椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法[2]
椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题
椭圆和双曲线的离心率的求值及范围求解问题【重点知识温馨提示】1.e＝ca＝1－b2a2(0<e<1)，e＝ca＝1＋b2a2(e>1)2.确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，c的方程或不等式，进而得到关于e的方程或不等式，3.【典例解析】例1.(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )A. 5 B．2 C. 3 D. 2例2.【2016高考新课标3文数】已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34例3 (2015·福建)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1 D.⎣⎡⎭⎫34，1例4.(2014·江西)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________． 【跟踪练习】1. (2015·浙江)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝b c x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．2. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项， 则椭圆的离心率是( ) A.33 B.22 C.14 D.123.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则椭圆的离心率的取值范围为______．4.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →，则此双曲线的离心率为( ) A. 2B. 3 C ．2D. 55.(2015·山东)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．6.(2015·湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1<e 2B ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 27、（2016年山东高考）已知双曲线E ：22x a–22y b =1（a >0，b >0）．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______．8（2015年高考）过双曲线C ：22221x y a a-=0,0a b >>（）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为 .9、（齐鲁名校协作体2016届高三上学期第二次调研联考）设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是（）(A)(B)(C) (D) 10、（东营市、潍坊市2016届高三高三三模）已知1F 、2F 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距长为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两个交点为A 、B ，若1ABF ∆为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）A 1B 1-C D11、（济宁市2016届高三上学期期末）已知抛物线2y =-的焦点到双曲线()222210,0x y a b a b -=>>A.3B.3C.D.3912、（莱芜市2016届高三上学期期末）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点是(),0F c -，离心率为e ，过点F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆222x y c y +=在轴右侧交于点P ，若P 在抛物线22y cx =上，则2e =A.5B.51+ C.51-D.213，（烟台市2016届高三上学期期末）设点F 是抛物线()2:20x py p τ=>的焦点，1F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，若线段1FF 的中点P 恰为抛物线τ与双曲线C 的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C 的离心率e 的值为 A.322B.334C.98D.3241,4、（青岛市2016高三3月模拟）已知点12,F F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足21212,120PF F F F F P =∠=，则双曲线的离心率为_________.15、（日照市2016高三3月模拟）已知抛物线28y x =的准线与双曲线222116x y a -=相交于A,B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为 A.3B.2C.6D.316. (2015·重庆)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ＜43，试确定椭圆离心率e 的取值范围．答案部分：例1【解析】 如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1，0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°，∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝2，选D.例2【答案】A例3如图，设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32， 故选A.例4.直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .∴A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a )．∴kBF 1＝－b 2a －0c －(－c )＝－b 2a 2c ＝－b 22ac .∴直线BF 1：y －0＝－b 22ac (x ＋c )．令x ＝0，则y ＝－b 22a，∴D (0，－b 22a )，∴k AD ＝b 2a ＋b 22ac ＝3b 22ac .由于AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b 22ac ＝－1，∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac ， ∴3e 2＋2e －3＝0，∴e ＝－2±4－4×3×(－3)23＝－2±423.∵e >0，∴e ＝－2＋423＝223＝33.【跟踪练习】1，答案 方法一 设椭圆的另一个焦点为F 1(－c,0)，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝bcx 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ .又O 为线段F 1F 的中点， ∴F 1Q ∥OM ，∴F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |.在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝bc ，|OF |＝c ，可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bca，故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c 2a .由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c 2a ＝2a ，整理得b ＝c ，∴a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝22.方法二 设Q (x 0，y 0)，则FQ 的中点坐标⎝⎛⎭⎫x 0＋c 2，y 02，k FQ＝y0x 0－c ，依题意⎩⎨⎧y 02＝b c ·x 0＋c 2，y 0x 0－c ·bc ＝－1，解得⎩⎨⎧x 0＝c (2c 2－a 2)a 2，y 0＝2bc2a 2，又因为(x 0，y 0)在椭圆上，所以c 2(2c 2－a 2)2a 6＋4c 4a 4＝1，令e ＝c a ，则4e 6＋e 2＝1，∴离心率e ＝22. 2解析 在双曲线中m 2＋n 2＝c 2，又2n 2＝2m 2＋c 2，解得m ＝c2，又c 2＝am ，故椭圆的离心率e ＝c a ＝12.3依题意及正弦定理，得|PF 2||PF 1|＝a c (注意到P 不与F 1，F 2共线)， 即|PF 2|2a －|PF 2|＝a c ， ∴2a |PF 2|－1＝c a ，∴2a |PF 2|＝c a ＋1>2a a ＋c，即e ＋1>21＋e ，∴(e ＋1)2>2.又0<e <1，因此2－1<e <1.4解析 (1) 如图，∵FB →＝2F A →，∴A 为线段BF 的中点， ∴∠2＝∠3.又∠1＝∠2，∴∠2＝60°， ∴ba＝tan 60°＝3， ∴e 2＝1＋(ba )2＝4，∴e ＝2. 答案 C5.把x ＝2a 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝±3b .不妨取P (2a ，－3b )．又∵双曲线右焦点F 2的坐标为(c,0)， ∴kF 2P ＝3b c －2a .由题意，得3b c －2a ＝ba.∴(2＋3)a ＝c .∴双曲线C 的离心率为e ＝ca ＝2＋ 3.6. e 1＝1＋b 2a2，e 2＝1＋(b ＋m )2(a ＋m )2.不妨令e 1<e 2，化简得b a <b ＋m a ＋m (m >0)，得bm <am ，得b <a .所以当b >a 时，有b a >b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋ma ＋m ，即e 1<e 2.故选B.7、【答案】2 【解析】试题分析：依题意，不妨设6,4AB AD ==作出图像如下图所示则2124,2;2532,1,c c a DF DF a ===-=-==故离心率221c a == 8、【答案】23+考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程. 9、【答案】B【解析】双曲线的渐近线为y ＝±bax ，易求得渐近线与直线x －3y ＋m ＝0的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a ＋3b ，bm a ＋3b ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a －3b ，－bm a －3b .设AB 的中点为D .由|P A |＝|PB |知AB 与DP 垂直，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2m （a ＋3b ）（a －3b ），－3b 2m （a ＋3b ）（a －3b ），k DP＝－3，解得a 2＝4b 2，故该双曲线的离心率是52.10B,11.B 12.D 13 D 14. 15.A16.解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23， 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)如图，连接F 1Q ，由PF 1⊥PQ ，|PQ |＝λ|PF 1|，得 |QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2 ＝1＋λ2|PF 1|.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ， 进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a ，高中数学 于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ，解得|PF 1|＝4a 1＋λ＋1＋λ2， 故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ2. 由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ22＝4c 2. 两边除以4a 2，得4(1＋λ＋1＋λ2)2＋(λ＋1＋λ2－1)2(1＋λ＋1＋λ2)2＝e 2. 若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成e 2＝4＋(t －2)2t 2＝8⎝⎛⎭⎫1t －142＋12. 由34≤λ＜43，并注意到t ＝1＋λ＋1＋λ2关于λ的单调性，得3≤t ＜4，即14＜1t ≤13. 进而12＜e 2≤59，即22＜e ≤53.。
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现. 椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出,a c ，求解e 已知标准方程或,a c 易求时，可利用离心率公式c e a=来求解。
例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ）A. 10B. 5C.310D. 25分析：这里的1,a c ==2b ，即可利用定义求解。
解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。
直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10ace ==，从而选A 。
二、变用公式)c e a =双曲线，)c e a ==椭圆，整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ） A.35 B. 34C.45D.23 分析：本题已知b a=34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。
解：因为双曲线的一条渐近线方程为43y x =，所以 43b a =，则53c e a ===，从而选A 。
1.设双曲线（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于( C )A. C. D.解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即224b a =e ∴===2.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若12AB BC =uur uu u r，则双曲线的离心率是 ( )A ．B ．C ．D ． 答案：C【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B ，C ，，，222,4AB BC a b =∴=uur uu u r 因此 ，即224b a =，e ∴===3.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为( ) A ． B ． C ． D ．【解析】因为，再由有即2223b a =从而可得e ∴===B三、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
高中数学圆锥曲线中离心率的14种求解方法
圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，其中离心率的求解是常考知识点之一。
本文将介绍圆锥曲线中离心率的14种求解方法，包括定义法、两点法、点差法、判别式法、参数方程法、切线法、弦长公式法、基本不等式法等。
每种方法都有其适用条件和优缺点，同学们可以根据具体情况选择合适的方法进行解题。
方法一：定义法定义法是通过利用圆锥曲线的定义来求解离心率的。
对于椭圆和双曲线，可以利用椭圆和双曲线的中心和对称性，以及长度的不减性来求解离心率的范围。
这种方法适用于简单的情况，但在复杂的情况下需要结合其他方法进行求解。
方法二：两点法两点法适用于求解椭圆的离心率。
当焦点在x 轴上时，设左、右两个顶点分别为A1、A2，焦距为F1、F2，通过求出丨FA1丨-丨FA2丨来求出离心率e 的范围。
当焦点在y 轴上时，同样利用左右顶点及中心来解题。
这种方法简单直观，但需要学生掌握椭圆的性质。
方法三：点差法点差法适用于求解圆锥曲线的离心率的范围。
通过将圆锥曲线上两个点的坐标进行差分，得到关于离心率的方程，从而求解离心率的值或范围。
这种方法需要学生具有一定的技巧和经验，但对于一些较为复杂的问题，能够得到事半功倍的效果。
方法四：判别式法对于双曲线和抛物线，判别式法是一种常用的求解离心率的简便方法。
通过将圆锥曲线的方程化简为二次方程或一元二次方程，利用判别式小于零得到离心率的范围。
这种方法简单易行，但需要学生具有一定的数学基础和解题技巧。
方法五：参数方程法对于一些较为复杂的圆锥曲线，可以使用参数方程来求解离心率的值或范围。
通过将圆锥曲线转化为参数方程的形式，利用参数的几何意义或结合不等式进行求解。
这种方法能够解决一些较为困难的问题，但需要学生掌握参数方程的相关知识和技巧。
方法六：利用切线法求椭圆离心率根据椭圆的性质，椭圆的左、右焦点到相应准线的距离称为离心率；若过椭圆上某点作坐标轴的垂线，与以该点为起点的直角三角形相似，则此直角三角形的另一顶点在焦点上，此定点即为椭圆的上下顶点；而椭圆上的点到左右顶点的距离之和为定值（2a）。
浅析椭圆与双曲线离心率的求解方法
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧数学中，离心率是椭圆、双曲线和抛物线的一个重要参数，它决定了曲线的形状。
在高中数学中，离心率题型是一个经典的题型之一，掌握了离心率题型的解法技巧，对于高中数学的学习和考试都是非常有帮助的。
下面我们就来讨论一下关于高中数学离心率题型的有效解决技巧。
我们需要了解什么是离心率。
离心率是一个无量纲的数，它是椭圆、双曲线和抛物线的一个重要参数，用e表示。
对于椭圆和双曲线，离心率的取值范围是0<e<1，对于抛物线，离心率的取值范围是e=1。
离心率反映了轨道形状的“圆形程度”，离心率越接近于0，轨道越圆形；离心率越接近于1，轨道越扁平。
在考试中，离心率题型通常涉及到求解椭圆、双曲线和抛物线的离心率，或者根据已知的离心率求解曲线的性质或参数。
下面我们讨论一下这些题型的解法技巧。
首先是求解椭圆、双曲线和抛物线的离心率。
在求解离心率的过程中，一般需要已知曲线的方程式或参数方程式。
对于椭圆的标准方程x^2/a^2+y^2/b^2=1，离心率的计算公式是e=sqrt(1-b^2/a^2)；对于双曲线的标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1，离心率的计算公式是e=sqrt(1+a^2/b^2)；对于抛物线的标准方程y^2=4ax，离心率的计算公式是e=1。
其次是根据已知的离心率求解曲线的性质或参数。
在这种题型中，一般需要利用离心率的定义和离心率与曲线性质之间的关系进行推导和证明。
根据椭圆的离心率e，可以推导出椭圆的长轴、短轴、焦点等参数；根据双曲线的离心率e，可以推导出双曲线的渐近线、离心角、离心率等参数；根据抛物线的离心率e，可以推导出抛物线的焦点、准线、对称轴等参数。
对于这些题型，解题的关键在于掌握离心率的定义和离心率与曲线性质之间的关系，灵活运用相关知识进行推导和证明。
在做题时，可以根据已知条件列出方程，然后利用离心率的计算公式或离心率与曲线性质之间的关系进行推导和求解，最终得出结论。
离心率问题的7种题型15种方法(教师版)
目录题型一:椭圆离心率的求值 2方法一：定义法求离心率 2方法二：运用通径求离心率 3方法三：运用e=e=1+k2λ-1λ+1求离心率 4方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα+sinβ求离心率 4方法五：运用k OM⋅k AB=-b2a2求离心率 5方法六：运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率 6方法七：运用相似比求离心率 6方法八：求出点的坐标带入椭圆方程建立等式 7方法九：运用几何关系求离心率 7题型二:双曲线离心率的求解 9方法一：定义法关系求离心率 10方法二：运用渐近线求离心率 10方法三：运用e=1+k2λ-1λ+1求离心率 11方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα-sinβ求离心率 11方法五：运用结论k OM•k AB=b2a2求离心率 12方法六：运用几何关系求离心率 13题型三:椭圆、双曲线离心率综合运用 15题型四:根据已知不等式求离心率的取值范围 17题型五:根据顶角建立不等式求离心率范围 18题型六:根据焦半径范围求离心率范围 19题型七:题型七根据渐近线求离心率的取值范围 21离心率问题的7种题型15种方法1离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式椭圆公式1:e =ca 公式2:e =1-b 2a2证明：e =c a=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1-b 2a 2公式3:已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则椭圆的离心率e =sin (α+β)sin α+sin β证明：∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,由正弦定理得：F 1F 2 sin (180o −α−β)=PF 2 sin α=PF 1sin β由等比定理得：F 1F 2 sin (α+β)=PF 1 +PF 2 sin α+sin β，即2c sin (α+β)=2a sin α+sin β∴e =c a =sin (α+β)sin α+sin β。
双曲线离心率的取值范围
双曲线离心率的取值范围双曲线离心率是描述双曲线形状的一个重要指标，它是双曲线焦点距离与直轴长度的比值。
双曲线的离心率存在一定的取值范围，本文将介绍双曲线离心率的定义、性质以及其取值范围。
一、双曲线离心率的定义双曲线离心率（eccentricity）是指双曲线上离于中心最远的点到中心的距离与中心到双曲线直轴的距离的比值。
具体来说，如果设双曲线的两个焦点分别为F1和F2，直轴长度为2a，离心率为e，那么离心率的计算公式如下：e = sqrt((a^2 + b^2)/a^2)其中，b^2 = c^2 - a^2，c就是双曲线的半轴。
双曲线两段的出现是因为其它8中情况没法支持完整的曲线图案出现（9种为）二、双曲线离心率的性质1. 双曲线离心率大于1。
2. 双曲线的离心率越大，曲线的形状越扁平，离心率越小，曲线的形状越细长。
3. 双曲线的离心率与另一重要指标——双曲率（率曲率）有关系。
具体来说，当双曲线在同一点上的双曲率相等时，双曲线的离心率也相等；反之，当双曲线在同一点上的离心率相等时，双曲线的双曲率也相等。
三、双曲线离心率的取值范围由于双曲线离心率的定义中，分母a代表直轴长度，最小为正实数，因此双曲线离心率e的取值范围为e > 1，也就是说，双曲线的离心率永远大于1。
这一点也可以从双曲线的定义出发解释：双曲线定义为到两个焦点距离之差等于常数的点集，而这意味着离心率应该大于1。
当离心率等于1时，曲线就变成了双曲线的一种特殊情形——抛物线。
双曲线离心率的取值范围在实际应用中有着广泛的用途，比如在几何光学中，双曲线作为反射面的一种理想曲线，其离心率就决定了光线的折射角、反射角及成像质量等关键参数。
在物理学中，双曲线也被广泛应用于描述电场和磁场的分布等问题。
综上所述，双曲线离心率作为双曲线形状的重要指标，其取值范围是大于1的正实数。
对于双曲线形状的描述和应用，离心率的数值是多么关键和重要。
双曲线的离心率的取值范围
双曲线的离心率的取值范围一、引言双曲线是数学中的一种重要的曲线，其形状独特，具有许多特殊的性质。
在双曲线的研究中，离心率是一个非常重要的参数，它可以描述双曲线形态的“扁平程度”。
本文将详细介绍双曲线离心率的定义、计算方法和取值范围。
二、双曲线离心率的定义在直角坐标系中，设有两个定点F1(x1,y1)和F2(x2,y2)，且距离为2c(c>0)，则以这两个定点为焦点、距离差为2a(a>c>0)的所有点P(x,y)构成的图形称为双曲线。
其中，a/c称为双曲线的离心率。
三、双曲线离心率的计算方法对于标准形式下的双曲线：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其焦点坐标分别为F1(ae,0)和F2(-ae,0)，其中e为离心率，则有：c=ae。
由此可得：$e=\frac{c}{a}$。
因此，我们只需要知道双曲线长轴和短轴长度即可计算出其离心率。
四、双曲线离心率的取值范围对于双曲线而言，其离心率的取值范围为(1,∞)。
其中，当离心率e=1时，双曲线退化为一条抛物线；当e>1时，双曲线呈现出“扁平”的形态，长轴与短轴之比越大，离心率越大；当e趋近于无穷大时，双曲线的形态趋近于两条平行直线。
五、双曲线离心率的应用在实际应用中，双曲线广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
例如，在天文学中，万有引力可以被描述为一条双曲线；在经济学中，货币汇率的变化也可以被描述为一条双曲线。
此外，在工程学中，许多结构设计都涉及到双曲线形状的物体。
六、总结本文详细介绍了双曲线离心率的定义、计算方法和取值范围，并且阐述了其在实际应用中的重要性。
对于数学爱好者和从事相关领域工作的人士而言，深入研究和掌握双曲线的离心率是非常有必要的。
求椭圆、双曲线离心率
2
2 2 c c ,
2
e 2e 1 0
2
e 2 -1
5、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ,叫做 （1）定义： a 双曲线的 离心率。
（2）e的范围：
c>a>0
2 2
e >1
2
（3）e的含义：
e
c 2 a
2
a b b 1 2 2 a a
椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比： c 叫做椭圆的离心率。 e [1]离心率的取值范围： 因为 a > c > 0，所以0<e<1 [2]离心率对椭圆形状的影响：
c e a a 2 b2 a b 2 1 ( ) , a
4、椭圆的离心率
a
y
O
x
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就 越扁 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就 越圆 3）特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合， 椭圆方程变为（？）
x 2 y2 B. 1 9 8 y2 x 2 D. 1 9 8
【解析】选C.由于c=1,所以离心率最大即为长轴最小. 点F1(-1,0)关于直线x-y+3=0的对称点为F′(-3,2),设点P为直 线与椭圆的公共点,则2a=|PF1|+|PF2|=|PF′|+|PF2|≥|F′F2|
双曲线的一个焦点到一条渐近 线的距离等于其虚半轴长
x y 1、过双曲线 2 2 1的一个焦点F作它的渐近线 a b 的垂线，垂足为 A，延长FA交y轴于点B, 若A为 FB的中点，则双曲线的离 心率是
2
求离心率范围的六种方法
求解离心率范围六法在圆锥曲线的诸多性质中，离心率经常渗透在各类题型中。
离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，在每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。
因此求离心率的取值范围，综合性强，是解析几何复习的一个难点。
笔者从事高中数学教学二十余载，积累了六种求解这类问题的通法，供同仁研讨。
一、利用椭圆上一点P (x ,y )坐标的取值范围，构造关于a ,b ,c 的不等式例1 若椭圆()012222 b a by a x =+上存在一点P ，使︒=∠900PA ，其中0为原点，A 为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e 的取值范围。
解：设()00,y x P 为椭圆上一点，则122220=+b y a x . ① 因为︒=∠900PA ，所以以O A 为直径的圆经过点P ，所以020020=+-y ax x . ②联立①、②消去0y 并整理得当a x =0时，P 与A 重合，不合题意，舍去。
所以2220ba ab x -=又a x 00，所以a ba ab 2220-， 即 ()22222c a b a -=得2122 ac ，即223e又10 e ，故e 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 二、利用圆锥曲线的焦点和曲线上一点构成的“焦三角形”三边大小关系，构造关于a ,b ,c 不等式例2 已知双曲线()0,01x 2222 b a by a =-左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为p ,ι是双曲线左支上一点，并且221PF PF d =，由双曲线第二定义得ed =1PF ，所以12PF PF e =. ① 由又曲线第一定义得a PF 2PF 12=- ②由①-②得在21PF F ∆中，所以 c e ea e a 21212≥-+- ， 即e e e ≥-+11. 又1 e ，从而解得e 的取值范围是(]21,1+。
三、利用圆锥曲线的“焦三角形”+余弦定理+均值不等式例3 设椭圆()012222 b a by a x =+的两焦点为F 1、F 2，问当离心率E 在什么范围内取值时，椭圆上存在点P ，使21PF F ∆=120°.解：设椭圆的焦距为2c ，由椭圆的定义知a PF PF 221=+.在21PF F ∆中，由余弦定理得=212221PF PF PF PF ++ =（21221)PF PF PF PF -+所以22212122244a PF PF PF PF c a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≤=- 所以23,4322≥≤a cc a 得. 又10 e ，故e 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 四、利用圆锥曲线的定义，结合完全平方数（式）非负的属性构造关于a ,b ,c 的不等式例4 如图1，已知椭圆长轴长为4，以y 轴为准线，且左顶点在抛物线1y 2-=x 上，求椭圆离心率e 的取值范围。
离心率范围问题的求解策略
离心率范围问题的求解策略离心率是描述天体椭球轨道形状的一个重要参数，它是一个无量纲的数值，代表了轨道的椭圆程度，是衡量轨道形状和运动的重要指标之一。
在天体力学中，离心率的范围问题是一个值得深思的问题，因为离心率的取值范围直接影响了天体的运动状态和轨道形状。
本文将探讨离心率范围问题的求解策略，希望能够给读者一些启发和帮助。
我们需要了解离心率的定义。
离心率e是描述椭圆轨道形状的一个参数，它的取值范围在0到1之间，当离心率为0时，轨道是一个圆形；当离心率在0到1之间变化时，轨道是一个椭圆；当离心率为1时，轨道是一个抛物线；当离心率大于1时，轨道是一个双曲线。
离心率的取值范围对轨道形状和运动状态有着重要的影响，因此离心率范围问题需要被认真对待。
我们需要思考离心率的物理意义。
离心率的大小代表了轨道椭圆程度，是描述轨道形状和运动状态的重要指标之一。
离心率越接近于0，轨道的形状越接近于圆形，天体围绕中心天体的运动越稳定；离心率越接近于1，轨道的形状越接近于抛物线，天体的运动越趋向于离心运动。
离心率的物理意义是十分重要的，它直接影响了天体的轨道形状和运动状态。
面对离心率范围问题，我们首先可以从离心率的定义出发，明确离心率的取值范围在0到1之间。
这一点是天文学和天体力学研究中的一个基本知识，需要我们牢固掌握。
在实际问题中，我们可以根据离心率的取值范围来推导出一些结论和规律，从而更好地理解离心率的作用和影响。
我们可以从天体运动的角度来分析离心率范围问题。
离心率是描述轨道形状和运动状态的重要参数，它直接影响了天体围绕中心天体的运动方式和轨道形状。
在天体力学研究中，我们可以通过分析离心率的取值范围，来研究不同离心率下天体的轨道形状和运动状态，从而深入理解离心率的物理意义和作用。
我们还可以通过数学模型和计算模拟来探讨离心率范围问题。
通过建立数学模型和计算模拟，我们可以对离心率的取值范围进行定量分析和研究，从而得出一些有关离心率范围问题的结论和结论。
离心率的五种求法
离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 23 C. 26 D. 332变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26 C. 23 D 2变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
例2：已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. 324+B.13- C.213+ D. 13+变式练习1：设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( )A. 2B.3 C. 2 D.332变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）A3 B26 C 36 D 33 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
高中数学常见题型解法归纳 - 离心率取值范围的常见求法
高中数学常见题型解法归纳 - 离心率取值范围的常见求法高中数学常见题型解法归纳——离心率取值范围的常见求法求圆锥曲线离心率的取值范围是高考中的一个热点和难点。
对于椭圆、双曲线和抛物线，我们需要清楚它们的离心率取值范围，并且自己求出的离心率的范围必须和这个范围求交集。
求离心率的取值范围常用的方法有以下三种：方法一：利用圆锥曲线的变量的范围，建立不等关系。
先求出曲线的变量，然后利用它们的范围建立离心率的不等式，解不等式即可得到离心率的取值范围。
例如，对于椭圆的左右焦点分别为$(\pm c,0)$，如果椭圆上存在点$P(x,y)$，使得$PF_1+PF_2=2a$，其中$F_1,F_2$为焦点，$2a$为长轴长度，则求离心率的取值范围为$\frac{c}{a}<e<1$。
方法二：直接根据已知中的不等关系，建立关于离心率的不等式。
根据已知中的不等关系，得到关于离心率的不等关系，再转化为离心率的不等式，解不等式即可得到离心率的取值范围。
例如，已知双曲线的右焦点为$(c,0)$，若过点$P(2\cos\theta,\sin\theta)$且倾斜角为$\alpha$的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是$e>\sec\alpha$。
方法三：利用函数的思想分析解答。
根据题意，建立关于离心率的函数表达式，再利用函数来分析离心率函数的值域，即得离心率的取值范围。
例如，设$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>b>0$，则此双曲线的离心率的取值范围是$e>\frac{a}{b}$。
需要注意的是，对于椭圆的离心率、双曲线的离心率和抛物线的离心率，求出离心率的取值范围后，必须和它本身的范围求交集，以免扩大范围，出现错解。
双曲线离心率取值范围
双曲线离心率取值范围双曲线离心率(eccentricity)是描述椭圆轨道形状特征的重要参数，它取值范围也是非常重要的研究方面。
双曲线离心率定义为椭圆的焦距除以近圆周的长半轴的倒数，实际取值范围是0～1之间。
关于双曲线离心率取值范围的研究表明，它可以描述物体的运动轨道状态，从而可以更准确地确定物体的轨道及其运动特性。
若离心率为0，则椭圆轨道就变成了圆形；若离心率为1，则椭圆轨道就变成了直线；而若离心率大于1，则椭圆轨道就变成了双曲线；而若离心率小于0，则椭圆轨道就变成了抛物线。
双曲线离心率取值范围对于天体物理研究也有很大的意义。
它取值范围可以用来分析不同类型的星系形成及演化，例如，高离心率表明星系中具有超新星和太阳粒子的活跃行为；而低离心率则表明星系中只有热暗物质的平坦分布，从而可以用来研究星系的物理特性和形态变化。
同样，双曲线离心率对普通相对论数值模拟也有很大的意义，例如，沿着双曲线轨道进行相对论模拟，需要考虑较低离心率的情况，以便正确估计计算错误。
通过考虑双曲线离心率取值范围，可以有效的防止模拟计算的波动以及计算误差的产生。
此外，双曲线离心率取值范围也为轨道机动提供了充足的研究参考，例如，在太空交通运输系统中，控制器系统必须在较小的空间内计算出适合的轨道参数，从而有效地控制飞行器；电子商务系统中，双曲线离心率取值范围可以用来分析物流费用及客户支付能力；在天文学研究中，双曲线离心率取值范围可以用来研究行星运转轨道；此外，双曲线离心率取值范围还可以用来检测小行星和卫星的运行状况，从而更加精确地确定物体的轨道。
总之，双曲线离心率取值范围的研究不仅可以有效的描述椭圆轨道形状，还可用于研究不同类型星系的物理特性和形态变化，以及普通相对论模拟计算的准确性。
同时，它还可以为太空交通运输、电子商务、天文学研究以及卫星运行轨道提供精确参考。
而且，研究双曲线离心率取值范围还有助于明确物体的轨道并判断物体的运动特性，从而更好地掌握天体物理学中的应用。
双曲线离心率的求法
双曲线离心率的求法在化学领域中，离心率（eccentricity）是指椭圆曲线形状（ellipses）长短轴两端之间的中间有多长的距离，双曲线离心率（hyperbolic eccentricity）是一种常见的曲线，它位于传统的椭圆曲线（ellipses）之后。
双曲线的离心率可以通过一系列的特定算法或公式来求解。
双曲线离心率的求解公式是根据双曲线的对称性来确定的。
双曲线的对称性可以通过它的弧长参数（arc length parameter）来定义。
大多数情况下，双曲线的弧长参数r/r0是用于求解它的离心率的。
下面是一个双曲线离心率的求解公式：双曲线离心率（e）＝√(1-(r/r0)^2)这个公式定义了双曲线的离心率，其中r/r0表示双曲线的弧长参数，e表示双曲线的离心率。
这个公式可以用来计算任何双曲线的离心率，但是在使用这个公式之前，必须确定双曲线的弧长参数。
另一种求解双曲线离心率的方法是使用现有的椭圆离心率公式，这个公式可以用来求解任何椭圆的离心率：椭圆离心率（e）＝√(a^2-b^2/a^2)其中a,b分别为椭圆的长半轴（major axis）和短半轴（minor axis）。
可以使用这个公式来求解任何双曲线的离心率，使用这种方法可以准确求解双曲线的离心率，而且这个公式不需要计算双曲线的弧长参数，只要确定椭圆的长半轴（major axis）和短半轴（minor axis），就可以求解出双曲线的离心率。
虽然这两种方法都可以求解出双曲线的离心率，但从精准性以及计算简单性上考虑，相比较而言椭圆公式求解双曲线离心率更为可行。
尤其是在双曲线的弧长参数很难确定的情况下，使用椭圆公式求解双曲线离心率更加简易，并且结果更为准确。
因此，椭圆公式求解双曲线离心率是比较理想的一种方法。
高二文科数学离心率的五种求法(精)
离心率的五种求法椭圆的离心率0<e<1，双曲线的离心率e>1，抛物线的离心率e=1．一、直接求出a、c，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式e=c来解决。
ax2例1：已知双曲线2-y2=1（a>0）的一条准线与抛物线y2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为a（） 3233 B. C. D. 2322223ac-132解：抛物线y=-6x的准线是x=，即双曲线的右准线x===，则2c2-3c-2=0，解得2cc2A.c=2，a=，e=c2，故选D =a3变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(3,0)，则其离心率为（）3211 B. C. D. 4324解：由F1(1,0)、F2(3,0)知 2c=3-1，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=3，∴a=2，c=1，c1所以离心率e==.故选C. a2A.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（） A. 36 B. C. D 2 222c3=，因此选C a2解：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=x2y2变式练习3：点P（-3，1）在椭圆2+2=1（a>b>0）的左准线上，过点P且方向为=(2,-5)的光线，ab经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A 112BCD 32325(x+3)，关于y=-2的反射光线（对称关系）为5x-2y+5=0，则2解：由题意知，入射光线为y-1=-⎧a2c⎪=3c=1a=e==解得，，则，故选A ⎨ca3⎪-5c+5=0⎩二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。
x2y2例2：已知F1、F2是双曲线2-2=1（a>0,b>0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若ab边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） +1 D. +1 2c解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为-，由焦半径公式2PF1=-exp-a， A. 4+2 B. 3-1 C.2c⎛c⎫c⎛⎫⎛c⎫即c=-⨯ -⎪-a，得⎪-2 ⎪-2=0，解得 a⎝2⎭⎝a⎭⎝a⎭ce==1+（1-3舍去），故选D ax2y2变式练习1：设双曲线2-2=1（0<a<b）的半焦距为c，直线L过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线ab的距离为3c，则双曲线的离心率为( ) 4A. 2B.C. 2D. 2 3解：由已知，直线L的方程为bx+ay-ab=0，由点到直线的距离公式，得aba2+b2=c， 422242又c=a+b, ∴4ab=3c,两边平方，得16a2c2-a2=3c4，整理得3e-16e+16=0， 2() c2a2+b2b2422=1+>2e=4，∴e=2，故选A 得e=4或e=，又0<a<b ，∴e=2=，∴223aaa22变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，则双曲线的离心率为（）∠F1MF2=1200，A B 6 C D 323解：如图所示，不妨设M(0,b)，F1(-c,0)，F2(c,0)，则MF1=MF2=c2+b2，又F1F2=2c，在∆F1MF2中，由余弦定理，得cos∠F1MF2= MF1+MF2-F1F22MF1⋅MF2222,b2-c211c2+b2+c2+b2-4c2即-=，∴， =-22222b+c22c+b()()-a213222∵b=c-a，∴2，∴，∴，∴，故选B e==-3a=2ce=22222c-a222三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若∆F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
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椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法一、利用三角形三边的关系建立不等关系（但要注意可以取到等号成立）例1：双曲线()2222y x 1a 0,b 0a b-=>>的两个焦点为12F ,F ，若P 为其上一点，且12PF 2PF =，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞【解析】12PF 2PF =，12PF PF 2a -=，1212PF PF FF +≥（当且仅当12P F F ，，三点共线等号成立）c6a 2c e 3,e 1a∴≥⇒=≤>又(]e 1,3∴∈,选B 例2、如果椭圆()2222y x 1a b 0a b+=>>上存在一点P ，使得点P 到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为 （ ）A ．(0,21]- B ．[21,1)-C ．(0,31]-D ．[31,1)-[解析]设2PF m =，由题意及椭圆第二定义可知1PF me =122aPF PF m(e 1)2a m e 1∴+=+=⇒=+ 2112PF PF F F -≤（当且仅当12P F F ，，三点共线等号成立）m me 2c ∴-≤，把2am e 1=+代入化简可得()2a1e 2c e 1-≤+2e 2e 10e 21⇒+-≥⇒≥-又e 1<)e 21,1⎡∴∈-⎣,选B 二、利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系例1：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为12,F F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ）Ａ．(1,3) Ｂ．(1,3] Ｃ．(3,)+∞ Ｄ．[3,)+∞ 【解析】设2PF m =，12(0)F PF θθπ∠=<≤，当P 点在右顶点处θπ=，222(2)4cos 254cos 2m m m ce a mθθ+-===-．11,(1,3]e θ-≤<∴∈．三、利用曲线的几何性质数形结合建立不等关系例1：双曲线()2222y x 1a 0,b 0a b-=>>的两个焦点为12F ,F ，若P 为其上一点，且12PF 2PF =，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞解：12PF PF 2a -=,2PF 2a ∴=,即在双曲线右支上恒存在点P 使得2PF 2a =可知222AF PF ,OF OA c a 2a ≤∴-=-≤，cc 3a e 3a∴≤⇒=≤又e 1>(]e 1,3∴∈,选B 例2．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是双曲线右支上一点，P 到右准线的距离为d ，若d 、|PF 2|、|PF 1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。
解：由题意得因为，所以，从而 ，。
又因为P 在右支上，所以。
。
例3．椭圆22221()x y a b a b+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）（A ）20,2⎛⎤⎥ ⎝⎦（B ）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ （C ） )21,1⎡-⎣ （D ）1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的距离相等而|FA |＝22a b c c c -= |PF |∈[a －c ,a ＋c ] 于是2b c∈[a －c ,a ＋c ]即ac －c 2≤b 2≤ac ＋c 2∴222222ac c a c a c ac c⎧-≤-⎪⎨-≤+⎪⎩⇒1112ca c c aa ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤-≥⎪⎩或又e ∈(0,1)故e ∈1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭答案：D例4、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -．若双曲线上存在点P 使1221sin sin PF F aPF F c∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 ． 【解析】212211sin sin PF PF F PF F PF ∠=∠（由正弦定理得），211PF a PF c e ∴==，21e PF PF ∴=． 又122(1)PF PF a e -=>，2(1)2e PF a ∴-=，221aPF e ∴=-，由双曲线性质知2PF c a >-，21a c a e ∴>--，即211e e >--，得2210e e --<，又1e >，得(1,21)e ∴∈+． 例5、设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12F F 、，如果椭圆上存在点P ，使∠12F PF =900，求离心率e 的取值范围。
解析：∵P 点满足∠F 1PF 2=90°，∴点P 在以F 1F 2为直径的圆上又∵P 是椭圆上一点，∴以F 1F 2为直径的圆与椭圆有公共点，∵F 1、F 2是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点∴以F 1F 2为直径的圆的半径r 满足：r=c≥b ，两边平方，得c 2≥b 2 即c 2≥a 2-c 2由此可得，）e ∈[221四、利用圆锥曲线中、x y 的范围建立不等关系例1、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（ ）Ａ． Ｂ．)+∞ Ｃ．1]Ｄ．1,)+∞【解析】22000(1)a a ex a x e x a c c -=+∴-=+ 0,x a ≥∴2(1),a a e a c+≥-2111121011a e e e e c e∴-≤+=+⇒--≤⇒≤≤+而双曲线的离心率1e >，1],e ∴∈例2、设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的左支上，双曲线两焦点为21F F 、，已知|PF |1是点P 到左准线l 的距离d 和|PF |2的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。
解析：由题设|PF |d |PF |221=得：|PF ||PF |d |PF |121=。
由双曲线第二定义e d|PF |1=得：e |PF ||PF |12=，由焦半径公式得：e ex a ex a =+--，则a ee a)e 1(x 2-≤-+-=，即01e 2e 2≥--，解得21e 1+≤<。
归纳：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点P 在双曲线1b y a x 2222=-的左支上则a x -≤；若点p 在双曲线1by a x 2222=-的右支上则a x ≥。
例2． 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12F F 、，如果椭圆上存在点P ，使∠12F PF =900，求离心率e 的取值范围。
解析1：设P （x ，y ），又知，则将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得解析2：由焦半径公式得例3已知椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 、B ，如果椭圆上存在点P ，使得∠APB =1200，求椭圆的离心率e 的取值范围．解：设P （x 0，y 0），由椭圆的对称性，不妨令0≤x 0＜a , 0＜y 0≤b ．∵A （-a ，0），B （a ，0），∴PA k =a x y +00，PB k =ax y-00． ∵∠APB =1200，∴tan ∠APB =-3，又tan ∠APB =1PB PAPB PA k k k k -+=2202002ay x ay -+，∴2202002a y x ay -+=-3，……① 而点P 在椭圆上，∴b 2x 02+a 2y 02=a 2b 2……②由①、②得y 0=)(32222b a ab -．∵0＜y 0≤b ，∴0＜)(32222b a ab -≤b ．∵a ＞b ＞0，∴2ab ≤3（a 2-b 2），即4 a 2b 2≤3 c 4，整理得，3e 4+4e 2-4≥0．考虑0＜e ＜1，可解得36≤e ＜1． 四、利用判别式建立不等关系例1、设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12F F 、，如果椭圆上存在点P ，使∠12F PF =900，求离心率e 的取值范围。
解：由椭圆定义知例2、已知双曲线)0a (1y ax 222>=-与直线l ：1y x =+交于P 、Q 两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。
解析：把双曲线方程和直线方程联立消去x 得：0a 1,0a 1y 2y )a 1(2222≠-=-+--时，直线与双曲线有两个不同的交点则0>∆，0)a 2(a 4)a 1(442222>-=--=∆，即2a 2<且1a ≠，所以23a11a c e 2222>+==，即26e >且2e ≠。
五、利用均值不等式建立不等关系∴由余弦定理，得m 2+n 2-mn=4c 2．② ①②联解，得mn ＝224()3a c -又∵mn ≤2()2m n +＝a 2， ∴224()3a c -≤a 2，化简整理，得a 2＜4c 2，解之得12≤e ＜1 例2、已知点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支上，双曲线两焦点为21F F 、，|PF ||PF |221最小值是a 8，则双曲线离心率的取值范围 。
解析：a 8a 4|PF |a 4|PF ||PF |)a 2|PF (||PF ||PF |222222221≥++=+=，由均值定理知：当且仅当a 2|PF |2=时取得最小值a 8，又a c |PF |2-≥所以a c a 2-≥，则3e 1≤<。
例3、设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12F F 、，如果椭圆上存在点P ，使∠12F PF =900，则离心率e 的取值范围 。
解析：由椭圆定义，有 平方后得六、利用二次函数的性质建立不等关系 设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ） Ａ．(2,2) Ｂ．(2,5) Ｃ．(2,5) Ｄ．(2,5)【解析】222(1)11(1)1a e a a+=+=++．11,01a a>∴<<，根据二次函数值域可得25e <<．七、利用非负数性质例 已知过双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-左焦点1F 的直线l 交双曲线于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥（O 为原点），则双曲线离心率的取值范围 。