四川省南充高级中学2020-2021学年高一下学期阶段性检测数学试卷 含答案
2020-2021学年四川省南充高级中学高一(下)第一次月考数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年四川省南充高级中学高一（下）第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. cos75°cos15°−sin75°sin15°的值是( )A. 0B. 12C. √32D. −122. 已知数列{a n }的通项公式为a n =3n−1，那么9是它的( )A. 第10 项B. 第4 项C. 第3 项D. 第2 项3. 若sin(π4−x)=−15，则cos(π4+x)的值等于( )A. −15B. 15C. −√245D. √2454. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =2，A =120°，△ABC 的面积为√3，则△ABC 外接圆的半径为( )A. √3B. 2C. 2√3D. 45. 在△ABC 中，D 为BC 上一点，且BD =2DC ，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗+13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗−13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗+13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗+23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 6. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知C =60°，b =√2，c =√3，则sinA =( )A. √6+√24B. √6−√24C. √22D. 127. 数列{a n }中，若a 1=2,a n+1=2a nan +2，则a 7=( )A. 18B. 17C. 27D. 148. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知√3a +2c =2bcosA ，则角B的大小为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π69. 设α∈(0,π2),β∈(0,π2)，且tanα=1−sinβcosβ，则( )A. 3α−β=π2B. 3α+β=π2 C. 2α−β=π2D. 2α+β=π210. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b 2−c 2=2a 2，cosB =−14，则c a=( )A. 1B. 2C. 3D. 411.已知cosθ+2sinθ=−1，则tan2θ=()A. −247B. 247C. 0或−247D. 0或24712.已知函数f(x)=2√3sin(x2−π3)+2cos x2，函数g(x)=f(x)−m在区间[0,4π]上恰有三个不同的零点x1，x2，x3，则f(x1+x2+x3)=()A. −1B. −√3C. 1D. 2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗与b⃗ 为一组基底，若m a⃗+4b⃗ 与a⃗+2b⃗ 平行，则实数m=______ ．14.已知cosα=−45,α∈(π2,π),则cosα2=______ ．15.如图，AE是底部不可到达的一个烟囱，为测量烟囱的高度，在地面选取D，C两点，使D，C，E三点在同一条直线上，在D，C两点测得顶点A的仰角分别为30o，67o，且D，C两点之间的距离为20米，则烟囱AE的高度为______ 米.(用四舍五入法将结果精确到个位数，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，√3≈1.73)16.已知平面单位向量e1⃗⃗⃗ ,e2⃗⃗⃗ ，满足|2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ |≤√3，设a⃗=e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ ，b⃗ =2e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ ，向量a⃗与b⃗ 的夹角为θ，则sin2θ的最大值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列{a n}的通项公式为a n=1+6n(n∈N∗)．(1)判断数列{a n}的单调性，并证明你的结论；(2)若数列{a n}中存在a n=n的项，求n的值．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =3，再从条件①、条件②这两个条件中选一个条件作为已知，求： (1)sinA 的值；(2)△ABC 的面积和AC 边上的高． 条件①：cosC =23，b =4； 条件②：cosC =23，cosB =19．19. 已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα,sinα)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosβ,sinβ)，−π2<β<α<π2． (1)若OA ⊥OB ，求|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |； (2)设OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求α，β的值．20. 已知函数f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx ．(1)若x ∈R ，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在[0,m]上的最小值为2，求实数m 的取值范围．21.余弦定理是作为勾股定理的推广而诞生的，在诞生之初，它只是以几何定理的身份出现，直到16世纪，才出现三角形式.17−18世纪，尽管三角形式偶有出现，但人们主要运用韦达定理来解“已知三边求各角”的问题，用正切定理来解“已知两边及其夹角求第三边”的问题.到20世纪，韦达定理销声匿迹，三角形式的余弦定理一统天下.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．(1)证明：正切定理a+ba−b =tanA+B2tan A−B2.(提示：A=A+B2+A−B2，B=A+B2−A−B2)(2)若a2+c2−b2=ac，sinA−sinC=√22，求角A，C．22.为美化环境，拟在正方形ABCD的空地上修建三条直线型道路CP、CQ、PQ，如图所示，将正方形区域分成多个区域，种植不同的花草，设正方形边长为2(单位：百米)，P、Q分别为线段AB、AD上的点(含端点)，其中P，Q两点不重合．(1)若P、Q分别为线段AB、AD的中点，求△CPQ的面积；(2)若∠BCP=π6，求△CPQ面积的最大值，并说明此时Q点的位置；(3)若∠PCQ=π4，求线段PQ的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：cos75°⋅cos15°−sin75°sin15°=cos(75°+15°)=cos90°=0．故选A．由两角和的余弦公式的逆用，再由特殊角的三角函数值，即可得到．本题考查三角函数的求值，考查两角和的余弦公式的运用，考查运算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵a n=3n−1=9=32，∴n=3．故选：C．把a n=3n−1中的a n换成9，解出n值即可．本题考查数列的概念及表示法，考查运算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由sin(π4−x)=−15得，√22cosx−√22sinx=−15，则cos(π4+x)=√22cosx−√22sinx=−15，故选：A．根据两角差的正弦函数公式化简sin(π4−x)=−15，再由两角和的余弦函数公式化简cos(π4+x)，对比后即可求值．本题考查两角差的正弦函数公式，两角和的余弦函数公式，以及整体思想．4.【答案】B【解析】解：∵△ABC的面积为√3，∴S=12bcsinA=12×2×c×√32=√3，∴c =2，由余弦定理知，a 2=b 2+c 2−2bccosA =4+4−2×2×2×(−12)=12， ∴a =2√3，由正弦定理知，2R =asinA =√3√32=4，∴R =2． 故选：B ．先由三角形的面积公式可得c =2，再由余弦定理求得a 的值，最后根据2R =asinA ，代入数据进行运算，得解．本题考查解三角形中正弦定理和余弦定理的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵BD =2DC ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：D ．由已知结合向量的线性运算即可求解． 本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．6.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．由已知结合正弦定理可求B ，然后结合三角形的和差角公式即可求解． 【解答】解：因为C =60°，b =√2，c =√3， 由正弦定理可得，bsinB =csinC ， 故sinB =bsinC c=√2×√32√3=√22，因为c >b ，故C >B ，所以B =45°，则sinA=sin(60°+45°)=√32×√22+12×√22=√2+√64．故选：A．7.【答案】C【解析】解：数列{a n}中，若a1=2,a n+1=2a na n+2，可得1a n+1=12+1a n，所以数列{1an }是等差数列，首项为12，公差为：12，所以1a n =12+(n−1)×12=n2，可得a n=2n，所以a7=27．故选：C．通过数列的递推关系式，取倒数，得到新数列的通项公式，然后推出结果即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列的项的求法，考查计算能力．8.【答案】D【解析】【分析】由已知结合余弦定理对已知进行化简，然后再结合余弦定理即可求解．本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．【解答】解：∵√3a+2c=2bcosA=2b×b2+c2−a22bc =b2+c2−a2c，整理可得，a2+c2−b2=−√3ac，由余弦定理可得，cosB=a2+c2−b22ac =−√32，因为B为三角形的内角，故B=5π6．故选：D．9.【答案】D【解析】解：∵α∈(0,π2),β∈(0,π2)，∴α+β∈(0,π)．∵tanα=1−sinβcosβ，即sinαcosα=1−sinβcosβ，即sin(α+β)=cosα，∴α+β=π2−α，即2α+β=π2，故选：D．由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得sin(α+β)=cosα，可得α+β=π2−α，从而得出结论．本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：∵b2−c2=2a2，∴a2+c2=b2−a2，且cosB=−14，∴cosB=a2+c2−b22ac =−a22ac=−a2c=−14，∴ac =12，ca=2．故选：B．根据条件可得出a2+c2=b2−a2，然后根据余弦定理即可求出ac 的值，进而可求出ca的值．本题考查了余弦定理，考查了计算能力，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：因为cosθ+2sinθ=−1，可得cosθ=−2sinθ−1，又sin2θ+cos2θ=1，∴5sin2θ+4sinθ=0，∴sinθ=0，或−45，∴cosθ=−1，或35，则tanθ=0，或−43，∴tan2θ=2tanθ1−tan2θ=0，或247．故选：D．利用sin 2θ+cos 2θ=1，组成方程组，解出sinθ，cosθ的值，从而求出tanθ，即可得解． 本题主要考查了同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，考查了转化思想，是基础题．12.【答案】A【解析】解：f(x)=2√3(sin x2cos π3−cos x2sin π3)+2cos x2=√3sin x2−cos x2=2sin(x2−π6)，要使g(x)=f(x)−m 在区间[0,4π]上恰有三个不同的零点，则需函数y =f(x)的图象与直线y =m 有三个不同的交点， 作出函数f(x)的大致图象如下图所示，不妨设x 1<x 2<x 3，由图象可知，x 1=0,x 3=4π,2sin(x 22−π6)=−1，则x 22−π6=7π6，∴x 2=8π3，∴x 1+x 2+x 3=0+8π3+4π=20π3，∴f(x 1+x 2+x 3)=2sin(10π3−π6)=−1．故选：A ．化简函数f(x)，作出f(x)的大致图象，观察图象可求得x 1，x 2，x 3的值，进而求得f(x 1+x 2+x 3).本题考查函数零点与方程根的关系，考查三角函数的图象及性质，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：∵m a ⃗ +4b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 平行，∴设m a ⃗ +4b ⃗ =k(a ⃗ +2b ⃗ )， 由∵向量a ⃗ 与b ⃗ 为一组基底，∴{m =k4=2k ，解得：m =2． 故m 的值为：2．利用平面向量共线定理可解决此题．本题考查向量共线定理，考查数学运算能力，属于基础题．14.【答案】√1010【解析】解：∵cosα=−45cosα=2cos2α2−1=−45∴cosα2=±√1010∵α∈(π2,π)∴α2∈(π4,π2)∴cosα2=√1010故答案为：√1010利用余弦函数的二倍角公式即可求得答案．本题考查二倍角的余弦，属于基础题．15.【答案】15【解析】解：由题意可得，∠DAC=67°−37°=30°，根据正弦定理可得，ACsin30∘=DCsin∠DAC，∴AC=200.6×12=503，在△ACE中，AE=AC×sin67°=503×0.92≈15，故答案为：15．结合已知条件，以及正弦定理，即可求解．本题考查解三角形的正弦定理，以及实际应用，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．16.【答案】128【解析】解：由题意，|e1⃗⃗⃗ |=|e2⃗⃗⃗ |=1，又|2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ |≤√3，∴(2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ )2≤3，即4|e 1⃗⃗⃗ |2+|e 2⃗⃗⃗ |2−4e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ ≤3，可得e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ ≥12， 设e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 的夹角为α，得cosα≥12． 又a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =2|e 1⃗⃗⃗ |2+3e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +|e 2⃗⃗⃗ |2=3+3e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =3+3cosα，|a ⃗ |2=(e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ )2=|e 1⃗⃗⃗ |2+2e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +|e 2⃗⃗⃗ |2=2+2e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =2+2cosα， |b ⃗ |2=(2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ )2=4|e 1⃗⃗⃗ |2+4e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +|e 2⃗⃗⃗ |2=5+4e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =5+4cosα．∴cos 2θ=(a ⃗ ⋅b ⃗ )2|a ⃗ |2⋅|b ⃗ |2=(3+3cosα)2(2+2cosα)(5+4cosα) =92⋅1+cosα5+4cosα=98⋅(5+4cosα−15+4cosα)=98(1−15+4cosα). ∵cosα≥12，∴cos 2θ≥2728， ∴sin 2θ≤128，即sin 2θ的最大值为128． 故答案为：128．e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 的夹角为α，由|2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ |≤√3，得到cosα≥12，分别把a ⃗ ⋅b ⃗ ，|a ⃗ |，|b ⃗ |用含有cosα的式子表示，求出cos 2θ的最小值，则sin 2θ的最大值可求．本题考查平面向量的数量积运算，考查由数量积求夹角，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)根据题意，故数列{a n }是递减数列，证明：数列{a n }中，a n =1+6n ， 则a n+1=1+6n+1，则a n+1−a n =(1+6n+1)−(1+6n )=6n+1−6n =−6n(n+1)<0， 故数列{a n }是递减数列；(2)若a n =n ，即1+6n =n ，变形可得n 2−n −6=0， 解可得：n =3或−2(舍)， 故n =3．【解析】(1)根据题意，由数列的通项公式可得a n+1=1+6n+1，据此可得a n+1−a n 的表达式，分析其符号可得结论；(2)根据题意，若数列{a n }中存在a n =n 的项，则有1+6n =n ，解可得n 的值，即可得答案．本题考查数列的表示方法，涉及数列的通项公式，属于基础题．18.【答案】解：选择条件①：(1)由余弦定理，c 2=a 2+b 2−2abcosC =9+16−2×3×4×23=9，即c =3，∴a =c ，sinA =sinC =√1−cos 2C =√1−49=√53；(2)S △ABC =12absinC =12×3×4×√53=2√5，设AC 边上的高为h ，则12bℎ=2ℎ=2√5， ∴ℎ=√5；选择条件②：(1)在△ABC 中，由cosC =23,cosB =19得，sinC =√53,sinB =4√59，∴sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =4√59×23+19×√53=√53； (2)由(1)知sinA =sinC ，∴A =C ，a =c =3， ∴S △ABC =12acsinB =12×3×3×4√59=2√5，且b =2acosC =2×3×23=4，设AC 边上的高为h ，则12bℎ=2ℎ=2√5，解得ℎ=√5．【解析】选择条件①时：(1)根据余弦定理可求出c =3，从而可求出sinA =sinC =√53；(2)根据三角形的面积公式可求出S △ABC =2√5，再根据等积法可求出AC 边上的高； 选择条件②时：(1)根据两角和的正弦公式即可求出sinA =sin(B +C)=√53；(2)可得出A =C ，a =c ，然后根据三角形的面积公式可求出S △ABC =2√5，并求出b =4，然后根据等积法可求出AC 边上的高．本题考查了余弦定理，三角形的面积公式，两角和的正弦公式，考查了计算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)根据题意，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα,sinα)，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosβ,sinβ)， 则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2， 故|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2； (2)设OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则(cosα−cosβ,sinα−sinβ)=(0,1)，即{cosα=cosβsinα−sinβ=1， 又由−π2<β<α<π2，则α=−β，则sinα−sinβ=sinα−sin(−α)=2sinα=1，则α=π6，β=−π6， 故α=π6，β=−π6．【解析】(1)根据题意，由向量的坐标公式可得|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，又由|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，计算可得答案； (2)根据题意，由向量的坐标计算公式可得(cosα−cosβ,sinα−sinβ)=(0,1)，即{cosα=cosβsinα−sinβ=1，结合α、β的范围分析可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及向量模以及向量的坐标的计算，属于基础题．20.【答案】解：f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx =cos2x +√3sin2x +1=2sin(2x +π6)+1．(1)令−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ， 解得−π3+kπ≤x ≤π6+kπ，∴f(x)的递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ]，k ∈Z ． (2)x ∈[0,m]，得[π6,π6+2m]， ∵f(x)在[0,m]上的最小值为2， ∴π6+2m ≤5π6，解得m ∈(0,π3].【解析】首先利用二倍角公式及辅助角公式将f(x)化简成正弦型函数，再利用正弦型函数的单调性解题．该题考查三角函数的二倍角公式及辅助角公式，还考查正弦型函数的单调性及最值，属于中等题型．21.【答案】解：(1)证明：sinA=sin(A+B2+A−B2)=sin A+B2cos A−B2+cos A+B2sin A−B2，sinB=sin(A+B2−A−B2)=sin A+B2cos A−B2−cos A+B2sin A−B2，sinA+sinB=2sin A+B2cos A−B2，sinA−sinB=2cos A+B2sin A−B2，由正弦定理知，a+ba−b =sinA+sinBsinA−sinB，∴a+ba−b =sinA+B2cos A−B2cos A+B2sin A−B2=tanA+B2tan A−B2，∴a+ba−b =tanA+B2tan A−B2；(2)∵a2+c2−b2=ac，∴根据余弦定理，有cosB=a2+c2−b22ac =ac2ac=12，∵B∈(0,π)，∴B=π3，∴A+C=2π3，C=2π3−A，∴sinA−sinC=sinA−sin(2π3−A)=sinA−√32cosA−12sinA=12sinA−√32cosA=sin(A−π3)=√22，且A−π3∈(−π3,π3)，∴A−π3=π4，A=7π12，C=π12．【解析】(1)可得出sinA+sinB=2sin A+B2cos A−B2，sinA−sinB=2cos A+B2sin A−B2，根据正弦定理可得出a+ba−b =sinA+sinBsinA−sinB，从而得到a+ba−b=tanA+B2tan A−B2；(2)根据条件及余弦定理可求出B=π3，然后根据sinA−sinC=√22，可得出sin(A−π3)=√22，再求出A，C的值．本题考查了正余弦定理，两角和差的正弦公式，弦化切公式，考查了计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)当P、Q分别为线段AB、AD的中点时，S△CPQ=S正方形ABCD −S△CDQ−S△APQ−S△CBQ=4−1−1−12=32，(2)∵Q为线段AD上的点，∴当点Q与点D重合时，点Q到直线CP的距离最远，此时△CPQ面积最大，△CPQ面积的最大值为12×2×2=2．(3)设AP=m，AQ=n，则tan∠BCP=2−m2，tan∠DCQ=2−n2，又∵∠PCQ=π4，∴∠BCP+∠DCQ=π4，∴2−m 2+2−n21−2−m2⋅2−n2=1，化简整理得，n=8−4m4−m，m∈[0,2]，n∈[0,2]，则PQ2=m2+n2=m2+(8−4m4−m)2，令t=4−m，t∈[2,4]，则PQ2=(4−t)2+(−8+4tt )2=(t+8t−4)2，故PQ=|t+8t−4|，t∈[2,4]，∵t+8t∈[4√2,6]，∴PQ∈[4√2−4,2]．【解析】(1)当P、Q分别为线段AB、AD的中点时，S△CPQ=S正方形ABCD−S△CDQ−S△APQ−S△CBQ，(2)当点Q与点D重合时，点Q到直线CP的距离最远，从而求得，(3)设AP=m，AQ=n，由∠BCP+∠DCQ=π4及两角和的正切公式得2−m 2+2−n21−2−m2⋅2−n2=1，从而可得n=8−4m4−m ，m∈[0,2]，n∈[0,2]，从而得到PQ2=m2+n2=m2+(8−4m4−m)2，再化简求解即可．本题考查了学生通过建模解决实际问题能力，同时考查了学生的化简运算的能力，属于中档题．。
2020-2021学年四川省南充高级中学高一下学期期末考试数学试卷
南充高中2020级高一下学期末阶段性检测数学试题一、单项选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1. 若b a >，则下列不等式中成立的是（） A.ba 11<B. 33b a >C. 22b a >D. ||b a >2. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且18247=+S a ，则=3a （） A. 2B. 3C. 7D. 93. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，b ＝37，c ＝3，∠B ＝60°，则a 边为（ ） A ．97B ．67C ．9D ．64. 设R y x ∈,，向量)1,(x a =，),2(y b -=，)3,1(-=c ，c a ⊥，c b //，则=+||b a （ ） A. 5B. 102C. 53D. 255．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，则n ⊥β B ．若m ⊥α，n ⊥β，n ⊥m ，则α⊥βC ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4csin C ，cos A =－14， 则bc=（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体（截面过棱的中点）得到的，如果被截正方体的棱长是20cm ，那么石凳的表面积是（ ） A ．1200cm 2B ．C ．D ．8. 已知数列{a n }中，11a =，23122n S n n =-，设11n n n b a a +=，则数列{b n }的前n 项和为（）A.31+n n B. 331nn + C.132n n -- D.3332n n -+-9．如图，己知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（） A ．直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCD B ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD B C ．直线AD 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCD D ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B 10. 若实数0,0x y >>，且21x y +=，则12y x y y++（） A. 有最大值为73B. 有最小值为122+ C. 有最小值为2D. 无最小值11．已知△ABC 中，B ＝C －，sin A ＝，BC ＝，则△ABC 的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知数列{a n }满足a n ＋1＝n n a 2a 1+，a 1＝1，数列{b n }满足b 1＝1，b n －b n －1＝n1a (n ≥2)；则数 列13n b n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小值为（ ）A.436B.223C. 213D.294二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 不等式102x x -<+的解集为__________. 14. 若2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 15. 已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径. 若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S －ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________.16. 给出以下几个结论：①若等比数列{}n a 前n 项和为3nn S a =+，N n *∈，则实数a =-1；②若数列{}{},n n a b 的通项公式分别为2020(1),n n a a +=-2021(1)2n n b n+-=+，且n n a b <，对任意*n N ∈恒成立，则实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡-23,1；③设在△ABC 中，内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，且2cos 2cos a B b A c -=，则()tan A B -的最大值为33； ④在△ABC 中，三内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，则()22cos cos c a B b A a b -=-. 其中正确结论的序号为. 三、解答题（共70分）17.（10分）已知递增等差数列{}n a ，且13=a ，4a 是3a 和7a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}nn a 2+的前n 项和n S.18.（12分）已知关于x 的函数()2()3+3()f x x m x m m R =-+∈.（1）若关于x 的方程2()20f x x -=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2,求m 的取值范围；（2）求关于x 的不等式()0f x <的解集.19．（12分）在《九章算术》中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．如图所示的五面体是一个羡除，其中棱AB ，CD ，EF 相互平行，四边形ABEF 是梯形．已知CD ＝EF ，AD ⊥平面ABEF ，BE ⊥AF ． （1）求证：DF ∥平面BCE ； （2）求证：平面ADF ⊥平面BCE ．20．（12分）如图在ABC ∆中， 60=∠A ，9||=AB ，4||=AC ，点E 在边AB 上，点F 在AC 的延长线上，EF 交BC 于D ，设x CF =||，y BE =||.（1）若y x =，求||EF 的最小值；（2）若BDE ∆与CDF ∆面积相等，求x y -的最大值.ACEBFDx y21. （12分）如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,A C ∠=∠=105ADC ∠=，AB BD =，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点． （1）求证：DC ⊥平面ABC ；（2）求BF 与平面ABC 所成角的正弦； （3）(文科不做)求二面角B －EF －A 的余弦． 22. （12分）已知数列{}n a 满足：112a =，112n n n a a n++=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 前n 项和n S ； （3）若集合22{|2}n n A n S n nλ+=-≥+为空集，求实数λ的取值范围.答案1-10 BACDB DCAAB 11-12 CD 13．答案：{}21x x -<<14．答案：19- 15.36π 16.①③④17．解析：（1）在递增等差数列{}n a 中，设公差d >0243731a a a a ⎧=⋅⎪∴⎨=⎪⎩⎩⎨⎧=+++=+∴12)6)(2()3(11121d a d a d a d a ⎩⎨⎧=-=231d a 52-=∴n a n（2）)2.....84252(.......1-3-n n n S ++++-++=（））（）（ =21)21(22)523---+-+n n n （=22412-+-+n n n18.解：（1）方程f （x ）﹣2x 2＝0即x 2﹣（m +3）x +m ＝0，方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，令g （x ）＝x 2﹣（m +3）x +m ，则g （2）＝4﹣2（m +3）+m ＝﹣2﹣m ＜0，即m ＞﹣2．∴m 的取值范围为（﹣2，+∞）；（2）由3x 2﹣（m +3）x +m ＜0，得（x ﹣1）（3x ﹣m ）＜0．若m ＝3，不等式化为3（x ﹣1）2＜0，x ∈∅； 若m ＜3，则＜1，不等式f （x ）＜0的解集为（）；若m ＞3，则＞1，不等式f （x ）＜0的解集为（1，）． 综上，若m ＝3，不等式f （x ）＜0的解集为∅； 若m ＜3，不等式f （x ）＜0的解集为（）；若m ＞3，不等式f （x ）＜0的解集为（1，）．19.证明：（1）∵AB ，CD ，EF 相互平行，四边形ABEF 是梯形，CD ＝EF ，∴四边形CDFE 是平行四边形，∴DF ∥CE ，∵DF ⊄平面BCE ，CE ⊂平面BCE ，∴DF ∥平面BCE ． （2）∵AD ⊥平面ABEF ，BE ⊂平面ABEF ，∴BE ⊥AD ， ∵BE ⊥AF ，AF ∩AD ＝A ．∴BE ⊥平面ADF ， ∵BE ⊂平面BCE ，∴平面ADF ⊥平面BCE 20.解（1）在AEF ∆中由余下定理可知：60cos )9)(4(2)9()4(222y x y x EF -+--++=，注意到y x =，41694169)25(361153222≥+-=+-=∴x x x EF ， ∴当25==y x 时||EF 由最小值213.（2）BDE ∆与CDF ∆面积相等知：ABC ∆与AEF ∆面积相等，ACEBFD xy∴AEF ∆的面积 60sin 942160sin )9)(4(21⋅=-+=∆y x S AEF ， 36)9)(4(=-+∴y x ，4369+-=∴x y 136213]436)4[(13=-≤+++-=-∴x x x y ，当且仅当4364+=+x x ，即⎩⎨⎧==32y x 时取等，x y -∴的最大值为1.21. （Ⅰ）证明：在图甲中∵AB BD =且45A ∠=∴45ADB ∠=，︒=∠90ABD ，AB BD ⊥在图乙中，∵平面ABD ⊥平面BDC ，且平面ABD 平面BDC ＝BD∴AB ⊥底面BDC ，∴AB ⊥CD ． 又90DCB ∠=，∴DC ⊥BC,且ABBC B =∴DC ⊥平面ABC ．（Ⅱ）∵E 、F 分别为AC 、AD 的中点∴EF//CD ，又由（1）知，DC ⊥平面ABC ， ∴EF ⊥平面ABC ，垂足为点E∴∠FBE 是BF 与平面ABC 所成的角 在图甲中，∵105ADC ∠=,∴60BDC ∠=,30DBC ∠=设CD a = 则2,3BD a BC a ==,a BD BF 222==， 1122EF CD a ==∴在Rt △FEB 中，122sin 2a EF FBE FB a∠==即BF 与平面ABC 所成角的正弦值为24． （Ⅲ）由（Ⅱ）知 FE ⊥平面ABC ，又∵BE ⊂平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，∴FE ⊥BE ，FE ⊥AE ，∴∠AEB 为二面角B －EF －A 的平面角在△AEB 中，2211722AE BE AC AB BC ===+= ∴2221cos 27AE BE AB AEB AE BE +-∠==-⋅，即所求二面角B －EF －A 的余弦为17-．22.解：（1）由题意得1112n n a n a n++=⋅，当2n ≥时， 121121112()()21212n n n n n n n a a a n n n a a a a a n n ----=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=--，又112a =也满足上式，故2n n n a =；（2）由（1）可得n 23n 123nS (2222)=++++①∴231112122222n n n n nS +-=++++② ①-②，得231111111212222222n n n n n n S +++=++++-=-，所以222n n n S +=-; （3）由（2）可得222n nn S +-=，所以2222222n n n n n S n n n n λλ+++-≥⇔≥++，即22n n nλ+≤. 令()2*()2nn n f n n N+=∈则(1)1f =，3(2)2f =，3(3)2f =，5(4)4f =，15(5)16f =， 因为2211(1)(1)(1)(2)(1)()222n n n n n n n n n f n f n +++++++-+-=-=, 所以，当3n ≥时，(1)()0f n f n +-<，即()()1f n f n +<.因为集合A 为空集，所以()2*2nn n n N λ+≤∈的解为空集，所以23>λ。
2020-2021学年四川省南充高级中学高一下学期入学考试化学试卷
C.线段Ⅲ代表Fe2+的变化情况D.原混合溶液中n(FeBr2)=4mol
12．将15.2 g铜和镁组成的混合物加入250 mL4.0 mol • L－1的稀硝酸中，固体完全溶解，生成的气体只有NO。向所得溶液中加入1.0 L NaOH溶液，此时金属离子恰好沉淀完全，沉淀质量为25.4 g，下列说法不正确的是（）
D．位于同一周期的甲、乙两种元素，甲位于第ⅠA族，原子序数为x，乙位于第ⅢA族，则乙原子序数可能为x＋19
8．下列各实验相应操作、实验现象及原因解释或推论合理的是()
选项
操作
现象
解释或推论
A
铁片投入浓硫酸
无明显变化
常温下铁不与浓硫酸反应
B
将浓硫酸滴到白纸上
白纸变黑
浓硫酸强氧化性导致纸张中的纤维素炭化
10．70.4 mg铜跟适量的浓硝酸反应，铜完全反应后，共收集到22.4 mL(标准状况)气体，反应消耗的HNO3的物质的量可能是()
A.3.2×10－3molB.1.6×10－3molC.2.2×10－3molD.2.4×10－3mol
11．已知：还原性强弱：I－＞Fe2+＞Br－，向仅含Fe2+、I－、Br－的溶液中通入适量氯气，溶液中这三种离子的物质的量随消耗氯气物质的量的变化如图所示。下列说法中正确的是（）
硫酸 化学纯(CP)
(500 mL)
品名：硫酸
化学式：H2SO4
相对分子质量：98
密度：1.84 g·cm－3
质量分数：98%
3．如图是硫酸试剂瓶标签上的部分内容。据此下列说法中，正确的
是()
A.该硫酸可以用来干燥硫化氢气体
B.若需190 mL 4.6 mol·L－1的稀硫酸需取该硫酸62.5 mL进行配制
四川省南充市2020-2021学年高一下学期期末数学试题
A． 3
B． 2 3
C． 3 3
D． 4 3
2． cos 72cos12 + sin 72sin12 = （ ）
A． cos84
B． sin 84
C． 0
D． 1 2
3．设 b a ， d c ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． a − c b − d
B． ac bd
C． a + c b + d
13． sin15cos15 = ______.
14．等比数列an 中， a3 = 12 ， a5 = 48 ，则 a7 = ______.
3
D
2
15．在△ABC 中， cos C = 5 ， BC = 1， AC = 5 ，则 AB = ______. 25
16．已知正三棱锥 S − ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，棱锥的底面是边长为 2 3 的正三角形，侧棱长为
A．-2
B．0
C．3
D．6
6．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 B = 45 ，C = 60 ，c = 1，则△ABC 的最短边的边
长等于
A． 3 2
B． 1 2
C． 6 2
D． 6 3
7．不等式 x2 − 2x −5 2x 的解集是
A．x x 5或x −1
B．x x 5或x −1
2 5 ，则球 O 的表面积为______.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必 须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17．（本题满分 12 分）
已知等差数列an 的前三项依次为 a，4， 3a .
四川省南充市2020-2021学年高一下学期教学质量监测(期末)数学试卷 Word版含解析
四川省南充市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.棱长为1的正四面体的表面积为（）A. B. C. D.2. （）A. B. C.0 D.3.设，，则下列不等式中一定成立的是（）A.B.C.D.4.下列说法中，错误的是（）A.平行于同一直线的两个平面平行B.平行于同一平面的两个平面平行C.一个平面与两个平行平面相交，交线平行D.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交5.设是等差数列的前项和，，，则（）A.-2B.0C.3D.66.在中，内角，，所对的边分别为，，，，，，则最短边的长等于（）A. B. C. D.7.不等式x2－2x－5>2x的解集是()A.{x|x≥5或x≤－1}B.{x|x>5或x<－1}C.{x|－1<x<5}D.{x|－1≤x≤5}8.利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是（）A. ①②B. ①C. ③④D. ①②③④9.已知，则（）A. B. C. D.10.已知函数，设，，，则（）A.B.C.D.11.将正方形沿对角线折起，并使得平面垂直于平面，则折起后的直线与所成的角为（）A.0°B.30°C.45°D.60°12.在中，，的面积为2，则的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. ________．14.等比数列中，若，，则________.15.在中，，，，则________.16.已知正三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球O的表面积为________．三、解答题（本大题共70分）17.已知等差数列的前三项依次为a，4，．（1）求a；（2）记为的前n项和，若，求k．18.已知函数．（1）若有一个零点为，求a；（2）若当时，恒成立，求a的取值范围．19.如图，在三棱锥中，平面平面，且是正三角形，点O是的中点，点D是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：．20. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求；（2）若，的周长为，求的面积．21.已知数列的前n项和，数列满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）设，数列的前n项和为，求满足的n的最大值．22.比较x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小．23.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，试判断的形状.答案解析部分四川省南充市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷一、单选题1.棱长为1的正四面体的表面积为（）A.B.C.D.2. （）A.B.C.0D.3.设，，则下列不等式中一定成立的是（）A.B.C.D.4.下列说法中，错误的是（）A.平行于同一直线的两个平面平行B.平行于同一平面的两个平面平行C.一个平面与两个平行平面相交，交线平行D.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交5.设是等差数列的前项和，，，则（）A.-2B.0C.3D.66.在中，内角，，所对的边分别为，，，，，，则最短边的长等于（）A.B.C.D.7.不等式x2－2x－5>2x的解集是()A.{x|x≥5或x≤－1}B.{x|x>5或x<－1}C.{x|－1<x<5}D.{x|－1≤x≤5}8.利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是（）A. ①②B. ①C. ③④D. ①②③④9.已知，则（）A.B.C.D.10.已知函数，设，，，则（）A.B.C.D.11.将正方形沿对角线折起，并使得平面垂直于平面，则折起后的直线与所成的角为（）A.0°B.30°C.45°D.60°12.在中，，的面积为2，则的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题13. ________．14.等比数列中，若，，则________.15.在中，，，，则________.16.已知正三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球O的表面积为________．三、解答题17.已知等差数列的前三项依次为a，4，．（1）求a；（2）记为的前n项和，若，求k．18.已知函数．（1）若有一个零点为，求a；（2）若当时，恒成立，求a的取值范围．19.如图，在三棱锥中，平面平面，且是正三角形，点O是的中点，点D是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：．20. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求；（2）若，的周长为，求的面积．21.已知数列的前n项和，数列满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）设，数列的前n项和为，求满足的n的最大值．22.比较x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小．23.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，试判断的形状.答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】【解答】如图，由正四面体的概念可知，其四个面均是全等的等边三角形，由其棱长为1，所以，所以可知，正四面体的表面积为。
四川省南充高级中学2020-2021学年高一下学期阶段性检测数学试卷 含答案
南充高中高2020级阶段性检测数 学 试 题第I 卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共60分）1．已知集合{lg 0}A xx =≤∣，集合{(2)(21)0}B x x x =-+≤∣，则A B =（ ）A ．112xx ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭∣ B ．122x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭C ．112xx ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭∣ D ．{01}x x <≤∣ 2．如果角α的终边过点(1,3-，则sin α的值等于（ ） A ．12B ．12-C ．3D ．33-3．已知函数()()0.52,2log 1,2x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，则()3=f f -⎡⎤⎣⎦（ ） A ．2B ．2-C ．12-D ．124． 已知()222f x x +=-，且()4f a =，则a =（ ） A ．10B ．6C ．5D ．35．设()0.61.31,tan 130,log 0.43a b c -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．a b c <<6．已知32xyt ==，且112x y+=，则t =（ ）A ．26B ．6C ．36D ．67．已知菱形ABCD 的边长为2，2,120EC BE ABC =∠=︒，则AE BD ⋅的值为（ ） A ．43B ．43-C ．23D ．23-8．已知函数()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若()f x 在区间π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，则 m 的最小值是（ ）． A ．π2B ．π3C ．6π D ．π129．下列式子结果为3的是（ ） ①tan 25tan353tan 25tan35++；②()2sin35cos 25cos35cos65+；③1tan151tan15︒︒+-；④1tan151tan15︒︒-+. A ．①② B ．③C ．①②③D ．②③④10．设()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在(),0-∞上是减函数，又()40f -=，则不等 式()()440f x f x x+--->的解集是（ ）A ．()0,4B ．()8,4--C ．()()4,00,4-D ．()()8,40,4--11．如图，直线x t =与函数()3log f x x =和()3log 1g x x =-的图象分别交于点A ，B ， 若函数()y f x =的图象上存在一点C ，使得为等边三角形，则t 的值为（ ） A ．322B ．3332C ．3334D ．33312．已知函数12,0()21,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，关于x 的方程23())0()(f f x a x a -+=∈R 有8个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A ．13(3,)4B ．(2,3)C ．4(,4)3D ．92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共20分） 13．边长为2的等边的外接圆的面积________. 14212sin 40cos 40cos 401sin 50---为_______.15．计算：()()1132540282.25+9.621log log 572-⎛⎫--+ ⎝⎭⋅⎪=_________．16．已知210()log 2sin 1,(2021)1,(2021)310x f x x f m f n x -⎛⎫=+--=-=- ⎪+⎝⎭，则m n +的值为_______． 三、解答题（70分）17．（本小题10分）已知函数()1xf x a =-（0a >，且1a ≠）满足()()1124f f -=.（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）解不等式()0f x >.18．（本小题12分）已知0x π-<<，1sin cos 5x x +=. （1）求sin cos x x -的值；（2）求22sin cos 2sin 1tan x x xx+-的值.19．（本小题12分）已知点A （2，3），B （6，1），O 为坐标原点，P 为x 轴上一动点. （1）若AP ⊥BP ，求点P 的坐标；（2）当AP BP ⋅取最小值时，求向量AP 与BP 的夹角的余弦值.20．（本小题12分）已知函数21()3sin cos cos 22f x x x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭. （1）若对任意,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()f x a ≥成立，求实数的取值范围； （2）若先将()y f x =的图像上每个点横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，求函数1()3y g x =-在区间[],3ππ-内的所有零点之和.21．（本小题12分）如图所示，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM ＝R ，∠MOP ＝45°，OB 与OM 之间的夹角为θ.（1）将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成θ的函数；（2）若R ＝45 m ，求当θ为何值时，矩形ABCD 的面积S 最大？最大面积是多少？(取2＝1.414)22.（本小题12分）已知函数()sin()2xf x x R π=∈.任取t R ∈，若函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，记()()()g t M t m t =-.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程； （2）当[]2,0t ∈-时，求函数()g t 的解析式； （3）设函数()2x kh x -=，()28H x x x k k =-+-，其中实数k 为参数，且满足关于t 的5()0g t -≤有解.若对任意[)14,x ∈+∞，存在(]2,4x ∈-∞，使得21()()h x H x =成立，求实数k 的取值范围.绝密★启用前2021年3月15日考试答案参考答案1．D 2．C 3． B 4．C()222f x x +=-，且()4f a =，所以，2224x a x +=⎧⎨-=⎩，解得35x a =⎧⎨=⎩. 5．C0.60.6133a -⎛⎫== ⎪⎝⎭，又指数函数3xy =是单调递增函数，0.60.533∴>=，即a >tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增， ()()tan 130tan 18050tan50b =-=--=，所以tan 45tan 50tan 60<<，即1b <<对数函数 1.3log yx =是单调递增函数，1.3 1.3log 0.4log 10c ∴=<=，即0c <c b a ∴<<，6．B 解：根据题意，320x y t ==>，则有3log x t =，2log y t =，则11log 3,log 2t t x y==，又112x y +=，即log 3log 2log 62t t t +==，所以26t =，解得t =0t >，所以t =7．B 【详解】因为2EC BE =，所以13BE BC =， 因为13AE AB BE BA BC =+=-+，BD BA AD BA BC =+=+， 所以()13AE BD BA BC BA BC ⎛⎫⋅=-+⋅+ ⎪⎝⎭，222133BA BA BC BC =--⋅+，2221222cos120233=--⨯⨯⨯+⨯，43=-，8． B 解：()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，sin(2)6x π∴-在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，52()366πππ⨯--=-，262m ππ∴-，3m π∴，m ∴的最小值是3π．9．C 解：对于①，由于()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-，所以tan 25tan353tan 25tan35++()()tan 25351tan 25tan353tan 25tan35tan 25353⎡⎤=+-+=+=⎣⎦；对于②，由于cos 65sin 25=， 所以()()2sin35cos 25cos35cos652sin35cos 25cos35sin 252sin 603+=+==；对于③，因为tan 451=， 1tan15tan 45tan15tan 6031tan151tan 45tan15︒︒︒︒︒︒++===--； 对于④，因为tan 451=， 1tan15tan 45tan153tan 301tan151tan 45tan153︒︒︒︒︒︒-+-===+； 10．B 因为()f x 是R 上的奇函数，则()00f =，由于函数()f x 在(),0-∞上是减函数，则该函数在()0,∞+上也为减函数，()40f -=，则()()440f f =--=，作出函数()f x 的大致图象如下图所示：由()()440f x f x x +--->，可得()240f x x+>，由()400f x x ⎧+>⎨>⎩，可得440x x +<-⎧⎨>⎩或0440x x <+<⎧⎨>⎩，此时x ∈∅；由()400f x x ⎧+<⎨<⎩，可得4400x x -<+<⎧⎨<⎩或440x x +>⎧⎨<⎩，解得84x -<<-.因此，不等式()()440f x f x x+--->的解集是()8,4--.故选：B. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦； （2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 11．C 由題意()3,log At t ，()3,log 1B t t -，1AB =.设()3,log C x x ，因为ABC 是等边三角形，所以点C 到直线AB 的距离为32，所以3t x -=，3x t =-. 根据中点坐标公式可得33333log log 131log log log 223t t t t ⎛⎫+--==-= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以33t -=，解得333t +=.故选：C 12．D 【详解】令()t f x =，由()()230f f x a x -+=，得220t t a -+=，设关于t 的二次方程220t t a -+=的两根分别为1t 、2t ， 如下图所示：由于关于x 的方程()()()230f f x a x a R -+=∈有8个不等的实数根，则112t <<，212t <<，设()23g t t t a =-+，则()()940120220a g a g a ⎧∆=->⎪=->⎨⎪=->⎩，解得924<<a .因此，实数的取值范围是92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：D.13．4π314．1依题意(22cos 401sin 50cos 40cos 50=---cos 40sin 40cos 40sin 401cos 40cos50cos 40sin 40--===--. 15．34【详解】原式12()25232111log 2log 52322⨯-⎛⎫=+--⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭2211334=+--34=. 16．【答案】4042【分析】计算()()2f x f x +-=-，得函数()f x 图象关于点(0,1)-对称，然后由对称性可得m n +值． 【详解】∵221010()()log 2sin 1log 2sin()121010x x f x f x x x x x ---⎛⎫⎛⎫+-=+-++--=- ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭,∴()f x 的图像关于点()0,1-对称，()()202120212f m f n -+-=-∴()2021,1m -和()2021,3n --关于点()0,1-对称，∴202120210m n -+-=∴4042m n +=． 故答案为：4042． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的对称性，利用对称性求得参数值，若()()2f a x f a x b ++-=，则函数()f x 的图象关于点(,)a b 对称，本题也可构造奇函数求解：210()()1log 2sin 10x g x f x x x -⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭是奇函数，由此求解．17．（Ⅰ）12（Ⅱ）(),0-∞ 【详解】（Ⅰ）∵()1xf x a =-（0a >，且1a ≠），∴()()()()221211f f a a a a -=---=-.由214a a -=，解得12a =.∴的值为12. （Ⅱ）不等式()0f x >即1102x⎛⎫-> ⎪⎝⎭，∴121x ⎛⎫ ⎪⎭>⎝.即01122x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∵12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),-∞+∞上单调递减，∴0x <.∴不等式()0f x >的解集为(),0-∞.18．（1）75-；（2）24175-. （1）由1sin cos 5x x +=，两边平方得221sin 2sin cos cos 25x x x x ，整理得242sin cos 25x x =-.所以()249sin cos 12sin cos 25x x x x -=-=，由0x π-<<，∴sin 0x <，又12sin cos 025x x =-<，∴cos 0x >，∴sin cos 0x x -<， 故7sin cos 5x x -=-.（2）原式()()2412sin cos sin 2sin cos cos sin 24255sin 7cos sin 1751cos 5x x x x x x x x x x x-⨯++====---. 19．（1）(3,0)或(5,0)；（2）. 解：根据题意，设点P (x ,0)，又A (2,3)，B (6,1)，得AP =(x -2,-3)，BP =(x -6,-1)， （1）由AP ⊥BP ，即AP BP ⋅=(x -2)(x -6)+(-3)×(-1)＝x 2-8x +15＝0，解得x ＝3或x ＝5， ∴P 的坐标为(3,0)或(5,0)；（2）由AP BP ⋅=(x -2)(x -6)+(-3)×(-1)＝x 2-8x +15＝(x -4)2-1， 当x ＝4时，AP BP ⋅取得最小值-1，此时AP =(2,-3)，BP=(-2,-1)，|AP |=|BP |=，∴AP 与BP 夹角的余弦值为：cosθ|||6513|AP BP AP BP ⋅===-. 20．（1）1a ≤-，（2）6π 解：（1）21()cos cos 22f x x x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭21cos (2sin 1)2x x x =+-31sin 2cos 2sin(2)226x x x π=-=-， 若对任意,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()f x a ≥成立，则只需min ()f x a ≥即可， 因为,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以552[,]666x πππ-∈-，所以当262x ππ-=-即π6x =-时，()f x 取得最小值为1-，所以1a ≤-， （2）先将()f x 的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得sin()6y x π=-的图像，然后再向左平移6π个单位得到函数()sin g x x =的图像， 函数1()3y g x =-在区间[],3ππ-内的所有零点，即1sin 3x =的实数根，它的实数根共4个，设为1234,,,x x x x ，则根据对称性可知这4个根关于直线32x π=对称，所以1234342x x x x π+++=，所以12346x x x x π+++=21．（1）S ＝2R 2sin (2)4πθ+－R 2，θ∈(0,)4π；（2）当θ＝8π时，矩形ABCD 的面积S 最大，最大面积为838.35 m 2.解：（1）由题意，可知点M 为PQ 的中点，所以OM ⊥AD .设OM 与BC 的交点为F ，则BC ＝2R sin θ，OF ＝R cos θ，所以AB ＝OF －12AD ＝R cos θ－R sin θ.所以S ＝AB ·BC ＝2R sin θ(R cos θ－R sin θ)＝R 2(2sin θcos θ－2sin 2θ)＝R 2(sin 2θ－1＋cos 2θ)＝2R 2sin (2)4πθ+－R 2，θ∈(0,)4π.（2）因为θ∈(0,)4π，所以2θ＋4π∈3(,)44ππ，所以当2θ＋42ππ=，即θ＝8π时，S 有最大值.S max ＝(2－1)R 2＝2－1)×452＝0.414×2 025＝838.35(m 2).故当θ＝8时，矩形ABCD 的面积S 最大，最大面积为838.35 m 2.。
四川省南充市高一下学期期中数学试题(解析版)
高一级数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮㲾干净后，再选涂其他答案标号.回答非选挂题时，将答㭉写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.第I 卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（ ） 45︒A. （） B. （） 2π45k +︒Z k ∈π3604k ⋅︒+Z k ∈C. （） D. （） 36045k ⋅︒+︒Z k ∈5ππ4k +Z k ∈【答案】C 【解析】【分析】根据终边相同的角的表示方法以及角度和弧度的应用，一一判断各选项，可得答案. 【详解】对于A ，B ，终边相同的角的表达式中弧度与角度混用，不正确； 又与角的终边相同的角的表达式可以为（）或（）， 45︒36045k ⋅︒+︒Z k ∈π2π4k +Z k ∈对于，令，表示的角为与角的终边不相同，故C 正确，D 错误， 5ππ4k +0k =5π445︒故选：C2. 如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心， 则下列判断错误的是A.B. ∥ AB OC =AB DEC.D.AD BE = AD FC = 【答案】D 【解析】【详解】根据正六边形的性质及向量相等的概念易知，∥且，∴选项A 、AB OC = AB DE AD BE =B 、C 正确，故选D3. 下列求值正确的是（ ）A. B. 5sin4π=5cos4π=C. D. 7sin 4π=7cos4π=【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式计算.【详解】， πππsinsin(πsin 4445=+=-=5πππcos cos(πcos 444=+=-=， 7πππsinsin(2π)sin 444=-=-=7πππcos cos(2πcos 444=-==故选：D ．4. 已知角的终边经过点，且，则的值是（ ） α(8,)P m -3tan 4α=-cos αA.B. C. D.3535-45-45【答案】C 【解析】【分析】由可得，再根据余弦函数的定义求解即可. 3tan 4α=-6m =【详解】解：因为， 3tan 84m α=-=-所以，6m =所以. 84cos 105α==-=-故选：C.5. 下列函数不是奇函数的是（ ） A. B. sin y x x =+sin cos y x x =C. D.22cos sin y x x =-2tan 1tan xy x=-【答案】C 【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义，结合三角函数的性质即可化简求值.【详解】对于A , 定义域为,所以为奇函数，R ()()()sin ,f x x x f x =+---=-()f x 对于B ，定义域为，且，所以为奇函数， R ()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -==-=---()f x 对于C ，定义域为，且，所以为偶函数，R ()()()()2222cos sin cos sin f x x x x x f x -=-=---=()f x 对于D ，定义域满足且，所以且， tan 1x ≠±ππ,Z 2x k k ≠+∈ππ,Z 4x k k ≠±+∈ππ,Z 2x k k ≠+∈故定义域为或或,故定义域ππππ24x k x k ⎧-+<<-+⎨⎩ππππ44k x k +<<+-ππππ,Z 42k x k k ⎫+<<+∈⎬⎭关于原点对称，且，所以为奇函数， ()()()()22tan tan 1tan 1tan x xf x f x x x=-----==--故选：C6. 先将函数的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所有点πsin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），所得函数的解析式为（ ） 12A. B. 1πsin 426y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. D. π2sin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 46y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据图象的伸缩变换即可求解. 【详解】将函数的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变,得到πsin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再将所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变得到， πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭121πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：B7. 已知，则（ ）π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π2sin 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 2α=A. B.C. D. 134-341-【答案】B 【解析】【分析】据二倍角公式，两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.【详解】， π2sin(4αα=+, )22cos )cos sin αααα=+-，1(cos sin )(cos sin 02αααα∴+--=又，则，即π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 0,cos 0αα>>cos sin 0αα+>所以， 1cos sin 2αα-=因为，所以，. π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2(0,π)α∈sin 20α>由平方可得，即，符合题意. 1cos sin 2αα-=11sin 24α-=3sin 24α=综上，. 3sin 24α=故选：B.8. 已知函数在区间上单调，且在区间()()ππsin 033f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3ππ,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内恰好取得一次最大值，记的最小正周期为T ，则当取最大值时，的值为[]0,2π2()f x ω3T f ⎛⎫⎪⎝⎭（ ）A. 1B.C.D.1-【答案】C 【解析】【分析】化简得,结合已知可得，可解得，结()2sin (0)f x x ωω=>ππ3ππ,,2242ωω⎡⎤⎡⎤-⊇-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦203ω<≤合正弦函数的性质可得列不等式，得的范围，进而得解． ω【详解】， ππ()sin 33f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin (0)x ωω=>由，可得 ππ2π2π,Z 22k x k k ω-≤≤+∈2ππ2ππ,Z 22k k x k ωωωω-≤≤+∈∴是函数含原点的递增区间． ππ,22ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦又∵函数在上递增， 3ππ,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∴， ππ3ππ,,2242ωω⎡⎤⎡⎤-⊇-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴得不等式组：，且， π3π24ω-≤-ππ22ω≤又∵， 0ω>∴， 203ω<≤又函数在区间上恰好取得一次最大值，[0,2π]根据正弦函数的性质可知， 52π<44T T ≤所以且， 12π2π4ω⨯≤52π2π4ω⨯>可得．15,44ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭所以，12,43ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当时，， 23ω=2π3πT ω==所以， ()2ππ2sin 33T f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭故选：C.二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 给出下列命题正确的是（ ） A. 平面内所有的单位向量都相等B. 长度相等且方向相反的两个向量是相反向量C. 若满足，且同向，则,a b a b > ,a b a b > D. 若四边形满足，则四边形是平行四边形 ABCD AB DC =ABCD 【答案】BD 【解析】【分析】根据单位向量以及相反向量可判断AB ，由向量以及相等向量可判断AD. 【详解】对于A,单位向量是模长相等，方向不一定相同，故A 错误，对于B ，由相反向量的定义可知长度相等方向相反的两个向量是相反向量，故B 正确， 对于C ，向量不可以比较大小，故C 错误,对于D ，，则，且,故为平行四边形，故D 正确， AB DC =AB DC = //AB CD 故选：BD10. 若角是的三个内角,则下列等式中一定成立的是（ ） ,,A B C ABC A A. B. ()sin sin A B C +=()cos cos A B C +=C. D.cossin 22A B C+=()tan 2tan A B C A ++=【答案】AC 【解析】【分析】利用三角形的内角和为和诱导公式求解即可. π【详解】因为,πA B C ++=所以,故A 正确;()()sin sin π=sin A B C C +=-,故B 错误;()()cos cos πcos A B C C +=-=-,故C 正确; πcoscos sin 2222A B C C +⎛⎫=-= ⎪⎝⎭当时,选项D 不正确; π2A =故选:AC11. 已知，且，函数tan 2θ=)ππsin cos sin cos tan 22θθθθϕϕ⎛⎫+=--<< ⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是（ ）()()2sin cos sin 2f x x x x ϕ=-+A. 点是函数图像的一个对称中心 2π,03⎛⎫⎪⎝⎭()f x B. 直线是函数图像的一条对称轴 2π3x =()f x C. 函数在区间上单调递减 ()f x ππ,26⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D. 若，则函数的值域为 π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x ⎡⎢⎣【答案】AC 【解析】【分析】先利用弦化切的思想，求出，由此求出的值，然后利用三角恒等变换化简函数的tan ϕϕ()f x 解析式，再利用正弦函数的性质求解即可．【详解】：因为，由，tan 2θ=sin cos cos )tan θθθθϕ+=-可得tan ϕ====而 ，所以 ， ππ22ϕ-<<π3ϕ=于是 ()()π2sin cos sin 2sin 2sin 23f x x x x x x ϕ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭11sin 2sin 22sin 2222x x x x x =-=- . πsin 23x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，点是函数图像的一个对称中心， 2π2ππsin 2sin π0333f ⎛⎫⎛⎫=⨯-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 直线不是函数图像的对称轴，A 选项正确，B 选项错误； 2π3x =()f x 时，，是正弦函数的单调递减区间，所以在ππ,26x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦π4π2π2,333x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦4π2π,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()f x 区间上单调递减，C 选项正确； ππ,26⎡⎤--⎢⎥⎣⎦当时，有， ， π02x ≤≤ππ2π2333x -≤-≤πsin 213x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭则的值域为，D 选项错误． ()f x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：AC12.已知函数，则（ ）()sin cos ex xf x -=A. 是周期函数 ()f x B. 是偶函数 ()f x C. 在上单调递增 ()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭D. 若，使得成立，则π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦()4f x a f π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭e 1a ≤-【答案】BCD 【解析】【分析】对选项A ，根据是周期为的周期函数，是关于轴对称的函数，不是周cos y x =πsin y x =y 期函数，即可判断A 错误，对选项B ，根据偶函数的定义即可判断B 正确，对选项C ，根据复合函数的单调性即可判断C 正确，对选项D ，根据题意得到，再结合单调性即可判断D 正()max π4f x f a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭确.【详解】对选项A ，设，则，()sin cos g x x x =-()()e g xf x =因为是周期为的周期函数，cos y x =π是关于轴对称的函数，不是周期函数，sin y x =y 所以不是周期函数，即不是周期函数，故A 错误. ()sin cos g x x x =-()f x 对选项B ，的定义域为R ，，()sin cos ex xf x -=()()()sin cos sin cos eex x x xf x f x -----===所以是偶函数，故B 正确. ()f x 对选项C ，，， π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()sin cos e x xf x -=因为，在为增函数， sin y x =cos y x =-π0,2⎛⎫⎪⎝⎭所以在为增函数，即在上单调递增，sin cos y x x =-π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()sin cos e x xf x -=π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭故C 正确.对选项D ，，使得成立，π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦()π4f x a f ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭即， ()max π4f x f a ⎛⎫≥+⎪⎝⎭因为在上单调递增，()sin cos ex xf x -=π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，即，，故D 正确. ππ24f f a ⎛⎫⎛⎫≥+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭e 1a ≥+e 1a ≤-故选：BCD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.化简得______. AB AC BD CD -+-【答案】【解析】【分析】根据平面向量的加法和减法法则计算．【详解】．AB AC BD CD -+- 0AB BD DC CA =+++=故答案为：．【点睛】本题考查平面向量的加法法则和减法法则，解题时注意减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．14. 已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为__________. 60,αα= 6πl =【答案】 54π【解析】【分析】根据弧长公式以及扇形面积公式即可求解. 【详解】由弧长公式可得，所以扇形面积为， π6π183l r r =⇒==116π1854π22S lr ==⨯⨯=故答案为： 54π15. 若，则__________. ()ππ3π50,0,cos ,sin 225413αβαββ⎛⎫<<<<+=-= ⎪⎝⎭cos sin -=αα【解析】【分析】根据求解即可.()ππcos sin 44ααααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦【详解】因为，所以， ππ0,022αβ<<<<πππ0π,444αββ<+<-<-<因为， ()3π5cos ,sin 5413αββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭所以，，()4sin 5αβ+==π12cos 413β⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以πππcos sin cos cos sin sin 444ααααα⎫⎛⎫-=-=+⎪ ⎪⎭⎝⎭()()()πππcos cos sin sin 444αββαββαββ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.31245513513⎫=⨯+⨯=⎪⎭ 16. 如图，已知直线，为、之间的定点，并且到、的距离分别为和，点、分别12//l l A 1l 2l A 1l 2l 34B C 是直线、上的动点，使得.过点作直线，交于点，交于点，设1l 2l AB AC ⊥A 1DE l ⊥1l D 2l E，则的面积最小值为__________.ACE θ∠=ABC A ABC SA【答案】 12【解析】【分析】计算得出，，利用二倍角的正弦公式以及正弦函数的有界性可求得4sin AC θ=3cos AB θ=的最小值.ABC S A 【详解】因为直线，为、之间的定点，并且到、的距离分别为和， 12//l l A 1l 2l A 1l 2l 34过点作直线，交于点，交于点，则，，且， A 1DE l ⊥1l D 2l E 3AD =4AE =π2CAE θ∠+=又因为，则，故，且， AB AC ⊥π2BAD CAE ∠+∠=BAD θ∠=π02θ<<在中，，则，Rt ACE A sin AE AC θ=4sin sin AE AC θθ==在中，，则，Rt △ABD cos AD AB θ=3cos cos AD AB θθ==所以，，11341222cos sin sin 2ABC S AB AC θθθ=⋅=⨯⨯=△因为，则，故当时，即当时，取最小值，且最小值为.π02θ<<02πθ<<π22θ=π4θ=ABC S A 12故答案为：.12第II 卷四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知. ()()()()()cos 2πsin tan πcos π3ππsin cos 22f θθθθθθθ--+-=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）化简；()fθ（2）若为第四象限角，且的值. θcos θ=()f θ【答案】（1）()sin fθθ=（2） ()fθ=【解析】【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的关系化简； （2）利用同角三角函数的关系求值. 【小问1详解】 由三角函数诱导公式知：. ()()()()()()()()()cos 2πsin tan πcos πcos sin tan cos cos tan sin 3ππcos sin sin cos 22f θθθθθθθθθθθθθθθθ--+---====--⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】为第四象限角，且θcos θ=sin θ===可得()sin fθθ==18. 在中，为的中点，在上取点，使，与交于，设OBC △ABC OB D 13DB OB =DC OA E .,OA a OB b ==（1）用表示向量及向量； ,a bOC DC（2）若，求的值.OE OA λ=λ【答案】（1）2,OC a b =- 523DC a b =-（2）4=5λ【解析】【分析】（1）利用向量的加减运算，用表示向量及向量；,a bOC DC （2），由三点共线知，可得的值. 342OE OA OD OC λλλ==+ ,,D E C 3142λλ+=λ【小问1详解】是的中点，，则A BC 13DB OB =，()2222OC OB BC OB BA OB OA OB OA OB a b =+=+=+-=-=- .22522333DC OC OD OC OB a b b a b =-=-=--=- 【小问2详解】，()3322242OE OA OB OC OD OC OD OC λλλλλ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭由三点共线知，所以.,,D E C 3142λλ+=4=5λ19. 设函数，图象的一条对称轴是直线. ()()()sin 2π0f x x ϕϕ=+-<<()y f x =π8x =（1）求；ϕ（2）求函数在上的单调增区间. ()y f x =ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】（1） 3π4ϕ=-（2）单调增区间为，. π3π,28⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据为函数的一条对称轴得到，解得，再根据的取值范π8x =()πππZ 42k k ϕ+=+∈ϕϕ围，即可得解；（2）解法一：首先求出解析式，再根据正弦函数的性质求出函数上的单调递增区间，再与所给定义域R 求交集；解法二：由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可. x 3π24x -【小问1详解】 因为是函数图象的对称轴， π8x =()y f x =所以，所以，解得. πsin 218ϕ⎛⎫⨯+=± ⎪⎝⎭()πππZ 42k k ϕ+=+∈()ππZ 4k k ϕ=+∈又因为，所以. π0ϕ-<<3π4ϕ=-【小问2详解】解法一：由（1）知，则.3π4ϕ=-()3πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由，得， ()π3ππ2π22πZ 242k x k k -≤-≤+∈()π5πππZ 88k x k k +≤≤+∈即在上的单调递增区间为， ()f x R ()π5ππ,πZ 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，当时，可得，,ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 0k =π5π88ππ22x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩ππ82x ≤≤当时，可得，1k =-7π3π88ππ22x x ⎧-≤≤-⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩π3π28x -≤≤-所以函数在上的单调增区间为，.()f x ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π3π,28⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦解法二：，，,ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 3π7ππ2,444x ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦要函数在上的单调递增， ()3πsin 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦或， 3π7π3π2,442x ⎡⎤∴-∈--⎢⎥⎣⎦3πππ2,424x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦解得或，π3π,28x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦ππ,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以函数在上的单调增区间为，.()f x ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π3π,28⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦20. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，且Ox α()0ββαπ<<<,P Q ，已知点的坐标为.OP OQ ⊥P 3,5m ⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）求；tan β（2）求函数的最小值. ()()()()sin cos sin sin2R f x x x x x αβ=+-+∈【答案】（1）； 3tan 4β=（2）. ()min 54f x =-【解析】【分析】（1）利用三角函数定义，结合诱导公式、同角公式求解作答.（2）由（1）求出，换元结合二倍角的正弦转化为二次函数求解作答. ()sin 1αβ-=【小问1详解】由三角函数定义，得，而，则，3cos 5α=-0πα<<4sin 5α==由，得，即，OP OQ ⊥π2αβ-=π2βα=-于是， π3π4sin sin(cos ,cos cos(sin 2525βααβαα=-=-==-==所以.sin 3tan cos 4βββ==【小问2详解】 由，得， π2αβ-=()sin 1αβ-=则函数， ()()()sin cos sin sin2sin cos 2sin cos f x x x x x x x x αβ=+-+=++令，πsin cos [4t x x x =+=+∈有，即， ()22sin cos 12sin cos t x x x x =+=+22sin cos 1x x t =-令，显然函数在上单调递减，在上单调递增， 2215()1()24g t t t t =+-=+-()g t 1[]2-1[2-所以. min 15()()24f xg =-=-21. 已知函数. ()44πsin 2sin cos 1,R 6f x x x x x ⎛⎫=++-+∈ ⎪⎝⎭（1）求函数的最小正周期以及函数在上的值域；()f x ()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）已知为锐角，且，求的值.α()43fα=πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1），πT =1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2 【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式、倍角公式、辅助角公式化简函数解析式，由周期公式求最小正周期，由定义区间用整体代入法求值域； （2）可解得，同角三角函数的关系求出，由()43fα=π1sin 263⎛⎫-= ⎪⎝⎭απcos 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭，两角和的正弦公式可解.πππsin 2sin 2663⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦αα【小问1详解】 因为 ()()()2222πsin 2sin cos sin cos 16f x x x x x x ⎛⎫=+++-+ ⎪⎝⎭ππsin2coscos2sin cos2166x x x =+-+， 11πcos2cos21cos21sin 21226x x x x x x ⎛⎫=+-+=-+=-+ ⎪⎝⎭故数的最小正周期， ()f x 2ππ2T ==πππ5π0,,2,2666x x ⎡⎤⎡⎤∈∴-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 所以，则， π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1πsin 216,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎪⎣⎛⎫- ⎝⎭⎦+故函数的值域为.()f x 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【小问2详解】 由，得 ()π4sin 2163f⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ααπ1sin 263⎛⎫-= ⎪⎝⎭α又因为为锐角，所以， αππ5ππ112,,sin 2666632⎛⎫⎛⎫-∈--=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα，所以， ππ20,66⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭απcos 26⎛⎫-= ⎪⎝⎭α所以 πππππππsin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 6636363⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦αααα1132=⨯+=22. 已知函数的部分图像如图所示，且，()()ππsin 0,0,22f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭()0,1D -的面积等于.ABC A π2（1）求函数的解析式； ()f x （2）将图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图像，若对于任意的()f x π4()y g x =，当时，恒成立，求实数的最大值.[]12,π,x x m m ∈-12x x >()()()()1212f x f x g x g x -<-m 【答案】（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）13π24【解析】【分析】（1）的面积求出，即，可求出，图像过点，求出，可得函数解析ABC A BC 2Tω()0,1D -ϕ式；（2）由函数图像的平移，求出解析式，设，化简函数解析式，依题意()g x ()()()hx f x g x =-()h x在区间上单调递减，利用正弦型函数的单调性求的最大值. []π,m m -m 【小问1详解】 由题意可得，2A =， 11π2222ABC A S BC y BC =⋅=⋅=A 所以，由解得，所以， 2ππ222T BC ===ω0ω>2ω=()()2sin 2x x f ϕ=+图像过点，则，又因为，所以， ()0,1D -()2sin 1f x ϕ==-ππ22ϕ-<<π6ϕ=-所以，()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【小问2详解】由题意可得， ()πππ2sin 22cos 2466g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦设 ()()()ππ2sin 22cos 266h x fx g x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ5π22,6412x x ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当时，恒成立，[]12,π,x x m m ∈-12x x >()()()()1212f x f x g x g x -<-即恒成立，即恒成立，()()()()1122f x g x f x g x -<-()()12h x h x <在区间上单调递减，()h x ∴[]π,m m -令，解得， π5π3π2π22π2122k x k +≤-≤+11π23πππ,Z 2424k x k k +≤≤+∈因为，所以，则， πm m -<π2m >ππ2m -<故，解得，11ππ2423π24m m ⎧-≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩π13π224m <≤所以最大值为. m 1324π。
【数学】四川省南充高级中学2020-2021学年高一下学期阶段性检测试卷(解析版)
函数 在区间 内的所有零点，即 的实数根，它的实数根共4个，设为 ，则根据对称性可知这4个根关于直线 对称，
所以 ，所以
21．【解】（1）由题意，可知点M为PQ的中点，所以OM⊥AD.
整理得 .所以 ，
由 ，∴ ，又 ，
∴ ，∴ ，故 .
（2）原式 .
19．【解】根据题意，设点P(x,0)，
又A(2,3)，B(6,1)，得 (x-2,-3)， (x-6,-1)，
（1）由 ⊥ ，即 (x-2)(x-6)+(-3)×(-1)＝x2-8x+15＝0，
解得x＝3或x＝5，∴P的坐标为(3,0)或(5,0)；
三、解答题（70分）
17．（本小题10分）已知函数 （ ，且 ）满足 .
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）解不等式 .
18．（本小题12分）已知 ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
19．（本小题12分）已知点A（2，3），B（6，1），O为坐标原点，P为x轴上一动点.
（1）若 ⊥ ，求点P的坐标；
（2）当 取最小值时，求向量 与 的夹角的余弦值.
四川省南充高级中学2020-2021学年
高一下学期阶段性检测试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．已知集合 ，集合 ，则 （）
A． B．
C． D．
2．如果角 的终边过点 ，则 的值等于（）
A． B． C． D．
3．已知函数 ，则 （）
A． B． C． D．
对于③，因为 ， ；
对于④，因为 ， ；
2021年四川省南充市高中阶段学校招生数学真题含答案解析(含答案)
南充市二O 一二年高中阶段学校招生统一考试数 学 试 卷（满分100分,时间90分钟）一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分）每小题都有代号为A 、B 、C 、D 四个答案选项,其中只有一个是正确的,请把正确选项的代号填在相应的括号内．填写正确记3分,不填、填错或填出的代号超过一个记0分．1．计算2－（－3）的结果是（ ）．（A ）5 （B ）1 （C ）－1 （D ）－52.下列计算正确的是（ ）（A ）x 3+ x 3=x 6 （B ）m 2·m 3=m 6 （C ）3-=3 （D ）×=73.下列几何体中,俯视图相同的是（ ）．（A）①② （B ）①③ （C ）②③ （D ）②④① ② ③ ④4.下列函数中是正比例函数的是 （ ）（ A ）y =-8x （B ）y =（ C ）y =5x 2+6 （D ）y = -0.5x -15.方程x （x -2）+x -2=0的解是（ ）（A ）2 （B ）-2,1 （C ）－1 （D ）2,－16.矩形的长为x ,宽为y ,面积为9,则y 与x221472x8之间的函数关系用图像表示大致为（ ）7.在一次学生田径运动会上。
参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：成绩（m ） 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80人数124332这些运动员跳高成绩的中位数和众数是（A ）1.65,1.70 （B ）1.70,1.70 （C ）1.70,1.65（D ）3,48.在函数y=中,自变量的取值范围是A. x ≠ B.x ≤ C.x ﹤ D.x ≥9.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍。
则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是A .1200 B.1800 C.2400 D.300010.如图,平面直角坐标系中,⊙O 半径长为1.点⊙P （）,⊙P 的半径长为2,把⊙P 向左平移,当⊙P 与⊙O 相切时,的值为2121--x x21212121（A ）3 （B ）1 （C ）1,3 （D ）±1,±3二、填空题（本大题共4个小题,每小题3分,共12分）请将答案直接填写在题中横线上．11.不等式x+2＞6的解集为 12.分解因式x 2-4x-12=13.如图,把一个圆形转盘按1﹕2﹕3﹕4的比例分成A 、B 、C 、D 四个扇形区域,自由转动转盘,停止后指针落在B 区域的概率为14. 如图,四边形ABCD 中,∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD 的面积是24cm 2.则AC 长是 cm.三、（本大题共3个小题,每小题6分,共18分）15.计算：+16.在一个口袋中有4个完全相同的小球,把它们分别标号为1、2、3、4,随机地摸取一个小球然后放回,再随机地摸出一个小球,求下列事件的概率：(1)两次取的小球的标号相同1+a a 121--a a（2）两次取的小球的标号的和等于417.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,点E是AD延长线上的一点,且CE=CD,求证：∠B=∠E四、（本大题共2个小题,每小题8分,共16分）18.关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2．（1）求m的取值范围．（2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值.19.矩形ABCD中,AB=2AD,E为AD的中点,EF⊥EC交AB于点F,连接FC.(1)求证：⊿AEF∽⊿DCE(2)求tan∠ECF的值.五、（本题满分8分）20.学校6名教师和234名学生集体外出活动,准备租用445座大客车或30座小客车,若租用1辆大车2辆小车供需租车费1000元。
四川省南充高级中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
南充高中2020-2021学年度下期 高2020级中期考试（理科）数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 1．sin115cos5sin 25cos95+°°°°等于（ ）A ．12 B ．12- C D ．2．已知()5,a m =，()2,2b =-且()a b b +⊥，则m 等于（ ） A ．9- B ．9C ．6D ．6-3．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即()()121F F ==，()()()12F n F n F n =-+-（3n ≥，n *∈N ），此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2020项和为（ ）A ．672B ．673C ．1347D ．2020 4．在ABC △中，1a =，6πA =，4πB =，则c 等于（ ）A B ．2 C D 5．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为（ ） A ．七尺五寸 B ．六尺五寸 C ．五尺五寸 D ．四尺五寸 6．若1sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．79 B ．79- C ．89 D ．89- 7．设数列2141n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为n S ，则10S =（ ） A ．1021B ．2021C ．919D ．18198．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，6πA =，且22b a ac =+，则B =（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23π 9．设n S 等差数列{}n a 的前n 项和，且满足20180S >，20190S <，对任意正整数n ，都有则k 的值为（ ） A ．1008 B ．1009 C ．1010 D ．101110．P 为ABC △所在平面内一点，0AB PB PC ++=，2PB PC AB ===，则PBC △的面积等于（）A ．B ．CD ．11．为献礼建党一百周年，南高嘉陵校区在学校后山修建“初心园”，现有半径为，圆心角为3π的扇形空地OPQ （如图所示），需要在空地内修建一平行四边形景观场地ABCD ，则该景观场地的面积最大值为（）A ．2B ．)24501mC ．(213502m - D ．)213501m12．已知数列{}n a 满足1122n n n a a a +=+（n *∈N ），且11a =，若记n b 为满足不等式11122k n n a -<≤（n *∈N ）的正整数k 的个数，设()()111nn nnnn b T b b -=----，数列{}n T 的最大项的值为M 与最小项的值为N ，则M N -=（ ）A ．712-B ．13 C ．56 D ．1712第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．数列7，77，777，7777，…的一个通项公式为n a =______． 14．4sin80+°°=______．15．等比数列{}n a 的各项均为正数，已知向量()45,a a a =，()76,b a a =，18a b ⋅=，则1210a a a ++⋅⋅⋅+=______．16．已知G 为ABC △的重心，过点G 的直线与边AB 、AC 分别相交于点P 、Q ．若AP t AB =，则当ABC △与APQ △的面积之比为209时，实数t 的值为______． 三、解答题：本题共6小题，共70分． 17．（本题满分10分）已知向量a ，b ，满足2a =，3b =，且()21a b +=．（1）求a 和b 的夹角；（2）在ABC △中，若AB a =，AC b =，求BC ． 18．（本题满分12分）在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且()2132522a a a =+． （1）求公差d 和通项公式n a ；（2）若0d <，求123n a a a a +++⋅⋅⋅+． 19．（本题满分12分）已知ABC △三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos sin A a B =． （1）求角A ；（2）若a =ABC △b c +． 20．（本题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知0n a >，2243n n n a a S +=+．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令12n n a b -=，设数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若不等式()1log 13n a T a >-对任意正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围． 21．（本题满分12分） 已知函数()2cos 12cos 222x x xf x =-+． （1）求()y f x =的单调递减区间；（2）将()y f x =图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移23π个单位得到()y g x =，若6235πg θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin θ的值．22．（本题满分12分） 已知数列{}n a 满足11a =，1231111323n n a a a a a n++++⋅⋅⋅+=-（n *∈N ）． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令14x =，2n an x =（2n ≥），如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点()11,1P x ，()22,2P x ，…，()11,1n n P x n +++得到折线121n PP P +⋅⋅⋅，求由该折线与直线0y =，1x x =，1n x x +=所围成的区域的面积n T ．南充高中2020-2021学年度下期 高2020级中期考试（理科）数学试卷答案1-5：CBCDD 6-10：BABCC 11-12：AD13．()71019n - 14．1 15．20 16．34或3517．（1）因为()()2222222321a b a b a b a b +=++⋅=++⋅=所以，3a b ⋅=-，所以，cos ,223a b a b a b⋅===-⨯，又夹角在[]0,π上，∴5,6a b π=；（2）因为BC AC AB b a =-=-， 所以()()()2222222322313BC b ab a b a =-=+-⋅=+-⨯-=，所以，BC 边的长度为13BC =18．（1）因为()2132522a a a =+，所以2340d d --=，解得1d =-或4d =．故11n a n =-+或46n a n =+．（2）因为0d <，所以由（1）得1d =-，11n a n =-+，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则212122n S n n =-+． 当11n ≤时，212312122n n a a a a S n n +++⋅⋅⋅++==-+；当12n ≥时，212311121211022n n a a a a S S n n +++⋅⋅⋅+=-+=-+．综上所述，21232121,11,22121110,12.22n n n n a a a a n n n ⎧-+≤⎪⎪+++⋅⋅⋅+=⎨⎪-+≥⎪⎩19．（1）在ABC △中，由正弦定理得：sin sin sin a b cA B C==，cos sin A a B =cos sin sin B A A B =，其中()0,B π∈，故sin 0B ≠．sin A A =，即tan A =()0,A π∈，3πA =（2）在ABC △中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，代入a =3πA =得： 2212b c bc =+-，即()2123b c bc =+-，又∵1sin 24ABC S bc A ===△4bc =．联立解得：b c +=20．（1）当1n =时，2111243a a a +=+解得13a =或11a =-．∵0n a >，∴13a =．∵2243n n n a a S +=+．①，∴2111243n n n a a S ---+=+，2n ≥．②①-②化简得：()()1120n n n n a a a a --+--=，∵0n a >，∴10n n a a -+> ∴12n n a a --=，∴{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列． ∴21n a n =+． （2）由（1）可得12n n a b n -==，()211111222n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭．∴13243521111n n n T b b b b b b b b +=+++⋅⋅⋅+11111111111111121322423521122n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭∵()()11013n n T T n n +++=->，∴数列{}n T 单调递增，∴()1min 13n T T ==．要使不等式11log 3a n a T ->对任意正整数n 恒成立，只要111log 33aa ->即可． ∵10a ->，∴01a <<．解得1a a ->，得102a <<．21．（1）()2cos 12cos 222x x xf x =-+cos 2sin 6πx x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令322262πππk πx k π+≤+≤+，k ∈Z ，即42233ππk πx k π+≤≤+，k ∈Z ， ()y f x =的单调递减区间为：42,233ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ． （2）结合题意知()2cos2g x x =，所以622cos 365ππg θθ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3cos 65πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 65πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．所以sin sin 66ππθθ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin 6666ππππθθ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭431552=⨯=． 22．（1）由1231111323n n a a a a a n++++⋅⋅⋅+=-（n *∈N ）①可得当1n =时，123a a =-，可得24a =． 当2n ≥时，1231111323n n a a a a a n-+++⋅⋅⋅+=-（n *∈N ）② ①-②化简得：11n n n a a a n+=-，所以11n n a n a n ++=． 由累乘法可得：35423413452341n n a a a a na a a a n -⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-． 化简得：22n a na =，所以2n a n =． 因为11a =不满足上述，故1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩．（2）由（1）可知4nn x =，n *∈N ，过1P ，2P ，3P ，…，1n P +向x 轴作垂线，垂足分别为1Q ，2Q ，3Q ，…，1n Q +．则134n n n x x +-=⨯，n *∈N ，记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b ．由题意()13343422n nnn n b n ++⎛⎫=⨯⨯=+⨯⎪⎝⎭，所以123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+1233333314324334342222n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭③234133334314324334342222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭④③-④化简得：1132342n n T n +⎛⎫-=-+⨯ ⎪⎝⎭， 所以112463n n T n +⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭．。
四川省南充市徐家中学2020-2021学年高一数学理测试题含解析
四川省南充市徐家中学2020-2021学年高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 阅读右边的程序框图，若输入的是100，则输出的变量的值是（）A． 0 B． 50 C．-50 D．25参考答案：B2. 不论m为何值时，函数f(x)=x2-mx+m-2的零点有( )A.2个B.1个C.0个D.都有可能参考答案：A略3. 已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|0<x<c，其中c>0}．若A∪B＝B，则c的取值范围是( )A．(0,1] B．[1，＋∞) C．(0,2] D．[2，＋∞)参考答案：D略4. 如左下图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是 ( ) A． B． C． D．参考答案：B5. 设集合M={﹣1，0，1}，N={﹣2，0，1}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{1} D．{0}参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】由M与N，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵M={﹣1，0，1}，N={﹣2，0，1}，∴M∩N={0，1}．故选B6. 如图，七面体是正方体用平面、平面截去两个多面体后的几何体，其中是所在棱的中点，则七面体的体积是正方体体积的(A) (B) (C) (D)参考答案：A略7. 函数f（x）=（）x+﹣3的零点所在区间是（）A．（1，2）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（﹣2，﹣1）参考答案：C【考点】二分法的定义．【分析】由函数的解析式求得f（0）f（﹣1）＜0，再根据根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间．【解答】解：∵f（x）=（）x+﹣3，∴f（0）=1+﹣3＜0，f（﹣1）=3+﹣3＞0，∴f（0）f（﹣1）＜0．根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间是（﹣1，0），故选：C．8. 下列关于四个数：的大小的结论，正确的是（）。
2020-2021学年四川省南充市中学试验学校高一数学文下学期期末试题含解析
2020-2021学年四川省南充市中学试验学校高一数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在等差数列中，若，则其前11项和（）A.15B.24C.30D.33参考答案：D略2. 函数y=ax2+bx+3在（﹣∞，﹣1]上是增函数，在[﹣1，+∞）上是减函数，则( )A．b＞0且a＜0 B．b=2a＜0C．b=2a＞0 D．a，b的符号不确定参考答案：B【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】利用对称轴的公式求出对称轴，根据二次函数的单调区间得到，得到选项．【解答】解：∵函数y=ax2+bx+3的对称轴为∵函数y=ax2+bx+3在（﹣∞，﹣1]上是增函数，在[﹣1，+∞）上是减函数∴∴b=2a＜0故选B【点评】解决与二次函数有关的单调性问题，一般要考虑二次函数的开口方向、对称轴．3. 已知△ABC为等腰三角形，，在△ABC内随机取一点P，则△BCP为钝角三角形的概率为（）A．B．C．D．参考答案：B如图：以BC为直径作圆，交边AC于点E，作BC中点D，连接D，E，则DE为BC边的中垂线，由几何知识可得：为钝角三角形，则必为，即在圆与三角形的公共部分设，则，.4. 函数的图像一定经过点（）A、 B、 C、 D、参考答案：C5. 已知点A(1,1)，B(4,2)和向量，若，则实数的值为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先求出，再利用共线向量的坐标表示求实数的值.【详解】由题得，因为，所以.故选：B【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6. 集合M={x|﹣2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系的是( )A．B．C．D．参考答案：B【考点】函数的概念及其构成要素．【专题】数形结合．【分析】本题考查的是函数的概念和图象问题．在解答时首先要对函数的概念从两个方面进行理解：一是对于定义域内的任意一个自变量在值域当中都有唯一确定的元素与之对应，二是满足一对一、多对一的标准，绝不能出现一对多的现象．【解答】解：由题意可知：M={x|﹣2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，对在集合M中（0，2]内的元素没有像，所以不对；对不符合一对一或多对一的原则，故不对；对在值域当中有的元素没有原像，所以不对；而符合函数的定义．故选：B．【点评】本题考查的是函数的概念和函数图象的综合类问题．在解答时充分体现了函数概念的知识、函数图象的知识以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．7. 一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：），则此几何体的体积是（）A． B． C． D．参考答案：B略8. a、b是实数，集合M={，1}，N={a，0}，映射f：x→x即将集合M中的元素x映射到N中仍是x，则a+b的值等于（）A．1 B．0 C．﹣1 D．±1参考答案：A【考点】映射．【分析】由题意可知=0，易得b=0，从而可求a=1．【解答】解：由已知得b=0，a=1，∴a+b=1．故选A．9. 函数的图象关于对称，则的单调增区间( )A． B． C． D．参考答案：A略10. 设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定参考答案：B【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题．【分析】由已知“方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，它们异号．解析：∵f（1.5）?f（1.25）＜0，由零点存在定理，得，∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．故选B．【点评】二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，则满足不等式f（1）＜f（lg）的x 的取值范围是．参考答案：（0，1）∪(100,+∞)．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数是偶函数，把不等式转化成f（1）＜f（|lg|），就可以利用函数在区间[0，+∞）上单调递增转化成一般的不等式进行求解．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（1）＜f（lg）=f（|lg|）∵函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，∴|lg|＞1，即lg＞1或lg＜﹣1解得：x＞100或0＜x＜1所以满足不等式f（1）＜f（lg）的x的取值范围是（0，1）∪(100,+∞)．故答案为：（0，1）∪(100,+∞)．12. 已知，，,则的取值范围为 .参考答案：略13. cos660°=．参考答案：【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用利用诱导公式进行化简求值，可得结果．【解答】解：cos660°=cos=cos（﹣60°）=cos60°=， 故答案为：．14. 已知 是方程 的两根，则实数的值为 ( )A. B.C.D.参考答案： A 略15. 已知函数的单调增区间是，则__________．参考答案：∵，且的单调递增区间是，∴，解得．16. 不等式所表示的平面区域的面积是参考答案： 2 略17. 已知，则的值等于 .参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
四川省南充市中学2021年高一数学文测试题含解析
四川省南充市中学2021年高一数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数，，的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】根据图像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊点求出，化简即得所求.【详解】由图像知，，，解得，因函数过点，所以，，即，解得，因为，所以，.故选：A【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题. 2. 设函数f（x）=，则f（log2）+f（）的值等于（）A．B．1 C．5 D．7参考答案：D【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】化简f（log2）+f（）=+，从而解得．【解答】解：∵log2＜0，＞0，∴f（log2）+f（）=+=6+1=7，故选：D．【点评】本题考查了分段函数的应用及对数运算的应用．3. 已知=（1，﹣1），=﹣，=+，若△OAB是以点O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为（）A．2 B．4 C．2D．参考答案：A【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，得到向量垂直和向量模长相等的条件，利用向量数量积的定义进行求解即可．【解答】解：若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则⊥，即?=0，则（﹣）?（+）=0，即||2﹣||2=0，则||=||=，又||=||，即|﹣|=|+|，平方得||2+||2﹣2?=||2+||2+2?，得?=0，则||2=||2+||2﹣2?=||2+||2=2+2=4，则||=2，则△OAB的面积S=||?||=×2×2=2．故选：A．4. 已知向量，，则向量的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先求出向量，再根据向量的数量积求出夹角的余弦值．【详解】∵，∴．设向量的夹角为，则．故选C．【点睛】本题考查向量的线性运算和向量夹角的求法，解题的关键是求出向量的坐标，然后根据数量积的定义求解，注意计算的准确性，属于基础题．5. 如图，四边形ABCD中，，将沿BD折起，使平面平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是（）A. 平面平面B. 平面平面C. 平面平面D. 平面平面参考答案：B【分析】由题意推出CD⊥AB，AD⊥AB，从而得到AB⊥平面ADC，又AB?平面ABC，可得平面ABC⊥平面ADC．【详解】∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD平面BCD.故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB，CD∩AD=D，∴AB⊥平面ADC，又AB?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC．故选：B．【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定和性质定理，考查逻辑思维能力，属于中档题．6. 已知在定义域R上是减函数，则函数y＝f (|x＋2|)的单调递增区间是（）A．(－∞, ＋∞) B．(2, ＋∞) C．(－2, ＋∞)D(―∞, ―2)参考答案：D7. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（）A．B．C．D．参考答案：D试题分析:因函数的定义域和值域分别为,故应选D．8. （4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为（）A． 1 B．C．D．参考答案：D考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，侧面PAB⊥底面ABC，PAB为边长是2的正三角形，O 为AB的中档，OC⊥AB，OC=1．利用三棱锥的体积计算公式即可得出．解答：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，侧面PAB⊥底面ABC，PAB为边长是2的正三角形，O 为AB的中档，OC⊥AB，OC=1．∴该几何体的体积V==．故选：D．点评：本题考查了三棱锥的三视图及其体积计算公式，属于基础题．9. 函数的最大值和最小值分别为（）A. 5,8B. 1,8C. 5,9D. 8,9参考答案：C10. 如图所示：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设直线A1B与平面所成角为，二面角的大小为，则为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】连结BC1，交B1C于O，连结A1O，则∠BA1O是直线A1B与平面A1DCB1所成角θ1，由BC⊥DC，B1C⊥DC，知∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A的大小θ2，由此能求出结果．【详解】连结BC1，交B1C于O，连结A1O，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1⊥B1C，BC1⊥DC，∴BO ⊥平面A 1DCB 1，∴∠BA 1O 是直线A 1B 与平面A 1DCB 1所成角θ1，∵BO ＝A 1B ，∴θ1＝30°；∵BC ⊥DC ，B 1C ⊥DC ，∴∠BCB 1是二面角A 1﹣DC ﹣A 的大小θ2，∵BB 1＝BC ，且BB 1⊥BC ，∴θ2＝45°． 故选：A ．【点睛】本题考查线面角、二面角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 奇函数的定义域为，若在上单调递减，且，则实数的取值范围是．参考答案：12.，若恒成立，则范围是参考答案：13. 存在使不等式成立，则的取值范围为 _;参考答案：14. 函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的图象，如图所示，则f （2016）的值为 ．参考答案：【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据三角函数的图象求出A ，ω和φ的值，结合三角函数的解析式进行求解即可． 【解答】解：由图象知A=3，=3﹣（﹣1）=4， 即函数的周期T=8=，即ω=，由五点对应法得3ω+φ=3×+φ=π，即φ=，则f （x ）=3sin （x+）， 则f （2016）=3sin （×2016+）=3sin （504π+）=3sin （）=3×=，故答案为：【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．15. 三个平面可以把空间最多分成_____________部分参考答案：略16. 50名学生做物理、化学两种实验，每人两种实验各做一次．已知物理实验做得正确的有40人，化学实验做得正确的有31人，两种实验都做错的有5人，则这两种实验都做对的有人．参考答案：2617. 设，则．参考答案：3,，即.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
四川省南充高级中学2020-2021学年高一下学期阶段性检测英语试卷含答案
南充高中高2020级阶段性检测英语试题第一部分听力（共两节，满分30分）第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What's the weather probably like now?A. Fine.B. Foggy.C. Snowy.2. What will the man do next?A. Write his report.B. Make a promise.C. Hand in his report.3. What does the woman ask the man to do?A. Come in for dinner.B. Have more seafood.C. Try some fresh vegetables.4. Who doesn't play computer games?A. The man.B. The woman.C. The woman's brother.5. Who could have eaten the cookies?A. The man.B. The dog.C. The woman.第二节(共15小题;每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
听第6段材料，回答第6和第7两个小题。
6. Where are the speakers now?A. In a park.B. At an office.C. In a classroom.7. Why does the woman ask the man for help?A. To learn history and math.B. To learn the required courses.C. To know what courses to take.听第7段材料，回答第8至第10三个小题。