八年级数学二次根式综合应用讲义

八年级数学二次根式综合应用讲义

课前预习

1.

回顾二次根式的相关概念，并完成下列各题．（1）

．2=_____（2）二次根式的乘除法则：

①_______________________；②______________________． （3）二次根式的加减法则：

①______________________；②_______________________．

2.根据幂的运算性质（a ≠0，p 为正整数）进行计算：11p

p

p a a a -⎛⎫

==

⎪⎝⎭

（1）；

（2）

．

2

-⎛ ⎝3-3.有理数混合运算处理方法：①观察_______划_______；②有序操作依_______；③每步推进一点点．

例：

2112(2)(3)2102543.⎛⎫-÷

⨯--⨯-+ ⎪⎝⎭①

②

③

思路分析

观察结构，划为①②③三个部分，对①②部分，每步推进一点点．过程示范

1840.25(3)1

432 31

32

31

343

⎛⎫

=⨯⨯--⨯-+ ⎪⎝⎭

⎛⎫

=---+ ⎪⎝⎭=-++=-

原式

请你类比有理数混合运算处理方法，处理下面实数混合运算：

知识点睛

1.

理解二次根式的双重非负性

（1

且．

0x ≥（220z =，则x =_____，y =_____，z =_____．2.

实数混合运算处理方法：①_____________________；②_____________________；

③_____________________．

做运算时往往需要估计工作量，观察式子结构，巧用公式，可以大大简化运算．

（1）；22()()a b a b a b +-=-（2）．222()2a b a ab b ±=±+3.比较大小的几种方法：估值法，作差法，乘方法，分母有理化．4.

二次根式与数形结合

被开方数中出现平方形式，可通过构造直角三角形借助勾股定理解决问题．

精讲精练

1.

当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

（1；（2（3

2.若x ，y ，z ，则

0=的值为___________．

2()x y z --

3.若a ，b 为实数，且满足的值24129a a =-为___________．

4.实数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，

．__________=

5.

当1≤x ≤3

6.

已知b <0，则二次根式的化简结果是（ ）

A ．-

B ．-

C ．

D ．

7.若xy ≠0=- ）

A ．x > 0，y > 0

B ．x > 0，y < 0

C ．x < 0，y > 0

D ．x < 0，y < 0

8.．

_________=

9.计算：

（1）

；

33

8(0.125)

+⨯-

（2

）

30

20152016

1)1)

-

+--；

（3

）；（4）

．

2

1)(3(2

++-

10.用适当的方法比较大小．

（1）

（2

（3（4；

3（5）

与

；（6）

与

．

6

71-2

51-1

32-1

21-

11.

，的大小关系是（ ）

5

2

1

A B ．521

52

1

C <

D <5

2

15

2

1

12.===

类比上述式子，再写出几个同类型的式子．你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明．

13.观察下列各式及验证过程：

===．

===；

===

===．

（1

结果并进行验证；

（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n≥1且n为自然数）表示的等式，并进行验证．

图2C

B

A

图114.问题背景：

在△ABC 中，AB ，BC ，AC

形的面积．

小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点三角形ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC 的面积直接填写在横线上___________．思维拓展：

（2）我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法．若△ABC

，

（a >0），请利用图2的

正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的△ABC ，并求出它的面积．探索创新：

（3）若△ABC

m >0，n >0，且m ≠n ），试利用图3的网格画出相应的△ABC ，并求出这个三角形的面积．