分布列和数学期望教师版

分布列和数学期望教师版 随机变量的分布列和期望

高考考纲透析：

等可能性的事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验、离散型随机变量的分布列、期望和方差

高考风向标：

离散型随机变量的分布列、期望和方差

热点题型1 n 次独立重复试验的分布列和期望

[样题1] (2005年高考·全国卷II ·理19)

甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数,求ξ的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）

本题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4

比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而P （ξ＝3）＝33

0.60.40.28+=

比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜。因而

P （ξ＝4）＝2230.60.40.6C ⨯⨯⨯＋2230.40.60.40.3744C ⨯⨯⨯= 比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第5局甲胜或乙胜。因而

P （ξ＝5）＝22240.60.40.6C ⨯⨯⨯＋22240.40.60.40.3456C ⨯⨯⨯=

所以ξ的概率分布为

ξ的期望E ξ＝3×P （ξ＝3）＋4×P （ξ＝4）＋5×P （ξ＝5）＝4.0656

变式新题型1.(2005年高考·浙江卷·理19)袋子A 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是3

1． (Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次，求恰好有3次摸到红球的概率．

(Ⅱ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．

(i) 求恰好摸5次停止的概率；

(ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ． 解：(Ⅰ) 33

3512140333243C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

(Ⅱ)（i ）222

4121833381C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (ii)随机变量ξ的取值为0，1，2，3，；

由n 次独立重复试验概率公式()()1n k k k n n P k C p p -=-，得

()5

0513*******

P C ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭； ()41

511801133243P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭ ()23

2511802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

()323

511173133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（或()328021731243243P ξ+⨯==-=） 随机变量ξ的分布列是

ξ的数学期望是

32808017131012324324324324381E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 热点题型2 随机变量ξ的取值范围及分布列

[样题2]在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：

（Ⅰ）该顾客中奖的概率；

（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE .

解法一：

（Ⅰ）3245151210

26=-=-=C C I P ，即该顾客中奖的概率为32. （Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.

.151)60(,152)50(,151)20(,52)10(,31)0(210

1311210

161121023210

161321026===============C C C P C C C P C C P C C C P C C P ξξξξξ且

故ξ有分布列：