小学奥数裂项公式汇总

裂项运算常用公式

、分数“裂差”型运算

1

(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 —形式的，这里我们把较小的数写在前面,

a b

即a v b ,那么有：

1 111、

( )

a b baa b

(2) 对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即有：

1

1 1

1

n (n 1) (n 2)

2 n (n 1)

(n 1) (n 2)

1

1 1 1

n (n 1) (n 2) (n 3)

3 n

(n 1) (n 2) (n 1) (n 2) (n 3)

、分数“裂和”型运算

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

裂和型运算与裂差型运算的对比：

(1)

a b a b ] 1 abababba

(2)

b 2 a 2 b 2 a b a b a b b a

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,“先裂再碎，掐头去尾”

分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。裂和：抵消，或凑整三、整数裂项基本公式

1

(n 1) n (n 1)n(n 1)

3

⑵

1 2 3 2 3 4 3 4 5 (n 2) (n 1) n 1

-(n 2)( n 1)n(n

1

)

4

⑶n(n

1) 2 n(n 1)(n 2)

Bn

3

1)n(n 1)

n(n 1) r 2 n

⑷n(n 1)( n 2) 1

n(n

4

1)(n 2)(n 3) ^(n

4 1)n(n 1)( n 2)

⑸n n! (n 1)! n!

裂项求和部分基本公式

1.求和：S

n

1 1 1 1 1 n

1 2

2 3 3 4 4 5 n(n 1) n 1

证

：S n

1

(1 2)

1 1 1 1 1 1

(2 1)(3 2 (1 1)

1 1 1 n

( )1 '

n n 1 n 1 n 1

2.求和：S n

1 3 3 5 5 7 7 9 (2n 1)(

2 n 1) 2n 1

4.求和： S n

1 1 1 1

1

1(1

1 1 1 、

1 3

2 4

3 5

4 6

n(n 2) 3

2 n 1 n 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 、

证

S

n

(1 )

( ) ( ) ( )

( )

2 3 2 2 4

2 3 5 2 4

6 2 n 1 n 1

1 1 1

1

1

1

1

-(-

J

-(1

)

2 n

n

2 3

2 n 1 n

2

1 1 1 2[n(n 1) (n 1)(n

2)]

2[2 (n 1Kn 2)]

特殊数列求和公式

证：S n

1(11) 2 3 1(1 1)

2 3 5 1(1 1) 2 5 7

丄(二 —)丄(1 2 2 n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1

3.求和：S n 1 1 1

1 4

4 7

7 10

1

(3n 2)(3n 1)

n 3n 1

证: 1 3(1 1 3

1 1 3

1 1 1 3(3n 2

1 3n

1)

1 1

3(1 3n 1)

3n 1

5.求和：& 1 1 1

1 2 3

2 3 4

3 4 5

1

n(n 1)( n 2)

1 1 1

2 2 (n 1)(n 2)

证: 因为

1 n(n 1)( n 2)

1 (n 1)(n 2)

1 1 1 r _3) 2(^_3

2

1 2 3 (nln (n1 3 2 1 n

1 3 5 7

(2n 1 n 2

12

22

n 2

n(n 1)(2 n 1)

6

完全平方和（/差）公式

2 2 2

(a b) a 2ab b

12 3 n

n(n 1) 2 32 52

(2n 1

n(2 n 1)(2 n 1)

3 n (4n 2

1)

3

13 23 n 3

n 2 n 1 2

平方差公式

2 2

a b (a b)(a b)