理的含义．(易混点)2．理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳和类比推理进行简单的推理．(重点、难点)基础·初探教材整理1归纳推理与类比推理阅读教材“探究”以上的内容，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．()(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．()(3)归纳推理是由个别到一般的推理．()教材整理2合情推理阅读教材“例4”以上内容，完成下列问题．1．定义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过、、、，再进行、，然后提出的推理，我们把它们统称为合情推理．简言之，合情推理就是“合乎情理”的推理．2．推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想预习自测如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，每个图形总的点数记为a n，则a6＝____________，a n＝________(n>1，n∈N*)．合作探究类型1 数、式中的归纳推理例1 (1)已知f (x )＝x1＋x ，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N *，则f 2 017(x )的表达式为________. (2)观察下列等式： (1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3， (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， …照此规律，第n 个等式可为________．(3)已知f (x )＝x1－x ，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))(n >1，且n ∈N *)，则f 3(x )的表达式为________，猜想f n (x )(n ∈N *)的表达式为________． 名师指导进行数、式中的归纳推理的一般规律1．已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点； (4)运用归纳推理得出一般结论． 2．数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；(2)根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式． 跟踪训练1．(1)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n (a ∈N *)，则可归纳猜想{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝1nD ．a n ＝1n ＋1(2)已知23＜2＋13＋1，23＜2＋23＋2，23＜2＋33＋3，…，推测猜想一般性结论为________．类型2 几个图形中的归纳推理例2 (1)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有黑色地面砖的块数是________．(2)根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为__________．① ② ③ ④名师指导归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：寻找关系―→从图形的数量规律入手，寻找数值变化与数量的关系 ↓结构联系―→从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化 ↓归纳结论―→常转化为数列中的归纳推理问题，如可通过图形展现的有关数据，构造某一数列的前几项，然后利用归纳数列的某一问题进行解决 跟踪训练2．观察分析下表中的数据：多面体 面数(F ) 顶点数(V )棱数(E) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体68123．根据如图的5个图形及相应的圆圈个数的变化规律，试猜测第n 个图形有多少个圆圈．(1) (2) (3) (4) (5)探究点 类比推理及其应用探究1 在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？探究2 三角形的面积等于底边与高乘积的12，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？例3 (1)在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．可类比得到的结论是_________________________________________. (2)在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC2，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由． 名师指导1．解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何，相关类比点如下：平面图形 空间图形 点 直线 直线 平面 边长 面积 面积 体积 三角形 四面体 线线角面面角2.中学阶段常见的类比知识点有：等差与等比数列，向量、复数与实数，空间与平面，圆与球等等． 跟踪训练4．已知点A (x 1，ax 1)，B (x 2，ax 2)是函数y ＝a x (a >1)图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论ax 1＋ax 22>a x 1＋x 22成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))图象上任意不同的两点，则类似地有________成立． 课堂检测1．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图)．则第n 个正方形数是( )A ．n (n －1)B ．n (n ＋1)C ．n 2D ．(n ＋1)22．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n }的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝3nC ．a n ＝3n －2nD ．a n ＝3n －1＋2n －33．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.4．观察下列等式：1＝1，2＋3＋4＝9，3＋4＋5＋6＋7＝25，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，…照此规律，第五个等式应为________．5．如图，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．参考答案基础·初探教材整理1归纳推理与类比推理部分对象全部对象个别事实归纳整体个别一般某些类似特征某些已知特征这些特征类比特殊特殊预习自测【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2合情推理1．观察分析比较联想归纳类比猜想预习自测【答案】 15 3n －3【解析】 依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a 6＝3×6－3＝15.由n ＝2,3,4,5,6的图形特点归纳得a n ＝3n －3(n >1，n ∈N *)． 合作探究类型1 数、式中的归纳推理 例1 【答案】 (1)f 2 017(x )＝x1＋2 017x(2)(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1) (3)f 3(x )＝x 1－4x f n (x )＝x 1－2n －1x【解析】 (1)由题意f 1(x )＝f (x )＝x1＋x ，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 1＋2x 1＋x 1＋2x ＝x1＋3x ，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝…＝x1＋nx， 故f 2 017(x )＝x1＋2 017x.(2)从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n 个等式可为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)．(3)∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x 1－x .又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x 1－x 1－x＝x1－2x ，f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x 1－2x 1－2×x 1－2x ＝x1－4x，f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x 1－4x 1－4×x 1－4x ＝x1－8x，f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x 1－8x 1－8×x 1－8x ＝x1－16x，根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x. 跟踪训练 1．【答案】 (1)B(2)b a ＜b ＋m a ＋m(a ，b ，m 均为正数，且a ＞b ) 【解析】 (1)由已知得a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝432＋23＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝2×122＋12＝25，…，由此可猜想a n ＝2n ＋1.(2)每一个不等式的右边是不等式左边的分子、分母分别加了相同的正数，因此可猜测：ba ＜b ＋ma ＋m(a ，b ，m 均为正数，且a ＞b )． 类型2 几个图形中的归纳推理 例2 【答案】 (1)5n ＋1 (2)509【解析】 (1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n 个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n －1)×5＝5n ＋1. (2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29－3＝509. 跟踪训练2．【答案】 F ＋V －E ＝2【解析】 观察F ，V ，E 的变化得F ＋V －E ＝2.3．解：法一：图(1)中的圆圈数为12－0，图(2)中的圆圈数为22－1，图(3)中的圆圈数为32－2，图(4)中的圆圈数为42－3，图(5)中的圆圈数为52－4，…， 故猜测第n 个图形中的圆圈数为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1.法二：第2个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向两个方向，共有2×(2－1)＋1个圆圈； 第3个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向三个方向，每个方向有两个圆圈，共有3×(3－1)＋1个圆圈；第4个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向四个方向，每个方向有三个圆圈，共有4×(4－1)＋1个圆圈；第5个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向五个方向，每个方向有四个圆圈，共有5×(5－1)＋1个圆圈；……由上述的变化规律，可猜测第n 个图形中间有一个圆圈，另外的圆圈指向n 个方向，每个方向有(n －1)个圆圈，因此共有n (n －1)＋1＝(n 2－n ＋1)个圆圈． 探究点 类比推理及其应用探究1 【提示】 四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积． 探究2 【提示】 四面体的体积等于底面积与高的积的13.例3 (1) 【答案】 数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300 【解析】因为等差数列{a n }的公差d ＝3， 所以(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20) ＝＝100d ＝300，同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300. 即结论为：数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300. (2)解：如图①所示，由射影定理得①AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝CD ·BC ， 所以1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BC ·BC ·BD ·DC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2， 所以1AD 2＝1AB 2＋1AC2.类比猜想：四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，A E ⊥平面BCD ， 则1A E 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 如图②，延长B E 交CD 于F ，连接AF ，②因为AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， 所以AB ⊥平面ACD ，而AF ⊂平面ACD ，所以AB ⊥AF ， 在Rt △ABF 中，A E ⊥BF ， 所以1A E 2＝1AB 2＋1AF2，易知在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， 所以1AF 2＝1AC 2＋1AD2，所以1A E 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2，猜想正确．跟踪训练 4．【答案】sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22【解析】 运用类比思想与数形结合思想，可知y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象是上凸的，因此线段AB 的中点的纵坐标sin x 1＋sin x 22总是小于函数y ＝sin x (x ∈(0，π))图象上的点⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，sin x 1＋x 22的纵坐标，即sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22成立．课堂检测 1．【答案】 C【解析】 观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n 个正方形数应为n 2. 2．【答案】 A【解析】 ∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27，猜想a n ＝3n －1. 3．【答案】 1∶8【解析】 由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.4．【答案】 5＋6＋7＋…＋13＝81【解析】 每行最左侧数分别为1,2,3，…，所以第n 行最左侧的数应为n ；每行的个数分别为1,3,5，…，所以第n 行的个数应为2n －1.所以第5行的数依次是5,6,7，…，13，其和为5＋6＋7＋…＋13＝81.5．解：考虑到平面几何中为长方形，故可联想到立体几何中的长方体，如图所示．在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.。
学案10：2.1.1 合情推理
2.1.1 合情推理学习目标1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．2．了解归纳推理在数学发展中的作用．知识要点1．推理：根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个，这种思维方式就是推理．推理一般由两部分组成：和______．2．合情推理：前提为真时，结论的推理，叫做合情推理．3．归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的都具有这种性质的推理．4．归纳推理具有如下的特点：(1)归纳推理是从到的推理；(2)由归纳推理得到的结论正确；(3)归纳推理是一种具有创造性的推理.问题探究探究点一归纳推理的定义问题1在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断——张三一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？问题探究探究点一归纳推理的定义问题1在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断——张三一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？问题2在等差数列{a n}中：a1＝a1＋0d，a2＝a1＋d＝a1＋1d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，……观察可得什么结论？问题3设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想的结论是否正确．小结由归纳推理所得到的结论不一定正确，但它所具有的特殊到一般的性质对数学的发展有着十分重要的作用．应用时首先分析清楚题目的条件，合理归纳．探究点二归纳推理的应用例1已知数列{a n}的第1项a1＝1，且a n＋1＝a n1＋a n(n＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．小结归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．归纳推理在数列中应用广泛，我们可以从数列的前几项找出数列项的规律，归纳数列的通项公式或探求数列的前n 项和公式．跟踪训练1 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)．(1)求a 2，a 3，a 4，a 5；(2)归纳猜想通项公式a n .例2 在法国巴黎举行的第52届世兵赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f (n )表示第n 堆的乒乓球总数，则f (3)＝______；f (n )＝______(答案用含n 的代数式表示)．小结 解本例的关键在于寻找递推关系式：f (n )＝f (n －1)＋n (n ＋1)2，然后用“叠加法”求通项．图形中的归纳推理问题主要涉及某固定图形的个数，所以可以转化成数列问题来求解，也可由图形的变化规律入手求解．跟踪训练2 在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…由此猜想凸n (n ≥4且n ∈N *)边形有几条对角线？例3 观察下列等式，并从中归纳出一般法则．(1)1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，1＋3＋5＋7＋9＝52，……(2)1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝524＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92，……跟踪训练3在△ABC中，不等式1A＋1B＋1C≥9π成立；在四边形ABCD中，不等式1A＋1B＋1C＋1D≥162π成立；在五边形ABCDE中，不等式1A＋1B＋1C＋1D＋1E≥253π成立．猜想在n边形A1A2…A n中有怎样的不等式成立________．当堂检测1．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋ab＝6ab(a、b均为实数)．请推测a＝______，b＝________. 2．将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34567891011 12 13 14 15……………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________．3．已知正项数列{a n }满足S n ＝12(a n ＋1a n)，求出a 1，a 2，a 3，a 4，并推测a n .课堂小结归纳推理的一般步骤(1)对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题，提出带有规律性的结论，即猜想，注意：一般性的命题往往要用字母表示，这时需注明字母的取值范围.参考答案知识要点1．判断 前提 结论2．可能为真3．所有对象4．(1)特殊一般(2)不一定问题探究探究点一归纳推理的定义问题1在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断——张三一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？问题探究探究点一归纳推理的定义问题1答根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式就是推理．问题2答由以上式子可得等差数列{a n}中，a n＝a1＋(n－1)d，这种根据一些特殊事实得到一般结论的推断，就是归纳推理．问题3答f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.由此猜想，n为任何正整数时，f(n)＝n2＋n＋41都是质数．当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝41×41，所以f(40)为合数，因此猜想的结论不正确．探究点二归纳推理的应用例1解：当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝11＋1＝12；当n＝3时，a3＝121＋12＝13；当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14. 通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出a n ＝1n. 跟踪训练1 解：(1)当n ＝1时，知a 1＝1，由a n ＋1＝2a n ＋1得a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31.(2)由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1，可归纳猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)．例2 【答案】 10 n (n ＋1)(n ＋2)6【解析】 观察图形可知：f (1)＝1，f (2)＝4，f (3)＝10，f (4)＝20，…，故下一堆的个数是上一堆个数加上下一堆第一层的个数，即f (2)＝f (1)＋3；f (3)＝f (2)＋6；f (4)＝f (3)＋10；…； f (n )＝f (n －1)＋n (n ＋1)2. 将以上(n －1)个式子相加可得f (n )＝f (1)＋3＋6＋10＋…＋n (n ＋1)2＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n )] ＝12[16n (n ＋1)(2n ＋1)＋n (n ＋1)2] ＝n (n ＋1)(n ＋2)6. 跟踪训练2 解：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条，凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，……于是猜想凸n 边形比凸(n －1)边形多(n －2)条对角线．因此凸n 边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n －2)＝12n (n －3)(n ≥4且n ∈N *)． 例3 解：对于(1)，等号左端是整数，且是从1开始的n 项的和，等号的右端是项数的平方；对于(2)，等号的左端是连续自然数的和，且项数为2n －1，等号的右端是项数的平方．∴(1)猜想结论：1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N ＋)．(2)猜想结论：n ＋(n ＋1)＋…＋[n ＋(3n －2)]＝(2n －1)2(n ∈N ＋)．跟踪训练3 【答案】 1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π(n ≥3且n ∈N *) 当堂检测1．【答案】6 35【解析】 本题考查归纳推理能力，由前面三个等式，发现被开方数的整数与分数的关系：整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测6＋a b中，a ＝6，b ＝62－1＝35.2．【答案】 n 2－n ＋62【解析】 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n 2个， 因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62. 3．解：a 1＝S 1＝12(a 1＋1a 1)， 又因为a 1>0，所以a 1＝1.当n ≥2时，S n ＝12(a n ＋1a n )，S n －1＝12(a n －1＋1a n －1)， 两式相减得： a n ＝12(a n ＋1a n )－12(a n －1＋1a n －1)， 即a n －1a n ＝－(a n －1＋1a n －1)． 所以a 2－1a 2＝－2，又因为a 2>0，所以a 2＝2－1. a 3－1a 3＝－22，又因为a 3>0，所以a 3＝3－ 2. a 4－1a 4＝－23，又因为a 4>0，所以a 4＝2－ 3. 将上面4个式子写成统一的形式：a 1＝1－0，a 2＝2－1，a 3＝3－2，a 4＝4－3， 由此可以归纳推测：a n ＝n －n －1.。
学案7：2.1.1 合情推理
2.1.1 合情推理学习目标1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理(重点、难点)．2.了解合情推理在数学发现中的作用(重点).知识提炼1．归纳推理和类比推理温馨提示根据部分对象归纳得出的结论不一定正确，类比得出的结论也不一定正确，其正确与否还要进一步判断．2．合情推理(1)含义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程：从具体问题出发→观察、分析比较、联想→归纳、类比→提出猜想温馨提示合情推理得出的结论不一定是唯一的，侧重点不同，结论也会不同．思考尝试1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理．()(2)类比推理得到的结论可以作为定理使用．()(3)归纳推理是由个别得到一般的推理．()(4)归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确．()2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. B. C.D.3．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积等于( )A.r 22B.l 22C.lr2 D.l ＋r 24．等差数列{a n }中，a n ＞0，公差d ＞0，则有a 4·a 6＞a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n ＞0，q ＞1，写出b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系________．5．观察下列各式：9－1＝8，16－4＝12，25－9＝16，36－16＝20，…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为________． 核心突破类型1 数、式、数列中的归纳推理(自主研析) 典例1 (1)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； … 照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________．(2)已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝a n1＋a n (n ＝1，2，3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．归纳升华由已知数式进行归纳推理的步骤：(1)分析所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律或结构形式的特征；(2)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(3)运用归纳推理得出一般结论．2．数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．变式训练(1)由下列各式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…请你归纳出一般结论．(2)已知数列{a n}，满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n＝1，2，3，…)．归纳猜想出数列{a n}的通项公式a n＝________．类型2图形中的归纳推理典例2有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26 B．31 C．32 D．36变式训练如图所示，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形中由n个正方形组成：通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有____根；第n个图形中，火柴棒有________根．类型3类比推理典例3已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有1AD2＝1AB2＋1AC2成立．那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？试说明理由．归纳升华(1)在高中阶段类比方向主要集中在等差数列与等比数列，平面几何与立体几何，平面向量与空间向量等三个方面．在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂．(2)平面图形与空间几何体的类比方向．试把上面的结论类比到空间，写出相应的结论．课堂小结1．归纳、推理、证明题的一般解题步骤：(1)列举出几个特殊情形，条件中已给出的此步可省略；(2)观察、分析所给特殊情形找出其共性；(3)归纳猜想出一个一般性的结论，此结论应包含前面的特殊情况；(4)对猜想的结论给出证明．2．类比推理的步骤与方法：(1)弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别．(2)把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．参考答案思考尝试1．【答案】(1)√(2)×(3)√(4)√【解析】(1)对，用样本估计总体，是由个别得到一般，所以，这种估计属于归纳推理．(2)错，类比推理的结论不一定正确.(3)对，由归纳推理的概念知说法正确．(4)对，归纳推理得出的结论不一定正确． 2.【答案】A【解析】观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次；②每行、每列有两个阴影一个空白，即得结果． 3．【答案】C【解析】三角形的高对应扇形的半径，三角形的底对应扇形的弧长， 所以可猜测为S ＝12rl ＝lr 2.4．【答案】b 4＋b 8＞b 5＋b 7【解析】将乘积与和对应，再注意下标的对应， 有b 4＋b 8＞b 5＋b 7.5．【答案】(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4【解析】由已知四个式子可分析规律(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4. 核心突破类型1 数、式、数列中的归纳推理(自主研析) 典例1 (1)【答案】43n (n ＋1)【解析】根据已给出的等式归纳推理求解．通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度中π的系数的分子的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)． (2)解：当n ＝1时，a 1＝1； 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12； 当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13； 当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14. 通过观察可得数列的前n 项都等于下标序号的倒数，因此a n ＝1n .变式训练 (1)解：由左、右两边各项幂的底数之间的关系：1＝1， 1＋2＝3， 1＋2＋3＝6， 1＋2＋3＋4＝10， …可得一般结论：13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2， 即13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）22.(2)【答案】2n －1(n ∈N *)【解析】由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1，可归纳猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)． 类型2 图形中的归纳推理 典例2 【答案】B【解析】有菱形纹的正六边形个数如下表：所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31. 变式训练 【答案】16 3n ＋1【解析】数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4，7，10，13，…，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第五个图形中有火柴棒16根，第n 个图形中有火柴棒3n ＋1根． 类型3 类比推理典例3 解：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.证明：如图，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF . 因为AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，所以AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂平面ACD ，所以AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，所以1AE2＝1AB2＋1AF2.又因为在Rt△ACD中，易知AF⊥CD，所以1AF2＝1AC2＋1AD2.所以1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．变式训练解：取空间中三条侧棱两两垂直的三棱锥ABCD，即AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，且AB＝a，AC＝b，AD＝c，则此三棱锥外接球的半径为R＝a2＋b2＋c22.。
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2.1.1合情推理（第1课时）归纳推理学案
（含答案）
2.1合情推理与演绎推理
2.1.1合情推理
第1课时归纳推理学习目标
1.了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理.
2.了解归纳推理在数学发现中的作用知识点一推理1推理的定义从一个
或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理2推理的
组成任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的
命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么知识点二归纳推理思考1铜.铁.铝.金.银等金属都能导电，猜想一切金属都能导电2统计学中，
从总体中抽取样本，然后用样本估计总体以上属于什么推理答案
属于归纳推理符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些
特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理梳理1归
纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理
通常称为归纳推理2归纳推理的思维过程大致如图3归纳推理的
特点归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是
尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围由归纳推
理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑推
理和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题1由个别到一般的推理为归纳推理2归纳的前提是特殊现象，归纳是立足于观察或实验的基础上的，结论一定正确类型一数列中的归纳推理例1已知fx，设f1xfx，fnxfn1fn1xn1，且nN*，则f3x的表达式为
________，猜想fnxnN*的表达式为________答案f3xfnx解析
fx，f1x.又fnxfn1fn1x，f2xf1f1x，f3xf2f2x，f4xf3f3x，
f5xf4f4x，根据前几项可以猜想fnx.引申探究在本例中，若把“fnxfn1fn1x”改为“fnxffn1x”，其他条件不变，试猜想fnxnN*的表达式解fx，f1x.又fnxffn1x，f2xff1x，f3xff2x，
f4xff3x.因此，可以猜想fnx.反思与感悟在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和1通过已知条件求出数列的前几项或前n项和2根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解3运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式跟踪训练1已知数列an的前n项和为Sn，a1，且
Sn2ann2，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式解当n1时，S1a1；当n2时，2S1，所以S2；当n3时，2S2，所以S3；当n4时，2S3，所以S
4.猜想Sn，nN*.类型二等式与不等式中的归纳推理例21观察下列等式1，1，1，，据此规律，第n个等式可为
_________________________________答案1解析等式左边的特征
第1个有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为
1.等式右边的特征第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个等式右边有n项，且由前几个等式的规律不难发现，第n个等式右边应为.2观察下列式子1，1，1，，猜想第n 个不等式为________________________答案1解析第1个不等式1，第2个不等式1，第3个不等式1，，故猜想第n个不等式
1.反思与感悟已知等式或不等式进行归纳推理的方法1要特别注意所给几个等式或不等式中项数和次数等方面的变化规律2要特别注意所给几个等式或不等式中结构形成的特征3提炼出等式或不等式的综合特点4运用归纳推理得出一般结论跟踪训练21已知x1，等式x2；x23；x34；，可以推广为________________答案xnn1解析不等式左边是两项的和，第一项是x，x2，x3，，右边的数是2,3,4，，利用此规律观察所给不等式，都是写成xnn1的形式，从而归纳出一般性结论xnn
1.2观察下列等式，并从中归纳出一般结论112，23432，3456752，4567891072，567891011121392，解等号的左端是连续自然数的和，且项数为2n1，等号的右端是项数的平方所以猜想结论nn13n22n12nN*类型三图形中的归纳推理例3如图，第n个图形是由正n2边形“扩展”而来n1,2,3，，则第n个图形中顶点的个数为________答案n2n3解析由已知中的图形我们可以得到当n1时，顶点共有1234个，当n2时，顶点共有2045个，当n3时，
顶点共有3056个，当n4时，顶点共有4267个，，则第n个图形共有顶点n2n3个反思与感悟图形中归纳推理的特点及思路1从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系2从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化跟踪训练3黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________答案5n1解析观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6n155n
1.1观察下列各式ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，，则a10b10________.考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对组中的应用答案123解析利用归纳法ab1，a2b23，a3b3314，
a4b4437，a5b57411，a6b611718，a7b7181129，a8b8291847，
a9b9472976，a10b107647123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和2按照图
1.图
2.图3的规律，第10个图中圆点的个数为________答案40解析图1中的点数为414，图2中的点数为824，图3中的点数为1234，，所以图10中的点数为104
40.3已知a11，a2，a3，a4，则数列an的一个通项公式
an________.答案nN*解析a1，a2，a3，a4，则annN*4观察
x22x，x44x3，cosxsinx，由归纳推理可得若定义在R上的函数fx
满足fxfx，记gx为fx的导函数，则gx________.考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对组中的应用答案gx解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数因此当fx是偶函数时，其导函数应为奇函数，故gxgx5将全体正整数排成一个三角形数阵按照以上排列的规律，求第n行n3从左向右数第3个数解前n1行共有正整数12n1个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第个，即为nN*1归纳推理的一般步骤1通过观察某类事物的个别情况，发现某些相同性质2对这些性质进行归纳整理，得到一个合理的结论3猜想这个结论对该类事物都成立2归纳推理应注意的问题归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明.。