椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法[2]

椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法

一、利用三角形三边的关系建立不等关系（但要注意可以取到等号成立）

例1：双曲线()2

222y x 1a 0,b 0a b

-=>>的两个焦点为12F ,F ，若P 为其上一点，且12PF 2PF =，

则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3)

B.(]1,3

C.(3,+∞)

D.[)3,+∞

【解析】12PF 2PF =，12PF PF 2a -=，1212PF PF FF +≥（当且仅当12P F F ，，三点共线等号成立）

c

6a 2c e 3,e 1a

∴≥⇒=

≤>又(]e 1,3∴∈,选B 例2、如果椭圆()2

222y x 1a b 0a b

+=>>上存在一点P ，使得点P 到左准线的距离与它到右焦

点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为 （ ）A ．(0,21]- B ．

[21,1)

-

C ．(0,31]-

D ．[31,1)-

[解析]设2PF m =，由题意及椭圆第二定义可知1PF me =122a

PF PF m(e 1)2a m e 1

∴+=+=⇒=

+ 2112PF PF F F -≤（当且仅当12P F F ，，三点共线等号成立）m me 2c ∴-≤，把2a

m e 1

=

+代入化简可得

()2a

1e 2c e 1

-≤+2e 2e 10e 21⇒+-≥⇒≥-又e 1<)

e 21,1⎡∴∈-⎣,选B 二、利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系

例1：双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两个焦点为12,F F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，

则双曲线离心率的取值范围是（ ）Ａ．(1,3) Ｂ．(1,3] Ｃ．(3,)+∞ Ｄ．[3,)+∞ 【解析】设2PF m =，12(0)F PF θθπ∠=<≤，当P 点在右顶点处θπ=，

222(2)4cos 254cos 2m m m c

e a m

θθ+-===-．11,(1,3]e θ-≤<∴∈．

三、利用曲线的几何性质数形结合建立不等关系

例1：双曲线()2

222y x 1a 0,b 0a b

-=>>的两个焦点为12F ,F ，若P 为其上一点，且12PF 2PF =，

则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞

解：

12PF PF 2a -=,2PF 2a ∴=,即在双曲线右支上恒存在点P 使得2PF 2a =可知

222AF PF ,OF OA c a 2a ≤∴-=-≤，c

c 3a e 3a

∴≤⇒=

≤又e 1>(]e 1,3∴∈,选B 例2．已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是双曲线右支上一

点，P 到右准线的距离为d ，若d 、|PF 2|、|PF 1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。

解：由题意得因为，所以，从而 ，

。又因为P 在右支上，所以。 。

。

例3．椭圆22

221()x y a b a b

+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点

P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）（A ）20,

2⎛

⎤

⎥ ⎝

⎦

（B ）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ （C ） )21,1⎡-⎣ （D ）1,12⎡⎫

⎪⎢⎣⎭

解析：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的

距离相等而|FA |＝22a b c c c -= |PF |∈[a －c ,a ＋c ] 于是2

b c

∈[a －c ,a ＋c ]即ac －

c 2≤b 2≤ac ＋c 2∴222222ac c a c a c ac c

⎧-≤-⎪⎨-≤+⎪⎩⇒1112c

a c c a

a ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤-≥⎪⎩或又e ∈(0,1)故e ∈1,12⎡⎫

⎪⎢⎣⎭

答案：D

例4、已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -．若双曲线上

存在点P 使

1221sin sin PF F a

PF F c

∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 ． 【解析】2

12211

sin sin PF PF F PF F PF ∠=

∠（由正弦定理得），211PF a PF c e ∴==，21e PF PF ∴=． 又122(1)PF PF a e -=>，2(1)2e PF a ∴-=，221

a

PF e ∴=-，由双曲线性质知2PF c a >-，

21a c a e ∴>--，即211

e e >--，得2210e e --<，又1e >，得(1,21)e ∴∈+． 例5、设椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12F F 、，如果椭圆上存在点P ，使∠

12F PF =900，求离心率e 的取值范围。

解析：∵P 点满足∠F 1PF 2=90°，∴点P 在以F 1F 2为直径的圆上又∵P 是椭圆上一点，∴以F 1F 2

为直径的圆与椭圆有公共点，∵F 1、F 2是椭圆

22

221(0)x y a b a b

+=>>的焦点∴以F 1F 2为直径的圆的半径r 满足：

r=c≥b ，两边平方，得

c 2≥b 2 即c 2≥a 2-c 2

由此可得，）e ∈[

2

2

1