中考数学专题最短距离问题

最短距离问题分析

洪湖市峰口镇二中 刘万兵

最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。 一、“最值”问题大都归于两类基本模型：

Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定

某范围内函数的最大或最小值

Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：

（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最

小值”时，大都应用这一模型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大

值”时，大都应用这一模型。

几何模型：

条件：如图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点．

问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小．

方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ，

则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）．

模型应用：

（1）如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点， P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，

B 与D 关于直线A

C 对称．连结E

D 交AC 于P ，则

PB PE +的最小值是___________；

（2）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，

OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，

求PA PC +的最小值；

解：（1）PB PE +的最小值是5DE = （2）PA PC +的最小值是23

【典型例题分析】

1.如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ）

A ．23

B ．26

C ．3

D ．6

A D

E

P

B C

A B A '

P l

A B

B 图1

A B C

图2 P

第4题 O x

y

B

D

A C P 2．如图，抛物线21

2

4y x x =--+的顶点为A ，与y 轴交于点B ．

(1)求点A 、点B 的坐标；

(2)若点P 是x 轴上任意一点，求证：PA-PB ≤AB ； (3)当PA-PB 最大时，求点P 的坐标.

解：(1)令x=0，得y=2，∴ B(0，2)

∵ 2211

2(2)3

44y x x x =--+=-++

∴ A(-2，3)

(2)证明：ⅰ.当点P 是AB 的延长线与x 轴交点时，PA-PB=AB ； ⅱ.当点P 在x 轴上又异于AB 的延长线与x 轴的交点时， 在点P 、A 、B 构成的三角形中，PA-PB ＜AB. ∴ 综合上述：PA-PB ≤AB. (3)作直线AB 交x 轴于点P

由(2)可知：当PA-PB 最大时，点P 是所求的点 作AH ⊥OP 于H ∵ BO ⊥OP

∴ ∠BOP=∠AHP ，且∠BPO=∠APH

∴ △BOP ∽△AHP ∴

AH HP

BO OP = 由(1)可知：AH=3、OH=2、OB=2 即

322OP

OP += ∴ OP=4，∴ P(4，0) 标为1122⎛⎫

⎪⎝⎭

，． PED △的周长即是102CE DE +=+．．

4.一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）．

（1）求该函数的解析式；

（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，

求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．

解：(1)将点A 、B 的坐标代入y ＝kx ＋b 并计算得k ＝－2，b ＝4． ∴解析式为：y ＝－2x ＋4；

(2)设点C 关于点O 的对称点为C ′，连结PC ′、DC ′，则PC ＝PC ′．

∴PC ＋PD ＝PC ′＋PD ≥C ′D ，即C ′、P 、D 共线时，PC ＋PD 的最小值是C ′D ．

连结CD ，在Rt△DCC ′中，C ′D ＝'22C C CD +＝22；易得点P 的坐标为(0，1)． (亦可作Rt△AOB 关于y 轴对称的△)

5.已知：抛物线的对称轴为与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、

()02C -，．

（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标．

B

O A

·

x

y

P

H B

O

A

·

x

y

解：（1）此抛物线的解析式为224

233

y x x =+- （2）连结AC 、BC .因为BC 的长度一定，所以PBC △周长最小，就是使PC PB +最小.B 点关于对称轴的对称点是A 点，AC 与对称轴1x =-的交点即为所求的点P .

设直线AC 的表达式为y kx b =+

则302k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得232k b ⎧=-⎪

⎨⎪=-⎩∴此直线的表达式为223y x =--．

把1x =-代入得43y =-∴P 点的坐标为

413⎛⎫-- ⎪

⎝⎭， 6.如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点P 的坐标为4313⎛⎫

- ⎪ ⎪⎝⎭，，交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点

(03)C -，．

（1）求抛物线的表达式．

（2）把△ABC 绕AB 的中点E 旋转180°，得到四边形ADBC ． 判断四边形ADBC 的形状，并说明理由．

（3）试问在线段AC 上是否存在一点F ，使得△FBD 的周长最小， 若存在，请写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）由题意知

解得

33a =

，233b =- ∴抛物线的解析式为2323

333y x x =--

（第24题图） O A

C x

y B

E P

D

A C

x

y

B O

5题图

A C

x

y

B O

D

O

x

y

B

E

P

A C

D

O x

y

B

E

P

C