中考数学专题最短距离问题
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最短距离问题分析
洪湖市峰口镇二中 刘万兵
最值问题是初中数学的重要内容,也是一类综合性较强的问题,它贯穿初中数学的始终,是中考的热点问题,它主要考察学生对平时所学的内容综合运用,无论是代数问题还是几何问题都有最值问题,在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论(如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等)。利用一次函数和二次函数的性质求最值。 一、“最值”问题大都归于两类基本模型:
Ⅰ、归于函数模型:即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性,确定
某范围内函数的最大或最小值
Ⅱ、归于几何模型,这类模型又分为两种情况:
(1)归于“两点之间的连线中,线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最
小值”时,大都应用这一模型。
(2)归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大
值”时,大都应用这一模型。
几何模型:
条件:如图,A 、B 是直线l 同旁的两个定点.
问题:在直线l 上确定一点P ,使PA PB +的值最小.
方法:作点A 关于直线l 的对称点A ',连结A B '交l 于点P ,
则PA PB A B '+=的值最小(不必证明).
模型应用:
(1)如图1,正方形ABCD 的边长为2,E 为AB 的中点, P 是AC 上一动点.连结BD ,由正方形对称性可知,
B 与D 关于直线A
C 对称.连结E
D 交AC 于P ,则
PB PE +的最小值是___________;
(2)如图2,O ⊙的半径为2,点A B C 、、在O ⊙上,
OA OB ⊥,60AOC ∠=°,P 是OB 上一动点,
求PA PC +的最小值;
解:(1)PB PE +的最小值是5DE = (2)PA PC +的最小值是23
【典型例题分析】
1.如图所示,正方形ABCD 的面积为12,ABE △是等边三角形,点E 在正方形ABCD 内,在对角线AC 上有一点P ,使PD PE +的和最小,则这个最小值为( )
A .23
B .26
C .3
D .6
A D
E
P
B C
A B A '
P l
A B
B 图1
A B C
图2 P
第4题 O x
y
B
D
A C P 2.如图,抛物线21
2
4y x x =--+的顶点为A ,与y 轴交于点B .
(1)求点A 、点B 的坐标;
(2)若点P 是x 轴上任意一点,求证:PA-PB ≤AB ; (3)当PA-PB 最大时,求点P 的坐标.
解:(1)令x=0,得y=2,∴ B(0,2)
∵ 2211
2(2)3
44y x x x =--+=-++
∴ A(-2,3)
(2)证明:ⅰ.当点P 是AB 的延长线与x 轴交点时,PA-PB=AB ; ⅱ.当点P 在x 轴上又异于AB 的延长线与x 轴的交点时, 在点P 、A 、B 构成的三角形中,PA-PB <AB. ∴ 综合上述:PA-PB ≤AB. (3)作直线AB 交x 轴于点P
由(2)可知:当PA-PB 最大时,点P 是所求的点 作AH ⊥OP 于H ∵ BO ⊥OP
∴ ∠BOP=∠AHP ,且∠BPO=∠APH
∴ △BOP ∽△AHP ∴
AH HP
BO OP = 由(1)可知:AH=3、OH=2、OB=2 即
322OP
OP += ∴ OP=4,∴ P(4,0) 标为1122⎛⎫
⎪⎝⎭
,. PED △的周长即是102CE DE +=+..
4.一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A (2,0),B (0,4).
(1)求该函数的解析式;
(2)O 为坐标原点,设OA 、AB 的中点分别为C 、D ,P 为OB 上一动点,
求PC +PD 的最小值,并求取得最小值时P 点坐标.
解:(1)将点A 、B 的坐标代入y =kx +b 并计算得k =-2,b =4. ∴解析式为:y =-2x +4;
(2)设点C 关于点O 的对称点为C ′,连结PC ′、DC ′,则PC =PC ′.
∴PC +PD =PC ′+PD ≥C ′D ,即C ′、P 、D 共线时,PC +PD 的最小值是C ′D .
连结CD ,在Rt△DCC ′中,C ′D ='22C C CD +=22;易得点P 的坐标为(0,1). (亦可作Rt△AOB 关于y 轴对称的△)
5.已知:抛物线的对称轴为与x 轴交于A B ,两点,与y 轴交于点C ,其中()30A -,、
()02C -,.
(1)求这条抛物线的函数表达式.
(2)已知在对称轴上存在一点P ,使得PBC △的周长最小.请求出点P 的坐标.
B
O A
·
x
y
P
H B
O
A
·
x
y
解:(1)此抛物线的解析式为224
233
y x x =+- (2)连结AC 、BC .因为BC 的长度一定,所以PBC △周长最小,就是使PC PB +最小.B 点关于对称轴的对称点是A 点,AC 与对称轴1x =-的交点即为所求的点P .
设直线AC 的表达式为y kx b =+
则302k b b -+=⎧⎨=-⎩,解得232k b ⎧=-⎪
⎨⎪=-⎩∴此直线的表达式为223y x =--.
把1x =-代入得43y =-∴P 点的坐标为
413⎛⎫-- ⎪
⎝⎭, 6.如图,抛物线2y ax bx c =++的顶点P 的坐标为4313⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭,,交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于点
(03)C -,.
(1)求抛物线的表达式.
(2)把△ABC 绕AB 的中点E 旋转180°,得到四边形ADBC . 判断四边形ADBC 的形状,并说明理由.
(3)试问在线段AC 上是否存在一点F ,使得△FBD 的周长最小, 若存在,请写出点F 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)由题意知
解得
33a =
,233b =- ∴抛物线的解析式为2323
333y x x =--
(第24题图) O A
C x
y B
E P
D
A C
x
y
B O
5题图
A C
x
y
B O
D
O
x
y
B
E
P
A C
D
O x
y
B
E
P
C