北京大学线性代数方博汉线代B物院2018秋期中考试题

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北京大学线性代数方博汉线代B2017经院期末考试题

其中A, B ∈ Mn×n(R), Bt是矩阵B的转置, tr表示矩阵的迹. • 请验证如此定义的双线性函数确实是内积, 这样Mn×n(R)构成了一个欧几里德空间. (5分)
• 设U ⊂ Mn×n(R)为所有反对称矩阵的全体, 它是一个子空间(不用证明). 对任何的方阵A = (aij), 试用aij写出PU A, 即A在子空间U 上的正交投影. (10分)
1
2
LINEAR ALGEBRA B FINAL, 2:00PM-4:00PM
• 正交补空间U ⊥的维数是多少? (8分) • 若非零子空间U 里的任何两个向量α, β满足f (α, β) = 0, 这样的子空间
是否存在(2分), 可能的最大维数是多少(5分)？ (6) (15分) 设V 是复数域C上的n维线性空间.
(1) (15分) 设矩阵A为
A=
1 −1
2 4
• 写出A的特征值和特征向量. A可不可以对角化? (8分)
• 考察线性变换A : M2×2(C) → M2×2(C), 定义为A(U ) = A−1U A, 这里U ∈ M2×2(C)是一个2阶复数方阵. 写出这个线性变换的特征值和特征向量, 并且判断A是不是可以对角化并说明理由. (7分)
(4) (15分) 实对称矩阵
0 2 4 A = 2 −3 2 .
420
是否存在实矩阵B使得B2 = A; 若没有，是否存在复矩阵B使得B2 = A? 请说明你这么判断的理由.
(5) (15分) 设K是一个数域, 考察下述K2n上的非退化反对称双线性函数
f (α, β) = x1y1 − y1x1 + x2y2 − y2x2 + · · · + xnyn − ynxn, 其中

2017-2018学年北京师范大学附属中学下学期高二年级期中考试数学(理科)试题-解析版

绝密★启用前北京师范大学附属中学2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学（理科）试题第I卷（选择题）一、单选题1．已知i为虚数单位，复数在复平面上对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：根据除法运算将复数化为代数形式，得到复数对应的点后可得结论．详解：，所以复数对应的点为，位于第一象限．故选A．点睛：由复数的几何意义可得，复数、复平面内的点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可根据向量的知识来理解复数运算的几何意义．2．若直线（t为参数）的倾斜角为α，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由直线的参数方程中参数的系数的意义可得，进而可得的值．详解：∵直线的参数方程为（t为参数）∴，∴．故选C ．点睛：本题考查直线的参数方程中参数系数的意义，主要考查学生的理解能力，属于容易题．3．已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的虚轴长为2，焦距为近线方程为（）A. y =B. 2y x =±C. 2y x =± D. 12y x =±【答案】C【解析】由题意知∴2=c 2-b 2∴渐近线方程为y=±ba 2x.故选C.视频 4．计算定积分()12xex dx +=⎰ ( )A. 1B. e-1C. eD. e+1【答案】C【解析】试题分析： ()()121002|11xx ex dx e x e e +=+=+-=⎰，故选：C ．考点：定积分． 5．下面为函数的递增区间的是 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：求出导函数，根据导函数的符号判断即可．详解：∵， ∴，∴当时，单调递增，∴函数的递增区间的是．故选B ．点睛：解题时注意单调性与导函数符号间的关系，即当时，函数在相应区间上单调递增（减），但反之不成立．同时解题时还要注意三角函数值的符号，可借助三角函数的图象来判定．6．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=则直线l 被圆C 截得的弦长为（）A ．142 C ．2 D ．22 【答案】D【解析】试题分析：直线的普通方程为40x y --=，圆的直角坐标方程为()2224x y -+=，圆心到直线的距离d ==2222l d r l ⎛⎫+=∴= ⎪⎝⎭考点：1．参数方程化普通方程；2．极坐标与直角坐标的转化；3．直线与圆相交的弦长问题7．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA 1=2，点G 与E 分别是A 1B 1和CC 1的中点，点D 与F 分别是AC 和AB 上的动点．若GD ⊥EF ，则线段DF 长度的最小值为 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：建立空间直角坐标系，设出点F,D 的坐标，求出向量,，利用GD ⊥EF求得关系式，然后可得到DF 长度的表达式，最后利用二次函数求最值．详解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0),E (0,2,1),G (1,0,2),F (x ,0,0),D (0,y ,0)，则,，由于GD⊥EF，所以，所以，故，所以当时，线段DF长度取得最小值，且最小值为．故选A．点睛：建立空间直角坐标系后，可将立体几何问题转化为数的运算的问题来处理，解题时要注意建立的坐标系要合理，尽量多地把已知点放在坐标轴上，同时求点的坐标时要准确．8．已知函数的图象关于点(-1，0)对称，且当x∈(-∞，0)时，成立，(其中f′(x)是f(x)的导数）；若, ，，则a，b，c的大小关系是（）A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. c>b>a【答案】B【解析】分析：令，则，可得在(∞，0)上单调递增．由函数的图象关于点(1，0)对称，可得函数的图象关于点(，0)对称，故函数为奇函数，所以函数为偶函数，且在(∞，0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减．由于，可得．详解：令，则，∴当x∈(∞，0)时，函数单调递增．∵函数的图象关于点(1，0)对称，∴函数的图象关于点(，0)对称，∴函数为奇函数，∴函数为偶函数，且在(∞，0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减．又，，∴．故选B．点睛：（1）本题考查函数性质的综合运用，解题时要认真分析题意，从中得到函数的相关性质．（2）解题时注意偶函数性质的运用，即若函数为偶函数，则，运用这一性质可将问题转化到同一单调区间上研究．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．若复数z满足，其中i为虚数单位，则|z|=____________．【答案】【解析】分析：先求得复数z，再求|z|．详解：∵，∴，∴．点睛：本题考查复数的乘法运算和复数的模，解题的关键是正确得到复数，然后再根据模的定义求解．10．在极坐标系中，极点到直线的距离是________．【答案】【解析】分析：将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据点到直线的距离公式求解．详解：由题意得，整理得，把代入上式可得，故直线的直角坐标方程为，所以所求距离为．故极点到直线的距离是．点睛：解题的关键是把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，其中要注意转化公式的合理利用．11．如图，圆222:O x y π+=内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是______________．【答案】π34【解析】3003y sinx x M S 2sinxdx 2cosx |4O A A M P 4/B ππππ==⎰=-==解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为正弦曲线与轴围成的区域记为，根据图形的对称性得：面积为，由几何概率的计算公式可得，随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率故选．12．设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为_____．【答案】【解析】试题分析：对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝(x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以P 的坐标为(1，1)．考点：导数的几何意义．视频 13．已知函数在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线在点(1，0)处相切，则函数f(x)的表达式为________________。

北京市第四中学20172018学年高二数学下学期期中试题理

北京四中2017－2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1. 复数z 满足（1+i ）z=i ，则在复平面内复数z 所对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 定积分⎰+1)2(dx e x x 的值为A. e+2B. e+1C. eD. e －13. 曲线y=x 3－2x+1在点（1，0）处的切线方程为 A. y=x －1B. y=－x+lC. y=2x －2D. y=－2x+24. 函数y=xcosx 的导数为 A. y'=cosx －xsinx B. y'=cosx+xsinx C. y'=xcosx －sinxD. y'=xcosx+sinx5. 设f （x ）=x 2－2x －4 lnx ，则函数f （x ）的增区间为 A. （0，+∞） B. （－∞，－1），（2，+∞） C. （2，+∞）D. （－1，0）6. 若复数z=（x 2－4）+（x+3）i （x ∈R ），则“z 是纯虚数”是“x=2”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 函数f （x ）的定义域为开区间（a ，b ），其导函数f'（x ）在（a ，b ）内的图象如图所示，则函数f （x ）在开区间（a ，b ）内极小值点的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 直线y=3x 与曲线y=x 2围成图形的面积为A.227B. 9C.427D.29 9. 若函数y=f （x ）的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y=f （x ）具有T 性质. 下列函数中具有T 性质的是A. y=sinxB. y=lnxC. y=e xD. y=x 310. 函数f （x ）=x 3－3x －1，若对于区间[－3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f （x 1）－f （x 2）|≤t ，则实数t 的最小值是A. 20B. 18C. 3D. 011. 设函数f'（x ）是奇函数f （x ）的导函数，f （－1）=0，当x>0时，xf'（x ）－f （x ）<0，则使得f （x ）>0成立的x 的取值范围是A. （－∞，－1）（0，1）B. （－1，0）（1，+∞）C. （－∞，－1）（－l ，0）D. （0，1）（1，+∞）12. 设函数f （x ）=（x －2）lnx －ax+l ，若存在唯一的整数x 0，使得f （x 0）<0，则a 的取值范围是A. （0，33ln 1+） B. （21，33ln 1+]C. （33ln 1+，1）D. [33ln 1+，1）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 13. 下列是关于复数的类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则； ②由实数绝对值的性质|x|2=x 2类比得到复数z 的性质|z|2=z 2；③已知a ，b ∈R ，若a －b>0，则a>b 类比得已知z 1，z 2∈C ，若z 1－z 2>0，则z 1>z 2； ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. 其中推理结论正确的是__________.14. 如图，函数y=f （x ）的图象在点P 处的切线方程是y=－x+8，则f （2018）+f'（2018）=_________.15. 已知函数f（x）=e x－2x+a有零点，则a的取值范围是_________.16. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=l处有极值10，则（a，b）=__________.17. 函数f（x）=ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f（x）在x=x0与x=－1处取得极值，给出下列判断：①f（1）+f（－1）=0；②f（－2）>0；③函数y=f'（x）在区间（－，0）上是增函数. 其中正确的判断是_________. （写出所有正确判断的序号）18. 对于函数f（x）=（2x－x2）e x①（－2，2）是f（x）的单调递减区间；②f（－2）是f（x）的极小值，f（2）是f（x）的极大值；③f（x）有最大值，没有最小值；④f（x）没有最大值，也没有最小值.其中判断正确的是________.三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分.19. 已知函数f （x ）=ax 3+x 2a ∈R . 在x=－34处取得极值. （I ）确定a 的值；（II ）若g （x ）=f （x ）·e x，讨论g （x ）的单调性.20. 设f （x ）=a （x －5）2+6lnx ，其中a ∈R ，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与y 轴相交于点（0，6）.（I ）确定a 的值；（II ）求函数f （x ）的单调区间与极值. 21. 已知函数f （x ）=e x+ax -1. （I ）当a=21时，求函数f （x ）在x=0处的切线方程；（II ）函数f （x ）是否存在零点?若存在，求出零点的个数；若不存在，请说明理由. 22. 已知函数f （x ）=xx 1ln -－ax. （I ）当a=2时，（i ）求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（ii ）求函数f （x ）的单调区间；（II ）若1<a<2，求证：f （x ）<－1.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ACAACBADAAAB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 13①④ 14 －2011 15 （－∞，2ln2－2]16（4，－11） 17 ②③ 18 ②④三、解答题：本大题共4小题，共60分.19. 解：（I ）对f （x ）求导得f'（x ）=3ax 2+ax ，因为f （x ）在x=－34处取得极值，所以f'（－34）=0，即3a ·916+2·（－34）=316a －38=0，解得a=21.（II ）由（I ）得g （x ）=（2321x x +）e x ，故g'（x ）=（x x 2232+）e x+（2321x x +）e x ＝（x x x 2252123++）e x=21x （x+1）（x+4）e x . 令g'（x ）=0，解得x=0，x=－1或x=－4. 当x<－4时，g' （x ）<0，故g （x ）为减函数；当－4<x<－1时，g'（x ）>0，故g （x ）为增函数；当－1<x<0时，g'（x ）<0，故g （x ）为减函数；当x>0时，g'（x ）>0，故g （x ）为增函数.综上知，g （x ）在（－∞，－4）和（－l ，0）内为减函数，在（－4，－1）和（0，+∞）内为增函数.20. 解：（I ）因f （x ）=a （x －5）2+6 lnx ，故f'（x ）=2a （x －5）+x6. 令x=1，得f （1）=16a ，f' （1）=6－8a ，所以曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y －16a=6－8a （x －1），由点（0，6）在切线上可得6－16a=8a －6，故a=21.（II ）由（I ）知f （x ）=21（x －5）2+6lnx （x>0），f'（x ）=x －5+x 6=x x x )3)(2(--.令f'（x ）=0，解得x 1=2，x 2=3.当0<x<2或x>3时，f'（x ）>0，故f （x ）在（0，2），（3，+∞）上为增函数；当2<x<3时，f'（x ）<0，故f （x ）在（2，3）上为减函数. 由此可知f （x ）在x=2处取得极大值f （2）=29+6ln2，在x=3处取得极小值f （3）=2+6ln3. 21. 解：（I ）f （x ）=e x+a x -1，f'（x ）=e x－2)(1a x -，f' （0）=1－21a .当a=21时，f'（0）=－3. 又f （0）=－1，则f （x ）在x=0处的切线方程为y=－3x －l. （II ）函数f （x ）的定义域为（－∞，a ）（a ，+∞）. 当x ∈（a ，+∞）时，e x>0，a x -1>0，所以f （x ）=e x+ax -1>0，即f （x ）在区间（a ，+∞）上没有零点.当x ∈（－∞，a ）时，f （x ）=e x+ax -1=a x a x e x -+-1)(，令g （x ）=e x（x －a ）+1，只要讨论g （x ）的零点即可. g'（x ）=e x（x －a+1），g'（a －1）=0.当x ∈（－∞，a －1）时，g'（x ）<0，g （x ）是减函数；当x ∈（a －1，a ）时，g'（x ）>0，g （x ）是增函数，所以g （x ）在区间（－∞，a ）上的最小值为g （a －1）=1－ea －1.当a=1时，g （a －1）=0，所以x=a －1是f （x ）的唯一的零点；当a<l 时，g （a －1）=1－e a －1>0，所以f （x ）没有零点；当a>l 时，g （a －1）=1－ea －1<0. 所以f （x ）有两个零点.22. 解：（I ）当a=2时，f （x ）=xx 1ln -－2x. f'（x ）=2ln 2xx-－2=22ln 22x x x --. （i ）可得f'（1）=0，又f （1）=－3，所以f （x ）在点（1，－3）处的切线方程为y=－3.（ii ）在区间（0，1）上2－2x 2>0，且－lnx>0，则f'（x ）>0.在区间（1，+∞）上2－2x 2<0，且－lnx<0，则f' （x ）<0. 所以f （x ）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）. （II ）由x>0，f （x ）<－1，等价于xx 1ln -－ax<－l ，等价于ax 2－x+1－lnx>0. 设h （x ）=ax 2－x+1－lnx ，只须证h （x ）>0成立.因为h'（x ）=2ax －1－x1=x x ax 122--，1<a<2，由h'（x ）=0，得2ax 2－x －1=0有异号两根.令其正根为x 0，则2ax 20－x 0－1=0.在（0，x 0）上h'（x ）<0，在（x 0，+∞）上h'（x ）>0.则h （x ）的最小值为h （x 0）=ax 20－x 0+1－lnx 0=000ln 121x x x -+-+ =00ln 23x x --.又h'（1）=2a －2>0，h'（21）=2（232-a ）=a －3<0，所以21<x 0<1. 则230x ->0，－lnx 0>0.因此230x -－lnx 0>0，即h （x 0）>0. 所以h （x ）>0所以f （x ）<－1.。

北京大学樊铁栓数理上2018秋期中考试题

数学物理方法（上）前四章综合练习（2018-11-16）姓名学号(本次练习共2页,总计4道大题,合计100分,完成时间120分钟)一、选择与填空（50分）1．（6分）复数()()23cos5sin 5cos3sin 3i i ϕϕϕϕ+-的（1）指数表示式=() ；（2）三角表示式=() 。

2.（6分) 对数函数()ln 1w z =+是多值函数，其原因来自：（A ）arg z 的多值性；（B ）()arg 1z +的多值性；（C ）z 数值的不确定性；（D ）()1z +数值的不确定性。

3．（6分）设函数()f z 在复连通区域G 内解析，C 为G 内的分段光滑曲线，端点为A 和B ，则积分()C f z dz ⎰（A ）与积分路径无关，但与端点坐标有关；（B ）与积分路径有关，但与端点坐标无关；（C ）与积分路径和端点坐标均无关；（D ）与积分路径和端点坐标均有关。

4．（6分）级数1sinh n in ∞=的收敛性为：（A ）通项不趋于0；（B ）通项趋于0，发散；（C ）条件收敛；（D ）绝对收敛。

5．（7分）幂级数()11n n n i z ∞=-∑的收敛半径为（A ） 1；（B；（C ）；（D ） 12 。

6．（7分）现有复数()i x e φ，其中()x φ是实变数x 的实函数，则()i x e φ的（1）实部() =；（2）虚部() =；（3）模() =；（4）辐角() =。

7．（7分）已知()42e f z d z πςςςς=-⎰＝，则有（1）()() f i =；（2）()()34 f i -=。

8. （5分）请判断()sin ln i z 是（A ）多值函数；（B ）单值函数。

二、（20分）请计算（1）（12分）积分()()*25n z z f n dz z ==-⎰，其中n 是整数，*z 是复数z 的复共轭。

（2）（8分）积分()3cos 2C z I dz z z π=-⎰，C 为曲线14z =。

北京市北京师范大学附属中学2018届高三上学期期中考试数学(文)试题Word版含解析

北京师大附中2018 届上学期高中三年级期中考试数学试卷（文科）本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟 .一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的. 请将答案填写在答题纸上.1. 已知会合，，则会合中元素的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】 C【分析】由，解得：，即，∵，∴，则会合中元素的个数为 2 ，应选 C.2. 以下函数中为偶函数的是（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】 A ．的定义域为，定义域对于原点对称，，故其为偶函数；对于 B. 的定义域为，因为定义域不对于原点对称，故其为非奇非偶函数；对于 C. 的图象对于对称，故其为非奇非偶函数； D.依据指数函数的性质可得，的图象既不对于原点对称也不对于轴对称，其为非奇非偶函数，故选 A.3. 已知直线 m， n 和平面α，假如，那么“ m⊥n”是“ m⊥ α”的（）A. 充足而不用要条件B. 必需而不充足条件C. 充足必需条件D. 既不充足也不用要条件【答案】 B【分析】若，则，即必需性建立，当时，不必定建立，一定垂直平面内的两条订交直线，即充足性不建立，故“”是“”的必需不充足条件，故选 B.4. 已知平面向量，则a与a+b的夹角为（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】∵向量，，∴，，设与的夹角为，，则由，可得，应选 A.5. 在等比数列中，，，则等于（）A. 9B.72C.9或 72D. 9 或 -72【答案】 D【分析】设等比数列的公比为，∵，，∴，解得或，故或，应选 D.6. 设 x， y 知足则的最小值为（）A.1B.C.5D.9【答案】 B【分析】作出不等式组对应的平面地区如图：的几何意义是地区内的点到定点的距离的平方，由图象知 A 到直线的距离最小，此时距离，则距离的平方，应选 B.7. 若函数的相邻两个零点的距离为，且，则函数的极值点为（）A. B.C. D.【答案】 D【分析】∵函数的相邻两个零点的距离为，∴，故，又∵，即函数为奇函数，故可得，联合得，故，∴，令，得，经查验为极值点，应选 D.8.中国历法推断依照以测为辅、以算为主的原则，比如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷 (gu ǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测获得的，其余节气的晷影长则是依照等差数列的规律计算得出的，下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，此中115.1 寸表示 115 寸 1 分（ 1 寸 =10 分） .已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0 寸，夏至晷影长为 14.8 寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为()A. 72.4 寸B. 81.4 寸C. 82.0 寸D. 91.6 寸【答案】 C【分析】设晷影长为等差数列，公差为，，，则，解得，∴，∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是寸，故选 C.二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分 . 请将答案填写在答题纸上 .9. 设 i 为虚数单位，复数=______________.【答案】【分析】，故答案为.10. 在△ ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为a，b， c.若 c=4，，则a=_______， S△ABC =_________.【答案】(1). 2(2).11.若一个几何体由正方体挖去一部分获得，其三视图以下图，则该几何体的体积为_________.【答案】【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体挖去一个同底同高的四棱锥获得的组合体，正方体的体积为：，四棱锥的体积为：，故组合体的体积，故答案为.点睛：此题考察的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档；由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体挖去一个同底同高的四棱锥获得的组合体，分别计算他们的体积，相减可得答案.12. 已知向量a=（1,1），点A（3,0），点B为直线y=2x上的一个动点，若∥ a，则点 B 的坐标为_____________.【答案】（-3， -6）【分析】设，，∵，∴，解得，∴，故答案为.13. 已知函数，.（1）当 k=0 时，函数 g（ x）的零点个数为 ____________；（ 2）若函数g（ x）恰有 2 个不一样的零点，则实数k 的取值范围为 _________.【答案】(1). 2(2).【分析】（ 1）当时，，明显可得，当时，无零点，当当时，时，时，，当，函数单一递加，而且当有两个零点，即和，解得，故函数的零点个数为 2 个；（ 2）时，，函数单一递减，当时，即函数图象在轴的下方，函数的图象有两个交点，以下图：函数图象的最低点对应的函数值为，函数图象最高点对应的函数值为，要使两图象有两个交点，故应知足，故答案为.点睛：此题主要考察函数零点个数的判断，将方程转变为两个函数的订交个数问题是解决本题问题的基本方法，利用导数研究函数的单一性与极值是解决此题的重点，在该题中最简单出现的的错误是判断当时，函数图象一直在轴下方.14. 在平面直角坐标系xOy 中， A （ -12,0 ）， B （ 0,6），点P 在圆O：上，若，则点P 的横坐标的取值范围是_________.【答案】【分析】设，由，易得，由，可得或，由得 P 点在圆左侧弧上，联合限制条件，可得点P 横坐标的取值范围为．点睛 : 对于线性规划问题，第一明确可行域对应的是关闭地区仍是开放地区、分界限是实线仍是虚线，其次确立目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、仍是点到直线的距离等，最后联合图形确立目标函数的最值或取值范围．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.15. 已知等比数列的公比q>0，且.（ I）求公比q 和的值；（ II ）若的前n项和为，求证：.【答案】 ( Ⅰ)q=2..( Ⅱ) 证明看法析 .【分析】试题剖析：（Ⅰ）因为为等比数列，所以由等比数列的性质得，又因为，所以，因为，所以，因为，即得．因为，所以，即；（Ⅱ）由（ 1）得，，所以,因为，所以．试题分析：（Ⅰ）因为为等比数列，且，所以，因为，所以，因为，所以．因为，所以，即（Ⅱ）因为，所以因为所以,因为，所以．考点：等比数列的通项公式和乞降公式．16. 已知函数.（ I）求的值；（ II ）求函数的最小正周期和单一递加区间.【答案】 ( Ⅰ)；( Ⅱ) 最小正周期. . 单一递加区间为【分析】试题剖析：（Ⅰ）因为，直接令，即可求得的值；（Ⅱ）由正弦函数的和差公式化简得，由三角函数的周期公式即可求得函数的最小正周期，令，，即可得函数的单一递加区间．试题分析：（Ⅰ）因为所以（Ⅱ）因为所以所以周期．令，解得，．所以的单一递加区间为考点：三角函数的性质．17. 如图，在四棱锥E-ABCD 中， AE ⊥DE ， CD ⊥平面 ADE ，AB ⊥平面ADE ， CD=DA=6 ， AB=2 ， DE=3.（I）求棱锥 C-ADE 的体积；（II ）求证：平面 ACE ⊥平面 CDE ；（ III ）在线段DE 上能否存在一点F，使 AF ∥平面 BCE ？若存在，求出的值；若不存在，说明原因.【答案】 ( Ⅰ)；( Ⅱ) 证明看法析；( Ⅲ) 答案看法析.【分析】试题剖析：（ I）在中，，可得于平面，可得；（II）由平面而获得平面，即可证明平面平面；（III）在线段平面，．设为线段上的一点，且，过作线面垂直的性质可得：．可得四边形是平行四边形，于是，由，可得，进上存在一点，使交于点，由，即可证明平面试题分析：（ I ）在Rt△ ADE 中，，因为CD ⊥平面ADE ，所以棱锥C-ADE 的体积为.（II ）因为所以平面平面，，又因为平面平面，所以，所以平面.又因为平面，，（III ）在线段上存在一点F，且，使平面.解：设为线段因为平面上一点，且，平面，过点作，所以交于，又因为，则.所以又因为，平面，所以四边形，平面是平行四边形，则，所以平面..点睛：此题考察了线面面面垂直与平行的判断与性质定理、三棱锥的体积计算公式、平行线分线段成比率定理，考察了推理能力与计算能力，属于中档题；因为“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间能够互相转变，所以整个证明过程环绕着线面垂直这个中心而睁开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，证明线面平行的几种常有形式：1、利用三角形中位线获得线线平行；2、结构平行四边形；3、结构面面平行.18.已知点 A （ a，3），圆 C 的圆心为（ 1,2），半径为 2.（I）求圆 C 的方程；（II ）设 a=3，求过点 A 且与圆 C 相切的直线方程；（ III ）设a=4，直线l 过点 A 且被圆 C 截得的弦长为，求直线l 的方程；（IV ）设a=2，直线过点A，求被圆 C 截得的线段的最短长度，并求此时的方程.【答案】（I）；（II ）（III ）或或；；（IV ）；.【分析】试题剖析：（ I ）由圆心和半径可得圆的方程为程的点斜式为，利用点到直线的距离为圆的半径2，可解出；（ II ）设切线方，当直线的斜率不存在时也知足题意；（III）由直线被圆截得的弦长为，故而圆心到直线的距离为当与，利用点到直线的距离解出的值即可得直线方程；（ IV ）第一判断点在圆内，垂直时，直线截圆所得线段最短，可得直线的方程，再求出点到直线的距离即可求出弦长.试题分析：（ I ）圆 C 的方程为；（II ）当直线斜率存在时，设切线方程的点斜式为，即则圆心到直线的距离为率不存在时，直线方程为，解得，知足题意，故过点，即切线方程为A 且与圆 C 相切的直线方程为，当斜或；（III ）设直线方程为弦心距为，，即，因为直线被圆截得的弦长为，解得或，即直线的方程为，故而或；（IV ）∵∵，∴点在圆内，当与，∴直线的斜率为，故直线的方程为，故弦长为.垂直时，直线截圆所得线段最短，，圆心到直线的距离为19. 已知函数（ I）若曲线.存在斜率为-1 的切线，务实数 a 的取值范围；（II）求的单一区间；（ III ）设函数，求证：当时，在上存在极小值.【答案】( Ⅰ).( Ⅱ) 答案看法析；( Ⅲ) 证明看法析.【分析】试题剖析：( Ⅰ) 求出函数的导数，问题转变为存在大于0 的实数根，依据在时递加，求出的范围即可；( Ⅱ) 求出函数的导数，经过议论的范围，判断导函数的符号，求出函数的单一区间即可；( Ⅲ) 求出函数的导数，依据，获得存在知足，进而获得函数的单一区间，求出函数的极小值，证出结论即可.试题分析：（ I ）由得.由已知曲线存在斜率为-1 的切线，所以存在大于零的实数根，即存在大于零的实数根，因为在时单一递加，所以实数 a 的取值范围.（II ）由可得当时，，所以函数的增区间为；当时，若，，若，，所以此时函数的增区间为，减区间为.（III ）由及题设得，由可得，由（II ）可知函数在上递加，所以，取，明显，，所以存在知足，即存在知足，所以，在区间（1， +∞）上的状况以下：－0 +↘极小↗所以当 -1<a<0 时， g（ x）在（ 1， +∞）上存在极小值.（此题所取的特别值不独一，注意到），所以只要要即可)点睛：此题考察了函数的单一性、最值问题，考察导数的应用以及分类议论思想、是一道综合题，属于难题；导数的几何意义即函数在某一点处的导数即为在该点处切线的斜率，利用分类议论的思想解决含有参数的函数的单一性，在该题中主要依照导函数的零点与定义域的关系睁开议论.20. 已知椭圆C：的两个焦点和短轴的两个极点组成的四边形是一个正方形，且其周长为.（ I）求椭圆 C 的方程；（ II ）设过点 B （ 0， m）（ m>0）的直线与椭圆 C 订交于E，F 两点，点 B 对于原点的对称点为 D ，若点 D 总在以线段EF 为直径的圆内，求m 的取值范围 .【答案】 ( Ⅰ)；(Ⅱ).【分析】试题剖析：（ I）由题意列出方程组求出，，由此能求出椭圆的方程． ( Ⅱ)当直线的斜率不存在时，的方程为，，点 B 在椭圆内，由，得，由此利用根的鉴别式、韦达定理、弦长公式、由此能求出的取值范围.试题分析：（ I ）解：由题意，得：又因为解得，所以椭圆 C 的方程为.（II ）当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为x=0 ，此时 E， F 为椭圆的上下极点，且，因为点总在以线段为直径的圆内，且，所以，故点 B 在椭圆内 .当直线的斜率存在时，设的方程为.由方程组得，因为点 B 在椭圆内，所以直线与椭圆 C 有两个公共点，即.设，则.设 EF的中点，则，所以.所以，，因为点 D 总在以线段EF 为直径的圆内，所以对于恒建立.所以.化简，得，整理，得，而（当且仅当k=0 时等号建立）所以，由 m>0，得.综上， m 的取值范围是.。

北京大学线性代数方博汉线代B物院2018秋期末考试题(回忆版)

2018秋线性代数期末(回忆版)教师：⽅博汉(1)(20分) V 为实数域 ℝ 上 n 维线性空间，若正交线性映射 f:V →V 特征值为1的特征⼦空间 W 维数为 n −1 。

证明 f =id -−2P ，其中 id - 为 V 上恒同映射， P 为向 W 的正交补空间 W 0 的正交投影映射。

(2)(20分) 复数和四元数的矩阵表⽰• 设 V 为实数域上2阶实矩阵空间 M 2×2(ℝ) 的⼦空间，试找到⼀组基 {1,i} ，使得1 ∙1=1,1∙i =i ∙1=i,i ∙i =−1• 设 V 为实数域上2阶复矩阵空间 M 2×2(ℝ) 的⼦空间（所以共有8维），试找到⼀组基 {1,i,j,k} 使得1∙1=1,1∙i =i ∙1=1,1∙j =j ∙1=j,1∙k =k ∙1=1 i 2=j 2=k 2=i ∙j ∙k =−1 (3)(20分) 设矩阵A =>0000011010010000@ 若将 A 视为实数域上正交矩阵，求⼀组正交基，使得A 化为标准的分块对⾓化的形式(10分)；若将A 视为⾣矩阵，求⾣空间中⼀组正交基，使得A 对⾓化。

(10分)(4)(20分) 若A 为复数域上 n 阶⽅阵，定义exp (A )=D A E k!GEHI =I +A +A 22!+A L 3!+⋯可以⽤Jordan 标准形证明，对于任意矩阵，右边的式⼦是收敛的(你不⽤证明)。

• (10分)证明：expOtr (A )R =det (exp (A))•(10分)证明：若A是反对称矩阵，则 exp (A) 是正交矩阵。

(提⽰：先证明若AB=BA，则 exp(A+B)=exp(A)∙exp (B) 可以直接⽤这个结论证明，得5分)(5)(20分) 设 V 为复数域上 n 维线性空间。

我们知道 V⊗V 上有同构σ(α⊗β)=β⊗α(a) (2分) 设 S={v∈V⊗V |σ(v)=v } ，S 是 V⊗V 的⼦空间(你不⽤证明这个事实)，求 S 的维数，设 V 的⼀组基为 {e\,e2,⋯,e]}。

北京师大附中2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷(文科)(解析版)

2
f (2) ，
A. c b a
B. b a c
C. b c a【答案】 BFra bibliotekD. a b c
【解析】
分析：首先根据题意知函数图像关于
x 1 对称，即可知 a
1 f( )
5 f ( ) ，再结合
y
f ( x) 在 (1,
)上
2
2
单调递增，得出 f (2)
5 f( )
f (3) ，即可得出答案 .
故选： A．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义进行判断，是解决本题的关键．
x2 y2
4.设双曲线 a2 b2 1 (a>0， b>0) 的虚轴长为 2，焦距为 2 3 ，则双曲线的渐近线方程为 (
)
A. y＝ ± 2 x
B. y＝ ±2x
C. y＝ ± 2 x 2
【答案】 C 【解析】
调性 .
3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（
）
A. y x2 sin x
B. y x2 cos x
C. y
2x
1 2x
【答案】 A
D. y x sin 2x
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【详解】解： A． f（﹣ x）＝（﹣ x） 2+sin（﹣ x）＝ x2﹣sin x，则 f（﹣ x）≠﹣ f（x ）且 f（﹣ x）≠ f（x），
则函数 f（ x）为非奇非偶函数；
B． f（﹣ x）＝（﹣ x） 2﹣ cos（﹣ x）＝ x2﹣ cosx＝ f（ x），则函数 f（ x）是偶函数；
C． f（﹣ x） 2 x
1 2x

2018.5二附中高二数学期中(文)

北京师范大学2017-2018学年度第二学期高二文科数学期中考试试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知集合A={x∣x<1}，B={x∣3x<1}，则( )A. A∩B={x∣x<0}B. A∪B=RC. A∪B={x∣x>1}D. A∩B=∅2. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A. y=x+sin2xB. y=x2−cosxC. y=2x+1D. y=x2+sinx2x3. 若复数z满足z(1+i)=2i（i为虚数单位），则∣z∣=( )A. 1B. 2C. √2D. √34. 设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，⋯⋯，则a10+b10=( )A. 28B. 76C. 123D. 199单调递增的区间可能是( )6. 使函数y=4x2+1xA. (0,+∞)B. (−∞,1),+∞) D. (1,+∞)C. (12(a>0)，若∃x0∈R，使得∀x1∈[1,2]都f(x1)<f(x0)，则7. 函数f(x)=lnx−xa实数a的取值范围是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,+∞)D. (0,1)∪(2,+∞)8. 如图，在棱长为 a (a >0) 的正四面体 ABCD 中，点 B 1,C 1,D 1 分别在棱 AB,AC,AD 上，且平面B 1C 1D 1∥平面BCD,A 1 为 △BCD 内一点，记三棱锥 A 1−B 1C 1D 1 的体积为 V ，设AD 1AD=x ，对于函数 V =f (x )，则 ( )A. 当 x =23 时，函数 f (x ) 取到最大值 B. 函数 f (x ) 在 (12,1) 上是减函数C. 函数 f (x ) 的图象关于直线 x =12 对称D. 存在 x 0 使得 f (x 0)>13V A−BCD （其中 V A−BCD 为四面体 ABCD 的体积）二、填空题（共6小题；共30分）9. 复数 z =(2−i )2 在复平面内对应的点在第象限．10. 若变量 x,y 满足约束条件{x −y +1≤0,x +2y −8≤0,x ≥0,则 z =3x +y 的最小值为．11. 若实数 x ，y 满足 xy =1 ，则 x 2+2y 2 的最小值为．12. 函数 f (x )=x 2−2lnx 的单调减区间是．13. 已知函数 f (x )=e x −mx +1 的图象为曲线 C ，若曲线 C 存在与直线 y =ex 垂直的切线，则实数 m 的取值范围为．14. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：房间A 房间B 房间C35 m 220 m 228 m 2涂料1涂料2涂料316元/m218元/m220元/m2那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是元．三、解答题（共6小题；共80分）15. 已知函数f(x)=xe x（e为自然对数的底）．（1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程．16. 如图：梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直，其中AB∥DC，AD=CD=1AB，且O为AB中点．2（1）求证：BC∥平面POD；（2）求证：AC⊥PD．17. 已知椭圆的一个顶点为A(0,−1)，焦点在x轴上．若右焦点到直线x−y+2√2=0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点M，N．当∣AM∣=∣AN∣时，求m的取值范围．18. 如图，四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=DC=4，AD=2，E为PC的中点．（1）求三棱锥A−PDE的体积；（2）线段AC上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM?若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．19. 已知函数f(x)=ax3+bx2+4x的极小值为−8，其导函数y=fʹ(x)的图象经过点(−2,0)，如图所示．（1）求f(x)的解析式；（2）若函数y=f(x)−k在区间[−3,2]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．20. 已知函数f(x)=lnx−ax在x=2处的切线l与直线x+2y−3=0平行．（1）求实数a的值；,2]上恰有两个不相等的实数根，（2）若关于x的方程f(x)+m=2x−x2在[12求实数m的取值范围；（3）记函数g(x)=f(x)+1x2−bx，设x1，x2(x1<x2)是函数g(x)的两个极2，且g(x1)−g(x2)≥k恒成立，求实数k的最大值．值点，若b≥32答案第一部分1. A2. D 【解析】选项A是奇函数，选项B是偶函数，选项C是偶函数，只有选项D既不是奇函数也不是偶函数．3. C 【解析】因为z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i，所以∣z∣=∣1+i∣=22=√2．4. D 【解析】当ab<0时，由a>b不一定推出a2>b2，反之也不成立．5. C【解析】解法一：由a+b=1，a2+b2=3得ab=−1，则a10+b10=(a5+b5)2−2a5b5=123．解法二：令a n=a n+b n，则a1=1，a2=3，a3=4，a4=7，⋯⋯，得a n+2=a n+ a n+1，从而a6=18，a7=29，a8=47，a9=76，a10=123．6. C 【解析】令yʹ=8x−1x2=8x3−1x2>0，(2x−1)(4x2+2x+1)>0，x>12．7. D 【解析】由题意可知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，fʹ(x)=1x −1a(a>0)，当x∈(0,a)时，fʹ(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(a,+∞)时，fʹ(x)<0，f(x)单调递减；故f(x)max=f(a)，∃x0∈R，使得∀x1∈[1,2]都有f(x1)<f(x0)，即f(a)>f(x1)对∀x1∈[1,2]恒成立，故a∉[1,2]，所以实数a的取值范围是(0,1)∪(2,+∞)．8. A 【解析】由题意可知△B1C1D1∽△BCD，而C1D1CD =AD1AD=x，所以S△B1C1D1S△BCD=x2 .棱锥A1−B1C1D1与棱锥A−BCD的高之比为1−x .设V A−BCD=V0，所以V A1−B1C1D1=f(x)=x2(1−x)V0 .因此根据函数关系式，通过导数求单调区间易判断当x=23时，函数f(x)取到最大值．第二部分9. 四【解析】因为复数z=(2−i)2=3−4i，所以其在复平面内对应的点的坐标为(3,−4)，位于第四象限．10. 111. 2√212. (0,1)【解析】因为f(x)=x2−2lnx(x>0)，所以fʹ(x)=2x−2x =2x2−2x=2(x+1)(x−1)x，令fʹ(x)<0，得0<x<1．所以函数f(x)=x2−2lnx的单调减区间是(0,1)．13. (1e,+∞)【解析】函数f(x)=e x−mx+1的导函数为fʹ(x)=e x−m，要使曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，则需e x−m=−1e 有解，即m=e x+1e有解，由e x>0，得m>1e．则实数m的取值范围为(1e,+∞)．14. 1464【解析】共有6种方案：①35×16+20×18+28×20=560+360+560=1480元．②35×16+20×20+28×18=560+400+504=1464元．③35×18+20×16+28×20=630+320+560≡1510元．④35×18+20×20+28×16=630+400+448=1478元．⑤35×20+20×16+28×18=700+320+504=1524元．⑥35×20+20×18+28×16=700+360+448=1508元．其中方案②总费用最低，为1464元，即面积大的房间用价格最低的涂料，面积最小的房间用最贵的涂料，面积中等的房间用费用中等的涂料．第三部分15. （1）fʹ(x)=e x+xe x．令fʹ(x)>0⇒x>−1，即函数f(x)的单调递增区间是(−1,+∞)．（2）因为f(1)=e，fʹ(1)=2e，所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−e=2e(x−1)，即2ex−y−e=0．16. （1）因为O为AB中点，所以BO=12AB，又 AB ∥CD ，CD =12AB ，所以有 CD =BO ，CD ∥BO ．所以 ODCB 为平行四边形，所以 BC ∥OD ，又 DO ⊂平面POD ，BC ⊄平面POD ．所以 BC ∥平面POD ．（2）连接 OC ．因为 CD =BO =AO ，CD ∥AO ，所以 ADCO 为平行四边形，又 AD =CD ，所以 ADCO 为菱形，所以 AC ⊥DO ，因为正三角形 PAB ，O 为 AB 中点，所以 PO ⊥AB ，又因为平面ABCD ⊥平面PAB ，平面ABCD ∩平面PAB =AB ，所以 PO ⊥平面ABCD ，而 AC ⊂平面ABCD ，所以 PO ⊥AC ，又 PO ∩DO =O ，所以 AC ⊥平面POD ．又 PD ⊂平面POD ，所以 AC ⊥PD ． 17. （1）依题意可设椭圆方程为 x 2a 2+y 2=1，则右焦点 F(√a 2−1,0)，由题设 ∣∣√a 2−1+2√2∣∣=3，解得 a 2=3，故所求椭圆的方程为x 23+y 2=1．（2）设P为弦MN的中点，由{y=kx+m, x23+y2=1,得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2−1)=0，由于直线与椭圆有两个交点，所以Δ>0，即m2<3k2+1, ⋯⋯①所以x P=x M+x N2=−3mk3k2+1，从而y P=kx P+m=m3k2+1，所以k AP=y P+1x P =−m+3k2+13mk，又∣AM∣=∣AN∣，所以AP⊥MN，则−m+3k2+13mk =−1k，即2m=3k2+1, ⋯⋯②把②代入①得2m>m2解得0<m<2，由②得k2=2m−13>0，解得m>12．故所求m的取值范围是(12,2)．18. （1）因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD．又四边形ABCD是矩形，所以AD⊥CD .因为PD∩CD=D，所以AD⊥平面PCD，所以AD是三棱锥A−PDE的高．因为E为PC的中点，且PD=DC=4，所以S△PDE=12S△PDC=12×(12×4×4)=4.又AD=2，所以V A−PDE=13AD⋅S△PDE=13×2×4=83.（2）存在．取 AC 的中点 M ，连接 EM ，DM ，因为 E 为 PC 的中点，所以 EM ∥PA ．又因为 EM ⊂平面EDM ，PA ⊄平面EDM ，所以 PA ∥平面EDM ．易知 AM =12AC =√5．即在线段 AC 上存在一点 M ，使得 PA ∥平面EDM ，AM 的长为 √5． 19. （1） fʹ(x )=3ax 2+2bx +4，且 y =fʹ(x ) 的图象过点 (−2,0)，所以 −2 为 3ax 2+2bx +4=0 的根，代入得 3a −b +1=0, ⋯⋯① 由图象可知，f (x ) 在 x =−2 时取得极小值，即 f (−2)=−8，得 b =2a, ⋯⋯②由 ①② 解得 a =−1，b =−2，所以 f (x )=−x 3−2x 2+4x ．（2）由题意，方程 f (x )=k 在区间 [−3,2] 上有两个不相等的实数，即方程 −x 3−2x 2+4x =k 在区间 [−3,2] 上有两个不相等的实数． fʹ(x )=−3x 2−4x +4，令 fʹ(x )=0，解得 x =−2 或 x =23，可列表如下： x −3(−3,−2)−2(−2,23)23(23,2)2fʹ(x )−0+0−f (x )−3↘极小值−8↗极大值4027↘−8由表可知，当 k =−8 或 −3<k <4027时，方程 −x 3−2x 2+4x =k 在区间 [−3,2] 上有两个不相等的实根，即函数 y =f (x )−k 在区间 [−3,2] 上有两个不同的零点． 20. （1） fʹ(x )=1x −a ，因为函数在 x =2 处的切线 l 与直线 x +2y −3=0 平行，所以 k =fʹ(2)=12−a =−12，解得 a =1．（2）由（1）得 f (x )=lnx −x ，所以 f (x )+m =2x −x 2，即 x 2−3x +lnx +m =0 在 [12,2] 上恰有两个不相等的实数根．设 ℎ(x )=x 2−3x +lnx +m (x >0)，则 ℎʹ(x )=2x −3+1x =(2x−1)(x−1)x．令 ℎʹ(x )=0，得 x 1=12，x 2=1，列表得 x 12(12,1)1(1,2)2ℎʹ(x )0−0+ℎ(x )极大值↘极小值↗m −2+ln2所以当 x =1 时，ℎ(x ) 的极小值为 ℎ(1)=m −2，且 ℎ(12)=m −54−ln2，ℎ(2)=m −2+ln2．因为方程 x 2−3x +lnx +m =0 在 [12,2] 上恰有两个不相等的实数根，所以 {ℎ(12)≥0ℎ(1)<0ℎ(2)≥0，即 {m −54−ln2≥0m −2<0m −2+ln2≥0，解得：54+ln2≤m <2．（3）因为 g (x )=lnx +12x 2−(b +1)x ，所以 gʹ(x )=1x+x −(b +1)=x 2−(b+1)x+1x，所以 x 1+x 2=b +1，x 1x 2=1，所以 x 2=1x 1．因为 b ≥32，所以 {x 1+1x 1≥520<x 1<1x1，解得 0<x 1≤12．所以 g (x 1)−g (x 2)=ln x 1x 2+12(x 12−x 22)−(b +1)(x 1−x 2)=2lnx 1−12(x 12−1x 12)．设 F (x )=2lnx −12(x 2−1x 2)(0<x ≤12)，则 Fʹ(x )=2x −x −1x 3=−(x 2−1)2x 3<0，所以 F (x ) 在 (0,12] 上单调递减，所以当 x 1=12 时，F (x )min =F (12)=158−2ln2．所以 k ≤158−2ln2，所以 k max =158−2ln2．。

北大版-线性代数部分课后答案详解

2•用行列式的泄义证明习题1.2：如如如如1 •写岀四阶行列式中幻I'2勺3"24含有因子的项“3】a 32 a 33a 34«41勺 2«43仙解：由行列式的泄义可知，第三行只能从@2、中选，第四行只能从厲2、中选，所以所有的组合只有（-l ）f （，324）如给角2知或（-1）"网 a H a 23a 34a 42，即含有因子勺］“23的项为一如吹32% 和 a H a 23a 34a 42证明：第五行只有取他「山2整个因式才能有可能不为°,同理，第四行取“42,第三行取①I 、©2，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0 •以第五行为参考，含有的因式必含有0,同理，含有的因式也必含有0“故所有因式都为0 •原命题得证・。

3 •求下列行列式的值:0 1 0♦ • ♦0 •… 0 1 00 02 ♦ • 00 ... 2 0 0(1)■ ■ ■ ■■ ；（2）• • ■ • • •0 00 • • ”一〃一 1 0 0 0n 0 0 • •• 00 …0 H0 1 0 ♦ • • 00 2• • • 0解：（1） ■ ■ ■■ ■ ■ ■■ ■/lX r(234...nl)=("1)Ix2x3x--•xn =(-1)*"1 n\0 0 ・•・//-In 0 0 • • • 0a 2l0 01 0 0 ■ …2 • •0 ■ 0 ■■ ”一• • …0 • 0 ■0 0 00 n=(-1)侶心5)» B= 如■ •“22 ■■f 1-n…5少…如尸■5肝・・・a nn证明:A=BoE (T 严•”%叫2…％沪Wi"叫z (T 严％%…讣A 叩2・・％和巾时2 ••叭和巾命题得证。

5•证明：如下2007阶行列式不等于61 2 …2006 200722 32 …20072 2OO82 D=33 • 43 • …20083 • • 20083■• ■■ •• • • •■ ■证明：最后一行元素，除去2007*”是奇数以外，其余都是偶数，故含2008^7的因式也都是偶数。

北大版线性代数答案

北大版线性代数答案【篇一：北京大学2015年春季学期线性代数作业答案】class=txt>一、选择题（每题2分，共36分）1.（教材1.1）行列式a.13b.11c.10 （c ）。

d.1（ a）。

c.0d. 2.（教材1.1）行列式a.b.3.（教材1.2）行列式（ b）。

a.40b.-40c.0d.14.（教材1.3）下列对行列式做的变换中，（ a）会改变行列式的值。

a.将行列式的某一行乘以3b.对行列式取转置c.将行列式的某一行加到另外一行d.将行列式的某一行乘以3后加到另外一行5.（教材1.3）行列式（b ）。

(提示：参考教材p32例1.3.3)a.2/9b.4/9c.8/9d.0有唯一解，那么（d）。

6.（教材1.4）若线性方程组a.2/3b.1c.-2/3d.1/3【篇二：线性代数期末考试试卷+答案合集】txt>一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）11. 若0?3521x?0，则??__________。

?2?1??x1?x2?x3?0?2．若齐次线性方程组?x1??x2?x3?0只有零解，则?应满足。

?x?x?x?023?13．已知矩阵a，b，c?(cij)s?n，满足ac?cb，则a与b分别是阶矩阵。

?a11?4．矩阵a??a21?a?31a12??a22?的行向量组线性。

a32??25．n阶方阵a满足a?3a?e?0，则a?1?1. 若行列式d中每个元素都大于零，则d?0。

（）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（）?，am中，如果a1与am对应的分量成比例，则向量组a1，a2，?，as线性相关。

3. 向量组a1，a2，（）?0?14. a???0??0100?000??，则a?1?a。

（）?001?010?5. 若?为可逆矩阵a的特征值，则a?1的特征值为?。

()三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

北京师范大学第二附属中学2018届高三上学期期中考试语文试题含答案

北京师大二附中2018——2018学年度第一学期期中高三语文试题一、多文本阅读。

本大题共4小题，共15分。

阅读下面材料，完成1-4题。

材料一在移动互联网时代，人们的出行日益依赖卫星导航。

GPS导航家喻户晓，北斗导航也日益完善，可是你听说过脉冲星导航吗？没错，就是离我们千万光年之遥的脉冲星！虽然遥远而又陌生，只要加以科学利用，它们就可以给人造地球卫星和宇宙飞船提供导航，甚至开启人类星际之旅哦。

现在，中国的科研人员正在尝试把这个“狂想”变成现实。

中国将于11月择机发射首颗脉冲星导航试验卫星（XPNAV－1），实测脉冲星发射的X 射线信号，尝试验证脉冲星导航技术体制的可行性。

恒星的一生也像人一样，经历从孕育诞生，到成长成熟，以及最终衰老死亡的整个过程。

大体上说来，恒星死亡后的遗骸可以分为三类：白矮星、中子星和黑洞。

脉冲星就是高速自转的中子星，具有极其稳定的周期性，其稳定度比目前最稳定的氢原子钟还要高1万倍以上，被誉为自然界中最稳定的天文时钟，使之成为人类在宇宙中航行的灯塔。

脉冲星的典型半径仅有10公里，其质量却在1.44倍至3.2倍太阳质量之间，是除黑洞外密度最大的天体。

每立方厘米的脉冲星质量达到1亿吨，要用1000艘百万吨级的巨轮才能拖动。

脉冲星的自转轴与磁极轴之间有一个夹角，两个磁极各有一个辐射波束。

当星体自转且磁极波束扫过安装在地面或航天器上的探测设备时，探测设备就能够接收到一个脉冲信号。

脉冲星具有良好的周期稳定性，其稳定度达到10的负19次方。

10的负19次方就是两个脉冲信号点之间的周期差值，只有在小数点后面第19位才会出现变化。

目前国际时间基准是原子时系统，最好的氢原子钟的稳定度只能达到10的负15次方水平，比脉冲星时钟的稳定度还要低4个量级。

这就好像把原来的时间尺子刻度加密到1／10000，刻度更细密了，人们能量得更精确、看得更细致。

1.下面各项对脉冲星的表述，不符合原意的一项是（）（3分）A.脉冲星是中子星的一种，是恒星死亡后的遗骸，能够高速自转。

北京市海淀北大附中2017-2018学年高二数学上学期期中试卷理及答案【word版】.doc

北京市海淀北大附中2017-2018学年高二数学上学期期中试题理（含解析）一、本大题共4小题，共计总分15分（每空3分，共5空，合计15分）．已知x 、y 、z 均为实数，m ，n 为确定实数．写成下列各问题：（可用字母与符号：m 、n 、p 、q 、∨、∧、⌝、∀、∃） 1．设命题p 为：“0m ≠”，表述命题p ⌝：__________．AB 1D A【答案】0m =【解析】∵0m ≠的否这是：0m =， ∴若p 为：0m ≠，则:0p m ⌝=．2．设命题q 为：“0n ≠”，用字母与符号表述命题“m 、n 均为非零实数”：__________． A 1D 1C 1B 1CBAD【答案】p q ∧【解析】“m 、n 均为非零实数”，即“0m ≠，0n ≠”，又命题:p “0m ≠”，命题q 为：“0n ≠”，故用字母符号表述命题：“m 、n 均为非零实数”为：p q ∧．3．已知增函数()y f x =，命题:t “x y ∀>，()()0f x f y ->”，t ⌝是：__________．【答案】x y ∃>，()()0f x f y -≤【解析】全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故命题:r “x y ∀>，()()0f x f y ->”，则r ⌝是：x y ∃>，()()0f x f y -≤．4．某学生三好学生的评定标准为：（1）各学科成绩等级均不低于等级B ，且达A 及以上等级学科比例不低于85%；（2）无违反学校规定行为，且老师同学对其品德投票评定为优秀比例不低于85%；（3）体育学科综合成绩不低于85分．设学生达A 及以上等级学科比例为%x ，学生的品德被投票评定为优秀比例为%y ，学生的体育学科综合成绩为(0100)x y z z 、、≤≤．用(,,)x y z 表示学生的评定数据．已知参评候选人各学业成绩均不低于B ，且无违反学校规定行为．则：（1）下列条件中，是“学生可评为三好学生”的充分不必要条件的有__________．①(85,80,100)②(85,85,100)③255x y z ++≥④285x y z ++≥（2）写出一个过往学期你个人的（或某同学的）满足评定三好学生的必要条件__________．【答案】（1）②④（2）200x y z ++≥【解析】（1）对于①，由数据可知，学生的品德被投票评定为优秀比例是80%，低于85%，不能被评三好学生，充分性不成立；对于②，由数据可知，学生的评定数据均满足被评为三好学生的评定标准，充分性成立，但反之，被评为三好学生，成绩不一定是(85,85,100)，必要性不成立，故②符合题意；对于③，由85x ≥，85Y ≥，85z =，得255x Y z ++≥，故255x y z ++≥是学生可评为三好学生的充要条件，故③不符合题意；对于④，由③知285x Y z ++≥是学生可评为三好学生的充分不必要条件，故④符合题意．综上所述，“学生可评为三好学生”的充分不必要条件有②④．（2）由（1）可知，255x y z ++≥是“学生可评为三好学生”的充分条件，故满足评定三好学生的必要条件可以是：200x y z ++≥．二、本大题共7小题，共计总分31分．（填空2（1），6（1）每空4分，2（2），6（2）每空4分，其余每空3分，共7空，合计21分；第3，4小题为解答题，每题5分，合计10分）已知单位正方形1111ABCD A B C D -，点E 为11B D 中点． 1．设1AD a =u u u rr，1AB b =u u u rr，以{}a b c 、、为基底．表示：（1）AE =u u u r __________；（2）1AC =u u u r__________．【答案】（1）1122a b +r r ．（2）111222a b c ++r r r．【解析】（1）在11AB D △，1AB b =u u u r r ，1AD a =u u u r r， E 为11B D 中点， ∴111111()()2222AE AB AD a b a b =+=+=+u u u r u u u r u u u r r r r r ．（2）11111111122222AC AE EC AE AC AE AC a b c =+=+=+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r r r r．2．以A 为原点，分别以AB 、AD 、1AA 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则：（1）点E 坐标为__________．（2）若点F 满足：F 在直线1BB 上，且EF ∥面11AD C ，则点F 坐标为__________．【答案】（1）11,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）11,0,2⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】（1）∵1111ABCD A B C D -是单位正方体， ∴棱长为1，∴1(1,0,1)B ，1(0,1,1)D ，∴由中点坐标公式得11,,122E ⎛⎫⎪⎝⎭．（2）易知当F 为1BB 中点时，1EF BD ∥，从而EF ∥平面11AD C ，∴11,0,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．以下3、4题写出完整求解过程（在答题卡图中作出必要图像） 3．求直线1AB 与11AD C 所成的角．【答案】见解析．【解析】解：设直线1AB 与平面11AD C 所成的角为θ， ∵(0,0,0)A ，1(1,0,1)B ，1(1,1,1)C ，1(0,1,1)D ，∴1(1,0,1)AB =u u u r ，1(1,1,1)AC =u u u r ，1(0,1,1)AD =u u u r，设平面11AD C 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则1100AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ，即00x y z y z ++=⎧⎨+=⎩，令1y =，则0x =，1z =-，∴(0,1,1)n =-r，∴1||1sin |cos ,|2||||AB n AB n AB n θ⋅=<>===⋅u u u r rr u u ur r ， ∴30θ=︒，即直线1AB 与平面11AD C 所成的角为30︒．4．求二面角111B AD C --的大小．【答案】见解析．【解析】解：设平面11AB D 的一个法向量为(,,)m x y z =u r，则110AB m AD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u ru u u r u r ，即00x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =，1z =-，∴(1,1,1)m =-u r，∴由3知平面11AD C 的法向量(0,1,1)n =-r，∴cos ,m n <>===u r r故二面角111B AD C --的大小为．5．过点C 与直线1AC 所成角为45°，且与平面ABCD 所成角为60°的直线条数为__________．【答案】2【解析】过点C 与直线1AC 所成角为45°，且与平面ABCD 所成角为60°的直线条数与过1C 与直线1AC 所成角为45︒，且与平面ABCD 所在的角为60︒的直线条数相同，过1C 与直线1AC 所成角为45︒的直线为以1C 为项点，以1AC 为轴线的圆锥的母线，过1C 且与平面ABCD 所成角为60︒的直线是以1C 为顶点，以1CC 为轴线，顶角为60︒的圆锥的母线，由于1tan AC C =∠14560AC C ︒<<︒∠，故这两个圆锥曲面的相交，有2条交线，从而过点C 与直线1AC 所成角为45︒，且与平面ABCD 所成角为60︒的直线条数为2．6．设有公共顶点的三个面构成一组，例如共顶点A 的平面组为：面11ADD A 、面ABCD 、面11ABB A ．正方体内（含表面）有一动点P ，到共点于A 的三个面的距离依次为1d 、2d 、3d ．（1）写出一个满足1231d d d ++=的点P 坐标__________．（按2题建系）（2）若一个点到每组有公共顶点的三个侧面（共八组）距离和均不小于1，则该点轨迹图形的体积为：__________．A1A【答案】（1）(0,0,1)．（2）112．【解析】（1）设(,,)P x y z ，则P 到平面11ADD A 的距离为x ，P 到平面ABCD 的距离为z ，P 到平面11ABB A 的距离为y ，故由1231d d d ++=得1x y z ++=，故任写一个满足1x y z ++=的坐标即可，0(0,0,1)y ．（2）若点P 到共顶点A 的平面组的距离和1x y z ++=，则点P 位于平面1A BD 上，若点P 到共顶点A 的平面组的距离和1x y z++≥，则P 位于正方体除去三棱锥1A A BD -剩余的几何体内，因此，若一个点到每组有公共点的三个侧面的距离和均不小于1，则点位于正方体削去如图所示三棱锥后剩余的八面体中，该八面体积21113212V =⨯⨯=⎝⎭．A1D1C1B1CBAD三、本大题共4小题共计总分41分．（填空1，3（1）每小题4分，3（3），（4）每小题2分，其余各填空题每题3分，共12小题，合计36分，4（1）题赋分最高5分）圆锥曲线：用不同角度的平面截两个共母线且有公共轴和顶点的圆锥得到截面轮廓线，这些不同类型的曲线统称为圆锥曲线（如图1）1．写出图中你认为的不同类型圆锥曲线名称：__________．【答案】圆，椭圆，双曲线，抛物线．【解析】因垂直于锥面的平面去截圆锥，得到的是圆，得平面逐渐倾斜，得到椭圆，当平面倾斜得“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线，用平行于圆锥的轴线的平面去截二次锥面可得到双曲线，故圆中不同类型的圆锥曲线有圆，椭圆，双曲线和抛物线．2．直角坐标系，圆锥曲线C的方程221yxn+=，O为原点．（如图1）（1）为获得（如图1）中用与圆锥轴线垂直方向的平面截得类型的圆锥曲线，可取n=__________；（2）为获得（如图1）中用与圆锥轴线平行方向的平面截得类型的圆锥曲线，可取n = __________；（3）上问2（2）中，对应取定n 值的曲线，其离心率e = __________；（4）上问2（2）中，对应取定n 值的曲线，其渐近线方程是__________；（5）为得到比（2）中开口更大同类曲线，写出一个新取值n =__________．【答案】（1）1n =．（2）3-．（3）2．（4）y =．（5）4n =-．【解析】（1）若用垂直于圆锥轴线的平面截得的圆锥曲线是圆，此时1n =．（2）用与圆锥轴线平行方向的平面截得的圆锥曲线是双曲线，此时0n <，故可取3n =-．（3）当3n =-时，圆锥曲线C 的方程为2213y x -=，此时1a =，b =2c =，故其离心率e 2c a==．（4）由（3）知，双曲线C 的渐近线方程为：y =．（5）双曲线的离心率越大，开口越大，对于221y x n+=，要使离心率大于2，则3n <-，故可取4n =-．3．同2小题中曲线C 条件，且曲线C 为椭圆，设1F 、2F 为两个焦点，A 点在曲线C 上．（1）若焦点在y 轴上，可取n =__________；（2）描述3（1）中椭圆至少两个几何特征： ①__________；②__________．（3）若4n =，则12AF F △的周长为__________；（4）若2AOF △是以AO 为斜边的等腰直角三角形（如图2），则椭圆的离心率e =__________．【答案】（1）4．（2）①椭圆落在1x =±，2y =±围成的矩形中； ②图象关于x轴，y 轴，原点对称．（3）4+ （4．【解析】（1）若方程221y x n+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >，故可取4n =．（2）①对于椭圆2214y x +=的几何性质有：x 的取值范围是11x -≤≤，y 的取值范围是22x -≤≤，椭圆位于直线1x =±，2y =±围成的矩形中；从图形上看：椭圆关于x 轴，y 轴，原点对称，既是轴对称图象，又是中心对称图形；椭圆2214yx +=的四个顶点分别是(1,0)-，(1,0)，(0,2)，(0,2)-，离心率e c a==，长半轴长为2，短半轴长为1，焦距为（3）若4n =，则椭圆C 的方程为2214y x +=，此时2a =，1b =，c = 若A 在曲线C 上，则12||||24AF AF a +==，故12AF F △的周长为1212||||||224AF AF F F a c ++=+=+ （4）若2AOF △是以AO 为斜边的等腰直角三角形，则2b C a=，即2b ac =，又222b a c =-，得220c ac a +-=，故2e e 10+-=，解得e=0e1<<，故e=4．直线与圆锥曲线相交时，与相交弦有关的几何图形常为研究的对象．同2小题中曲线C条件，且5n=，直线l过曲线C的上焦点1F，与椭圆交于点A、B．（1）下面的三个问题中，直线l分别满足不同的前提条件，选择其中一个研究．（三个问题赋分不同，若对多个问题解答，只对其中第一个解答过程赋分）①直线斜率为1，求线段AB的长．②OA OB⊥，求直线l的方程．③当AOB△面积最大时，求直线l的方程．我选择问题__________，研究过程如下：（2）梳理总结你的研究过程，你使用主要的知识点、研究方法和工具（公式）有：__________（至少2个关键词）．（3）在题4题干同样条件下，自构造一个几何图形，并自定一个相关的几何问题（无需解）．（在图34-中绘制出该几何图形，用正确的符号和文字描述图形的已知条件，并准确简洁叙述待研究的几何问题．无需解答，描述不清晰和不准确的不得分，绘制图像与描述不匹配的不得分）__________．【答案】见解析．【解析】（1）①解：由题意可知直线l 的方程为2y x =+，椭圆C 的方程为2215y x +=，由22215y x y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得26410x x +-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：1223x x +=-，1216x x =-，∴线段||AB ===．②解：易知直线l 的斜率一定存在，设直线:2l y kx =+，代入椭圆22:15y C x +=中得：22(5)410k x kx ++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：12245k x x k -+=+，12215x x k -=+， ∴2222121212122228520(2)(2)2()44555k k k y y kx kx k x x k x x k k k ---+=++=+++=++=+++， ∵DA OB ⊥，∴222121222215205190555k k x x y y k k k --+-++=+==+++，解得：k =， ∴直线l 的方程为：2k =+． ③解：易知直线l 斜率一定存在，设直线:2l y kx =+，代入椭圆22:15y C x +=中得：22(5)410k x kx ++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：12245k x x k -+=+，12215x x k -=+， ∴线段||AB2215k k +=+，又原点D 到直线AB的距离d =，∴AOB △的面积22111||225k S AB d k +=⋅=⨯=+==∵2216181k k ++=+≥，∵14S ==≤，当且仅当221611k k +=+，即k =时，取等号，∴AOB △，此时直线l的方程为：2y =+．（2）函数与方程思想，不等式性质，弦长公式，根与系数关系，设而不求等．（3）设直线l 的斜率为k ，若椭圆C 的下顶点为D ，求证：对于任意的k ∈R ，直线AD ，BD 的斜率之积为定值．四、本大题4小题，共计总分13分．（第2，3，4小题，每题3分，每1小题4分，合计13分）汽车前灯反射镜曲面设计为抛物曲面（即由抛物绕其轴线旋转一周而成的曲面）．其设计的光学原理是：由放置在焦点处的点光源发射的光线经抛物镜面反射，光线均沿与轴线平行方向路径反射，而抛物镜曲面的每个反射点的反射镜面就是曲面（线）在该点处的切面（线）．定义：经光滑曲线上一点，且与曲线在该点处切线垂直的直线称为曲线在该点处的法线．设计一款汽车前灯，已知灯口直径为20cm ，灯深25cm （如图1）．设抛物镜面的一个轴截面为抛物线C ，以该抛物线顶点为原点，以其对称轴为x 轴建立平面直角坐标系（如图2）．.图1抛物线上点P 到焦点距离为5cm ，且在x 轴上方．研究以下问题： 1．求抛物线C 的标准方程和准线方程．【答案】见解析．【解析】解：设抛物线C 的方程为：22y px =，由于灯口直径为20cm ，灯深25cm ，故点(25,10)在抛物线C 上， ∴100225p =⨯，解得：2p =，∴抛物线C 为标准方程为：24y x =，准线方程为1x =-．2．求P 点坐标．【答案】见解析．【解析】解：设P 点坐标为00(,)x y ，0(0)y >，则2004y x =， ∵点P 到焦点的距离为5， ∴015x +=，得04x=， ∴04y ==，故点P 的坐标为(4,4)．3．求抛物线在点P 处法线方程．【答案】见解析．【解析】解：设抛物线在P 点处的切线方程为：4(4)y k x -=-，则由2444(4)y x y x ⎧=⎨-=-⎩，消去x 得：2416160ky y k --+=，164(1616)0k k ∆=--+=，即24410k k -+=，解得12k =， ∴抛物线在P 点处法线的斜率为2-，故抛物线在P 点处法线的方程为42(4)y x -=--，即2120x y +-=．4．为证明（检验）车灯的光学原理，从以下两个命题中选择其一进行研究：（只记一个分值）①求证：由在抛物线焦点F 处的点光源发射的光线经点P 反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴．②求证：由在抛物线焦点F 处的点光源发射的任意一束光线经抛物线反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴．我选择问题__________，研究过程如下：【答案】见解析．【解析】①证明：设(1,0)F 关于法线2120x y +-=的对称点(,)m n ，则(,)m n 在反射光线上，则1121212022nm m n ⎧=⎪⎪-⎨+⎪⨯+-=⎪⎩，解得94m n =⎧⎨=⎩，∴反射光线过点(9,4)，又∵点(4,4)P 在反射光线上， ∴反射光线的方程为4y =，故由在抛物线焦点F 处的点光源经点P 发射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴． ②证明：设00(,)M x y 为抛物线上，任意一点，则抛物线在M 处切线方程为：00()y y k x x -=-，由2004()y x y y k x x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩得2004440ky y y kx -+-=， 00164(44)0k y kx ∆=--=，又204y x =代入上式化简得20(2)0ky -=，∴02k y =，∴抛物线在00(,)M x y 处法线的斜率为02y -，法线方程为000()2y y y x x -=--，即2000024y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，设(1,0)F 关于在点M 处的法线200024y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭的对称点F '为(,)m n ，则02002112224nm y y y n m y ⎧=⎪-⎪⎨⎛⎫+⎪-=-- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：42002006828y y m y n y⎧++=⎪+⎨⎪=⎩， ∴抛物线在点M 处反射光线过420002068,28y y y y ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，又∵反射光线过00(,)M x y ， ∴反射光线所在直线方程为0y y =，故由在抛物线焦点F 处的点光源发射的任意一束光线经抛物线反射，反射光线所在的直线平行于抛物线的对称轴．。

北京市第四中学2017_2018学年高二数学下学期期中试题文

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！北京四中2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（文科）满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1. 在复平面内，复数i i+1的对应点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的可导函数. 则“函数y=f（x）在R上单调递增”是“f'（x）>0在R上恒成立”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 曲线y=x3-2x+l在点（1，0）处的切线方程为A. y=x-1B. y=-x+1C. y=2x-2D. y=-2x+24. 函数y=xcosx的导数为A. y'=cosx-xsinxB. y'=cosx+xsinxC. y'=xcosx-sinxD. y'=xcosx+sinx5. 设f（x）=x2-2x-4lnx，则函数f（x）的增区间为A. （0，+∞）B. （-∞，-1），（2，+∞）C. （2，+∞）D. （-1，0）6. 若复数z=（x2-4）+（x+3）i（x∈R），则“z是纯虚数”是“x=2”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 函数f（x）的定义域为开区间（a，b），其导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内极小值．．．点的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 函数f （x ）=（21）x-log 2x 的零点个数为 A. 0B. 1C. 2D. 39. 若函数y=f （x ）的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y=f （x ）具有T 性质. 下列函数中具有T 性质的是A. y=sinxB. y=lnxC. y=e xD. y=x 310. 函数f （x ）=x 3-3x ，若对于区间[-3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f （x 1）-f （x 2）|≤t ，则实数t 的最小值是A. 20B. 18C. 3D. 011. 设函数f'（x ）是奇函数f （x ）的导函数，f （-1）=0，当x>0时，xf'（x ）-f （x ）<0，则使得f （x ）>0成立的x 的取值范围是A. （-∞，-1）Y （0，1）B. （-1，0）Y （1，+∞）C. （-∞，-1）Y （-1，0）D. （0，1）Y （1，+∞）12. 德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n ）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l 可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为A. 4B. 6C. 8D. 32二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分13. 已知i 是虚数单位，若复数z 满足zi=l+i ，则z 2=___________.14. 如图，函数y=f （x ）的图象在点P 处的切线方程是y=-x+8，则f （2018）+f'（2018）=_________.15. 已知函数f （x ）=e x-x+a 有零点，则a 的取值范围是_________.16. 已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+a 2在x=1处有极值10，则（a ，b ）=________. 17. 对于函数f （x ）=（2x-x 2）e x①（-2，2）是f （x ）的单调递减区间；②f （-2）是f （x ）的极小值，f （2）是f （x ）的极大值； ③f （x ）没有最大值，也没有最小值； ④f （x ）有最大值，没有最小值. 其中判断正确的是_________.18. 若函数e xf （x ）（e=2.71828…，是自然对数的底数）在f （x ）的定义域上单调递增，则称函数f （x ）具有M 性质，下列函数：①f （x ）=x1（x>1） ②f （x ）=x 2 ③f （x ）=cosx ④f （x ）=2-x中具有M 性质的是__________.三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分. 19. 已知函数f （x ）=-x 3+3x 2+9x+a. （I ）求f （x ）的单调减区间；（II ）若f （x ）在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. 20. 设f （x ）=a （x-5）2+61nx ，其中a ∈R ，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与y 轴相交于点（0，6）.（I ）确定a 的值；（II ）求函数f （x ）的单调区间与极值.21. 已知：函数f （x ）=ax 4lnx+bx 4-c （x>0）在x=1处取得极值-3-c ，其中a ，b ，c 为常数. （1）试确定a ，b 的值；（2）讨论函数f （x ）的单调区间：（3）若对任意x>0，不等式f （x ）≥-2c 2恒成立，求c 的取值范围. 22. 已知函数f （x ）=e x·（a+x1+lnx ），其中a ∈R. （I ）若曲线y=f （x ）在x=1处的切线与直线y=-ex垂直，求a 的值；（II ）当a ∈（0，ln2）时，证明：f （x ）存在极小值.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分三、解答题：本大题共4小题，共60分19. 解：（I ）f'（x ）=-3x 2+6x+9. 令f'（x ）<0，解得x<-1或x>3，所以函数f （x ）的单调递减区间为（-∞,-1），（3，+∞）. （II ）因为f （-2）=8+12-18+a=2+a ， f （2）=-8+12+18+a=22+a ，所以f （2）>f （-2），因为在（-1，3）上f'（x ）>0，所以f （x ）在[-1，2]上单调递增，又由于f （x ）在[-2，-1]上单调递减，因此f （2）和f （-1）分别是f （x ）在区间[-2，2]上的最大值和最小值.于是有22+a=20，解得a=-2.故f （x ）=-x 3+3x 2+9x-2. 因此f （-1）=1+3-9-2=-7，即函数f （x ）在区间[-2，2]上的最小值为-7.20. 解：（I ）因f （x ）=a （x-5）2+6lnx ，故f'（x ）=2a （x-5）+x6. 令x=l ，得f （1）=16a ，f'（1）=6-8a ，所以曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y-16a=6-8a （x-1），由点（0，6）在切线上可得6-16a=8a-6，故a=21. （II ）由（I ）知f （x ）=21（x-5）2+6lnx （x>0），f'（x ）=x-5+x 6=x x x )3)(2(--.令f'（x ）=0，解得x 1=2，x 2=3.当0<x<2或x>3时，f'（x ）>0，故f （x ）在（0，2），（3，+∞）上为增函数；当2<x<3时，f'（x ）<0，故f （x ）在（2，3）上为减函数. 由此可知f （x ）在x=2处取得极大值f （2）=29+6ln2，在x=3处取得极小值f （3）=2+6ln3.21. 解：解：（I ）由题意知f （1）=-3-c ，因此b-c=-3-c ，从而b=-3.又对f （x ）求导得f'（x ）=4ax 3lnx+ax 4·x1+4bx 3=x 3（4alnx+a+4b ）. 由题意f'（1）=0，因此a+4b=0，解得a=12.（II ）由（I ）知f'（x ）=48x 3lnx （x>0）. 令f'（x ）=0，解得x=1.因此f 1，+∞）. （III ）由（II ）知，f （x ）在x=1处取得极小值f （1）=-3-c ，此极小值也是最小值. 要使f （x ）≥-2c 2（x>0）恒成立，只需-3-c ≥-2c 2.即2c 2-c-3≥0，从而（2c-3）（c+1）≥0. 解得c ≥23或c ≤-1. 所以c 的取值范围为（-∞，-1]Y [23，+∞） 22. 解：（I ）f （x ）的导函数为f'（x ）=e x·（a+x 1+lnx ）+e x·（x 1-21x） =e x·（a+x 2-21x +lnx ）. 依题意，有f'（1）=e ·（a+1）=e ，解得a=0.（II ）由f'（x ）=e x·（a+x 2-21x +lnx ）及e x>0知，f'（x ）与a+x 2-21x+lnx 同号. 令g （x ）=a+x 2-21x+lnx ，则g'（x ）=3222x x x +-=321)1(x x +-.所以对任意x ∈（0,+∞），有g'（x ）>0，故g （x ）在（0，+∞）单调递增. 因为a ∈（0，ln2），所以g （1）=a+l>0，g （21）=a+ln 21<0，故存在x 0∈（21，1），使得g （x 0）=0. f （x ）与f'（x ）在区间（21，1）上的情况如下：所以f （x ）在区间（21，x 0）上单调递减，在区间（x 0，1）上单调递增. 所以f （x ）存在极小值f （x 0）.。

北大直博历年试题(2011-2018,缺2014,2017)

使得 lim f x 0 ？ x
（1） f x C ；
（3） f x 2 dx 收敛； a
（2） f x 3 dx 收敛； a
（4） f x 2 dx 收敛。 a
二、代数与几何
1. f x xn a1xn1 L an1x an ， g x xm b1xm1 L bm1x bm ， Amn 为 m n 阶方阵，前 m 行是 f x 系数，后 n 行 g(x) 是系数，如下：
¦3‡pƒ L«•˜‡
•þ,¦ 3dC†eEC•3‡pƒ
C†Ú©Oé3‡pƒ
••–1
•þ;¿ò¤‰ • C† C† ¦È.
3. y²:©OáuV- Ô¡
x2 y2 − = 2z
a2 b2
þ üxpƒR† †1‚ : ;,´-¡(1)†²¡2z = b2 − a2
‚.
(1) ‚•˜^V-
2
2013 北大数院直博

cos ε1, ηn
cos ε2, η1
cos ε2, η2 ...
cos ε2, ηn
. . . cos εn, η1

. . . cos εn, η2
...
...

. . . cos εn, ηn
(c) (½ ‘î¼˜mþ1˜a Ý 91 a Ý ˜„/ª,¿‰Ñn‘î ¼˜mþ C† ƒqIO.(=,«{z L«/ª).
f (x)
=
g(x)
+
f (n)(y) − n!
g(n)(y) (x
−
x1)k1
.
.
.
(x
−
xt)kt .

北京市师大附中2018_2019学年高二数学下学期期中试题(含解析)

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一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分。

1.在等差数列{}n a 中，34567450a a a a a ++++=，则28a a +=（） A. 45 B. 75C. 180D. 360【答案】C 【解析】【分析】由34567450a a a a a ++++=，利用等差数列的性质求出5a ，再利用等差数列的性质可得结果.【详解】由345673746555450a a a a a a a a a a a ++++=++++==（）（），得到590a =，则2852180a a a +==．故选C.【点睛】本题主要考查等差数列性质的应用，属于基础题. 解与等差数列有关的问题时，要注意应用等差数列的性质：若2p q m n r +=+=，则2p q m n r a a a a a +=+=.2.等比数列{}n a 中, 259,243,a a ==则{}n a 的前4项和为（） A. 81 B. 120C. 168D. 192【答案】B 【解析】分析：根据等比数列的性质可知352a q a =，列出方程即可求出q 的值，利用2a q即可求出1a 的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列的前n 项和的公式即可求出{}n a 的前4项和. 详解：352243279a q a ===，解得3a =，又21933a a q ===，则等比数列{}n a 的前4项和()4431312013S -==-. 故选：B.点睛：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．3.如果1,,,,9a b c --依次成等比数列，那么（） A. 3,9b ac == B. 3,9b ac ==- C. 3,9b ac =-=- D. 3,9b ac =-=【答案】B 【解析】分析：由等比数列的性质，等比中项的定义求解，注意等比数列中奇数项同号，偶数项同号. 详解：由题意21(9)9b =-⨯-=，又0b <，∴3b =-，∴29ac b ==，故选D.点睛：本题考查等比数列的概念，等比中项的定义，其中掌握性质：等比数列的奇数项同号，偶数项同号是解题关键.4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A. 6 B. 7C. 8D. 9【答案】A 【解析】分析：条件已提供了首项，故用“a 1，d”法，再转化为关于n 的二次函数解得．解答：解：设该数列的公差为d ，则a 4+a 6=2a 1+8d=2×（-11）+8d=-6，解得d=2，所以S n =-11n+()n n 12-×2=n 2-12n=(n-6)2-36，所以当n=6时，S n 取最小值．故选A点评：本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．【此处有视频，请去附件查看】5.已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则22212n a a a +++=（）A. 24(21)n -B. 124(21)n -+C. 4(41)3n -D.14(42)3n -+ 【答案】C 【解析】∵当1n =时，12a =，当1n >时()122222n n n n a +=---=∴2224n n n a ==∴首项14a =，公比4q =()()22212414441143nnn n a a a S ⨯--+++===-故选C6.正项等比数列{}n a 中，2510a a =，则34lg lg a a +＝（） A. －1 B. 1 C. 2 D. 0【答案】B【解析】lg a 3＋lg a 4＝lg(a 3a 4)＝lg(a 2a 5)＝lg 10＝1. 选B.7.数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式是a n =（） A.1(101)9n- B. 111310n⎛⎫-⎪⎝⎭C.2(101)9n- D.3(101)10n - 【答案】B 【解析】【分析】利用观察法求数列通项即可【详解】111=0.910-，211=0.9910-，311=0.99910-，411=0.999910-，…；明显地 1111=0.3310⎛⎫- ⎪⎝⎭，2111=0.33310⎛⎫- ⎪⎝⎭，3111=0.333310⎛⎫- ⎪⎝⎭，4111=0.3333310⎛⎫- ⎪⎝⎭，…；显然数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式是111310n n a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，答案选B【点睛】本题考查利用观察法求数列通项问题，属于基础题8. ） A. 第六项 B. 第七项C. 第八项D. 第九项【答案】B 【解析】试题分析：由数列前几项可知通项公式为n a ==7n =，为数列第七项考点：数列通项公式9.等比数列{}n a 中，12345630,120a a a a a a ++=++=，则789a a a ++＝（） A. 240 B. ±240C. 480D. ±480【答案】C 【解析】【分析】利用已知条件，列出()123312330120a a a q a a a ++=⎧⎨++=⎩，求出3q ，再利用()3789456a a a qa a a ++=++求解即可【详解】设等比数列{}n a 中的公比为q ，由12345630,120a a a a a a ++=++=得，()123312330120a a a q a a a ++=⎧⎨++=⎩，解得34q =，∴()3789456a a a q a a a ++=++480=，【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题10.已知221(2),2(0)2b m a a n b a -=+>=≠-，则m 与n 之间的大小关系是（） A. m n > B. m n < C. m n = D. 不确定【答案】A 【解析】【分析】由基本不等式可得4x ≥，由二次函数和指数函数的值域可得4y <，从而可得结果.【详解】由题意可得11222422x a a a a =+=-++≥=--，当且仅当3a =时取等号，当0b <时，222b ->-，指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，故22211422b y --⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即x y >，故选A. 【点睛】本题主要考查基本不等式比较两个数的大小，指数函数与二次函数的性质，属于中档题. 比较两个数的大小主要有三种方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）函数单调性法；（4）基本不等式法.11.已知,,a b c R ∈，且,0a b ab >≠，则下列不等式一定成立的是（） A. 33a b >B. 22ac bc >C.11a b< D.22a b >【答案】A 【解析】试题分析：由函数3y x =在R 上是增函数可知A 项正确；B 项0c =时不正确；C 项1,1a b ==-时不正确；D 项1,1a b ==-时不正确考点：不等式性质 12.已知110a b<<，则下列结论错误的是 A. 22a b <B. 2ab b >C.2b aa b+> D.2lg lg a ab <【答案】B 【解析】【分析】先由110a b<<得到a 与b 大小关系，再判断. 【详解】由110a b<< ，得：b ＜a ＜0，所以a 2＜b 2，故A 正确；因为a ＞b ，b ＜0，所以ab ＜b 2，故B 不正确;因为0,0b a a b >> ，且a b b a ≠ ，所以+2b a a b >= ，故C 正确；因为a ＞b ，a ＜0，所以a 2＜ab ，根据对数函数的单调性，所以lga 2＜lgab ，所以D 正确；故选B.【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了基本不等式，若比较大小的两式是指数型或对数型等，可构造具体函数，利用函数的单调性进行判断.13.已知x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（）A. 4B. 6C. 12D. 16【答案】A 【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由约束条件0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩作出可行域如图，联立400x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得A （2，2），令z=3x ﹣y ，化为y=3x ﹣z ，由图可知，当直线y=3x ﹣z 过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为4．故选：A ．【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14.不等式组2 x yy x+≤⎧⎨≥⎩表示的平面区域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别画出约束条件下的可行域即可求解【详解】由题意得，2x y+≤表示直线2x y+=及其左下方区域，y x≥表示直线=y x及其左上方区域，因此2x yy x+≤⎧⎨≥⎩表示的平面区域是选项C 【点睛】本题考查已知约束条件下求可行域，属于基础题15.矩形两边长分别为a、b，且26a b+=，则矩形面积的最大值是（）A. 4 B.9232D. 2【答案】B【解析】依题意可得,0a b>，则622222a b a b ab=+≥⋅=2a b=时取等号。

北京市师大附中20172018学年高二数学下学期期中试题文

北京师大附中2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（文科）说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题（每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，请将答案填在答题纸上）1．设集合{}|13A x x =<<，集合{}2|4B x x =>，则集合AB 等于 ( )A ．{}|23x x <<B ．{}|1x x >C ．{}|12x x <<D ．{}|2x x > 2．已知函数()y f x =的图象关于1x =对称，且在(1,)+∞上单调递增，设1()2a f =-，(2)b f =，(3)c f =，则,,a b c 的大小关系为 ( )A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c << 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A ．2sin y x x =+ B ．2cos y x x =- C ．122xx y =+D ．sin 2y x x =+ 4．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的虚轴长为2，焦距为23为 ( )A ．2y x =B ．2y x =±C ．22y x =±D ．12y x =± 5．设全集U 是实数集R ，{}2|4M x x =>，2|11N x x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则下图中阴影部分所表示的集合是 ( )A ．{}|21x x -≤<B ．{}|22x x -≤≤C ．{}|12x x <≤D ．{}|2x x <6．“a>b>0”是“222a b ab +<”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．当1x >时，关于函数1()1f x x x =+-，下列叙述正确的是( ) A ．函数f(x)有最小值2 B ．函数f(x)有最大值2 C ．函数f(x)有最小值3 D ．函数f(x)有最大值3 8．定义在区间[a ，b]上的连续函数y=f(x)，如果[,]a b ξ∃∈，使得()()'()()f b f a f b a ξ-=-，则称ξ为区间[a ，b]上的“中值点”，下列函数：①()32f x x =+； ②2()1f x x x =-+； ③()ln(1)f x x =+； ④31()()2f x x =-中，在区间[O ，1]上“中值点”多于一个的函数序号为( )A ．①② B．①③ C．②③ D．①④二、填空题（每小题5分，共30分，请将答案填在答题纸上） 9．已知复数(1)2z a i =+-为纯虚数，则实数a=________． 10．若2()24ln f x x x x =--，则()0f x >的解集为__________．11．已知函数232,1,(),1,x x f x x ax x +<⎧=⎨+≥⎩，若((0))4f f a =，则实数a=___________．12．已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b=+的最小值是__________． 13．已知函数()f x 的导函数'()f x 的图像如图所示，给出以下结论：①函数()f x 在（-2，-1）和(1，2)是单调递增函数； ②函数()f x 在x=0处取得极大值f(0)；③函数()f x 在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值；④函数f(x)在(-2，0)上是单调递增函数，在(0，2)上是单调递减函数．则正确命题的序号是___________．（填上所有正确命题的序号）14．如图，矩形ABCD 与矩形ADEF 所在的平面互相垂直，将△DEF 沿FD 翻折，翻折后的点E （记为点P ）恰好落在BC 上，设AB=1，FA =x(x>1)，AD=y ．则当x=2时，y 有最小值___________．三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（满分13分）己知函数()331f x x x =-+．(I)求函数f(x)的极值：(II)求函数f(x)在[0，2]上的最大值；16．（满分13分）已知集合A 是函数2lg(208)y x x =+-的定义域，集合B 是不等式22210(0)x x a a -+-≥>的解集，:,:p x A q x B ∈∈．（I ）若A B ⋂=∅，求a 的取值范围；（II ）若p ⌝是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．17．（满分13分）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个动点，O 为坐标原点．(I)若直线AB 经过焦点F ，且斜率为2，求线段AB 的长度|AB|；(II)当OA⊥OB 时，求证：直线AB 经过定点M(4，0)．18．（满分14分）已知四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA⊥平面ABCD ，PA=AB=2，E ，F 分别是PB,PD 的中点．（I ）求证：PB∥平面FAC ；（II ）求三棱锥P-EAD 的体积；（III ）求证：平面EAD⊥平面FAC ．19．（满分13分）已知椭圆2229C x y +=：，点P(2，0)． (I)求椭圆C 的短轴长与离心率；(II)过(1，0)的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，设MN 的中点为T ，判断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论．20．（满分14分）已知函数()ln xf x x=(I)求函数在点(1，0)处的切线方程；(II)设实数k 使得f(x)<kx 恒成立，求k 的范围；(III)设函数()() ()h x f x kx k R =-∈，求函数h(x)在区间1[,]e e上的零点个数．参考答案一、选择题（每小题5分，共40分。