全称命题和特称命题的形式及真假判断

全称命题和特称命题的形式及真假 判断
问题提出
1.对于命题p、q，命题p∧q，p∨q， ﹁p的含义分别如何？这些命题与p、q的
真假关系如何？
p∧q：用联结词“且”把命题p和命题q联结 起来得到的命题，当且仅当p、q都是真命题 时，p∧q为真命题.
p∨q：用联结词“或”把命题p和命题q联结 起来得到的命题，当且仅当p、q都是假命题 时，p∨q为假命题.
真
（4）存在两个相交平面垂直于同一条直
线；
假
（5）有些整数只有两个正因数； 真
（6）有些实数的平方小于0.
假
思考6：如何判定一个特称命题的真假？
x0∈M，p(x0)为真：能在集合M中找
出一个元素x0，使p(x0)成立；
x0∈M，p(x0)为假：在集合M中，使
p(x)成立的元素x不存在.
对x0 M , P(x0 ) 都不成立.
﹁p：命题p的否定，p与﹁p的真假相反.
2．在我们的生活和学习中，常遇到 这样的命题： （1）所有中国公民的合法权利都受到中 华人民共和国宪法的保护； （2）对任意实数x，都有x2≥0； （3）存在有理数x，使x2－2＝0;
(4) 有些美国国会议员是狗娘养的.等.
对于这类命题，我们将从理论上进行 深层次的认识.
元素x，都有p(x)成立；
x∈M，p(x)为假：在集合M中存在一
个元素x0，使得p(x0)不成立.
探究(二)：存在量词的含义和表示
思考1：下列各组语句是命题吗？二者有 什么关系？ （1）2x＋1＝3；
存在一个x0∈R，使2x0＋1＝3.
（2）x能被2和3整除；
至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除.
（3）|x－1|＜1；
有些x0∈R，使|x0－1|＜1.
思考2：短语“存在一个”“至少有一 个”“有些”等，在逻辑中通常叫做存
在量词，并用符号“ ”表示，你还能
列举一些常见的存在量词吗？

“有一个”，“ 对某个”，“有的”等
思考3：含有存在量词的命题叫做特称命
题，如“存在一个x0∈R，使2x0＋1＝ 3”，“至少有一个x0∈Z，x0能被2和3
词，并用符号“ ”表示，你还能列举
一些常见的全称量词吗？
“一切”，“每一个”，“全体”等
思考3：含有全称量词的命题叫做全称命
题，如“对所有的x∈R，x＞3”，“对 任意一个x∈Z，2x＋1是整数”等，你
能列举一个全称命题的实例吗？
思考4：将含有变量x的语句用p(x)、q(x)
、r(x)等表示，变量x的取值范围用M表 示，符号语言“x∈M，p(x)”所表达的数
学意义是什么？
“对M中任意一个x，有p(x)成立”
思考5：下列命题是全称命题吗？其真假 如何？ （1）所有的素数是奇数； 假
（2）x∈R，x2＋1≥1； 真
（3）对每一个无理数x，x2也是无理数； 假
（4）所有的正方形都是矩形. 真
思考6：如何判定一个全称命题的真假？
x∈M，p(x)为真：对集合M中每一个
整除”等，你能列举一个特称命题的实 例吗？

思考4：符号语言“ x0∈M，p(x0)”所
表达的数学意义是什么？
存在M中的元素x0，使p(x0)成立.
思考5：下列命题是特称命题吗？其真假
如何？
（1）有的平行四边形是菱形；
真
（2）有一个实数x0,使 x02 2x0 3 0 ;假
（3）有一个素数不是奇数；
探究（一）：全称量词的含义和表示
思考1:下列各组语句是命题吗？两者有 什么关系? （1）x＞3；
对所有的x∈ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，x＞3.
（2）2x＋1是整数；
对任意一个x∈Z，2x＋1是整数.
（3）方程x2＋2x＋a＝0有实根； 任给a＜0，方程x2＋2x＋a＝0有实根.
思考2：短语“所有的”“任意一个” “任给”等，在逻辑中通常叫做全称量