时间测量中随机误差的分布规律

实验报告

实验名称 时间测量中随机误差的分布规律

实验目的 用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量

的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。

实验仪器 机械节拍器，电子秒表。 实验原理 1.常用时间测量仪表的简要原理

（1）机械节拍器

（2）电子节拍器 （3）电子秒表

（4）VAFN 多用数字测试仪

用电子秒表测量机械节拍器发声的时间间隔,机械节拍器按一定的频率发出有规律的声响，电子秒表用石英晶体振荡器作时标,一般用六位液晶数字显示,其连续积累时间为59min59.99s,分辨率为0.01s,平均日差0.5s 。 2.统计分布规律的研究

假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为

一恒定值）的条件下，对某物理量x 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋向无穷时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布（有成高斯分布）的概率密度函数表示，

]2)x -(x ex p[-21

)(2

2

σπ

σ=x f （1） 其中 n

x

x n

1

i i

∑==

（2）

1

-n )x -(x

n

1

i 2

i

∑==

σ （3）

⎰

=a

a

-f(x)dx P(a) （4）

式中a=σ，2σ，3σ分别对应不同的置信概率。

（1）统计直方图方法

用统计直方图表示被研究对象的规律简便易行，直观清晰。

在一组等精度测量所得的N 个结果x 1，x 2，…，x N 中，找出它的最大值x max 与最小值x min ，并求出级差R=x max - x min ，由级差分为K 个小区间，每个

小区域的间隔（△x ）的大小就等于

K

x -x K R min

max =

。统计测量结果出现在某个小区域内的次数n i 称为频数，N

n

i 为频率，

N

n

i

∑为累计频率，称

为频率密度。以测量值x 值为横坐标，以

x

N n i

∆⋅为纵坐标，便可得到统计

直方图。

（2）概率密度分布曲线

利用式（1）求出各小区域中点的正态分布的概率密度值f （x ），以f （x ）为纵坐标，x 为横坐标，可得概率密度分布曲线。若概率密度分布曲线与统计直方图上端相吻合，则可以认为测量值是基本符合正态分布的。实际测量中，受测试者的心理因素，外界环境，仪器系统误差，测量次数不可能无穷多等影响，二者不完全重合是很常见的，因此测量值仅是基本符合正态分布。

实验内容 1.时间间隔测量

用电子秒表测量机械节拍器的摆动周期，测量次数要在200次以上。

2.统计规律研究 (时间测量要求在相同的条件下，重复测量200次以上)。

（1）利用式（2）和式（3）计算x 和σ。

（2）利用式（1）计算各区中点的f （x ）值。

（3）根据测量结果的离散程度，极限差R 的大小，合理划分小区间数K ，确定其间隔，计算各区间的频率、相对频率、相对频率密度和累计频率，以频率密度为纵坐标，测量值x 为横坐标，作统计直方图，并将f （x ）—x 中曲线绘在统计直方图中，检验测量值分布是否符合正态分布。

（4）利用式（4）计算测量列误差出现在±σ，±2σ，±3σ范围内的概率。 （5）计算测量平均值的标准差，并正确写出测量结果完整的表达式。

测量记录 原始数据记录如下表：

数据处理

对原始数据进行处理，最大值x max =4.10s ，最小值x min =3.89s ，平均值x =3.997s ，

标准差σ=0.041，R=0.21，取K=10，则△x=0.021，得下表：

利用origin7.5作图如下：

x

N n i

∆⋅time x/s

P(σ)=0.690，P(2σ)=0.948，P(3σ)=0.990

（理论值 P(σ)=0.683，P(2σ)=0.954，P(3σ)=0.997）

由上述计算和图表，在一定误差范围内，该测量列基本符合正态分布。

算术平均值的标准差u A =

n

σ

=0.0029，即为A 类不确定度。 考虑置信概率P=0.95的情况, 电子秒表误差分布为正态分布，可取

95.0t =1

仪∆=0.01s c=3

B 类不确定度在0.95的置信概率下置信因子为k=1.96

由不确定度合成公式得

2

2

95095.0()）

（仪。c

k

u t U At ∆+==0.02 P=0.95 误差分析 1.测量次数为有限次，不可能为无穷大，结果会偏离正态分布。

2.测量仪器本身存在系统误差，结果不能十分精确。

3.受外部因素的干扰较多，很多人围在一起测量，会彼此受到影响。

4.测量200多次，一个人要按400多次秒表，手指会产生疲倦感，按钮超前或

延后，导致测量结果偏离。

思考题 1.测量次数为有限次，不可能为无穷大，测量仪器本身存在系统误差，测量200

多次，一个人要按400多次秒表，手指会产生疲倦感，受外部因素的干扰

较多，很多人围在一起测量，会彼此受到影响等很多因素，都会产生偏离。

2.若不考虑系统误差的条件下，对某一物理量进行多次等精度测量时随机误差

的分布规律理论上呈正态分布，得到一条连续光滑的曲线，并且P(σ)=0.683，P(2σ)=0.954，P(3σ)=0.997。具有对称性，单峰性，有界性和抵偿性（即误差的算术平均值随着n 趋向无穷而趋于零）。