湖南怀化中考数学试题
2023年湖南省怀化市中考数学真题(解析版)
怀化市2023年初中学业水平考试试卷数学温馨提示：1.本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量为120分钟，满分150分．2.请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上．3.请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效．一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）1. 下列四个实数中，最小的数是（ ）A. 5- B. 0 C. 12 D. 【答案】A【解析】【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最小的数即可．【详解】1502-<<<Q \最小的数是：5-故选：A ．【点睛】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．2. 2023年4月12日21时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”——世界首个全超导托卡马克东方超环（EAST ）装置取得重大成果，在第122254次实验中成功实现了403秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造了托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录．数据122254用科学记数法表示为（ ）A. 412.225410´ B. 41.2225410´ C. 51.2225410´ D. 60.12225410´【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ´的形式，其中110a £<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：数据122254用科学记数法表示为51.2225410´，故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是科学记数法—表示较绝对值较大的数．把一个大于等于10的数写成科学记数法10n a ´的形式时，将小数点放到左边第一个不为0的数位后作为a ，把整数位数减1作为n ，从而确定它的科学记数法形式．3. 下列计算正确的是（ ）A. 235a a a ×= B. 623a a a ¸= C. ()2329ab a b = D. 523a a -=【答案】A【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方、合并同类项分别计算后，即可得到答案．【详解】解：A ．235a a a ×=，故选项正确，符合题意；B ．624a a a ¸=，故选项错误，不符合题意；C ．()2326ab a b =，故选项错误，不符合题意；D ．523a a a -=，故选项错误，不符合题意．故选：A ．【点睛】此题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．4. 剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术．民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A 选项不合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B 选项不合题意．.C 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故C 选项符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D 选项不合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．5. 在平面直角坐标系中，点(2,3)P -关于x 轴对称的点P ¢的坐标是（ ）A. (2,3)-- B. (2,3)- C. (2,3)- D. (2,3)【答案】D【解析】【分析】根据关于x 轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求解．【详解】解：点(2,3)P -关于x 轴对称的点P ¢的坐标是(2,3)，故选：D ．【点睛】本题考查了关于x 轴对称的两个点的坐标特征，熟练掌握关于x 轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键．6. 如图，平移直线AB 至CD ，直线AB ，CD 被直线EF 所截，160Ð=°，则2Ð的度数为（ ）A. 30°B. 60°C. 100°D. 120°【答案】B【解析】【分析】根据平移可得AB CD ∥，根据平行线的性质以及对顶角相等，即可求解．【详解】解：如图所示，∵平移直线AB 至CD∴AB CD ∥，160Ð=°，的∴13Ð=Ð,又∵23ÐÐ=，∴2160Ð=Ð=°，故选：B ．【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．7. 某县“三独”比赛独唱项目中，5名同学的得分分别是：9.6，9.2，9.6，9.7，9.4.关于这组数据，下列说法正确的是（ ）A. 众数是9.6B. 中位数是9.5C. 平均数是9.4D. 方差是0.3【答案】A【解析】【分析】先把5个数据按从小到大的顺序排列，而后用中位数，众数，平均数和方差的定义及计算方法逐一判断．【详解】解：5个数按从小到大的顺序排列9.2，9.4，9.6，9.6，9.7，A 、9.6出现次数最多，众数是9.6，故正确，符合题意；B 、中位数是9.6，故不正确，不符合题意；C 、平均数是()19.2+9.4+9.62+9.7=9.55´，故不正确，不符合题意；D 、方差是()()()()222219.29.5+9.49.5+29.69.5+9.79.5=0.0325éù´----ëû，故不正确，不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了中位数，众数，平均数和方差，熟练掌握这些定义及计算方法是解决此类问题的关键．8. 下列说法错误的是（ ）A. 成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件B. 一元二次方程230x x ++=有两个相等的实数根C. 任意多边形的外角和等于360°D. 三角形三条中线的交点叫作三角形的重心【答案】B【解析】【分析】根据不可能事件、根的判别式、多边形的外角和以及三角形的重心的定义分别进行判断即可．【详解】解：A 、成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件，故此选项不符合题意；B 、21413110D =-´´=-<，则一元二次方程230x x ++=没有实数根，故此选项符合题意；C 、任意多边形的外角和等于360°，故此选项不符合题意；D 、三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，故此选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查不可能事件、根的判别式、多边形的外角和以及三角形的重心的定义，熟练掌握有关知识点是解题的关键．9. 已知压力(N)F 、压强()Pa P 与受力面积()2m S 之间有如下关系式：F PS =．当F 为定值时，下图中大致表示压强P 与受力面积S 之间函数关系的是（ ）A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数的定义，即可得到答案．【详解】解：根据题意得：F P S=，∴当物体的压力F 为定值时，该物体的压强P 与受力面积S 的函数关系式是：F P S =，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．故选：D ．【点睛】本题主要考查反比例函数，掌握F P S =以及反比例函数定义，是解题的关键．10. 如图，反比例函数(0)k y k x=>的图象与过点(1,0)-的直线AB 相交于A 、B 两点．已知点A 的坐标为(1,3)，点C 为x 轴上任意一点．如果9ABC S =V ，那么点C 的坐标为（）的A. (3,0)- B. (5,0) C. (3,0)-或(5,0) D. (3,0)或(5,0)-【答案】D【解析】【分析】反比例函数(0)k y k x=>的图象过点(1,3)，可得3y x =，进而求得直线AB 的解析式为3322y x =+，得出B 点的坐标，设(),0C c ，根据1313922ABC S c æö=´+´+=ç÷èøV ，解方程即可求解．【详解】解：∵反比例函数(0)k y k x =>的图象过点(1,3)∴133k =´=∴3y x=设直线AB 的解析式为y mx n =+，∴30m n m n =+ìí=-+î，解得：3232m n ì=ïïíï=ïî,∴直线AB 的解析式为3322y x =+，联立33223y x y xì=+ïïíï=ïî，解得：13x y =ìí=î或232x y =-ìïí=-ïî，∴32,2B æö--ç÷èø，设(),0C c ，∵1313922ABC S c æö=´+´+=ç÷èøV ，解得：3c =或5c =-，∴C 的坐标为(3,0)或(5,0)-，故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数与反比例数交点问题，待定系数法求解析式，求得点B 的坐标是解题的关键．二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11. 有意义，则x 的取值范围是__________．【答案】9x ³【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件得出90x -³，即可求解．有意义，∴90x -³，解得：9x ³，故答案为：9x ³．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．12. 分解因式：2242a a -+=_____．【答案】()221a -【解析】【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：原式()()2222121a a a =-+=-，故答案为：()221a -．13. 已知关于x 的一元二次方程220x mx +-=的一个根为1-，则m 的值为__________，另一个根为__________．【答案】①. 1- ②. 2【解析】【分析】将=1x -代入原方程，解得m ，根据一元二次方程根与系数的关系，得出122x x ´=-，即可求解．【详解】解：∵关于x 一元二次方程220x mx +-=的一个根为1-，∴120m --=解得：1m =-，设原方程的另一个根为2x ，则12·2x x =-，∵11x =-∴22x =故答案为：12-，．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．14. 定义新运算：(,)(,)a b c d ac bd ×=+，其中a ，b ，c ，d 为实数．例如：(1,2)(3,4)132411×=´+´=．如果(2,3)(3,1)3x ×-=，那么x =__________．【答案】1【解析】【分析】根据新定义列出一元一次方程，解方程即可求解．【详解】解：∵(2,3)(3,1)3x ×-=∴()23313x ´+´-=即66x =解得：1x =故答案为：1．【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据题意列出方程解题的关键．15. 如图，点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上的一点，PE AD ^于点E ，3PE =．则点P 到直线AB 的距离为__________．的【答案】3【解析】【分析】过点P 作PQ AB ^于Q ，证明四边形四边形AEPQ 是正方形，即可求解．【详解】解：如图所示，过点P 作PQ AB ^于Q ，∵点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上的一点，PE AD ^于点E∴四边形AEPQ 是矩形，45EAP Ð=°∴AEP △是等腰直角三角形，∴AE EP=∴四边形AEPQ 是正方形，∴3PQ EP ==，即点P 到直线AB 的距离为3故答案为：3．【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，点到直线的距离，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的关键．16. 在平面直角坐标系中，AOB V 为等边三角形，点A 的坐标为()1,0．把AOB V 按如图所示的方式放置，并将AOB V 进行变换：第一次变换将AOB V 绕着原点O 顺时针旋转60°，同时边长扩大为AOB V 边长的2倍，得到11A OB △；第二次旋转将11A OB △绕着原点O 顺时针旋转60°，同时边长扩大为11A OB △，边长的2倍，得到22A OB △，…．依次类推，得到20332033A OB V ，则20232033A OB △的边长为__________，点2023A 的坐标为__________．【答案】①. 20232 ②. ()202220222,2【解析】【分析】根据旋转角度为60°，可知每旋转6次后点A 又回到x 轴的正半轴上，故点2023A 在第四象限，且202320232OA =，即可求解．【详解】解：∵AOB V 为等边三角形，点A 的坐标为()1,0，∴1OA =，∵每次旋转角度为60°，∴6次旋转360°，第一次旋转后，1A 在第四象限，12OA =，第二次旋转后，2A 在第三象限，222OA =，第三次旋转后，3A 在x 轴负半轴，332OA =，第四次旋转后，4A 在第二象限，442OA =，第五次旋转后，5A 在第一象限，552OA =，第六次旋转后，6A 在x 轴正半轴，662OA =，……如此循环，每旋转6次，点A 的对应点又回到x 轴正半轴，∵202363371¸=L ，点2023A 在第四象限，且202320232OA =，如图，过点2023A 作2023A H x ^轴于H ，在2023Rt OHA V 中，202360HOA Ð=°，∴202320232022202320231cos 2cos60222OH OA HOA =×Ð=´°=´=，20232022202320232023sin 22A H OA HOA =×Ð==，∴点2023A 的坐标为()202220222,2．故答案为：20232，()202220222,2．【点睛】本题考查图形的旋转，解直角三角形的应用．熟练掌握图形旋转的性质，根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共86分）17. 计算：()1012sin 451(1)3-æö-+-°---ç÷èø【答案】4【解析】【分析】先计算负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、减法运算，再进行加减混合运算即可．【详解】解：()1012sin 451(1)3-æö-++°---ç÷èø23311=+-++4=【点睛】此题考查了实数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．18. 先化简234111a a a -æö+¸ç÷--èø，再从1-，0，1，2中选择一个适当的数作为a 的值代入求值．【答案】12a -，当1a =-时，原式为13-；当0a =时，原式为12-．【解析】【分析】本题先对要求的式子进行化简，再选取一个适当的数代入即可求出结果．【详解】解：234111a a a -æö+¸ç÷--èø()()2213111a a a a a a +--æö=+¸ç÷---èø()()21122a a a a a +-=×-+-12a =-，当a 取2-，1，2时分式没有意义，所以1a =-或0，当1a =-时，原式11123==---；当0a =时，原式11022==--．【点睛】本题考查分式的化简求值，解题时要注意先对括号里边进行通分，再约分化简．19. 如图，矩形ABCD 中，过对角线BD 的中点O 作BD 的垂线EF ，分别交AD ，BC 于点E ，F ．（1）证明：BOF DOE ≌△△；（2）连接BE 、DF ，证明：四边形EBFD 是菱形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得出AD BC ∥，则12,34Ð=ÐÐ=Ð，根据O 是BD 的中点，可得BO DO =，即可证明()AAS BOF DOE ≌△△；（2）根据BOF DOE ≌△△可得ED BF =，进而可得四边形EBFD 是平行四边形，根据对角线互相垂直的四边形是菱形，即可得证．【小问1详解】证明：如图所示，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，∴12,34Ð=ÐÐ=Ð，∵O 是BD 的中点，∴BO DO =，在BOF V 与DOE V 中1234BO DO Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴()AAS BOF DOE ≌△△；【小问2详解】∵BOF DOE≌△△∴ED BF =，又∵ED BF∥∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF BD^∴四边形EBFD 是菱形．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键．20. 为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD （碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A 点用测角仪测得碑顶D 的仰角为30°，在B 点处测得碑顶D 的仰角为60°，已知35m AB =，测角仪的高度是1.5m （A 、B 、C 在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD ．1.732»，结果保留一位小数）【答案】烈士纪念碑的通高CD 约为31.8米【解析】【分析】根据题意，四边形,,AMNB NBCE AMEC 是矩形， 1.5CE =米，35MN AB ==米，根据三角形的外角的性质得出，30NMD MDN Ð=Ð=°，等角对等边得出35ND NM ==，进而解Rt DEN V ，求得DE ，最后根据CD DE CE =+，即可求解．【详解】解：依题意，四边形,,AMNB NBCE AMEC 是矩形， 1.5CE =米，35MN AB ==米，∵30,60DMN DNE Ð=°Ð=°∴30MDN DNE DMN Ð=Ð-Ð=°∴30NMD MDN Ð=Ð=°，∴35ND NM ==米，在Rt DEN V 中，sin DEDNE DNÐ=∴sin 603530.3DE DN =×°=»米∴ 1.530.331.8CD CE DE =+=+=米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．21. 近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：（1）所抽取的学生人数为__________；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；（3）该校共有学生3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数．【答案】（1）200人（2）统计图见解析，126°（3）1050人【解析】【分析】（1）用“视力正常”的人数除以其人数占比即可求出抽取的学生人数；（2）先求出“中度近视”的人数，进而求出“轻度近视”的人数，由此补全统计图即可；再用360°乘以“轻度近视”的人数占比即可求出对应的圆心角度数；（3）用3000乘以样本中“轻度近视”的人数占比即可得到答案．【小问1详解】解：9045%200¸=人，∴所抽取的学生人数为200人，故答案为：200；【小问2详解】解：中度近视的人数为20015%30´=人，“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数为70360126200°´=° ∴高度近视的人数为20090703010---=人，补全统计图如下：【小问3详解】解：7030001050200´=人，∴估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数为1050人．【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键．22. 如图，AB 是O e 的直径，点P 是O e 外一点，PA 与O e 相切于点A ，点C 为O e 上的一点．连接PC 、AC 、OC ，且PC PA =．（1）求证：PC 为O e 的切线；（2）延长PC 与AB 的延长线交于点D ，求证：PD OC PA OD ×=×；（3）若308CAB OD Ð=°=，，求阴影部分的面积．【答案】（1）见解析 （2）见解析（3）8π3-【解析】【分析】（1）连接PO ，证明V V ≌PAO PCO ，即可得证；（2）根据sin OCPAD OD PD ==，即可得证；（3）根据圆周角定理得出260COD CAB Ð=Ð=°，进而勾股定理求得CD ，根据OCD OBC S S S =-V 阴影扇形，即可求解．【小问1详解】证明：∵PA 是O e 的切线，∴90PAO Ð=°如图所示，连接POPAO V 与PCO △中，PA PCOA OCPO PO =ìï=íï=î在∴V V ≌PAO PCO ()SSS 90PCO PAO \Ð=Ð=°∵C 为O e 上的一点．∴PC 是O e 的切线；【小问2详解】∵PC 是O e 的切线；∴OC PD ^，∴sin OC PA D OD PD==∴PD OC PA OD×=×【小问3详解】解：∵ BCBC =，308CAB OD Ð=°=，∴260COD CAB Ð=Ð=°，∵OC PD^∴30D Ð=°，∴142OC OD ==∴CD =，∴2160π2360OCD OBC S S S CO CD CO =-=´´-´V 阴影扇形21144π26=´´-´π38=【点睛】本题考查了切线的性质与判定，圆周角定理，求含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键．23. 某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A 种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B 种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．（1）求原计划租用A 种客车多少辆？这次研学去了多少人？（2）若该校计划租用A 、B 两种客车共25辆，要求B 种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？（3）在（2）的条件下，若A 种客车租金为每辆220元，B 种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？【答案】（1）原计划租用A 种客车26辆，这次研学去了1200人（2）共有3种租车方案，方案一：租用A 种客车18辆，则租用B 种客车7辆；方案二：租用A 种客车19辆，则租用B 种客车6辆；方案三：租用A 种客车20辆，则租用B 种客车5辆，（3）租用A 种客车20辆，则租用B 种客车5辆才最合算【解析】【分析】（1）设原计划租用A 种客车x 辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；（2）设租用A 种客车a 辆，则租用B 种客车()25a -辆，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；（3）分别求得三种方案的费用，进而即可求解．【小问1详解】解：设原计划租用A 种客车x 辆，根据题意得，()4530606x x +=-，解得：26x =所以()602661200´-=（人）答：原计划租用A 种客车26辆，这次研学去了1200人；【小问2详解】解：设租用A 种客车a 辆，则租用B 种客车()25a -辆，根据题意，得()2574560251200a a a -£ìí+-³î解得：1820a ££，∵a 为正整数，则18,19,20a =，∴共有3种租车方案，方案一：租用A 种客车18辆，则租用B 种客车7辆，方案二：租用A 种客车19辆，则租用B 种客车6辆，方案三：租用A 种客车20辆，则租用B 种客车5辆，【小问3详解】∵A 种客车租金为每辆220元，B 种客车租金每辆300元，∴B 种客车越少，费用越低，方案一：租用A 种客车18辆，则租用B 种客车7辆，费用为1822073006060´+´=元，方案二：租用A 种客车19辆，则租用B 种客车6辆，费用为1922063005980´+´=元，方案三：租用A 种客车20辆，则租用B 种客车5辆，费用为2022053005900´+´=元，∴租用A 种客车20辆，则租用B 种客车5辆才最合算．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次方程与不等式组是解题的关键．24. 如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线28y ax bx =+-与x 轴交于(4,0)(2,0)A B -、两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；（2）点P 为第三象限内抛物线上一点，作直线AC ，连接PA 、PC ，求PAC △面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）设直线135:4l y kx k =+-交抛物线于点M 、N ，求证：无论k 为何值，平行于x 轴的直线237:4l y =-上总存在一点E ，使得MEN Ð为直角．【答案】（1）228=+-y x x（2）PAC △面积的最大值为8，此时点P 的坐标为()2,8P --（3）见解析【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）如图所示，过点P 作PD x ^轴于点D ，交AC 于点E ，得出直线AC 的解析式为28y x =--，设()2,28P m m m +-，则(),28E m m --，得出()224PE m =-++，当PE 取得最大值时，PAC △面积取得最大值，进而根据二次函数的性质即可求解；（3）设()11,M x y 、()22,N x y ，MN 的中点坐标为1212,22x x y y Q ++æöç÷èø，联立235428y kx k y x x ì=+-ïíï=+-î，消去y ，整理得：()23204x k x k +--+=，得出121232,4x x k x x k +=-=-+，则211351,224Q k k æö--ç÷èø，设Q 点到2l 的距离为QE ，则QE =22135371124422k k æö---=+ç÷èø，依题意，212352y y k +=-，()221212122y y x x x x -=-+-()()12122x x x x =-++()12k x x =-，得出()()2221212MN x x y y =-+-()221k =+，则21MN k =+，12MN QE =，E 点总在Q e 上，MN 为直径，且Q e 与237:4l y =-相切，即可得证．【小问1详解】解：将(4,0)(2,0)A B -、代入28y ax bx =+-，得164804280a b a b --=ìí+-=î，解得：12a b =ìí=î，∴抛物线解析式为：228=+-y x x ；【小问2详解】解：如图所示，过点P 作PD x ^轴于点D ，交AC 于点E ，由228=+-y x x ，令0x =，解得：8y =-，∴()0,8C -，设直线AC 的解析式为8y kx =-，将点()4,0A -代入得，480k --=，解得：2k =-，∴直线AC 的解析式为28y x =--，设()2,28P m m m +-，则(),28E m m --，∴()22828PE m m m =---+-24m m=--()224m =-++，当2m =-时，PE 的最大值为4∵114222PAC S PE OA PE PE =´=´´=△∴当PE 取得最大值时，PAC △面积取得最大值∴PAC △面积的最大值为248´=，此时2m =-，2284488m m +-=--=-∴()2,8P --【小问3详解】解：设()11,M x y 、()22,N x y ，MN 的中点坐标为1212,22x x y y Q ++æöç÷èø，联立235428y kx k y x x ì=+-ïíï=+-î，消去y ，整理得：()23204x k x k +--+=， ∴121232,4x x k x x k +=-=-+，∴12122x x k +=-，∴()()1212135135222424y y k x x k k k k +=++-=-+-213524k =-，∴211351,224Q k k æö--ç÷èø，设Q 点到2l 的距离为QE ，则QE =22135371124422k k æö---=+ç÷èø，∵()11,M x y 、()22,N x y ，∴212352y y k +=-，()221212122y y x x x x -=-+-()()12122x x x x =-++()12k x x =-∴()()2221212MN x x y y =-+-()()2221212x x k x x =-+-()()22121x x k =-+()()22121241x x x x k éù=+-+ëû()()222431k k k éù=-+-+ëû()()2211k k =++()221k =+∴21MN k =+，∴12MN QE =∴QM QN QE ==，∴E 点总在Q e 上，MN 为直径，且Q e 与237:4l y =-相切，∴MEN Ð为直角．∴无论k 为何值，平行于x 轴的直线237:4l y =-上总存在一点E ，使得MEN Ð为直角．【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程根与系数的关系，切线的性质与判定，直角所对的弦是直径，熟练掌握以上知识是解题的关键．。
湖南省怀化市中考数学试题含答案解析（）
湖南省怀化市中考数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）1．（4分）（•怀化）某地一天的最高气温是12℃，最低气温是2℃，则该地这天的温差是（）A．﹣10℃B．10℃C．14℃D．﹣14℃2．（4分）（•怀化）下列计算正确的是（）A．x2+x3=x5 B．（x3）3=x6 C．x•x2=x2 D．x（2x）2=4x33．（4分）（•怀化）体育课上，某班两名同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一位同学的成绩比较稳定，通常要比较两名同学成绩的（）A．平均数B．方差C．众数D．中位数4．（4分）（•怀化）下列不等式变形正确的是（）A．由a＞b得ac＞bc B．由a＞b得﹣2a＞﹣2bC．由a＞b得﹣a＜﹣b D．由a＞b得a﹣2＜b﹣25．（4分）（•怀化）下列事件是必然事件的是（）A．地球绕着太阳转B．抛一枚硬币，正面朝上C．明天会下雨D．打开电视，正在播放新闻6．（4分）（•怀化）一个多边形的内角和是360°，这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．六边形D．不能确定7．（4分）（•怀化）设x1，x2是方程x2+5x﹣3=0的两个根，则x12+x22的值是（）A．19 B．25 C．31 D．308．（4分）（•怀化）下列各点中，在函数y=﹣图象上的是（）A．（﹣2，4）B．（2，4）C．（﹣2，﹣4）D．（8，1）9．（4分）（•怀化）如图，甲、乙、丙图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中主视图相同的是（）A．仅有甲和乙相同B．仅有甲和丙相同C．仅有乙和丙相同D．甲、乙、丙都相同10．（4分）（•怀化）一次函数y=kx+b（k≠0）在平面直角坐标系内的图象如图所示，则k和b的取值范围是（）A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＜0二、填空题（每小题4分，共16分）11．（4分）（•怀化）二次函数y=x2+2x的顶点坐标为，对称轴是直线．12．（4分）（•甘南州）分解因式：ax2﹣ay2=．13．（4分）（•怀化）方程=0的解是．14．（4分）（•怀化）如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是．三、解答题（本大题共8小题，共64分）15．（8分）（•怀化）计算：．16．（8分）（•怀化）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．17．（8分）（•怀化）已知：如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．求证：（1）△CDE≌△DBF；（2）OA=OD．18．（8分）（•怀化）小明从今年1月初起刻苦练习跳远，每个月的跳远成绩都比上一个月有所增加，而且增加的距离相同．2月份，5月份他的跳远成绩分别为4.1m，4.7m．请你算出小明1月份的跳远成绩以及每个月增加的距离．19．（8分）（•怀化）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2（1）求作⊙O，使它过点A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的圆中，求出劣弧的长l．20．（8分）（•怀化）甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙也从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积为偶数则乙胜．（1）用列表或画树状图等方法，列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况；（2）请判断该游戏对甲乙双方是否公平？并说明理由．21．（8分）（•怀化）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE（1）求证：△ABC∽△CBD；（2）求证：直线DE是⊙O的切线．22．（8分）（•怀化）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形？若存在，求出此时的t 值；若不存在，请说明理由（≈2.24，结果保留一位小数）湖南省怀化市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）1．（4分）（•怀化）某地一天的最高气温是12℃，最低气温是2℃，则该地这天的温差是（）A．﹣10℃B．10℃C．14℃D．﹣14℃考点：有理数的减法．专题：应用题．分析：用最高气温减去最低气温，然后根据有理数的减法运算法则减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．解答：解：12﹣2=10℃．故选：B．点评：本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．2．（4分）（•怀化）下列计算正确的是（）A．x2+x3=x5 B．（x3）3=x6 C．x•x2=x2 D．x（2x）2=4x3考点：单项式乘单项式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．专题：计算题．分析：原式各项计算得到结果，即可做出判断．解答：解：A、原式不能合并，错误；B、原式=x9，错误；C、原式=x3，错误；D、原式=4x3，正确，故选D点评：此题考查了单项式乘以单项式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．（4分）（•怀化）体育课上，某班两名同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一位同学的成绩比较稳定，通常要比较两名同学成绩的（）A．平均数B．方差C．众数D．中位数考点：统计量的选择．分析：根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故要判断哪一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生了5次短跑训练成绩的方差．解答：解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生了5次短跑训练成绩的方差．故选B．点评：此题主要考查了方差，关键是掌握方差所表示的意义．4．（4分）（•怀化）下列不等式变形正确的是（）A．由a＞b得ac＞bc B．由a＞b得﹣2a＞﹣2bC．由a＞b得﹣a＜﹣b D．由a＞b得a﹣2＜b﹣2考点：不等式的性质．分析：A：因为c的正负不确定，所以由a＞b得ac＞bc不正确，据此判断即可．B：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此判断即可．C：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此判断即可．D：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，据此判断即可．解答：解：∵a＞b，∴①c＞0时，ac＞bc；②c=0时，ac=bc；③c＜0时，ac＜bc，∴选项A不正确；∵a＞b，∴﹣2a＜﹣2b，∴选项B不正确；∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴选项C正确；∵a＞b，∴a﹣2＞b﹣2，∴选项D不正确．故选：C．点评：此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．5．（4分）（•怀化）下列事件是必然事件的是（）A．地球绕着太阳转B．抛一枚硬币，正面朝上C．明天会下雨D．打开电视，正在播放新闻考点：随机事件．分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．解答：解：A、地球绕着太阳转是必然事件，故A符合题意；B、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，故B不符合题意；C、明天会下雨是随机事件，故C不符合题意；D、打开电视，正在播放新闻是随机事件，故D不符合题意；故选：A．点评：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6．（4分）（•怀化）一个多边形的内角和是360°，这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．六边形D．不能确定考点：多边形内角与外角．分析：本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于360°，列出方程，解出即可．解答：解：设这个多边形的边数为n，则有（n﹣2）180°=360°，解得：n=4，故这个多边形是四边形．故选：B．点评：本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题．7．（4分）（•怀化）设x1，x2是方程x2+5x﹣3=0的两个根，则x12+x22的值是（）A．19 B．25 C．31 D．30考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求得x1与x2的和与积，所求的代数式可以用两根的和与积表示出来，即可求解．解答：解：∵x1，x2是方程x2+5x﹣3=0的两个根，∴x1+x2=﹣5，x1x2=﹣3，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=25+6=31．故选：C．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．8．（4分）（•怀化）下列各点中，在函数y=﹣图象上的是（）A．（﹣2，4）B．（2，4）C．（﹣2，﹣4）D．（8，1）考点：反比例函数图象上点的坐标特征．分析：只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是﹣8的，就在此函数图象上．解答：解：∵反比例函数y=﹣中，k=﹣8，∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为﹣8的点在函数图象上，四个选项中只有A选项符合．故选A．点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．9．（4分）（•怀化）如图，甲、乙、丙图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中主视图相同的是（）A．仅有甲和乙相同B．仅有甲和丙相同C．仅有乙和丙相同D．甲、乙、丙都相同考点：由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．分析：由已知条件可知，甲的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；乙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，1；丙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2．据此可即可求解．解答：解：根据分析可知，甲的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；乙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，1；丙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；则主视图相同的是甲和丙．故选：B．点评：本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．10．（4分）（•怀化）一次函数y=kx+b（k≠0）在平面直角坐标系内的图象如图所示，则k和b的取值范围是（）A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＜0考点：一次函数图象与系数的关系．分析：根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．解答：解：∵一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限，∴k＜0，b＞0．故选C．点评：本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时图象在一、二、四象限．二、填空题（每小题4分，共16分）11．（4分）（•怀化）二次函数y=x2+2x的顶点坐标为（﹣1，﹣1），对称轴是直线x=﹣1．考点：二次函数的性质．分析：先把该二次函数化为顶点式的形式，再根据其顶点式进行解答即可．解答：解：∵y=x2+2x=（x+1）2﹣1，∴二次函数y=x2+4x的顶点坐标是：（﹣1，﹣1），对称轴是直线x=﹣1．故答案为：（﹣1，﹣1），x=﹣1．点评：此题主要考查了二次函数的性质和求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法，熟练配方是解题关键．12．（4分）（•甘南州）分解因式：ax2﹣ay2=a（x+y）（x﹣y）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：应先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答：解：ax2﹣ay2，=a（x2﹣y2），=a（x+y）（x﹣y）．故答案为：a（x+y）（x﹣y）．点评：本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，需要注意分解因式一定要彻底．13．（4分）（•怀化）方程=0的解是x=﹣2．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：2+2x﹣x=0，解得：x=﹣2，经检验x=﹣2是分式方程的解．故答案为：x=﹣2．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．14．（4分）（•怀化）如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是90°．考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：根据全等三角形的判定与性质，可得∠ODA与∠BAE的关系，根据余角的性质，可得∠ODA 与∠OAD的关系，根据直角三角形的判定，可得答案．解答：解：由ABCD是正方形，得AD=AB，∠DAB=∠B=90°．在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴∠BAE=∠ADF．∵∠BAE+∠EAD=90°，∴∠OAD+∠ADO=90°，∴∠AOD=90°，故答案为：90°．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，余角的性质，直角三角形的判定．三、解答题（本大题共8小题，共64分）15．（8分）（•怀化）计算：．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，第四项利用零指数幂法则计算，最后一项利用算术平方根的定义计算即可得到结果．解答：解：原式=﹣1+4×﹣2﹣1+3=+1．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（8分）（•怀化）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可．解答：解：由①得，x≤2，由②得，x＞﹣1，故此不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．在数轴上表示为：点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键．17．（8分）（•怀化）已知：如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．求证：（1）△CDE≌△DBF；（2）OA=OD．考点：全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．专题：证明题．分析：（1）根据三角形中位线，可得DF与CE的关系，DB与DC的关系，根据SAS，可得答案；（2）根据三角形的中位线，可得DF与AE的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得答案．解答：证明：（1）∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DF=CE，DF∥CE，DB=DC．∵DF∥CE，∴∠C=∠BDF．在△CDE和△DBF中，∴△CDE≌△DBF （SAS）；（2）∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DF=AE，DF∥AE，∴四边形DEAF是平行四边形，∵EF与AD交于O点，∴AO=OD点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，（1）利用了三角形中位线的性质，全等三角形的判定；（2）利用了三角形中位线的性质，平行四边的性的判定与性质．18．（8分）（•怀化）小明从今年1月初起刻苦练习跳远，每个月的跳远成绩都比上一个月有所增加，而且增加的距离相同．2月份，5月份他的跳远成绩分别为4.1m，4.7m．请你算出小明1月份的跳远成绩以及每个月增加的距离．考点：一元一次方程的应用．分析：设小明1月份的跳远成绩为xm，则5月份﹣2月份=3（2月份﹣1月份），据此列出方程并解答．解答：解：设小明1月份的跳远成绩为xm，则4.7﹣4.1=3（4.1﹣x），解得x=3.9．则每个月的增加距离是4.1﹣3.9=0.2（m）．答：小明1月份的跳远成绩是3.9m，每个月增加的距离是0.2m．点评：本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．19．（8分）（•怀化）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2（1）求作⊙O，使它过点A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的圆中，求出劣弧的长l．考点：作图—复杂作图；弧长的计算．分析：（1）使以O为圆心的圆经过A、B、C三点，即做三角形的外接圆，即是三条边的垂直平分线的交点；（2）由，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，易得∠B=30°，∠A=60°，∠BOC=120°，由弧长计算公式得出结论．解答：解：（1）如图所示：（2）∵AC=1，AB=2，∴∠B=30°，∠A=60°，∴∠BOC=120°，∴l==点评：本题主要考查了三角形外接圆的做法，含30°直角三角形的性质及弧长的计算，数形结合，掌握直角三角形的性质是解答此题的关键．20．（8分）（•怀化）甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙也从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积为偶数则乙胜．（1）用列表或画树状图等方法，列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况；（2）请判断该游戏对甲乙双方是否公平？并说明理由．考点：游戏公平性；列表法与树状图法．专题：计算题．分析：（1）列表得出所有等可能的情况数，找出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况即可；（2）分别求出甲乙两人获胜的概率，比较即可得到结果．解答：解：（1）列表如下：1 2 31 （1，1）（2，1）（3，1）2 （1，2）（2，2）（3，2）3 （1，3）（2，3）（3，3）所有等可能的情况有9种，分别为（1，1）；（1，2）；（1，3）；（2，1）；（2，2）；（2，3）；（3，1）；（3，2）；（3，3），则甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况有1，2，3，2，4，6，3，6，9，共9种；（2）该游戏对甲乙双方不公平，理由为：其中积为奇数的情况有4种，偶数有5种，∴P（甲）＜P（乙），则该游戏对甲乙双方不公平．点评：此题考查了游戏的公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．21．（8分）（•怀化）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE（1）求证：△ABC∽△CBD；（2）求证：直线DE是⊙O的切线．考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．分析：（1）根据AC为⊙O的直径，得出△BCD为Rt△，通过已知条件证明△BCD∽△BAC即可；（2）连结DO，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由∠BDC=90°，E为BC的中点得到DE=CE=BE，则利用等腰三角形的性质得∠EDC=∠ECD，∠ODC=∠OCD，由于∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，所以∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°，于是根据切线的判定定理即可得到DE与⊙O相切．解答：（1）证明：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠BDC=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠BDC，又∵∠B=∠B，∴△BCD∽△BAC；（2）连结DO，如图，∵∠BDC=90°，E为BC的中点，∴DE=CE=BE，∴∠EDC=∠ECD，又∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，而∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，∴∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切．点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和相似三角形的判定与性质．22．（8分）（•怀化）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形？若存在，求出此时的t 值；若不存在，请说明理由（≈2.24，结果保留一位小数）考点：相似形综合题．分析：（1）如图1，过Q作QE⊥AC于E，连接PQ，由△ABC∽△AQE，得到比例式，求得PE=，QE=，根据勾股定理得到PQ2=QE2+PE2，求出PQ=t，当Q与B重合时，PQ的值最大，于是得到当t=5时，PQ的最大值=3；（2）由三角形的面积公式即可求得；（3）存在，如图2，连接CQ，PQ，分三种情况①当CQ=CP时，②当PQ=CQ时，③当PQ=PC 时，列方程求解即可．解答：解：（1）如图1，过Q作QE⊥AC于E，连接PQ，∵∠C=90°，∴QE∥BC，∴△ABC∽△AQE，∴，∵AQ=2t，AP=t，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，∴，∴PE=，QE=，∴PQ2=QE2+PE2，∴PQ=t，当Q与B重合时，PQ的值最大，∴当t=5时，PQ的最大值=3；（2）如图1，△ABC被直线PQ扫过的面积=S△AQP，当Q在AB边上时，S=AP•QE=t•=，（0＜t≤5）当Q在BC边上时，△ABC被直线PQ扫过的面积=S四边形ABQP，∴S四边形ABQP=S△ABC﹣S△PQC=×8×6﹣（8﹣t）•（16﹣2t）=﹣t2+16t﹣40，（5＜t≤8）；∴经过t秒的运动，△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式：S=或S=﹣t2+16t﹣40．（3）存在，如图2，连接CQ，PQ，由（1）知QE=，CE=AC﹣AE=8﹣，PQ=t，∴CQ====2，①当CQ=CP时，即：2=8﹣t，解得；t=，②当PQ=CQ时，即；t=2，解得：t=，t=（不合题意舍去），③当PQ=PC时，即t=8﹣t，解得：t=3﹣5≈1.7；综上所述：当t=，t=，t=1.7时，△PQC为等腰三角形．点评：本题考查了动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理，等腰三角形的性质，特别是（3）要分类讨论，不要漏解．。
2022湖南省怀化市中考数学真题试卷和答案
2022年湖南省怀化市中考数学真题一、选择题1. 12-的相反数是（ ）A. 2- B. 2C. 12-D.122. 代数式25x ，1π，224x +，x 2﹣23，1x ，12x x ++中，属于分式的有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个3. 2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米．其中数据10909用科学记数法表示为（ ）A. 210.90910⨯ B. 31.090910⨯ C. 40.1090910⨯ D. 41.090910⨯4. 下列说法正确的是（ ）A. 相等的角是对顶角B. 对角线相等的四边形是矩形C. 三角形的外心是它的三条角平分线的交点D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等5. 下列计算正确的是（ ）A ()32626aa = B. 824a a a ÷=2= D. ()222x y x y -=-6. 下列一元二次方程有实数解的是（ ）A. 2x 2﹣x +1＝0B. x 2﹣2x +2＝0C. x 2+3x ﹣2＝0D. x 2+2＝07. 一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）A. 七边形B. 八边形C. 九边形D. 十边形8. 如图，△ABC 沿BC 方向平移后的像为△DEF ，已知BC =5，EC =2，则平移的距离是（ ）A.1 B.2 C.3 D. 4.9. 从下列一组数﹣2，π，﹣12，﹣0.12，0中随机抽取一个数，这个数是负数的概率为（ ）A.56B.23C.12D.1310. 如图，直线AB 交x 轴于点C ，交反比例函数y ＝1a x-（a ＞1）的图像于A 、B 两点，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，若S △BCD ＝5，则a 的值为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11二、填空题11 计算52x x ++﹣32x +＝_____．12. 因式分解：24-=x x _____．13 已知点A （﹣2，b ）与点B （a ，3）关于原点对称，则a ﹣b =______．14. 如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若S △ADE ＝2，则S △ABC ＝_____．15. 如图，AB 与⊙O 相切于点C ，AO =3，⊙O 的半径为2，则AC 的长为_____．..16. 正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，24 68 10 1214 16 18 20……则第27行的第21个数是______．三、解答题17. 计算：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（12）﹣1．18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．()51313221x x x x ⎧->+⎨-≤+⎩①②19. 某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A 位于C 村西南方向和B 村南偏东60°方向上，C 村在B 村的正东方向且两村相距2.4千米．有关部门计划在B 、C 两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．1.73≈1.41）20. 如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上， AB ＝ CD．求证：（1）AC＝BD；（2）△ABE∽△DCE．21. 电视剧《一代洪商》在中央电视台第八套播出后，怀化市各旅游景点知名度得到显菩提高．为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整频数分布表和扇形统计图．频数分布表满意程度频数（人）频率非常满意500.5满意300.3一般a c不满意b0.05合计1001根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；（2）求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数；的（3）根据调查情况，请你对各景点的服务提一至两条合理建议．22. 如图，在等边三角形ABC 中，点M 为AB 边上任意一点，延长BC 至点N ，使CN =AM ，连接MN 交AC 于点P ，MH ⊥AC 于点H ．（1）求证：MP =NP ；（2）若AB ＝a ，求线段PH 长（结果用含a 的代数式表示）．23. 去年防洪期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．（1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？（2）为支持今年防洪工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售． 优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折：若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a 套，购买费用为W 元，请写出W 关于a 的函数关系式．（3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？24. 如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y ＝ax 2+2x +c 经过点A (﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，顶点为点D ．在线段CB 上方的抛物线上有一动点P ，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，作PF ∥AB 交BC 于点F．的（1）求抛物线和直线BC的函数表达式，（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．2022年湖南省怀化市中考数学真题一、选择题1. 12-的相反数是（ ）A. 2- B. 2C. 12-D.12【答案】D 【解析】【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0即可求解．【详解】解：因为-12+12＝0，所以-12的相反数是12．故选：D ．【点睛】本题考查求一个数的相反数，掌握相反数的性质是解题关键．2. 代数式25x ，1π，224x +，x 2﹣23，1x ，12x x ++中，属于分式的有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】B 【解析】【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．【详解】分母中含有字母的是224x +，1x ，12x x ++，∴分式有3个，故选：B ．【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．3. 2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米．其中数据10909用科学记数法表示为（ ）A. 210.90910⨯ B. 31.090910⨯ C. 40.1090910⨯ D.41.090910⨯【答案】D 【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1时，n 是负整数．【详解】解：10909=1.0909×104．故选：D ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4. 下列说法正确的是（ ）A. 相等的角是对顶角B. 对角线相等的四边形是矩形C. 三角形的外心是它的三条角平分线的交点D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等【答案】D 【解析】【分析】根据对顶角的概念、矩形的判定、三角形外心的定义和垂直平分线的性质逐项判定即可得出结论．【详解】解：A 、根据对顶角的概念可知，相等的角不一定是对顶角，故该选项不符合题意；B 、根据矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形”可知该选项不符合题意；C 、根据三角形外心的定义，外心是三角形外接圆圆心，是三角形三条边中垂线的交点，故该选项不符合题意；D 、根据线段垂直平分线的性质可知该选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查基本几何概念、图形判定及性质，涉及到对顶角的概念、矩形的判定、三角形外心的定义和垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握相关几何图形的定义、判定及性质是解决问题的关键．5. 下列计算正确的是（ ）A. ()32626aa = B. 824a a a ÷=2= D.()222x y x y -=-【答案】C 【解析】【分析】依次对每个选项进行计算，判断出正确的答案．【详解】∵()32366822a a a ==∴ A 错误∵82826a a a a -÷==∴ B 错误2==∴C 正确∵()2222x y x xy y -=-+∴ D 错误故选：C ．【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．6. 下列一元二次方程有实数解的是（ ）A. 2x 2﹣x +1＝0 B. x 2﹣2x +2＝0C. x 2+3x ﹣2＝0D. x 2+2＝【答案】C 【解析】【分析】判断一元二次方程实数根的情况用根的判别式进行判断．【详解】A 选项中，224(1)42170b ac =-=--⋅⋅=-<△，故方程无实数根；B 选项中，2(2)41240=--⋅⋅=-<△，故方程无实数根；C 选项中，2341(2)170=-⋅⋅-=>△，故方程有两个不相等的实数根；D 选项中，80=-<△，故方程无实数根；故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程实数根情况的判定方法是解题的关键．7. 一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）A. 七边形 B. 八边形C. 九边形D. 十边形【答案】A 【解析】【分析】根据n 边形的内角和是（n ﹣2）•180°，列出方程即可求解．【详解】解：根据n 边形的内角和公式，得（n ﹣2）•180°=900°，解得n =7，∴这个多边形的边数是7，故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程．8. 如图，△ABC沿BC方向平移后的像为△DEF，已知BC=5，EC=2，则平移的距离是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据题意判断BE的长就是平移的距离，利用已知条件求出BE即可．【详解】因为ABC沿BC方向平移，点E是点B移动后的对应点，所以BE的长等于平移的距离，由图可知，点B、E、C在同一直线上，BC=5，EC=2，所以BE=BC-ED=5-2=3,故选 C．【点睛】本题考查了平移，正确找出平移对应点是求平移距离的关键．9. 从下列一组数﹣2，π，﹣12，﹣0.12，0中随机抽取一个数，这个数是负数的概率为（ ）A. 56B.23C. 12D.13【答案】B【解析】【分析】找出题目给的数中的负数，用负数的个数除以总的个数，求出概率即可．【详解】∵数﹣2，π，﹣12，﹣0.12，06个数，其中﹣2，﹣12，﹣0.12为负数，有4个，∴这个数是负数的概率为4263P==，故答案选：B．【点睛】本题考查负数的认识，概率计算公式，正确找出负数的个数是解答本题的关键．10. 如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝1ax-（a＞1）的图像于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（ ）A8 B. 9 C. 10 D. 11【答案】D【解析】【分析】设1aB mm-⎛⎫⎪⎝⎭，，由S△BCD=112amm-⋅即可求解.【详解】解：设1aB mm-⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∵BD⊥y轴∴S△BCD=112amm-⋅=5，解得：11a=故选：D．【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．二、填空题11. 计算52xx++﹣32x+＝_____．【答案】1【解析】【分析】根据同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减计算即可．【详解】解：52xx++﹣32x+=532122x xx x+-+==++故答案为：1．【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是熟练掌握同分母分式相加减时分母不变，分子.相加减，异分母相加减时，先通分变为同分母分式，再加减．12. 因式分解：24-=x x _____．【答案】2(1)(1)+-x x x 【解析】【分析】根据提公因式法和平方差公式进行分解即可．【详解】解：()242221(1)(1)-=-=+-x x xx x x x ，故答案为：2(1)(1)+-x x x 【点睛】本题考查了提公因式法和平方差公式，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．13. 已知点A （﹣2，b ）与点B （a ，3）关于原点对称，则a ﹣b =______．【答案】5【解析】【分析】根据平面直角坐标系中，关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，求出a ，b 的值即可．【详解】∵点A （﹣2，b ）与点B （a ，3）关于原点对称，∴2a =，3b =-，∴()235a b -=--=故答案为：5．【点睛】本题考查平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标的特点，掌握特殊位置关系的点的坐标变化是解答本题的关键．14. 如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若S △ADE ＝2，则S △ABC ＝_____．【答案】8【解析】【分析】根据三角形中位线定理求得DE ∥BC ，12DE BC =，从而求得△ADE ∽△ABC ，然后利用相似三角形性质求解．的【详解】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则DE 为中位线，所以DE ∥BC ，12DE BC =所以△ADE ∽△ABC ∴21()4ADE ABC S DE S BC == ∵S △ADE =2，∴S △ABC =8故答案为：8．【点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知识点的掌握．15. 如图，AB 与⊙O 相切于点C ，AO =3，⊙O 的半径为2，则AC 的长为_____．【解析】【分析】根据切线的性质得到∠OCA =90°，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：连接OC ，∵AB 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥AB ，即∠OCA =90°，在Rt △OCA 中，AO =3 ，OC =2，∴AC=【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题关键．切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．16. 正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，24 68 10 1214 16 18 20……则第27行的第21个数是______．【答案】744【解析】【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有(1)2n n+个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【详解】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•••••••第n行有n个数．∴前n行共有1+2+3+⋯+n=(1)2n n+个数．∴前26行共有351个数，∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．三、解答题17. 计算：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（12）﹣1．【答案】【解析】【分析】分别根据二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【详解】解：（3.14﹣π）0﹣1|+（12）﹣1．【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则是解答此题的关键．18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．()51313221x x x x ⎧->+⎨-≤+⎩①②【答案】23x <≤，数轴见解析【解析】【分析】根据解一元一次不等式组的方法步骤求解，然后在数轴上把解集表示出来即可．【详解】解：()51313221x x x x ⎧->+⎨-≤+⎩①②由①得2x >，由②得3x ≤，该不等式组的解集为23x <≤，在数轴上表示该不等式组的解集为：【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法步骤及用数轴表示不等式组的解集，熟练掌握相关解法步骤是解决问题的关键．19. 某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A 位于C 村西南方向和B 村南偏东60°方向上，C 村在B 村的正东方向且两村相距2.4千米．有关部门计划在B 、C 两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．1.73≈1.41）【答案】不穿过，理由见解析【解析】【分析】先作AD ⊥BC ，再根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD =30°，设CD =x ，可表示AD 和BD ，然后根据特殊角三角函数值列出方程，求出AD ，与800米比较得出答案即可．【详解】不穿过，理由如下：过点A 作AD ⊥BC ，交BC 于点D ，根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD =30°.设CD =x ，则BD=2.4-x ，在Rt △ACD 中，∠ACD=45°，∴∠CAD=45°，∴AD=CD =x ．在Rt △ABD 中，t an 30A D B D︒=，即2.4x x =-，解得x =088，可知AD=0.88千米=880米，因为880米＞800米，所以公路不穿过纪念园．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．20. 如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上， AB ＝ CD．求证：.（1）AC＝BD；（2）△ABE∽△DCE．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）两个等弧同时加上一段弧后两弧仍然相等；再通过同弧所对的弦相等证明即可；（2）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等即可证明相似．【小问1详解】∵ AB＝ CD ∴ AB AD+＝ CD AD+∴BAD ADC=∴BD=AC【小问2详解】∵∠B=∠C；∠AEB=∠DEC∴△ABE∽△DCE【点睛】本题考查等弧所对弦相等、所对圆周角相等，掌握这些是本题关键．21. 电视剧《一代洪商》在中央电视台第八套播出后，怀化市各旅游景点知名度得到显菩提高．为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计图．频数分布表满意程度频数（人）频率非常满意500.5满意300.3一般a c不满意b 0.05合计1001根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ；（2）求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数；（3）根据调查情况，请你对各景点的服务提一至两条合理建议．【答案】（1）15；5；0.15（2）54° （3）有理即可；见详解【解析】分析】（1）根据图表信息进行求解即可；（2）根据满意度“一般”所占圆的的比例乘360°即可得α的度数；（3）根据图表数据给出合理建议即可；小问1详解】解：1000.055b =⨯=（人）；1005030515a =---=（人）；10.50.30.050.15c =---=【小问2详解】0.1536054⨯︒=︒答：扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数为54°．【小问3详解】根据图表可以看出绝大多数还是相当满意的，所以我觉得我们可以多一些对细节的规划，在环境一块更加注重，做到尽善尽美，推出一些具备特色的服务项目，给到游客不一样的体验．【点睛】本题主要考查扇形统计图，圆心角的求解，解本题的关键在于需认真读题并正确计算出结果．【【22. 如图，在等边三角形ABC 中，点M 为AB 边上任意一点，延长BC 至点N ，使CN =AM ，连接MN 交AC 于点P ，MH ⊥AC 于点H ．（1）求证：MP =NP ；（2）若AB ＝a ，求线段PH 的长（结果用含a 的代数式表示）．【答案】（1）见详解；（2）0.5a ．【解析】【分析】（1）过点M 作MQ ∥CN ，证明MQP NCP ≅△△即可；（2）利用等边三角形的性质推出AH =HQ ，则PH =HQ +PQ =0.5（AQ +CQ ）．【小问1详解】如下图所示，过点M 作MQ ∥CN ，∵ABC 为等边三角形，MQ ∥CN ，∴1AM AB AQ AC==，则AM =AQ ，且∠A =60°，∴AMQ △为等边三角形，则MQ =AM =CN ，又∵MQ ∥CN ，∴∠QMP =∠CNP ，在MQP NCP △与△中，MPQ NPC QMP CNP QM CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴MQP NCP ≅△△，则MP =NP；【小问2详解】∵AMQ △为等边三角形，且MH ⊥AC ，∴AH =HQ ，又由（1）得，MQP NCP ≅△△，则PQ =PC ，∴PH =HQ +PQ =0.5（AQ +CQ ）=0.5AC =0.5a ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形全等的判定，正确作出辅助线是解题的关键．23. 去年防洪期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．（1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？（2）为支持今年防洪工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售． 优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折：若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a 套，购买费用为W 元，请写出W 关于a 的函数关系式．（3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？【答案】（1）每件雨衣40元，每双雨鞋35元（2）()600.954052705600.848305a a a W a a a ⨯⨯=≤<⎧=⎨+-⨯⨯=+≥⎩（3）最多可购买6套【解析】【分析】（1）根据题意，设每件雨衣()5+x 元，每双雨鞋x 元，列分式方程求解即可；（2）根据题意，按套装降价20%后得到每套60元，根据费用=单价×套数即可得出结论；（3）根据题意，结合（2）中所求，得出不等式4830320a +≤，求解后根据实际意义取值即可．【小问1详解】解：设每件雨衣()5+x 元，每双雨鞋x 元，则4003505x x=+，解得35x =，经检验，35x =是原分式方程的根，540x ∴+=，答：每件雨衣40元，每双雨鞋35元；【小问2详解】解：根据题意，一套原价为354075+=元，下降20%后的现价为()75120%60⨯-=元，则()600.954,052705600.84830,5a a a W a a a ⨯⨯=≤<⎧=⎨+-⨯⨯=+≥⎩；【小问3详解】解：320270> ，∴购买的套数在5a ≥范围内，即4830320a +≤，解得145 6.04224a ≤≈，答：在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买6套．【点睛】本题考查实际应用题，涉及分式方程的实际应用、一次分段函数的实际应用和不等式解实际应用题等知识，熟练掌握实际应用题的求解步骤“设、列、解、答”，根据题意得出相应关系式是解决问题的关键．24. 如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y ＝ax 2+2x +c 经过点A (﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，顶点为点D ．在线段CB 上方的抛物线上有一动点P ，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，作PF ∥AB 交BC 于点F ．（1）求抛物线和直线BC 的函数表达式，（2）当△PEF 的周长为最大值时，求点P 的坐标和△PEF 的周长．（3）若点G 是抛物线上的一个动点，点M 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C 、B 、G 、M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线函数表达式为2y x 2x 3=-++，直线BC 的函数表达式为3y x =-+（2）点P 的坐标为 (32,154)，△PEF 的周长为91)4（3）存在，(2，3)或(-2，-5)或(4，-5)【解析】【分析】（1）由点A ，B 的坐标，利用待定系数即可求解析式；（2）利用直线和抛物线的位置关系相切时对应的等腰直角三角形PEF 周长最大，二次函数与一次函数联立方程，根的判别式0∆=，从而找出对应点P 坐标，进而求出周长；（3）根据平行四边形对角线性质和中点公式，把BC 是否为对角线分情况进行分析，设出点G 的横坐标，利用中点公式列方程计算即可求解．【小问1详解】解：将点A (-1,0)，B (3,0)代入2y ax 2x c =++，得：02096a c a c =-+⎧⎨=++⎩ ，解得13a c =-⎧⎨=⎩，所以抛物线解析式为2y x 2x 3=-++，C (0，3)设直线BC 的函数表达式y kx b =+ ，将B (3，0)，C (0，3)代入得：033k b b =+⎧⎨=⎩ ，解得13k b =-⎧⎨=⎩ ，所以直线BC 的函数表达式为3y x =-+【小问2详解】解：如图，设将直线BC 平移到与抛物线相切时的解析式为y x p =-+ ，与抛物线联立得：223y x p y x x =-+⎧⎨=-++⎩ 整理得2330x x p -+-= 234(3)0p ∆=--= ，解得214p =，将214p =代入2330x x p -+-=，解得32x =，将32x =代入2y x 2x 3=-++得154y =，即△PEF 的周长为最大值时，点P 的坐标为 (32,154)将32x =代入3y x =-+得32y =，则此时1539424PF =-=，因为△PEF 为等腰直角三角形，94PE FE ===则△PEF 的周长最大为91)4+【小问3详解】答：存在．已知B (3，0)，C (0，3)，设点Ｇ(m ，223m m -++ )，N (1，n )，当BC 为平行四边形对角线时，根据中点公式得：13m += ，2m =，则G 点坐标为(2，3)；当BC 为平行四边形对角线时，同样利用中点坐标公式得：31m += 或31m -= ，解得2m =- 或4m = 则G 点坐标为(-2，-5)或(4，-5)故点G 坐标为(2，3)或(-2，-5)或(4，-5)【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、直线与抛物线的位置关系、根的判别式，等腰直角三角形性质，平行四边形的性质，解题的关键（1）根据点的坐标利用待定系数求解析式；（2利用直线和抛物线的位置关系，巧妙利用判别式；（3）熟悉平行四边形对角线性质，结合中点公式分情况展开讨论．。
2022湖南怀化中考数学试卷+答案解析
2022年湖南怀化中考数学一、选择题(每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上) 1. －12的相反数是 ( )A.12B.2C.－12D.－22. 代数式25x ，1π，2x 2+4，x 2－23，1x ，x+1x+2中，属于分式的有 ( )A.2个B.3个C.4个D.5个3. 2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10 909米。
其中数据10 909用科学记数法表示为 ( )A.10.909×102B.1.090 9×103C.0.109 09×104D.1.090 9×1044. 下列说法正确的是 ( )A.相等的角是对顶角B.对角线相等的四边形是矩形C.三角形的外心是它的三条角平分线的交点D.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 5. 下列计算正确的是 ( )A.(2a 2)3=6a 6B.a 8÷a 2=a 4C.√(−2)2=2D.(x －y )2=x 2－y 26. 下列一元二次方程有实数解的是 ( )A.2x 2－x +1=0B.x 2－2x +2=0C.x 2+3x －2=0D.x 2+2=07. 一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是 ( )A.七边形B.八边形C.九边形D.十边形8. 如图，△ABC 沿BC 方向平移后的像为△DEF ，已知BC =5，EC =2，则平移的距离是 ( )A.1B.2C.3D.49. 从下列一组数－2，π，－12，－0.12，0，－√5中随机抽取一个数，这个数是负数的概率为 ( )A.56B.23C.12D.1310. 如图，直线AB 交x 轴于点C ，交反比例函数y =a−1x(a >1)的图象于A 、B 两点，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，若S △BCD =5，则a 的值为 ( )A.8B.9C.10D.11二、填空题(每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上) 11. 计算x+5x+2－3x+2= . 12. 因式分解：x 2－x 4= .13. 已知点A (－2，b )与点B (a ，3)关于原点对称，则a －b = . 14. 如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若S △ADE =2，则S △ABC = .15. 如图，AB 与☉O 相切于点C ，AO =3，☉O 的半径为2，则AC 的长为 .16. 正偶数2，4，6，8，10，…按如下规律排列。
精品解析：2022年湖南省怀化市中考数学真题(原卷版)(1)
满意程度
频数（人）
频率
非常满意
50
0.5
满意
30
0.3
一般
a
c
不满意
b
0.05
合计
100
1
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝，b＝，c＝；
（2）求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数；
（3）根据调查情况，请你对各景点 服务提一至两条合理建议．
22.如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．
A B. C. D.
4.下列说法正确的是（ ）
A.相等的角是对顶角
B.对角线相等的四边形是矩形
C.三角形的外心是它的三条角平分线的交点
D.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
5.下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
6.下列一元二次方程有实数解的是（ ）
A.2x2﹣x+1＝0B.x2﹣2x+2＝0C.x2+3x﹣2＝0D.x2+2＝0
三、解答题
17.计算：（3.14﹣π）0+| ﹣1|+（ ）﹣1﹣ ．
18.解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
19.某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上，C村在B村的正东方向且两村相距2.4千米．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．（参考数据： ≈1.73， ≈1.41）
20.如图，点A，B，C，D在⊙O上， ＝ ．求证：
中考数学最新真题试题汇编及解析(湖南怀化)
=1+ -1+2-2
=2- ．
【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则是解答此题的关键．
18.解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，数轴见解析
【解析】
【分析】根据解一元一次不等式组的方法步骤求解，然后在数轴上把解集表示出来即可．
7.一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）
A.七边形B.八边形C.九边形D.十边形
【答案】A
【解析】
【分析】根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，列出方程即可求解．
【详解】解：根据n边形的内角和公式，得
（n﹣2）•180°=900°，
解得n=7，
∴这个多边形的边数是7，
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程．
设CD=x，则BD=2.4-x，
在Rt△ACD中，∠ACD=45°，
∴∠CAD=45°，
∴AD=CD=x．
在Rt△ABD中， ，
即 ，
解得x=0.88，
可知AD=0 88千米=880米，
因为880米＞800米，所以公路不穿过纪念园．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．
【详解】解：连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，即∠OCA=90°，
在Rt△OCA中，AO=3，OC=2，
∴AC= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题关键．切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
2023年湖南省怀化市中考数学试卷与答案
2023年湖南省怀化市中考数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的）1．（4分）下列四个实数中，最小的数是（）A．﹣5B．0C．D．2．（4分）2023年4月12日21时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”——世界首个全超导托卡马克东方超环（EAST）装置取得重大成果，在第122254次实验中成功实现了403秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造了托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录．数据122254用科学记数法表示为（）A．12.2254×104B．1.22254×104C．1.22254×105D．0.122254×1063．（4分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a5B．a6÷a2＝a3C．（ab3）2＝a2b9D．5a﹣2a＝34．（4分）剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术．民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（4分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（2，3）6．（4分）如图，平移直线AB至CD，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝60°，则∠2的度数为（）A．30°B．60°C．100°D．120°7．（4分）某县“三独”比赛独唱项目中，5名同学的得分分别是：9.6，9.2，9.6，9.7，9.4．关于这组数据，下列说法正确的是（）A．众数是9.6B．中位数是9.5C．平均数是9.4D．方差是0.38．（4分）下列说法错误的是（）A．成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件B．一元二次方程x2+x+3＝0有两个相等的实数根C．任意多边形的外角和等于360°D．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心9．（4分）已知压力F（N）、压强p（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝pS．当F为定值时，如图中大致表示压强p与受力面积S之间函数关系的是（）A．B．C．D．10．（4分）如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与过点（﹣1，0）的直线AB相交于A、B两点．已知＝9，那么点C的坐标为（）点A的坐标为（1，3），点C为x轴上任意一点．如果S△ABCA．（﹣3，0）B．（5，0）C．（﹣3，0）或（5，0）D．（3，0）或（﹣5，0）二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）要使代数式有意义，则x的取值范围是．12．（4分）分解因式：2x2﹣4x+2＝．13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根为﹣1，则m的值为，另一个根为．14．（4分）定义新运算：（a，b）•（c，d）＝ac+bd，其中a，b，c，d为实数．例如：（1，2）•（3，4）＝1×3+2×4＝11．如果（2x，3）•（3，﹣1）＝3，那么x＝．15．（4分）如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3．则点P到直线AB的距离为．16．（4分）在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△A0B按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，…．依次类推，得到△A2033OB2033，则△A2023OB2033的边长为，点A2023的坐标为．三、解答题（本大题共8小题，共86分）17．（8分）计算：|﹣2|+（）﹣1﹣+（sin45°﹣1）0﹣（﹣1）．18．（8分）先化简（1+）÷，再从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值．19．（10分）如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）证明：△BOF≌△DOE；（2）连接BE、DF，证明：四边形EBFD是菱形．20．（10分）为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°，在B点处测得碑顶D 的仰角为60°，已知AB＝35m，测角仪的高度是1.5m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD．（≈1.732，结果保留一位小数）21．（12分）近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：（1）所抽取的学生人数为；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；（3）该校共有学生3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数．22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，点C为⊙O上的一点．连接PC、AC、OC，且PC＝PA．（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PD•OC＝PA•OD；（3）若∠CAB＝30°，OD＝8，求阴影部分的面积．23．（12分）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？（2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？24．（14分）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；（2）点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA、PC，求△PAC面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）设直线l1：y＝kx+k﹣交抛物线于点M、N，求证：无论k为何值，平行于x轴的直线l2：y＝﹣上总存在一点E，使得∠MEN为直角．2023年湖南省怀化市中考数学试卷答案1．A．2．C．3．A．4．C．5．D．6．B．7．A．8．B．9．D．10．D．11．（4分）要使代数式有意义，则x的取值范围是x≥9．12．（4分）分解因式：2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2．13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根为﹣1，则m的值为﹣1，另一个根为2．14．那么x＝1．15．则点P到直线AB的距离为3．16．则△A2023OB2033的边长为22023，点A2023的坐标为（22022，22022）．17．解：原式＝2+3﹣3+1+1＝4．18．解：原式＝•＝•＝，当a＝1或2时，分式无意义，故当a＝﹣1时，原式＝﹣，当a＝0时，原式＝﹣．19．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∵点O是BD的中点，∴DO＝BO，又∵∠EOD＝∠FOB，∴△BOF≌△DOE（ASA）；（2）证明：由（1）已证△BOF≌△DOE，∴BF＝DE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，即DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形EBFD是菱形．20．解：由题意得：AM＝BN＝CE＝1.5m，AB＝MN＝35m，∠DEM＝90°，∠DNE＝60°，∠DME＝30°，∵∠DNE是△DMN的外角，∴∠MND＝∠DNE﹣∠DMN＝30°，∴∠DMN＝∠MDN＝30°，∴DN＝MN＝35m，在Rt△DNE中，DE＝DN•sin60°＝35×＝（m），∴DC＝DE+CE＝+1.5≈+1.5≈31.8（m）．答：烈士纪念碑的通高CD约为31.8m．21．解：（1）所抽取的学生人数为：90÷45%＝200．故答案为：200；（2）样本中“中度近视”的人数为：200×15%＝30（人），“高度近视”的人数为：200﹣90﹣70﹣30＝10（人），补全条形统计图如下：扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数为：360°×＝126°；（3）3000×＝1050（人），答：估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数约1050人．22．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，∴PA⊥OA，即：∠PAO＝90°，∵点C在⊙O上，∴OC＝OA，在△POC和△POA中，，∴△POC≌△POA（SSS），∴∠PCO＝∠PAO＝90°，即：PC⊥OC，又OC为⊙O的半径，∴PC为⊙O的切线．（2）证明：由（1）可知：OC⊥PD，∴∠DCO＝∠DAP＝90°，又∠ODC＝∠PDA，∴△ODC∽△PDA，∴，即：PD•OC＝PA•OD．（3）解：连接BC，过点C作CE⊥OB于点E，∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝60°，又OC＝OB，∴△OCB为等边三角形，∵CE⊥OB，∴OE＝BE，设OE＝a，显然a≠0，则OA＝OB＝OC＝2a，在Rt△OCE中，OE＝a，OC＝2a，由勾股定理得：，∵OD＝8，∴DE＝OD﹣OE＝8﹣a，在Rt△CDE中，，DE＝8﹣a，由勾股定理得：，在Rt△DOC中，OC＝2a，OD＝8，由勾股定理得：CD2＝OD2﹣OC2＝82﹣（2a）2，，整理得：a2﹣2a＝0，∵a≠0，∴a＝2，∴OC＝2a＝4，，∴，又∵，∴．23．解：（1）设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了（45x+30）人，根据题意得：45x+30＝60（x﹣6），解得：x＝26，∴45x+30＝45×26+30＝1200．答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人；（2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25﹣y）辆，根据题意得：，解得：5≤y≤7，又∵y为正整数，∴y可以为5，6，7，∴该学校共有3种租车方案，方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车；方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车；方案3：租用7辆B 种客车，18辆A 种客车；（3）选择方案1的总租金为300×5+220×20＝5900（元）；选择方案2的总租金为300×6+220×19＝5980（元）；选择方案3的总租金为300×7+220×18＝6060（元）．∵5900＜5980＜6060，∴租用5辆B 种客车，20辆A 种客车最合算．24．（1）解：∵抛物线y ＝ax 2+bx ﹣8与x 轴交于A （﹣4，0）、B （2，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2+2x ﹣8，∵y ＝x 2+2x ﹣8＝（x +1）2﹣9，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣9）；（2）解：∵抛物线y ＝x 2+2x ﹣8与y 轴交于点C ，∴C （0，﹣8），设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ，则，解得：，∴直线AC 的解析式为y ＝﹣2x ﹣8，设P （t ，t 2+2t ﹣8），过点P 作PF ∥y 轴，交AC 于点F ，如图，则F （t ，﹣2t ﹣8），∴PF ＝﹣2t ﹣8﹣（t 2+2t ﹣8）＝﹣t 2﹣4t ，∴S △P AC ＝S △P AF +S △PCF ＝PF •（t +4）+PF •（﹣t ）＝2PF ＝2（﹣t 2﹣4t ）＝﹣2（t +2）2+8，11∵﹣2＜0，∴当t ＝﹣2时，S △P AC 的最大值为8，此时点P （﹣2，﹣8）；（3）证明：∵直线l 1：y ＝kx +k ﹣交抛物线于点M 、N ，∴x 2+2x ﹣8＝kx +k﹣，整理得：x 2+（2﹣k ）x +﹣k ＝0，∴x M +x N ＝k ﹣2，x M x N ＝﹣k ，∵y M ＝kx M +k﹣，y N ＝kx N +k ﹣，∴y M ﹣y N ＝k （x M ﹣x N ），∴MN 2＝（x M ﹣x N ）2+（y M ﹣y N ）2＝（1+k 2）（x M ﹣x N ）2＝（1+k 2）[（x M +x N ）2﹣4x M x N ]＝（1+k 2）[（k ﹣2）2﹣4（﹣k ）]＝（1+k 2）2，∵设MN 的中点为O ′，∴O ′（，k 2﹣），过点O ′作O ′E ⊥直线l 2：y＝﹣，垂足为E，如图，∴E（，﹣），∴O ′E＝k 2﹣﹣（﹣）＝（1+k 2），∴O ′E＝MN ，∴以MN 为直径的⊙O ′一定经过点E ，∴∠MEN ＝90°，∴在直线l 2：y＝﹣上总存在一点E ，使得∠MEN 为直角．。
2022年湖南省怀化市中考数学试卷(解析版)
2022年湖南省怀化市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）．1．（4分）12-的相反数是()A ．12B ．2C ．12-D ．2-【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．【解答】解：12-的相反数是12，故选：A ．2．（4分）代数式25x ，1π，224x +，223x -，1x ，12x x ++中，属于分式的有()A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】根据分式的定义：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式AB叫做分式判断即可．【解答】解：分式有：224x +，1x ，12x x ++，整式有：25x ，1π，223x -，分式有3个，故选：B ．3．（4分）2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米．其中数据10909用科学记数法表示为()A ．210.90910⨯B ．31.090910⨯C ．40.1090910⨯D ．41.090910⨯【分析】把比较大的数写成10n a ⨯，其中110a <，n 为正整数即可得出答案．【解答】解：410909 1.090910=⨯，故选：D ．4．（4分）下列说法正确的是()A ．相等的角是对顶角B ．对角线相等的四边形是矩形C ．三角形的外心是它的三条角平分线的交点D ．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等【分析】根据对顶角的定义，矩形的判定，三角形的外心，线段垂直平分线的性质可得出答案．【解答】解：A 、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法错误，不符合题意；B 、对角线相等的四边形不一定是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；C 、三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点，故本选项说法错误，不符合题意；D 、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故本选项符合题意．故选：D ．5．（4分）下列计算正确的是()A ．236(2)6a a =B ．824a a a ÷=C 2=D ．222()x y x y -=-【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、二次根式的性质、完全平方公式分别计算，进而得出答案．【解答】解：A ．236(2)8a a =，故此选项不合题意；B ．826a a a ÷=，故此选项不合题意；2=，故此选项符合题意；D ．222()2x y x xy y -=-+，故此选项不合题意；故选：C ．6．（4分）下列一元二次方程有实数解的是()A ．2210x x -+=B ．2220x x -+=C ．2320x x +-=D ．220x +=【分析】根据各方程的系数结合根的判别式△24b ac =-，可求出各方程根的判别式△的值，取△>0的选项即可得出结论．【解答】解：A ． △2(1)42170=--⨯⨯=-<，∴方程2210x x -+=没有实数根；B ． △2(2)41240=--⨯⨯=-<，∴方程2220x x -+=没有实数根；C ． △2341(2)170=-⨯⨯-=>，∴方程2320x x +-=有两个不相等的实数根；D ． △2041280=-⨯⨯=-<，∴方程220x +=没有实数根．故选：C ．7．（4分）一个多边形的内角和为900︒，则这个多边形是()A ．七边形B ．八边形C ．九边形D ．十边形【分析】根据多边形的内角和公式：(2)180n -⋅︒列出方程，解方程即可得出答案．【解答】解：设多边形的边数为n ，(2)180900n -⋅︒=︒，解得：7n =．故选：A ．8．（4分）如图，ABC ∆沿BC 方向平移后的像为DEF ∆，已知5BC =，2EC =，则平移的距离是()A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】利用平移的性质，找对应点，对应点间的距离就是平移的距离．【解答】解：点B 平移后对应点是点E ．∴线段BE 就是平移距离，已知5BC =，2EC =，523BE BC EC ∴=-=-=．故选：C ．9．（4分）从下列一组数2-，π，12-，0.12-，0，中随机抽取一个数，这个数是负数的概率为()A ．56B ．23C ．12D ．13【分析】首先确定这组数据的负数的个数，然后再利用概率的公式求解即可．【解答】这组数据共有6个数，其中是负数的有2-，12-，0.12-，这4个，(),4263P ∴==随机抽取一个数这个数是负数．故选：B ．10．（4分）如图，直线AB 交x 轴于点C ，交反比例函数1(1)a y a x-=>的图象于A 、B 两点，过点B 作BD y ⊥轴，垂足为点D ，若5BCD S ∆=，则a 的值为()A ．8B ．9C ．10D ．11【分析】设点B 的坐标为1(,)a m m-，然后根据三角形面积公式列方程求解．【解答】解：设点B 的坐标为1(,)a a a-，5BCD S ∆= ，且1a >，∴1152a m m-⨯⨯=，解得：11a =，经检验，11a =是原分式方程的解，故选：D ．二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11．（4分）计算5322x x x +-=++1．【分析】原式利用通分分式的减法法则计算，约分即可得到结果．【解答】解：原式532x x +-=+22x x +=+1=．故答案为：1．12．（4分）因式分解：24x x -=2(1)(1)x x x +-．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式22(1)x x =-2(1)(1)x x x =+-．故答案为：2(1)(1)x x x +-．13．（4分）已知点(2,)A b -与点(,3)B a 关于原点对称，则a b -=5．【分析】根据关于原点对称的点的坐标，可得答案．【解答】解： 点(2,)A b -与点(,3)B a 关于原点对称，2a ∴=，3b =-，235a b ∴-=+=，故答案为：5．14．（4分）如图，ABC ∆中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若2ADE S ∆=，则ABC S ∆=8．【分析】由中位线定理可得线段DE 与BC 的比，即可得出ADE ∆与ABC ∆的比，又已知ADE ∆的面积，进而即可得出ABC ∆的面积．【解答】解：D ，E 分别是AB ，AC 的中点，:1:2DE BC ∴=，//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，∴21()4ADE ABC S DE S BC ∆∆==，即214ABCS ∆=，8ABC S ∆∴=．故答案为：8．15．（4分）如图，AB 与O 相切于点C ，3AO =，O 的半径为2，则AC的长为．【分析】连接OC ，根据切线的性质得到OC AC ⊥，再根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：连接OC ，AB 与O 相切于点C ，OC AC ∴⊥，在Rt AOC ∆中，2OC =，3OA =，则AC ===．16．（4分）正偶数2，4，6，8，10，⋯，按如下规律排列，则第27行的第21个数是744．【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅第n 行有n 个数，则前n 行共有(1)2n n +个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【解答】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅第n 行有n 个数．∴前n 行共有(1)2n n +个数．∴前27行共有378个数，∴第27行第21个数是一共378个数中的第372个数．这些数都是正偶数，∴第372个数为3722744⨯=．故答案为：744．三、解答题（本大题共8小题，共86分）17．（8分）计算：011(3.14)1|(2π--++【分析】根据零指数幂，绝对值，负整数指数幂，二次根式的化简计算即可．【解答】解：原式112=++-2=18．（8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．()51313221x x x x ⎧->+⎨-+⎩①②【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．【解答】解：()51313221x x x x ⎧->+⎨-+⎩①②，解不等式①，得：2x >，解不等式②，得：3x ，∴原不等式组的解集是23x <，其解集在数轴上表示如下：．19．（10分）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A 位于C 村西南方向和B 村南偏东60︒方向上．C 村在B 村的正东方向且两村相距2.4km ．有关部门计划在B 、C 两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明． 1.73≈ 1.41)≈【分析】过A 点作AD BC ⊥于D 点，根据题意可得BD =，CD AD =，由2400BC m =可得关于AD 的方程，计算可求解AD 的长，进而可求解．【解答】解：过A 点作AD BC ⊥于D 点，由题意知：906030ABC ∠=︒-︒=︒，45ACD ∠=︒，BD ∴=，CD AD =，2.42400BC km m == ，∴2400AD +=，解得：1)876800AD =≈>，故该公路不能穿过纪念园．20．（10分）如图，点A ，B ，C ，D 在O 上， AB CD=．求证：（1）AC BD =；（2）ABE DCE ∆∆∽．【分析】（1）根据等式的性质可得： AC BD=，再由圆心角，弧，弦的关系可得结论；（2）根据两角相等可证明两三角形相似．【解答】证明：（1） AB CD =，∴ AC BD =，AC BD ∴=；（2）A D ∠=∠ ，B C ∠=∠，ABE DCE ∴∆∆∽．21．（12分）电视剧《一代洪商》在中央电视台第八套播出后，怀化市各旅游景点知名度得到显著提高．为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计图．频数分布表满意程度频数（人)频率非常满意500.5满意300.3一般ac不满意b 0.05合计1001根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）a =15，b =，c =；（2）求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数；（3）根据调查情况，请你对各景点的服务提一至两条合理建议．【分析】（1）用样本容量乘“不满意”的频率求出b，进而求出a、c的值；（2）用360︒乘“一般”的频率即可；（3）根据频数分布表的数据提出建议即可．【解答】解：（1）由题意得，1000.055a=---=，b=⨯=，1005030515c=---=，10.50.30.050.15故答案为：15；5；0.15；（2）扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数为3600.1554︒⨯=︒；（3）在调查数据中，还有约20%的游客对服务态度表示“一般”或“不满意”，说明旅游质量还有待提高．（答案不唯一）．22．（12分）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使⊥于点H．=，连接MN交AC于点P，MH ACCN AM（1）求证：MP NP=；（2）若AB a=，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．【分析】（1）过点M 作//MQ BC ，交AC 于点Q ，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得60AMQ AQM A ∠=∠=∠=︒，可得AMQ ∆是等边三角形，易证()QMP CNP AAS ∆≅∆，即可得证；（2）根据等边三角形的性质可知AH HQ =，根据全等三角形的性质可知QP PC =，即可表示出HP 的长．【解答】（1）证明：过点M 作//MQ BC ，交AC 于点Q，如图所示：在等边ABC ∆中，60A B ACB ∠=∠=∠=︒，//MQ BC ，60AMQ B ∴∠=∠=︒，60AQM ACB ∠=∠=︒，QMP N ∠=∠，AMQ ∴∆是等边三角形，AM QM ∴=，AM CN = ，QM CN ∴=，在QMP ∆和CNP ∆中，QPM CPN QMP N QM CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()QMP CNP AAS ∴∆≅∆，MP NP ∴=；（2）解：AMQ ∆ 是等边三角形，且MH AC ⊥，AH HQ ∴=，QMP CNP ∆≅∆ ，QP CP ∴=，12PH HQ QP AC ∴=+=，AB a = ，AB AC =，12PH a ∴=．23．（12分）去年防汛期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．（1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？（2）为支持今年防汛工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折；若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a 套，购买费用为W 元，请写出W 关于a 的函数关系式．（3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？【分析】（1）设每件雨衣x 元，则每双雨鞋(5)x -元，根据购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双）列出方程并解答；（2）根据题意求出a 的取值范围，并求出w 与a 的关系式解答即可；（3）根据题意列出不等式并解答．【解答】解：（1）设每件雨衣x 元，则每双雨鞋(5)x -元，根据题意，得4003505x x =-，解得40x =，经检验40x =是所列方程的根，并符合题意．所以535x -=，答：每件雨衣40元，则每双雨鞋35元；（2）由题意知，一套雨衣雨鞋的单价为：(4035)(120%)60+⨯-=（元)，当购买a 套雨衣和雨鞋5a 时，费用为0.96054w x a a ==；当购买a 套雨衣和雨鞋5a >时，费用为0.9605(5)600.84830w a a =⨯⨯+-⨯⨯=+，W ∴关于a 的函数关系式为：54(5)4830(5)a a w a a ⎧=⎨+>⎩；（3）由题意得：4830320a +，解得1624a ，答：最多可购买6套．24．（14分）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线22y ax x c =++经过点(1,0)A -、(3,0)B ，与y 轴交于点C ，顶点为点D ．在线段CB 上方的抛物线上有一动点P ，过点P 作PE BC ⊥于点E ，作//PF AB 交BC 于点F ．（1）求抛物线和直线BC 的函数表达式．（2）当PEF ∆的周长为最大值时，求点P 的坐标和PEF ∆的周长．（3）若点G 是抛物线上的一个动点，点M 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C 、B 、G 、M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G 的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为方程组，求出a ，c 的值，设BC 的解析式为y kx b =+，把B ，C 两点坐标代入求出k ，b 即可；（2）如图一中，连接PC ，OP ，PB ．设2(,23)P m m m -++，证明PEF ∆是等腰直角三角形，求出PE 的最大值，可得结论；（3）存在．如图二中，设(1,)M t ，2(,23)G m m m -++．分两种情形：CB 为平行四边形的边，CB 为平行四边形的对角线，分别构建方程求解．【解答】解：（1） 抛物线22y ax x c =++经过点(1,0)A -、(3,0)B ，∴20960a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得13a c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =-++，令0x =，可得3y =，(0,3)C ∴，设直线BC 的解析式为y kx b =+，则330b k b =⎧⎨+=⎩，∴13k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为3y x =-+；（2）如图一中，连接PC ，OP ，PB ．设2(,23)P m m m -++，(3,0)B ，(0,3)C ，3OB OC ∴==，45OBC ∴∠=︒，//PF AB ，45PFE OBC ∴∠=∠=︒，PE BC ⊥ ，PEF ∴∆是等腰直角三角形，PE ∴的值最大时，PEF ∆的周长最大，PBC POB POC OBCS S S S ∆∆∆∆=+-21113(23)333222m m m =⨯⨯-+++⨯⨯-⨯⨯23922m m =-+23327()228m =--+，302-< ，32m ∴=时，PBC ∆的面积最大，面积的最大值为278，此时PE 的值最大，12728PE ⨯=，928PE ∴=，PEF ∴∆的周长的最大值9988444=++=+，此时3(2P ，15)4；（3）存在．理由：如图二中，设(1,)M t ，2(,23)G m m m -++．当BC 为平行四边形的边时，则有|1|3m -=，解得2m =-或4，(2,5)G ∴--或(4,5)-，当BC 为平行四边形的对角线时，11(1)(03)22m +=+，2m ∴=，(2,3)G ∴，综上所述，满足条件的点G 的坐标为(2,5)--或(4,5)-或(2,3)．。
2022年湖南省怀化市中考数学试卷(含答案)
2022年湖南省怀化市中考数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）．1．（4分）（2022•怀化）﹣的相反数是（）A．B．2C．﹣D．﹣22．（4分）（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个3．（4分）（2022•怀化）2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米．其中数据10909用科学记数法表示为（）A．10.909×102B．1.0909×103C．0.10909×104D．1.0909×1044．（4分）（2022•怀化）下列说法正确的是（）A．相等的角是对顶角B．对角线相等的四边形是矩形C．三角形的外心是它的三条角平分线的交点D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等5．（4分）（2022•怀化）下列计算正确的是（）A．（2a2）3＝6a6B．a8÷a2＝a4C．＝2D．（x﹣y）2＝x2﹣y26．（4分）（2022•怀化）下列一元二次方程有实数解的是（）A．2x2﹣x+1＝0B．x2﹣2x+2＝0C．x2+3x﹣2＝0D．x2+2＝07．（4分）（2022•怀化）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形8．（4分）（2022•怀化）如图，△ABC沿BC方向平移后的像为△DEF，已知BC＝5，EC ＝2，则平移的距离是（）A．1B．2C．3D．49．（4分）（2022•怀化）从下列一组数﹣2，π，﹣，﹣0.12，0，﹣中随机抽取一个数，这个数是负数的概率为（）A．B．C．D．10．（4分）（2022•怀化）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图象于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（）A．8B．9C．10D．11二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11．（4分）（2022•怀化）计算﹣＝．12．（4分）（2022•怀化）因式分解：x2﹣x4＝．13．（4分）（2022•怀化）已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b＝．14．（4分）（2022•怀化）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝．15．（4分）（2022•怀化）如图，AB与⊙O相切于点C，AO＝3，⊙O的半径为2，则AC的长为．16．（4分）（2022•怀化）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，则第27行的第21个数是．三、解答题（本大题共8小题，共86分）17．（8分）（2022•怀化）计算：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（）﹣1﹣．18．（8分）（2022•怀化）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．19．（10分）（2022•怀化）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上．C村在B村的正东方向且两村相距2.4km．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．（参考数据：≈1.73，≈1.41）20．（10分）（2022•怀化）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：（1）AC＝BD；（2）△ABE∽△DCE．21．（12分）（2022•怀化）电视剧《一代洪商》在中央电视台第八套播出后，怀化市各旅游景点知名度得到显著提高．为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计图．频数分布表满意程度频数（人）频率非常满意500.5满意300.3一般a c不满意b0.05合计1001根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝，c＝；（2）求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数；（3）根据调查情况，请你对各景点的服务提一至两条合理建议．22．（12分）（2022•怀化）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．23．（12分）（2022•怀化）去年防汛期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．（1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？（2）为支持今年防汛工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折；若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a套，购买费用为W元，请写出W关于a的函数关系式．（3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？24．（14分）（2022•怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A （﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．2022年湖南省怀化市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）．1．（4分）（2022•怀化）﹣的相反数是（）A．B．2C．﹣D．﹣2【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．【解答】解：﹣的相反数是，故选：A．【点评】本题考查了相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．2．（4分）（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式叫做分式判断即可．【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．【点评】本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式叫做分式是解题的关键，注意π是数字．3．（4分）（2022•怀化）2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米．其中数据10909用科学记数法表示为（）A．10.909×102B．1.0909×103C．0.10909×104D．1.0909×104【分析】把比较大的数写成a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数即可得出答案．【解答】解：10909＝1.0909×104，故选：D．【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握10的指数比原来的整数位数少1是解题的关键．4．（4分）（2022•怀化）下列说法正确的是（）A．相等的角是对顶角B．对角线相等的四边形是矩形C．三角形的外心是它的三条角平分线的交点D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等【分析】根据对顶角的定义，矩形的判定，三角形的外心，线段垂直平分线的性质可得出答案．【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法错误，不符合题意；B、对角线相等的四边形不一定是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；C、三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点，故本选项说法错误，不符合题意；D、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了矩形的判定，三角形的外心，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关定理以及性质进而判定出命题的正确性．5．（4分）（2022•怀化）下列计算正确的是（）A．（2a2）3＝6a6B．a8÷a2＝a4C．＝2D．（x﹣y）2＝x2﹣y2【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、二次根式的性质、完全平方公式分别计算，进而得出答案．【解答】解：A．（2a2）3＝8a6，故此选项不合题意；B．a8÷a2＝a6，故此选项不合题意；C.＝2，故此选项符合题意；D．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算、二次根式的性质、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．6．（4分）（2022•怀化）下列一元二次方程有实数解的是（）A．2x2﹣x+1＝0B．x2﹣2x+2＝0C．x2+3x﹣2＝0D．x2+2＝0【分析】根据各方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可求出各方程根的判别式Δ的值，取Δ≥0的选项即可得出结论．【解答】解：A．∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2×1＝﹣7＜0，∴方程2x2﹣x+1＝0没有实数根；B．∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，∴方程x2﹣2x+2＝0没有实数根；C．∵Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，∴方程x2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根；D．∵Δ＝02﹣4×1×2＝﹣8＜0，∴方程x2+2＝0没有实数根．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．7．（4分）（2022•怀化）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形【分析】根据多边形的内角和公式：（n﹣2）•180°列出方程，解方程即可得出答案．【解答】解：设多边形的边数为n，（n﹣2）•180°＝900°，解得：n＝7．故选：A．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，体现了方程思想，掌握多边形的内角和＝（n ﹣2）•180°是解题的关键．8．（4分）（2022•怀化）如图，△ABC沿BC方向平移后的像为△DEF，已知BC＝5，EC ＝2，则平移的距离是（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用平移的性质，找对应点，对应点间的距离就是平移的距离．【解答】解：点B平移后对应点是点E．∴线段BE就是平移距离，∵已知BC＝5，EC＝2，∴BE＝BC﹣EC＝5﹣2＝3．故选：C．【点评】考查图形平移性质，关键找到平移前后的对应点．9．（4分）（2022•怀化）从下列一组数﹣2，π，﹣，﹣0.12，0，﹣中随机抽取一个数，这个数是负数的概率为（）A．B．C．D．【分析】首先确定这组数据的负数的个数，然后再利用概率的公式求解即可．【解答】这组数据共有6个数，其中是负数的有﹣2，﹣，﹣0.12，﹣这4个，∴P（随机抽取一个数，这个数是负数）＝．故选：B．【点评】本题主要考查随机事件概率的求法．10．（4分）（2022•怀化）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图象于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（）A．8B．9C．10D．11【分析】设点B的坐标为（a，），然后根据三角形面积公式列方程求解．【解答】解：设点B的坐标为（a，），∵S△BCD＝5，且a＞1，∴×a×＝5，解得：a＝11，经检验，a＝11是原分式方程的解，故选：D．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，准确识图，理解反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键．二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11．（4分）（2022•怀化）计算﹣＝1．【分析】原式利用通分分式的减法法则计算，约分即可得到结果．【解答】解：原式＝＝＝1．故答案为：1．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（4分）（2022•怀化）因式分解：x2﹣x4＝x2（1+x）（1﹣x）．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝x2（1﹣x2）＝x2（1+x）（1﹣x）．故答案为：x2（1+x）（1﹣x）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13．（4分）（2022•怀化）已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b＝5．【分析】根据关于原点对称的点的坐标，可得答案．【解答】解：∵点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，∴a＝2，b＝﹣3，∴a﹣b＝2+3＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的坐标规律得出a，b是解题关键．14．（4分）（2022•怀化）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝8．【分析】由中位线定理可得线段DE与BC的比，即可得出△ADE与△ABC的比，又已知△ADE的面积，进而即可得出△ABC的面积．【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE：BC＝1：2，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，即，∴S△ABC＝8．故答案为：8．【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理以及相似三角形面积比与对应边之比的关系，证明△ADE∽△ABC是解题的关键．15．（4分）（2022•怀化）如图，AB与⊙O相切于点C，AO＝3，⊙O的半径为2，则AC的长为．【分析】连接OC，根据切线的性质得到OC⊥AC，再根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：连接OC，∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AC，在Rt△AOC中，OC＝2，OA＝3，则AC＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是切线的性质、勾股定理，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．16．（4分）（2022•怀化）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，则第27行的第21个数是744．【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••第n行有n个数，则前n行共有个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【解答】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•第n行有n个数．∴前n行共有个数．∴前27行共有378个数，∴第27行第21个数是一共378个数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2＝744．故答案为：744．【点评】本题考查了数列的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．三、解答题（本大题共8小题，共86分）17．（8分）（2022•怀化）计算：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（）﹣1﹣．【分析】根据零指数幂，绝对值，负整数指数幂，二次根式的化简计算即可．【解答】解：原式＝1+﹣1+2﹣2＝2﹣．【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，绝对值，负整数指数幂，考查学生的运算能力，掌握a0＝1（a≠0），a﹣p＝（a≠0）是解题的关键．18．（8分）（2022•怀化）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．【解答】解：，解不等式①，得：x＞2，解不等式②，得：x≤3，∴原不等式组的解集是2＜x≤3，其解集在数轴上表示如下：．【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．19．（10分）（2022•怀化）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上．C村在B村的正东方向且两村相距2.4km．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．（参考数据：≈1.73，≈1.41）【分析】过A点作AD⊥BC于D点，根据题意可得BD＝AD，CD＝AD，由BC＝2400m 可得关于AD的方程，计算可求解AD的长，进而可求解．【解答】解：过A点作AD⊥BC于D点，由题意知：∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝45°，∴BD＝AD，CD＝AD，∵BC＝2.4km＝2400m，∴AD+AD＝2400，解得：AD＝1200（﹣1）≈876＞800，故该公路不能穿过纪念园．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣方向角，构造直角三角形是解题的关键．20．（10分）（2022•怀化）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：（1）AC＝BD；（2）△ABE∽△DCE．【分析】（1）根据等式的性质可得：，再由圆心角，弧，弦的关系可得结论；（2）根据两角相等可证明两三角形相似．【解答】证明：（1）∵＝，∴，∴AC＝BD；（2）∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△ABE∽△DCE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系．根据已知条件推知AC＝BD是解题的难点．21．（12分）（2022•怀化）电视剧《一代洪商》在中央电视台第八套播出后，怀化市各旅游景点知名度得到显著提高．为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计图．频数分布表满意程度频数（人）频率非常满意500.5满意300.3一般a c不满意b0.05合计1001根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）a＝15，b＝5，c＝0.15；（2）求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数；（3）根据调查情况，请你对各景点的服务提一至两条合理建议．【分析】（1）用样本容量乘“不满意”的频率求出b，进而求出a、c的值；（2）用360°乘“一般”的频率即可；（3）根据频数分布表的数据提出建议即可．【解答】解：（1）由题意得，b＝100×0.05＝5，a＝100﹣50﹣30﹣5＝15，c＝1﹣0.5﹣0.3﹣0.05＝0.15，故答案为：15；5；0.15；（2）扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数为360°×0.15＝54°；（3）在调查数据中，还有约20%的游客对服务态度表示“一般”或“不满意”，说明旅游质量还有待提高．（答案不唯一）．【点评】此题考查了频数（率）分布直方图，中位数，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．22．（12分）（2022•怀化）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．【分析】（1）过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得∠AMQ＝∠AQM＝∠A＝60°，可得△AMQ是等边三角形，易证△QMP≌△CNP（AAS），即可得证；（2）根据等边三角形的性质可知AH＝HQ，根据全等三角形的性质可知QP＝PC，即可表示出HP的长．【解答】（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵MQ∥BC，∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，∴△AMQ是等边三角形，∴AM＝QM，∵AM＝CN，∴QM＝CN，在△QMP和△CNP中，，∴△QMP≌△CNP（AAS），∴MP＝NP；（2）解：∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，∴AH＝HQ，∵△QMP≌△CNP，∴QP＝CP，∴PH＝HQ+QP＝AC，∵AB＝a，AB＝AC，∴PH＝a．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．23．（12分）（2022•怀化）去年防汛期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．（1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？（2）为支持今年防汛工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折；若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a套，购买费用为W元，请写出W关于a的函数关系式．（3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？【分析】（1）设每件雨衣x元，则每双雨鞋（x﹣5）元，根据购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双）列出方程并解答；（2）根据题意求出a的取值范围，并求出w与a的关系式解答即可；（3）根据题意列出不等式并解答．【解答】解：（1）设每件雨衣x元，则每双雨鞋（x﹣5）元，根据题意，得，解得x＝40，经检验x＝40是所列方程的根，并符合题意．所以x﹣5＝35，答：每件雨衣40元，则每双雨鞋35元；（2）由题意知，一套雨衣雨鞋的单价为：（40+35）×（1﹣20%）＝60（元），当购买a套雨衣和雨鞋a≤5时，费用为w＝0.9x60a＝54a；当购买a套雨衣和雨鞋a＞5时，费用为w＝0.9×60×5+（a﹣5）×60×0.8＝48a+30，∴W关于a的函数关系式为：w＝；（3）由题意得：48a+30≤320，解得a≤，答：最多可购买6套．【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．24．（14分）（2022•怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A （﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为方程组，求出a，c的值，设BC的解析式为y＝kx+b，把B，C两点坐标代入求出k，b即可；（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，﹣m2+2m+3），证明△PEF是等腰直角三角形，求出PE的最大值，可得结论；（3）存在．如图二中，设M（1，t），G（m，﹣m2+2m+3）．分两种情形：CB为平行四边形的边，CB为平行四边形的对角线，分别构建方程求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，可得y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，∴，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，﹣m2+2m+3），∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝45°，∵PF∥AB，∴∠PFE＝∠OBC＝45°，∵PE⊥BC，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE的值最大时，△PEF的周长最大，∵S△PBC＝S△POB+S△POC﹣S△OBC＝×3×（﹣m2+2m+3）+×3×m﹣×3×3＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴m＝时，△PBC的面积最大，面积的最大值为，此时PE的值最大，∵×3×PE＝，∴PE＝，∴△PEF的周长的最大值＝++＝+，此时P（，）；（3）存在．理由：如图二中，设M（1，t），G（m，﹣m2+2m+3）．当BC为平行四边形的边时，则有|1﹣m|＝3，解得m＝﹣2或4，∴G（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），当BC为平行四边形的对角线时，（1+m）＝（0+3），∴m＝2，∴G（2，3），综上所述，满足条件的点G的坐标为（﹣2，5）或（4，﹣5）或（2，3）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
(中考精品卷)湖南省怀化市中考数学真题(解析版)
2022年湖南省怀化市中考数学真题一、选择题1.12-的相反数是（ ）A. 2-B. 2C.12- D. 12【答案】D【解析】【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0即可求解．【详解】解：因为-12+12＝0，所以-12的相反数是12．故选：D．【点睛】本题考查求一个数的相反数，掌握相反数的性质是解题关键．2. 代数式25x，1π，224x+，x2﹣23，1x，12xx++中，属于分式的有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】B【解析】【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．【详解】分母中含有字母的是22 4x+，1x，12xx++，∴分式有3个，故选：B．【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．3. 2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米．其中数据10909用科学记数法表示为（ ）A. 10.909×102B. 1.0909×103C. 0.10909×104D. 1.0909×104【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：10909用科学记数法可以表示：1.0909×104．故选：D．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4. 下列说法正确的是（ ）A. 相等的角是对顶角B. 对角线相等的四边形是矩形C. 三角形的外心是它的三条角平分线的交点D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等【答案】D【解析】【分析】根据对顶角的概念、矩形的判定、三角形外心的定义和垂直平分线的性质逐项判定即可得出结论．【详解】解：A、根据对顶角的概念可知，相等的角不一定是对顶角，故该选项不符合题意；B、根据矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形”可知该选项不符合题意；C、根据三角形外心的定义，外心是三角形外接圆圆心，是三角形三条边中垂线的交点，故该选项不符合题意；D、根据线段垂直平分线的性质可知该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查基本几何概念、图形判定及性质，涉及到对顶角的概念、矩形的判定、三角形外心的定义和垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握相关几何图形的定义、判定及性质是解决问题的关键．5. 下列计算正确的是（ ）A. （2a2）3＝6a6B. a8÷a2＝a4＝2 D. （x﹣y）2＝x2﹣y2【答案】C【解析】【分析】根据积的乘方、同底数幂的除法、二次根式的化简、完全平方公式求解即可；【详解】解：A.（2a2）3=8a6≠6a6，故错误；B a8÷a2=a6≠a4，故错误；.D.（x ﹣y ）2=x 2﹣2xy +y 2≠x 2﹣y 2，故错误； 故选：C ．【点睛】本题主要考查积的乘方、同底数幂的除法、二次根式的化简、完全平方公式等知识，掌握相关运算法则是解题的关键． 6. 下列一元二次方程有实数解的是（ ） A. 2x 2﹣x +1＝0 B. x 2﹣2x +2＝0C. x 2+3x ﹣2＝0D. x 2+2＝【答案】C 【解析】【分析】判断一元二次方程实数根的情况用根的判别式进行判断．【详解】A 选项中，224(1)42170b ac =-=--⋅⋅=-<△，故方程无实数根； B 选项中，2(2)41240=--⋅⋅=-<△，故方程无实数根；C 选项中，2341(2)170=-⋅⋅-=>△，故方程有两个不相等的实数根；D 选项中，80=-<△，故方程无实数根； 故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程实数根情况的判定方法是解题的关键．7. 一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ） A. 七边形 B. 八边形C. 九边形D. 十边形【答案】A 【解析】【分析】根据n 边形的内角和是（n ﹣2）•180°，列出方程即可求解． 【详解】解：根据n 边形的内角和公式，得 （n ﹣2）•180°=900°， 解得n =7，∴这个多边形的边数是7， 故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程． 8. 如图，△ABC 沿BC 方向平移后的像为△DEF ，已知BC =5，EC =2，则平移的距离是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据题意判断BE 的长就是平移的距离，利用已知条件求出BE 即可． 【详解】因为ABC 沿BC 方向平移，点E 是点B 移动后的对应点， 所以BE 的长等于平移的距离，由图像可知，点B 、E 、C 在同一直线上，BC =5，EC =2， 所以BE =BC -ED =5-2=3, 故选 C ．【点睛】本题考查了平移，正确找出平移对应点是求平移距离关键．9. 从下列一组数﹣2，π，﹣12，﹣0.12，0中随机抽取一个数，这个数是负数的概率为（ ） A.56B.23C.12D.13【答案】B 【解析】【分析】找出题目给的数中的负数，用负数的个数除以总的个数，求出概率即可． 【详解】∵数﹣2，π，﹣12，﹣0.12，06个数， 其中﹣2，﹣12，﹣0.12为负数，有4个， ∴这个数是负数的概率为4263P ==， 故答案选：B ．【点睛】本题考查负数的认识，概率计算公式，正确找出负数的个数是解答本题的关键． 10. 如图，直线AB 交x 轴于点C ，交反比例函数y ＝1a x-（a ＞1）的图像于A 、B 两点，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，若S △BCD ＝5，则a 的值为（ ）的A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】D 【解析】【分析】设1a B m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，，由S △BCD =112a m m -⋅即可求解. 【详解】解：设1a B m m -⎛⎫⎪⎝⎭，， ∵BD ⊥y 轴 ∴S △BCD =112a m m-⋅=5， 解得：11a = 故选：D ．【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．二、填空题11. 计算52x x ++﹣32x +＝_____． 【答案】1 【解析】【分析】根据同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减计算即可． 【详解】解：52x x ++﹣32x +=532122x x x x +-+==++ 故答案为：1．【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是熟练掌握同分母分式相加减时分母不变，分子相加减，异分母相加减时，先通分变为同分母分式，再加减． 12. 因式分解：24-=x x _____． 【答案】2(1)(1)+-x x x【解析】【分析】根据提公因式法和平方差公式进行分解即可． 【详解】解：()242221(1)(1)-=-=+-x x x x x x x ，故答案为：2(1)(1)+-x x x【点睛】本题考查了提公因式法和平方差公式，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．13. 已知点A （﹣2，b ）与点B （a ，3）关于原点对称，则a ﹣b =______． 【答案】5 【解析】【分析】根据平面直角坐标系中，关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，求出a ，b 的值即可．【详解】∵点A （﹣2，b ）与点B （a ，3）关于原点对称， ∴2a =，3b =-， ∴()235a b -=--= 故答案为：5．【点睛】本题考查平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标的特点，掌握特殊位置关系的点的坐标变化是解答本题的关键．14. 如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若S △ADE ＝2，则S △ABC ＝_____．【答案】8 【解析】【分析】根据三角形中位线定理求得DE ∥BC ，12DE BC =，从而求得△ADE ∽△ABC ，然后利用相似三角形的性质求解．【详解】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则DE 为中位线， 所以DE ∥BC ，12DE BC = 所以△ADE ∽△ABC∴21()4ADE ABC S DE S BC ==∵S△ADE=2，∴S△ABC=8故答案为：8．【点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知识点的掌握．15. 如图，AB与⊙O相切于点C，AO=3，⊙O的半径为2，则AC的长为_____．【解析】【分析】根据切线的性质得到∠OCA=90°，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：连接OC，∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB，即∠OCA=90°，在Rt△OCA中，AO=3 ，OC=2，∴AC=【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题关键．切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．16. 正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，则第27行的第21个数是_____．【答案】744 【解析】【分析】由题意知，第n 行有n 个数，第n 行的最后一个偶数为n （n +1），计算出第27行最后一个偶数，再减去与第21位之差即可得到答案．【详解】由题意知，第n 行有n 个数，第n 行的最后一个偶数为n （n +1）， ∴第27行的最后一个数，即第27个数为2728756⨯=，∴第27行的第21个数与第27个数差6位数，即75626744-⨯=， 故答案为：744．【点睛】本题考查数字类规律的探究，根据已知条件的数字排列找到规律，用含n 的代数式表示出来由此解决问题是解题的关键．三、解答题17. 计算：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（12）﹣1． 【答案】【解析】【分析】分别根据二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【详解】解：（3.14﹣π）0﹣1|+（12）﹣1．【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则是解答此题的关键．18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．()51313221x x x x ⎧->+⎨-≤+⎩①②【答案】23x <≤，数轴见解析 【解析】【分析】根据解一元一次不等式组的方法步骤求解，然后在数轴上把解集表示出来即可．【详解】解：()51313221x x x x ⎧->+⎨-≤+⎩①②由①得2x >，由②得3x ≤，该不等式组的解集为23x <≤， 在数轴上表示该不等式组的解集为：【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法步骤及用数轴表示不等式组的解集，熟练掌握相关解法步骤是解决问题的关键．19. 某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A 位于C 村西南方向和B 村南偏东60°方向上，C 村在B 村的正东方向且两村相距2.4千米．有关部门计划在B 、C 两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明． 1.73≈1.41）【答案】不穿过，理由见解析 【解析】【分析】先作AD ⊥BC ，再根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD =30°，设CD =x ，可表示AD 和BD ，然后根据特殊角三角函数值列出方程，求出AD ，与800米比较得出答案即可．【详解】不穿过，理由如下：过点A 作AD ⊥BC ，交BC 于点D ，根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD =30°. 设CD =x ，则BD=2.4-x ， 在Rt △ACD 中，∠ACD=45°， ∴∠CAD=45°， ∴AD=CD =x ．在Rt △ABD 中，t an 30A D B D︒=，即2.4x x =-， 解得x =0.88，可知AD=088千米=880米，因为880米＞800米，所以公路不穿过纪念园．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．20. 如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上， AB ＝ CD．求证：（1）AC ＝BD ； （2）△ABE ∽△DCE ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）两个等弧同时加上一段弧后两弧仍然相等；再通过同弧所对的弦相等证明即可；（2）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等即可证明相似． 【小问1详解】∵ AB ＝ CD∴ AB AD +＝ CD AD + ∴ BAD ADC =∴BD =AC 【小问2详解】 ∵∠B =∠C ；∠AEB =∠DEC ∴△ABE ∽△DCE【点睛】本题考查等弧所对弦相等、所对圆周角相等，掌握这些是本题关键．21. 电视剧《一代洪商》在中央电视台第八套播出后，怀化市各旅游景点知名度得到显菩提高．为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计图．.频数分布表 满意程度频数（人） 频率 非常满意50 0.5 满意30 0.3 一般 a c 不满意b 0.05 合计 100 1根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ；（2）求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数；（3）根据调查情况，请你对各景点的服务提一至两条合理建议．【答案】（1）15；5；0.15（2）54°（3）有理即可；见详解【解析】【分析】（1）根据图表信息进行求解即可；（2）根据满意度“一般”所占圆的的比例乘360°即可得α的度数；（3）根据图表数据给出合理建议即可；【小问1详解】解：1000.055b =⨯=（人）；1005030515a =---=（人）； 10.50.30.050.15c =---=【小问2详解】0.1536054⨯︒=︒答：扇形统计图中表示“一般”扇形圆心角α的度数为54°．【小问3详解】根据图表可以看出绝大多数还是相当满意的，所以我觉得我们可以多一些对细节的规划，在环境一块更加注重，做到尽善尽美，推出一些具备特色的服务项目，给到游客不一样的体验．【点睛】本题主要考查扇形统计图，圆心角的求解，解本题的关键在于需认真读题并正确计算出结果．22. 如图，在等边三角形ABC 中，点M 为AB 边上任意一点，延长BC 至点N ，使CN =AM ，连接MN 交AC 于点P ，MH ⊥AC 于点H ．（1）求证：MP =NP ；（2）若AB ＝a ，求线段PH 的长（结果用含a 的代数式表示）．【答案】（1）见详解；（2）0.5a ．【解析】【分析】（1）过点M 作MQ ∥CN ，证明MQP NCP ≅△△即可；（2）利用等边三角形的性质推出AH =HQ ，则PH =HQ +PQ =0.5（AQ +CQ ）．【小问1详解】如下图所示，过点M 作MQ ∥CN ，∵ABC 为等边三角形，MQ ∥CN ， ∴1AM AB AQ AC==， 则AM =AQ ，且∠A =60°，∴AMQ △为等边三角形，则MQ =AM =CN ，的又∵MQ ∥CN ，∴∠QMP =∠CNP ，在MQP NCP △与△中，MPQ NPC QMP CNP QM CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴MQP NCP ≅△△，则MP =NP ；【小问2详解】∵AMQ △为等边三角形，且MH ⊥AC ，∴AH =HQ ，又由（1）得，MQP NCP ≅△△，则PQ =PC ，∴PH =HQ +PQ =0.5（AQ +CQ ）=0.5AC =0.5a ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形全等的判定，正确作出辅助线是解题的关键．23. 去年防洪期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．（1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？（2）为支持今年防洪工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售． 优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折：若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a 套，购买费用为W 元，请写出W 关于a 的函数关系式．（3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？【答案】（1）每件雨衣40元，每双雨鞋35元（2）()600.954052705600.848305a a a W a a a ⨯⨯=≤<⎧=⎨+-⨯⨯=+≥⎩（3）最多可购买6套【解析】【分析】（1）根据题意，设每件雨衣()5+x 元，每双雨鞋x 元，列分式方程求解即可； （2）根据题意，按套装降价20%后得到每套60元，根据费用=单价×套数即可得出结论； （3）根据题意，结合（2）中所求，得出不等式4830320a +≤，求解后根据实际意义取值即可．【小问1详解】解：设每件雨衣()5+x 元，每双雨鞋x 元，则4003505x x=+，解得35x =， 经检验，35x =是原分式方程的根，540x ∴+=，答：每件雨衣40元，每双雨鞋35元；【小问2详解】解：根据题意，一套原价为354075+=元，下降20%后的现价为()75120%60⨯-=元，则()600.954,052705600.84830,5a a a W a a a ⨯⨯=≤<⎧=⎨+-⨯⨯=+≥⎩； 【小问3详解】解：320270> ，∴购买的套数在5a ≥范围内，即4830320a +≤，解得145 6.04224a ≤≈， 答：在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买6套．【点睛】本题考查实际应用题，涉及分式方程的实际应用、一次分段函数的实际应用和不等式解实际应用题等知识，熟练掌握实际应用题的求解步骤“设、列、解、答”，根据题意得出相应关系式是解决问题的关键．24. 如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y ＝ax 2+2x +c 经过点A (﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，顶点为点D ．在线段CB 上方的抛物线上有一动点P ，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，作PF ∥AB 交BC 于点F ．（1）求抛物线和直线BC 的函数表达式，（2）当△PEF 周长为最大值时，求点P 的坐标和△PEF 的周长．（3）若点G 是抛物线上的一个动点，点M 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C 、B 、G 、M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线函数表达式为2y x 2x 3=-++，直线BC 的函数表达式为3y x =-+ （2）点P 的坐标为 (32,154)，△PEF的周长为91)4（3）存在，(2，3)或(-2，-5)或(4，-5)【解析】【分析】（1）由点A ，B 的坐标，利用待定系数即可求解析式；（2）利用直线和抛物线的位置关系相切时对应的等腰直角三角形PEF 周长最大，二次函数与一次函数联立方程，根的判别式0∆=，从而找出对应点P 坐标，进而求出周长； （3）根据平行四边形对角线性质和中点公式，把BC 是否为对角线分情况进行分析，设出点G 的横坐标，利用中点公式列方程计算即可求解．【小问1详解】解：将点A (-1,0)，B (3,0)代入2y ax 2x c =++，得：02096a c a c =-+⎧⎨=++⎩ ，解得13a c =-⎧⎨=⎩， 所以抛物线解析式为2y x 2x 3=-++，C (0，3)的设直线BC 的函数表达式y kx b =+ ，将B (3，0)，C (0，3)代入得：033k b b =+⎧⎨=⎩ ，解得13k b =-⎧⎨=⎩， 所以直线BC 的函数表达式为3y x =-+【小问2详解】解：如图，设将直线BC 平移到与抛物线相切时的解析式为y x p =-+ ，与抛物线联立得：223y x p y x x =-+⎧⎨=-++⎩ 整理得2330x x p -+-=234(3)0p ∆=--= ，解得p =， 将214p =代入2330x x p -+-=，解得32x =， 将32x =代入2y x 2x 3=-++得154y =， 即△PEF 的周长为最大值时，点P 的坐标为 (32,154) 将32x =代入3y x =-+得32y =， 则此时1539424PF =-=，因为△PEF 为等腰直角三角形，94PE FE ===则△PEF 的周长最大为91)4+【小问3详解】答：存在．已知B (3，0)，C (0，3)，设点Ｇ(m ，223m m -++ )，N (1，n )，当BC 为平行四边形对角线时，根据中点公式得：13m += ，2m =，则G 点坐标为(2，3)；当BC 为平行四边形对角线时，同样利用中点坐标公式得：31m += 或31m -= ，解得2m =- 或4m = 则G 点坐标为(-2，-5)或(4，-5)故点G 坐标为(2，3)或(-2，-5)或(4，-5)【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、直线与抛物线的位置关系、根的判别式，等腰直角三角形性质，平行四边形的性质，解题的关键（1）根据点的坐标利用待定系数求解析式；（2利用直线和抛物线的位置关系，巧妙利用判别式；（3）熟悉平行四边形对角线性质，结合中点公式分情况展开讨论。
2022年湖南省怀化市中考数学试卷(解析版)
2022年湖南省怀化市中考数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）．1．（4分）﹣的相反数是（）A．B．2C．﹣D．﹣22．（4分）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个3．（4分）2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米．其中数据10909用科学记数法表示为（）A．10.909×102B．1.0909×103C．0.10909×104D．1.0909×1044．（4分）下列说法正确的是（）A．相等的角是对顶角B．对角线相等的四边形是矩形C．三角形的外心是它的三条角平分线的交点D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等5．（4分）下列计算正确的是（）A．（2a2）3＝6a6B．a8÷a2＝a4C．＝2D．（x﹣y）2＝x2﹣y26．（4分）下列一元二次方程有实数解的是（）A．2x2﹣x+1＝0B．x2﹣2x+2＝0C．x2+3x﹣2＝0D．x2+2＝07．（4分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形8．（4分）如图，△ABC沿BC方向平移后的像为△DEF，已知BC＝5，EC＝2，则平移的距离是（）A．1B．2C．3D．49．（4分）从下列一组数﹣2，π，﹣，﹣0.12，0，﹣中随机抽取一个数，这个数是负数的概率为（）A．B．C．D．10．（4分）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图象于A、B 两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（）A．8B．9C．10D．11二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11．（4分）计算﹣＝．12．（4分）因式分解：x2﹣x4＝．13．（4分）已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b＝．14．（4分）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝．15．（4分）如图，AB与⊙O相切于点C，AO＝3，⊙O的半径为2，则AC的长为．16．（4分）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，则第27行的第21个数是．三、解答题（本大题共8小题，共86分）17．（8分）计算：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（）﹣1﹣．18．（8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．19．（10分）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上．C村在B村的正东方向且两村相距2.4km．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．（参考数据：≈1.73，≈1.41）20．（10分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：（1）AC＝BD；（2）△ABE∽△DCE．21．（12分）电视剧《一代洪商》在中央电视台第八套播出后，怀化市各旅游景点知名度得到显著提高．为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计图．频数分布表满意程度频数（人）频率非常满意500.5满意300.3一般a c不满意b0.05合计1001根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝，c＝；（2）求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数；（3）根据调查情况，请你对各景点的服务提一至两条合理建议．22．（12分）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．23．（12分）去年防汛期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．（1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？（2）为支持今年防汛工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折；若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a套，购买费用为W元，请写出W关于a的函数关系式．（3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？24．（14分）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B （3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P 作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．2022年湖南省怀化市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）．1．（4分）﹣的相反数是（）A．B．2C．﹣D．﹣2【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．【解答】解：﹣的相反数是，故选：A．【点评】本题考查了相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．2．（4分）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式叫做分式判断即可．【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．【点评】本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式叫做分式是解题的关键，注意π是数字．3．（4分）2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米．其中数据10909用科学记数法表示为（）A．10.909×102B．1.0909×103C．0.10909×104D．1.0909×104【分析】把比较大的数写成a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数即可得出答案．【解答】解：10909＝1.0909×104，故选：D．【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握10的指数比原来的整数位数少1是解题的关键．4．（4分）下列说法正确的是（）A．相等的角是对顶角B．对角线相等的四边形是矩形C．三角形的外心是它的三条角平分线的交点D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等【分析】根据对顶角的定义，矩形的判定，三角形的外心，线段垂直平分线的性质可得出答案．【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法错误，不符合题意；B、对角线相等的四边形不一定是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；C、三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点，故本选项说法错误，不符合题意；D、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了矩形的判定，三角形的外心，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关定理以及性质进而判定出命题的正确性．5．（4分）下列计算正确的是（）A．（2a2）3＝6a6B．a8÷a2＝a4C．＝2D．（x﹣y）2＝x2﹣y2【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、二次根式的性质、完全平方公式分别计算，进而得出答案．【解答】解：A．（2a2）3＝8a6，故此选项不合题意；B．a8÷a2＝a6，故此选项不合题意；C.＝2，故此选项符合题意；D．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算、二次根式的性质、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．6．（4分）下列一元二次方程有实数解的是（）A．2x2﹣x+1＝0B．x2﹣2x+2＝0C．x2+3x﹣2＝0D．x2+2＝0【分析】根据各方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可求出各方程根的判别式Δ的值，取Δ≥0的选项即可得出结论．【解答】解：A．∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2×1＝﹣7＜0，∴方程2x2﹣x+1＝0没有实数根；B．∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，∴方程x2﹣2x+2＝0没有实数根；C．∵Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，∴方程x2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根；D．∵Δ＝02﹣4×1×2＝﹣8＜0，∴方程x2+2＝0没有实数根．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．7．（4分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形【分析】根据多边形的内角和公式：（n﹣2）•180°列出方程，解方程即可得出答案．【解答】解：设多边形的边数为n，（n﹣2）•180°＝900°，解得：n＝7．故选：A．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，体现了方程思想，掌握多边形的内角和＝（n ﹣2）•180°是解题的关键．8．（4分）如图，△ABC沿BC方向平移后的像为△DEF，已知BC＝5，EC＝2，则平移的距离是（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用平移的性质，找对应点，对应点间的距离就是平移的距离．【解答】解：点B平移后对应点是点E．∴线段BE就是平移距离，∵已知BC＝5，EC＝2，∴BE＝BC﹣EC＝5﹣2＝3．故选：C．【点评】考查图形平移性质，关键找到平移前后的对应点．9．（4分）从下列一组数﹣2，π，﹣，﹣0.12，0，﹣中随机抽取一个数，这个数是负数的概率为（）A．B．C．D．【分析】首先确定这组数据的负数的个数，然后再利用概率的公式求解即可．【解答】这组数据共有6个数，其中是负数的有﹣2，﹣，﹣0.12，﹣这4个，∴P（随机抽取一个数，这个数是负数）＝．故选：B．【点评】本题主要考查随机事件概率的求法．10．（4分）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图象于A、B 两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（）A．8B．9C．10D．11【分析】设点B的坐标为（a，），然后根据三角形面积公式列方程求解．【解答】解：设点B的坐标为（a，），∵S△BCD＝5，且a＞1，∴×a×＝5，解得：a＝11，经检验，a＝11是原分式方程的解，故选：D．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，准确识图，理解反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键．二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11．（4分）计算﹣＝1．【分析】原式利用通分分式的减法法则计算，约分即可得到结果．【解答】解：原式＝＝＝1．故答案为：1．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（4分）因式分解：x2﹣x4＝x2（1+x）（1﹣x）．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝x2（1﹣x2）＝x2（1+x）（1﹣x）．故答案为：x2（1+x）（1﹣x）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13．（4分）已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b＝5．【分析】根据关于原点对称的点的坐标，可得答案．【解答】解：∵点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，∴a＝2，b＝﹣3，∴a﹣b＝2+3＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的坐标规律得出a，b是解题关键．14．（4分）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝8．【分析】由中位线定理可得线段DE与BC的比，即可得出△ADE与△ABC的比，又已知△ADE的面积，进而即可得出△ABC的面积．【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE：BC＝1：2，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，即，∴S△ABC＝8．故答案为：8．【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理以及相似三角形面积比与对应边之比的关系，证明△ADE∽△ABC是解题的关键．15．（4分）如图，AB与⊙O相切于点C，AO＝3，⊙O的半径为2，则AC的长为．【分析】连接OC，根据切线的性质得到OC⊥AC，再根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：连接OC，∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AC，在Rt△AOC中，OC＝2，OA＝3，则AC＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是切线的性质、勾股定理，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．16．（4分）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，则第27行的第21个数是744．【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••第n行有n个数，则前n行共有个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【解答】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•第n行有n个数．∴前n行共有个数．∴前27行共有378个数，∴第27行第21个数是一共378个数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2＝744．故答案为：744．【点评】本题考查了数列的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．三、解答题（本大题共8小题，共86分）17．（8分）计算：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（）﹣1﹣．【分析】根据零指数幂，绝对值，负整数指数幂，二次根式的化简计算即可．【解答】解：原式＝1+﹣1+2﹣2＝2﹣．【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，绝对值，负整数指数幂，考查学生的运算能力，掌握a0＝1（a≠0），a﹣p＝（a≠0）是解题的关键．18．（8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．【解答】解：，解不等式①，得：x＞2，解不等式②，得：x≤3，∴原不等式组的解集是2＜x≤3，其解集在数轴上表示如下：．【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．19．（10分）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上．C村在B村的正东方向且两村相距2.4km．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．（参考数据：≈1.73，≈1.41）【分析】过A点作AD⊥BC于D点，根据题意可得BD＝AD，CD＝AD，由BC＝2400m 可得关于AD的方程，计算可求解AD的长，进而可求解．【解答】解：过A点作AD⊥BC于D点，由题意知：∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝45°，∴BD＝AD，CD＝AD，∵BC＝2.4km＝2400m，∴AD+AD＝2400，解得：AD＝1200（﹣1）≈876＞800，故该公路不能穿过纪念园．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣方向角，构造直角三角形是解题的关键．20．（10分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：（1）AC＝BD；（2）△ABE∽△DCE．【分析】（1）根据等式的性质可得：，再由圆心角，弧，弦的关系可得结论；（2）根据两角相等可证明两三角形相似．【解答】证明：（1）∵＝，∴，∴AC＝BD；（2）∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△ABE∽△DCE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系．根据已知条件推知AC＝BD是解题的难点．21．（12分）电视剧《一代洪商》在中央电视台第八套播出后，怀化市各旅游景点知名度得到显著提高．为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计图．频数分布表满意程度频数（人）频率非常满意500.5满意300.3一般a c不满意b0.05合计1001根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）a＝15，b＝5，c＝0.15；（2）求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数；（3）根据调查情况，请你对各景点的服务提一至两条合理建议．【分析】（1）用样本容量乘“不满意”的频率求出b，进而求出a、c的值；（2）用360°乘“一般”的频率即可；（3）根据频数分布表的数据提出建议即可．【解答】解：（1）由题意得，b＝100×0.05＝5，a＝100﹣50﹣30﹣5＝15，c＝1﹣0.5﹣0.3﹣0.05＝0.15，故答案为：15；5；0.15；（2）扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数为360°×0.15＝54°；（3）在调查数据中，还有约20%的游客对服务态度表示“一般”或“不满意”，说明旅游质量还有待提高．（答案不唯一）．【点评】此题考查了频数（率）分布直方图，中位数，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．22．（12分）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．【分析】（1）过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得∠AMQ＝∠AQM＝∠A＝60°，可得△AMQ是等边三角形，易证△QMP≌△CNP（AAS），即可得证；（2）根据等边三角形的性质可知AH＝HQ，根据全等三角形的性质可知QP＝PC，即可表示出HP的长．【解答】（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵MQ∥BC，∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，∴△AMQ是等边三角形，∴AM＝QM，∵AM＝CN，∴QM＝CN，在△QMP和△CNP中，，∴△QMP≌△CNP（AAS），∴MP＝NP；（2）解：∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，∴AH＝HQ，∵△QMP≌△CNP，∴QP＝CP，∴PH＝HQ+QP＝AC，∵AB＝a，AB＝AC，∴PH＝a．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．23．（12分）去年防汛期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．（1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？（2）为支持今年防汛工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折；若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a套，购买费用为W元，请写出W关于a的函数关系式．（3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？【分析】（1）设每件雨衣x元，则每双雨鞋（x﹣5）元，根据购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双）列出方程并解答；（2）根据题意求出a的取值范围，并求出w与a的关系式解答即可；（3）根据题意列出不等式并解答．【解答】解：（1）设每件雨衣x元，则每双雨鞋（x﹣5）元，根据题意，得，解得x＝40，经检验x＝40是所列方程的根，并符合题意．所以x﹣5＝35，答：每件雨衣40元，则每双雨鞋35元；（2）由题意知，一套雨衣雨鞋的单价为：（40+35）×（1﹣20%）＝60（元），当购买a套雨衣和雨鞋a≤5时，费用为w＝0.9x60a＝54a；当购买a套雨衣和雨鞋a＞5时，费用为w＝0.9×60×5+（a﹣5）×60×0.8＝48a+30，∴W关于a的函数关系式为：w＝；（3）由题意得：48a+30≤320，解得a≤，答：最多可购买6套．【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．24．（14分）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B （3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P 作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为方程组，求出a，c的值，设BC的解析式为y＝kx+b，把B，C两点坐标代入求出k，b即可；（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，﹣m2+2m+3），证明△PEF是等腰直角三角形，求出PE的最大值，可得结论；（3）存在．如图二中，设M（1，t），G（m，﹣m2+2m+3）．分两种情形：CB为平行四边形的边，CB为平行四边形的对角线，分别构建方程求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，可得y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，∴，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，﹣m2+2m+3），∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝45°，∵PF∥AB，∴∠PFE＝∠OBC＝45°，∵PE⊥BC，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE的值最大时，△PEF的周长最大，∵S△PBC＝S△POB+S△POC﹣S△OBC＝×3×（﹣m2+2m+3）+×3×m﹣×3×3＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴m＝时，△PBC的面积最大，面积的最大值为，此时PE的值最大，∵×3×PE＝，∴PE＝，∴△PEF的周长的最大值＝++＝+，此时P（，）；（3）存在．理由：如图二中，设M（1，t），G（m，﹣m2+2m+3）．当BC为平行四边形的边时，则有|1﹣m|＝3，解得m＝﹣2或4，∴G（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），当BC为平行四边形的对角线时，（1+m）＝（0+3），∴m＝2，∴G（2，3），综上所述，满足条件的点G的坐标为（﹣2，5）或（4，﹣5）或（2，3）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
怀化中考数学试题及答案
怀化中考数学试题及答案第一部分：选择题（共20题，每小题4分，共80分）1. 计算：(5a^2−7 +2a^2+3a−8)−(7a-6−3a^2−2a+7)答案：−4a^2 + 5a - 222. 方程a^2−2aa+5a^2=0有两个互倾直线，则a的取值范围是？答案：a<03. Δaaa是边长为2的等边三角形，M、N分别是AB、AC的中点，连接CM与BN，用s表示△MBN三个点的面积．（1）求△MBN的周长；（2）求△MBN与△ABC的面积比s：△ABC。
答案：（1）2+a；（2）s：△ABC=3:104. 在平面直角坐标系中，函数a(a)=2a^2−2aa+a与a轴交于两个点M、N．如果MN的中点的坐标是(1, 1)，则a与b的值分别是？答案：a = 1, b = −15. 若3a^2−aa+1=0有实数根x_1=a_2，求a的取值范围。
答案：a ≤ 66. 在△ABC中，AC=BC=a，D为BC的中点，连接AD并延长到B点，使得BD=DE．若∠BDA=60∘，求∠ABC的大小。
7. 方程a^2−(a+2)a+a=0无解，则a的取值范围是？答案：a < -48. 已知等差数列{aa}的前n项和为S_n=\frac{3n^2+1}{n+1}，则该等差数列的通项公式为？答案：a_a=\frac{1}{2}(2n+1)9. 在折线图中，标出了2016年至2019年某城市某景区四年来的游客数量（单位：千人/年）数据。
已知，2016年和2017年的游客数量之比为15：13，2018年和2019年的游客数量之比为11：17。
问2017年和2018年的游客数量之比为？答案：13:1110. 在平面直角坐标系中，直线a=−a将第一象限分成两部分，若点(a,−a^2)在第一部分中，那么点(a^2, 2a)在第几象限？答案：第四象限11. 在△ABC中，角A的对边是a，角C的对边是c，设tana=4/3，tanB=c/a，则角B的大小为？答案：60°12. 函数f(x)＝kx＋2△ABC（AB＝AC）中，点D为AB延长线的一点，且AD＝AC，则函数满足f(k)＝_______与f(x)＝1有且仅有一个公共点。
2023年湖南省怀化市中考数学真题(原卷版和解析版)
怀化市2023年初中学业水平考试试卷数学温馨提示：1.本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量为120分钟，满分150分．2.请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上．3.请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效．一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）1.下列四个实数中，最小的数是（）A.5- B.0 C.12D.2.2023年4月12日21时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”——世界首个全超导托卡马克东方超环（EAST ）装置取得重大成果，在第122254次实验中成功实现了403秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造了托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录．数据122254用科学记数法表示为（）A.412.225410⨯B.41.2225410⨯C.51.2225410⨯ D.60.12225410⨯3.下列计算正确的是（）A.235a a a ⋅= B.623a a a ÷= C.()2329ab a b = D.523a a -=4.剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术．民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，点(2,3)P -关于x 轴对称的点P '的坐标是（）A.(2,3)-- B.(2,3)- C.(2,3)- D.(2,3)6.如图，平移直线AB 至CD ，直线AB ，CD 被直线EF 所截，160∠=︒，则2∠的度数为（）A.30︒B.60︒C.100︒D.120︒7.某县“三独”比赛独唱项目中，5名同学的得分分别是：9.6，9.2，9.6，9.7，9.4.关于这组数据，下列说法正确的是（）A.众数是9.6B.中位数是9.5C.平均数是9.4D.方差是0.38.下列说法错误的是（）A.成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件B.一元二次方程230x x ++=有两个相等的实数根C.任意多边形的外角和等于360︒D.三角形三条中线的交点叫作三角形的重心9.已知压力(N)F 、压强(Pa)p 与受力面积()2m S 之间有如下关系式：F pS =．当F 为定值时，下图中大致表示压强p 与受力面积S 之间函数关系的是（）A. B. C. D.10.如图，反比例函数(0)ky k x=>的图象与过点(1,0)-的直线AB 相交于A 、B 两点．已知点A 的坐标为(1,3)，点C 为x 轴上任意一点．如果9ABC S = ，那么点C 的坐标为（）A.(3,0)-B.(5,0)C.(3,0)-或(5,0)D.(3,0)或(5,0)-二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11.有意义，则x 的取值范围是__________．12.分解因式：2242a a -+=_____．13.已知关于x 的一元二次方程220x mx +-=的一个根为1-，则m 的值为__________，另一个根为__________．14.定义新运算：(,)(,)a b c d ac bd ⋅=+，其中a ，b ，c ，d 为实数．例如：(1,2)(3,4)132411⋅=⨯+⨯=．如果(2,3)(3,1)3x ⋅-=，那么x =__________．15.如图，点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上的一点，PE AD ⊥于点E ，3PE =．则点P 到直线AB 的距离为__________．16.在平面直角坐标系中，AOB 为等边三角形，点A 的坐标为()1,0．把AOB 按如图所示的方式放置，并将AOB 进行变换：第一次变换将AOB 绕着原点O 顺时针旋转60︒，同时边长扩大为AOB 边长的2倍，得到11A OB △；第二次旋转将11A OB △绕着原点O 顺时针旋转60︒，同时边长扩大为11A OB △，边长的2倍，得到22A OB △，…．依次类推，得到20332033A OB ，则20232033A OB △的边长为__________，点2023A 的坐标为__________．三、解答题（本大题共8小题，共86分）17.计算：()101121sin 451(1)3-⎛⎫-+-︒--- ⎪⎝⎭18.先化简234111a a a -⎛⎫+÷⎪--⎝⎭，再从1-，0，1，2中选择一个适当的数作为a 的值代入求值．19.如图，矩形ABCD 中，过对角线BD 的中点O 作BD 的垂线EF ，分别交AD ，BC 于点E ，F ．（1）证明：BOF DOE ≌△△；（2）连接BE 、DF ，证明：四边形EBFD 是菱形．20.为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD （碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A 点用测角仪测得碑顶D 的仰角为30︒，在B 点处测得碑顶D 的仰角为60︒，已知35m AB =，测角仪的高度是1.5m （A 、B 、C 在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD ．（ 1.732≈，结果保留一位小数）21.近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：（1）所抽取的学生人数为__________；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；（3）该校共有学生3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数．22.如图，AB 是O 的直径，点P 是O 外一点，PA 与O 相切于点A ，点C 为O 上的一点．连接PC 、AC 、OC ，且PC PA =．（1）求证：PC 为O 的切线；（2）延长PC 与AB 的延长线交于点D ，求证：PD OC PA OD ⋅=⋅；（3）若308CAB OD ∠=︒=，，求阴影部分的面积．23.某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A 种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B 种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．（1）求原计划租用A 种客车多少辆？这次研学去了多少人？（2）若该校计划租用A 、B 两种客车共25辆，要求B 种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？（3）在（2）的条件下，若A 种客车租金为每辆220元，B 种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？24.如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线28y ax bx =+-与x 轴交于(4,0)(2,0)A B -、两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；（2）点P 为第三象限内抛物线上一点，作直线AC ，连接PA 、PC ，求PAC △面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）设直线135:4l y kx k =+-交抛物线于点M 、N ，求证：无论k 为何值，平行于x 轴的直线237:4l y =-为直角．上总存在一点E，使得MEN怀化市2023年初中学业水平考试试卷数学温馨提示：1.本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量为120分钟，满分150分．2.请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上．3.请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效．一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）1.下列四个实数中，最小的数是（）A.5-B.0C.12D.【答案】A 【解析】【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最小的数即可．【详解】1502-<<< ∴最小的数是：5-故选：A ．【点睛】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．2.2023年4月12日21时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”——世界首个全超导托卡马克东方超环（EAST ）装置取得重大成果，在第122254次实验中成功实现了403秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造了托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录．数据122254用科学记数法表示为（）A.412.225410⨯B.41.2225410⨯ C.51.2225410⨯ D.60.12225410⨯【答案】C 【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：数据122254用科学记数法表示为51.2225410⨯，故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是科学记数法—表示较绝对值较大的数．把一个大于等于10的数写成科学记数法10n a ⨯的形式时，将小数点放到左边第一个不为0的数位后作为a ，把整数位数减1作为n ，从而确定它的科学记数法形式．3.下列计算正确的是（）A.235a a a ⋅=B.623a a a ÷= C.()2329ab a b = D.523a a -=【答案】A 【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方、合并同类项分别计算后，即可得到答案．【详解】解：A ．235a a a ⋅=，故选项正确，符合题意；B ．624a a a ÷=，故选项错误，不符合题意；C ．()2326ab a b =，故选项错误，不符合题意；D ．523a a a -=，故选项错误，不符合题意．故选：A ．【点睛】此题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．4.剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术．民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A 选项不合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B 选项不合题意．C 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故C 选项符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D 选项不合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．5.在平面直角坐标系中，点(2,3)P -关于x 轴对称的点P '的坐标是（）A.(2,3)--B.(2,3)- C.(2,3)- D.(2,3)【答案】D 【解析】【分析】根据关于x 轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求解．【详解】解：点(2,3)P -关于x 轴对称的点P '的坐标是(2,3)，故选：D ．【点睛】本题考查了关于x 轴对称的两个点的坐标特征，熟练掌握关于x 轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键．6.如图，平移直线AB 至CD ，直线AB ，CD 被直线EF 所截，160∠=︒，则2∠的度数为（）A.30︒B.60︒C.100︒D.120︒【答案】B 【解析】【分析】根据平移可得AB CD ∥，根据平行线的性质以及对顶角相等，即可求解．【详解】解：如图所示，∵平移直线AB 至CD∴AB CD ∥，160∠=︒，∴13∠=∠,又∵23∠∠=，∴2160∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．7.某县“三独”比赛独唱项目中，5名同学的得分分别是：9.6，9.2，9.6，9.7，9.4.关于这组数据，下列说法正确的是（）A.众数是9.6B.中位数是9.5C.平均数是9.4D.方差是0.3【答案】A 【解析】【分析】先把5个数据按从小到大的顺序排列，而后用中位数，众数，平均数和方差的定义及计算方法逐一判断．【详解】解：5个数按从小到大的顺序排列9.2，9.4，9.6，9.6，9.7，A 、9.6出现次数最多，众数是9.6，故正确，符合题意；B 、中位数是9.6，故不正确，不符合题意；C 、平均数是()19.2+9.4+9.62+9.7=9.55⨯，故不正确，不符合题意；D 、方差是()()()()222219.29.5+9.49.5+29.69.5+9.79.5=0.0325⎡⎤⨯----⎣⎦，故不正确，不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了中位数，众数，平均数和方差，熟练掌握这些定义及计算方法是解决此类问题的关键．8.下列说法错误的是（）A.成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件B.一元二次方程230x x ++=有两个相等的实数根C.任意多边形的外角和等于360︒D.三角形三条中线的交点叫作三角形的重心【答案】B 【解析】【分析】根据不可能事件、根的判别式、多边形的外角和以及三角形的重心的定义分别进行判断即可．【详解】解：A 、成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件，故此选项不符合题意；B 、21413110∆=-⨯⨯=-<，则一元二次方程230x x ++=没有实数根，故此选项符合题意；C 、任意多边形的外角和等于360︒，故此选项不符合题意；D 、三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，故此选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查不可能事件、根的判别式、多边形的外角和以及三角形的重心的定义，熟练掌握有关知识点是解题的关键．9.已知压力(N)F 、压强(Pa)p 与受力面积()2m S 之间有如下关系式：F pS =．当F 为定值时，下图中大致表示压强p 与受力面积S 之间函数关系的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数的定义，即可得到答案．【详解】解：根据题意得：F P S=，∴当物体的压力F 为定值时，该物体的压强P 与受力面积S 的函数关系式是：F P S =，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．故选：D ．【点睛】本题主要考查反比例函数，掌握F P S =以及反比例函数的定义，是解题的关键．10.如图，反比例函数(0)k y k x=>的图象与过点(1,0)-的直线AB 相交于A 、B 两点．已知点A 的坐标为(1,3)，点C 为x 轴上任意一点．如果9ABC S = ，那么点C 的坐标为（）A.(3,0)- B.(5,0) C.(3,0)-或(5,0) D.(3,0)或(5,0)-【答案】D【解析】【分析】反比例函数(0)k y k x =>的图象过点(1,3)，可得3y x =，进而求得直线AB 的解析式为3322y x =+，得出B 点的坐标，设(),0C c ，根据1313922ABC S c ⎛⎫=⨯+⨯+= ⎪⎝⎭ ，解方程即可求解．【详解】解：∵反比例函数(0)k y k x=>的图象过点(1,3)∴133k =⨯=∴3y x =设直线AB 的解析式为y mx n =+，∴30m n m n =+⎧⎨=-+⎩，解得：3232m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴直线AB 的解析式为3322y x =+，联立33223y x y x⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：13x y =⎧⎨=⎩或232x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴32,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，设(),0C c ，∵1313922ABC S c ⎛⎫=⨯+⨯+= ⎪⎝⎭ ，解得：3c =或5c =-，∴C 的坐标为(3,0)或(5,0)-，故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数与反比例数交点问题，待定系数法求解析式，求得点B 的坐标是解题的关键．二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11.有意义，则x 的取值范围是__________．【答案】9x ≥【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件得出90x -≥，即可求解．∴90x -≥，解得：9x ≥，故答案为：9x ≥．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．12.分解因式：2242a a -+=_____．【答案】()221a -【解析】【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：原式()()2222121a a a =-+=-，故答案为：()221a -．13.已知关于x 的一元二次方程220x mx +-=的一个根为1-，则m 的值为__________，另一个根为__________．【答案】①.1-②.2【解析】【分析】将=1x -代入原方程，解得m ，根据一元二次方程根与系数的关系，得出122x x ⨯=-，即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程220x mx +-=的一个根为1-，∴120m --=解得：1m =-，设原方程的另一个根为2x ，则12·2x x =-，∵11x =-∴22x =故答案为：12-，．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．14.定义新运算：(,)(,)a b c d ac bd ⋅=+，其中a ，b ，c ，d 为实数．例如：(1,2)(3,4)132411⋅=⨯+⨯=．如果(2,3)(3,1)3x ⋅-=，那么x =__________．【答案】1【解析】【分析】根据新定义列出一元一次方程，解方程即可求解．【详解】解：∵(2,3)(3,1)3x ⋅-=∴()23313x ⨯+⨯-=即66x =解得：1x =故答案为：1．【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据题意列出方程解题的关键．15.如图，点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上的一点，PE AD ⊥于点E ，3PE =．则点P 到直线AB 的距离为__________．【答案】3【解析】【分析】过点P 作PQ AB ⊥于Q ，证明四边形四边形AEPQ 是正方形，即可求解．【详解】解：如图所示，过点P 作PQ AB ⊥于Q ，∵点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上的一点，PE AD ⊥于点E∴四边形AEPQ 是矩形，45EAP ∠=︒∴AEP △是等腰直角三角形，∴AE EP=∴四边形AEPQ 是正方形，∴3PQ EP ==，即点P 到直线AB 的距离为3故答案为：3．【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，点到直线的距离，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的关键．16.在平面直角坐标系中，AOB 为等边三角形，点A 的坐标为()1,0．把AOB 按如图所示的方式放置，并将AOB 进行变换：第一次变换将AOB 绕着原点O 顺时针旋转60︒，同时边长扩大为AOB 边长的2倍，得到11A OB △；第二次旋转将11A OB △绕着原点O 顺时针旋转60︒，同时边长扩大为11A OB △，边长的2倍，得到22A OB △，…．依次类推，得到20332033A OB ，则20232033A OB △的边长为__________，点2023A 的坐标为__________．【答案】①.20232②.()202220222,32【解析】【分析】根据旋转角度为60︒，可知每旋转6次后点A 又回到x 轴的正半轴上，故点2023A 在第四象限，且202320232OA =，即可求解．【详解】解：∵AOB 为等边三角形，点A 的坐标为()1,0，∴1OA =，∵每次旋转角度为60︒，∴6次旋转360︒，第一次旋转后，1A 在第四象限，12OA =，第二次旋转后，2A 在第三象限，222OA =，第三次旋转后，3A 在x 轴负半轴，332OA =，第四次旋转后，4A 在第二象限，442OA =，第五次旋转后，5A 在第一象限，552OA =，第六次旋转后，6A 在x 轴正半轴，662OA =，……如此循环，每旋转6次，点A 的对应点又回到x 轴正半轴，∵202363371÷= ，点2023A 在第四象限，且202320232OA =，如图，过点2023A 作2023A H x ⊥轴于H ，在在2023Rt OHA 中，202360HOA ∠=︒，∴202320232022202320231cos 2cos60222OH OA HOA =⋅∠=⨯︒=⨯=，202320222023202320233sin 222A H OA HOA =⋅∠=⨯=，∴点2023A 的坐标为()202220222,2．故答案为：20232，()202220222,2．【点睛】本题考查图形的旋转，解直角三角形的应用．熟练掌握图形旋转的性质，根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共86分）17.计算：()101121sin 451(1)3-⎛⎫-+-︒--- ⎪⎝⎭【答案】18-【解析】【分析】先计算负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、减法运算，再进行加减混合运算即可．【详解】解：()101121sin 451(1)3-⎛⎫-+-︒--- ⎪⎝⎭1213311=-+-++18=-【点睛】此题考查了实数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．18.先化简234111a a a -⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，再从1-，0，1，2中选择一个适当的数作为a 的值代入求值．【答案】12a -，当1a =-时，原式为13-；当0a =时，原式为12-．【解析】【分析】本题先对要求的式子进行化简，再选取一个适当的数代入即可求出结果．【详解】解：234111a a a -⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭()()2213111a a a a a a +--⎛⎫=+÷ ⎪---⎝⎭()()21122a a a a a +-=⋅-+-12a =-，当a 取2-，1，2时分式没有意义，所以1a =-或0，当1a =-时，原式11123==---；当0a =时，原式11022==--．【点睛】本题考查分式的化简求值，解题时要注意先对括号里边进行通分，再约分化简．19.如图，矩形ABCD 中，过对角线BD 的中点O 作BD 的垂线EF ，分别交AD ，BC 于点E ，F ．（1）证明：BOF DOE ≌△△；（2）连接BE 、DF ，证明：四边形EBFD 是菱形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得出AD BC ∥，则12,34∠=∠∠=∠，根据O 是BD 的中点，可得BO DO =，即可证明()AAS BOF DOE ≌△△；（2）根据BOF DOE ≌△△可得ED BF =，进而可得四边形EBFD 是平行四边形，根据对角线互相垂直的四边形是菱形，即可得证．【小问1详解】证明：如图所示，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，∴12,34∠=∠∠=∠，∵O 是BD 的中点，∴BO DO =，在BOF 与DOE 中1234BO DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS BOF DOE ≌△△；【小问2详解】∵BOF DOE≌△△∴ED BF =，又∵ED BF∥∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF BD⊥∴四边形EBFD 是菱形．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键．20.为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD （碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A 点用测角仪测得碑顶D 的仰角为30︒，在B 点处测得碑顶D 的仰角为60︒，已知35m AB =，测角仪的高度是1.5m （A 、B 、C 在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD ．（ 1.732≈，结果保留一位小数）【答案】烈士纪念碑的通高CD 约为31.8米【解析】【分析】根据题意，四边形,,AMNB NBCE AMEC 是矩形， 1.5CE =米，35MN AB ==米，根据三角形的外角的性质得出，30NMD MDN ∠=∠=︒，等角对等边得出35ND NM ==，进而解Rt DEN ，求得DE ，最后根据CD DE CE =+，即可求解．【详解】解：依题意，四边形,,AMNB NBCE AMEC 是矩形， 1.5CE =米，35MN AB ==米，∵30,60DMN DNE ∠=︒∠=︒∴30MDN DNE DMN ∠=∠-∠=︒∴30NMD MDN ∠=∠=︒，∴35ND NM ==米，在Rt DEN 中，sin DE DNE DN ∠=∴sin 603530.32DE DN =⋅︒=⨯≈米∴ 1.530.331.8CD CE DE =+=+=米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．21.近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：（1）所抽取的学生人数为__________；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；（3）该校共有学生3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数．【答案】（1）200人（2）统计图见解析，126︒（3）1050人【解析】【分析】（1）用“视力正常”的人数除以其人数占比即可求出抽取的学生人数；（2）先求出“中度近视”的人数，进而求出“轻度近视”的人数，由此补全统计图即可；再用360︒乘以“轻度近视”的人数占比即可求出对应的圆心角度数；（3）用3000乘以样本中“轻度近视”的人数占比即可得到答案．【小问1详解】解：9045%200÷=人，∴所抽取的学生人数为200人，故答案为：200；【小问2详解】解：中度近视的人数为20015%30⨯=人，“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数为70360126200︒⨯=︒∴高度近视的人数为20090703010---=人，补全统计图如下：【小问3详解】解：7030001050200⨯=人，∴估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数为1050人．【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键．22.如图，AB 是O 的直径，点P 是O 外一点，PA 与O 相切于点A ，点C 为O 上的一点．连接PC 、AC 、OC ，且PC PA =．（1）求证：PC 为O 的切线；（2）延长PC 与AB 的延长线交于点D ，求证：PD OC PA OD ⋅=⋅；（3）若308CAB OD ∠=︒=，，求阴影部分的面积．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）883π3-【解析】【分析】（1）连接PO ，证明 ≌PAO PCO ，即可得证；（2）根据sin OC PAD OD PD==，即可得证；（3）根据圆周角定理得出260COD CAB ∠=∠=︒，进而勾股定理求得CD ，根据OCD OBC S S S =- 阴影扇形，即可求解．【小问1详解】证明：∵PA 是O 的切线，∴90PAO ∠=︒如图所示，连接PO在PAO 与PCO △中，PA PC OA OC PO PO =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ ≌PAO PCO ()SSS 90PCO PAO ∴∠=∠=︒∵C 为O 上的一点．∴PC 是O 的切线；【小问2详解】∵PC 是O 的切线；∴OC PD ⊥，∴sin OC PAD OD PD==∴PD OC PA OD ⋅=⋅【小问3详解】解：∵ BCBC =，308CAB OD ∠=︒=，∴260COD CAB ∠=∠=︒，∵OC PD ⊥∴30D ∠=︒，142OC OD ==∴CD =，∴2160π2360OCD OBC S S S CO CD CO =-=⨯⨯-⨯ 阴影扇形21144π26=⨯⨯⨯π38=【点睛】本题考查了切线的性质与判定，圆周角定理，求含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键．23.某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A 种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B 种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．（1）求原计划租用A 种客车多少辆？这次研学去了多少人？（2）若该校计划租用A 、B 两种客车共25辆，要求B 种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？（3）在（2）的条件下，若A 种客车租金为每辆220元，B 种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？【答案】（1）原计划租用A 种客车26辆，这次研学去了1200人（2）共有3种租车方案，方案一：租用A 种客车18辆，则租用B 种客车7辆；方案二：租用A 种客车19辆，则租用B 种客车6辆；方案三：租用A 种客车20辆，则租用B 种客车5辆，（3）租用A 种客车20辆，则租用B 种客车5辆才最合算【解析】【分析】（1）设原计划租用A 种客车x 辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；（2）设租用A 种客车a 辆，则租用B 种客车()25a -辆，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；（3）分别求得三种方案的费用，进而即可求解．【小问1详解】解：设原计划租用A 种客车x 辆，根据题意得，()4530606x x +=-，解得：26x =所以()602661200-=（人）答：原计划租用A 种客车26辆，这次研学去了1200人；【小问2详解】解：设租用A 种客车a 辆，则租用B 种客车()25a -辆，根据题意，得()2574560251200a a a -≤⎧⎨+-≥⎩解得：1820a ≤≤，∵a 为正整数，则18,19,20a =，∴共有3种租车方案，方案一：租用A 种客车18辆，则租用B 种客车7辆，方案二：租用A 种客车19辆，则租用B 种客车6辆，方案三：租用A 种客车20辆，则租用B 种客车5辆，【小问3详解】∵A 种客车租金为每辆220元，B 种客车租金每辆300元，∴B 种客车越少，费用越低，方案一：租用A 种客车18辆，则租用B 种客车7辆，费用为1822073006060⨯+⨯=元，方案二：租用A 种客车19辆，则租用B 种客车6辆，费用为1922063005980⨯+⨯=元，方案三：租用A 种客车20辆，则租用B 种客车5辆，费用为2022053005900⨯+⨯=元，∴租用A 种客车20辆，则租用B 种客车5辆才最合算．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次方程与不等式组是解题的关键．24.如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线28y ax bx =+-与x 轴交于(4,0)(2,0)A B -、两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；（2）点P 为第三象限内抛物线上一点，作直线AC ，连接PA 、PC ，求PAC △面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）设直线135:4l y kx k =+-交抛物线于点M 、N ，求证：无论k 为何值，平行于x 轴的直线237:4l y =-上总存在一点E ，使得MEN ∠为直角．【答案】（1）228=+-y x x （2）PAC △面积的最大值为8，此时点P 的坐标为()2,8P --（3）见解析【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）如图所示，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交AC 于点E ，得出直线AC 的解析式为28y x =--，设()2,28P m m m +-，则(),28E m m --，得出()224PE m =-++，当PE 取得最大值时，PAC △面积取得最大值，进而根据二次函数的性质即可求解；（3）设()11,M x y 、()22,N x y ，MN 的中点坐标为1212,22x x y y Q ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立235428y kx k y x x ⎧=+-⎪⎨⎪=+-⎩，消去y ，整理得：()23204x k x k +-+-=，得出121232,4x x k x x k +=-=-+，则211351,224Q k k ⎛⎫--⎪⎝⎭，设Q 点到2l 的距离为QE ，则QE =22135371124422k k ⎛⎫---=+ ⎪⎝⎭，依题意，212352y y k +=-，()221212122y y x x x x -=-+-()()12122x x x x =-++()12k x x =-，得出()()2221212MN x x y y =-+-()221k =+，则21MN k =+，12MN QE =，E 点总在Q 上，MN 为直径，且Q 与237:4l y =-相切，即可得证．【小问1详解】解：将(4,0)(2,0)A B -、代入28y ax bx =+-，得164804280a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为：228=+-y x x ；【小问2详解】解：如图所示，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交AC 于点E ，由228=+-y x x ，令0x =，解得：8y =-，∴()0,8C -，设直线AC 的解析式为8y kx =-，将点()4,0A -代入得，480k --=，解得：2k =-，∴直线AC 的解析式为28y x =--，设()2,28P m m m +-，则(),28E m m --，∴()22828PE m m m =---+-24m m=--()224m =-++，当2m =-时，PE 的最大值为4∵114222PAC S PE OA PE PE =⨯=⨯⨯=△∴当PE 取得最大值时，PAC △面积取得最大值∴PAC △面积的最大值为248⨯=，此时2m =-，2284488m m +-=--=-∴()2,8P --【小问3详解】解：设()11,M x y 、()22,N x y ，MN 的中点坐标为1212,22x x y y Q ++⎛⎫⎪⎝⎭，联立235428y kx k y x x ⎧=+-⎪⎨⎪=+-⎩，消去y ，整理得：()23204x k x k +-+-=，∴121232,4x x k x x k +=-=-+，∴12122x x k+=-，∴()()1212135135222424y y k x x k k k k +=++-=-+-213524k =-，∴211351,224Q k k ⎛⎫--⎪⎝⎭，设Q 点到2l 的距离为QE ，则QE =22135371124422k k ⎛⎫---=+ ⎪⎝⎭，∵()11,M x y 、()22,N x y ，∴212352y y k +=-，()221212122y y x x x x -=-+-()()12122x x x x =-++()12k x x =-∴()()2221212MN x x y y =-+-()()2221212x x k x x =-+-()()22121x x k =-+()()22121241x x x x k ⎡⎤=+-+⎣⎦()()222431k k k ⎡⎤=-+-+⎣⎦()()2211k k =++()221k =+∴21MN k =+，∴12MN QE =∴QM QN QE ==，∴E 点总在Q 上，MN 为直径，且Q 与237:4l y =-相切，∴MEN ∠为直角．∴无论k 为何值，平行于x 轴的直线237:4l y =-上总存在一点E ，使得MEN ∠为直角．【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程根与系数的关系，切线的性质与判定，直角所对的弦是直径，熟练掌握以上知识是解题的关键．。
2023年湖南省怀化市中考数学真题+答案解析
2023年湖南省怀化市中考数学真题+答案解析（真题部分）一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）1．（4分）下列四个实数中，最小的数是（）A．﹣5 B．0 C．D．2．（4分）2023年4月12日21时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”——世界首个全超导托卡马克东方超环（EAST）装置取得重大成果，在第122254次实验中成功实现了403秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造了托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录．数据122254用科学记数法表示为（）A．12.2254×104B．1.22254×104C．1.22254×105D．0.122254×1063．（4分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a5B．a6÷a2＝a3C．（ab3）2＝a2b9D．5a﹣2a＝34．（4分）剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术．民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（4分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（2，3）6．（4分）如图，平移直线AB至CD，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝60°，则∠2的度数为（）A．30°B．60°C．100°D．120°7．（4分）某县“三独”比赛独唱项目中，5名同学的得分分别是：9.6，9.2，9.6，9.7，9.4．关于这组数据，下列说法正确的是（）A．众数是9.6 B．中位数是9.5C．平均数是9.4 D．方差是0.38．（4分）下列说法错误的是（）A．成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件B．一元二次方程x2+x+3＝0有两个相等的实数根C．任意多边形的外角和等于360°D．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心9．（4分）已知压力F（N）、压强p（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝pS．当F为定值时，如图中大致表示压强p与受力面积S之间函数关系的是（）A．B．C．D．10．（4分）如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与过点（﹣1，0）的直线AB相交于A、B两点．已＝9，那么点C的坐标为（）知点A的坐标为（1，3），点C为x轴上任意一点．如果S△ABCA．（﹣3，0）B．（5，0）C．（﹣3，0）或（5，0）D．（3，0）或（﹣5，0）二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11．（4分）要使代数式有意义，则x的取值范围是．12．（4分）分解因式：2x2﹣4x+2＝．13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根为﹣1，则m的值为，另一个根为．14．（4分）定义新运算：（a，b）•（c，d）＝ac+bd，其中a，b，c，d为实数．例如：（1，2）•（3，4）＝1×3+2×4＝11．如果（2x，3）•（3，﹣1）＝3，那么x＝．15．（4分）如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3．则点P到直线AB的距离为．16．（4分）在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△A0B按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，…．依次类推，得到△A2033OB2033，则△A2023OB2033的边长为，点A2023的坐标为．三、解答题（本大题共8小题，共86分）17．（8分）计算：|﹣2|+（）﹣1﹣+（sin45°﹣1）0﹣（﹣1）．18．（8分）先化简（1+）÷，再从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值．19．（10分）如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）证明：△BOF≌△DOE；（2）连接BE、DF，证明：四边形EBFD是菱形．20．（10分）为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°，在B点处测得碑顶D的仰角为60°，已知AB＝35m，测角仪的高度是1.5m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD．（≈1.732，结果保留一位小数）21．（12分）近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：（1）所抽取的学生人数为；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；（3）该校共有学生3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数．22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，P A与⊙O相切于点A，点C为⊙O上的一点．连接PC、AC、OC，且PC＝P A．（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PD•OC＝P A•OD；（3）若∠CAB＝30°，OD＝8，求阴影部分的面积．23．（12分）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？（2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？24．（14分）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；（2）点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接P A、PC，求△P AC面积的最大值及此时点P的坐标；（3）设直线l1：y＝kx+k﹣交抛物线于点M、N，求证：无论k为何值，平行于x轴的直线l2：y＝﹣上总存在一点E，使得∠MEN为直角．2023年湖南省怀化市中考数学真题+答案解析（答案部分）一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）1．（4分）下列四个实数中，最小的数是（）A．﹣5 B．0 C．D．【分析】正数＞0＞负数；一个正数越大，其算术平方根越大；据此进行判断即可．【解析】解：∵1＜2，∴＜，即1＜，则＜，那么﹣5＜0＜＜，则最小的数为：﹣5，故选：A．2．（4分）2023年4月12日21时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”——世界首个全超导托卡马克东方超环（EAST）装置取得重大成果，在第122254次实验中成功实现了403秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造了托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录．数据122254用科学记数法表示为（）A．12.2254×104B．1.22254×104C．1.22254×105D．0.122254×106【分析】将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．【解析】解：122254＝1.22254×105，故选：C．3．（4分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a5B．a6÷a2＝a3C．（ab3）2＝a2b9D．5a﹣2a＝3【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则，分别判断得出答案．【解析】解：A．a2•a3＝a5，故此选项符合题意；B．a6÷a2＝a4，故此选项不合题意；C．（ab3）2＝a2b6，故此选项不合题意；D．5a﹣2a＝3a，故此选项不合题意．故选：A．4．（4分）剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术．民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【解析】解：A．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；故选：C．5．（4分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（2，3）【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．【解析】解：点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（2，3）．故选：D．6．（4分）如图，平移直线AB至CD，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝60°，则∠2的度数为（）A．30°B．60°C．100°D．120°【分析】根据平移直线AB至CD，可得AB∥CD，所以∠BMF＝∠2，根据对顶角相等得∠BMF ＝∠1＝60°，所以∠2＝60°．【解析】解：如图，∵平移直线AB至CD，∴AB∥CD，∴∠BMF＝∠2，∵∠BMF＝∠1＝60°，∴∠2＝60°．故选：B．7．（4分）某县“三独”比赛独唱项目中，5名同学的得分分别是：9.6，9.2，9.6，9.7，9.4．关于这组数据，下列说法正确的是（）A．众数是9.6 B．中位数是9.5C．平均数是9.4 D．方差是0.3【分析】根据方差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可．【解析】解：在这组数据中，9.6出现的次数最多，故众数是9.6，故选项A符合题意；把这组数据从小到大排列，排在中间的数是9.6，故中位数是9.6，故选项B不符合题意；平均数是＝9.5，故选项C不符合题意；方差是：[2×（9.6﹣9.5）2+（9.2﹣9.5）2+（9.7﹣9.5）2+（9.4﹣9.5）2]＝0.032，故选项D不符合题意．故选：A．8．（4分）下列说法错误的是（）A．成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件B．一元二次方程x2+x+3＝0有两个相等的实数根C．任意多边形的外角和等于360°D．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心【分析】根据随机事件的定义可以判断A；根据根的判别式可以判断B；根据任意多边形的外角和都是360°可以判断C；根据三角形重心的定义可以判断D．【解析】解：成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件，故选项A正确，不符合题意；∵一元二次方程x2+x+3＝0，∴Δ＝12﹣4×1×3＝﹣11＜0，∴一元二次方程x2+x+3＝0无实数根，故选项B错误，符合题意；任意多边形的外角和等于360°，故选项C正确，不符合题意；三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，故选项D正确，不符合题意；故选：B．9．（4分）已知压力F（N）、压强p（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝pS．当F为定值时，如图中大致表示压强p与受力面积S之间函数关系的是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的解析式判断函数的图形即可．【解析】解：∵压力F（N）、压强p（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝pS．∴当F为定值时，压强p与受力面积S之间函数关系是反比例函数，故选：D．10．（4分）如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与过点（﹣1，0）的直线AB相交于A、B两点．已＝9，那么点C的坐标为（）知点A的坐标为（1，3），点C为x轴上任意一点．如果S△ABCA ．（﹣3，0）B ．（5，0）C ．（﹣3，0）或（5，0）D ．（3，0）或（﹣5，0）【分析】利用待定系数法求得两函数的解析式，然后解析式联立成方程组，解方程组求得点B 的坐标，根据S △ACD +S △BCD ＝S △ABC ＝9，求得CD 的长度，进而即可求得点C 的坐标．【解析】解：把点A （1，3）代入y ＝（k ＞0）得，3＝，∴k ＝3，∴反比例函数为y ＝，设直线AB 为y ＝ax +b ，代入点D （﹣1，0），A （1，3）得， 解得，∴直线AB 为y ＝x +， 解，得或，∴B （﹣2，﹣），∵S △ABC ＝9，∴S △ACD +S △BCD ＝，∴CD ＝4，∴点C 的坐标为（﹣5，0）或（3，0）．故选：D ．二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11．（4分）要使代数式有意义，则x 的取值范围是 x ≥9 ．【分析】根据代数式有意义，可得x﹣9≥0，进一步求解即可．【解析】解：∵代数式有意义，∴x﹣9≥0，∴x≥9，故答案为：x≥9．12．（4分）分解因式：2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2．【分析】先提取公因数2，再利用完全平方公式进行二次分解．a2±2ab+b2＝（a±b）2．【解析】解：2x2﹣4x+2，＝2（x2﹣2x+1），＝2（x﹣1）2．13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根为﹣1，则m的值为﹣1，另一个根为2．【分析】将x＝﹣1代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再结合两根之积等于﹣2，即可求出方程的另一个根．【解析】解：将x＝﹣1代入原方程可得1﹣m﹣2＝0，解得：m＝﹣1，∵方程的两根之积为＝﹣2，∴方程的另一个根为﹣2÷（﹣1）＝2．故答案为：﹣1，2．14．（4分）定义新运算：（a，b）•（c，d）＝ac+bd，其中a，b，c，d为实数．例如：（1，2）•（3，4）＝1×3+2×4＝11．如果（2x，3）•（3，﹣1）＝3，那么x＝1．【分析】直接利用运算公式将原式变形，进而计算得出答案．【解析】解：（2x，3）•（3，﹣1）＝3，6x﹣3＝3，解得：x＝1．故答案为：1．15．（4分）如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3．则点P到直线AB的距离为3．【分析】过点P作PF⊥AB于点F，根据正方形的性质易得△AEP为等腰直角三角形，AE＝PE＝3，再根据有三个角为直角，且邻边相等的四边形为正方形证明四边形AFPE为正方形，以此即可求解．【解析】解：过点P作PF⊥AB于点F，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，∴∠P AE＝45°，∴△AEP为等腰直角三角形，AE＝PE＝3，∵PE⊥AD，PF⊥AB，∴∠F AE＝∠AEP＝∠AFP＝90°，又∵AE＝PE，∴四边形AFPE为正方形，∴AE＝PF＝3，∴点P到直线AB的距离为3．故答案为：3．16．（4分）在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△A0B按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，…．依次类推，得到△A2033OB2033，则△A2023OB2033的边长为22023，点A2023的坐标为（22022，22022）．【分析】利用等边三角形的性质，探究规律后，利用规律解决问题．【解析】解：由题意OA＝1＝20，OA1＝2＝21，OA2＝4＝22，OA3＝8＝23，…OA n＝2n，∴△A2023OB2033的边长为22023，∵2023÷6＝372…1，∴A2023与A1都在第四象限，坐标为（22022，22022•）．故答案为：22023，（22022，22022）．三、解答题（本大题共8小题，共86分）17．（8分）计算：|﹣2|+（）﹣1﹣+（sin45°﹣1）0﹣（﹣1）．【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．【解析】解：原式＝2+3﹣3+1+1＝4．18．（8分）先化简（1+）÷，再从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值．【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，进而把已知数据代入得出答案．【解析】解：原式＝•＝•＝，当a＝1或2时，分式无意义，故当a＝﹣1时，原式＝﹣，当a＝0时，原式＝﹣．19．（10分）如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）证明：△BOF≌△DOE；（2）连接BE、DF，证明：四边形EBFD是菱形．【分析】（1）根据矩形的对边平行得到AD∥BC，于是有∠EDO＝∠FBO，根据点O是BD的中点得出DO＝BO，结合对顶角相等利用ASA可证得△BOF和△DOE全等；（2）由（1）△BOF≌△DOE可得BF＝DE，结合DE∥BF，可得四边形EBFD是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∵点O是BD的中点，∴DO＝BO，又∵∠EOD＝∠FOB，∴△BOF≌△DOE（ASA）；（2）证明：由（1）已证△BOF≌△DOE，∴BF＝DE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，即DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形EBFD是菱形．20．（10分）为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°，在B点处测得碑顶D的仰角为60°，已知AB＝35m，测角仪的高度是1.5m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD．（≈1.732，结果保留一位小数）【分析】根据题意可得AM＝BN＝CE＝1.5m，AB＝MN＝35m，∠DEM＝90°，∠DNE＝60°，∠DME ＝30°，先利用三角形的外角性质可得∠DMN＝∠MDN＝30°，从而可得DN＝MN＝35m，然后在Rt△DNE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，即可得的答案．【解析】解：由题意得：AM＝BN＝CE＝1.5m，AB＝MN＝35m，∠DEM＝90°，∠DNE＝60°，∠DME＝30°，∵∠DNE是△DMN的外角，∴∠MND＝∠DNE﹣∠DMN＝30°，∴∠DMN＝∠MDN＝30°，∴DN＝MN＝35m，在Rt△DNE中，DE＝DN•sin60°＝35×＝（m），∴DC＝DE+CE＝+1.5≈+1.5≈31.8（m）．答：烈士纪念碑的通高CD约为31.8m．21．（12分）近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：（1）所抽取的学生人数为200；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；（3）该校共有学生3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数．【分析】（1）由“视力正常人数及其所占百分比可得总人数；（2）用（1）的结论乘15%可得“中度近视”的人数，进而得出“高度近视”的人数，再补全条形统计图；用360°乘“轻度近视”所占比例可得扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；（3）用3000乘样本中“轻度近视”所占比例可得答案．【解析】解：（1）所抽取的学生人数为：90÷45%＝200．故答案为：200；（2）样本中“中度近视”的人数为：200×15%＝30（人），“高度近视”的人数为：200﹣90﹣70﹣30＝10（人），补全条形统计图如下：扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数为：360°×＝126°；（3）3000×＝1050（人），答：估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数约1050人．22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，P A与⊙O相切于点A，点C为⊙O上的一点．连接PC、AC、OC，且PC＝P A．（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PD•OC＝P A•OD；（3）若∠CAB＝30°，OD＝8，求阴影部分的面积．【分析】（1）先由切线的性质得∠P AO＝90°，然后依据“SSS”判定△POC和△POA全等，从而得∠PCO＝∠P AO＝90°，据此即可得出结论；（2）由∠DCO＝∠DAP＝90°，∠ODC＝∠PDA可判定△ODC和△PDA相似，进而根据相似三角形的性质可得出结论；（3）连接BC，过点C作CE⊥OB于点E，先证△OCB为等边三角形，再设OE＝a，则OA＝OB ＝OC＝2a，，在Rt△CDE和在Rt△DOC中，由勾股定理得CD2＝CE2+DE2＝OD2﹣OC2，由此可求出a的值，进而得⊙O的半径为4，然后根据S阴影＝S△DOC﹣S扇形BOC即可得出答案．【解析】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，P A为⊙O的切线，∴P A⊥OA，即：∠P AO＝90°，∵点C在⊙O上，∴OC＝OA，在△POC和△POA中，，∴△POC≌△POA（SSS），∴∠PCO＝∠P AO＝90°，即：PC⊥OC，又OC为⊙O的半径，∴PC为⊙O的切线．（2）证明：由（1）可知：OC⊥PD，∴∠DCO＝∠DAP＝90°，又∠ODC＝∠PDA，∴△ODC∽△PDA，∴，即：PD•OC＝P A•OD．（3）解：连接BC，过点C作CE⊥OB于点E，∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝60°，又OC＝OB，∴△OCB为等边三角形，∵CE⊥OB，∴OE＝BE，设OE＝a，显然a≠0，则OA＝OB＝OC＝2a，在Rt△OCE中，OE＝a，OC＝2a，由勾股定理得：，∵OD＝8，∴DE＝OD﹣OE＝8﹣a，在Rt△CDE中，，DE＝8﹣a，由勾股定理得：，在Rt△DOC中，OC＝2a，OD＝8，由勾股定理得：CD2＝OD2﹣OC2＝82﹣（2a）2，，整理得：a2﹣2a＝0，∵a≠0，∴a＝2，∴OC＝2a＝4，，∴，又∵，∴．23．（12分）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？（2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？【分析】（1）设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了（45x+30）人，根据这次去研学的人数不变，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25﹣y）辆，根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于1200人，且租用的B种客车不超过7辆”，可得出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y 的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各租车方案；（3）利用总租金＝每辆A种客车的租金×租用A种客车的辆数+每辆B种客车的租金×租用B种客车的辆数，可分别求出各选择各方案所需总租金，比较后，即可得出结论．【解析】解：（1）设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了（45x+30）人，根据题意得：45x+30＝60（x﹣6），解得：x＝26，∴45x+30＝45×26+30＝1200．答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人；（2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25﹣y）辆，根据题意得：，解得：5≤y≤7，又∵y为正整数，∴y可以为5，6，7，∴该学校共有3种租车方案，方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车；方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车；方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车；（3）选择方案1的总租金为300×5+220×20＝5900（元）；选择方案2的总租金为300×6+220×19＝5980（元）；选择方案3的总租金为300×7+220×18＝6060（元）．∵5900＜5980＜6060，∴租用5辆B种客车，20辆A种客车最合算．24．（14分）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；（2）点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接P A、PC，求△P AC面积的最大值及此时点P的坐标；（3）设直线l1：y＝kx+k﹣交抛物线于点M、N，求证：无论k为何值，平行于x轴的直线l2：y＝﹣上总存在一点E，使得∠MEN为直角．【分析】（1）运用待定系数法，将A（﹣4，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣8，即可求得抛物线的函数表达式，再利用配方法或顶点坐标公式即可求得抛物线的顶点坐标；（2）运用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，设P（t，t2+2t﹣8），过点P作PF∥y轴，交AC于点F，则F（t，﹣2t﹣8），进而可得S△P AC ＝S△P AF+S△PCF＝2（﹣t2﹣4t）＝﹣2（t+2）2+8，运用二次函数的性质即可求得答案；（3）由直线l1：y＝kx+k﹣交抛物线于点M、N，可得x2+（2﹣k）x+﹣k＝0，利用根与系数关系可得x M+x N＝k﹣2，x M x N＝﹣k，利用两点间距离公式可得MN2＝（x M﹣x N）2+（y M﹣y N）2＝（1+k2）2，设MN的中点为O′，过点O′作O′E⊥直线l2，垂足为E，O′E＝MN，以MN为直径的⊙O′一定经过点E，所以∠MEN＝90°，即证得结论．【解析】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣8，∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣9）；（2）解：∵抛物线y＝x2+2x﹣8与y轴交于点C，∴C（0，﹣8），设直线AC的解析式为y＝mx+n，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，设P（t，t2+2t﹣8），过点P作PF∥y轴，交AC于点F，如图，则F（t，﹣2t﹣8），∴PF＝﹣2t﹣8﹣（t2+2t﹣8）＝﹣t2﹣4t，∴S△P AC ＝S△P AF+S△PCF＝PF•（t+4）+PF•（﹣t）＝2PF＝2（﹣t2﹣4t）＝﹣2（t+2）2+8，∵﹣2＜0，∴当t＝﹣2时，S△P AC的最大值为8，此时点P（﹣2，﹣8）；（3）证明：∵直线l1：y＝kx+k﹣交抛物线于点M、N，∴x2+2x﹣8＝kx+k﹣，整理得：x2+（2﹣k）x+﹣k＝0，∴x M+x N＝k﹣2，x M x N＝﹣k，∵y M＝kx M+k﹣，y N＝kx N+k﹣，∴y M﹣y N＝k（x M﹣x N），∴MN2＝（x M﹣x N）2+（y M﹣y N）2＝（1+k2）（x M﹣x N）2＝（1+k2）[（x M+x N）2﹣4x M x N]＝（1+k2）[（k﹣2）2﹣4（﹣k）]＝（1+k2）2，∵设MN的中点为O′，∴O′（，k2﹣），过点O′作O′E⊥直线l2：y＝﹣，垂足为E，如图，∴E（，﹣），∴O′E＝k2﹣﹣（﹣）＝（1+k2），∴O′E＝MN，∴以MN为直径的⊙O′一定经过点E，∴∠MEN＝90°，∴在直线l2：y＝﹣上总存在一点E，使得∠MEN为直角．。
2022年湖南省怀化市中考数学试题及答案解析
2022年湖南省怀化市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.−12的相反数是( )A. 12B. 2 C. −12D. −22.代数式25x，1π，2x2+4，x2−23，1x，x+1x+2中，属于分式的有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个3.2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米．其中数据10909用科学记数法表示为( )A. 10.909×102B. 1.0909×103C. 0.10909×104D. 1.0909×1044.下列说法正确的是( )A. 相等的角是对顶角B. 对角线相等的四边形是矩形C. 三角形的外心是它的三条角平分线的交点D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等5.下列计算正确的是( )A. (2a2)3=6a6B. a8÷a2=a4C. √(−2)2=2D. (x−y)2=x2−y26.下列一元二次方程有实数解的是( )A. 2x2−x+1=0B. x2−2x+2=0C. x2+3x−2=0D. x2+2=07.一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是( )A. 七边形B. 八边形C. 九边形D. 十边形8.如图，△ABC沿BC方向平移后的像为△DEF，已知BC=5，EC=2，则平移的距离是( )A. 1B. 2C. 3D. 49.从下列一组数−2，π，−12，−0.12，0，−√5中随机抽取一个数，这个数是负数的概率为( )A. 56B. 23C. 12D. 1310.如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y=a−1x(a>1)的图象于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD=5，则a的值为( )A. 8B. 9C. 10D. 11二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.计算x+5x+2−3x+2=______．12.因式分解：x2−x4=______．13.已知点A(−2,b)与点B(a,3)关于原点对称，则a−b=______．14.如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE=2，则S△ABC=______．15.如图，AB与⊙O相切于点C，AO=3，⊙O的半径为2，则AC的长为______．16. 正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，则第27行的第21个数是______．三、解答题（本大题共8小题，共86.0分） 17. 计算：(3.14−π)0+|√2−1|+(12)−1−√8． 18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．{5x −1>3(x +1)①3x −2≤2x +1②19. 某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A 位于C 村西南方向和B 村南偏东60°方向上．C 村在B 村的正东方向且两村相距2.4km.有关部门计划在B 、C 两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．(参考数据：√3≈1.73，√2≈1.41)20.如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB⏜=CD⏜．求证：(1)AC=BD；(2)△ABE∽△DCE．21.电视剧《一代洪商》在中央电视台第八套播出后，怀化市各旅游景点知名度得到显著提高．为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计图．频数分布表满意程度频数(人)频率非常满意500.5满意300.3一般a c不满意b0.05合计1001根据统计图表提供的信息，解答下列问题：(1)a=______，b=______，c=______；(2)求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数；(3)根据调查情况，请你对各景点的服务提一至两条合理建议．22.如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．(1)求证：MP=NP；(2)若AB=a，求线段PH的长(结果用含a的代数式表示)．23.去年防汛期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣(单位：件)和雨鞋(单位：双)，其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．(1)求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？(2)为支持今年防汛工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套(即一件雨衣和一双雨鞋为一套)优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折；若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a套，购买费用为W元，请写出W关于a的函数关系式．(3)在(2)的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？24.如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y=ax2+2x+c经过点A(−1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C，顶点为点D.在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC 于点E，作PF//AB交BC于点F．(1)求抛物线和直线BC的函数表达式．(2)当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．(3)若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：−12的相反数是12， 故选：A ．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案． 本题考查了相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．2.【答案】B【解析】解：分式有：2x 2+4，1x ，x+1x+2， 整式有：25x ，1π，x 2−23， 分式有3个， 故选：B ．根据分式的定义：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式AB 叫做分式判断即可．本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式AB 叫做分式是解题的关键，注意π是数字．3.【答案】D【解析】解：10909=1.0909×104， 故选：D ．把比较大的数写成a ×10n ，其中1≤a <10，n 为正整数即可得出答案．本题考查了科学记数法−表示较大的数，掌握10的指数比原来的整数位数少1是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：A 、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法错误，不符合题意； B 、对角线相等的四边形不一定是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；C 、三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点，故本选项说法错误，不符合题意；D 、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故本选项符合题意．故选：D．根据对顶角的定义，矩形的判定，三角形的外心，线段垂直平分线的性质可得出答案．本题考查了矩形的判定，三角形的外心，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关定理以及性质进而判定出命题的正确性．5.【答案】C【解析】解：A.(2a2)3=8a6，故此选项不合题意；B.a8÷a2=a6，故此选项不合题意；C.√(−2)2=2，故此选项符合题意；D.(x−y)2=x2−2xy+y2，故此选项不合题意；故选：C．直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、二次根式的性质、完全平方公式分别计算，进而得出答案．此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算、二次根式的性质、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．6.【答案】C【解析】解：A.∵Δ=(−1)2−4×2×1=−7<0，∴方程2x2−x+1=0没有实数根；B.∵Δ=(−2)2−4×1×2=−4<0，∴方程x2−2x+2=0没有实数根；C.∵Δ=32−4×1×(−2)=17>0，∴方程x2+3x−2=0有两个不相等的实数根；D.∵Δ=02−4×1×2=−8<0，∴方程x2+2=0没有实数根．故选：C．根据各方程的系数结合根的判别式Δ=b2−4ac，可求出各方程根的判别式Δ的值，取Δ≥0的选项即可得出结论．本题考查了根的判别式，牢记“①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ<0时，方程无实数根”是解题的关键．7.【答案】A【解析】解：设多边形的边数为n，(n−2)⋅180°=900°，解得：n=7．故选：A．根据多边形的内角和公式：(n−2)⋅180°列出方程，解方程即可得出答案．本题考查了多边形的内角与外角，体现了方程思想，掌握多边形的内角和=(n−2)⋅180°是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：点B平移后对应点是点E．∴线段BE就是平移距离，∵已知BC=5，EC=2，∴BE=BC−EC=5−2=3．故选：C．利用平移的性质，找对应点，对应点间的距离就是平移的距离．考查图形平移性质，关键找到平移前后的对应点．9.【答案】B【解析】这组数据共有6个数，其中是负数的有−2，−12，−0.12，−√5这4个，∴P(随机抽取一个数,这个数是负数)=46=23．故选：B．首先确定这组数据的负数的个数，然后再利用概率的公式求解即可．本题主要考查随机事件概率的求法．10.【答案】D【解析】解：设点B的坐标为(a,a−1a)，∵S△BCD=5，且a>1，∴12×a×a−1a=5，解得：a=11，经检验，a=11是原分式方程的解，故选：D．)，然后根据三角形面积公式列方程求解．设点B的坐标为(a,a−1a本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，准确识图，理解反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键．11.【答案】1【解析】解：原式=x+5−3x+2=x+2x+2=1．故答案为：1．原式利用通分分式的减法法则计算，约分即可得到结果．此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12.【答案】x2(1+x)(1−x)【解析】解：原式=x2(1−x2)=x2(1+x)(1−x)．故答案为：x2(1+x)(1−x)．原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13.【答案】5【解析】解：∵点A(−2,b)与点B(a,3)关于原点对称，∴a=2，b=−3，∴a−b=2+3=5，故答案为：5．根据关于原点对称的点的坐标，可得答案．本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的坐标规律得出a，b是解题关键．14.【答案】8【解析】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE：BC=1：2，DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC =(DEBC)2=14，即2S△ABC =14，∴S△ABC=8．故答案为：8．由中位线定理可得线段DE与BC的比，即可得出△ADE与△ABC的比，又已知△ADE的面积，进而即可得出△ABC的面积．本题主要考查了三角形的中位线定理以及相似三角形面积比与对应边之比的关系，证明△ADE∽△ABC是解题的关键．15.【答案】√5【解析】解：连接OC，∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AC，在Rt△AOC中，OC=2，OA=3，则AC=√OA2−OC2=√32−22=√5，故答案为：√5．连接OC，根据切线的性质得到OC⊥AC，再根据勾股定理计算，得到答案．本题考查的是切线的性质、勾股定理，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．16.【答案】744【解析】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅第n行有n个数．∴前n行共有n(n+1)2个数．∴前27行共有378个数，∴第27行第21个数是一共378个数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅第n行有n个数，则前n行共有n(n+1)2个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．本题考查了数列的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．17.【答案】解：原式=1+√2−1+2−2√2=2−√2．【解析】根据零指数幂，绝对值，负整数指数幂，二次根式的化简计算即可．本题考查了实数的运算，零指数幂，绝对值，负整数指数幂，考查学生的运算能力，掌握a0=1(a≠0)，a−p=1a p(a≠0)是解题的关键．18.【答案】解：{5x−1>3(x+1)①3x−2≤2x+1②，解不等式①，得：x>2，解不等式②，得：x≤3，∴原不等式组的解集是2<x≤3，其解集在数轴上表示如下：．【解析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．19.【答案】解：过A点作AD⊥BC于D点，由题意知：∠ABC=90°−60°=30°，∠ACD=45°，∴BD=√3AD，CD=AD，∵BC=2.4km=2400m，∴√3AD+AD=2400，解得：AD=1200(√3−1)≈876>800，故该公路不能穿过纪念园．【解析】过A点作AD⊥BC于D点，根据题意可得BD=√3AD，CD=AD，由BC=2400m 可得关于AD的方程，计算可求解AD的长，进而可求解．本题主要考查解直角三角形的应用−方向角，构造直角三角形是解题的关键．20.【答案】证明：(1)∵AB⏜=CD⏜，∴AC⏜=BD⏜，∴AC=BD；(2)∵∠A=∠D，∠B=∠C，∴△ABE∽△DCE．【解析】(1)根据等式的性质可得：AC⏜=BD⏜，再由圆心角，弧，弦的关系可得结论；(2)根据两角相等可证明两三角形相似．本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系．根据已知条件推知AC= BD是解题的难点．21.【答案】1550.15【解析】解：(1)由题意得，b=100×0.05=5，a=100−50−30−5=15，c=1−0.5−0.3−0.05=0.15，故答案为：15；5；0.15；(2)扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数为360°×0.15=54°；(3)在调查数据中，还有约20%的游客对服务态度表示“一般”或“不满意”，说明旅游质量还有待提高．(答案不唯一)．(1)用样本容量乘“不满意”的频率求出b，进而求出a、c的值；(2)用360°乘“一般”的频率即可；(3)根据频数分布表的数据提出建议即可．此题考查了频数(率)分布直方图，中位数，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．22.【答案】(1)证明：过点M作MQ//BC，交AC于点Q，如图所示：在等边△ABC中，∠A=∠B=∠ACB=60°，∵MQ//BC，∴∠AMQ=∠B=60°，∠AQM=∠ACB=60°，∠QMP=∠N，∴△AMQ是等边三角形，∴AM=QM，∵AM=CN，∴QM=CN，在△QMP和△CNP中，{∠QPM=∠CPN ∠QMP=∠NQM=CN，∴△QMP≌△CNP(AAS)，∴MP=NP；(2)解：∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，∴AH=HQ，∵△QMP≌△CNP，∴QP=CP，∴PH =HQ +QP =12AC ，∵AB =a ，AB =AC ，∴PH =12a. 【解析】(1)过点M 作MQ//BC ，交AC 于点Q ，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得∠AMQ =∠AQM =∠A =60°，可得△AMQ 是等边三角形，易证△QMP≌△CNP(AAS)，即可得证；(2)根据等边三角形的性质可知AH =HQ ，根据全等三角形的性质可知QP =PC ，即可表示出HP 的长．本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．23.【答案】解：(1)设每件雨衣x 元，则每双雨鞋(x −5)元，根据题意，得400 x =350x−5，解得x =40，经检验x =40是所列方程的根，并符合题意．所以x −5=35，答：每件雨衣40元，则每双雨鞋35元；(2)由题意知，一套雨衣雨鞋的单价为：(40+35)×(1−20%)=60(元)， 当购买a 套雨衣和雨鞋a ≤5时，费用为w =0.9x60a =54a ；当购买a 套雨衣和雨鞋a >5时，费用为w =0.9×60×5+(a −5)×60×0.8=48a +30，∴W 关于a 的函数关系式为：w ={54a(a ≤5)48a +30(a >5)； (3)由题意得：48a +30≤320，解得a ≤6124，答：最多可购买6套．【解析】(1)设每件雨衣x 元，则每双雨鞋(x −5)元，根据购买了一批数量相等的雨衣(单位：件)和雨鞋(单位：双)列出方程并解答；(2)根据题意求出a 的取值范围，并求出w 与a 的关系式解答即可；(3)根据题意列出不等式并解答．本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．24.【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2+2x +c 经过点A(−1,0)、B(3,0)，∴{a −2+c =09a +6+c =0， 解得{a =−1c =3， ∴抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3，令x =0，可得y =3，∴C(0,3)，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，则{b =33k +b =0， ∴{k =−1b =3， ∴直线BC 的解析式为y =−x +3；(2)如图一中，连接PC ，OP ，PB.设P(m,−m 2+2m +3)，∵B(3,0)，C(0,3)，∴OB =OC =3，∴∠OBC =45°，∵PF//AB ，∴∠PFE =∠OBC =45°，∵PE ⊥BC ，∴△PEF 是等腰直角三角形，∴PE 的值最大时，△PEF 的周长最大，∵S △PBC =S △POB +S △POC −S △OBC=12×3×(−m 2+2m +3)+12×3×m −12×3×3=−32m 2+92m =−32(m −32)2+94， ∵−32<0，∴m =32时，△PBC 的面积最大，面积的最大值为94，此时PE 的值最大， ∵12×3√2×PE =94，∴PE =√32， ∴△PEF 的周长的最大值=√32+√32+√62=√3+√62，此时P(32,154)；(3)存在．理由：如图二中，设M(1,t)，G(m,−m 2+2m +3)．当BC 为平行四边形的边时，则有|1−m|=3，解得m =−2或4，∴G(−2,−5)或(4,−5)，当BC 为平行四边形的对角线时，12(1+m)=12(0+3)，∴m =2，∴G(2,3)，综上所述，满足条件的点G 的坐标为(−2,5)或(4,−5)或(2,3)．【解析】(1)利用待定系数法，把问题转化为方程组，求出a ，c 的值，设BC 的解析式为y =kx +b ，把B ，C 两点坐标代入求出k ，b 即可；(2)如图一中，连接PC ，OP ，PB.设P(m,−m 2+2m +3)，证明△PEF 是等腰直角三角形，求出PE的最大值，可得结论；(3)存在．如图二中，设M(1,t)，G(m,−m2+2m+3).分两种情形：CB为平行四边形的边，CB为平行四边形的对角线，分别构建方程求解．本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
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湖南省怀化市2011年中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1、49的平方根为（ ）
A 、7
B 、7-
C 、±7
D 、±7
2、如图所示，∠A ，∠1，∠2的大小关系是（ ）
A 、∠A ＞∠1＞∠2
B 、∠2＞∠1＞∠A
C 、∠A ＞∠2＞∠1
D 、∠2＞∠A ＞∠1
3、下列运算正确的是（ ）
A 、33a a a ⋅=
B 、（33()ab ab =
C 、336a a a +=
D 、326()a a =
4、如图，已知直线a ∥b ，∠1=40°，∠2=60°．则∠3等于（ ）
A 、100°
B 、60°
C 、40°
D 、20°
5、函数2y x =与函数1
y x =-在同一坐标系中的大致图象是（ ）
6、如图所示：△ABC 中，DE ∥BC ，AD=5，BD=10，AE=3．则CE 的值为（ ）
A 、9
B 、6
C 、3
D 、4
7、在平面直角坐标系中，把直线y x =向左平移一个单位长度后，其直线解析式为（ ）
A 、1y x =+
B 、1y x =-
C 、y x =
D 、2y x =-
8、如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点(1 2)--，．“马”位于点(2 2)-，，则“兵”位于点（
）
A 、(1 1)-，
B 、(2 1)--，
C 、(3 1)-，
D 、(1 2)-，
二、填空题（每小题3分，共24分）
9、因式分解：29a -=_________
10、如图，∠A=30°，∠C ′=60°，△ABC 与△A'B'C'关于直线l 对称，则∠B=_________
11、定义新运算：对任意实数a 、b ，都有2a b a b ⊗=-．例如232327⊗=-=，那么21⊗=_________
12、一次函数23y x =-+中，y 的值随x 值增大而_________．（填“增大”或“减小”）
13、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC 的角平分线交BC 边于点D ，AB=5，BC=6，则AD=_________
14、在一次爱心捐款中，某班有40名学生拿出自己的零花钱，有捐5元、10元、20元、50元 的．右图反映了不同捐款的人数比例，那么这个班的学生平均每人捐款_________元.
15、方程21011x x
-=+
-的解是_________ 16、出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出(8)x -个，则当x=_________元，一天出售该种手工艺品的总利润y 最大．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17、计算：01
1
2(21)(5)()3--+---- 18、解方程组：38534x y x y +=⎧⎨-=⎩
． 19、已知不等式组：36280
x x ≥⎧⎨-≤⎩．
（1）求满足此不等式组的所有整数解；
（2）从此不等式的所所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是多少
20、某中学为庆祝建党90周年举行唱“红歌”比赛，已知10位评委给某班的打分是：8，9，6，8，9，10，6，8，9，7．
（1）求这组数据的极差：
（2）求这组数据的众数；
（3）比赛规定：去掉一个最髙分和一个最低分，剩下分数的平均数作为该班的最后得分．求该班的最后得分．
21、如图，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片．AD 是边BC 上的高，
BC=40cm ，AD=30cm ．从这张硬纸片剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形
EFGH ．使它的一边EF 在BC 上，顶点G ，H 分别在AC ，AB 上．AD 与HG 的交点为M ．
（1）求证：AM HG AD BC
=； （2）求这个矩形EFGH 的周长． 22、已知：关于x 的方程2(13)210ax a x a --+-=．
（1）当x 取何值时，二次函数2
(13)21y ax a x a =--+-的对称轴是2x =-；
（2）求证：a 取任何实数时，方程2(13)210ax a x a --+-=总有实数根． 10题图 13题图 14题图
23、如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD 于E ，OF ⊥AC 于F ，BE=OF ．
（1）求证：OF ∥BC ；
（2）求证：△AFO ≌△CEB ；
（3）若EB=5cm ，CD=3，设OE=x ，求x 值及阴影部分的面积．
24、在矩形AOBC 中，OB=6，OA=4，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)k y k x
=>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AE?AO=BF?BO ；
（2）若点E 的坐标为（2，4），求经过O 、E 、F 三点的抛物线的解析式；
（3）是否存在这样的点F ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上若存在，求出此时的OF 的长：若不存在，请说明理由．
2011年怀化中考数学答案 题号
1 2 3 4 5 6 7 8 答案
C B
D A B B A C
二、填空题
9. (3)(3)a a +- 10. 90°
12. 减小 13. 4 14. 16 15. 3x = 16. 4 三、解答题
17. 解：原式=2+1+5-3=5．
18. 解：38 53 4 x y x y +=⎧⎨-=⎩①
②，
①+②得：612x =，
∴2x =，
把2x =代入①得：238y +=，
解得：2y =，
∴方程组的解集是：22x y =⎧⎨=⎩
． 19. 解：（1）解第一个不等式得：2x ≥；
解第二个不等式得：4x ≤．
则不等式组的解集是：24x ≤≤
∴不等式组的整数解是：2，3，4；
20. 解：（1）最大值是：10，最小值是：6，
则极差是：10-6=4；
（2）出现次数最多的是：8和9都是3次，6出现2次，1和10出现1次，因而众数是8和9；
（3）平均分是：18
(8+9+8+9+6+8+9+7)=8． 21. （1）证明：∵四边形EFGH 为矩形，
∴EF ∥GH ，
∴∠AHG=∠ABC ，
又∵∠HAG=∠BAC ，
∴△AHG ∽△ABC ， ∴AM HG AD BC
=； （2）解：由（1）
AM HG AD BC =得：设HE=x ，则HG=2x ，AM=AD-DM=AD-HE=30-x ， 可得3023040
x x -=， 解得，12x =，
224x =
所以矩形EFGH 的周长为：2×(12+24)=72cm ．
22. 解：（1）当对称轴是2x =-， ∴13222b a x a a
-=-
==-， 解得：1a =-； （2）①当0a =时，方程为一元一次方程，方程2
(13)210ax a x a --+-=有一个实数根．
②∵当0a ≠时，方程为一元二次方程，∴△
=222(13)4(21)21(1)0a a a a a a ---=-+=-≥，
∴a 取任何实数时，方程2(13)210ax a x a --+-=总有实数根．
23. （1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，
∴AC ⊥BC
又∵OF ⊥AC
∴OF ∥BC
（2）证明：∵AB ⊥CD
∴»»BC
BD = ∴∠CAB=∠BCD
又∵∠AFO=∠CEB=90°，OF=BE ，
∴△AFO ≌△CEB
（3）∵AB ⊥CD
∴CE= 12
CD=cm ． 在直角△OCE 中，OC=OB=5x +（cm ），
根据勾股定理可得：222(5)x x +=+
解得：5x =
∴tan ∠
COE=5
=∴∠COE=60°
∴∠COD=120°，
∴扇形COD 的面积是：2120101003603
ππ⨯=cm 2 △COD 的面积是：
12
CD?OE=152
⨯=2
∴阴影部分的面积是：100(3π-cm 2． 24. 证明：（1）∵E ，F 点都在反比例函数图象上，
∴根据反比例函数的性质得出，xy k =，
∴AE?AO=BF?BO ；
（2）∵点E 的坐标为（2，4），
∴AE?AO=BF?BO=8，
∵BO=6，∴BF=
43， ∴F （6，43
）， 分别代入二次函数解析式得：042443663c a b c a b c ⎧⎪=⎪++=⎨⎪⎪++=⎩，解得：13830a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩
， ∴21833
y x x =-+； （3）如果设折叠之后C 点在OB 上的对称点为C'，连接C'E 、C'F ，过E 作EG 垂直于OB 于点G ，则根据折叠性质、相似三角形、勾股定理有以下几个关系可以考虑：
设BC'=a ，BF=b ，则C'F=CF=4b -．
∴点的坐标F （6，b ），E （，4）．
EC'=EC=6 1.5b -，
∴在Rt △C'BF 中，222
(4)a b b +=- ①
∵Rt △EGC'与∽Rt △C'BF ，
∴（6 1.5b -）：（4b -）=4：a=（6 1.5b a --）：b ②， 解得：81039
a b ==
，， ∴F 点的坐标为（6，109）． ∴FO= 7549．。