对数的运算性质教案

2.2.1对数与对数运算性质（二）

教学目标

（1）知识与技能：

理解对数的运算性质． （2）过程与方法：通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识． （3）情感、态态与价值观：

1、利用指、对数式关系启发学生研究对数性质及运算法则培养学生注意探索、研究、揭示事物的内在联系，培养分析问题、解决问题的能力，培养学生大胆探索，实事求是的科学精神。

2、对数运算法则可以把乘、除、乘方、开方运算转化为加减乘除运算，加快了运算速度、简化了计算方法、显示了对数计算忧越性，体现了所学知识实践中的应用。 教学重点、难点

教学重点：对数运算性质及其推导过程. 教学难点： 对数的运算性质发现过程及其证明. 教学过程

（一）复习巩固，引入新课：

（1）对数的定义 b N a =log ，掌握其中 a 与 N 的取值范围； （2）指数式与对数式的互化，及两个重要公式； （3）指数运算法则（积、商、幂、方根）。

设计意图：对数的概念和指数的运算性质是学习本节课的基础，学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备． 2、请同学判断以下几组数是否相等？ （1） 101lg

100lg +，)101

100lg(⨯； （2）8

1log 4log 22+，21

log 2；

提出问题：由（1）（2）结果出发，同学们能看出他们具有一个怎样的共同点？ 设计意图：让学生观察，学会从特殊到一般，寻求规律。 新课讲解：

请同学们交流讨论得出结论，当底数相同的时候，两个正数的对数之和等于两个正数积的对数。

那么这个结论是否正确呢？接下来我们具体的来证明我们的这一结论：

设计意图：让学生让学生体会“归纳一猜想一证明”是数学中发现结论，证明结论的完整思维方法，让学生体会回到最原始（定义）的地方是解决数学问题的有效策略． 如果 a > 0 ， a ≠ 1， M > 0 ，N > 0，证明：log ()log log a a a MN M N =+ 证明：（性质1）设log a M p =，log a N q =

由对数的定义可得 p

M a =，q

N a =， ∴p

q

p q

MN a a a

+=⋅=，

∴log ()a MN =p q +， 即证得log log log a a a MN M N =+． 结论总结：

如果 a > 0 ， a ≠ 1， M > 0 ，N > 0，那么log ()log log a a a MN M N =+

事实上，除了上面的这个运算性质之外，人们在对数的运算和推理过程中，还发现了两个性质：

（2）log log -log a

a a M

M N N

=； 商的对数=对数的差 （3）log log ()n

a a M n M n R =∈． 一个数n 次方的对数=这个数对数的n 倍

那么，请同学们结合前面的性质（1）的证明以及以前的所学知识，对我们所给出的性质（2）（3）进行证明。3分钟后同桌交换，看相互之间的证明，交换心得，并进一步讨论，是否能够找到更多的证明方法。

设计意图：

1、让学生熟悉和掌握对数和指数之间的互化，更深的理解对数的概念；

2、寻求多种方法，发散学生思维 性质2． 方法一：（仿照性质（1）同理可证）

方法二：由性质（1）的结论出发：

M N N

M N N M a a a a

log log log log =⋅=+ N

M

N M a a a log log log =-⇒

方法三：由性质（1）的结论出发：

N M N N N

M N M a a a a a a

log log log log log log -=-+= 这法二和法三证法使用拆分技巧，化减为加（化除为乘），会常用到。

（性质3）

设log a M p =， 由对数的定义可得 p

M a =， ∴n np

M a =， ∴log n a M np =，

即证得log log n a a M n M =． ∴log n

a M np =， 即证得log log n

a a M n M =

通过上述探讨、研究得到了对数的运算性质

如果0>a 且1≠a ，0>M ，0>N 那么

（1）log ()log log a a a MN M N =+； 积的对数 = 对数的和

（3）log log ()n

a a M n M n R =∈． 一个数n 次方的对数=这个数对数的n 倍

说明：（1）语言表达：“积的对数 = 对数的和”……（简易表达以帮助记忆）；

（2）注意有时必须逆向运算：如 11025101010==+log log log ； （3）注意限制条件：必须是同底的对数，真数必须是正数； 例如：12log 12log 4log 3log 3232≠≠+

)5(log )3(log )5)(3(log 222-+-=-- 是不成立的，

)(log )(log 10210102

10-=-是不成立的；

（4）当心记忆错误：N log M log )MN (log a a a ⋅≠，试举反例， N log M log )N M (log a a a ±≠±，试举反例。

（5）性质（1）可以进行推广：

即 log a （M 1M 2M 3…M n ）=log a M 1+log a M 2+log a M 3+…+log a M n

（其中a ＞0，且a ≠1，M 1、M 2、M 3…M n ＞0）.

设计意图：加深学生对知识的理解，注意到一些细节问题，避免出现公式的错误应用。