因式分解单元检测
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【详解】
∵ ，
∴
=x3y3(2x-y)
=(xy)3(2x-y)
=23×
= ，
故选C．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，代数式求值，涉及了提公因式法，积的乘方的逆用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
5．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a
D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，是多项式乘法，故此选项错误．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
14．下列各式能用平方差公式分解因式的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
判断各个选项是否满足平方差的形式，即： 的形式
【详解】
A、C都是 的形式，不符；
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
先将前两项提公因式，然后把a﹣b=1代入，化简后再与后两项结合进行分解因式，最后再代入计算．
【详解】
a3﹣a2b+b2﹣2ab=a2（a﹣b）+b2﹣2ab=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2=1．
故选C．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，四项不能整体分解，关键是利用所给式子的值，将前两项先分解化简后，再与后两项结合．
C．6x2y3＝2x2•3y3D．mx﹣my+1＝m（x﹣y）+1
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用因式分解的定义分析得出答案．
【详解】
解：A、a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，从左到右的变形属于因式分解，符合题意；
B、a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a，从左到右的变形是整式乘法，不合题意；
C、6x2y3＝2x2•3y3，不符合因式分解的定义，不合题意；
B中，变形为：－( )，括号内也是 的形式，不符；
D中，满足 的形式，符合
故选：D
【点睛】
本题考查平方差公式，注意在利用乘法公式时，一定要先将式子变形成符合乘法公式的形式，我们才可利用乘法公式简化计算.
15．下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是
A．8a2b=2a·4abB．-ab3-2ab2-ab=-ab(b2+2b)
【答案】C
【解析】
【分析】
根据a﹣2b+c＜0，a+2b+c＝0，可以得到b与a、c的关系，从而可以判断b的正负和b2﹣ac的正负情况．
【详解】
∵a﹣2b+c＜0，a+2b+c＝0，
∴a+c＝﹣2b，
∴a﹣2b+c＝（a+c）﹣2b＝﹣4b＜0，
∴b＞0，
∴b2﹣ac＝ ＝ ，
即b＞0，b2﹣ac≥0，
【详解】
A. ，故本选项正确；
B. ，故本选项错误；
C. ，故本选项错误；
D. ，故本选项错误.
故选A.
【点睛】
此题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键在于掌握平方差公式，完全平方公式.
8．已知x﹣y＝﹣2，xy＝3，则x2y﹣xy2的值为（）
A．2B．﹣6C．5D．﹣3
【答案】B
【解析】
【分析】
先题提公因式xy，再用公式法因式分解，最后代入计算即可．
【详解】
解：x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝3×（﹣2）＝﹣6，
故答案为B．
【点睛】
本题考查了因式分解，掌握先提取公因式、再运用公式法的解答思路是解答本题的关键．
9．已知 ， ， 满足 ， ，则 （）．
A．0B．3C．6D．9
【答案】D
【解析】
【分析】
将等式变形可得 ， ， ，然后代入分式中，利用平方差公式和整体代入法求值即可．
【详解】
解：∵
∴ ， ，
∵
∴
=
=
=
=
=6＋3
=9
故选D．
【点睛】
此题考查的是分式的化简求值题和平方差公式，掌握分式的基本性质和平方差公式是解决此题的关键．
10．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣y2=（x﹣y）2B．a2+a+1=（a+1）2
因式分解单元检测
一、选择题
1．若a2-b2= ，a-b= ，则a+b的值为（）
A．- B．1C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
已知第二个等式左边利用平方差公式分解后，将第一个等式变形后代入计算即可求出．
【详解】
∵a2－b2=（a+b）(a-b)= (a+b)=
∴a+b=
故选C.
点睛：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
2．下列多项式不能使用平方差公式的分解因式是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
原式各项利用平方差公式的结构特征即可做出判断．
【详解】
下列多项式不能运用平方差公式分解因式的是 ．
故选A．
【点睛】
此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
3．把代数式 分解因式，结果正确的是（）
20．计算(－2)2015＋(－2)2016的结果是( )
A．－2B．2C．22015D．－22015
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
(-2) +(-2)
=(-2) ×(-2)+(-2)
=(-2) ×(1-2)
=2 .
故选C.
点睛：本题属于因式分解的应用，关键是找出各数字之间的关系.
11．若△ABC三边分别是a、b、c，且满足（b﹣c）（a2＋b2）＝bc2﹣c3，则△ABC是（）
A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
试题解析：∵（b﹣c）（a2+b2）=bc2﹣c3，
∴（b﹣c）（a2+b2）﹣c2（b﹣c）=0，
∴（b﹣c）（a2+b2﹣c2）=0，
∴b﹣c=0，a2+b2﹣c2=0，
∴b=c或a2+b2=c2，
∴△ABC是等腰三角形或直ຫໍສະໝຸດ Baidu三角形．
故选D．
12．不论 , 为任何实数， 的值总是（）
A．正数B．负数C．非负数D．非正数
【答案】A
【解析】
x²+y²－4x-2y+8=(x²－4x+4)+(y²-2y+1)+3=(x-2)2+(y-1)2+3≥3，
B、右边不是整式积的形式，不符合题意；
C、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
D、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解的意义是解题关键．
18．把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（）．
A．（x＋y＋1）(x－y－1)B．（x＋y－1）(x－y－1)
C．a2﹣2a﹣1=（a﹣1）2D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用平方差公式和完全平方公式进行分解因式，进而判断得出答案．
【详解】
A．4a2+4a+1=（2a+1）2，正确；
B．a2﹣4b2=（a﹣2b）（a+2b），故此选项错误；
C．a2﹣2a﹣1在有理数范围内无法运用公式分解因式，故此选项错误；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
16．已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＜0，a+2b+c＝0，则（ ）
A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0
C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥0
【分析】
将 进行因式分解为 ，因为左右两边相等，故可以求出x得值．
【详解】
解：
∴
∴x=2019
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是因式分解中提取公因式和平方差公式，正确的掌握因式分解的方法是解题的关键．
7．下列各式分解因式正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义以及平方差公式，完全平方公式的结构就可以求解．
C．xy﹣x=x（y﹣1）D．2x+y=2（x+y）
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解：A、x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），故此选项错误；
B、a2+a+1无法因式分解，故此选项错误；
C、xy﹣x=x（y﹣1），故此选项正确；
D、2x+y无法因式分解，故此选项错误．
故选C．
【点睛】
本题考查因式分解．
D、mx﹣my+1＝m（x﹣y）+1不符合因式分解的定义，不合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查因式分解的意义，解题关键是熟练掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，注意因式分解与整式的乘法的区别．
6．已知 ，那么 的值为（）
A．2018B．2019C．2020D．2021．
【答案】B
【解析】
不论x,y为任何实数,x²+y²－4x-2y+8的值总是大于等于3，
故选A.
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是要明确要判断一个算式是正数时总是将其整理成一个完全平方公式加正数的形式．
13．把多项式分解因式，正确的结果是（ ）
A．4a2+4a+1=（2a+1）2B．a2﹣4b2=（a﹣4b）（a+b）
C．4x2+8x-4=4x D．4my-2=2(2my-1)
【答案】D
【解析】
【分析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】
解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题考查不等式的性质以及因式分解的应用，解题的关键是明确题意，判断出b和b2-ac的正负情况．
17．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据因式分解的意义：把一个多项式转化成几个整式积的形式叫因式分解，可得答案．
【详解】
解：A、把一个多项式转化成几个整式积的形式，符合题意；
C．（x＋y－1）(x＋y＋1)D．（x－y＋1）(x＋y＋1)
【答案】A
【解析】
【分析】
由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．
【详解】
解：原式=x2-（y2+2y+1），
=x2-（y+1）2，
=（x+y+1）（x-y-1）．
故选A．
19．已知a﹣b=1，则a3﹣a2b+b2﹣2ab的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．
解答：解： ，
=3x（x2-2xy+y2），
=3x（x-y）2．
故选D．
4．已知 ，则 的值为( )
A． B．2C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用因式分解以及积的乘方的逆用将 变形为(xy)3(2x-y)，然后代入相关数值进行计算即可．
∵ ，
∴
=x3y3(2x-y)
=(xy)3(2x-y)
=23×
= ，
故选C．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，代数式求值，涉及了提公因式法，积的乘方的逆用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
5．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a
D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，是多项式乘法，故此选项错误．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
14．下列各式能用平方差公式分解因式的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
判断各个选项是否满足平方差的形式，即： 的形式
【详解】
A、C都是 的形式，不符；
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
先将前两项提公因式，然后把a﹣b=1代入，化简后再与后两项结合进行分解因式，最后再代入计算．
【详解】
a3﹣a2b+b2﹣2ab=a2（a﹣b）+b2﹣2ab=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2=1．
故选C．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，四项不能整体分解，关键是利用所给式子的值，将前两项先分解化简后，再与后两项结合．
C．6x2y3＝2x2•3y3D．mx﹣my+1＝m（x﹣y）+1
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用因式分解的定义分析得出答案．
【详解】
解：A、a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，从左到右的变形属于因式分解，符合题意；
B、a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a，从左到右的变形是整式乘法，不合题意；
C、6x2y3＝2x2•3y3，不符合因式分解的定义，不合题意；
B中，变形为：－( )，括号内也是 的形式，不符；
D中，满足 的形式，符合
故选：D
【点睛】
本题考查平方差公式，注意在利用乘法公式时，一定要先将式子变形成符合乘法公式的形式，我们才可利用乘法公式简化计算.
15．下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是
A．8a2b=2a·4abB．-ab3-2ab2-ab=-ab(b2+2b)
【答案】C
【解析】
【分析】
根据a﹣2b+c＜0，a+2b+c＝0，可以得到b与a、c的关系，从而可以判断b的正负和b2﹣ac的正负情况．
【详解】
∵a﹣2b+c＜0，a+2b+c＝0，
∴a+c＝﹣2b，
∴a﹣2b+c＝（a+c）﹣2b＝﹣4b＜0，
∴b＞0，
∴b2﹣ac＝ ＝ ，
即b＞0，b2﹣ac≥0，
【详解】
A. ，故本选项正确；
B. ，故本选项错误；
C. ，故本选项错误；
D. ，故本选项错误.
故选A.
【点睛】
此题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键在于掌握平方差公式，完全平方公式.
8．已知x﹣y＝﹣2，xy＝3，则x2y﹣xy2的值为（）
A．2B．﹣6C．5D．﹣3
【答案】B
【解析】
【分析】
先题提公因式xy，再用公式法因式分解，最后代入计算即可．
【详解】
解：x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝3×（﹣2）＝﹣6，
故答案为B．
【点睛】
本题考查了因式分解，掌握先提取公因式、再运用公式法的解答思路是解答本题的关键．
9．已知 ， ， 满足 ， ，则 （）．
A．0B．3C．6D．9
【答案】D
【解析】
【分析】
将等式变形可得 ， ， ，然后代入分式中，利用平方差公式和整体代入法求值即可．
【详解】
解：∵
∴ ， ，
∵
∴
=
=
=
=
=6＋3
=9
故选D．
【点睛】
此题考查的是分式的化简求值题和平方差公式，掌握分式的基本性质和平方差公式是解决此题的关键．
10．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣y2=（x﹣y）2B．a2+a+1=（a+1）2
因式分解单元检测
一、选择题
1．若a2-b2= ，a-b= ，则a+b的值为（）
A．- B．1C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
已知第二个等式左边利用平方差公式分解后，将第一个等式变形后代入计算即可求出．
【详解】
∵a2－b2=（a+b）(a-b)= (a+b)=
∴a+b=
故选C.
点睛：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
2．下列多项式不能使用平方差公式的分解因式是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
原式各项利用平方差公式的结构特征即可做出判断．
【详解】
下列多项式不能运用平方差公式分解因式的是 ．
故选A．
【点睛】
此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
3．把代数式 分解因式，结果正确的是（）
20．计算(－2)2015＋(－2)2016的结果是( )
A．－2B．2C．22015D．－22015
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
(-2) +(-2)
=(-2) ×(-2)+(-2)
=(-2) ×(1-2)
=2 .
故选C.
点睛：本题属于因式分解的应用，关键是找出各数字之间的关系.
11．若△ABC三边分别是a、b、c，且满足（b﹣c）（a2＋b2）＝bc2﹣c3，则△ABC是（）
A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
试题解析：∵（b﹣c）（a2+b2）=bc2﹣c3，
∴（b﹣c）（a2+b2）﹣c2（b﹣c）=0，
∴（b﹣c）（a2+b2﹣c2）=0，
∴b﹣c=0，a2+b2﹣c2=0，
∴b=c或a2+b2=c2，
∴△ABC是等腰三角形或直ຫໍສະໝຸດ Baidu三角形．
故选D．
12．不论 , 为任何实数， 的值总是（）
A．正数B．负数C．非负数D．非正数
【答案】A
【解析】
x²+y²－4x-2y+8=(x²－4x+4)+(y²-2y+1)+3=(x-2)2+(y-1)2+3≥3，
B、右边不是整式积的形式，不符合题意；
C、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
D、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解的意义是解题关键．
18．把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（）．
A．（x＋y＋1）(x－y－1)B．（x＋y－1）(x－y－1)
C．a2﹣2a﹣1=（a﹣1）2D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用平方差公式和完全平方公式进行分解因式，进而判断得出答案．
【详解】
A．4a2+4a+1=（2a+1）2，正确；
B．a2﹣4b2=（a﹣2b）（a+2b），故此选项错误；
C．a2﹣2a﹣1在有理数范围内无法运用公式分解因式，故此选项错误；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
16．已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＜0，a+2b+c＝0，则（ ）
A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0
C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥0
【分析】
将 进行因式分解为 ，因为左右两边相等，故可以求出x得值．
【详解】
解：
∴
∴x=2019
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是因式分解中提取公因式和平方差公式，正确的掌握因式分解的方法是解题的关键．
7．下列各式分解因式正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义以及平方差公式，完全平方公式的结构就可以求解．
C．xy﹣x=x（y﹣1）D．2x+y=2（x+y）
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解：A、x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），故此选项错误；
B、a2+a+1无法因式分解，故此选项错误；
C、xy﹣x=x（y﹣1），故此选项正确；
D、2x+y无法因式分解，故此选项错误．
故选C．
【点睛】
本题考查因式分解．
D、mx﹣my+1＝m（x﹣y）+1不符合因式分解的定义，不合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查因式分解的意义，解题关键是熟练掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，注意因式分解与整式的乘法的区别．
6．已知 ，那么 的值为（）
A．2018B．2019C．2020D．2021．
【答案】B
【解析】
不论x,y为任何实数,x²+y²－4x-2y+8的值总是大于等于3，
故选A.
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是要明确要判断一个算式是正数时总是将其整理成一个完全平方公式加正数的形式．
13．把多项式分解因式，正确的结果是（ ）
A．4a2+4a+1=（2a+1）2B．a2﹣4b2=（a﹣4b）（a+b）
C．4x2+8x-4=4x D．4my-2=2(2my-1)
【答案】D
【解析】
【分析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】
解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题考查不等式的性质以及因式分解的应用，解题的关键是明确题意，判断出b和b2-ac的正负情况．
17．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据因式分解的意义：把一个多项式转化成几个整式积的形式叫因式分解，可得答案．
【详解】
解：A、把一个多项式转化成几个整式积的形式，符合题意；
C．（x＋y－1）(x＋y＋1)D．（x－y＋1）(x＋y＋1)
【答案】A
【解析】
【分析】
由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．
【详解】
解：原式=x2-（y2+2y+1），
=x2-（y+1）2，
=（x+y+1）（x-y-1）．
故选A．
19．已知a﹣b=1，则a3﹣a2b+b2﹣2ab的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．
解答：解： ，
=3x（x2-2xy+y2），
=3x（x-y）2．
故选D．
4．已知 ，则 的值为( )
A． B．2C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用因式分解以及积的乘方的逆用将 变形为(xy)3(2x-y)，然后代入相关数值进行计算即可．