最新几种特殊类型行列式及其计算

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行列式的计算方法及一些特殊行列式的计算

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Ｄ
ｘ一１ … ０
０
一
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ＯＤ＝０
ｌＯ
Ｏ … ０１ … ０
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０
Ｏ …
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加
行列式的计算方法及一些特殊行列式的计算
陈洁
（湖北工业大学理学院，湖北武汉摘
一
４３００６８）
１＋ａ
引Ｉ１
１ｌ＋ａ２
● ● ●
０
１１
● ● ●
递推法是根据行列式的性质，建立阶行列式和阶行列式的关系．
４３
●墨
１２３ … ｎ
２
１
０ … ０ｌ … Ｏ
例５．计算行列式
Ｘ
Ｏ例７．计算Ｄ＝３ｎ
一
要：行列式的计算是线性代数的基础和重要内容之
本文通过一些具体的例子，介绍了计算行列式的一般方法７２．一些特殊行列式的计算．
．
例３．计算行列式Ｄ＝
●
１
● ●
关键词：行列式降阶法升阶法
一
１
１
、
１．化为“ 三角形 ”
Ｉ
化为 “ 三角形 ” 是利用行列式的性质，把所求行列式的主
对角线下方的元素全化为零．
３

(完整版)行列式的计算方法总结

行列式的计算方法总结:1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式.2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace 定理). 几个特别的行列式:B A BC A BC A ==0021,B A BA D DB Amn )1(0021-==,其中B A ,分别是n m ,阶的方阵. 例子: nn abab ab b a b abaD 22=,利用Laplace 定理,按第1,+n n 行展开,除2级子式ab ba 外其余由第1,+n n 行所得的2级子式均为零. 故222222112)()1(--+++++-=-=n n n n n n n D b a D ab b a D ,此为递推公式,应用可得n n n n b a D b a D b a D )()()(224222222222-==-=-=-- .3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式.例:nn n n n n n a x x a a x x a a x x a a a a x x a a a a x a a a a x a a a a x ------=0001133112211321321321321321 -----(倍加到其余各行第一行的1-) 100101010011)(3332221111-------⋅-=∏=nn n n i i i a x a a x a a x a a x x a x --------(每一列提出相应的公因子i i a x -) 1001000010)(33322221111nn n ni ii i n i i i a x a a x a a x a a x a a x x a x ----+-⋅-=∑∏== --------(将第n ,,3,2 列加到第一列)其它的例子：特点是除了主对角线,其余位置上的元素各行或各列都相同.n x a aa a a x a a a a a x a a a aa x a ++++ 321,nn n n a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x ++++ 321321321321. 4. 逐行逐列相减法.行列式特点是每相邻两行(列)之间有许多元素相同.用逐行(列)相减可以化出零. 5. 升阶法(或加边法, 添加一行一列,利于计算,但同时保持行列式不变).例子:nn n n nnn n nn n n nn b a b a b a a b a b a b a a b a b a b a a b b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a ++++-++++-++++----=++++++++++++10101010000011112122212212111121212221212111∑∑∑∑∑∑======+--+=---+--+=------=ni in i i i ni in ni i n i i i ni in n b b a na b b b b b a na a a ab b b 1112111121211110100000101111111010100111011101∑∑∑∑∑∑∑=≠======-+++=-++=nj nji i j i j ni i ni i ni i i ni i ni i a a b b a b a n b a 1111111)(1)1)(1(.例子:nnx a aaaa x a a a a a x a a a a a x a a a a a x a aaaa x a a a a a x a aa a a x a ++++=++++0001321321).1(00000000000010100010001000111213211321∑∑==+=+=----=ni in nni inx a x x x x x x x a a a a x a x x x x a a a a6. 利用范德蒙德行列式.计算行列式: n nn n nn nn n n nnx x x x x x x x x x x x x x x x D321223222122322213211111----=解: 令: nnnn nn n nn n n n nn n n ny x x x y x x x y x x x y x x x y x x x D211112112222212222212111111--------=,这是一个1+n 级范德蒙德行列式. 一方面,由范德蒙德行列式得)())(()(2111n ni j j ix y x y x y x xD ---⋅-=∏≤<≤ .可看做是关于y 的一个n 次多项式.另一方面,将1D 按最后一列展开,可得一个关于y 的多项式01111p y p y p y p D n n n n ++++=-- ,其中1-n y 的系数1-n p 与所求行列式D 的关系为1--=n p D .由)())(()(2111n ni j j ix y x y x y x xD ---⋅-=∏≤<≤ 来计算1-n y的系数1-n p 得:∑∏=≤<≤-⋅--=ni i ni j j in x x xp 111)(,故有∑∏=≤<≤-⋅-=-=ni i ni j j in x x xp D 111)(其它的例子:=+-+++-++-++------n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n nb b a b a b a a b b a b a b a a b b a b a b a a 111121211111212222222122111121211111……每一行提公因子n i a ,nn n n n n n n n n n n n n nn n n a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a ba b a a a )()()()(1)()()()(1)()()()(1111112111122122222221111121111121++-++++++--+=).(1121∏≤<≤+-=n i j j j ii nn n n a b a b a a a7.利用数学归纳法证明行列式.(对行列式的级数归纳)证明当βα≠时,,1000001000100011βαβαβααββαβααββααββα--=+++++=++n n n D证明时,将n D 按第一行(或第一列)展开得21)(---+=n n n D D D αββα,利用归纳假设可得. 8. 利用递推公式.例子: 计算行列式,10000010001000βααββαβααββααββα+++++=n D 解: 按第一行展开得: 21)(---+=n n n D D D αββα,将此式化为:(1) )(211----=-n n n n D D D D αβα或 (2) )(211----=-n n n n D D D D βαβ 利用递推公式(1)得:n n n n n n n n D D D D D D D D βαβαβαβα=-==-=-=-------)()()(122322211 ,即n n n D D βα+=-1. (3)利用递推公式(2)得:n n n n n n n n D D D D D D D D αβαβαβαβ=-==-=-=-------)()()(122322211 ,即n n n D D αβ+=-1. (4)由(3)(4) 解得: ,,)1(,11⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--=++βααβαβαβαn n n n n D其它的例子nn acb a ac b a c b a D00000000000=,按第一行展开可得21---=n n n bcD aD D ,此时令,,bc a ==+αββα则21)(---+=n n n D D D αββα,变形为211)(----=-n n n n D D D D αβα,此为递推公式.利用刚才的例子可求得结果. 这里,,bc a ==+αββα即βα,是方程02=+-bc ax x 的两个根.9. 分拆法.将行列式的其中一行或者一列拆成两个数的和,将行列式分解成两个容易求的行列式的和.例子:accccb ac c c bb ac c bbbac b b b b c a c accccb ac c c bb ac c bbbacb b b b a D n-+==210000V V acccb ac c b b a c b b b a b b b b c a accccb ac c c b b a c c b b b a c b b b b c +=-+=1V : 除第一行外,其余各行加上第一行的1-倍,所得行列式按第一列展开,2V 按第一列展开.11)(0000000--=----------=n b a c ba b c b c bc ba b c b c b b b a b c ba b b b b c V12)(--=n D c a V , 故11)()(---+-=n n n D c a b a c D ,由c b ,的对称性质,亦可得11)()(---+-=n n n D b a c a b D ,这两个式子中削去1-n D ,可得结论,bc c a b b a c D nn n ----=)()(.注: (1) 同一个行列式,可有多种计算方法.要利用行列式自身元素的特点,选择合适的计算方法. (2) 以上的各种方法并不是互相独立的,计算一个行列式时,有时需要综合运用以上方法,。

几类特殊N阶行列式的计算

目录1 引言 (2)2 文献综述 (2)2.1 国内研究现状 (2)2.2 国内研究现状评价 (3)2.3 提出问题 (3)3 预备知识 (3)3.1 N阶行列式的定义 (3)3.2 行列式的性质 (4)3.3 行列式的行(列)展开和拉普拉斯定理 (4)3.3.1 行列式按一行(列)展开 (4)3.3.2 拉普拉斯定理 (5)4 几类特殊N阶行列式的计算 (5)4.1 三角形行列式的计算 (6)4.2 两条线型行列式的计算 (7)4.3 箭形行列式的计算 (8)4.4 三对角行列式的计算 (8)4.5 Hessenberg型行列式的计算 (10)4.6 行（列）和相等的行列式的计算 (11)4.7 相邻行（列）元素差1的行列式的计算 (12)4.8 范德蒙型行列式的计算 (13)5 结论 (15)5.1 主要发现 (15)5.2 启示 (15)5.3 局限性 (15)5.4 努力方向 (15)参考文献 (16)1 引言行列式是代数学中的一个重要内容,在数学理论上有十分重要的地位.早在17世纪和18世纪初,行列式就在解线性方程组中出现.1772年法国数学家范德蒙(1735-1796)首先把行列式作为专门理论独立于线性方程之外研究.到了19世纪,是行列式理论形成和发展的重要时期,19世纪中叶出现了行列式的大量定理.因此,到19世纪末行列式基本面貌已经勾画清楚.行列式的计算是高等代数的重要内容之一,也是理工科线性代数的重要内容之一,同时也是学习中的一个难点.在数学和现实中有着广泛的应用,懂得如何计算行列式尤为重要.对于阶数较低的行列式,一般可直接利用行列式的定义和性质计算出结果.对于一般的N阶行列式,特别是当N较大时，直接用定义计算行列式往往是困难和繁琐的，因此研究行列式的计算方法则显得十分必要.通常需灵活运用一些计算技巧和方法，使计算大大简化，从而得出结果.本文归纳了几类特殊N阶行列式的计算方法,从这几类特殊的N阶行列式的计算中,可以总结出归纳出一些行列式的计算方法,只要将这些方法与传统方法结合起来，就可以基本上解决n阶行列式的计算问题.本文先阐述行列式的定义及其基本性质,然后介绍了几类特殊行列式的计算方法,并结合了相关例题讨论了行列式的求解方法.2 文献综述2.1 国内研究现状现查阅到的文献资料中,大部分只是简单的介绍了行列式的定义、行列式的性质、行列式按行（列）展开、克拉默法则等.其中[1]、[3]介绍了行列式的定义、性质、行列式按行（列）展开，[2]、[4]介绍了利用行列式的性质计算行列式，[4]、[8]直接介绍行列式的计算，主要讲解了行列式的计算在Matlab上的实现，[7]、[9]、[10]介绍了行列式的简单计算和行列式的常用计算方法，[11]、[12]、[13]同样也是介绍了行列式的性质、定义和克拉默法则，[14]在行列式的定义、性质、按行（列）展开克拉默法则等方面介绍得比较完整，[15]-[18]系统介绍了行列式计算中和各种方法,如定义法、降阶法、升降法、拆开法、目标行列式法、乘积法、化三角开法、消去法、加边法、归纳法、递推法、特征值法等行列式的计算方法.2.2 国内研究现状评价现查阅到的参考资料、文献中,在行列式的计算方面已经做到相当不错的成绩，特别是在用行列式的定义和性质去计算高阶行列式方面,而对于一些特殊行列式的计算还有所欠缺.2.3 提出问题行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一,而在一些特殊行列式的计算上还有所欠缺,本文将从几类特殊N 阶行列式的计算方面入手,对特殊N 阶行列式的计算归纳总结出一些固定的计算方法,以便在今后的计算中较为方便、快速,以便达到事半功倍的效果.3 预备知识为了更好的计算行列式,我们先要对行列式的一些性质有一些了解.下面我们来回顾一下行列式的定义和相关的行列式的性质.可参见文献资料[1].3.1 N 阶行列式的定义由一个n 行n 列的正方形数表⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n a a a a A 1111（称为n 阵方阵）按以下规则确定的数称为n 阶行列式，记为D,或A ，或det A,det ()n ij a ，即D=det ()n ij a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n a a a a A 1111其中为n 个数，1，2，n 的一个排列，为此排列的逆序数.而符号表示对所有的n 无排列求和，共有n!项.3.2 行列式的性质行列式的计算是一个重要的问题,也是一个麻烦的问题.当N 较小时,可以由定义去计算行列式的值,但当N 较大时,按定义去计算就很困难了.因此,行列式的性质在行列式中的地位就非常特别要了,我们通常总是利用行列式的性质,把一个复杂的行列式化成简单的,易算的行列式,最终计算出结果.在行列式的诸多性质中,以下几条是最基本的,其他性质都可以通过它们推导出来.该部分性质可参见文献[14].性质1 行与列互换,行列式不变.性质2 某行(列)的公因子可以提到行列式符号外.性质 3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项之和,则该行列式可以写成两个行列式之和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)元素与原行列式相同.性质4 两行(列)的对应元素相同,行列式的值为零. 性质5 两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零. 性质6 某行(列)的倍数加到另一行(列),行列式的值不变. 性质7 交换两行(列)的位置,行列式的值反号.3.3 行列式的行(列)展开和拉普拉斯定理行列式按行(列)展开的定理是行列式的一条非常重要的性质,是行列式常用计算方法的重要依据,特别是在行列式降阶的过程中,将行列式按行(列)展开,是计算行列式的一种行之有效的方法之一,可参见文献[7]. 3.3.1 行列式按一行(列)展开(1)在N 阶行列式的中，将元素ij a 所在的第i 行第j 列的元素划去后剩下的元素按照原来位置次序构成的n-1阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，即111,11,111,11,11,11,1,11,11,1,1,1,j j n i i j i j i n ij i i j i j ii n n n j n j inna a a a a a a a M a a a a a a a a -+----+-++-+++-+=，而(1)i j ij ij A M +=-称为元素ij a 的代数余子式.(2) 行列式的值等于它的某一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即111112211122(1,2,,)(1,2,,)ni i i i in in n nnj j j j nj nj a a D a A a A a A i n a a a A a A a A j n ==+++==+++=(3)n 阶行列式中某一行（列）的每个元素与另一行（列）相应元素的代数余子式乘积之和等于零. 3.3.2 拉普拉斯定理拉普拉斯定理可以看成是行列式按行(列)展开公式的推广,在行列式的计算中也是一个不可或缺的定理之一,下面将该定理陈述如下:拉普拉斯定理任意取定n 阶行列式D 的某k 行（列）（1≤k<n ）,由这k 行（列）元素所组成的一切k 阶子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.4 几类特殊N 阶行列式的计算除了较简单的行列式可以用定义直接计算和少数几类行列式可利用行列式性质直接计算外,一般行列式计算的主要方法是利用行列式的性质做恒等变形化简,使行列式中出现较多的零元素,然后直接上(下)三角行列式或利用行列式按行展开定理降阶.在化简时,必须根据行列式的特点和元素的规律性,运用适当的步骤来进行,所以研究行列式的规律性是重要的.下面是对一些典型行列式的计算方法的探究,并举例说明其求解方法和技巧.4.1 三角形行列式的计算在行列式的计算中,有一类特殊的行列式是除主对角线以外的元素全为零的行列式,我们称为对角行列式或三角行列式,该行列式的计算是很有规律的,也即(1)上(下)三角行列式等于其主对角线上元素的乘积,即a⎛a =. （2）次三角行列式的值等于添加适当正、负号的对角线元素的乘积，即. (3) 分块三角行列式可化为低级行列式的乘积,即.4．2两条线型行列式的计算在行列式的计算中,遇见两条线型的行列的情况很多,对于形如，，的两条线型行列式，我们的计算方法是先展开看看该行列式能否可以降阶,化为三角或次三角行列式,由三角行列式的计算性质算出该类行列式.例1 计算n 阶行列式1211n n n nna b a b D a b b a --=.分析:本题中所给的行列式,我们先观察一下行列式的元素间的规律,显然,这是一个两条线型的行列式,根据行列式的性质,把行列式按第一行或第一列展开得到两个三角行列式,由三角行列式的性质即可算出该行列式. 解: 按第1列展开得22122111111(1)nn n n n nn n a b b a b D a b a b a a b +----=+-11212(1)n n n a a a b b b +=+-总结:由该题的分析与解答过程,易得出解两条线型行列式的规律:按某一(列)展开,化简为三角行列式或次三角行列式,再根据三角行列式的计算方法求出所给的行列式.4.3 箭形行列式的计算在平时所遇见的行列式中,有许多形如，的箭形行列式, 这类行列式不易下手,得想办法化简,从行列式的相关性质和定理上入手.这样的行列式成箭形,只要我们把一边消去就能转化为三角或次三角行列式,从而就能用相关三角行列式的计算性质去计算该类行列式了.例2 计算n+1阶行列式01121111001001n na a D a a +=12(0)n a a a ≠ 分析:题中所给的n+1阶行列式，显然是一个箭形行列式，对于这样的行列式，得相办法变为三角或次三角行列式，把每一列的ia 1倍加到第一列即可得到一个三角行列式，本题即可算出. 解：把每一列的（ia 1-）加到第一列，得)1(101∑∏==-=ni ii ni a a a 总结:对于箭形行列式的计算,可以直接利用行列式性质化为三角或次三角行列式来计算,即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零.4.4 三对角行列式的计算对于形如的三对角行列式,. 计算就比较复杂一点了,因为这样的行列式要想办法消去主对角线外的两条线上的元素,这样一来计算量上就比较大了,但是在展开的过程中,我们易发现,在展开的过程中会得到一个递推公式,从代数方面的角度出发,就能解出这样的行列式.例3 计算n 阶“三对角”行列式D n =000100010001αβαβαβαβαβαβ+++＋分析:把该行列式展开,我们会发现,逐渐展开后得到一个递推公式,根据递推公式的特点,应用相关的代数方法,即可求出行列式的值. 解: 把行列式展开,得到D n1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)000010001n αβαβαβαβ-++1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3)故 1n n D D α--＝12()n n D D βα--- 递推得到1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D D βα---＝＝221()n D D βα--而1()D αβ=+，2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++，代入得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D 2-n ＋1n n αββ-+＝＝n α＋1n αβ-＋＋1n n αββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n总结:对于三对角线行列式的计算,可直接展开得到两项的递推关系21--+=n n n D D D βα,然后根据递推关系的特点采用相应的一些代数方法去求解出行列式.4.5 Hessenberg 型行列式的计算对于形如，的行列式,我们叫做Hessenberg 型行列式，这类行列式类似于箭形行列式,但差别又有一定的差别.对于这类行列式可直接展开得到递推公式，也可以利用行列式性质化简并降阶.例4 计算N 阶行列式分析:对于该行列式,将每一列都加到第N 列,能化为三角行列式,即可算出该行列式.解:将第1,2,…，n-1列加到第n 列，得总结:对于Hessenberg型行列式的计算,可直接展开得到递推公式,根据递推公式的特点从代数方面即可算出,也可利用行列式性质化简并降阶,利用三角行列式或次三角行列式的性质计算.4.6 行（列）和相等的行列式的计算在平时的行列式计算中,行(列)和相等的行列式不在少数,也是行列式计算中的一个难点.对于这样的行列式,我们就可以很好的去利用它的这个行(列)和相等的特点了,把每一行(列)都加到一行(列),再提出公因式,这样就能出现大量的零或1的行列式,从而利用行列式的相关性质就能算出该类行列式了.例5 计算行列式.分析:因为第行(例)的和都相等,所以把每一列都加到第一列利用行列式的性质提出公因式,把每一行都减去第一行即可行到三角行列式,根据三角行列式的性质即可算出该行列式.解: 把每一列都加到第一列提出公因式得总结:对于各行（列）这和相等的行列式，将其各列（或行）加到第1列（或行）或第N 列（或行），然后再利用行列式的性质,化为三(或次三角)行列式,根据行列式的性质计算出行列式的值.4.7 相邻行（列）元素差1的行列式的计算计算完行(列)和相等的行列式,现在来看一下行(列)元素差1的行列式的计算.同样,这样的行列式他们的行(列)元素差1,我们可以利用它的这一特点,每一行(列)递减,得到大量元素是1的行列式,进一步运用行列式的性质就能很好的解出这类行列式了.例6 计算元素满足j i a ij -=的N 阶行列式n D . 分析: 根据题设写出N 阶行列式这是相邻两行(列)元素差1的行列式,用前行减去后行可出现大量元素为1或-1的行列式,进一步化为三角行列式,即可算出该行列式. 解:前行（列）减去后行（列）,得(=总结:以数字1,2,…，n 为（大部分）元素，且相邻两行（列）元素差1的N 阶行列式可以如下计算：自第1行（列）开始，前行（列）减去后行（列）；或自第N 行（列）开始，后行（列）减去前行（列），即可出现大量元素为1或-1的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素.对于相邻两行（列）元素相差倍数K 的行列式,采用前行（列）减去后行（列）的-K 倍,或后行（列）减去前行（列）得-K 倍的步骤,即可使行列式中出现大量的零元素.4.8 范德蒙型行列式的计算范德蒙行列式具有逐行元素方幂递增的特点,在行列式的计算中,如果有这样特点的行列式或类似的行列式,我们就可以想办法与范德蒙行列式联系起来,利用行列式的计算方法去计算了.首先,先来回顾一下范德蒙行列式的一些定义和性质.可参见文献[17]. 范德蒙行列式122221212221211112111()nnn i j j i nn n n n n n n nx x x x x x D x x x x x x x x ≤<≤------==-∏即等于这N 个数的所有可能的差的乘积.例7 计算行列式12222122221212111n n n n n n n n n n nx x x x x x D x x x x x x ---=(1)分析:和范德蒙行列式相比较,发现本行列式缺少n-2次幂行,所以我们能补成范德蒙行列式,利用范德蒙行列式就能求出了.解：比较范德蒙行列式，缺少2n -次幂行，所以应补之．于是考察1n +阶范德蒙行列式122222121111121211111()nnn n n n nn n n nnn x x x x x x x x f x x x x x x x x x ----+=(2)121()()()()n i j j i nx x x x x x x x ≤<≤=----∏视x 文字，一方面，由（1）知n D 是行列式()f x 中元素1n x -的余子式.1n n M +，即：1,1,1,1(1)n n n n n n n n n D M A A +++++==-=-于是将()f x 按其第1n +列展开可得()f x 中1n x -的系数为n D -．另一方面，从()f x 的表达式（2）及根与系数的关系知，()f x 中1n x -的系数为：121()().n i j j i nx x x x x ≤<≤-+++-∏所以 121()()n n i j j i nD x x x x x ≤<≤-=-+++-∏所以 121()()n n i j j i nD x x x x x ≤<≤=+++-∏总结: 范德蒙行列式具有逐行元素方幂递增的特点,因此遇到具有逐行（或列）元素言幂递增或递减的范德蒙行列式时，可以考虑将其转化为范德蒙行列式并利用相应的结果求值.5 结论5.1 主要发现行列式的计算是高等代数和线性代数里面的一个重难点之一,在平时的考式计算中,灵活多变,有较大的难度,特别是对于特殊N阶行列式的计算,这类行列式的计算技巧性非常大,在我们掌握这些技巧和计算方法之前,对于这些行列式的计算有相当大的难度.5.2 启示和意义在行列式的计算中,特别是对于特殊N阶行列式的计算,有一定的技巧性.从特殊到一般,能把各种特殊行列式的计算技巧融会贯通,领悟渗透,那么在将来的行列式计算中将会取得事半功倍的效果. 特别是学生在平时的学习中,应熟悉行列式的一些计算方法,达到举一反三.掌握了这几类特殊行列式的计算方法,并将其融会贯通后,那么行列式的计算问题将能够迎刃而解，尤其在计算N阶行列式时，能做到思路清晰，计算上快速，准确.5.3 局限性本文只介绍了几类特殊N阶行列式的计算方法与技巧,对于一般普通行列式的计算还有待补充和完善,特别对于像行列式这样题型多变的计算部分更需进一步的探讨与研究.5.4 努力方向行列式的计算方法多种多样,而行列式也是变化繁多,并不是短时间内学习就可以掌握的,需要长时间的积累探讨,除了本文介绍的这几类特殊N阶行列式外，对于一般普通的行列式的计算也应该归纳总结出相关的计算方法与技巧.参考文献[1] 陈治中.线性代数[M].北京:科学出出版社,2009:6-23.[2] 邵建峰、刘彬. 线性代数[M].北京：化学工业出版社，2007：1-18.[3] 张翠莲. 线性代数[M].北京:中国水利水电出版社，2007：4-16.[4] 李小刚.线性代数能及其应用[M].北京:科学出出版社,2006:37-61.[5] 郭立焕、汤琴芳. 线性代数[M]. 北京：科学技术文献出版社，1988：1-32.[6] 俞正光、王飞燕. 线性代数[M]. 北京：清华大学出版社，2005；1-26.[7] 郑素文.线性代数与应用名师导学[M]. 北京: 中国水利水电出版社,2004:1-45.[8] 刘剑平、施劲松.线性代数[M].上海:华东理工大学出版社,2011:35-53.[9] 贾兰香、张建华.线性代数[M].天津:南开大学生出版社,2004:1-42.[10] 居余马.线性代数[M]. 北京:清华大学出版社,2002:1-32..[11] 詹耀华.线性代数[M]. 北京:中国金融出版社,2007:1-17.[12] 宋光艾、刘玉凤、姚光同、陈卫星.高等代数[M]. 北京:清华大学出版社,2012:1-15.[13] 蓝以中.高等代数简明教程[M]. 北京:北京大学出版社,2002:147-203.[14] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M]. 北京:高等教育出版社,2003三版:50-89.[15] 张新功.行列式的计算方法探讨[J].重庆师范大学学报,2011,第28卷第4期:88-92.[16] 古家虹.关于行列式的计算方法[J].广西大学学报,2005,第30卷增刊:174-176.[17] 李红珍.行列式的计算方法与研究[J].河南科技报,2013:212.[18] 贾冠军.行列式计算方法研究[J].菏泽师专学报,1999,第21卷第2期:61-65.曲靖师范学院本科生毕业论文论文题目: 几类特殊N阶行列式的计算作者、学号：周松2009111209学院、年级：数学与信息科学学院2009级学科、专业：数学数学与应用数学指导教师：程毕陶完成日期：2013年5月20日曲靖师范学院教务处曲靖师范学院本论文（设计）经答辩小组全体成员审查，确认符合曲靖师范学院本科(学士学位)毕业论文（设计）质量要求。

一类特殊行列式的计算公式

一类特殊行列式的计算公式特殊行列式是数学中常见的一种特殊类型的矩阵，其计算方式和普通行列式有很大区别。

特殊行列式一般用于解决某些特殊问题，如线性方程组、行列式积等。

在本文中，我们将介绍特殊行列式的计算公式，并进行简单的推导，同时介绍其应用以及注意事项。

特殊行列式的计算公式中，最常见的是Vandermonde行列式的计算公式，其表达式为：$V_{n}(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})=\prod_{1\leq i<j\leqn}(x_{j}-x_{i})$其中$n$代表矩阵的阶数，$x_{1}$、$x_{2}$、$\dots$、$x_{n}$则代表矩阵的元素。

该公式的推导主要是利用行列式中的性质，如行列式的行列互换等，将矩阵化为上三角或下三角矩阵，然后进行逐次消元得到以上表达式。

Vandermonde行列式常被用于求解线性方程组以及多项式插值问题。

例如，当我们需要求解一组线性方程组$\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}\\a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=b_{3}\end{cases}$时，我们可以将系数矩阵$A$与常数矩阵$b$组成增广矩阵$\begin{bmatrix}A&b\end{bmatrix}$，并求其行列式。

若该行列式值为$0$，则说明线性方程组无解或有无数解，否则通过Cramer法则可以求得唯一解$x$。

除了Vandermonde行列式，还有其他的特殊行列式如行列式积等。

行列式积是一类带参数的行列式，其表达式为：$\prod_{i<j}\frac{x_{j}-x_{i}}{y_{j}-y_{i}}$其中$x_{i}$、$y_{i}$分别为两组不同的数，$i$、$j$为矩阵元素的索引。

几种特殊类型行列式及其计算

几种特殊类型行列式及其计算特殊类型行列式是指其中元素满足一定的特殊规律或形式的行列式。

下面将介绍几种常见的特殊类型行列式及其计算方法。

1.对角行列式：对角行列式是指除了主对角线上的元素外，其余元素都为0的行列式。

对角行列式的计算非常简单，只需将主对角线上的元素相乘即可。

例如，行列式a00b00的值为a*b*c。

2.上三角行列式：上三角行列式是指除了主对角线及其上方的元素外，其余元素都为0的行列式。

上三角行列式的计算方法是将主对角线上的元素相乘。

例如，行列式120400的值为1*4*6=243.下三角行列式：下三角行列式是指除了主对角线及其下方的元素外，其余元素都为0的行列式。

下三角行列式的计算方法与上三角行列式相同，将主对角线上的元素相乘。

例如行列式708910111的值为7*9*12=7564.三角行列式：三角行列式是指一个矩阵的主对角线两侧的元素相同。

例如，行列式122334的值可以通过利用矩阵的对称性进行计算。

首先，将第二行减去第一行得到121134然后，再将第三行减去第一行的三倍得到12110-2-然后，再将第三行减去第二行的两倍得到121100-最后，将主对角线上的元素相乘，即1*1*(-2)=-2，即该行列式的值为-25.雅可比行列式：雅可比行列式是指一种特殊的三阶行列式形式。

∂(f1,f2,f3)---------∂(x,y,z)表示函数f1,f2,f3关于x,y,z的偏导数。

以上介绍了几种特殊类型的行列式及其计算方法。

了解不同类型的行列式有助于我们更好地理解和应用线性代数的相关理论和方法。

一类特殊行列式的计算公式

一类特殊行列式的计算公式在矩阵与行列式的计算中，常常会遇到一类特殊的行列式形式，它们有一些特殊的性质和计算公式。

在本篇文章中，我将介绍几种常见的特殊行列式，并给出它们的计算公式。

1.对称行列式对称行列式指的是行列式中的每一行都与其对应的列完全相同。

例如，以下是一个对称行列式的例子：```abcbcdcde```对称行列式有一个非常重要的性质，即它的值等于其中任意一个元素与该元素所在的余子式的乘积之和。

余子式是指将该元素所在的行列删去后的行列式。

以前述的对称行列式为例，假设我们要计算元素a的余子式：```deef```则根据上述性质，对称行列式的值可以表示为：abcbcdcde=a*，de，+b*，ef，+c*，dfef，，gh，，g```2.三角行列式三角行列式指的是行列式中的元素有一定的规律，每个元素下方都有一个或多个为0的元素。

以下是一个三角行列式的例子：```ab0c0000d```三角行列式的值等于对角线上的元素的乘积。

以前述的三角行列式为例，其计算公式为：```ab000d=a*0*0+0*0*0+0*b*0+0*0*d+c*0*0+0*0*d=0+0+0+0+0+0=0```3.对角行列式对角行列式指的是行列式中的非对角线上的元素全部为0，只有对角线上的元素不为0。

以下是一个对角行列式的例子：```a000b000c```对角行列式的值等于对角线上的元素的乘积。

以前述的对角行列式为例，其计算公式为：```a000b0=a*b*c```4.上三角行列式与下三角行列式上三角行列式指的是行列式中的非对角线上的元素全部为0，并且对角线以下的元素全为0。

以下是一个上三角行列式的例子：```abc0de00f```类似地，下三角行列式指的是行列式中的非对角线上的元素全部为0，并且对角线以上的元素全为0。

以下是一个下三角行列式的例子：```a00bc0def```对于上三角行列式和下三角行列式，它们的值等于对角线上的元素的乘积。

行列式的计算方法-计算行列式的格式

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载行列式的计算方法-计算行列式的格式地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容行列式的计算方法摘要：线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组, 行列式的计算是一个重要的问题。

本文依据行列式的繁杂程度，以及行列式中字母和数字的特征，给出了计算行列式的几种常用方法：利用行列式的定义直接计算、化为三角形法、降阶法、镶边法、递推法，并总结了几种较为简便的特殊方法：矩阵法、分离线性因子法、借用“第三者”法、利用范德蒙德行列式法、利用拉普拉斯定理法，而且对这些方法进行了详细的分析，并辅以例题。

关键词：行列式矩阵降阶The Methods of Determinant CalculationAbstract：Solving multiple linear equations is the main content of the linear algebra, determinants produced in solving linear equations, determinant calculation is an important issue.This article is based on the complexity degree of the determinant, and the characteristics of letters and numbers of the determinant ,and then gives several commonly used methods to calculate the determinant: direct calculation using the definition of determinant, into the triangle, reduction method, edging method , recursion, and summarizes several relatively simple and specific methods: matrix, linear separation factor method, to borrow "the third party" method, using Vandermonde determinant method, using Laplace theorem,also analyze these methods in detail,and supported by examples.Keywords: determinant matrix reduction.1．引言线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组,然而它除了用于研究线性方程组、矩阵、特征多项式等代数问题外,还在各种工程领域有着广泛的应用,是一种不可缺少的运算工具，所以说行列式的计算是一个重要的问题。

行列式的几种计算方法

行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要知识点，它广泛应用于数学、物理等领域。

行列式的计算有多种方法，每种方法都有其特点和适用的场合。

下面我们就来介绍一下几种行列式的计算方法。

一、拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种矩阵求解行列式的方法，通过选取某一行或某一列的元素展开，将行列式转化为较小规模的行列式相乘的和的形式。

具体步骤如下：1. 选择任意一行或一列，假设选择第i行，i列的元素进行展开。

2. 对于第i行第j列的元素A[i,j]，计算其代数余子式M[i,j]。

这种方法的优点是可以将较大的行列式转化为多个规模较小的行列式相乘的形式，简化了计算的难度。

但是这种方法并不适合于计算较大规模的行列式，因为会产生大量的中间结果需要计算。

二、按行（列）展开法按行（列）展开法的计算比较直观，适合用于小规模行列式的计算。

但是对于较大规模的行列式，计算量会相当大，不够高效。

三、三角形式计算法1. 利用初等变换将方阵化为上三角形或下三角形形式。

2. 上三角形形式的行列式等于对角线元素的乘积。

比较适用于计算较大规模行列式，但是需要进行大量的初等变换操作，计算复杂度较高。

四、行列式性质法行列式性质法是一种基于行列式性质推导的计算方法，通过运用多项式代数的性质，将行列式转化为一些易于计算的形式。

行列式性质包括奇偶性、行列式的性质、对称性质等。

具体步骤如下：1. 利用行列式性质将行列式进行转化，使其具有更加易于计算的形式。

2. 依次计算每一项的值，得出行列式的结果。

行列式性质法适用于各种规模的行列式，但需要熟练掌握行列式的性质和多项式代数的运算规则。

行列式的计算有多种方法，每种方法都有其适用的场合。

选择合适的计算方法可以提高计算效率，简化计算流程。

在实际运用中，根据行列式的规模和具体情况选择合适的计算方法是非常重要的。

希望本文介绍的几种行列式的计算方法能够帮助大家更好地理解和运用行列式知识。

特殊行列式及行列式计算方法情况总结

特殊行列式及行列式计算方法总结一、几类特殊行列式1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6）2. 以副对角线为标准的行列式11112112,1221222,11,21,11,112,1(1)212,11000000000000000(1)n n n n n n n n n n n nnn n n n n nnn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------===-L L L LLL MM M M M M M M MNL LL L 3. 分块行列式（教材P14例10）一般化结果：00n n m n n m n m m n m m nmA C A AB BC B ⨯⨯⨯⨯==⋅0(1)0n m n n m nmn n m mm nmm nA C A AB BC B ⨯⨯⨯⨯==-⋅4. 范德蒙行列式（教材P18例12）注：4种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！二、低阶行列式计算二阶、三阶行列式——对角线法则（教材P2、P3）三、高阶行列式的计算【五种解题方法】1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）【常见的化简行列式的方法】1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式例1 （2001年考研题）0001000200019990002000000002001D =L LMM M M M M L L L分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。

解法一：定义法(1,2,...,2,1,)012...19990(1)2001!(1)2001!2001!n n n D τ--+++++=-=-=解法二：行列式性质法利用行列式性质2把最后一行依次与第n -1,n -2,…,2,1行交换（这里n =2001），即进行2000次换行以后，变成副对角行列式。

线性代数特殊行列式及行列式计算方法总结

线性代数特殊行列式及行列式计算方法总结线性代数是现代数学的一个分支，研究向量、向量空间和线性变换等代数结构的性质与特征。

行列式是线性代数中的一个重要概念，它在解线性方程组、求逆矩阵以及描述线性变换的性质等方面起到了关键作用。

在这篇文章中，我将总结特殊行列式的特点以及行列式的计算方法。

一、特殊行列式1.恒等行列式：表示为，I，其中I是一个n阶单位矩阵。

恒等行列式的值始终为12.零行列式：当矩阵的其中一行（列）全为0时，行列式的值为0。

3.对角行列式：当一个矩阵只有两条对角线上的元素不为0，其他元素都为0时，该行列式称为对角行列式。

对角行列式的值等于对角线上的数的乘积。

4.正交行列式：当一个矩阵的行（列）两两正交时，该行列式称为正交行列式。

正交行列式的值为1或-15.上三角行列式和下三角行列式：当一个矩阵上方（下方）所有元素都为0时，该行列式称为上三角行列式（下三角行列式）。

上三角行列式和下三角行列式的值等于对角线上的数的乘积。

二、行列式的计算方法1.全选定理：对于一个n阶行列式，可以通过全选定理将其划分为n 个部分，每个部分都取自不同行不同列的元素。

根据全选定理，行列式的值等于每个部分的和。

2.代数余子式法：通过将行列式的每个元素都与其代数余子式相乘，并加减得到行列式的值。

代数余子式是从行列式中划去一行一列后剩下的(n-1)阶行列式。

3.列展开法：选择行或列展开，将行列式的展开式记作以第i行（列）展开为Ai，行列式的值可以表示为Ai与其对应的元素的代数余子式的乘积的和。

4.递推关系式：行列式有一个重要的性质，即当对调行（列）的位置时，行列式的值相反。

利用这一性质，可以通过多次对调行（列）将矩阵化简为上三角行列式或下三角行列式，进而求解行列式的值。

5.三角行列式：对于上三角行列式和下三角行列式，可以直接用对角线上的元素的乘积得到行列式的值。

总结：线性代数中的特殊行列式具有一些独特的特点，包括恒等行列式、零行列式、对角行列式、正交行列式以及上三角行列式和下三角行列式。

线性代数---特殊行列式及行列式计算方法汇总

线性代数---特殊行列式及行列式计算方法汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：特殊行列式及行列式计算方法总结一、几类特殊行列式1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6）2. 以副对角线为标准的行列式11112112,1221222,11,21,11,112,1(1)212,1100000000000000(1)n n n n n n n n n n n nnn n n n n nnn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------===-L L L LL L MM M M M M M M M NL LLL 3. 分块行列式（教材P14例10）一般化结果：00n n m n n m n m m n m m nmA C A AB BC B ⨯⨯⨯⨯==⋅0(1)0n m n n m nmn n m mm nmm nA C A AB BC B ⨯⨯⨯⨯==-⋅4. 范德蒙行列式（教材P18例12）注：4种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！二、低阶行列式计算二阶、三阶行列式——对角线法则（教材P2、P3）三、高阶行列式的计算【五种解题方法】1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）【常见的化简行列式的方法】1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式例1 （2001年考研题）0001000200019990002000000002001D =L LM M M M M M L L L分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。

特殊行列式计算公式

特殊行列式计算公式
特殊行列式计算公式是一种用于求解特定类型行列式的公式。

其中最常见的是三阶行列式，它可以表示为：
| a b c |
| d e f |
| g h i | = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh 该公式被称为Sarrus规则，它可以帮助我们快速计算三阶行列式。

通过逐步展开，我们可以得到任意阶行列式的值。

除此之外，还有其他一些特殊类型的行列式计算公式，比如范德蒙德行列式、托伊第行列式等。

这些公式在数学、物理、统计学等领域都有广泛的应用。

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几种特殊行列式的巧算

几种特殊行列式的巧算摘要：在高等代数课程中，n阶行列式的计算问题非常重要，它是行列式理论的重要组成部分。

计算n阶行列式的一般方法有：按行（列）展开,化三角行列式法，降阶法等。

对于这些解法，高等代数课本已做了详细介绍，本文重点探索关于三对角，爪型等具有一定特征的行列式的计算，跟几种具有特殊解法的行列式（如范德蒙行列式）计算，突出一个“巧”字，从而提高解题速度。

关键词：“三对角”行列式分离线性因子法“爪型”行列式范德蒙行列式等.引言：n阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a a a a是所有取自不同行、不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a 的代数和，其中12n j j j 是一个n 阶排列，每个项1212n j j nj a a a 前面带有正负号.当12n j j j 是偶排列时，项1212nj j nj a a a 前面带有正号，当12n j j j 是奇排列时，项1212n j j nj a a a 前面带有负号.即111212122212n n n n nna a a a a a a a a =121212()12()(1).n n n j j j j j nj j j j a a a τ-∑这里12()n j j j ∑表示对所有的n 阶排行求和.行列式的计算是高等代数的一个重要内容，同时也是在工程应用中具有很高价值的数学工具，本文针对行列式的几种特殊类型，给出了每一种类型特殊的计算方法，具体如下：一三对角行列式的计算形如 ba ba ba b a b ab a ba b a D n +++++=00000000000的行列式称为“三对角”行列式.该类行列式的计算方法有：猜想法, 递推法, 差分法.下面我们首先用猜想法来解一下这个行列式. 当b a ≠时b a ba ba b a b aba b a bD b a D n n ++++-+=-000000000000)(1=21)(---+n n abD D b a .即有递推关系式21)(---+=n n n abD D b a D ,为了得到n D 的表达式,可先设b a ≠,采用以下的归纳法:,221b a b a b a D --=+=,)(332222b a b a ab b a ab b a b a b ab a D --=++=-+=++=.)(2)(004433ba b a b a ab b a ba ba b a b a ba D --=+-+=+++=由此我们可以猜想:.11b a b a D n n n --=++下面用数学归纳法对上面的猜想进行证明．当1=n 时上式显然成立．假设当阶数小于n 时公式成立．下面证明当阶数等于n 时也成立．.)()(111121b a b a b a b a ab b a b a b a abD D b a D n n n n n n n n n --=--⋅---⋅+=-+=++----所以由数学归纳法可知ba b a D n n n --=--11.当b a =时==aaa aa a aa a a a D n 2020000020002000221000121000002100012100012n a.)1(10001100000340000123000012n na n nn n na+=+-=注：猜想法证明行列式，分两步进行，第一步是猜想出行列式的值，第二步是证明猜想的正确性.由此看出用猜想法解这类型行列式并不简单.下面给出一种巧妙的算法: 差分法.解：由21)(---+=n n n abD D b a D ,令b a p +=,ab q -=. 由特征方程02=--q px x 得两特征根为：a x =1,b x =2. 当b a ≠时则[][]ba b a b a b b a a ab b a a b a b ab b a D n n n n n--=-+--+-+--+=----111212)()()()(.当b a =时则[]2)()2())(1(-+--+-=n n a b a a n b a n D .由此看出解三对角行列式用差分法比用猜想法更简单快捷，因此我们在今后的计算中一定要很好的掌握这种方法.二分离线性因子法因行列式的结果其实就是一个数，若其中含有字母或是未知数，也就是一个多项式，而多项式与方程则是紧密相连的。

几类特殊N阶行列式的计算

几类特殊N阶行列式的计算在线性代数中，N阶行列式是一个非常重要的概念。

行列式可以看作是一个矩阵的一种特殊性质，它在很多数学和应用问题中都有广泛的应用。

在这篇文章中，我们将讨论一些特殊的N阶行列式的计算方法。

一、对称行列式对称行列式是指行列式中的每个元素都关于主对角线镜像对称。

例如，一个3阶对称行列式可以写成如下形式：$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix}$$对称行列式的计算方法有很多，以下是其中几种常用的方法。

1.代数余子式法代数余子式法是一种常用的计算对称行列式的方法。

首先，我们可以按照主对角线元素展开行列式，得到：$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{23} & a_{33}\end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix} a_{12} & a_{23} \\ a_{13}& a_{33} \end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix} a_{12} & a_{22}\\ a_{13} & a_{23} \end{vmatrix}$$然后，继续按照代数余子式展开行列式，直到得到一个2阶行列式。

最后，根据2阶行列式的计算公式计算出最终的结果。

2.克拉默法则克拉默法则是一种利用行列式计算方程组的方法。

高考数学知识点解析行列式的性质与计算

高考数学知识点解析行列式的性质与计算高考数学知识点解析：行列式的性质与计算在高考数学中，行列式是一个重要的知识点，它在解决线性方程组、向量的叉积等问题中发挥着关键作用。

接下来，咱们就一起深入探讨行列式的性质与计算方法，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

一、行列式的定义首先，咱们来了解一下行列式的定义。

对于一个二阶行列式，它的形式是：＼＼begin{vmatrix}a_{11} ＆ a_{12} ＼＼a_{21} ＆ a_{22}＼end{vmatrix} ＝ a_{11}a_{22} a_{12}a_{21}＼对于一个三阶行列式，其形式为：＼＼begin{vmatrix}a_{11} ＆ a_{12} ＆ a_{13} ＼＼a_{21} ＆ a_{22} ＆ a_{23} ＼＼a_{31} ＆ a_{32} ＆ a_{33}＼end{vmatrix} ＝ a_{11}a_{22}a_{33} ＋ a_{12}a_{23}a_{31} ＋a_{13}a_{21}a_{32} a_{13}a_{22}a_{31} a_{12}a_{21}a_{33}a_{11}a_{23}a_{32}＼从二阶和三阶行列式的定义，我们可以推广到更高阶的行列式。

二、行列式的性质1、行列式与它的转置行列式相等。

所谓转置行列式，就是将原行列式的行与列互换得到的新行列式。

例如，二阶行列式：＼＼begin{vmatrix}a ＆b ＼＼c ＆ d＼end{vmatrix}＼它的转置行列式为：＼＼begin{vmatrix}a ＆ c ＼＼b ＆ d＼end{vmatrix}＼这两个行列式的值是相等的。

2、互换行列式的两行（列），行列式的值变号。

比如对于二阶行列式：＼＼begin{vmatrix}a ＆b ＼＼c ＆ d＼end{vmatrix}＼如果将第一行和第二行互换，得到：＼＼begin{vmatrix}c ＆d ＼＼a ＆ b＼end{vmatrix}＼那么这个新行列式的值是原行列式值的相反数。

特殊行列式的计算方法总结

特殊行列式的计算方法总结一、引言在线性代数中，行列式是一个非常重要的概念。

它不仅有着广泛的应用，还是解线性方程组、计算矩阵的逆、求特征值等问题的基础。

然而，在实际计算中，我们经常会遇到一些特殊的行列式，它们的计算方法与普通行列式略有不同。

本文将总结并介绍这些特殊行列式的计算方法。

二、对称行列式对称行列式是指行列式的元素满足某种对称关系的行列式。

例如，当行列式的第i行和第j列元素相等时，这个行列式就是对称行列式。

对称行列式的计算方法相对简化，可以通过选取对称元素，对其余元素进行变换，从而减少计算量。

具体步骤如下：步骤1：选取对称元素，即第i行第j列与第j行第i列元素相等的元素；步骤2：对除选取元素外的其余元素进行行变换或列变换，使其变为下三角行列式或上三角行列式；步骤3：计算下三角行列式或上三角行列式的值；步骤4：根据选取元素的个数确定行列式的正负号，将计算结果乘以(-1)的对应次方。

三、三角行列式三角行列式是指行列式的元素满足某种三角关系的行列式。

例如，当行列式的下三角元素或上三角元素都为0时，这个行列式就是三角行列式。

三角行列式的计算方法相对简单，可以通过按行或按列展开，逐步计算得到。

具体步骤如下：步骤1：选择按行展开还是按列展开；步骤2：选取第i行或第j列的一个元素，将行列式分解为两个较小的行列式；步骤3：递归计算较小的行列式的值；步骤4：根据选取元素的位置确定行列式的正负号，将计算结果乘以(-1)的对应次方；步骤5：将所有较小行列式的计算结果相加，得到最终行列式的值。

四、Vandermonde行列式Vandermonde行列式是一种特殊的行列式形式，它的元素由一组数的幂组成。

Vandermonde行列式的计算方法相对复杂，需要利用数学归纳法和代数运算来完成。

具体步骤如下：步骤1：根据Vandermonde行列式的定义，将其展开为一组幂函数的乘积；步骤2：利用数学归纳法证明Vandermonde行列式的递推关系；步骤3：利用递推关系计算Vandermonde行列式的值。

各种行列式的计算方法

各种行列式的计算方法宝子们，今天咱们来唠唠行列式的计算方法呀。

一、定义法。

这就像是最基础的招式啦。

按照行列式的定义，把所有可能的排列组合算出来。

不过呢，这个方法可有点费时间，就像你要一个一个数小珠子一样，要是行列式的阶数大一点，那可就累得够呛。

比如说二阶行列式，按照定义算起来还比较轻松，就是主对角线元素相乘减去副对角线元素相乘。

但是三阶或者更高阶的，那可就复杂得多喽。

二、三角形行列式法。

这个方法可就比较巧妙啦。

我们想办法把行列式通过行变换或者列变换变成上三角或者下三角行列式。

为啥呢？因为三角形行列式的值就等于主对角线元素的乘积呀，多方便。

就像把一堆乱乱的东西整理得整整齐齐的，然后一下子就能算出结果。

比如说给你一个行列式，你就观察一下，哪行或者哪列加上或者减去其他行或者列的倍数，能让它慢慢变成三角形的样子。

三、按行（列）展开法。

这个方法就像是拆积木一样。

你可以按照行列式的某一行或者某一列展开。

比如说按第一行展开，那这个行列式的值就等于这一行的每个元素乘以它对应的代数余子式然后相加。

代数余子式呢，就像是这个元素的小跟班，有自己的计算方法。

这个方法在行列式里有很多零元素的时候特别好用，就像走捷径一样，直接找那些简单的部分来计算。

四、行列式的性质法。

行列式有好多有趣的性质呢。

比如说两行（列）交换，行列式的值就变成原来的相反数；某一行（列）乘以一个数加到另一行（列），行列式的值不变。

我们就可以利用这些性质，把行列式变得简单一些再去计算。

就像给行列式做个小整容，让它变得更可爱（好计算）。

宝子们，行列式的计算方法就这么些啦，多做做练习，就会发现其实也没有那么难啦。

加油哦！。

行列式常见类型及计算方法总结

行列式常见类型及计算方法总结行列式呀，这玩意儿就像是数学世界里的一座神秘城堡，咱今天就来好好逛逛这座城堡，瞧瞧里面都有啥常见类型和计算方法。

先来说说那种最简单的，就像一马平川的平原一样，没啥特别的，就是数字整整齐齐排列着，计算起来也相对容易些。

这种行列式咱就老老实实地按照规则，一步一步算下去就行，就像走路一样，稳稳当当的。

然后呢，还有那种看起来有点复杂，像迷宫一样的行列式。

不过别怕呀，咱有办法。

有时候可以通过一些变换，把它变得简单点，就好比给迷宫找条捷径。

比如说把某一行或者某一列乘上一个数，或者加上另一行或列，这就像是给迷宫开了扇门，一下子就豁然开朗了。

还有一种呢，就像是那种隐藏关卡。

乍一看好像没什么头绪，但仔细一瞧，嘿，这里面有规律呀！可能会有一些重复的结构或者特殊的形式，这时候就得靠咱的火眼金睛去发现啦。

计算行列式的方法也有不少呢。

比如说可以用按行展开或者按列展开，这就像是把一个大问题分解成了一个个小问题，然后逐个击破。

还有什么消元法呀，就像是给行列式做个大扫除，把不必要的东西都清理掉，留下最关键的部分。

咱举个例子哈，就说一个三阶行列式。

你看那数字们排列得整整齐齐，咱就可以用各种方法去对付它。

可以先看看有没有哪一行或者列比较特殊，能不能通过一些变换让它变得更容易计算。

就像打仗一样，先找到敌人的弱点，然后发起攻击。

再想想，要是遇到一个特别复杂的行列式，那可咋办？别慌呀，咱一步一步来，总能找到出路的。

就像爬山一样，虽然路难走，但只要坚持，总能爬到山顶看到美丽的风景。

你说行列式这东西难不难？当然难啦！但咱不能因为难就退缩呀，得像勇士一样去挑战它。

每次算出一个行列式的结果，那感觉，就像打了一场胜仗一样爽！所以呀，别害怕行列式，要勇敢地去面对它。

多练习，多琢磨，慢慢就会发现其中的乐趣和奥秘。

相信自己，一定能把行列式这座城堡攻下来的！。

几种特殊类型行列式及其计算

1 行列式的定义及性质1.1 定义[3]n 级行列式111212122212n nn n nna a a a a a a a a等于所有取自不同行不同列的个n 元素的乘积1212n j j nj a a a (1)的代数和,这里12n j j j 是1,2,,n 的一个排列,每一项(1)都按下列规则带有符号:当12n j j j 是偶排列时,(1)带正号，当12n j j j 是奇排列时,(1)带有负号.这一定义可写成()()121212111212122212121n n nn j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑这里12nj j j ∑表示对所有n 级排列求和.1.2 性质[4]性质1.2.1 行列互换,行列式的值不变.性质1.2.2 某行(列)的公因子可以提到行列式的符号外.性质1.2.3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列式的和;这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)与原行列式相同.性质1.2.4 两行(列)对应元素相同,行列式的值为零. 性质1.2.5 两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零.性质1.2.6 某行(列)的倍数加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变. 性质1.2.7 交换两行(列)的位置,行列式的值变号.2 行列式的分类及其计算方法2.1 箭形（爪形）行列式这类行列式的特征是除了第1行(列)或第n 行(列)及主(次)对角线上元素外的其他元素均为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上(下)三角形行列式来计算.即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零.例1 计算n 阶行列式()1232311110010001n n na a D a a a a a =≠.解将第一列减去第二列的21a 倍，第三列的31a 倍第n 列的1na 倍，得1223111110000000n n na a a a D a a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=1221nni i i i a a a ==⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∏. 2.2 两三角型行列式这类行列式的特征是对角线上方的元素都是c ,对角线下方的元素都是b 的行列式，初看，这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当b c =时可以化为上面列举的爪形来计算，当b c ≠时则用拆行(列)法[9]来计算.例2 计算行列式123nn a c c c b a c c D bb ac bbba =. 解当bc =时123n na b b b b a b b D bb a b bbba =. 将第2行到第行n 都减去第1行，则n D 化为以上所述的爪形，即11213100000nn a b b bb a a b D b a a bb a a b--=----.用上述特征1的方法，则有()11212131100000000ni i n n a bb aa bba ab D b a a b b a a b=-----=----∑()()()()()11111n ni i i n i i a b b a b a b a b a b-+===-+----∑∏. 当b c ≠时，用拆行(列)法[9]，则112233000nnn x a a a x a a a b x a a b x a a D bb x a b b x a bbbx bbbb x b++==++-112233000nx aa x aa ab x a b xa abb x b b x a bb bx bbbb b=+-()1211000n n n x aa b a x a ax b D a b a b a x a a b-----=+----.化简得()()()()1211n n nn D b x axa xax bD --=---+-. ()1 而若一开始将n x 拆为n a x a +-，则得()()()()1211n n nn D a x bxb xbx a D--=---+-. ()2 由()()()()12n n x b x a ⨯--⨯-，得()()111nn n ij i j D a x b b x a a b ==⎡⎤=---⎢⎥-⎣⎦∏∏. 有一些行列式虽然不是两三角型的行列式，但是可以通过适当变换转化成两三角型行列式进行计算.例3计算行列式()2n dbb bc x a a D n ca x a caax=≥. 解将第一行a b ⨯，第一列ac⨯，得22n a d a a a bc a x a a bc D aa x a a aaax=.即化为上()21-情形，计算得()()()()121n n n D d x a n ad bc x a --=-+---.而对于一些每行(列)上有公共因子但不能像上面一样在保持行列式不变的基础上提出公共因子的，则用升阶法[8]来简化.例4 计算行列式2112122122212111n n n n n n x x x x x x x x x x D x x x x x ++=+.解将行列式升阶，得1221121221222121010101nnn n n n n x x x x x x x x D x x x x x x x x x x +=++. 将第i 行减去第一行的ix ()2,,i n =倍，得 1212110001001n n nx x x x D x x -=--. 这就化为了爪形，按上述特征1的方法计算可得212110100001001ni n i n x x x x D =+=∑ 211ni i x ==+∑.2.3 两条线型行列式这类行列式的特征是除了主(次)对角线或与其相邻的一条斜线所组成的任两条线加四个顶点中的某个点外，其他元素都为零，这类行列式可直接展开降阶，对两条线中某一条线元素全为0的，自然也直接展开降阶计算.例5 计算行列式112211n n n nna b a b D a b b a --=.解按第一行展开可得()2213322111111111nn n n n n n nn n a b b a b a b D a b a b a b a a b +------=+-()112121n nn a a a b b b +=+-.例6 计算行列式111121111nnn n n n n nna b a b a b D c d c d c d ----=.解方法1 直接展开可得()11111111122111111110010n n n n nn nn n n n n nna b a b a b a b D a c d b c d c d c d d c ----+----=+-()()11112111111111111111n n n n n n nn n n n n n a b a b a b a b a d b c c d c d c d c d -----+----=--()()21n n n n n a d b c D -=-.则()()()()()()2111121221nn n n n n n n n n n n n n i i i i n n i D a d b c D a d b c a d b c D a d b c ------==-=--==-∏.方法2 (拉普拉斯定理法[3]) 按第一行和第2n 行展开得()11121211211111n n n nnn n nnn n a b a b a b D c d c d c d --+++--=-()()21n n n n n a d b c D -=-. 其余的同法1.2.4Hessenberg型行列式这类行列式的特征是除主(次)对角线及与其相邻的斜线，再加上第1或第n 行外，其他元素均为零，这类行列式都用累加消点法，即通常将第一行(列)元素化简到只有一个非零元素，以便于这一行或列的展开降阶计算.例7 计算行列式123111000022022011n n n D n nn n---=----.解将各列加到第一列得()1231201000022022000011n n n n n D n n n n+---=----.按第一列展开得()10002200122200011n n n D n n n n--+=----()()11!12n n -+=-.2.5 三对角型行列式形如n a bc abD cb ca=的行列式，这类行列式的特征是除这三条斜线上元素外，其他元素均为零，这是一递推结构的行列式，所有主子式都有同样的结构，从而以最后一列展开，将所得的1n -阶行列式再展开即得递推公式. 对这类行列式用递推法[5].例8 计算行列式n a b c a bD cb ca=.解按第一列展开有12n n n D aD bcD --=-解特征方程20x ax bc -+=得221244,22a a bc a a bcx x +---==. 则()()11121212,n n nx x D x x x x ++-=≠-.例9 计算行列式95499549n D =.解按第一行展开得19200n n D D --+=.解特征方程得124,5x x ==.则1145n n n D a b --=+.分别使1,2n =得16,25,a b =-=则1154n n n D ++=-.2.6 各行(列)元素和相等的行列式这类行列式的特征是其所有行(列)对应元素相加后相等，对这类行列式，将其所有行(列)加到第一行(列)或第n 行(列)，提取公因式后，再把每一行都减去第一行(列)，即可使行列式中出现大量的零元素.例10 计算行列式111222111n nnna a a a a a D a a a ++=+.解将第2行到第n 行都加到第1行，得11122211111n n nnnnna a a a a a a a a D a a a ++++++++++=+()2221111111n nnna a a a a a a a +=++++()1111010101n a a =+++()11n a a =+++.2.7 相邻两行(列)对应元素相差1的行列式这类行列式的特征是大部分以数字为元素且相邻两行(列)元素相差1的行列式，对这类行列式，自第一行(列)开始，前行(列)减去后行(列)，或自第行n (列)开始，后行(列)减去前行(列)，即可出现大量元素为1或1-的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素.若相邻两行(列)元素相差倍数k ，则前(后)行(列)减去后(前)行(列)的k -倍，可使行列式出现大量的零元素.例11 计算行列式012211013221432340112310n n n n n n n D n n n n n ------=-----. 解依次用前行减去后行，可得111111111111111111111231n D n n n ------=-------.现将第1列加到第2列至第n 列，得10000120001220012220123241n D n n n nn ------=--------()()12121n n n --=--. 例11 计算阶n 行列式221132214323423111111n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a D a a a a aa a a ----------=.解这是相邻两行(列)相差倍数a ，可采用前行减去后行的a -倍的方法化简得23110000010********101nnnn nn a a a D a aaaa ----=-()11n n a -=-.2.8 范德蒙德型行列式这类行列式的特征是有逐行(列)元素按方幂递增或递减，对这类行列式可以转化为范德蒙德行列式来计算.例12 计算行列式1111111111222222111111111nn n n nn n nn n n n n nn n nn n n n n n a a b a b b a a b a b b D a b a a b a b b ----+--++++++=.解将第i 行提出n i a ，得111122112211111111nnn nn i i nn n n n b b a a b b D a a a b b a a ++=++++⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪=⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭∏()11iji j i j n a bb a ≤≤≤+=-∏.。

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1 行列式的定义及性质1.1 定义[3] n 级行列式111212122212n n n n nna a a a a a a a a等于所有取自不同行不同列的个n 元素的乘积1212n j j nj a a a (1)的代数和,这里12n j j j 是1,2,,n 的一个排列,每一项(1)都按下列规则带有符号:当12n j j j 是偶排列时,(1)带正号，当12n j j j 是奇排列时,(1)带有负号.这一定义可写成()()121212111212122212121n n nn j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑这里12nj j j ∑表示对所有n 级排列求和.1.2 性质[4]性质1.2.1 行列互换,行列式的值不变.性质1.2.2 某行(列)的公因子可以提到行列式的符号外.性质1.2.3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列式的和;这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)与原行列式相同.性质1.2.4 两行(列)对应元素相同,行列式的值为零. 性质1.2.5 两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零.性质1.2.6 某行(列)的倍数加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变. 性质1.2.7 交换两行(列)的位置,行列式的值变号.2 行列式的分类及其计算方法2.1 箭形（爪形）行列式这类行列式的特征是除了第1行(列)或第n 行(列)及主(次)对角线上元素外的其他元素均为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上(下)三角形行列式来计算.即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零.例1 计算n 阶行列式()1232311110010001n n na a D a a a a a =≠.解将第一列减去第二列的21a 倍，第三列的31a 倍第n 列的1na 倍，得1223111110000000n n na a a a D a a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=1221nni i i i a a a ==⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∏. 2.2 两三角型行列式这类行列式的特征是对角线上方的元素都是c ,对角线下方的元素都是b 的行列式，初看，这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当b c =时可以化为上面列举的爪形来计算，当b c ≠时则用拆行(列)法[9]来计算.例2 计算行列式123n n a c c c b a c c D bb ac bbba =. 解当bc =时123n na b b b b a b b D bb a b bbba =. 将第2行到第行n 都减去第1行，则n D 化为以上所述的爪形，即1121310000n n a b b bb a a b D b a a bb a a b--=----.用上述特征1的方法，则有()11212131100000000ni i n n a b baa bb a a b D b a a b b a a b=-----=----∑()()()()()11111n ni i i n i i a b b a b a b a b a b -+===-+----∑∏.当b c ≠时，用拆行(列)法[9]，则112233000n nn x a a a x a a a b x a a b x a a D bb x a b b x a bbbx bbbb x b++==++-112233000nx aa x a a ab x a b x a ab b x b b x a bb bx bbbb b=+-()1211000n n n x a a b a x a ax b D a b a b a x a a b-----=+----.化简得()()()()1211n n n n D b x a x a x a x b D --=---+-. ()1而若一开始将n x 拆为n a x a +-，则得()()()()1211n n n n D a x b x b x b x a D --=---+-. ()2由()()()()12n n x b x a ⨯--⨯-，得()()111nn n ij i j D a x b b x a a b ==⎡⎤=---⎢⎥-⎣⎦∏∏. 有一些行列式虽然不是两三角型的行列式，但是可以通过适当变换转化成两三角型行列式进行计算.例 3 计算行列式()2n dbb bc x a a D n ca x a caax=≥. 解将第一行a b ⨯，第一列ac⨯，得22n a d a a a bc a x a a bc D aa x a a aaax=.即化为上()21-情形，计算得()()()()121n n n D d x a n ad bc x a --=-+---.而对于一些每行(列)上有公共因子但不能像上面一样在保持行列式不变的基础上提出公共因子的，则用升阶法[8]来简化.例4 计算行列式2112122122212111n n n n n n x x x x x x x x x x D x x x x x ++=+.解将行列式升阶，得1221121221222121010101n nn n n n n x x x x x x x x D x x x x x x x x x x +=++. 将第i 行减去第一行的i x ()2,,i n =倍，得 1212110001001n n nx x x x D x x -=--.这就化为了爪形，按上述特征1的方法计算可得212110100001001ni n i n x x x x D =+=∑ 211ni i x ==+∑.2.3 两条线型行列式这类行列式的特征是除了主(次)对角线或与其相邻的一条斜线所组成的任两条线加四个顶点中的某个点外，其他元素都为零，这类行列式可直接展开降阶，对两条线中某一条线元素全为0的，自然也直接展开降阶计算.例5 计算行列式112211n n n nna b a b D a b b a --=.解按第一行展开可得()2213322111111111nn n n n n n nn n a b b a b a b D a b a b a b a a b +------=+-()112121n n n a a a b b b +=+-.例6 计算行列式111121111nnn n n n n nna b a b a b D c d c d c d ----=.解方法1 直接展开可得()11111111122111111110010n n n n nn nn n n n n nna b a b a b a b D a c d b c d c d c d d c ----+----=+-()()11112111111111111111n n n n n n nn n n n n n a b a b a b a b a d b c c d c d c d c d -----+----=--()()21n n n n n a d b c D -=-.则()()()()()()2111121221nn n n n n n n n n n n n n i i i i n n i D a d b c D a d b c a d b c D a d b c ------==-=--==-∏.方法 2 (拉普拉斯定理法[3]) 按第一行和第2n 行展开得()11121211211111n n n nnn n nnn n a b a b a b D c d c d c d --+++--=-()()21n n n n n a d b c D -=-. 其余的同法1.2.4Hessenberg型行列式这类行列式的特征是除主(次)对角线及与其相邻的斜线，再加上第1或第n 行外，其他元素均为零，这类行列式都用累加消点法，即通常将第一行(列)元素化简到只有一个非零元素，以便于这一行或列的展开降阶计算.例7 计算行列式123111000022022011n n n D n nn n---=----.解将各列加到第一列得()123120100022022000011n n n n n D n n n n+---=----.按第一列展开得()10002200122200011n n n D n n n n --+=----()()11!12n n -+=-.2.5 三对角型行列式形如n a bc abD cb ca=的行列式，这类行列式的特征是除这三条斜线上元素外，其他元素均为零，这是一递推结构的行列式，所有主子式都有同样的结构，从而以最后一列展开，将所得的1n -阶行列式再展开即得递推公式. 对这类行列式用递推法[5].例8 计算行列式n a b c a bD cb ca=.解按第一列展开有12n n n D aD bcD --=-解特征方程20x ax bc -+=得1222a a x x ==. 则()()11121212,n n nx x D x x x x ++-=≠-.例9 计算行列式95499549n D =.解按第一行展开得19200n n D D --+=.解特征方程得124,5x x ==.则1145n n n D a b --=+.分别使1,2n =得16,25,a b =-=则1154n n n D ++=-.2.6 各行(列)元素和相等的行列式这类行列式的特征是其所有行(列)对应元素相加后相等，对这类行列式，将其所有行(列)加到第一行(列)或第n 行(列)，提取公因式后，再把每一行都减去第一行(列)，即可使行列式中出现大量的零元素.例10 计算行列式111222111n nnna a a a a a D a a a ++=+.解将第2行到第n 行都加到第1行，得11122211111n n nn nnna a a a a a a a a D a a a ++++++++++=+()2221111111n nnna a a a a a a a +=++++()1111010101n a a =+++()11n a a =+++.2.7 相邻两行(列)对应元素相差1的行列式这类行列式的特征是大部分以数字为元素且相邻两行(列)元素相差1的行列式，对这类行列式，自第一行(列)开始，前行(列)减去后行(列)，或自第行n (列)开始，后行(列)减去前行(列)，即可出现大量元素为1或1-的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素.若相邻两行(列)元素相差倍数k ，则前(后)行(列)减去后(前)行(列)的k -倍，可使行列式出现大量的零元素.例11 计算行列式012211013221432340112310n n n n n n n D n n n n n ------=-----.解依次用前行减去后行，可得111111111111111111111231n D n n n ------=-------.现将第1列加到第2列至第n 列，得10000120001220012220123241n D n n n nn ------=--------()()12121n n n --=--.例11 计算阶n 行列式221132214323423111111n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a D a a a a aa a a ----------=.解这是相邻两行(列)相差倍数a ，可采用前行减去后行的a -倍的方法化简得231100000100000100000101n nnn n n a a a D a aa a a ----=-()11n n a -=-.2.8 范德蒙德型行列式这类行列式的特征是有逐行(列)元素按方幂递增或递减，对这类行列式可以转化为范德蒙德行列式来计算.例12 计算行列式1111111111222222111111111nn n n nn n nn n n n n nn n nn n n n n n a a b a b b a a b a b b D a b a a b a b b ----+--++++++=.解将第i 行提出n i a ，得111122112211111111nnn nn i i nn n n n b b a a b b D a a a b b a a ++=++++⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪=⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭∏()11iji j i j n a bb a ≤≤≤+=-∏.新能源的综合利用及其控制方法一、环境问题、能源危机与可再生能源利用的提出1、环境问题与能源危机随着世界经济的迅速发展，环境问题与能源危机日益突出。