现代物理导论第五章分析力学方程

现代物理导论I
约束的分类
约束本身的性质对研究系统运动有重要的影响， 且对研究运动时选取的方法都要看约束的性质。
按照约束的特征，可将约束分为：单面与双面、完 整与非完整，稳定与不稳定，理想与不理想。
1、单面约束和双面约束
质点始终不能脱离的那种 约束（只能在某一曲面）叫双 面约束（不可解）。质点虽被 约束在某一曲面，但在某一个 方向可脱离的约束叫单面约束。
平面单摆
x2 y2 l2
曲柄连杆机构
xA2yA2r2 ( x B x A ) 2 (y B y A ) 2 l2, y B 0
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例 1、两质点(x1, y1, z1) ，(x2 , y2 , z2 ) 用长l 的刚
性杆连接，写约束方程。 解：
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2 l 2 0
l 的刚性杆连接，且运动方向只能
沿杆方向，写约束方程。
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 l 2 0
x1 x2 y1 y2
x
x1 x2 y1 y2
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但是，含有速度的约束不一定是不完整约束，例如： 车轮沿直线轨道作纯滚动时。
几何约束： y A r 运动约束：v A r 0
c
又例如：杆的上端沿水平直线匀速运动， 并取线上某点为原点，则约束方程: (x-ct)2+y2 +z2 =l2
(x,y,z)
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总结： 约束可分为单面与双面，完整和非完整，稳定和
不稳定，理想和不理想。 约束方程一般可以表为
f (x, y, z; x, y, z;t) 0( 0or 0)
当系统受到约束时，从直角坐标过渡到广义坐标 十分方便，而且十分必要。采用广义坐标后，不需要 再写约束方程。
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例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。
(x1,y1) , (x2,y2 ) x12 y12 a2
(x2 x1)2 ( y2 y1)2 b2
自由度为2，取广义坐标，
x1asin, y1aco s x2asin bsin, y2aco sbco s
( x A r 0 )
对运动约束积分得：xA rC
也是完整约束。
运动约束如果能积分变成几何约束，就是完整约束。 否则就是不完整约束。
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3、稳定约束和不稳定约束
约束分依赖时间和不依赖时间两种。如果时间不出现在 约束方程中，则这种约束是稳定约束。
如果约束方程中显含时间，则这种约束是不稳定约束。 例如：重物M由一条穿过固定圆环的细绳 系住。初始时摆长 l0 , 匀速v拉动绳子。 x2+y2=( l0 -vt )2 约束方程中显含时间 t
例 2、两质点(x1, y1, z1) ，(x2 , y2 , z2 ) 用长 l 的刚性杆连接，
在半径 R 的球面上运动，写约束方程。
解：
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2 l 2 0 x12 y12 z12 R2 0 x22 y22 z22 R2 0
在一个力学体系中，常存在一些限制各质点自 由运动的条件，我们把这些条件叫做约束。 例如：火车在铁轨上运动；
子弹在枪膛里的运动；
圆球被限制在地面上纯滚动 受到约束的系统称为非自由系统；反之，没有受到 约束的系统为自由系统。
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约束方程 一般情况下，约束对质点系运动的限制都可以通
过质点系各质点的坐标或速度及时间的数学表达式来 表示，这种数学表达式称为约束方程。
约束方程如果取等号，则为双面（不可解）约束。
f (x, y, z; x, y, z;t) 0
约束方程如果取不等号，则为单面（可解）约束。
f (x, y, z; x, y, z;t) 0(or 0) 完整约束： f (x, y, z;t) 0 ； 不完整： f (x, y, z; x, y, z;t) 0 我们主要研究双面、完整、 稳定约束： f (x, y, z; x, y, z) 0 稳定、理想的约束系统。
分析力学和理论（牛顿）力学的差异： 牛顿力学：主要以几何的方法，着重质点的受力。 分析力学：主要以数学分析的方法，着重在质点的功。

5.1 分析力学基本概念 现代物理导论I
（一）约束、约束的分类
一群质点的集合，如果其中有相互作用，以至每 一个质点的运动都和其它质点的位置和运动有关，则 这种集合体叫力学体系，或简称体系。
拉格朗日（法国）于1788年发表名著 《分析力学》，奠定分析力学的基础。
哈密顿（英国） 1834年提出哈密顿 原理和哈密顿正则方程，把分析力学 推进一大步。 1894年德国赫兹提出把约束分为完整 和非完整两大类，开辟了非完整系统 的新纪元。
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在分析力学方面作出贡献的， 还有莫培督，欧勒、泊松、高 斯和雅科比等人。 近年来，建立的许多学科，如 宇宙力学，自动控制，运动和 过程的控制理论等，都是以分 析力学的基本原理和方法为基 础的。
刚杆
x2+y2=l2
绳
x2+y2 l2
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2、完整约束和不完整约束
限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为完整（几
何）约束。 如前述的平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制
条件都是完整约束。 当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约
束条件称为不完整（微分）约束。
y
例、两质点 (x1, y1) ， (x2 , y2 ) 用长
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现代物理导论 第五章分析力学方程
第五章 分析力学
1、分析力学基本概念 2、虚位移原理 3、动力学普遍方程 4、拉格朗日方程 5、哈密度正则方程 6、泊松括号与泊松定理 7、哈密顿原理 8、正则变换
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前言
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（一）分析力学的历史和现状
18世纪以来，机械工业的大发展提出了大量的新 的力学问题，这些问题主要特点是需要处理由相互约 束的物体组成的系统。
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（二）广义坐标、速度、加速度 （1）广义坐标 凡是能确定力学系统位置的适当选取的独立变
量都叫广义坐标。 这些独立变量的数目叫力学体系的自由度。广义
坐标比笛卡儿坐标意义更广泛，可以是距离，角度， 面积，体积，电极化强度以及其它量。特别的，曲线 坐标如极坐标、柱坐标、球坐标都可以作广义坐标。