3、2020重庆中考数学三角形翻折变换专题三
3、2020重庆中考复习数学几何最值专题训练三(含答案解析)

2020年重庆中考数学最值专题训练三(含答案)1、(2018•明光市二模)如图,正方形ABCD中,AB=4,点E、F分别为BC,AD上的点,过点E、F 的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分.过点A作AG⊥EF于点G,连接DG,则线段DG长的最小值为()A.2B.2﹣2C.2D.2﹣22、如图,正方形ABCD的边长为2,点E、F分别是边AB、CD上的动点,且AE=CF,连接EF,将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG,连接DG,则线段DG长的最小值为.3、(2019•南充模拟)如图,正方形ABCD的边长为2,O是BC边的中点,P是正方形内一动点,且OP=2,连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转90°到DQ,连接AP,CQ,PQ,则线段PQ的最小值为.4、如图,平行四边形ABCD中,∠B=60°,BC=12,AB=10,点E在AD上,且AE=4,点F是AB上一点,连接EF,将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG,连接GD,则线段GD长度的最小值为.5、(2019•惠山区一模)如图,正方形ABCD中,AB=2,O是BC边的中点,点E是正方形内一动点,OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF,连接AE,CF,OF.则线段OF长的最小值()A.2B.+2C.2﹣2 D.56、如图,在边长为2的正方形ABCD中,点O为AB中点,以AB为直径在正方形ABCD内部作半圆,E为半圆上任意一点(不与A.B重合),连接CE,将线段CE绕点C逆时针旋转90°得列CF,连接DE、BF,OF.则线段OF长的最小值为.7、(2019秋•颍州区校级月考)如图,正方形ABCD的边长为5,O是AB边的中点,点E是正方形内一动点,OE=2,将线段CE绕C点逆时针旋转90°得CF,连OF,线段OF的最小值为.8、(2019•太原二模)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,BC=2,点D是AC边的中点,E是直线BC上一动点,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连接AF、EF,在点E的运动过程中线段AF的最小值为.9、(2019秋•锡山区期中)已知:如图,△ABC是边长为6的等边三角形,直线AF⊥BC于F,点D是直线AF上一动点,以BD为边在BD的右侧作等边△BDE,连接EF,则EF的最小值为.10、(2019•台州模拟)如图,四边形ABCD是矩形,AB=4,BC=a(a>1),E是BC上的一点,且BE=1,点F是边AB上的任意一点.连接EF,将线段EF绕点E顺时针旋转90°,得到线段EG.在点F从点B运动到点A的过程中,若要点G能落在对角线AC上,则a的最大值为.11、如图1,四边形ABCD是矩形,AB=2,BC=4,点E是AD边上的一个动点,以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG,且CG:CE=1:2,连接DG、BE、BG,则2BG+BE的最小值为.2020年重庆中考数学最值专题训练三(含答案)1、(2018•明光市二模)如图,正方形ABCD中,AB=4,点E、F分别为BC,AD上的点,过点E、F 的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分.过点A作AG⊥EF于点G,连接DG,则线段DG长的最小值为()A.2B.2﹣2C.2D.2﹣2解:连接AC,BD交于O,∵过点E、F的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分,∴EF过点O,∵AG⊥EF,∴∠AGO=90°,∴点G在以AO为直径的半圆弧上,设AO的中点为M,连接DM交半圆弧于G,则此时,DG最小,∵四边形ABCD是正方形,AB=4,∴AC=8,AC⊥BD,∴AO=OD=AC=4,∴AM=OM=AO=2,∴DM==2,∴DG=2﹣2,故选:B.2、如图,正方形ABCD的边长为2,点E、F分别是边AB、CD上的动点,且AE=CF,连接EF,将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG,连接DG,则线段DG长的最小值为.解:如图,过点F作FM⊥AB于M,过点G作GH⊥AD于H,GN⊥AB于N,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=AD=CD=2,∠B=∠C=∠BAD=90°,且FM⊥AB,GH⊥AD,GN⊥AB,∴四边形BCFM,四边形AHGN是矩形,∴BM=CF,NG=AH,AN=GH,MF=BC=2,∵将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG,∴EG=EF,∠GEF=90°,∴∠NEG+∠FEM=90°,且∠NGE+∠NEG=90°,∴∠FEM=∠NGE,且∠N=∠FME=90°,EF=EG,∴△EGN≌△EFM(AAS)∴NE=MF=2,EM=NG,设AE=CF=a,∴EM=2﹣2a=NG=AH,AN=2﹣a=GH,∴HD=AD﹣AH=2﹣(2﹣2a)=2a,∵GD==∴当a=时,GD有最小值为,3、(2019•南充模拟)如图,正方形ABCD的边长为2,O是BC边的中点,P是正方形内一动点,且OP=2,连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转90°到DQ,连接AP,CQ,PQ,则线段PQ的最小值为.解:连接OD,如图所示:∵DQ=DP,∠PDQ=90°,∴PQ=DP,OD===5,∵OP+DP≥OD,∴DP≥OD﹣OP=5﹣2=3,∴PQ≥3,∴线段PQ的最小值为3.4、如图,平行四边形ABCD中,∠B=60°,BC=12,AB=10,点E在AD上,且AE=4,点F是AB上一点,连接EF,将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG,连接GD,则线段GD长度的最小值为2.解:将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH,连接HG,过点H作HM⊥AD,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A+∠B=180°,∴∠A=120°,∵将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH,将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG,∴EF=EG=4,AE=EH,∠AEH=∠FEG=120°,∴∠DEH=60°,∠AEF=∠HEG,且EF=EG,AE=EH,∴△AEF≌△HEG(SAS)∴∠A=∠EHG=120°=∠AEH,∴AD∥HG,∴点G的轨迹是过点H且平行于AD的直线,∴当DG⊥HG时,线段GD长度有最小值,∵∠HEM=60°,EH=4,HM⊥AD,∴EM=2,MH=EM=2,∴线段GD长度的最小值为2,5、(2019•惠山区一模)如图,正方形ABCD中,AB=2,O是BC边的中点,点E是正方形内一动点,OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF,连接AE,CF,OF.则线段OF长的最小值()A.2B.+2C.2﹣2 D.5解法一:如图,连接DO,将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM,连接OF,FM,OM,∵∠EDF=∠ODM=90°,∴∠EDO=∠FDM,∵DE=DF,DO=DM,∴△EDO≌△FDM(SAS),∴FM=OE=2,∵正方形ABCD中,AB=2,O是BC边的中点,∴OC=,∴OD=,∴OM=,∵OF+MF≥OM,∴OF≥.故选:D.解法二:如图,由于OE=2,所以E点可以看作是以O为圆心,2为半径的半圆上运动,延长BA到P 点,使得AP=OC,连接PE,∵AE=CF,∠P AE=∠OCF,∴△P AE≌△OCF,∴PE=OF,当O、E、P三点共线时,PE最小,OP===5,∴PE=OF=OP﹣OE=5﹣2,∴OF的最小值是5﹣2.6、如图,在边长为2的正方形ABCD中,点O为AB中点,以AB为直径在正方形ABCD内部作半圆,E为半圆上任意一点(不与A.B重合),连接CE,将线段CE绕点C逆时针旋转90°得列CF,连接DE、BF,OF.则线段OF长的最小值为.解:由于OE=2,所以E点可以看作是以O为圆心,2为半径的半圆上运动,延长BA到P点,使得AP=OC,连接PE,∵AE=CF,∠P AE=∠OCF,∴△P AE≌△OCF(SAS),∴PE=OF,当PE最小时,为O、E、P三点共线,OP===5,∴PE=OF=OP﹣OE=5﹣2,∴OF的最小值是5﹣2.7、(2019秋•颍州区校级月考)如图,正方形ABCD的边长为5,O是AB边的中点,点E是正方形内一动点,OE=2,将线段CE绕C点逆时针旋转90°得CF,连OF,线段OF的最小值为.解:如图,连接CO,将线段CO绕点C逆时针旋转90°得CM,连接FM,OM,则∠ECF=∠OCM=90°,∴∠ECO=∠FCM,∵CE=CF,CO=CM,∴△ECO≌△FCM(SAS),∴FM=OE=2,∵正方形ABCD中,AB=5,O是AB边的中点,∴OB=2.5,∴OC==,∴OM=OC=,∵OF+MF≥OM,∴OF≥﹣2.∴线段OF的最小值为﹣2.8、(2019•太原二模)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,BC=2,点D是AC边的中点,E是直线BC上一动点,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连接AF、EF,在点E的运动过程中线段AF的最小值为+1.解:如图,作DM⊥BC于M,FJ⊥DM于J交AB于N.∵Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,BC=2,∴AC=2BC=4,AB=BC=2,∵AD=DC.DM∥AB,∴DM=AB=,BM=CM=1,易证四边形BMJN是矩形,∴JN=BM=1,∵∠FDJ+∠EDM=90°,∠EDM+∠DEM=90°,∴∠FDJ=∠DEM,∵∠FJD=∠DME=90°,∴△FJD≌△DME(AAS),∴FJ=DM=,∴FN=FJ+JN=1+,∴点F在直线l上运动(直线l与直线AB之间的距离为+1),根据垂线段最短可知,当AF⊥直线l时,AF的值最短,最小值为+1,9、(2019秋•锡山区期中)已知:如图,△ABC是边长为6的等边三角形,直线AF⊥BC于F,点D是直线AF上一动点,以BD为边在BD的右侧作等边△BDE,连接EF,则EF的最小值为.解:如图,取AB中点H,连接DH,∵△ABC,△BDE都是等边三角形,∴AB=BC,BD=BE,∠DBE=∠ABC=60°,∴∠ABD=∠EBC,∵△ABC是等边三角形,AF⊥BC,∴BF=BC=AB=3,∠BAF=30°,∵H是AB中点,∴AH=BH=AB=BF=3,且∠ABD=∠EBC,BD=BE,∴△BHD≌△BFE(SAS)∴EF=DH,∴当DH取最小值时,EF有最小值,当DH⊥AF时,DH有最小值,∴DH=AH=,∴EF的最小值为,10、(2019•台州模拟)如图,四边形ABCD是矩形,AB=4,BC=a(a>1),E是BC上的一点,且BE=1,点F是边AB上的任意一点.连接EF,将线段EF绕点E顺时针旋转90°,得到线段EG.在点F从点B运动到点A的过程中,若要点G能落在对角线AC上,则a的最大值为.解:如图,当点G落在对角线AC上,过点G作GH⊥BC于点H,∵△EFB≌△GEH,∴GH=BE=1,EH=BF,∴CH=BC﹣BE﹣EH=a﹣1﹣BF,∵△CHG∽△CBA,∴,∴,∴BF=∵点F是边AB上的任意一点,∴0≤BF≤AB,∴0≤≤4,∴≤a≤∴a的最大值为11、如图1,四边形ABCD是矩形,AB=2,BC=4,点E是AD边上的一个动点,以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG,且CG:CE=1:2,连接DG、BE、BG,则2BG+BE的最小值为4.解:延长BE、GD相交于点H.∵矩形ECGF、矩形ABCD,∴∠ECG=∠BCD=90°,∴∠DCG=∠BCE∵CD:CB=2:4=1:2,CG:CE=1:2,∴CD:CB=CG:CE,∵∠DCG=∠BCE∴△DCG∽△BCE,∴,∠BEC=∠DGC,∴DG=BE作EN⊥BC于N,GM⊥BC交BC的延长线于M.易证△ECN∽△CGM,∴==2,∵EN=AB=2,∴CM=1,∴点G的运动轨迹是直线MG,作点D关于直线GM的对称点G′,连接BG′交GM于G,此时BG+GD的值最小,最小值=BG′∵DG=BE,∴BE=2DG,∴2BG+BE=2BG+2DG=2(BG+DG)∴2BG+BE的最小值就是2(BG+DG)的最小值.∵BG′==2,∴2BG+BE的最小值为4。
中考数学点对点-几何折叠翻折类问题(解析版)

专题33 中考几何折叠翻折类问题专题知识点概述1.轴对称(折痕)的性质:(1)成轴对称的两个图形全等。
(2)对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
(3)对应点到对称轴的距离相等。
(4)对应点的连线互相平行。
也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称,对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题(1)求角度大小;(2)求线段长度;(3)求面积;(4)其他综合问题。
3.解决折叠问题的思维方法(1)折叠后能够重合的线段相等,能够重合的角相等,能够重合的三角形全等,折叠前后的图形关于折痕对称,对应点到折痕的距离相等。
(2)折叠类问题中,如果翻折的直角,那么可以构造三垂直模型,利用三角形相似解决问题。
(3)折叠类问题中,如果有平行线,那么翻折后就可能有等腰三角形,或者角平分线。
这对解决问题有很大帮助。
(4)折叠类问题中,如果有新的直角三角形出现,可以设未知数,利用勾股定理构造方程解决。
(5)折叠类问题中,如果折痕经过某一个定点,往往用辅助圆解决问题。
一般试题考查点圆最值问题。
(6)折叠后的图形不明确,要分析可能出现的情况,一次分析验证可以利用纸片模型分析。
例题解析与对点练习【例题1】(2020•哈尔滨)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=50°,AD⊥BC,垂足为D,△ADB与△ADB'关于直线AD对称,点B的对称点是点B',则∠CAB'的度数为()A.10°B.20°C.30°D.40°【答案】A【解析】由余角的性质可求∠C=40°,由轴对称的性质可得∠AB'B=∠B=50°,由外角性质可求解.∵∠BAC=90°,∠B=50°,∴∠C=40°,∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称,点B的对称点是点B',∴∠AB'B=∠B=50°,∴∠CAB'=∠AB'B﹣∠C=10°。
2、2020重庆中考数学三角形翻折变换专题二

三角形翻折变换专题训练二1.如图.△ABC中.∠ABC=90°,BC=l.将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′.C′恰好落在AC边的中点处.连接AA′,取AA′的中点D,则C′D的长为( )A .B .374C .52D.3542.(2019•大连二模)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,点D在AC上,点E在AB上,将△ADE沿直线DE翻折,点A的对称点A'落在BC上,在CD=1,则A'B'的长是()A.1 B.C.D.3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D、E在边BC上,且∠DAE=60°.将△ADE沿AE翻折,点D的对应点是D',连接CD',若BD=4,CE=5,则DE的长为()A.92B.21C.13D.234.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,将边AC沿CE翻折,使点A落在AB上的点D 处;再将边BC沿CF翻折,使点B落在CD的延长线上的点处,两条折痕与斜边AB分别交于点E、F,则△B′DE的面积为()A.925B.1825C.1225D.24255、(2019•重庆一中三模)等腰Rt△ABC,AC=BC=4,点E,F分别在边AB、BC上,将三角形沿EF翻折,使得B 刚好落在AC的中点D处,则EF的长为( )A.556B.56C.253D.253B CE第6题6.已知Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =8,BC =4,D 为斜边AB 上的中点,E 是直角边AC 上的一点,连接DE ,将△ADE 沿DE 折叠至△A ′DE ,A ′E 交BD 于点F ,若△DEF 的面积是△ADE 面积的一半,则DE 的长为( )..2A .25B .22C .4D7.(2018•崇明县二模)如图,△ABC 中,∠BAC =90°,AB =6,AC =8,点D 是BC 的中点,将△ABD ,将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ,联结CE ,那么线段CE 的长等于( ) A .125B .135C .145D .1658.(2018秋•坪山区期末)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =,BC =,将边AC 沿CE 翻折,使点A 落在AB 上的点D 处,再将边BC 沿CF 翻折,使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处,两条折痕与斜边AB 分别 交于点E 、F ,则线段B ′F 的长为( ). A . 22-B .32-C .22D .239.(2018•沙坪坝区模拟)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,点D 是边AB 的中点,连结CD ,将△BCD 沿直线CD 翻折得到△ECD ,连结AE .若AC =6,CD =5,则线段AE 的长为( )12.5A 13.5B 14.5C 11.5D10、(2018秋•扬中市期末)如图△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,点E是AB中点,将△CAE 沿着直线CE翻折,得到△CDE,连接AD,则线段AD的长等于()A.8 B.C.D.1011、(2018•西华县一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,点D是BC上一动点,连接AD,将△ACD沿AD折叠,点C落在点E处,连接DE交AB于点F,当△DEB是直角三角形时,DF的长为.13、如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=5,AC=12,点D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED,连CE,则线段CE的长等于()A.B.9 C.D.8111.37A 10111.37B 5111.37C 6111.37D三角形翻折变换专题训练二答案解析1.如图.△ABC中.∠ABC=90°,BC=l.将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'.C'恰好落在AC边的中点处.连接AA',取AA'的中点D,则C'D的长为(A )A .B .374C.52D.3542.(2019•大连二模)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,点D在AC上,点E在AB上,将△ADE沿直线DE翻折,点A的对称点A'落在BC上,在CD=1,则A'B'的长是()A.1 B.C.D.解:∵AC=4,CD=1,∴AD=AC﹣CD=3.∵将△ADE沿直线DE翻折,点A的对称点A'落在BC上,∴A′D=AD=3.在Rt△A′CD中,∵∠C=90°,∴A′C===2,∴A′B=BC﹣A′C=4﹣2.故选:D.3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D、E在边BC上,且∠DAE=60°.将△ADE沿AE翻折,点D的对应点是D',连接CD',若BD=4,CE=5,则DE的长为(B)A.92B.21C.13D.234.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,将边AC沿CE翻折,使点A落在AB上的点D 处;再将边BC沿CF翻折,使点B落在CD的延长线上的点处,两条折痕与斜边AB分别交于点E、F,则△B′DE的面积为(B)A.925B.1825C.1225D.2425第6题5、(2019•重庆一中三模)等腰Rt △ABC,AC=BC=4,点E,F 分别在边AB 、BC 上,将三角形沿EF 翻折,使得B 刚好落在AC 的中点D 处,则EF 的长为( A )A .556B .56C .253D .253解:作EG ⊥BC 于G ,作DH ⊥AB 于H ,如图所示:则∠BGE =∠EGF =∠AHD =90°, 由折叠的性质得:DF =BF ,△BEF ≌△DEF ,∵D 是AC 的中点,∴CD =AD =AC =2, ∵等腰Rt △ABC ,AC =BC =4,∴∠A =∠B =45°,AB =4,∴△ADH 是等腰直角三角形,∴DH =AH =AD =,设DF =BF =x ,在Rt △CDF 中,CF =BC ﹣BF =4﹣x ,由勾股定理得:x 2=(4﹣x )2+22,解得:x =,∴BF =,CF =, 设EG =y ,∵EG ⊥BC ,∴△BEG 是等腰直角三角形,∴BG =EG =y ,BE =y ,则AE =4﹣y ,∵四边形BFDE 的面积=△ABC 的面积﹣△CDF 的面积﹣△ADE 的面积, ∴2××y =×4×4﹣××2﹣(4﹣y )×,解得:y =,∴BG =EG =,∴FG =BF =BG =,在Rt △EFG 中,由勾股定理得:EF ==;6.已知Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =8,BC =4,D 为斜边AB 上的中点,E 是直角边AC 上的一点,连接DE ,将△ADE 沿DE 折叠至△A ′DE ,A ′E 交BD 于点F ,若△DEF 的面积是△ADE 面积的一半,则DE 的长为( C )..2A .25B .22C .4DM解:如图连接BE第5题图BCE∵∠ACB =90°,AC =8,BC =4∴AB =4 ∵D 是AB 中点∴BD =AD =2∵折叠∴AD =A 'D =2,S △ADE =S △A 'DE ∵S △DEF =S △ADE ∴AD =2DF ,S △DEF =S △A 'DE∴DF =,A 'F =EF ∴BF =DF =,且A 'F =EF∴A 'D =BE = ∴根据勾股定理得:CE =2 作DM AE 可得DE=227.(2018•崇明县二模)如图,△ABC 中,∠BAC =90°,AB =6,AC =8,点D 是BC 的中点,将△ABD ,将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ,联结CE ,那么线段CE 的长等于( ) A .125B .135C .145D .165解:如图连接BE 交AD 于O ,作AH ⊥BC 于H .在Rt △ABC 中,∵AC =8,AB =6, ∴BC ==10,∵CD =DB ,∴AD =DC =DB =5,∵BC •AH =AB •AC ,∴AH =,∵AE =AB ,∴点A 在BE 的垂直平分线上.∵DE =DB =DC ,∴点D 在BE 使得垂直平分线上,△BCE 是直角三角形,∴AD 垂直平分线段BE ,∵AD •BO =BD •AH ,∴OB =, ∴BE =2OB =,在Rt △BCE 中,EC ===,8.(2018秋•坪山区期末)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =,BC =,将边AC 沿CE 翻折,使点A 落在AB 上的点D 处,再将边BC 沿CF 翻折,使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处,两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ,则线段B ′F 的长为( ). A . 22-B .32-C .22D .23解:∵∠ACB =90°,AC =,BC =,∴AB ==3 ∵S △ABC ==∴3×CE =×∴CE =∵BE ==2 ∵折叠∴BF =B 'F ,∠ACE =∠DCE ,∠BCF =∠B 'CF ,∵∠ACE +∠DCE +∠BCF +∠B 'CF =90°∴∠DCE +∠FCB '=45° ∴∠FCE =45°,且CE ⊥AB ∴∠ECF =∠EFC =45°∴EF =EC =∴BF =B 'F =BE ﹣EF =2﹣9.(2018•沙坪坝区模拟)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,点D 是边AB 的中点,连结CD ,将△BCD 沿直线CD 翻折得到△ECD ,连结AE .若AC =6,CD =5,则线段AE 的长为( )12.5A 13.5B 14.5C 11.5D解:如图,连接BE ,延长CD 交BE 与点H ,作CF ⊥AB ,垂足为F .∵在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,点D 是边AB 的中点,CD =5,∴AD =DB =CD =5,AB =10. ∵AC =6,∴BC ==8.∵S △ABC =AC •BC =AB •CF ,∴×6×8=×10×CF ,解得CF =.∵将△BCD 沿直线CD 翻折得到△ECD ,∴BC =CE ,BD =DE ,∴CH ⊥BE ,BH =HE .∵AD =DB =DE ,∴△ABE 为直角三角形,∠AEB =90°,∴S △ECD =S △ACD ,∴DC •HE =AD •CF , ∵DC =AD ,∴HE =CF =.∴BE =2EH =.∵∠AEB =90°,∴AE ===.10、(2018秋•扬中市期末)如图△ABC 中,∠ACB =90°,AC =8,BC =6,点E 是AB 中点,将△CAE 沿着直线CE 翻折,得到△CDE ,连接AD ,则线段AD 的长等于( )A.8 B.C.D.10解:如图,延长CE交AD于F,连接BD,∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,∴AB=10,∵∠ACB=90°,CE为中线,∴CE=AE=BE,∴∠ACF=∠BAC,又∵∠AFC=∠BCA=90°,∴△ABC∽△CAF,∴=,即=,∴CF=6.4,∴EF=CF﹣CE=1.4,由折叠可得,AC=DC,AE=DE,∴CE垂直平分AD,又∵E为AB的中点,∴EF为△ABD的中位线,∴BD=2EF=2.8,∵AE=BE=DE,∴∠DAE=∠ADE,∠BDE=∠DBE,又∵∠DAE+∠ADE+∠BDE+∠DBE=180°,∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=90°,∴Rt△ABD中,AD===,故选:C.11、(2018•西华县一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,点D是BC上一动点,连接AD,将△ACD沿AD折叠,点C落在点E处,连接DE交AB于点F,当△DEB是直角三角形时,DF的长为或.解:如图1所示;点E与点F重合时.在Rt△ABC中,BC===4.由翻折的性质可知;AE=AC=3、DC=DE.则EB=2.设DC=ED=x,则BD=4﹣x.在Rt△DBE中,DE2+BE2=DB2,即x2+22=(4﹣x)2.解得:x=.∴DE=.如图2所示:∠EDB=90时.由翻折的性质可知:AC=AE,∠C=∠AED=90°.∵∠C=∠AED=∠CDE=90°,∴四边形ACDE为矩形.又∵AC=AE,∴四边形ACE′为正方形.∴CD=AC=3.∴DB=BC﹣DC=4﹣3=1.∵DF∥AC,∴△BDF∽△BCA.∴=,即.解得:DF=.点D在CB上运动,假设∠DBE=90°,则点A到BE的距离为BC的长,而AE=AC<BC,故∠DBE不可能为直角.故答案为:或.答案A13、(2018•高新区模拟)如图,△ABC 中,∠BAC =90°,AB =5,AC =12,点D 是BC 的中点,将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ,连CE ,则线段CE 的长等于( )A .B .9C .D .解:如图连接BE 交AD 于O ,作AH ⊥BC 于H .在Rt △ABC 中,∵AC =12,AB =5,∴BC ==13,∵CD =DB ,∴AD =DC =DB =6.5,∵BC •AH =AB •AC ,∴AH =,∵AE =AB ,∴点A 在BE 的垂直平分线上.∵DE =DB =DC ,∴点D 在BE 的垂直平分线上,△BCE 是直角三角形,∴AD 垂直平分线段BE , ∵AD •BO =BD •AH ,∴OB =,∴BE =2OB =,在Rt △BCE 中,EC ===,故选:D .8111.37A 10111.37B 5111.37C 6111.37D 答案D答案B11答案B。
3、2020重庆中考数学三角形翻折变换专题三教程文件

3、2020重庆中考数学三角形翻折变换专题三三角形翻折变换专题四1、如图,在等腰△ABC中,AB=AC,点D和点E分别在AB和BC上,连接DE,将△BDE沿DE翻折,点B的对应点B′刚好落在AC上,若AB'=2B'C,AB=3,BC=6,则BE的长为()A.3 B.C.D.2、如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为AB中点,点E为AC上一点,将△ADE沿DE翻折得到△A′DE,连接A′B、A′C,已知A′C=,A′B=3,则S△ABC=()A.B.9 C.D.3、已知Rt△ACB中,点D为斜边AB的中点,连接CD,将△DCB沿直线DC翻折,使点B落在点E的位置,连接DE、CE、AE,DE交AC于点F,若BC=6,AC=8,则AE的值为()A.B.C.D.4、(2019秋•九龙坡区校级期中)如图,在△ABC中,过点A作AE⊥BC于点E,过点C作CD⊥AB于点D,AE、CD交于点F,连接BF将△ABF沿BF翻折得到△A′BF,点A′恰好落在线段AC上.若AE=EC,AC=3,BE=1,则△A′CF的面积是()A.2B.C.D.16、如图,在ABC∆中,2AB AC ==,030BAC ∠=,将ABC ∆沿AC 翻折得到ACD ∆,延长AD 交BC 的延长线于点E ,则ABE ∆的面积为( )53.A 33.B + .3C 431.D -AC8、如图,△ABC 中,∠BAC =90°,AB =6,AC =8,D 是线段BC 的中点,连接AD ,将△ACD 沿AD 翻折得到△AED ,连接BE ,CE .则BE 的长为( )12.5A 13.5B 14.5C .3DB9.(2019秋•北碚区校级期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=+,点D为边AB上一点,连接CD.将△ACD沿直线CD翻折至△ECD,CE恰好过AB的中点F.连接AE交CD的延长线于点H,若∠ACD=15°,则DH的长为()A.B.C. D.110、如图,在△ABC中,∠ABC=30°,∠ADC=45°,BD=1,DC=,将△ACD沿AD翻折得到△AED,连接BE.则AB的长为()..3+1 A3.3+2B.2.6C1.3+2D11、如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED,连CE,则线段CE的长等于()A.2 B.C.D.三角形翻折变换专题三答案解析1、一中2020届初三上半期考试如图,在等腰△ABC中,AB=AC,点D和点E分别在AB和BC上,连接DE,将△BDE沿DE翻折,点B的对应点B′刚好落在AC上,若AB'=2B'C,AB=3,BC=6,则BE的长为()A.3 B.C.D.解:如图,过点A作AF⊥BC,B'H⊥BC,则B'H∥AF,∵AB=AC,AF⊥BC,∴BF=CF=3,∴AF===6,∵AB'=2B'C,∴AC=3B'C,∵AF∥B'H,∴==,∴CH=1,B'H=2,∴BH=5,∵将△BDE沿DE翻折,∴BE=B'E,∵B'E2=B'H2+EH2,∴BE2=4+(5﹣BE)2,∴BE=故选:D.2、重庆南开中学初2020级九年级上期中如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为AB中点,点E为AC上一点,将△ADE=沿DE翻折得到△A′DE,连接A′B、A′C,已知A′C=,A′B=3,则S△ABC ()A.B.9 C.D.解:如图,连接CD,作CH⊥BA′交BA′于H.∵∠ACB=90°,D是AB的中点,∴CD=DA=DB,由翻折的性质可知:DA=DA′,∴DA=DB=DC=DA′,∴A,B,A′,C四点共圆,∴∠CA′B+∠A=180°,∵CA=CB,∠ACB=90°,∴∠A=45°,∴∠CA′B=135°,∴∠CA′H=45°,∵CA′=,∴CH=HA′=1,∴BC===,=•BC•AC=.故选:A.∴S△ABC3、巴蜀初2020届九上周练习(五)已知Rt△ACB中,点D为斜边AB的中点,连接CD,将△DCB沿直线DC翻折,使点B落在点E的位置,连接DE、CE、AE,DE交AC于点F,若BC=6,AC=8,则AE的值为()GA .B .C .D .解:连接BE 交CD 于点G ,∵Rt △ACB 中,AB ==10,∵点D 为斜边AB 的中点,∴CD =AD =BD =AB =5,设DG x =,在△DBG 中,222BG BD DG =-,在△CBG 中,222BG BC CG =- ∴22225=6(5)x x ---∴7=5x ,75DG =∴DM ==4, ∴BG EG =∵点D 为斜边AB 的中点,∴AE =2DG =,故选:B .4、重庆实验外国语学校2019-2020学年度初2020级初三上数学半期如图,在△ABC 中,过点A 作AE ⊥BC 于点E ,过点C 作CD ⊥AB 于点D ,AE 、CD 交于点F ,连接BF 将△ABF 沿BF 翻折得到△A ′BF ,点A ′恰好落在线段AC 上.若AE =EC ,AC =3,BE =1,则△A ′CF 的面积是( )A .2B .C .D .1解:∵AE ⊥BC ,CD ⊥AB ,∴∠ADF =∠CEF =90°,∵∠AFD =∠CFE ,∴∠DAF =∠FCE ,∵∠BAE =∠ECF ,AE =EC ,∠AEB =∠CEF =90°,∴△AEB ≌△CEF (ASA ),∴BE =EF =1,由翻折可知:∠BAF =∠BA ′F ,BA ′=BA ,∴∠BAA ′=∠BA ′A ,∵EA=EC,∠AEC=90°,AC=3∴∠EAC=∠ECA=45°,AE=EC=3,∴AF=AE ﹣EF=2,∵∠BAA′=∠BAF+∠EAC,∠BA′A=∠A′BC+∠ACE,∴∠BAF=∠A′BC,∴∠A′BC=∠FA′B,∴FA′∥BC,∴S△A′CF=•FA′•EF=×2×1=1,故选:D.5、重庆八中2019-2020学年度初2020级九年级上半期6、重庆育才中学初2020级九上半期数学测试如图,在ABC∆中,2AB AC==,030BAC∠=,将ABC∆沿AC翻折得到ACD∆,延长AD交BC 的延长线于点E,则ABE∆的面积为()53.A33.B+.3C431.D-A EC7、重庆巴蜀中学2091-2020学年度初2020级初三上数学半期8、如图,△ABC 中,∠BAC =90°,AB =6,AC =8,D 是线段BC 的中点,连接AD ,将△ACD 沿AD 翻折得到△AED ,连接BE ,CE .则BE 的长为( ).12.5A 13.5B 14.5C .3DBCED解:如图中,延长AD 交EC 于H .∵AE =AE ,∠HAE =∠HAC ,∴AH ⊥EC ,∴EH =CH ,∵BD =CD ,∴BE =2DH , ∵DA =DC ,∴∠ACB =∠CAH ,∵∠CAB =∠AHC =90°,∴△ACB ∽△HAC , ∴=,∴=,∴AH =,∴DH =AH ﹣AD =﹣5=,∴BE =2DH =.9、重庆西南大学附中2019-2020学年初三数学上 半期 如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,BC =+,点D 为边AB 上一点,连接CD .将△ACD 沿直线CD 翻折至△ECD ,CE 恰好过AB 的中点F .连接AE 交CD 的延长线于点H ,若∠ACD =15°,则DH 的长为( )A.B.C.D.1解:由翻折可知:DE=DA,AC=AE,∴CD是AE的垂直平分线,∴CH⊥AE,∵∠ECD=∠ACD=15°,∴∠ACF=30°,∠ACB=90°,∴∠B=60°∵F是AB中点,∴FC=FB=FA,∴△BCF是等边三角形,∴∠BFC=60°,∴∠FAC=30°,∴∠FDC=∠DCA+∠DAC=45°,∴∠HDA=45°,∵DA=DE,DH ⊥AE,∴∠EDH=∠ADH=45°,∴DH=HE,设DH=x,∴ED=x,∵∠EFD=60°∴EF=x,FC=BC=+,∴CE=EF+FC=x++,∵BC=+,∠BAC=30°,∴AC=(+),∵AC=CE,∴x++=(+),解得x=.∴DH的长为.故选:B.10、(2017•无锡)如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED,连CE,则线段CE的长等于()A.2 B.C.D.解:如图连接BE交AD于O,作AH⊥BC于H.在Rt△ABC中,∵AC=4,AB=3,∴BC==5,∵CD=DB,∴AD=DC=DB=,∵•BC•AH=•AB•AC,∴AH=,∵AE=AB,∴点A在BE的垂直平分线上.∵DE=DB=DC,∴点D在BE的垂直平分线上,△BCE是直角三角形,∴AD垂直平分线段BE,∵•AD•BO=•BD•AH,∴OB=,∴BE=2OB=,在Rt△BCE中,EC===,故选:D.11、(2018•武昌区校级自主招生)如图,在△ABC中,∠ABC=30°,∠A(2018•武昌区校级自主招生)如图,在△ABC中,∠ABC=30°,∠ADC=45°,BD=1,DC=,将△ACD沿AD翻折得到△AED,连接BE.则AB的长为()..3+1 A3.3+2B.2.6C1.3+2D方法1:由题意△ADE≌△ADC,∴ED=CD=,∠ADE=∠ADC=45°,∠EDC=90°,∵BD=1,在Rt△EDB中,tan∠EBD=,∴∠EBC=60°.在AB上截取点F,使得DF=BD,∴∠DBF=∠DFB=30°,BD=FD=1,易知BF=,∴∠FDA=∠FAD=15°,AF=DF=1,∴AB=BF+AF=+1,方法二:作AM⊥BC于M.∵∠ADM=45°,∴DM=AM,∵∠ABM=30°,∴tan30°===,∴AM=,在Rt△ABM中,sin30°=,∴AB=2AM=+1.。
2020年重庆中考数学几何专练之折叠50汇编

折叠练习(50 道含解析)一.填空题(共50 小题)1.如图,在△ABC 中,CA=3,CB=4,AB=5,点D 是BC 的中点,将△ABC 沿着直线EF 折叠,使点A与点D重合,折痕交A B 于点E,交A C 于点F,那么s in∠BED 的值为.2.如图,矩形A BCD中,P为A B上一动点(P与A,B不重合),将△BPC沿C P翻折至△B1PC,BP1 与AD 相交于点E,CB1 与AD 相交于点F,连接BB1 交AD 于Q,若EQ =8,QF=5,BC=20 ,则B1F 的长=,折痕C P 的长=.3.如图,正方形纸片ABCD 沿直线BE 折叠,点C 恰好落在点G 处,连接BG 并延长,交CD于点H,延长E G交A D于点F,连接F H.若A F=FD=6cm,则F H的长为cm.4.如图,已知D是等边△ABC 边A B 上的一点,现将△ABC 折叠,使点C与D重合,折痕为E F,点E、F 分别在A C 和B C 上,如果A D:DB=1:2,则C E:CF 的值为.5.如图,在矩形ABCD 中,AB:BC=3:4,点E 是对角线BD 上一动点(不与点B,D 重合),将矩形沿过点E的直线MN折叠,使得点A,B的对应点G,F分别在直线AD与BC 上,当△DEF 为直角三角形时,CN:BN 的值为.6.如图,已知正方形ABCD 的边长为6,E 为BC 的中点,将△ABE 沿直线AE 折叠后,点B 落在点F处,AF 交对角线B D 于点G,则F G 的长是.7.如图,在正方形ABCD 中,E,F 分别为BC,CD 的中点,连接AE,BF 交于点G,将△BCF 沿B F 对折,得到△BPF,延长F P 交B A 延长于点Q,若P F=,则Q B+AE 的值为.8.如图,正方形ABCD 的边长为6,点E 为BC 的中点,点F 在AB 上,AF=2BF,点G是AD 边上一点,将△CDE 沿DE 折叠得△C′DE,将△AFG 沿FG 折叠,点A 的对应点A′刚好落在D C′上,则c os∠DA′G=.9.四边形ABCD 中,∠A=90°,AD∥BC,AB=5,AD=8,P 是AD 边上的一点,连结PC,将△ABP 沿直线BP 对折得到△A'BP,A'点恰好落在线段PC 上,当∠BCP=∠D 时,△PBC 的面积为.10.如图,在矩形纸片ABCD 中,将AB 沿B M 翻折,使点A落在BC 上的点N 处,BM 为折痕,连接MN;再将CD 沿CE 翻折,使点D 恰好落在MN 上的点F 处,CE 为折痕,连接E F 并延长交B M 于点P,若A D=8,AB=5,则线段P E 的长等于.11.如图,在矩形ABCD 中,点N 为边BC 上不与B、C 重合的一个动点,过点N 作MN⊥BC 交AD 于点M,交BD 于点E,以MN 为对称轴折叠矩形ABNM,点A、B 的对应点分别是G、F,连接EF、DF,若AB=6,BC=8,当△DEF 为直角三角形时,CN 的长为.12.如图,在四边形ABCD 中,∠C+∠D=210°,E、F 分别是AD,BC 上的点,将四边形CDEF 沿直线EF 翻折,得到四边形C′D′EF,C′F 交AD 于点G,若△EFG 有两个角相等,则∠EFG °.13.如图,在菱形ABCD 中,∠ABC=120°,将菱形折叠,使点A 恰好落在对角线BD 上的点G处(不与B、D重合),折痕为E F,若B C=4,BG=3,则G E的长为.14.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,点D,E 分别在AC,BC 上,且∠CDE=∠B,将△CDE 沿DE 折叠,点C 恰好落在AB 边上的点F 处,CF 与DE 交于点G.下列结论:①AB=2CF;②若∠ABC=50°,则∠AFD=60°;③若AB=4,则DG•GE=1;④若AC=4,BC=3,则CE=其中正确的结论是(填写所有正确结论的序号)15.如图,△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1,CD 是△ABC 的中线,E 是AC 上一动点,将△AED 沿ED 折叠,点A 落在点F 处,EF 线段CD 交于点G,若△CEG 是直角三角形,则C E=.16.如图,在菱形A BCD 中,tan A=,M,N 分别在边A D,BC 上,将四边形A MNB 沿MN 翻折,使AB 的对应线段EF 经过顶点D,延长NF 交DC 于点H,当EF⊥AD时,的值为.17.如图,菱形A BCD 的边长为6,∠A=60°,点O在A B 上,且B O=2,点P是C D 上一动点,将四边形B CPO 沿直线O P 折叠,点B的对应点是E,连接D E,当D E 的长度最小时,CP 的长为.18.如图在等边△ABC 中,D、E 分别是B C、AC 上的点,且A E=CD,AD 与B E 相交于F,CF⊥BE.将△ABF 沿A B 翻折,得△ABG,M 为B F 中点,连接G M,若A F=2,则△ BGM 的面积为.19.已知,如图,在矩形ABCD 中,AB=8,BC=12,点E 为线段AB 上一动点(不与点A、点B重合),先将矩形A BCD沿C E折叠,使点B落在点F处,CF交A D于点H,若折叠后,点B的对应点F落在矩形A BCD 的对称轴上,则A E 的长是.20.如图,在菱形A BCD 中,tan A=,M,N 分别在边A D,BC 上,将四边形A MNB 沿MN 翻折,使A B 的对应线段E F 经过顶点D,当E F⊥AD 时,的值为.21.已知正方形A BCD 中,AC、BD 交于点O,=,连A E,将△ADE 沿A D 翻折,得△ADE′,点F是A E 的中点,连C F、DF、E′F.若D E=2 ,则四边形C DE′F 的面积是.22.如图:菱形A BCD 中,点E在边A B 上,将△BCE 沿C E 折叠,点B对应点为点F恰好使CF⊥AD,点P 为CD 边上一点,直线BA,PF 交于点G,若CE=4,BE=5,DP=2,则A G 的长为.23.如图,已知菱形ABCD 中,∠B=60°,E,F 分别为边AD,边BC 上一点,将四边形ABFE沿EF折叠得四边形EFGH,若GH⊥BC,垂足为点I,D E+CF=AB,则=.24.如图,在菱形A BCD 中,AB=2,∠BAD=120°,点E,F 分别是边A B,BC 上的动点,沿E F 所在直线折叠△BEF,使点B的对应点B'始终落在边C D 上,则点A,E 间的距离d 的取值范围是.25.如图,在菱形A BCD中,AB=5,tan D=,点E在B C上运动(不与B,C重合),将四边形A ECD 沿直线A E 翻折后,点C落在C′处,点D′落在D处,C′D′与A B 交于点F,当C′D'⊥AB 时,CE 长为.26.如图,四边形A BCD 是矩形,AD=5,AB=,点E在C D 边上,DE=2,连接B E,F 是B E 边上的一点,过点F作F G⊥AB 于G,连接D G,将△ADG 沿D G 翻折的△PDG,设E F=x,当P落在△EBC内部时(包括边界),x的取值范围是.27.在边长为的正方形A BCD 中,点E是边C D 上一点,连接A E,过点D作D M⊥AE于点M,连接M C.把△DMC 沿D M 翻折,点C的对应点为C′,DC′交A E 于点P,连接A C'、BC′,已知S△ABC′=1,则△PMC'的周长为.28.如图,已知正方形ABCD 的边长为4,E 为对角线AC 上一点,连接DE,作EF⊥DE交B C 于点F,且C F=,把△ADE 沿D E 翻折得到△A′DE,边A′D 交E F、AC 分别于点G、H,则△A′FG 的面积为.29.如图,等腰Rt△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,以BC 为底边作等腰△DCB,DC=DB,CD 与AB 交于E,将△DCB 沿DC 折叠,点B 落到点F 处,连接FD 刚好经过点A,连接FB,分别交AC 于G,交CD 于H.在下列结论中:①∠CBG=30°;②△FDB 是等腰直角三角形;③FA=FG;④S△ABC+S△ADE=S△DCB;⑤BH=CE+CG.其中正确的结论有.(填写所有正确的序号).30.如图,平行四边形A BCD 中,多点B作B E⊥AD 于点E,过点E作E F⊥AB 于点F,与CD 的延长线交于点G,连接B G,且B E=BC,BG=5 ,∠BGF=45°,EG=3,若点M是线段B F上的一个动点,将△MEF沿M E所在直线翻折得到△MEF′,连接C F′,则CF′长度的最小值是.31.如图,四边形ABCD 是矩形纸片,AB=2.对折矩形纸片ABCD,使AD 与BC 重合,折痕为EF;展平后再过点B 折叠矩形纸片,使点A 落在EF 上的点N,折痕BM 与EF 相交于点Q;再次展平,连接BN,MN,延长MN 交BC 于点G.有如下结论:①∠ABN=60°;②AM=1;③AB⊥CG;④△BMG 是等边三角形;⑤P 为线段B M 上一动点,H 是B N 的中点,则P N+PH 的最小值是.其中正确结论的序号是.32.在直角坐标系中,矩形O ABC的边O A、OC在坐标轴上,已知B(4,2),M、N分别是边O C、OA 上的点.将△OMN 沿着直线MN 翻折,点O的对应点是O′.若O′落在△OAC 内部,过O′作平行于x 轴的直线交CO 于点E,交AC 于点F,若O′是EF 的中点,则O′横坐标x的取值范围为.33.如图,把正方形纸片对折得到矩形ABCD,点E 在BC 上,把△ECD 沿ED 折叠,使点C 恰好落在AD 上点C′处,点M、N分别是线段AC′与线段BE 上的点,把四边形ABNM 沿NM 向下翻折,点A 落在DE 的中点A′处.若原正方形的边长为12,则线段MN 的长为.34.如图,一张矩形纸片ABCD 中,AB=3,BC=6,点E、F 分别在边AD、BC 上,将纸片ABCD 折叠,折痕为EF,使点C 落在边AD 上的一点H 处,点D 落在点G 处,有以下四个结论:①四边形C FHE 是菱形;②EC 平分∠DCH;③线段B F 的取值范围是≤BF≤3;④当点H与点A重合时,EF=.以上结论中,正确的是.(填序号).35.已知如图,在矩形ABCD 中,点E 是AD 的中点,连结BE,将△ABE 沿着BE 翻折得到△FBE,EF 交BC 于点H,延长BF、DC 相交于点G,若DG=16,BC=24,则FH =.36.在矩形ABCD 中,AB=3,点P 在对角线AC 上,直线l 过点P,且与AC 垂直交AD 边于点E.(1)如图1,若直线l 过点B,把△ABE 沿直线l 翻折,点A 与矩形ABCD 的对称中心O 重合,求BC 的长;(2)如图2,若直线l与A B 相交于点F且A P=AC,设A D 的长为x,五边形B CDEF 的面积为S,①求S 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;②探索:是否存在这样的x,使得以A为圆心,以x﹣长为半径的圆与直线l相切?若存在,请求出x 的值若不存在,请说明理由.37.如图,在正方形ABCD 中,AD=6,点E 是对角线AC 上一点,连接DE,过点E 作EF⊥ED,连接D F 交A C 于点G,将△EFG 沿E F 翻折,得到△EFM.连接D M.交E F 于点N.若A F=2.则△EMN 的面积是.38.如图,有一直角三角形纸片ABC,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=1,CD⊥AB 于点D.F,G 分别是线段AD,BD 上的点,H,Ⅰ分别是线段AC,BC 上的点,沿HF,GI 折叠,使点A,B 恰好都落在线段C D 上的点E处.当F G=EG 时,AF 的长是.39.如图,把矩形ABCD 沿EF,GH 折叠,使点B,C 落在AD 上同一点P 处,∠FPG=90°,△A′EP 的面积是8,△D′PH 的面积是4,则矩形A BCD 的面积等于.40.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BC=6,点D 为斜边AB 上的一点,连接CD,将△BCD 沿C D 翻折,使点B落在点E处,点F为直角边A C 上一点,连接D F,将△ ADF 沿D F 翻折,点A恰好与点E重合.若D C=5,则A F=.41.如图,矩形纸片ABCD 中,AB=8cm,BC=12cm,将纸片沿EF 折叠,使点A 落在BC边上的A′处,折痕分别交边A B、AD 于点F、E,且AF=5.再将纸片沿E H 折叠,使点D落在线段E A′上的D′处,折痕交边C D于点H.连接F D',则F D'的长是cm.42.如图,在矩形A BCD 中,AB=3,点E为边C D 上一点,将△ADE 沿A E 所在直线翻折,得到△AFE,点F恰好是B C 的中点,M 为A F 上一动点,作M N⊥AD 于N,则BM+AN的最小值为.43.如图,矩形ABCD 与菱形EFGH 的对角线均交于点O,且EG∥BC,将矩形折叠,使点C 与点O 重合,折痕MN 恰好过点G,若,EF=2,∠H=120°,则DN 的长为.44.如图,在▱ABCD 中,AB=6,BC=6 ,∠D=30°,点E是A B 边的中点,点F是BC 边上一动点,将△BEF 移沿直线E F 折叠,得到△GEF,当F G∥AC 时,BF 的长为.45.如图,将矩形A BCD 沿对角线B D 所在直线翻折后,点A与点E重合,且E D 交B C 于点F,连接A E.如果t an∠DFC=,那么的值是.46.如图,将一张矩形纸片A BCD 沿对角线B D 折叠,点C的对应点为C′,再将所折得的图形沿E F 折叠,使得点D和点A重合.若A B=3,BC=4,则折痕E F 的长为.47.如图所示,在菱形纸片ABCD 中,AB=4,∠BAD=60°,按如下步骤折叠该菱形纸片:第一步:如图①,将菱形纸片ABCD 折叠,使点A 的对应点A′恰好落在边CD 上,折痕EF 分别与边AD、AB 交于点E、F,折痕EF 与对应点A、A′的连线交于点G.第二步:如图②,再将四边形纸片BCA′F 折叠使点C 的对应点C′恰好落在A′F 上,折痕MN 分别交边CD、BC 于点M、N.第三步:展开菱形纸片ABCD ,连接GC ′,则GC ′最小值是.48.如图,在边长为5的正方形A BCD 中,点E在边B C 上,连接A E,过D作D F∥AE 交BC 的延长线于点F,过点C作C G⊥DF 于点G,延长A E、GC 交于点H,点P是线段DG上的任意一点(不与点D、点G重合),连接C P,将△CPG沿C P翻折得到△CPG',连接A G'.若C H =1,则A G'长度的最小值为.49.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8.点M、N 分别在边AB、BC 上,沿直线M N将△ABC折叠,点B落在点P处,如果A P∥BC且A P=4,那么B N=.50.如图,在矩形ABCD 中,E 为CD 上一点,若△ADE 沿直线AE 翻折,使点D 落在BC 边上点D′处.F 为A D 上一点,且D F=CD',EF 与B D 相交于点G,AD′与B D 相交于点H.D′E∥BD,HG=4,则B D=.一.填空题(共50 小题)1.如图,在△ABC 中,CA=3,CB=4,AB=5,点D 是BC 的中点,将△ABC 沿着直线EF 折叠,使点A 与点D 重合,折痕交AB 于点E,交AC 于点F,那么sin∠BED 的值为.【分析】先根据翻折变换的性质得到△DEF≌△AEF,根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是直角三角形,根据相似三角形的性质得到D H=,BH=,根据勾股定理即可得到结论.【解答】解:∵△DEF 是△AEF 翻折而成,∴△DEF≌△AEF,∴AE=DE,∵CA=3,CB=4,AB=5,∴CA2+CB2=32+42=52=AB2,∴△ABC 是直角三角形,∵点D 是BC 的中点,∴CD=BD=2,过D 作DH⊥AB 于H,∴∠BHD=∠C=90°,∵∠B=∠B,∴△BDH∽△BAC,∴=,∴DH=,BH=,∴AH=,设A E=DE=x,则E H=﹣x,在R t△DEH 中,由勾股定理得,DH2+EH2=DE2,即()2+(﹣x)2=x2,解得x=,∴sin∠BED===,故答案为:.【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质、勾股定理的逆定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质,正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.2.如图,矩形A BCD中,P为A B上一动点(P与A,B不重合),将△BPC沿C P翻折至△B1PC,BP1 与AD 相交于点E,CB1 与AD 相交于点F,连接BB1 交AD 于Q,若EQ =8,QF=5,BC=20 ,则B1F 的长= 5 ,折痕C P 的长=.【分析】如图,作∠EFB1 的平分线交EB1 于T,连接TQ.首先证明FB1=FQ=5,由△ FTQ≌△FTB1,推出TB1=TQ,∠TQF=∠TB1F=90°,设TB1=TQ=x,利用勾股定理求出E B1,TB1,FT,再证明△PCB∽△TFB1,推出=,由此求出P C 即可.【解答】解:如图,作∠EFB1 的平分线交EB1 于T,连接TQ.∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ABC=90°,AD∥BC,∠FQB1=∠CBB1,由翻折可知:CB=CB1,∠CB1P=90°,∴∠CBB1=∠CB1B,∴∠FQB1=∠FB1Q,∴FB1=FQ=5,∵FQ=FB1,∠TFQ=∠TFB1,FT=FT,∴△FTQ≌△FTB1,∴TB1=TQ,∠TQF=∠TB1F=90°,设TB1=TQ=x,在R t△EFB1 中,EB1===12,在Rt△ETQ 中,∵ET2=EQ2+TQ2,∴(12﹣x)2=82+x2,解得x=,∴TB1=,FT===∵AD∥CB,∴∠B1FE=∠FCB,∵∠PCB=∠FCB,∠B1FT=∠B1FE,∴∠PCB=∠B1FT,∵∠PBC=∠FB1T,∴△PCB∽△TFB1,∴=,∴ = ,∴PC = .故 答 案 为 5, .【点评】本题考查翻折变换,矩形的性质,解直角三角形,相似三角形的判定和性质, 等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题,属于中考填空题中的压轴题.3. 如图,正方形纸片 ABCD 沿直线 BE 折叠,点 C 恰好落在点 G 处,连接 BG 并延长,交CD 于点 H ,延长 E G 交 A D 于点 F ,连接 F H .若 A F =FD =6cm ,则 F H 的长为cm .【分析】先证明 Rt △ABF ≌Rt △GBF ,得到∠AFB =∠GFB ,FA =FG,再证明 Rt △FGH ≌Rt △FDH ,得到∠GFH =∠DFH ,于是∠BFH =∠BFG +∠GFH =180°=90°, 根据△ABF ∽△DFH ,列出比例所以△ABF ∽△DFH ,, 求出 F H =. 【解答】解:如图,连接 BF .∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠A =∠C =90°,AB =BC =AF +FD =12cm .由折叠可知,BG =BC =12cm ,∠BGE =∠BCE =90°.∴AB =GB .在 Rt △ABF 和 Rt △GBF 中BF =BF ,AB =GB∴Rt △ABF ≌Rt △GBF (HL ).∴∠AFB =∠GFB ,FA =FG ,又∵AF =FD ,∴FG=FD.同理可证Rt△FGH≌Rt△FDH,∴∠GFH=∠DFH,∴∠BFH=∠BFG+∠GFH=180°=90°,∴∠AFB+∠DFH=90°.又∵∠AFB+∠ABF=90°,∴∠ABF=∠DFH.又∵∠A=∠D=90°,∴△ABF∽△DFH,∴,在R t△ABF 中,由勾股定理,得B F=,∴,∴FH=.故答案为3.【点评】本题考查了三角形折叠问题,熟练运用三角形全等和勾股定理、相似三角形的性质是解题的关键.4.如图,已知D是等边△ABC 边A B 上的一点,现将△ABC 折叠,使点C与D重合,折痕为E F,点E、F 分别在A C 和B C 上,如果A D:DB=1:2,则C E:CF 的值为4:5 .【分析】首先证明△ADE∽△BFD,表示出ED,DF,EA,DB,AD,BF,再利用相似三角形的性质解决问题即可.【解答】解:∵△EFC 与△EFD 关于EF 对称,∴∠EDF=∠ECF=60°,EC=ED,FC=FD,∵∠BDF+∠EDF=∠BDE=∠A+∠DEA,∵∠EDF=∠A=60°,∴∠BDF=∠DEA,∴△ADE∽△BFD,设AD=x,CE=DE=a,CF=DF=b,∵AD:BD=1:2,∴DB=2x,∴AB=3x=AC=BC,∴AE=3x﹣a,BF=3x﹣b,∵△ADE∽△BFD,∴==,∴==,由前两项得,2ax=b(3x﹣a),(3x﹣b)=2x2,即:由后两项得,(3x﹣a)3x(3x﹣a)﹣b(3x﹣a)=2x2,∴3x(3x﹣a)﹣2ax=2x2,∴a=x,∴==,∴CE:CF=4:5.故答案为4:5.【点评】本题考查翻折变换,等边三角形的性质,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题,属于中考填空题中的压轴题.5.如图,在矩形ABCD 中,AB:BC=3:4,点E 是对角线BD 上一动点(不与点B,D 重合),将矩形沿过点E的直线M N折叠,使得点A,B的对应点G,F分别在直线A D与BC 上,当△DEF 为直角三角形时,CN:BN 的值为.【分析】分两种情况进行讨论:当∠DFE=90°时,△DEF 为直角三角形;当∠EDF=90°时,△DEF 为直角三角形,分别判定△DCF∽△BCD,得到=,进而得出C F,根据线段的和差关系可得CN 和BN 的长,于是得到结论.【解答】解:∵AB:BC=3:4,设AB=3x,BC=4x,∵四边形ABCD 是矩形,∴CD=AB=3x,AD=BC=4x,分两种情况:①如图所示,当∠DFE=90°时,△DEF 为直角三角形,∵∠CDF+∠CFD=∠EFN+∠CFD=90°,∴∠CDF=∠EFN,由折叠可得,EF=EB,BN=FN,∴∠EFN=∠EBN,∴∠CDF=∠CBD,又∵∠DCF=∠BCD=90°,∴△DCF∽△BCD,∴=,即=,∴CF=x,∴FN=NB==,∴CN=CF+NF=x+x=x,∴BN=∴CN:BN=x:x=25:7.②如图所示,当∠EDF=90°时,△DEF 为直角三角形,∵∠CDF+∠CDB=∠CDF+∠CBD=90°,∴∠CDF=∠CBD,又∵∠DCF=∠BCD=90°,∴△DCF∽△BCD,∴=,即=,∴CF=x,∴NF=BN==x,∴CN=NF﹣CF=x﹣x=x,∴CN:BN=7:25,综上所述,CN:BN 的值为或,故答案为:或.【点评】本题主要考查了折叠问题,矩形的性质以及相似三角形的判定与性质的运用,解决问题的关键是依据相似三角形的对应边成比例列式计算.解题时注意分类思想的运用.6.如图,已知正方形ABCD 的边长为6,E 为BC 的中点,将△ABE 沿直线AE 折叠后,点B 落在点F处,AF 交对角线B D 于点G,则F G 的长是.【分析】延长AF,EF 分别交CD 于H,M,连接AM,根据折叠的性质得到AB=AF,∠ABE=∠AFE=90°,根据全等三角形的性质得到DM=FM,设DM=FM=x,则CM =6﹣x,EM=3+x,根据勾股定理得到DM=FM=2,根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.【解答】解:延长AF,EF 分别交CD 于H,M,连接AM,∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=AD,∠ABE=∠ADC=90°,∵将△ABE 沿直线AE 折叠后,点B 落在点F 处,∴AB=AF,∠ABE=∠AFE=90°,∴∠ADM=∠AFM=90°,AF=AD,∵AM=AM,∴Rt△ADM≌Rt△AFM(HL),∴DM=FM,∵E 为BC 的中点,BC=CD=6,∴CE=3,设DM=FM=x,则CM=6﹣x,EM=3+x,∵EM2=CM2+CE2,∴(3+x)2=32+(6﹣x)2,解得:x=2,∴DM=FM=2,∵∠MFH=∠ECM=90°,∠HMF=∠CME,∴△MFH∽△MCE,∴,∴,∴MH=2.5,FH=1.5,∴AH=6+1.5=7.5,DH=4.5,∵AB∥DH,∴△AGB∽△HGD,∴,∴=,∴AG=,∴GF=AF﹣AG=,故答案为:.【点评】本题考查了翻折变换(折叠问题),正方形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.7.如图,在正方形ABCD 中,E,F 分别为BC,CD 的中点,连接AE,BF 交于点G,将△BCF 沿B F 对折,得到△BPF,延长F P 交B A 延长于点Q,若P F=,则Q B+AE 的值为.【分析】作QT⊥BF 于T.解直角三角形求出AE,BF,再利用相似三角形的性质求出BQ 即可解决问题.【解答】解:作QT⊥BF 于T.∵E,F 分别是正方形ABCD 边BC,CD 的中点,∴CF=BE,在△ABE 和△BCF 中,,∴△ABE≌△BCF(SAS),∴∠BAE=∠CBF,又∵∠BAE+∠BEA=90°,∴∠CBF+∠BEA=90°,∴∠BGE=90°,∴AE⊥BF,由翻折的性质可知:CF=FP=,∴AB=BC=,∴BF=AE===,∵QT⊥BF,∴BT=TF=,∵∠QTB=∠C=∠ABC=90°,∴∠QBT+∠FBC=90°,∠FBC+∠BFC=90°,∴∠QBT=∠BFC,∴△QTB∽△CBF,∴=,∴=,∴QB=1,∴QB+ AE=1+ =,故答案为.【点评】本题考查翻折变换,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题.8.如图,正方形ABCD 的边长为6,点E 为BC 的中点,点F 在AB 上,AF=2BF,点G是A D 边上一点,将△CDE 沿D E 折叠得△C′DE,将△AFG 沿F G 折叠,点A的对应点A′刚好落在D C′上,则c os∠DA′G=.【分析】延长DC'交AB 于K,连接FK,分别过H,E 作DK 的垂线,垂足分别为M,N,利用正方形的性质及轴对称的性质,先证Rt△EBK≌Rt△EC'K,推出BK=C'K,在Rt△ ADK 中,利用勾股定理求出BK,C'K 的长,进一步求出FK 的长,在Rt△KFN 与Rt△ KAD 中,利用三角函数求出FN 的长,在Rt△FA'N 中,求出cos∠A'FN 的值,证∠DA'H 与∠A'FN 相等即可.【解答】解:如图,延长DC'交AB 于K,连接EK,分别过H,F 作DK 的垂线,垂足分别为M,N∵四边形ABCD 为正方形,∴∠A=∠B=∠C=90°,AB=BC=6,∵E,F 分别为BC,AB 的中点,∴BE=EC=×6=3,∵AF=2BF,∴AF=4,BF=2,由翻折知,△DCE≌△DC'E,△AFH≌△A'FH,∴∠EC'D=∠C=90°,∠A=∠HA'F=90°,AF=A'F=4,C'E=CE=BE=3,DC'=DC=6,∴∠B=∠EC'K=90°,又∵KE=KE,∴Rt△EBK≌Rt△EC'K(HL),∴KB=KC',设KB=KC'=x,在Rt△ADK 中,AD=6,AK=6﹣x,DK=6+x,∵DK2=AD2+AK2,∴(6+x)2=62+(6﹣x)2,解得,x=,∴BK=C'K=,∴DK=DC'+KC'=6+ =,FK=BF﹣BK=2﹣=,在Rt△KNF 与Rt△KAD 中,sin∠FKN==,即=,解得,FN=,∵∠DA'H+∠FA'N=90°,∠FA'N+∠NFA'=90°,∴∠HA'D=∠NFA',在R t△FA'N 中,cos∠A'FN===,即c os∠DA'H=,故答案为.【点评】本题考查了正方形的性质,轴对称的性质,勾股定理,解直角三角形等,解题关键是能够作出适当的辅助线,构造和相关角相等的角.9.四边形ABCD 中,∠A=90°,AD∥BC,AB=5,AD=8,P 是AD 边上的一点,连结PC,将△ABP 沿直线BP 对折得到△A'BP,A'点恰好落在线段PC 上,当∠BCP=∠D 时,△PBC 的面积为.【分析】如图,作CH⊥AD 于H.证明CB=CP=CD,设CB=CP=CD=x,证明PH=CH,设PH=DH=y,想办法构建方程组即可解决问题.【解答】解:如图,作CH⊥AD 于H.∵AD∥BC,∴∠APB=∠PBC,∠DPC=∠BCP,∵∠APB=∠BPC,∠BCP=∠D,∴∠CBP=∠BPC,∠CPD=∠D,∴CB=CP=CD,设CB=CP=CD=x,∵CH⊥PD,CP=CD,∴PH=CH,设PH=DH=y,∵∠A=∠ABC=∠AHC=90°,∴四边形ABCH 是矩形,∴AH=BC=x,AB=CH=5,则有,解得x=,∴S△PBC=•PC•BA′=××5=,故答案为.【点评】本题考查翻折变换,平行线的性质,三角形的面积等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题.10.如图,在矩形纸片ABCD 中,将AB 沿B M 翻折,使点A落在BC 上的点N 处,BM 为折痕,连接MN;再将CD 沿CE 翻折,使点D 恰好落在MN 上的点F 处,CE 为折痕,连接E F 并延长交B M 于点P,若A D=8,AB=5,则线段P E 的长等于.【分析】根据折叠可得ABNM 是正方形,CD=CF=5,∠D=∠CFE=90°,ED=EF,可求出三角形FNC 的三边为3,4,5,在Rt△MEF 中,由勾股定理可以求出三边的长,通过作辅助线,可证△FNC∽△PGF,三边占比为3:4:5,设未知数,通过PG=HN,列方程求出待定系数,进而求出PF 的长,然后求PE 的长.【解答】解:过点P 作PG⊥FN,PH⊥BN,垂足为G、H,由折叠得:ABNM 是正方形,AB=BN=NM=MA=5,CD=CF=5,∠D=∠CFE=90°,ED=EF,∴NC=MD=8﹣5=3,在R t△FNC 中,FN==4,∴MF=5﹣4=1,在Rt△MEF 中,设EF=x,则ME=3﹣x,由勾股定理得,12+(3﹣x)2=x2,解得:x=,∵∠CFN+∠PFG=90°,∠PFG+∠FPG=90°,∴△FNC∽△PGF,∴FG:PG:PF=NC:FN:FC=3:4:5,设FG=3m,则PG=4m,PF=5m,∴GN=PH=BH=4﹣3m,HN=5﹣(4﹣3m)=1+3m=PG=4m,解得:m=1,∴PF=5m=5,∴PE=PF+FE=5+ =,故答案为:.【点评】考查折叠轴对称的性质,矩形、正方形的性质,直角三角形的性质等知识,知识的综合性较强,是有一定难度的题目.11.如图,在矩形ABCD 中,点N 为边BC 上不与B、C 重合的一个动点,过点N 作MN⊥BC 交AD 于点M,交BD 于点E,以MN 为对称轴折叠矩形ABNM,点A、B 的对应点分别是G、F,连接EF、DF,若AB=6,BC=8,当△DEF 为直角三角形时,CN 的长为或.【分析】△DEF 为直角三角形时,可能出现三种情况,分别令不同的内角为直角,画出相应的图形,根据折叠的性质和相似三角形的性质进行解答即可.【解答】解:矩形ABCD 中,AB=6,BC=8,∴BD==10,由折叠得:BE=EF,BN=NF,∠EBF=∠EFB,∠BEN=∠FEN,当△DEF 为直角三角形时,(1)当∠DEF=90°,则∠BEN=∠FEN=45°,不合题意;(2)当∠EFD=90°时,如图1 所示:∵∠EFN+∠DFC=90°,∠DFC+∠CDF=90°,∴∠EFN=∠CDF=∠EBN,∵tan∠DBC===tan∠CDF=设CN=x,则BN=NF=8﹣x,FC=x﹣(8﹣x)=2x﹣8,∴=解得:x=,即C N=.(3)当∠EDF=90°时,如图2 所示:易证△BDC∽△DFC,∴CD2=BC•CF设CN=x,则BN=NF=8﹣x,FC=(8﹣x)﹣x=8﹣2x,∴62=8(8﹣2x)解得:x=,即C N=,综上所述,CN 的长为或.故答案为:或.【点评】考查折叠轴对称的性质,进矩形的性质,直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质和判定等知识,分情况画出图形进行解答是解决问题的关键.12.如图,在四边形ABCD 中,∠C+∠D=210°,E、F 分别是AD,BC 上的点,将四边形CDEF 沿直线EF 翻折,得到四边形C′D′EF,C′F 交AD 于点G,若△EFG 有两个角相等,则∠EFG 40°或50 °.【分析】根据题意△EFG 有两个角相等,于是有三种情况,分别令不同的两个角相等,通过折叠和四边形的内角和列方程求出结果即可,最后综合得出答案.【解答】解:(1)当∠FGE=∠FEG时,设∠EFG=x,则∠EFC=x,∠FGE=∠FEG=(180°﹣x)在四边形GFCD 中,由内角和为360°得:(180°﹣x)+2x+∠C+∠D=360°,∵∠C+∠D=210°,∴(180°﹣x)+2x=360°﹣210°,解得:x=40°,(2)当∠GFE=∠FEG 时,此时AD∥BC 不合题意舍去,(3)当∠FGE=∠GFE 时,同理有:x+2x+∠C+∠D=360°,∵∠C+∠D=210°,∴x+2x+210°=360°,解得:x=50°,故答案为40°或50.【点评】考查轴对称的性质和四边形的内角和为360°,分情况讨论得出不同答案.13.如图,在菱形ABCD 中,∠ABC=120°,将菱形折叠,使点A 恰好落在对角线BD 上的点G处(不与B、D重合),折痕为E F,若B C=4,BG=3,则G E的长为.【分析】根据菱形的性质、折叠的性质,以及∠ABC=120°,可以得到△ABD△BCD 都是等边三角形,根据三角形的内角和和平角的意义,可以找出△BGE∽△DFG,对应边成比例,设AF=x、AE=y,由比例式列出方程,解出y 即可.【解答】解:∵菱形ABCD 中,∠ABC=120°,∴AB=BC=CD=DA,∠A=60°,∴AB=BC=CD=DA=BD=3+1=4,∴∠ADB=∠ABD=60°,由折叠得:AF=FG,AE=EG,∠EGF=∠A=60°,∵∠DFG+∠DGF=180°﹣60°=120°,∠BGE+∠DGF=180°﹣60°=120°,∴∠DFG=∠BGE,∴△BGE∽△DFG,∴,设AF=x=FG,AE=y=EG,则:DF=4﹣x,BE=4﹣y,即:,当时,即:,当时,即:,∴,解得:y1=0 舍去,y2=,故答案为:.【点评】考查菱形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定和性质以及分式方程等知识,根据折叠和菱形等边三角形的性质进行转化,从而得到关于EG 的关系式,是解决问题的关键.14.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,点D,E 分别在AC,BC 上,且∠CDE=∠B,将△CDE 沿DE 折叠,点C 恰好落在AB 边上的点F 处,CF 与DE 交于点G.下列结论:①AB=2CF;②若∠ABC=50°,则∠AFD=60°;③若AB=4,则DG•GE=1;④若AC=4,BC=3,则CE=其中正确的结论是①②③④(填写所有正确结论的序号)【分析】①CF 是Rt△ABC 的中线,即可求解;②∠ABC=50°,则∠CDG=40°=∠GDF,则∠ADF=80°,即可求解;③CG=CF=AB=1,因为C G⊥DE,则D G•GE=CG2,即可求解;④△ABC 的高=,CG=AB=,△ABC∽△EDC,根据相似比等于高的比,即可求解.【解答】解:①∵CF 是R t△ABC 的中线,∴CF=AB,故①正确;②∠ABC=50°,∴∠CDG=40°=∠GDF,∴∠ADF=80°,则∠AFD=180°﹣80°﹣40°=60°,故②正确;③CG=CF=AB=1,∵CG⊥DE,则D G•GE=CG2=1,故正确;④AC=4,BC=3,则AB=5,S△ABC=AC×BC=AB×△ABC 的高,则△ABC 的高=,CG=AB=;∵∠CDE=∠B,则△ABC∽△EDC,根据相似比等于高的比,则,故C G=,故④正确.故答案为①②③④.【点评】本题考查的是翻折变换(折叠问题),涉及到直角三角形中线定理、三角形相似、三角形面积计算等,综合性强、难度较大.15.如图,△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1,CD 是△ABC 的中线,E 是AC上一动点,将△AED 沿ED 折叠,点 A 落在点F 处,EF 线段CD 交于点G,若△CEG是直角三角形,则C E=.【分析】分两种情形:如图1 中,当∠CEG=90°时.如图2 中,当∠EGC=90°时,分别求解即可.【解答】解:如图 1 中,当∠CEG=90°时.易知∠AED=∠DEF=45°,作DH⊥AC 于H.则DH=EH,在Rt△ABC 中,∵∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1,∴AB=2BC=2,AC=AB•cos30°=,∵AD=DB,∴AD=1,在R t△ADH 中,DH=AD•sin30°=,AH=AD•cos30°=,∴EC=AC﹣AH﹣EH=﹣﹣=.如图2中,当∠EGC=90°时,易证点B与点F重合,此时E D⊥AB,AE=,EC =﹣=,综上所述,EC 的长为或.故答案为或.【点评】本题考查翻折变换,解直角三角形等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.16.如图,在菱形A BCD 中,tan A=,M,N 分别在边A D,BC 上,将四边形A MNB 沿MN 翻折,使AB 的对应线段EF 经过顶点D,延长NF 交DC 于点H,当EF⊥AD 时,的值为.【分析】如图,由翻折不变性可知:∠A=∠E,推出t an A=tan E==,可以假设:DM=4k,DE=3k,则EM=5k,AD=EF=CD=9k.想办法求出DH,CH 即可解决问题.【解答】解:如图,由翻折不变性可知:∠A=∠E,∴tan A=tan E==,∴可以假设:DM=4k,DE=3k,则EM=5k,AD=EF=CD=9k.∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∵∠DFH+∠EFN=180°,∠B=∠EFN,∴∠A=∠DFH,∵EF⊥AD,∴∠ADF=90°,∵AB∥CD,∴∠A+∠ADC=180°,∴∠A+∠HDF=90°,∴∠HDF+∠DFH=90°,∴tan∠DFH=tan A==,设F H=3x,则D H=4x在R△DHF 中,DF=EF﹣DE=6k,根据勾股定理得,DH2+FH2=DF2,∴16x2+9x2=36k2,∴x=k∴DH=k,∴CH=9k﹣k=k,∴==.故答案为 .【点评】本题考查翻折变换,菱形的性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题,属于中考填空题中的压轴题.17. 如图,菱形 ABCD 的边长为 6,∠A =60°,点 O 在 AB 上,且 BO =2,点 P 是 CD 上一动点,将四边形 BCPO 沿直线 OP 折叠,点 B 的对应点是 E ,连接 DE ,当 DE 的长度最小时,CP 的长为 6﹣. 【分析】由折叠可知点 E 在以 O 为圆心,以 BO 长为半径的弧上,故当 D ,E ,O 在一条直线上时,DE 有最小值,过点D 作 DH ⊥AB ,先求得 DH 、HO 的长,则依据勾股定理可得到 DO 的长,然后再求得 PD 的长,最后可得到 CP 的长.【解答】解:如图所示:过点 D 作 DH ⊥AB ,垂足为 H . 在Rt △ADH 中,∠A =60°,AD =6,则AH = AD =3,DH =sin60°•AD =×6=3 .又∵AO =AB ﹣BO =4,∴OH =1.在 R t △DOH 中,依据勾股定理可知 D O == =2. 由翻折的性质可知:∠BOP =∠EOP .∵DC ∥AB ,∴∠BOP =∠DPO ,∴∠EOP =∠DPO ,∴DP =DO =2 ,∴CP =DC ﹣DP =6﹣2, 故答案为:6﹣2 .【点评】本题主要考查的是菱形的性质、勾股定理的应用,翻折的性质、等腰三角形的判定,判断出DE 取得最小值时点E 的位置是解题的关键.18.如图在等边△ABC 中,D、E 分别是B C、AC 上的点,且A E=CD,AD 与B E 相交于F,CF⊥BE.将△ABF 沿A B 翻折,得△ABG,M 为B F 中点,连接G M,若A F=2,则△ BGM 的面积为.【分析】先证明△ABE≌△CAD 得∠ABE=∠CAD,则∠BAD=∠CBE,求出∠BFK=60 °,由B K⊥DF 可得∠FBK=30°,得出F K=BF,再证明△ABK≌△BCF,得出A K =BF,即A F+FK=BF,得出B F=2AF=4,证明△AFH∽△ABK,得出==,求出AH、FH 的长,得出GF、BH 的长,求出△BGF 的面积,即可得出△BGM 的面积.【解答】解:过B 作AD 的垂线,垂足为K,连接GF 交AB 于H,如图所示:∵△ABC 是等边三角形,∴∠BAC=∠ACB=60°,AB=AC,∵在△ABE 和△CAD 中,,∴△ABE≌△CAD(SAS),∴∠ABE=∠CAD,∵∠ABE+∠CBE=∠BAD+∠CAD=60°,∴∠BAD=∠CBE,∴∠BFK=∠BAF+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°,∵BK⊥DF,∴∠BKF=90°,∴∠FBK=30°,∴FK=BF,BK=FK,在△ABK 和△BCF 中,,∴△ABK≌△BCF(AAS),∴AK=BF,即AF+FK=BF,∴AF+ BF=BF,∴BF=2AF=4,FK=AF=2,BK=2 ,∴AB==2 ,由折叠的性质得:AB 垂直平分GF,∴GF=2FH,∠AHF=90°=∠AKB,又∵∠FAH=∠BAK,∴△AFH∽△ABK,∴==,即==,解得:AH=,FH=,∴GF=2FH=,BH=AB﹣AH=,∴△BGF 的面积=GF×BH=××=,∵M 为BF 中点,∴△BGM 的面积=△BGF 的面积=;故答案为:.【点评】本题考查了等边三角形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识;本题综合性强,难度较大,证明三角形全等和三角形相似是解题的关键.19. 已知,如图,在矩形 ABCD 中,AB =8,BC =12,点 E 为线段 AB 上一动点(不与点 A 、点B 重合),先将矩形 A BCD 沿C E 折叠,使点 B 落在点 F 处,CF 交 AD 于点 H ,若折 叠后,点 B 的对应点 F 落在矩形 ABCD 的对称轴上,则 AE 的长是 24 ﹣28 或 8﹣.【分析】依据点 B 的对应点 F 落在矩形 ABCD 的对称轴上,分两种情况讨论:F 在横对称轴上与 F 在竖对称轴上,分别求出 BF 的长即可.【解答】解:分两种情况:①当 F 在横对称轴 MN 上,如图所示,此时 C N =CD =4,CF =BC =12, ∴FN = =8 ,∴MF =12﹣8 ,由折叠得,EF =BE ,EM =4﹣BE ,∵EM 2+MF 2=EF 2,即(4﹣BE )2+(12﹣8 )2=BE 2,∴BE =36﹣24 ,∴AE =24 ﹣28;。
8、2020重庆中考数学四边形翻折变换专题三(含答案解析)

四边形翻折变换专题训练三1、如图,点E是矩形纸片ABCD边AB上一点,将△EBC沿EC翻折,点B落在边AD上的点F处,BE:AE=5:3,若EC=15cm,则AB=cm.2、如图,将平行四边形纸片ABCD折叠,使得点D落在AB边上的D'处,折痕为AE.再将△AD'E翻折,点A恰好落在BC的中点A'处,连结AA',若AD=2,则线段AA'的长为.3、折叠矩形纸片ABCD时,发现可以进行如下操作:①把△ADE翻折,点A落在DC边上的点F处,折痕为DE,点E在AB边上;②把纸片展开并铺平;③把△CDG翻折,点C落在线段AE上的点H处,折痕为DG,点G在BC边上,若AB=AD+2,EH=1,则AD=.4、(2019•辽阳模拟)在数学拓展课《折叠矩形纸片》上,小林折叠矩形纸片ABCD进行如下操作:①把△ABF翻折,点B落在CD边上的点E处,折痕AF交BC边于点F;②把△ADH翻折,点D落在AE 边长的点G处,折痕AH交CD边于点H.若AD=6,AB=10,则的值是()A.B.C.D.5、如图,在菱形纸片ABCD中,AB=+1,∠B=45°,将菱形纸片翻折,使点A落在CD边上的E处,点B落在点F处,折痕为PQ,点P,Q分别在边AD,BC上,若△PDE为直角三角形,则CE的长为.6、(2019•江都区三模)如图1,有一张矩形纸片ABCD,已知AB=5,AD=6,现将纸片进行如下操作:首先将纸片沿折痕BF进行折叠,使点A落在BC边上的点E处,点F在AD上(如图2);然后将纸片沿折痕DH进行第二次折叠,使点C落在第一次的折痕BF上的点G处,点H在BC上(如图3).则BG的长为.7、(2019•济南)如图,在矩形纸片ABCD中,将AB沿BM翻折,使点A落在BC上的点N处,BM为折痕,连接MN;再将CD沿CE翻折,使点D恰好落在MN上的点F处,CE为折痕,连接EF并延长交BM于点P,若AD=8,AB=5,则线段PE的长等于.8、(2016•新县校级模拟)如图,将矩形纸片ABCD沿直线AE折叠,点B恰好落在线段CD的中点F上,点G是线段AF上一动点(不与A,F重合),点G过GH⊥AB,垂足为H,将矩形沿直线GH翻折,点A恰好落在线段BH上点A′处.若AB长为8,则当△A′GE为直角三角形时,AH的长为.9、如图,矩形纸片ABCD中,AB=6,AD=10,P是边BC上的动点,现将纸片折叠,使点A与点P重合,折痕与矩形边的交点分别是E,F,要使折痕始终与边AB,AD有交点,则BP的取值范围是()A.B.2≤BP≤6 C.D.10、(2019秋•江岸区校级月考)如图在矩形ABCD中,AB=,AD=3,点P是AD边上的一个动点,连接BP,作点A关于直线BP的对称点A1,连接A1C,设A1C的中点为Q,当点P从点A出发,沿边AD运动到点D时停止运动,点Q的运动路径长为()A.πB.πC.πD.π四边形翻折变换专题训练三1、如图,点E是矩形纸片ABCD边AB上一点,将△EBC沿EC翻折,点B落在边AD上的点F处,BE:AE=5:3,若EC=15cm,则AB=24cm.解:设AE=3x,BE=5x,则CD=8x,EF=5x,∵∠A=90°,∴Rt△AEF中,AF=4x,∵∠EFC=∠ABC=90°=∠A=∠D,∴∠AFE+∠DFC=∠DCF+∠DFC=90°,∴∠AFE=∠DCF,∴△AEF∽△DFC,∴=,即DF=DC=6x,∴AD=10x=BC,∵∠B=90°,∴Rt△BCE中,BE2+BC2=CE2,即(5x)2+(10x)2=(15)2,解得x=3,∴AB=24,故答案为:24.2、如图,将平行四边形纸片ABCD折叠,使得点D落在AB边上的D'处,折痕为AE.再将△AD'E翻折,点A恰好落在BC的中点A'处,连结AA',若AD=2,则线段AA'的长为.解:由折叠可得,∠DAE=∠D'AE,AD=AD'=2,∵AB∥CD,∴∠DEA=∠D'AE,∴∠DAE=∠DEA,∴AD=DE=2,∴AD'=DE,而AD'∥DE,∴四边形ADED'是平行四边形,∴AD∥D'E,由折叠可得,D'E垂直平分AA',∴AA'⊥AD,又∵AD∥BC,∴AA'⊥BC,∴△AA'B是直角三角形,∵AD'=A'D'=2,∴∠D'AA'=∠D'A'A,又∵∠D'AA'+∠B=90°,∠D'A'A+∠D'A'B=90°,∴∠B=∠D'A'B,∴D'A'=D'B=2,∴AB=2+2=4,又∵A'是BC的中点,BC=AD=2,∴A'B=1,∴AA'===.故答案为:.3、(2018•杭州)折叠矩形纸片ABCD时,发现可以进行如下操作:①把△ADE翻折,点A落在DC边上的点F处,折痕为DE,点E在AB边上;②把纸片展开并铺平;③把△CDG翻折,点C落在线段AE 上的点H处,折痕为DG,点G在BC边上,若AB=AD+2,EH=1,则AD=3+2.解:设AD=x,则AB=x+2,∵把△ADE翻折,点A落在DC边上的点F处,∴DF=AD,EA=EF,∠DFE=∠A=90°,∴四边形AEFD为正方形,∴AE=AD=x,∵把△CDG翻折,点C落在直线AE上的点H处,折痕为DG,点G在BC边上,∴DH=DC=x+2,∵HE=1,当AH=AE﹣HE=x﹣1,在Rt△ADH中,∵AD2+AH2=DH2,∴x2+(x﹣1)2=(x+2)2,整理得x2﹣6x﹣3=0,解得x1=3+2,x2=3﹣2(舍去),即AD的长为3+2.故答案为:3+2.4、(2019•辽阳模拟)在数学拓展课《折叠矩形纸片》上,小林折叠矩形纸片ABCD进行如下操作:①把△ABF翻折,点B落在CD边上的点E处,折痕AF交BC边于点F;②把△ADH翻折,点D落在AE 边长的点G处,折痕AH交CD边于点H.若AD=6,AB=10,则的值是()A.B.C.D.解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=∠D=90°,AB=CD=10,AD=BC=6,由翻折可知:AB=AE=10,AD=AG=6,BF=EF,DH=HG,∴EG=10﹣6=4,在Rt△ADE中,DE===8,∴EC=10﹣8=2,设BF=EF=x,在Rt△EFC中:x2=22+(6﹣x)2,∴x=,设DH=GH=y,在Rt△EGH中,y2+42=(8﹣y)2,∴y=3,∴EH=5,∴==,故选:D.5、(2018•鄞州区模拟)如图,在菱形纸片ABCD中,AB=+1,∠B=45°,将菱形纸片翻折,使点A落在CD边上的E处,点B落在点F处,折痕为PQ,点P,Q分别在边AD,BC上,若△PDE为直角三角形,则CE的长为或.解:分两种情况:①当∠DEP=90°时,∠D=∠B=45°,故△DEP是等腰直角三角形,设DE=EP=AP=x,则DP=x,由AD=AB=+1,可得x+x=+1,解得x=1,即DE=1,∴CE=CD﹣DE=+1﹣1=;②当∠DPE=90°时,∠D=∠B=45°,故△DEP是等腰直角三角形,∴DP=PE=AP=AD=(+1),∴Rt△DEP中,DE=×(+1)=1+,∴CE=CD﹣DE=+1﹣(1+)=,故答案为:或.6、(2019•江都区三模)如图1,有一张矩形纸片ABCD,已知AB=5,AD=6,现将纸片进行如下操作:首先将纸片沿折痕BF进行折叠,使点A落在BC边上的点E处,点F在AD上(如图2);然后将纸片沿折痕DH进行第二次折叠,使点C落在第一次的折痕BF上的点G处,点H在BC上(如图3).则BG的长为.解:∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD=5,BC=AD=6,由折叠可得:AB=BE,且∠A=∠ABE=∠BEF=90°,∴四边形ABEF为正方形;过点G作MN∥AB,分别交AD、BC于点M、N,如图3所示:∵四边形ABEF是正方形,∴AF=AB=5,∵MN∥AB,∴△BNG和△FMG为等腰直角三角形,且MN=AB=5,设BN=x,则GN=AM=x,MG=MN﹣GN=5﹣x,MD=AD﹣AM=6﹣x,又由折叠的性质可知:DG=DC=5,在Rt△MDG中,由勾股定理可得MD2+MG2=GD2,即(6﹣x)2+(5﹣x)2=52,解得:x=2,∴GN=BN=2,∴BG=BN=2.7、(2019•济南)如图,在矩形纸片ABCD中,将AB沿BM翻折,使点A落在BC上的点N处,BM为折痕,连接MN;再将CD沿CE翻折,使点D恰好落在MN上的点F处,CE为折痕,连接EF并延长交BM于点P,若AD=8,AB=5,则线段PE的长等于.解:过点P作PG⊥FN,PH⊥BN,垂足为G、H,由折叠得:ABNM是正方形,AB=BN=NM=MA=5,CD=CF=5,∠D=∠CFE=90°,ED=EF,∴NC=MD=8﹣5=3,在Rt△FNC中,FN==4,∴MF=5﹣4=1,在Rt△MEF中,设EF=x,则ME=3﹣x,由勾股定理得,12+(3﹣x)2=x2,解得:x=,∵∠CFN+∠PFG=90°,∠PFG+∠FPG=90°,∴△FNC∽△PGF,∴FG:PG:PF=NC:FN:FC=3:4:5,设FG=3m,则PG=4m,PF=5m,∴GN=PH=BH=4﹣3m,HN=5﹣(4﹣3m)=1+3m=PG=4m,解得:m=1,∴PF=5m=5,∴PE=PF+FE=5+=.8、(2016•新县校级模拟)如图,将矩形纸片ABCD沿直线AE折叠,点B恰好落在线段CD的中点F上,点G是线段AF上一动点(不与A,F重合),点G过GH⊥AB,垂足为H,将矩形沿直线GH翻折,点A恰好落在线段BH上点A′处.若AB长为8,则当△A′GE为直角三角形时,AH的长为.解:如图所示,根据翻转的性质可知:△ABE≌△AFE,∴AF=AB=8,EF=BE,∠2=∠3,DC=AB=8,BC=AD,∵F是DC的中点,∴DF=CF=DC=4,∴BC=AD===4,∵∠D=90°,AF=2DF,∴∠1=30°,∴∠BAF=60°,∴∠1=∠2=30°,设BE=x,则EF=x,CE=4﹣x,在Rt△CEF中,EF2=CE2+CF2,即,解得:BE=x=,∵矩形沿GH翻折,点A落在线段BH上点A′处,∴AG=A′G,AH=A′H,∵∠BAF=60°,∴△AGA′是等边三角形,∴AG=AA′,在△AGE与△AA′E中,,∴△AGE≌△AA′E,∴GE=A′E,∴当△A′GE是直角三角形时,只能∠A′EG=90°,∴△A′EG是等腰直角三角形,设AH=y,则AA′=A′G=2y,A′B=AB=AB﹣AA′=8﹣2y,在等腰直角三角形A′GE中,A′E=A′G=y,在直角三角形A′BE中,A′E==,2y2=(8﹣2y)2+()2解得:y1=,y2=8(不合题意舍去),∴AH=,9、如图,矩形纸片ABCD中,AB=6,AD=10,P是边BC上的动点,现将纸片折叠,使点A与点P重合,折痕与矩形边的交点分别是E,F,要使折痕始终与边AB,AD有交点,则BP的取值范围是()A.B.2≤BP≤6 C.D.解:当F与D重合时,如图1,由折叠得:AD=AP=10,∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=90°,∵AB=DC=6,在Rt△PDC中,PC==8,∴BP=10﹣8=2;当E与B重合时,如图2,由折叠得:AB=BP=6,综上所述,BP的取值范围是:2≤BP≤6;故选:B.10、(2019秋•江岸区校级月考)如图在矩形ABCD中,AB=,AD=3,点P是AD边上的一个动点,连接BP,作点A关于直线BP的对称点A1,连接A1C,设A1C的中点为Q,当点P从点A出发,沿边AD运动到点D时停止运动,点Q的运动路径长为()A.πB.πC.πD.π解:连接BA1,取BC的中点O,连接OQ、BD,如图所示:∵点A关于直线BP的对称点A1,∴AB=BA1,∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,∴tan∠ABD ===,∴∠ABD=60°,∵A1C的中点为Q,BC的中点为O,∴OQ是△CBA1的中位线,∴OQ =BA1=AB =,∴点Q的运动轨迹是以O为圆心,OQ为半径的圆弧,圆心角为120°,∴点Q 的运动路径长为:=π,故选:C.11。
1、2020重庆中考数学三角形翻折变换专题一

三角形翻折变换专题训练一1、 如图,在△ABC 中,∠B =90°,AB =4,BC =6,点E 为BC 的中点,将△ABE2、 沿AE 折叠,使点B 落在点F 处,连CF ,则CF 的长为( ).13.5A 14B.5 17C.5 18D.5 2.如图,在△ABC 中,AB =BC =12,∠B =90°,以EF 为折痕折叠,使A 与BC上一点D 重合,若BD :DC =2:1,则AE 的长是( ).8A25B.3 26C.3 D.9 3.如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8,BC =12,点D 为BC 边上的中点,将△ACD 沿AD 对折,使点C 落在同一平面内的点C '处,连接BC '',则BC ' 的长为( ).A .325 B.5 CD .3654.如图,在等腰三角形Rt ABC V 中,0=90ABC ∠,1AB AC ==,点D 是AC 上一点,0=30CBD ∠,将BCD V 沿BD 折叠至BC D 'V ,连接AC ',则AC D 'V 的面积为( )ACD 5、已知Rt △ACB 中,点D 为斜边AB 的中点,连接CD ,将△DCB 沿直线DC翻折,使点B 落在点E 的位置,连接DE 、CE 、AE ,DE 交AC 于点F ,若BC =6,AC =8,则AE 的值为( )A .B .C .D . 6、如图,等边三角形ABC 边长为5、D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,将△ADE 沿DE 折叠,点A 恰好落在BC 边上的点F 处,若BF =2,则BD 的长是( )A . B . C .3 D .2第3题图第1题图第2题图第4题图第5题图第6题图7、如图的三角形纸片中,BC=12cm,∠C=30°,折叠这个三角形,使B落在边AC上,且DF=DC,折痕为EF,那么BF的长为()cm.A.2B.4﹣3 C.6﹣6 D.68、如图,ABCD中,AB=6,∠B=75°,将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C,B′C交AD于E,∠B′AE=45°,则点A到BC的距离为()A.2B.3C.D.9、如图,在等腰Rt△ABC中∠C=90°,AC=BC=2.点D和点E分别是BC边和AB边上两点,连接DE.将△BDE沿DE折叠,得到△B′DE,点B恰好落在AC的中点处设DE与BB交于点F,则EF 的长为()A.B.C.D.10.如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,点D在BC上,且CD=2DB,将△ABC折叠,使点A与点D重合,EF为折痕,则sin∠BED的值是()A.B.C.D.11.如图,一张等腰直角三角形纸片,其中∠C=90°,斜边AB=4,将纸片折叠,使点A恰好落在BC边的中点D处,折痕为EF,则AE的长度为().4.3A5.3B3.2C6.5D12. 如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,点D是边AB的中点,连接CD,将△BCD沿直线CD翻折得到△ECD,连接AE,若AC=5,CD=6.5,则线段AE的长为()A.B.9 C.D.13.如图,△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,点D是AB的中点,将△ACD沿CD翻折得到△ECD,连接AE,BE,则线段BE的长等于()A.B.C.D.214、如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是AB上的一个动点(不与点A,B重合),连接CD,将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE,连接DE,DE与AC相交于点F,连接AE,若,AD=2BD,则CF等于()A.B.C.D.15.如图,已知△ABC中,∠CAB=∠B=30°,AB =,点D在BC边上,把△ABC沿AD翻折,使AB与AC重合,得△AED,则BD的长度为()A .B .C .D .16、如图,已知△ABC中,∠BAC=120°,A D为边BC上的中线,将△ACD沿AD翻折得到△AED,BF平行于AC交AE于F,若AC==15,AB=5,则BF的长为()A.12B.6 C,9 D.8B C17、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,AC=6,点D是BC上一动点,连接AD,将△ACD沿AD折叠,点C落在点E处,连接DE交AB于点F,当△DEB是直角三角形时,DF的长为().3 A3.2B.23C或3.22D或三角形翻折变换专题训练一答案解析1、如图,在△ABC 中,∠B =90°,AB =4,BC =6,点E 为BC 的中点,将△ABE 沿AE 折叠,使点B 落在点F 处,连CF ,则CF 的长为( ).13.5A 14B.5 17C.5 18D.5解:连接BF ,交AE 于H ,如图所示:∵BC =6,点E 为BC 的中点∴BE =3,又∵AB =4,∴AE ==5,∴BH ==,则BF =2BH =,∵FE =BE =EC ,∴∠BFC =90°,∴CF ==. 2.如图,在△ABC 中,AB =BC =12,∠B =90°,以EF 为折痕折叠,使A 与BC 上一点D 重合,若BD :DC =2:1,则AE 的长是( C ).8A25B.3 26C.3 D.9 解:∵=,AB =BC =12,∴BD =8,设ED =x ,则BE =12﹣x ,在Rt △BDF 中,x 2=(12﹣x )2+82,解得AE =x =.3.如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8,BC =12,点D 为BC 边上的中点,将△ACD 沿AD 对折,使点C 落在同一平面内的点C '处,连接BC '',则BC ' 的长为( D ).A . 325 B.5 CD .365解:如图,连接CC ',将ACD ∆沿AD 对折,使点C 落在同一平面内的点C '处AD CC '∴⊥,CN C N '=,点D 为BC 边上的中点162CD BC ∴==10AD ∴= 1122ACD S AC CD AD CN ∆=⨯⨯=⨯⨯ 4.8CN ∴=185DN ∴= CN C N '=,CD DB = 3625C B DN '∴== 4.如图,在等腰三角形Rt ABC V 中,0=90ABC ∠,1AB AC ==,点D 是AC 上一点,0=30CBD ∠,将BCD V 沿BD 折叠至BC D 'V ,连接AC ',则AC D 'V 的面积为( A )ACD5、已知Rt △ACB 中,点D 为斜边AB 的中点,连接CD ,将△DCB 沿直线DC 翻折,使点B 落在点E 的位置,连接DE 、CE 、AE ,DE 交AC 于点F ,若BC =6,AC =8,则AE 的值为( )A .B .C .D .解:连接BE 交CD 于点G ,∵Rt △ACB 中,AB ==10, ∵点D 为斜边AB 的中点,∴CD =AD =BD =AB =5,设DG x =,在△DBG 中,222BG BD DG =-,在△CBG 中,222BG BC CG =-∴22225=6(5)x x ---∴7=5x ,75DG =∴DM ==4,由折叠得,CD 垂直平分BE ,∴BG EG =∵点D 为斜边AB 的中点,∴AE =2DG =,故选:B . 6、(2019•福州二模)如图,等边三角形ABC 边长为5、D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,将△ADE 沿DE 折叠,点A 恰好落在BC 边上的点F 处,若BF =2,则BD 的长是( )A .B .C .3D .2解:∵△ABC 是等边三角形,∴∠A =∠B =∠C =60°,AB =BC =AC =5,∵沿DE 折叠A 落在BC 边上的点F 上,∴△ADE ≌△FDE ,∴∠DFE =∠A =60°,AD =DF ,AE =EF ,设BD =x ,AD =DF =5﹣x ,CE =y ,AE =5﹣y ,∵BF =2,BC =5,∴CF =3,∵∠C =60°,∠DFE =60°,∴∠EFC +∠FEC =120°,∠DFB +∠EFC =120°,∴∠DFB =∠FEC ,∵∠C =∠B ,∴△DBF ∽△FCE , ∴,即,解得:x =,即BD =,故选:B7、(2018•九龙坡区校级模拟)如图的三角形纸片中,BC =12cm ,∠C =30°,折叠这个三角形,使B 落在边AC 上,且DF =DC ,折痕为EF ,那么BF 的长为( )cm .A .2B .4﹣3C .6﹣6D .6解:过点D 作DH ⊥BC 于H ,∵折叠这个三角形,使B 落在边AC 上,∴DF =BF ,∵DF =DC ,DH ⊥BC ∴∠C =∠DFC =30°,FH =CH ,∴DH =DF ,FH =DH =DF ,∴CF=DF,∴BC=BF+CF=BF+BF=12cm,∴BF=(6﹣6)cm故选:C.8、(2019•沙坪坝区校级月考)如图,ABCD中,AB=6,∠B=75°,将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C,B′C交AD于E,∠B′AE=45°,则点A到BC的距离为(C)A.2B.3C.D.解:过B′作B′H⊥AD于H,∵∠B′AE=45°,∴△AB′H是等腰直角三角形,∴AH=B′H=AB′,∵将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C,∴AB′=AB=6,∠AB′E=∠B=75°,∴∠AEB′=60°,∴AH=B′H=×6=3,∴HE=B′H=,B′E=2,∵ABCD中,AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∵∠ACB=∠ACB′,∴∠EAC=∠ACE,∴AE=CE,∵∠AB′E=∠B=∠D,∠AEB′=∠CED,∴△AB′E≌△CDE(AAS),∴DE=B′E=2,∴AD=AE+DE=3+3,∵∠AEB′=∠EAC+∠ACE=60°,∴∠ACE=∠CAE=30°∴∠BAC=75°,∴AC=AD=BC,∠ACB=30°,过A作AG⊥BC于G,∴AG=AC=.9、(2019秋•南岸区校级月考)如图,在等腰Rt△ABC中∠C=90°,AC=BC=2.点D和点E分别是BC边和AB边上两点,连接DE.将△BDE沿DE折叠,得到△B′DE,点B恰好落在AC的中点处设DE与BB交于点F,则EF=(C)A.B.C.D.解:∵在等腰Rt△ABC中∠C=90°,AC=BC=2,∴AB=AC=4,∠A=∠B=45°,过B′作B′H⊥AB与H,∴△AHB′是等腰直角三角形,∴AH=B′H=AB′,∵AB′=AC=,∴AH=B′H=1,∴BH=3,∴BB′===,∵将△BDE沿DE折叠,得到△B′DE,∴BF=BB′=,DE⊥BB′,∴∠BHB′=∠BFE=90°,∵∠EBF=∠B′BH,∴△BFE∽△BHB′,∴=,∴=,∴EF=,10.如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,点D在BC上,且CD=2DB,将△ABC折叠,使点A与点D重合,EF为折痕,则sin∠BED的值是()A.B.C.D.解:∵△DEF是△AEF翻折而成,∴△DEF≌△AEF,∠A=∠EDF,∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠EDF=45°,由三角形外角性质得∠CDF+45°=∠BED+45°,∴∠BED=∠CDF,设CD=2,CF=x,则CA=CB=3,∴DF=F A=3﹣x,∴在Rt△CDF中,由勾股定理得,CF2+CD2=DF2,即x2+4=(3﹣x)2,解得:x=,∴sin∠BED=sin∠CDF===.故选:A.11.如图,一张等腰直角三角形纸片,其中∠C=90°,斜边AB=4,将纸片折叠,使点A恰好落在BC边的中点D处,折痕为EF,则AE的长度为(B)4.3A5.3B3.2C6.5D解:作DH⊥AB于H,可得等腰Rt△DBH,由AB=4,可知BC=sin45°×AB=×4=2,于是BD=,BH=DH=×=1,设AE=DE=x,则EH=4﹣1﹣AE=3﹣x,在Rt△DEH中,(3﹣x)2+12=x2,解得:x=,故AE的长度为.12. (2018春•开州区期末)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,点D是边AB的中点,连接CD,将△BCD沿直线CD翻折得到△ECD,连接AE,若AC=5,CD=6.5,则线段AE的长为().A.B.9 C.D.解:如图,延长CD交BE于点H,作CF⊥AB于F.∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是边AB的中点,CD=6.5,∴AD=DB=CD=6.5,AB=13.∵AC=5,∴BC==12.∵S△ABC=AC•BC=AB•CF,∴×5×12=×13×CF,解得CF=.∵将△BCD沿直线CD翻折得到△ECD,∴BC=CE,BD=DE,∴CH⊥BE,BH=HE.∵AD=DB=DE,∴△ABE为直角三角形,∠AEB=90°,由折叠可得S△ECD=S△ACD,∴DC•HE=AD•CF,∵DC=AD,∴HE=CF=.∴BE=2EH=.∵∠AEB=90°,∴AE===.13.(2017秋•常熟市期末)如图,△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,点D是AB的中点,将△ACD沿CD翻折得到△ECD,连接AE,BE,则线段BE的长等于()A.B.C.D.2解:如图延长CD交AE于点H,作CF⊥AB,垂足为F.∵在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,∴AB=5.∵D为AB的中点,∴AD=BD=DC.∵AC•BC=AB•CF,∴×3×4=×5×CF,解得CF=.由翻折的性质可知AC=CE,AD=DE,∴CH⊥AE,AH=HE.∵DC=DB,BD•CF=DC•HE,∴HE=CF=.∴AE=.∵AD=DE=DB,∴△ABE为直角三角形.∴BE===.故选:A.14.(2019•历城区一模)如图,在Rt △ACB 中,∠ACB =90°,AC =BC ,点D 是AB 上的一个动点(不与点A ,B 重合),连接CD ,将CD 绕点C 顺时针旋转90°得到CE ,连接DE ,DE 与AC 相交于点F ,连接AE ,若,AD =2BD ,则CF 等于( )A . B . C . D .解:∵∠ACB =90°,由旋转知,CD =CE ,∠DCE =90°=∠ACB ,∴∠BCD =∠ACE ,∴△BCD ≌△ACE ,∴∠CAE =∠CBD =45°=∠CEF ,∵∠ECF =∠ACE ,∴△CEF ∽△CAE , ∴=,∴CE 2=CF •AC ,如图,过点D 作DG ⊥BC 于G ,∵AB =3,∴AC =BC =3, ∵AD =2BD ,∴BD =AB =,∴DG =BG =1,∴CG =BC ﹣BG =3﹣1=2,在Rt △CDG 中,根据勾股定理得,CD ==,∵△BCD ≌△ACE , ∴CE =CD =,∵CE 2=CF •AC ,∴CF ==,故选:B .15、(2018•柘城县三模)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AB =10,AC =6,点D 是BC 上一动点,连接AD ,将△ACD 沿AD 折叠,点C 落在点E 处,连接DE 交AB 于点F ,当△DEB 是直角三角形时,DF 的长为( D ) .3A 3.2B .23C 或 3.22D 或解:①如图1中,当∠EDB =90°,四边形ACDE 是正方形,此时CD =AC =6,∵BC ==8,∴BD =BC ﹣CD =8﹣6=2,∵tan ∠ABC ==,∴=,∴DF =. ②如图2中,当∠DEB =90°时,AC =AE =6,则BE =4,设CD =DE =x ,在Rt △BDE 中,(8﹣x )2=x 2+42,∴x =3,综上所述,满足条件的DF 的值为3或.16、如图,已知△ABC 中,∠CAB =∠B =30°,AB =,点D 在BC 边上,把△ABC 沿AD 翻折,使AB 与AC 重合,得△AED ,则BD 的长度为( )A .B .C .D .解:作CF⊥AB于点F.∵∠CAB=∠B∴AC=BC,∴BF =AB =,在直角△BCF中,BC ==2,在△CDE中,∠E=∠B=30°,∠ECD=∠CAB+∠B=60°,DE=BD,∴∠CDE=90°,设BD=x,则CD=DE=2﹣x,在直角△CDE中,tan E ===tan30°=,解得:x=3﹣.故选:B.11。
2020年中考数学压轴题专题3 相似三角形的存在性问题学案(原版+解析)

专题三 相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题.解相似三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标准,第二步列方程,第三步解方程并验根。
难点在于寻找分类标准,分类标准寻找的恰当,可以使得解的个数不重复不遗漏,也可以使得列方程和解方程又好又快.【解题攻略】相似三角形的判定定理有3个,其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件,因此探求两个三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等.判定定理2是最常用的解题依据,一般分三步:寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检验。
应用判定定理1解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等. 应用判定定理3解题不多见,根据三边对应成比例列连比式解方程(组).【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题:1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ,则对应线段已经确定。
2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似,则没有确定对应线段,此时有三种情况:①△ABC ∽△DEF ,②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D (或为90°),则确定了一条对应的线段,此时有二种情况:①、△ABC ∽△DEF ,②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。
【典例指引】类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】典例指引1.(2019·贵州中考真题)如图,抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A ,B 两点,且此抛物线与x 轴的一个交点为C ,连接AC ,BC .已知(0,3)A ,(3,0)C -.(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线对称轴l上找一点M,使MB MC-的值最大,并求出这个最大值;(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQ PA⊥交y轴于点Q,问:是否存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与ABC∆相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.【举一反三】(2019·海南模拟)抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(5,0).(1)求该抛物线所对应的函数解析式;(2)该抛物线与直线335y x=+相交于C、D两点,点P是抛物线上的动点且位于x轴下方,直线PM∥y轴,分别与x轴和直线CD交于点M、N.①连结PC、PD,如图1,在点P运动过程中,∥PCD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由;②连结PB,过点C作CQ∥PM,垂足为点Q,如图2,是否存在点P,使得∥CNQ与∥PBM 相似?若存在,求出满足条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.类型二 【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】典例指引2.(2019年广东模拟)如图,在矩形OABC 中,AO =10,AB =8,沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC ,使点B 落在OA 边上的点E 处,分别以OC ,OA 所在的直线为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,抛物线2y ax bx c =++经过O ,D ,C 三点. (1)求AD 的长及抛物线的解析式;(2)一动点P 从点E 出发,沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动,同时动点Q 从点C 出发,沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动,当点P 运动到点C 时,两点同时停止运动,设运动时间为t 秒,当t 为何值时,以P ,Q ,C 为顶点的三角形与△ADE 相似?(3)点N 在抛物线对称轴上,点M 在抛物线上,是否存在这样的点M 与点N ,使以M ,N ,C ,E 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M 与点N 的坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由.【举一反三】(2019·湖南模拟)如图,已知直线y =-x +3与x 轴、y 轴分别交于A ,B 两点,抛物线y =-x 2+bx +c 经过A ,B 两点,点P 在线段OA 上,从点O 出发,向点A 以1个单位/秒的速度匀速运动;同时,点Q 在线段AB 上,从点A 出发,向点B 以2个单位/秒的速度匀速运动,连接PQ ,设运动时间为t 秒.(1)求抛物线的解析式;(2)问:当t 为何值时,∥APQ 为直角三角形;(3)过点P 作PE ∥y 轴,交AB 于点E ,过点Q 作QF ∥y 轴,交抛物线于点F ,连接EF ,当EF ∥PQ 时,求点F 的坐标;(4)设抛物线顶点为M ,连接BP ,BM ,MQ ,问:是否存在t 的值,使以B ,Q ,M 为顶点的三角形与以O ,B ,P 为顶点的三角形相似?若存在,请求出t 的值;若不存在,请说明理由.类型三 【确定符合相似三角形的函数解析式或字母参数的值】典例指引3.(2019·江苏中考真题)如图,二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ,对称轴是直线l ,一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ,且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B .(1)点D 的坐标是 ______;(2)直线l 与直线AB 交于点C ,N 是线段DC 上一点(不与点D 、C 重合),点N 的纵坐标为n .过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ,Q ,使得DPQ ∆与DAB ∆相似. ①当275n =时,求DP 的长; ②若对于每一个确定的n 的值,有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似,请直接写出n 的取值范围 ______.【举一反三】(2018武汉中考)抛物线L :y =﹣x 2+bx +c 经过点A (0,1),与它的对称轴直线x =1交于点B .(1)直接写出抛物线L 的解析式;(2)如图1,过定点的直线y =kx ﹣k +4(k <0)与抛物线L 交于点M 、N .若△BMN 的面积等于1,求k 的值;(3)如图2,将抛物线L 向上平移m (m >0)个单位长度得到抛物线L 1,抛物线L 1与y 轴交于点C ,过点C 作y 轴的垂线交抛物线L 1于另一点D .F 为抛物线L 1的对称轴与x 轴的交点,P 为线段OC 上一点.若△PCD 与△POF 相似,并且符合条件的点P 恰有2个,求m 的值及相应点P 的坐标.【新题训练】1.(2019·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初三月考)如图1,已知抛物线;C 1:y =﹣1m(x +2)(x ﹣m )(m >0)与x 轴交于点B 、C (点B 在点C 的左侧),与y 轴交于点E .(1)求点B 、点C 的坐标;(2)当△BCE 的面积为6时,若点G 的坐标为(0,b ),在抛物线C 1的对称轴上是否存在点H ,使得△BGH 的周长最小,若存在,则求点H 的坐标(用含b 的式子表示);若不存在,则请说明理由;(3)在第四象限内,抛物线C 1上是否存在点F ,使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由.2.(2020·浙江初三期末)边长为2的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,点D 是边OA 的中点,连接CD ,点E 在第一象限,且DE DC ⊥,DE DC =.以直线AB 为对称轴的抛物线过C ,E 两点.(1)求抛物线的解析式;(2)点P 从点C 出发,沿射线CB 每秒1个单位长度的速度运动,运动时间为t 秒.过点P 作PF CD ⊥于点F ,当t 为何值时,以点P ,F ,D 为顶点的三角形与COD ∆相似? (3)点M 为直线AB 上一动点,点N 为抛物线上一动点,是否存在点M ,N ,使得以点M ,N ,D ,E 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.3.(2020·长沙市长郡双语实验中学初三开学考试)如图,抛物线y =ax 2﹣2ax +c 的图象经过点C (0,﹣2),顶点D 的坐标为(1,﹣83),与x 轴交于A 、B 两点.(1)求抛物线的解析式.(2)连接AC ,E 为直线AC 上一点,当△AOC ∽△AEB 时,求点E 的坐标和AEAB的值. (3)点C 关于x 轴的对称点为H 5FC +BF 取最小值时,在抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使△QHF 是直角三角形?若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 4.(2019·贵州初三)如图,已知抛物线y =13x 2+bx +c 经过△ABC 的三个顶点,其中点A (0,1),点B (﹣9,10),AC ∥x 轴,点P 是直线AC 下方抛物线上的动点. (1)求抛物线的解析式;(2)过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ,当四边形AECP 的面积最大时,求点P 的坐标;(3)当点P 为抛物线的顶点时,在直线AC 上是否存在点Q ,使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似,若存在,求出点Q 的坐标,若不存在,请说明理由.5.(2020·河南初三)如图,在平面直角坐标系中,抛物线243y x bx c =-++与x 轴交于A 、D 两点,与y 轴交于点B ,四边形OBCD 是矩形,点A 的坐标为(1,0),点B 的坐标为(0,4),已知点E (m ,0)是线段DO 上的动点,过点E 作PE ⊥x 轴交抛物线于点P ,交BC 于点G ,交BD 于点H . (1)求该抛物线的解析式;(2)当点P 在直线BC 上方时,请用含m 的代数式表示PG 的长度;(3)在(2)的条件下,是否存在这样的点P ,使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似?若存在,求出此时m 的值;若不存在,请说明理由.6.(2020·浙江初三期末)如图①,在平面直角坐标系中,抛物线2y x =的对称轴为直线l ,将直线l 绕着点()0,2P 顺时针旋转α∠的度数后与该抛物线交于AB 两点(点A 在点B 的左侧),点Q 是该抛物线上一点(1)若45α∠=︒,求直线AB 的函数表达式 (2)若点p 将线段分成2:3的两部分,求点A 的坐标(3)如图②,在(1)的条件下,若点Q 在y 轴左侧,过点p 作直线//l x 轴,点M 是直线l 上一点,且位于y 轴左侧,当以P ,B ,Q 为顶点的三角形与PAM ∆相似时,求M 的坐标7.(2020·上海初三)如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =13x 2+mx +n 经过点B (6,1),C (5,0),且与y 轴交于点A . (1)求抛物线的表达式及点A 的坐标;(2)点P 是y 轴右侧抛物线上的一点,过点P 作PQ ⊥OA ,交线段OA 的延长线于点Q ,如果∠PAB =45°.求证:△PQA ∽△ACB ;(3)若点F 是线段AB (不包含端点)上的一点,且点F 关于AC 的对称点F ′恰好在上述抛物线上,求FF ′的长.8.(2019·江苏初三期末)如图,抛物线y =ax 2+5ax +c (a <0)与x 轴负半轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于C 点,D 是抛物线的顶点,过D 作DH ⊥x 轴于点H ,延长DH 交AC 于点E ,且S △ABD :S △ACB =9:16,(1)求A 、B 两点的坐标;(2)若△DBH 与△BEH 相似,试求抛物线的解析式.9.(2019·湖南中考模拟)如图,顶点坐标为(2,﹣1)的抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与y 轴交于点C (0,3),与x 轴交于A 、B 两点. (1)求抛物线的表达式;(2)设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ,连接AC 、AD ,求△ACD 的面积;(3)点E 为直线BC 上一动点,过点E 作y 轴的平行线EF ,与抛物线交于点F .问是否存在点E ,使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似?若存在,求点E 的坐标;若不存在,请说明理由.10.(2019·西安市铁一中学中考模拟)如图,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为(2,1)-,并且与y 轴交于点(0,3)C ,与x 轴交于A 、B 两点.(1)求抛物线的表达式.(2)如图1,设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ,点E 为直线BC 上一动点,过点E 作y 轴的平行线EF ,与抛物线交于点F ,问是否存在点E ,使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与BCO V 相似.若存在,求出点E 的坐标;若不存在,请说明理由.11.(2019·广东中考模拟)如图,在平面直角坐标系xoy 中,直线122y x =+与x 轴交于点A ,与y 轴交于点C .抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是32x =-且经过A 、C 两点,与x 轴的另一交点为点B .(1)①直接写出点B 的坐标;②求抛物线解析式.(2)若点P 为直线AC 上方的抛物线上的一点,连接PA ,PC .求△PAC 的面积的最大值,并求出此时点P 的坐标.(3)抛物线上是否存在点M ,过点M 作MN 垂直x 轴于点N ,使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,直接写出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.12.(2019·江苏泗洪姜堰实验学校中考模拟)如图,抛物线2481293y x x =--与x 轴交于A 、C 两点,与y 轴交于B 点. (1)求△AOB 的外接圆的面积;(2)若动点P 从点A 出发,以每秒2个单位沿射线AC 方向运动;同时,点Q 从点B 出发,以每秒1个单位沿射线BA 方向运动,当点P 到达点C 处时,两点同时停止运动.问当t 为何值时,以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△OAB 相似?(3)若M 为线段AB 上一个动点,过点M 作MN 平行于y 轴交抛物线于点N . ①是否存在这样的点M ,使得四边形OMNB 恰为平行四边形?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.②当点M 运动到何处时,四边形CBNA 的面积最大?求出此时点M 的坐标及四边形CBAN 面积的最大值.13.(2019·陕西中考真题)在平面直角坐标系中,已知抛物线L :()2y ax c a x c =+-+经过点A (-3,0)和点B (0,-6),L 关于原点O 对称的抛物线为L '. (1)求抛物线L 的表达式;(2)点P 在抛物线L '上,且位于第一象限,过点P 作PD ⊥y 轴,垂足为D .若△POD 与△AOB 相似,求符合条件的点P 的坐标.14.(2019·湖南中考真题)如图,抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -,点(3,0)B ,与y 轴交于点C ,且过点(2,3)D -.点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点.(1)求抛物线的解析式;(2)当点P 在直线OD 下方时,求POD ∆面积的最大值.(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E ,当OBE ∆与ABC ∆相似时,求点Q 的坐标.15.(2018·四川中考真题)如图,抛物线y =12x 2+bx +c 与直线y =12x +3交于A ,B 两点,交x 轴于C 、D 两点,连接AC 、BC ,已知A (0,3),C (﹣3,0). (1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线对称轴l 上找一点M ,使|MB ﹣MD |的值最大,并求出这个最大值; (3)点P 为y 轴右侧抛物线上一动点,连接PA ,过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ,问:是否存在点P 使得以A ,P ,Q 为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,请求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.16.(2019·湖南中考真题)如图1,△AOB 的三个顶点A 、O 、B 分别落在抛物线F 1:21733y x x =+的图象上,点A 的横坐标为﹣4,点B 的纵坐标为﹣2.(点A 在点B 的左侧) (1)求点A 、B 的坐标;(2)将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△A 'OB ',抛物线F 2:24y ax bx =++经过A '、B '两点,已知点M 为抛物线F 2的对称轴上一定点,且点A '恰好在以OM 为直径的圆上,连接OM 、A 'M ,求△OA 'M 的面积;(3)如图2,延长OB '交抛物线F 2于点C ,连接A 'C ,在坐标轴上是否存在点D ,使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA 'C 相似.若存在,请求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.专题三相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题.解相似三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标准,第二步列方程,第三步解方程并验根。
重庆中考12 翻折变换(折叠问题)(学生版)

12 翻折变换(折叠问题)一.选择题(共12小题)1.如图,矩形纸片ABCD,长AD=9m,宽AB=3cm,将其折叠,使点D与点B重合,那么折叠后DE的长为()A.7cm B.6cm C.5.5cm D.5cm2.如图,在等边三角形ABC中,点D、E分别是边AC、BC上两点.将△ABC沿DE翻折,点C正好落在线段AB上的点F处,使得AF:BF=2:3.若BE=16,则点F到BC边的距离是()A.8B.12C.D.3.如图,在等腰Rt△ABC中∠C=90°,AC=BC=2.点D和点E分别是BC边和AB 边上两点,连接DE.将△BDE沿DE折叠,得到△B′DE,点B恰好落在AC的中点处设DE与BB交于点F,则EF=()A.B.C.D.4.如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=30°,将△ABC沿AC翻折得到△ACD,延长AD交BC的延长线于点E,则△ABE的面积为()A.B.C.3D.5.如图,点F是长方形ABCD中BC边上一点将△ABF沿AF折叠为△AEF,点E落在边CD上,若AB=5,BC=4,则BF的长为()A.B.C.D.6.如图,在矩形纸片ABCD中,CB=12,CD=5,折叠纸片使AD与对角线BD重合,与点A重合的点为N,折痕为DM,则△MNB的面积为()A.B.C.D.267.如图,在△ABC中∠ACB=90°、∠CAB=30°,△ABD是等边三角形、将四边形ACBD 折叠,使点D与点C重合,HK为折痕,则sin∠ACH的是()A.B.C.D.8.如图,在矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,连接AE、ED,将△ABE沿AE翻折,使点B落在B'处,线段EB'交AD于点F,将△ECD沿DE翻折,使点C的对应点C'落在线段EB'上,若点C'恰好为EB'的中点,则线段EF的长为()A.B.C.D.9.如图,▱ABCD中,AB=6,∠B=75°,将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C,B′C交AD于E,∠B′AE=45°,则点A到BC的距离为()A.2B.3C.D.10.如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形,E是AB 的中点,连结CE并延长交AD于F,如图2,现将四边形ACBD折叠,使D与C重合,HK为折痕,则sin∠ACH的值为()A.B.C.D.11.如图,在△ABC中,D是AC边上的中点,连结BD,把△BDC沿BD翻折,得到△BDC',DC′与AB交于点E,连结AC',若AD=AC′=2,BD=3,则点D到BC′的距离为()A.B.C.D.12.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AB=3,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AE=1.连接DE,将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内,得△AEF,连接DF.过点D 作DG⊥DE交BE于点G.则四边形DFEG的周长为()A.8B.4C.2+4D.3+2二.填空题(共7小题)13.如图,把三角形纸片折叠,使点B、点C都与点A重合,折痕分别为DE、FG,得到∠AGE=30°,若AE=EG=2厘米,则△ABC的边BC的长为厘米.14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,CD是斜边AB上的中线,将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置,连接AE.若DE∥AC,计算AE的长度等于.15.已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=4,D为斜边AB上的中点,E是直角边AC上的一点,连接DE,将△ADE沿DE折叠至△A′DE,A′E交BD于点F,若△DEF的面积是△ADE面积的一半,则CE=.16.如图,在△ABC中,AB=AC=5,tan A=,BC=,点D是AB边上一点,连接CD,将△BCD沿着CD翻折得△B1CD,DB1⊥AC且交于点E,则DE=.17.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,把△ABC沿斜边AC折叠,使点B落在B’,点D,点E分别为BC和AB′上的点,连接DE交AC于点F,把四边形ABDE沿DE折叠,使点B与点C重合,点A落在A′,连接AA′交B′C于点H,交DE于点G.若AB =3,BC=4,则GE的长为.18.如图,在平行四边形ABCD中,∠B=30°,且BC=CA,将△ABC沿AC翻折至△AB′C,AB′交CD于点E,连接B′D.若AB=3,则B′D的长度为.19.如图,点E是矩形ABCD的边CD上一点,把△ADE沿AE对折,使点D恰好落在BC 边上的F点处.已知折痕AE=10,且CE:CF=4:3,那么该矩形的周长为.。
2020重庆中考复习数学几何最值专题训练三(含答案解析)

2020年重庆中考数学最值专题训练三(含答案)1、(2018•明光市二模)如图,正方形ABCD中,AB=4,点E、F分别为BC,AD上的点,过点E、F 的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分.过点A作AG⊥EF于点G,连接DG,则线段DG长的最小值为()A.2B.2﹣2C.2D.2﹣22、如图,正方形ABCD的边长为2,点E、F分别是边AB、CD上的动点,且AE=CF,连接EF,将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG,连接DG,则线段DG长的最小值为.3、(2019•南充模拟)如图,正方形ABCD的边长为2,O是BC边的中点,P是正方形内一动点,且OP=2,连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转90°到DQ,连接AP,CQ,PQ,则线段PQ的最小值为.4、如图,平行四边形ABCD中,∠B=60°,BC=12,AB=10,点E在AD上,且AE=4,点F是AB上一点,连接EF,将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG,连接GD,则线段GD长度的最小值为.5、(2019•惠山区一模)如图,正方形ABCD中,AB=2,O是BC边的中点,点E是正方形内一动点,OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF,连接AE,CF,OF.则线段OF长的最小值()A.2B.+2C.2﹣2 D.56、如图,在边长为2的正方形ABCD中,点O为AB中点,以AB为直径在正方形ABCD内部作半圆,E为半圆上任意一点(不与A.B重合),连接CE,将线段CE绕点C逆时针旋转90°得列CF,连接DE、BF,OF.则线段OF长的最小值为.7、(2019秋•颍州区校级月考)如图,正方形ABCD的边长为5,O是AB边的中点,点E是正方形内一动点,OE=2,将线段CE绕C点逆时针旋转90°得CF,连OF,线段OF的最小值为.8、(2019•太原二模)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,BC=2,点D是AC边的中点,E是直线BC上一动点,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连接AF、EF,在点E的运动过程中线段AF的最小值为.9、(2019秋•锡山区期中)已知:如图,△ABC是边长为6的等边三角形,直线AF⊥BC于F,点D是直线AF上一动点,以BD为边在BD的右侧作等边△BDE,连接EF,则EF的最小值为.10、(2019•台州模拟)如图,四边形ABCD是矩形,AB=4,BC=a(a>1),E是BC上的一点,且BE=1,点F是边AB上的任意一点.连接EF,将线段EF绕点E顺时针旋转90°,得到线段EG.在点F从点B运动到点A的过程中,若要点G能落在对角线AC上,则a的最大值为.11、如图1,四边形ABCD是矩形,AB=2,BC=4,点E是AD边上的一个动点,以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG,且CG:CE=1:2,连接DG、BE、BG,则2BG+BE的最小值为.2020年重庆中考数学最值专题训练三(含答案)1、(2018•明光市二模)如图,正方形ABCD中,AB=4,点E、F分别为BC,AD上的点,过点E、F 的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分.过点A作AG⊥EF于点G,连接DG,则线段DG长的最小值为()A.2B.2﹣2C.2D.2﹣2解:连接AC,BD交于O,∵过点E、F的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分,∴EF过点O,∵AG⊥EF,∴∠AGO=90°,∴点G在以AO为直径的半圆弧上,设AO的中点为M,连接DM交半圆弧于G,则此时,DG最小,∵四边形ABCD是正方形,AB=4,∴AC=8,AC⊥BD,∴AO=OD=AC=4,∴AM=OM=AO=2,∴DM==2,∴DG=2﹣2,故选:B.2、如图,正方形ABCD的边长为2,点E、F分别是边AB、CD上的动点,且AE=CF,连接EF,将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG,连接DG,则线段DG长的最小值为.解:如图,过点F作FM⊥AB于M,过点G作GH⊥AD于H,GN⊥AB于N,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=AD=CD=2,∠B=∠C=∠BAD=90°,且FM⊥AB,GH⊥AD,GN⊥AB,∴四边形BCFM,四边形AHGN是矩形,∴BM=CF,NG=AH,AN=GH,MF=BC=2,∵将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG,∴EG=EF,∠GEF=90°,∴∠NEG+∠FEM=90°,且∠NGE+∠NEG=90°,∴∠FEM=∠NGE,且∠N=∠FME=90°,EF=EG,∴△EGN≌△EFM(AAS)∴NE=MF=2,EM=NG,设AE=CF=a,∴EM=2﹣2a=NG=AH,AN=2﹣a=GH,∴HD=AD﹣AH=2﹣(2﹣2a)=2a,∵GD==∴当a=时,GD有最小值为,3、(2019•南充模拟)如图,正方形ABCD的边长为2,O是BC边的中点,P是正方形内一动点,且OP=2,连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转90°到DQ,连接AP,CQ,PQ,则线段PQ的最小值为.解:连接OD,如图所示:∵DQ=DP,∠PDQ=90°,∴PQ=DP,OD===5,∵OP+DP≥OD,∴DP≥OD﹣OP=5﹣2=3,∴PQ≥3,∴线段PQ的最小值为3.4、如图,平行四边形ABCD中,∠B=60°,BC=12,AB=10,点E在AD上,且AE=4,点F是AB上一点,连接EF,将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG,连接GD,则线段GD长度的最小值为2.解:将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH,连接HG,过点H作HM⊥AD,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A+∠B=180°,∴∠A=120°,∵将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH,将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG,∴EF=EG=4,AE=EH,∠AEH=∠FEG=120°,∴∠DEH=60°,∠AEF=∠HEG,且EF=EG,AE=EH,∴△AEF≌△HEG(SAS)∴∠A=∠EHG=120°=∠AEH,∴AD∥HG,∴点G的轨迹是过点H且平行于AD的直线,∴当DG⊥HG时,线段GD长度有最小值,∵∠HEM=60°,EH=4,HM⊥AD,∴EM=2,MH=EM=2,∴线段GD长度的最小值为2,5、(2019•惠山区一模)如图,正方形ABCD中,AB=2,O是BC边的中点,点E是正方形内一动点,OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF,连接AE,CF,OF.则线段OF长的最小值()A.2B.+2C.2﹣2 D.5解法一:如图,连接DO,将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM,连接OF,FM,OM,∵∠EDF=∠ODM=90°,∴∠EDO=∠FDM,∵DE=DF,DO=DM,∴△EDO≌△FDM(SAS),∴FM=OE=2,∵正方形ABCD中,AB=2,O是BC边的中点,∴OC=,∴OD=,∴OM=,∵OF+MF≥OM,∴OF≥.故选:D.解法二:如图,由于OE=2,所以E点可以看作是以O为圆心,2为半径的半圆上运动,延长BA到P 点,使得AP=OC,连接PE,∵AE=CF,∠P AE=∠OCF,∴△P AE≌△OCF,∴PE=OF,当O、E、P三点共线时,PE最小,OP===5,∴PE=OF=OP﹣OE=5﹣2,∴OF的最小值是5﹣2.6、如图,在边长为2的正方形ABCD中,点O为AB中点,以AB为直径在正方形ABCD内部作半圆,E为半圆上任意一点(不与A.B重合),连接CE,将线段CE绕点C逆时针旋转90°得列CF,连接DE、BF,OF.则线段OF长的最小值为.解:由于OE=2,所以E点可以看作是以O为圆心,2为半径的半圆上运动,延长BA到P点,使得AP=OC,连接PE,∵AE=CF,∠P AE=∠OCF,∴△P AE≌△OCF(SAS),∴PE=OF,当PE最小时,为O、E、P三点共线,OP===5,∴PE=OF=OP﹣OE=5﹣2,∴OF的最小值是5﹣2.7、(2019秋•颍州区校级月考)如图,正方形ABCD的边长为5,O是AB边的中点,点E是正方形内一动点,OE=2,将线段CE绕C点逆时针旋转90°得CF,连OF,线段OF的最小值为.解:如图,连接CO,将线段CO绕点C逆时针旋转90°得CM,连接FM,OM,则∠ECF=∠OCM=90°,∴∠ECO=∠FCM,∵CE=CF,CO=CM,∴△ECO≌△FCM(SAS),∴FM=OE=2,∵正方形ABCD中,AB=5,O是AB边的中点,∴OB=2.5,∴OC==,∴OM=OC=,∵OF+MF≥OM,∴OF≥﹣2.∴线段OF的最小值为﹣2.8、(2019•太原二模)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,BC=2,点D是AC边的中点,E是直线BC上一动点,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连接AF、EF,在点E的运动过程中线段AF的最小值为+1.解:如图,作DM⊥BC于M,FJ⊥DM于J交AB于N.∵Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,BC=2,∴AC=2BC=4,AB=BC=2,∵AD=DC.DM∥AB,∴DM=AB=,BM=CM=1,易证四边形BMJN是矩形,∴JN=BM=1,∵∠FDJ+∠EDM=90°,∠EDM+∠DEM=90°,∴∠FDJ=∠DEM,∵∠FJD=∠DME=90°,∴△FJD≌△DME(AAS),∴FJ=DM=,∴FN=FJ+JN=1+,∴点F在直线l上运动(直线l与直线AB之间的距离为+1),根据垂线段最短可知,当AF⊥直线l时,AF的值最短,最小值为+1,9、(2019秋•锡山区期中)已知:如图,△ABC是边长为6的等边三角形,直线AF⊥BC于F,点D是直线AF上一动点,以BD为边在BD的右侧作等边△BDE,连接EF,则EF的最小值为.解:如图,取AB中点H,连接DH,∵△ABC,△BDE都是等边三角形,∴AB=BC,BD=BE,∠DBE=∠ABC=60°,∴∠ABD=∠EBC,∵△ABC是等边三角形,AF⊥BC,∴BF=BC=AB=3,∠BAF=30°,∵H是AB中点,∴AH=BH=AB=BF=3,且∠ABD=∠EBC,BD=BE,∴△BHD≌△BFE(SAS)∴EF=DH,∴当DH取最小值时,EF有最小值,当DH⊥AF时,DH有最小值,∴DH=AH=,∴EF的最小值为,10、(2019•台州模拟)如图,四边形ABCD是矩形,AB=4,BC=a(a>1),E是BC上的一点,且BE=1,点F是边AB上的任意一点.连接EF,将线段EF绕点E顺时针旋转90°,得到线段EG.在点F从点B运动到点A的过程中,若要点G能落在对角线AC上,则a的最大值为.解:如图,当点G落在对角线AC上,过点G作GH⊥BC于点H,∵△EFB≌△GEH,∴GH=BE=1,EH=BF,∴CH=BC﹣BE﹣EH=a﹣1﹣BF,∵△CHG∽△CBA,∴,∴,∴BF=∵点F是边AB上的任意一点,∴0≤BF≤AB,∴0≤≤4,∴≤a≤∴a的最大值为11、如图1,四边形ABCD是矩形,AB=2,BC=4,点E是AD边上的一个动点,以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG,且CG:CE=1:2,连接DG、BE、BG,则2BG+BE的最小值为4.解:延长BE、GD相交于点H.∵矩形ECGF、矩形ABCD,∴∠ECG=∠BCD=90°,∴∠DCG=∠BCE∵CD:CB=2:4=1:2,CG:CE=1:2,∴CD:CB=CG:CE,∵∠DCG=∠BCE∴△DCG∽△BCE,∴,∠BEC=∠DGC,∴DG=BE作EN⊥BC于N,GM⊥BC交BC的延长线于M.易证△ECN∽△CGM,∴==2,∵EN=AB=2,∴CM=1,∴点G的运动轨迹是直线MG,作点D关于直线GM的对称点G′,连接BG′交GM于G,此时BG+GD的值最小,最小值=BG′∵DG=BE,∴BE=2DG,∴2BG+BE=2BG+2DG=2(BG+DG)∴2BG+BE的最小值就是2(BG+DG)的最小值.∵BG′==2,∴2BG+BE的最小值为4。
2020年重庆市中考数学试卷(附答案与解析)

绝密★启用前2020年重庆市初中学业水平考试数 学A 卷(全卷共四个大题,满分150分,考试时间120分钟)注意事项:1.试题的答案书写在答题卡...上,不得在试题卷上直接作答;2.作答前认真阅读答题卡...上的注意事项; 3.作图(包括作辅助线)请一律用黑色..2B ..铅笔完成; 4.考试结束,由监考人员将试题卷和答题卡...一并收回. 参考公式:抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,对称轴为2b x a=-. 一、选择题:(本大题12个小题,每小题4分,共48分)在每个小题的下面,都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案,其中只有一个是正确的,请将答题卡...上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑. 1.下列各数中,最小的数是( )A .3-B .0C .1D .2 2.下列图形是轴对称图形的是( )ABCD3.在今年举行的第127届“广交会”上,有近26 000家厂家进行“云端销售”.其中数据26 000用科学记数法表示为( )A .32610⨯B .32.610⨯C .42.610⨯D .50.2610⨯4.把黑色三角形按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有1个黑色三角形,第②个图案中有3个黑色三角形,第③个图案中有6个黑色三角形,…,按此规律排列下去,则第⑤个图案中黑色三角形的个数为( )A .10B .15C .18D .215.如图,AB 是O 的切线,A 为切点,连接OA ,OB ,若°20B ∠=,则AOB ∠的度数为( )A .40°B .50°C .60°D .70° 6.下列计算中,正确的是( )A .235+=B .2222+=C .236⨯=D .2323-=7.解一元一次方程()111123x x +=-时,去分母正确的是( )A .()3112x x +=-B .()2113x x +=-C .()2163x x +=-D .()3162x x +=-8.如图,在平面直角坐标系中,ABC △的顶点坐标分别是()12A ,,()11B ,,()31C ,,以原点为位似中心,在原点的同侧画DEF △,使DEF △与ABC △成位似图形,且相似比为2:1,则线段DF 的长度为( )A .5B .2C .4D .259.如图,在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60m 的C 点处有一个山坡,山坡CD 的坡度(或坡比)1:0.75i =,山坡坡底C 点到坡顶D 点的距离45m CD =,在坡顶D 点处测得居民楼楼顶A 点的仰角为28°,居民楼AB 与山坡CD 的剖面在同一平面内,则居民楼AB 的高度约为( )(参考数据:°sin 280.47≈,°cos280.88≈,°tan 280.53≈)毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------A .76.9mB .82.1mC .94.8mD .112.6m10.若关于x 的一元一次不等式组3132x x x a-⎧+⎪⎨⎪⎩≤,≤的解集为x a ≤;且关于y 的分式方程34122y a y y y --+=--有正整数解,则所有满足条件的整数a 的值之积是( ) A .7B .14-C .28D .56-11.如图,三角形纸片ABC ,点D 是BC 边上一点,连接AD ,把ABD △沿着AD 翻折,得到AED △,DE 与AC 交于点G ,连接BE 交AD 于点F .若DG GE =,3AF =,2BF =,ADG △的面积为2,则点F 到BC 的距离为 ( )ABCD 12.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD 的对角线AC 的中点与坐标原点重合,点E 是x 轴上一点,连接AE .若AD 平分OAE ∠,反比例函数()00ky x x x=>,>的图象经过AE 上的两点A ,F ,且AF EF =,ABE △的面积为18,则k 的值为( )A .6B .12C .18D .24二、填空题:(本大题6个小题,每小题4分,共24分)请将每小题的答案直接填在答题卡...中对应的横线上. 13.计算:()012π-+-=________.14.一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍,则这个多边形是的边数是________.15.现有四张正面分别标有数字1-,1,2,3的不透明卡片,它们除数字外其余完全相同,将它们背面朝上洗均匀,随机抽取一张,记下数字后放回..,背面朝上洗均匀,再随机抽取一张记下数字,前后两次抽取的数字分别记为m ,n ,则点()P m n ,在第二象限的概率为________.16.如图,在边长为2的正方形ABCD 中,对角线AC 的中点为O ,分别以点A ,C 为圆心,以AO 的长为半径画弧,分别与正方形的边相交.则图中的阴影部分面积为________.(结果保留π)17.A ,B 两地相距240km ,甲货车从A 地以40km/h 的速度匀速前往B 地,到达B 地后停止.在甲出发的同时,乙货车从B 地沿同一公路匀速前往A 地,到达A 地后停止.两车之间的路程()km y 与甲货车出发时间()h x 之间的函数关系如图中的折线CD DE EF ——所示.其中点C 的坐标是()0240,,点D 的坐标是()2.40,,则点E 的坐标是________.18.火锅是重庆的一张名片,深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊(简称摆摊)三种方式经营,6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3:5:2.随着促进消费政策的出台,该火锅店老板预计7月份总营业额会增加,其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的25,则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的720,为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8:5,则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是________.三、解答题:(本大题7个小题,每小题10分,共70分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程书写在答题卡...中对应的位置上. 19.计算:(1)()()22x y x x y ++-;(2)2291369m m m m m -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭. 20.为了解学生掌握垃圾分类知识的情况,增强学生环保意识.某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动,现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩(满分10分,6分及6分以上为合格)进行整理、描述和分析,下面给出了部分信息.七年级20名学生的测试成绩为:7,8,7,9,7,6,5,9,10,9,8,5,8,7,6,7,9,7,10,6.七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图:八年级抽取的学生测试成绩条形统计图根据以上信息,解答下列问题:(1)直接写出上述表中的a ,b ,c 的值;(2)根据以上数据,你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好?请说明理由(写出一条理由即可);(3)该校七、八年级共1 200名学生参加了此次测试活动,估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少?21.如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,分别过点A ,C 作AE BD ⊥,CF BD ⊥,垂足分别为E ,F .AC 平分DAE ∠.(1)若°50AOE ∠=,求ACB ∠的度数; (2)求证:AE CF =.22.在初中阶段的函数学习中,我们经历了列表、描点、连线画函数图象,并结合图象研究函数性质的过程.以下是我们研究函数261xy x =+性质及其应用的部分过程,请按要求完成下列各小题.(1)请把下表补充完整,并在图中补全该函数图象;(2)根据函数图象,判断下列关于该函数性质的说法是否正确,正确的在答题卡...上相应的括号内打“√”,错误的在答题卡...上相应的括号内打“×”; ①该函数图象是轴对称图形,它的对称轴为y 轴.②该函数在自变量的取值范围内,有最大值和最小值.当1x =时,函数取得最大值3;当1x =-时,函数取得最小值3-.③当1x -<或1x >时,y 随x 的增大而减小;当11x -<<时,y 随x 的增大而增大.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------(3)已知函数21y x =-的图象如图所示,结合你所画的函数图象,直接写出不等式26211xx x -+>的解集(保留1位小数,误差不超过0.2). 23.在整数的除法运算中,只有能整除与不能整除两种情况,当不能整除时,就会产生余数.现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”.定义:对于一个自然数,如果这个数除以5余数为4,且除以3余数为2,则称这个数为“差一数”. 例如:14524÷=,14342÷=,所以14是“差一数”; 19534÷=,但19361÷=,所以19不是“差一数”.(1)判断49和74是否为“差一数”?请说明理由; (2)求大于300且小于400的所有“差一数”.24.“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”.为优选品种,提高产量,某农业科技小组对A ,B 两个小麦品种进行种植对比实验研究.去年A ,B 两个品种各种植了10亩.收获后A ,B 两个品种的售价均为2.4元/kg ,且B 的平均亩产量比A 的平均亩产量高100kg ,A ,B 两个品种全部售出后总收入为21 600元. (1)请求出A ,B 两个品种去年平均亩产量分别是多少?(2)今年,科技小组加大了小麦种植的科研力度,在A ,B 种植亩数不变的情况下,预计A ,B 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加%a 和2%a .由于B 品种深受市场的欢迎,预计每千克价格将在去年的基础上上涨%a ,而A 品种的售价不变.A ,B 两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加20%9a .求a 的值.25.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A ,B 两点,其中()34A --,,()01B -,. (1)求该抛物线的函数表达式;(2)点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点,连接PA ,PB ,求PAB △面积的最大值;(3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线()211110y a x b x c a =++≠,平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ,点D 为原抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点E ,使以点B ,C ,D ,E 为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点E 的坐标;若不存在,请说明理由.25题图25题备用图四、解答题:(本大题1个小题,共8分)解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程书写在答题卡...中对应的位置上.26.如图,在Rt ABC △中,°90BAC ∠=,AB AC =,点D 是BC 边上一动点,连接AD ,把AD 绕点A 逆时针旋转90°,得到AE ,连接CE ,DE .点F 是DE 的中点,连接CF .(1)求证:CF AD =; (2)如图2所示,在点D 运动的过程中,当2BD CD =时,分别延长CF ,BA ,相交于点G ,猜想AG 与BC 存在的数量关系,并证明你猜想的结论;(3)在点D 运动的过程中,在线段AD 上存在一点P ,使PA PB PC ++的值最小.当PA PB PC ++的值取得最小值时,AP 的长为m ,请直接用含m 的式子表示CE 的长.图1图2 备用图2020年重庆市初中学业水平考试数学答案解析一、 1.【答案】A【解析】有理数的大小比较法则:正数大于0,负数小于0,正数大于一切负数;两个负数,绝对值大的反而小.3012-∵<<<,∴最小的数是3-,故选:A . 【考点】有理数的大小比较 2.【答案】A【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解. 解:A 、是轴对称图形,故本选项正确; B 、不是轴对称图形,故本选项错误; C 、不是轴对称图形,故本选项错误; D 、不是轴对称图形,故本选项错误; 故选:A .【考点】轴对称图形的概念 3.【答案】C【解析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式,其中110a ≤<,n 为整数.确定n 的值时,要看把原数变成a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值10>时,n 是正数;当原数的绝对值1<时,n 是负数.426000 2.610=⨯,故选:C .【考点】科学记数法的表示方法 4.【答案】B【解析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n 个图案中黑色三角形的个数为1234n +++++,据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数.解:∵第①个图案中黑色三角形的个数为1, 第②个图案中黑色三角形的个数312=+,第③个图案中黑色三角形的个数6123=++, ……∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1234515++++=,故选:B .【考点】图形的变化规律 5.【答案】D【解析】根据切线的性质可得°90OAB ∠=,再根据三角形内角和求出AOB ∠.∵AB 是O 的切线 °90OAB ∠=∴ °20B ∠=∵°°18070AOB OAB B ∠=-∠-∠=∴故选D .【考点】切线的性质 6.【答案】C【解析】根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案. 解:A不是同类二次根式,不能合并,此选项计算错误; B .2不是同类二次根式,不能合并,此选项计算错误; C==,此选项计算正确;D.与2-不是同类二次根式,不能合并,此选项错误; 故选:C .【考点】二次根式的混合运算 7.【答案】D【解析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案.解:方程两边都乘以6,得:()3162x x +=-,故选:D .【考点】解一元一次方程 8.【答案】D【解析】把A 、C 的横纵坐标都乘以2得到D 、F 的坐标,然后利用两点间的距离公式计算线段DF 的长.解:∵以原点为位似中心,在原点的同侧画DEF △,使DEF △与ABC △成位似图形,且相似比为2:1,而()12A ,,()31C ,, ()24D ∴,,()62F ,,DF =∴故选:D . 【考点】位似变换 9.【答案】B【解析】构造直角三角形,利用坡比的意义和直角三角形的边角关系,分别计算出DE 、EC 、BE 、DF 、AF ,进而求出AB .解:如图,由题意得,°28ADF ∠=,45CD =,60BC =, 在Rt DEC △中,∵山坡CD 的坡度1:0.75i =,140.753DE EC ==∴, 设4DE x =,则3EC x =, 由勾股定理可得5CD x =, 又45CD =,即545x =,9x =∴,327EC x ==∴,436DE x FB ===, 602787BE BC EC DF =+=+==∴,在Rt ADF △中,°tan 280.538746.11AF DF =⨯≈⨯≈,46.113682.11AB AF FB =+=+≈∴,故选:B .【考点】直角三角形的边角关系 10.【答案】A【解析】不等式组整理后,根据已知解集确定出a 的范围,分式方程去分母转化为正整数方程,由分式方程有非负整数解,确定出a 的值,求出之和即可.解:解不等式3132x x -+≤,解得7x ≤, ∴不等式组整理的7x x a ⎧⎨⎩≤≤, 由解集为x a ≤,得到7a ≤,分式方程去分母得:342y a y y -+-=-,即32y a -=, 解得:23a y +=, 由y 为正整数解且2y ≠,得到1a =,7,177⨯=,故选:A .【考点】分式方程的解 11.【答案】B【解析】首先求出ABD △的面积.根据三角形的面积公式求出DF ,设点F 到BD 的距离为h ,根据1122BD h BF DF =,求出BD 即可解决问题. 解:DG GE =∵,2ADG AEG S S ==△△∴, 4ADE S =△∴,由翻折可知,ADB ADE ≅△△,BE AD ⊥,4ABD ADE S S ==△△∴,°90BFD ∠=,()142AF DF BF +=∴, ()13242DF +=∴,1DF =∴,DB ===∴设点F 到BD 的距离为h ,则1122BD h BF DF=, h ∴, 故选:B .【考点】翻折变换,三角形的面积,勾股定理二次根式的运算 12.【答案】B 【解析】先证明OBAE ,得出18ABE OAE S S ==△△,设A 的坐标为k a a ⎛⎫⎪⎝⎭,,求出F 点的坐标和E 点的坐标,可得13182OAE kS a a=⨯⨯=△,求解即可.解:如图,连接BD ,∵四边形ABCD 为矩形,O 为对角线,AO OD =∴,ODA OAD ∠=∠∴,又AD ∵为DAE ∠的平分线,OAD EAD ∠=∠∴,EAD ODA ∠=∠∴,OB AE ∴,18ABE S =△∵, 18OAE S =△∴,设A 的坐标为k a a ⎛⎫⎪⎝⎭,,AF EF =∵, F ∴点的纵坐标为2k a, 代入反比例函数解析式可得F 点的坐标为22k a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,E ∴点的坐标为()30a ,, 13182OAE kS a a=⨯⨯=△,解得12k =, 故选:B .【考点】反比例函数,几何综合,矩形的性质,平行线的判定 二、 13.【答案】3【解析】根据零指数幂及绝对值计算即可.()012123π-+-=+=;故答案为3. 【考点】含零指数幂的简单实数混合运算 14.【答案】6【解析】设这个多边形的边数为n ,根据内角和公式和外角和公式,列出等式求解即可.设这个多边形的边数为n ,()°°21802360n -=⨯∴,解得:6n =, 故答案为:6.【解析】画树状图展示所有16种等可能的结果数,利用第二象限内点的坐标特征确定点()P m n ,在第二象限的结果数,然后根据概率公式求解.解:画树状图为:共有16种等可能的结果数,其中点()P m n ,在第二象限的结果数为3, 所以点()P m n ,在第二象限的概率316=. 故答案为:316. 【考点】列表法,树状图法,点的坐标 16.【答案】4π-【解析】根据图形可得S 2ABCD S S =-阴影扇形,由正方形的性质可求得扇形的半径,利用扇形面积公式求出扇形的面积,即可求出阴影部分面积. 由图可知,2ABCD S S S =-阴影扇形, 224ABCD S =⨯=,∵四边形ABCD 是正方形,边长为2,AC =∴,∵点O 是AC 的中点,OA ∴2°°903602S ππ==扇形∴,24ABCD S S S π=-=-阴影扇形∴,故答案为:4π-.【考点】求阴影部分面积,扇形面积公式,正方形的性质17.【答案】()4160,【解析】先根据CD 段的求出乙货车的行驶速度,再根据两车的行驶速度分析出点E 表示的意义,由此即可得出答案. 设乙货车的行驶速度为km/h a由题意可知,图中的点D 表示的是甲、乙货车相遇∵点C 的坐标是()0240,,点D 的坐标是()2.40, ∴此时甲、乙货车行驶的时间为2.4h ,甲货车行驶的距离为()40 2.4=96km ⨯,乙货车行驶的距离为()24096144km -=()144 2.460km/h a =÷=∴∴乙货车从B 地前往A 地所需时间为()240604h ÷=由此可知,图中点E 表示的是乙货车行驶至A 地,EF 段表示的是乙货车停止后,甲货车继续行驶至B 地,则点E 的横坐标为4,纵坐标为在乙货车停止时,甲货车行驶的距离,即404160⨯=.即点E 的坐标为()4160, 故答案为:()4160,.【解析】先根据题意设出相应的未知数,再结合题目的等量关系列出相应的方程组,最后求解即可求得答案.解:设6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为3k ,5k ,2k ,7月份总增加的营业额为m ,则7月份摆摊增加的营业额为2m 5,设7月份外卖还需增加的营业额为x .∵7月份摆摊的营业额是总营业额的720,且7月份的堂食、外卖营业额之比为8:5, ∴7月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为8:5:7,∴设7月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为8a ,5a ,7a ,由题意可知:3385552275k m x a k x a m k a ⎧+-=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩,解得:125215k a x a m a ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩,512857208ax a a a a ==++∴, 故答案为:18.()()()()()()2233333333m m mm m m m m m ++==+-++-【解析】(1)利用完全平方公式和整式乘法展开后合并同类型即可.具体解题过程参照答案.(2)先把分子分母因式分解,然后按顺序计算即可.具体解题过程参照答案. 【考点】整式的运算,分式的混合运算 20.【答案】(1)7a =,7.5b =,50%c =(2)根据以上数据,八年级的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比比七年级的学生掌握垃圾分类知识较好. (3)七年级合格人数:18人 八年级合格人数:18人181********%108040+⨯⨯=人答:估计参加此次测试活动成绩合格的人数有1 080人.【解析】(1)七年级20名学生的测试成绩的众数找出现次数最多的即可得出的a 值,由条形统计图即可得出八年级抽取的学生的测试成绩的中位数,八年级8分及以上人数除以总人数20人即可得出c 的值. 七年级20名学生的测试成绩的众数是:7,7a =∴,由条形统计图可得,八年级抽取的学生的测试成绩的中位数是:787.52+=, 7.5b =∴,八年级8分及以上人数有10人,所占百分比为:50%50%c =∴.(2)分别比较七年级和八年级的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比即可得出结论.具体解题过程参照答案.(3)用七八年级的合格总人数除以总人数40人,得到这两个年级测试活动成绩合格的百分比,再乘以1 200即可得出答案.具体解题过程参照答案. 【考点】平均数,众数,中位数,条形统计图 21.【答案】(1)解:AE BD ⊥∵,CF BD ⊥AECF ∴DAC ACB ∠=∠∴ °50AOE ∵, °50AOECOF∴°40OCF ∠=∴,∵平行四边形ABCD ADDC ∴,DAC ACB ∠=∠∴ °40ACB ∠=∴(2)证明:∵AC 与BD 交于点O ,OA OC =∴,AE BD ⊥∵,CF BD ⊥, °90AEOCFO∴,AOE COF ∠=∠∵, AEO CFO ≌∴△△,AE CF ∴=.【解析】(1)利用三角形内角和定理求出EAO ∠,利用角平分线的定义求出DAC ∠,再利用平行线的性质解决问题即可.具体解题过程参照答案. (2)证明()AEO CFO AAS △≌△可得结论.具体解题过程参照答案【解析】(1)代入3x =和3x =-即可求出对应的y 值,再补全函数图象即可.解:当3x =-时,261899151x y x -===-++, 当3x =时,261899151x y x ===++,函数图象如下:(2)结合函数图象可从增减性及对称性进行判断. ①由函数图象可得它是中心对称图形,不是轴对称图形; 故答案为:×,②结合函数图象可得:该函数在自变量的取值范围内,有最大值和最小值,当1x =时,函数取得最大值3;当1x =-时,函数取得最小值3-; 故答案为:√,③观察函数图象可得:当1x -<或1x >时,y 随x 的增大而减小;当11x -<<时,y 随x 的增大而增大;故答案为:√.(3)根据图象求解即可.具体解题过程参照答案.【考点】一次函数的图象和性质,一次函数与一元一次不等式 23.【答案】(1)49不是“差一数”,74是“差一数”,49594÷=∵;493161÷=,∴49不是“差一数”,745144÷=∵;743242÷=,∴74是“差一数”(2)314、329、344、359、374、389【解析】(1)直接根据“差一数”的定义计算即可.具体解题过程参照答案.(2)根据“差一数”的定义可知被5除余4的数个位数字为4或9;被3除余2的数各位数字之和被3除余2,由此可求得大于300且小于400的所有“差一数”.∵“差一数”这个数除以5余数为4, ∴“差一数”这个数的个位数字为4或9,∴大于300且小于400的符合要求的数为304、309、314、319、324、329、334、339、344、349、354、359、364、369、374、379、384、389、394、399,∵“差一数”这个数除以3余数为2,∴“差一数”这个数的各位数字之和被3除余2,∴大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389.【考点】带余数的除法运算24.【答案】(1)设A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 、y 千克,由题意得1002.410 2.41021600y x x y =+⎧⎨⨯+⨯=⎩, 解得400500x y =⎧⎨=⎩.答:A ,B 两个品种去年平均亩产量分别是400、500千克.数学试卷 第21页(共26页) 数学试卷 第22页(共26页)(2)根据题意得:()()()20244001%241%50012%216001%9a a a a ⎛⎫⨯+++⨯+=+ ⎪⎝⎭. 令%a m =,则方程化为:()()()20244001241500122160019m m m m ⎛⎫⨯+++⨯+=+⎪⎝⎭. 整理得2100m m -=,解得:10m =(不合题意,舍去),20.1m = 所以%0.1a =,所以10a =, 答:a 的值为10.【解析】(1)设A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 、y 千克,根据题意列出方程组,解方程组即可得到答案.具体解题过程参照答案.(2)根据题意分别表示A 品种、B 品种今年的收入,利用总收入等于A 品种、B 品种今年的收入之和,列出一元二次方程求解即可得到答案.具体解题过程参照答案. 【考点】二元一次方程组的应用,一元二次方程的应用25.【答案】(1)∵抛物线过()34A --,,()01B -, 9341b c c -+=-⎧⎨=-⎩∴41b c =⎧⎨=-⎩∴241y x x =+-∴(2)设AB y kx b =+,将点()34A --,()01B -,代入AB y 1AB y x =-∴过点P 作x 轴得垂线与直线AB 交于点F设点()241P a a a +-,,则()1F a a -, 由铅垂定理可得()()22212314123323327228PAB B AS PF x x a a a a a a =-=---+=--⎛⎫=-++⎪⎝⎭△PAB ∴△面积最大值为278(3)抛物线的表达式为:()224125y x x x =+-=+-, 则平移后的抛物线表达式为:25y x =-,联立上述两式并解得:14x y =-⎧⎨=-⎩,故点()14C --,;设点()2D m -,、点()E s t ,,而点B 、C 的坐标分别为()01-,、()14--,; ①当BC 为菱形的边时,点C 向右平移1个单位向上平移3个单位得到B ,同样()D E 向右平移1个单位向上平移3个单位得到()E D ,即21s -+=且3m t +=①或21s --=且3m t -=②,当点D 在E 的下方时,则BE BC =,即()2222113s t ++=+③, 当点D 在E 的上方时,则BD BC =,即()22222113m++=+④,联立①③并解得:1s =-,2t =或4-(舍去4-),故点()12E -,;数学试卷 第23页(共26页) 数学试卷 第24页(共26页)联立②④并解得:3s =-,4t =-(34E --+,或(34--,; ②当BC 为菱形的对角线时,则由中点公式得:12s -=-且41m t --=+⑤, 此时,BD BE =,即()()2222211m s t ++=++⑥,联立⑤⑥并解得:1s =,3t =-,故点()13E -,, 综上,点E 的坐标为:()12-,或(34--,或(34--,或()13-,.【解析】(1)将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式,即可求解.具体解题过程参照答案. (2)设AB y kx b =+,求得解析式,过点P 作x 轴得垂线与直线AB 交于点F ,设点()241P a a a +-,,则()1F a a -,,2133272228PABB A S PF x x a ⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭△,即可求解.具体解题过程参照答案.(3)分BC 为菱形的边、菱形的的对角线两种情况,分别求解即可.具体解题过程参照答案.90BAC DAE ︒∠=∠=∵,BAD CAE ∠=∠∴,AB AC =∵,AD AE =,∴在ABD △和ACE △中BAD CAE AB ACAD AE =∠⎧⎪=⎨⎪=⎩, ABD ACE ≅∴△△, 45ABD ACE ︒∠=∠=∴,90DCE ACB ACE ︒∠=∠+∠=∴,在Rt ADE △中,F 为DE 中点(同时AD AE =),45ADE AED ︒∠=∠=,AF DE ⊥∴,即Rt ADF △为等腰直角三角形,AF DF AD =∴,CF DF =∵,CF AD ∴; (2)由(1)得ABD ACE ≅△△,CE BD =,°45ACE ABD ∠=∠=,454590DCB BCA ACE ︒︒︒∠=∠+∠=+=∴,在Rt DCB △中,()2DE BD CE CD =====,F ∵为DE 中点,122DE EF DE ===∴,在四边形ADCE 中,有90CAG DCE ︒∠=∠=,180CZG DCE ︒∠+∠=,∴点A ,D ,C ,E 四点共圆, F ∵为DE 中点,F ∴为圆心,则CF AF =,在RtAGC △中,CF AF=∵,F ∴为CG中点,即2CG CF =,AG AC ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭∴, 即BC =;(3)设点P存在,由费马定理可得120APB BPC CPA ︒∠=∠=∠=,60BPD ︒∠=∴,设PD 为a ,BD =∴,数学试卷 第25页(共26页) 数学试卷 第26页(共26页)又AD BD =,a m +∴,1m a =a【解析】(1)先证BAD CAE ≅△△,可得°45ABD ACE ∠=∠=,可求°90BCE ∠=,由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得结论.具体解题过程参照答案. (2)由(1)得ABD ACE △≌△,CE BD =,°45ACE ABD ∠=∠=,推出°°°454590DCB BCA ACE ∠=∠+∠=+=,然后根据现有条件说明在Rt DCB△中,DE ==,点A ,D ,C ,E 四点共圆,F 为圆心,则CF AF =,在Rt AGC △中,推出2AG =,即可得出答案.具体解题过程参照答案.(3)设点P 存在,由费马定理可得°120APB BPC CPA ∠=∠=∠=,设PD 为a,得出BD =,AD BD ==,得出a m +=,解出a ,根据BD CE =即可得出答案.具体解题过程参照答案.【考点】全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,旋转的性质,锐角三角函数。
2020中考数学 压轴专题 三大几何变换之折叠问题(含答案)

2020中考数学压轴专题三大几何变换之折叠问题(含答案)1. 如图,E,F分别是▱ABCD的边AD,BC上的点,EF=6,∠DEF=60°,将四边形EFCD沿EF翻折.得到四边形EFC′D′,ED′交BC于点G,则△GEF的周长为()A. 6B. 12C. 18D. 24第1题图C2. 如图,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为PQ,则线段BQ的长度为()A. 53 B.52 C. 4 D. 5第2题图C3. 如图,将边长为4的菱形ABCD纸片折叠,使点A恰好落在对角线的交点O处,若折痕EF=23,则∠A=()A. 120°B. 100°C. 60°D. 30°第3题图A【解析】如解图,连接AC,则两条对角线交于点O,∵点A沿EF折叠与点O重合,∴EF垂直平分AO,∵AO⊥BD,AO⊥EF,∴EF∥BD,∴EF是△ABD的中位线,∴EF=12BD,∴BD=43,∴BO=DO=12BD=23,∵AB=4,∴cos∠ABO=BOAB=234=32,∴∠ABO=30°,∴∠BAO=60°,∵四边形ABCD是菱形,∴AC平分∠BAD,∴∠A=120°,故选A.第3题解图4. 如图的实线部分是由Rt △ABC 经过两次折叠得到的,首先将Rt △ABC 沿BD 折叠,使点C 落在斜边上的点C ′处,再沿ED 折叠,使点A 落在DC ′的延长线上的点A ′处,若图中∠C =90°,∠A =30°,BC =5 cm ,则折痕DE 的长为________.第4题图103【解析】∵∠A =30°,∠C =90°,∴∠ABC =180°-∠C -∠A =60°,根据折叠的性质可得,∠DBC ′=∠DBC =12∠ABC =12×60°=30°,在Rt △BCD 中,cos ∠DBC =BCBD ,∴BD =BC cos ∠DBC =5cos30°=1033,∵∠CDB =180°-∠C -∠DBC =180°-90°-30°=60°,∴∠BDA ′=∠CDB =60°,∴∠ADA ′=180°-∠CDB -∠BDA ′=180°-60°-60°=60°,∵DE 是折痕,根据折叠的性质可得,∠EDA ′=12∠ADA ′=12×60°=30°,∴∠BDE =∠BDA ′+∠EDA ′=60°+30°=90°,在Rt △BED 中,DE =BD ·tan30°=1033×33=103.5. 将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠,得到菱形AECF .若AB =6,则BC 的长为________.第5题图23 【解析】∵四边形AECF 是菱形,AB =6,假设BE =x ,则AE =6-x ,∴CE =6-x ,∵四边形AECF 是菱形,∴∠FCO =∠ECO ,∵∠ECO =∠ECB ,∴∠ECO =∠ECB =∠FCO =30°,2BE =CE ,∴CE =2x ,∴2x =6-x ,解得:x =2,∴CE =4,利用勾股定理得出:BC 2+BE 2=EC 2,BC =EC 2-BE 2=42-22=2 3.6. 用剪刀将形状如图①所示的矩形纸片ABCD 沿着直线CM 剪成两部分,其中点M 为AD 的中点.用这两部分纸片可以拼成图②所示的Rt △BCE .若Rt △BCE 是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB =a ,BC =b ,且a 、b 满足关系式a +b =m -1,ab =m +1,则点D 到CM 的距离为________.第6题图2 【解析】∵Rt △BCE 是等腰直角三角形,M 为AD 的中点,∴b =2a .∵a +b =m -1,∴a +2a =m -1,∴a =m -13,b =2(m -1)3,∵ab =m +1,∴m -13·2(m -1)3=m +1,整理得2m 2-13m -7=0,解得m =-12(舍去)或m =7,∴a =2,b =4,AM =MD =2,在Rt △MCD 中 ,CM =22+22=22,∴点D 到CM 的距离为2×222= 2.7. 将一个矩形纸片ABCD 放置到平面直角坐标系中,点A 、B 恰好落在x 轴的正、负半轴上,若将该纸片沿AF 折叠,点B 恰好落在y 轴上的点E 处,设OA =1.(1)如图①,若OB =1,则点F 的坐标为________; (2)如图②,若OB =2,求点F 的坐标; (3)若OB =n ,请直接写出点F 的坐标.第7题图解:(1)(1,233)【解法提示】由折叠的性质可知AE =AB =2, ∠EAF =∠BAF ,∵OA =1,AE =2,∠AOE =90°,∴∠AEO =30°,∴∠EAO =60°,∴∠F AB =30°,∴BF =AB ·tan ∠F AB =233,则点F的坐标为(1,233).(2)如解图,作FM ⊥y 轴于点M ,∴∠AEF =∠ABF =90°,FM ⊥y 轴,∴∠AEO +∠FEM =90°,∠FEM +∠EFM =90°, ∴∠AEO =∠EFM ,∵sin ∠AEO =AO AE =13,第7题解图∴sin ∠EFM =13.设EM =x ,则EF =3x ,由勾股定理得MF =22x ,OE =22, ∵OB =2, ∴22x =2, 解得x =22, ∴OM =OE -EM =322,∴点F 的坐标为(2,322);(3)(n ,n 2+nn 2+2n). 【解法提示】如解图,作FM ⊥y 轴于点M , 同理∠AEO =∠EFM ,∵sin ∠AEO =AO AE =1n +1,∴sin ∠EFM =1n +1,设EM =x ,则EF =(n +1)x ,由勾股定理得MF =n 2+2n x ,OE =n 2+2n , ∵OB =n , ∴n 2+2n x =n .解得x =nn 2+2n ,∴OM =OE -EM =n 2+2n -nn 2+2n =n 2+n n 2+2n, ∴点F 的坐标为(n ,n 2+nn 2+2n).8. 如图,将一个正方形纸片AOCD 放置在平面直角坐标系中,点A (0,4),点O (0,0),点D 在第一象限,点P 为正方形AD 边上的一点(不与点A 、点D 重合),将正方形纸片折叠,使点O 落在点P 处,点C 落在点G 处,PG 交DC 于点H ,折痕为EF ,连接OP ,OH .设P点的横坐标为m.(1)若∠APO=60°,求∠OPG的大小;(2)当点P在边AD上移动时,△PDH的周长l是否发生变化?若变化,用含m的式子表示l;若不变化,求出周长l;(3)设四边形EFGP的面积为S,当S取得最小值时,求点P的坐标(直接写出结果即可).第8题图解:(1)∵折叠正方形纸片,使点O落在点P处,点C落在点G处,∴∠POC=∠OPG,∵四边形AOCD是正方形,∴AD∥OC,∴∠APO=∠POC,∴∠APO=∠OPG,∵∠APO=60°,∴∠OPG=60°;(2)△PDH的周长不发生变化,理由:如解图①,过点O作OQ⊥PG,垂足为点Q,则∠DAO=∠PQO=90°.第8题解图①由(3)知∠APO=∠OPG,又∵OP=OP,∴△AOP≌△QOP,∴AP=QP,AO=QO,∵AO=OC,∴OC=OQ,∵∠OCD=∠OQH=90°,OH=OH,∴Rt△OCH≌Rt△OQH,∴CH=QH,∴△PDH 的周长l =PD +DH +PH =PD +DH +PQ +QH =PD +PQ +DH +QH =PD +AP +DH +CH =AD +CD =8,∴△PDH 的周长l 不发生变化,周长l 为定值8; (3)当S 取得最小值时,点P 的坐标为(2,4).【解法提示】如解图②,过点F 作FM ⊥OA 于点M ,设EF 与OP 交于点N ,第8题解图②由折叠的性质知△EON 与△EPN 关于直线EF 对称, ∴△EON ≌△EPN ,∴ON =PN ,EP =EO ,EN ⊥PO ,∵∠OAP =∠ENO ,∠AOP =∠NOE , ∴△POA ∽△EON , ∴PO EO =P A EN =OAON①, 设P A =x , ∵点A (0,4), ∴OA =4,∴OP =OA 2+P A 2=16+x 2,∴ON =12OP =1216+x 2,将OP ,ON 代入①式得,OE =PE = 18(16+x 2), ∵∠EFM +∠OEN =90°, ∠AOP +∠OEN =90°, ∴∠EFM =∠AOP , 在△EFM 和△POA 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠EFM =∠AOP FM =OA ∠OAP =∠EMF, ∴△EFM ≌△POA (ASA), ∴EM =P A =x ,∴FG =CF =OM =OE -EM = 18(16+x 2)-x =18x 2-x +2,∴S=S梯形EFGP=S梯形OCFE=12(FC+OE)·OC=12[18x2-x+2+18(16+x2)]×4=12(x-2)2+6,∴当x=2时,S最小,即AP=2,∴点P的坐标是(2,4).。
直角三角形翻折模型(解析版)-中考数学满分突破

直角三角形翻折模型已知在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,AB =3,BC =4,AC =5模型一:沿过点A 的直线翻折使得点B 的对应点B '落在斜边AC 上,折痕为AD ,求线段AD ,DC ,B 'C 长度。
解法一(勾股定理思路):由已知条件可知,AB =AB ',BD =B 'D∵∠ABC =90°,AB =3,AC =5∴∠AB 'D =90°,AB '=3,B 'C =2设BD =x ,则B 'D =x ,DC =4-x在Rt △DB 'C 中,由勾股定理可得DB '2+B 'C 2=DC 2即x 2+22=(4-x )2解得x =1.5∴B 'D =1.5, DC =2.5同理AD =32√5解法二(相似三角形思路):由已知条件易证△ABC ∽△DB 'C 则AB BC =DB 'B 'C 则B 'D =1.5 再由勾股定理求解线段AD 长【模型变形】已知在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,AB =3,BC =4,AD 为∠BAC 的角平分线,求DC 长解法(思路):过点D 作DE ⊥AC ,垂足为点E则△ABD ≌△AED (AAS )(证明过程略)∴∠ABD =∠AED ,BD =DE ,AB =AE剩余步骤参照模型一解法一模型二:沿过点C 的直线翻折使得点B 的对应点B '落在斜边AC 上,折痕为CD ,求线段AD ,DC ,AB '长度。
解法一(勾股定理思路):由已知条件可知,BD =B 'D ,BC =B 'C∵∠ABC =90°, BC =4,AC =5∴∠CB 'D =90°, B 'C =4,AB '=1设BD =x ,则B 'D =x ,AD =3-x在Rt △ADB '中,由勾股定理可得DB '2+AB '2=AD 2即x 2+12=(3-x )2解得x =43∴B 'D =43, AD =53在Rt △DCB '中,由勾股定理可Q 求得CD 长解法二(相似三角形思路):由已知条件易证△ABC ∽△AB 'D 则AB BC=AB 'B 'D 则B 'D =43 再由勾股定理求解线段CD 长模型三:沿MN 翻折使得点A 与点C 重合,求线段AN ,BM ,MN 长度。
3、2020重庆中考数学三角形翻折变换专题三

三角形翻折变换专题四1、如图,在等腰△ ABC 中, AB = AC ,点 D 和点 E 分别在 AB 和 BC 上,连接 DE ,将△ BDE 沿 DE 翻折,点 B 的对应点 B ′刚好落在 AC 上,若 AB'= 2B'C ,AB =3 , BC =6,则 BE 的长为()2、如图,在等腰 Rt △ABC 中,∠ACB =90°,点 D 为AB 中点,点 E 为AC 上一点,将△ ADE 沿DE 翻 折得到△ A ′DE ,连接 A ′B 、A ′C ,已知 A ′C = ,A ′B = 3,则 S △ABC =()的位置,连接 DE 、 CE 、 AE , DE 交 AC 于点 F ,若 BC =6,AC =8,则 AE 的值为( )A .3B .D .A .B .9C .D .3、 已知 Rt △ ACB 中,点 D 为斜边 AB 的中点,连接 CD ,将△ DCB 沿直线 DC 翻折,使点 B 落在点 EA .B .C .D.4、(2019秋?九龙坡区校级期中)如图,在△ ABC 中,过点 A 作AE ⊥BC 于点E ,过点 C 作CD ⊥AB 于点 D ,AE 、CD 交于点 F ,连接 BF 将△ ABF 沿BF 翻折得到△ A ′ BF ,点 A ′恰好落在线段 AC 上.若 AE=EC ,AC =3 ,BE =1,则△ A ′CF 的面积是()A . 2B .C .6、如图,在 ABC 中, AB AC 2, BAC 300,将 ABC 沿AC 翻折得到 ACD ,延长 AD 交BC的延长线于点 E ,则 ABE 的面积为( )D .1B. 3 32C.3D.4 3 1248、如图,△ ABC 中,∠BAC =90°,AB =6,AC =8,D 是线段 BC 的中点,连接 AD ,将△ ACD 沿 AD 翻折得到△ AED ,连接 BE ,CE .则 BE 的长为( )1213 14 D.3A. B. C. 5 5 59. ( 2019秋?北碚区校级期中) 如图,在 Rt △ABC 中,∠ACB =90°,BC = + ,点 D 为边 AB 上一点, 连接 CD .将△ ACD 沿直线 CD 翻折至△ ECD ,CE 恰好过 AB 的中点 F .连接 AE 交 CD 的延长线于点 H , 若∠ ACD =15 °,则 DH 的长为()A . B . C . D .110、如图,在△ ABC 中,∠ ABC =30°,∠ ADC = 45°, BD =1,DC = ,将△ ACD 沿 AD 翻折得到△ AED ,连接 BE .则 AB 的长为().A. 3+1B. 3 +32, AB =3,AC =4,点 D 是 BC 的中点,将△ ABD 沿 AD 翻折得到△AED ,连 CE ,则线段CE 的长等于( )A .2B .C .D .C.2.6D. 3 +1211、如图,△ ABC 中,∠ BAC = 90三角形翻折变换专题三答案解析1、一中 2020 届初三上半期考试如图,在等腰△ ABC 中, AB =AC ,点 D 和点 E 分别在 AB 和 BC 上,连接 DE ,将△ BDE 沿 DE 翻折,点B 的对应点 B ′刚好落在 AC 上,若 AB'=2B'C ,AB =3 ,BC =6,则 BE 的长为( )解:如图,过点 A 作 AF ⊥ BC , B'H ⊥ BC ,则 B'H ∥ AF , ∵AB =AC ,AF ⊥BC ,∴BF =CF =3,∴ AF = = =6,∵AB'=2B'C ,∴ AC =3B'C ,∵ AF ∥B'H ,∴ = = ,∴CH =1,B'H =2,∴ BH =5,∵将△ BDE 沿 DE 翻折,∴ BE = B'E ,2 2 2 2 2 ∵B'E 2=B'H 2+EH 2,∴BE 2=4+(5﹣BE )2,∴BE = 故选: D .2、重庆南开中学初 2020 级九年级上期中解:如图,连接 CD ,作 CH ⊥BA ′交 BA ′于 H.A .3C .D .如图,在等腰 Rt △ABC 中,∠ ACB = 90°,点 D 为 AB 中点,点 E 为 AC 上一点,将△ ADE 沿 DE 翻折得 到△ A ′DE ,连接 A ′B 、A ′C ,已知 A ′C = , AB = 3,则 S △ABC =(A .C .D .B . B .9∵∠ ACB=90°, D 是AB 的中点,∴ CD=DA=DB,由翻折的性质可知:DA=DA ′,∴ DA=DB=DC =DA ′,∴A,B,A′,C 四点共圆,∴∠ CA′B+∠A=180°,∵CA=CB,∠ ACB=90°,∴∠ A=45°,∴∠ CA′B=135°,∴∠ CA′H=45°,∵CA′=,∴CH=HA′=1,∴ BC===,∴ S△ABC=?BC?AC=.故选:A.△3、巴蜀初2020 届九上周练习(五)已知Rt△ ACB 中,点 D 为斜边AB 的中点,连接CD,将△ DCB 沿直线DC 翻折,使点 B 落在点 E 的位置,连接DE、CE、AE,DE 交AC 于点F,若BC=6,AC=8,则AE的值为()解:连接BE交CD 于点G,∵ Rt△ACB 中,AB==10,∵点 D 为斜边AB 的中点,∴ CD =AD=BD=AB=5,设DG x ,在△ DBG中,BG2 BD2 DG 2,在△ CBG 中,BG2 BC2 CG2∴52 x2=62(5 x)2∴ x=7,DG 7∴DM==4,55∴ BG EG ∵点 D 为斜边AB 的中点,∴ AE=2DG =,故选:B.解:∵ AE⊥BC,CD⊥ AB,∴∠ ADF =∠ CEF =90°,∵∠ AFD=∠ CFE ,∴∠ DAF =∠ FCE,∵∠ BAE=∠ ECF,AE=EC,∠ AEB=∠ CEF=90°,∴△ AEB≌△ CEF(ASA),∴ BE=EF=1,由翻折可知:∠ BAF=∠ BA′ F,BA′=BA,∴∠ BAA′=∠ BA′A,∵EA=EC,∠ AEC=90°,AC=3 ∴∠ EAC =∠ ECA=45°,AE=EC=3,∴AF=AE﹣EF=2,∵∠ BAA′=∠ BAF+∠EAC,∠BA′A=∠ A′BC+∠ACE,∴∠ BAF=∠A′BC,∴∠A′BC=∠FA′B,∴ FA′∥ BC,∴ S△A′CF=?FA′?EF=×2×1=1,故选:D.5、重庆八中2019-2020 学年度初2020 级九年级上半期4、重庆实验外国语学校2019-2020 学年度初2020 级初三上数学半期如图,在△ ABC 中,过点 A 作AE⊥ BC 于点E,过点C作CD⊥AB于点D,AE、CD交于点F,连接BF 将△ ABF沿BF翻折得到△ A′BF,点A′恰好落在线段AC 上.若AE=EC,AC= 3 ,BE=1,则△A.2 C.D.1A′CF 的面积是()B.6、重庆育才中学初 2020 级九上半期数学测试C.3BCEADD.3ABEC7、重庆巴蜀中学 2091-2020 学年度初 2020 级初三上数学半期如图,在 ABC 中, AB AC 2, BAC 300,将 ABC 沿AC 翻折得到 ACD ,延长 AD 交BC 的8、如图,△ ABC 中,∠BAC =90°,AB =6,AC =8,D 是线段 BC 的中点,连接 AD ,将△ ACD 沿 AD翻折得到△ AED ,连接 BE ,CE .则 BE 的长为( ). D.4 32 112 A. 5B.13 5C.154 延长线于点 E ,则 ABE 的面积为() A.5 34B. 32 3解:如图中,延长 AD 交 EC 于 H .∵AE =AE ,∠ HAE =∠ HAC ,∴ AH ⊥EC ,∴ EH = CH ,∵ BD = CD ,∴ BE = 2DH , ∵DA =DC ,∴∠ ACB =∠ CAH ,∵∠ CAB =∠ AHC =90°,∴△ ACB ∽△ HAC ,= ,∴ = ,∴ AH = ,∴ DH = AH ﹣ AD = ﹣5= ,∴ BE = 2DH =9、重庆西南大学附中 2019-2020 学年初三数学上 半期 如图,在 Rt △ABC 中,∠ACB =90°,BC = + ,点 D 为边 AB 上一点,连接 CD .将△ ACD 沿直线CD 翻折至△ ECD ,CE 恰好过 AB 的中点 F .连接 AE 交 CD 的延长线于点 H ,若∠ ACD =15°,则 DH解:由翻折可知: DE =DA ,AC =AE ,∴CD 是 AE 的垂直平分线, ∴CH ⊥AE ,∵∠ ECD =∠ ACD =15°,∴∠ ACF =30°,∠ ACB =90°解:如图连接 BE 交AD 于 O ,作 AH ⊥BC 于H .在 Rt △ ABC 中,∵ AC =4,AB =3, ∴BC ==5,∵ CD =DB ,∴AD =DC =DB = ,∵ ?BC ?AH = ?AB?AC ,C .D .∴∠ B =60°∵ F 是AB 中点,∴ FC =FB =FA ,∴△ BCF 是等边三角形, ∴∠ BFC =60°, ∴∠ FAC = 30°,∴∠ FDC =∠ DCA+∠DAC =45°, ∴∠ HDA =45°, ∵ DA =DE , DH ⊥AE , EDH =∠ADH = 45°,∴ DH =HE ,设 DH =x , EFD =60°∴EF =x ,FC =BC = + ,∵ BC = + ,∠ BAC = 30°,∴ AC = ( + ), ∴ x+ + = ( + ),解得 x = .∴ DH∴∠ ∵∠∴ ED = x , ∴ CE = EF+FC = x+ + ,∵ AC = CE , 的长为 .故选: B .10、(2017?无锡)如图,△ ABC 中,∠ BAC =90°,AB =3, AC = 4,点 D 是BC 的中点,将△ ABD 沿 ADC .D .B . A .A .2B .∴AH = ,∵ AE = AB ,∴点 A 在BE 的垂直平分线上.∵ DE =DB =DC , ∴点 D 在 BE 的垂直平分线上,△ BCE 是直角三角形,∴ AD 垂直平分线段 BE , ∵ ?AD?BO = ?BD ?AH ,∴ OB = ,∴ BE = 2OB = ,11、(2018?武昌区校级自主招生)如图,在△ ABC 中,∠ ABC =30°,∠ A ( 2018?武昌区校级自主招生)如图,在△ ABC 中,∠ABC =30°,∠ADC =45°,BD =1,DC = ,将△ ACD 沿AD 翻折得到△ AED , 连接 BE .则 AB 的长为( ).方法 1:由题意△ ADE ≌△ ADC ,∴ ED = CD = ,∠ ADE =∠ ADC = 45°,∠ EDC =90°,∵ BD =1, 在 Rt △EDB 中, tan ∠EBD = ,∴∠ EBC =60°.在 AB 上截取点 F ,使得 DF = BD ,∴∠ DBF =∠DFB = 30°,BD =FD =1,易知 BF = , ∴∠ FDA =∠ FAD = 15°, AF =DF = 1,∴ AB =BF+AF = +1, 方法二:作 AM ⊥BC 于 M .∵∠ ADM =45°,∴ DM =AM ,∵∠ ABM =30°, ∴ tan30°= = = ,∴AM =,在 Rt △ABM 中, sin30°=,∴ AB =2AM = +1在 Rt △ BCE 中, EC == = ,故选:D .C. 2. 6A. 3+1。
2020重庆中考数学专题训练四翻折变换

GFEDCBA专题训练四----- 翻折变换12.如图,矩形ABCD 中,AB = 8,BC = 6,点P 为AD 边上一点,将△ABP 沿着BP 翻折至△EBP ,PE 与CD 交于点O ,且OE = OD ,则AP 的长为( A ) A .4.8 B .5 C .4.5 D .412如图,将边长为4的正方形纸片ABCD 折叠,使得点A 落在边CD 的中点E 处,折痕为FG ,点F 、G 分别在边AD 、BC 上,则折痕FG 的长度为( A )A.B.C.D.12.如图,在正方形ABCD 的边AB 上取一点E ,连接CE ,将△BCE 沿CE 翻折,点B 恰好与对角线AC 上的点F 重合,连接DF ,若BE =2,则△CDF 的面积是( B ) A .1B .3C .6D .12.如图,在△ABC 中,∠ABC =45°,AB =3,AD ⊥BC 于点D ,BE ⊥AC 于点E ,AE =1,连接DE ,将△AED 沿直线沿直线AE 翻折至△ABC 所在的平面内,得到△AEF ,连接DF ,过点D 作DG ⊥DE 交BE 于G ,.则四边形DFEG 的周长为( D )A .8 B. C. D.12.如图.△ABC 中.∠ABC =90°,BC =l .将△ABC 绕点B 逆时针旋转得△A 'BC '.C '恰好落在AC 边的中点处.连接AA ',取AA '的中点D ,则C 'D 的长为(A )A .BCD12.如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,点D 、E 在边BC 上,且∠DAE =60°.将△ADE 沿AE 翻折,点D 的对应点是D ',连接CD ',若BD =4,CE =5,则DE 的长为( B ) A .92BCD.P第1题图第5题图第6题B′G FEDCB A12.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,将边AC沿CE翻折,使点A落在AB上的点D处;再将边BC沿CF翻折,使点B落在CD的延长线上的点处,两条折痕与斜边AB分别交于点E、F,则△B′DE的面积为(B)A.925B.1825C.1225D.242512.(2019•重庆一中三模)等腰Rt△ABC,AC=BC=4,点E,F分别在边AB、BC上,将三角形沿EF翻折,使得B刚好落在AC的中点D处,则EF的长为( A )A.6B.6C.3D.312.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=12,点D为BC边上的中点,将△ACD沿AD对折,使点C落在同一平面内的点C'处,连接BC',则BC'的长为( D ).A.325BC.5D.36512.重庆实验外国语学校2019-2020学年度九年级上期第一次月考答案B12.西南大学附属中学2020级第一次月考数学试题答案C12、如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=,4D为斜边AB的中点,E是直角边AC上的点,连接DE,将△MDE沿DE折叠至A DE¢,A E¢交BD于点F,若△DEF的面积是△ADE面积的一半,则DE为( C ).2ABC.4D第7题第8题图B第9题图ACAC答案A12.如图,ABC ∆中,75BAC ∠=︒,7BC =,ABC ∆的面积为14,D 为BC 边上一动点(不与B , C 重合)将ABD ∆和ACD ∆分别沿直线AB ,AC 翻折得到ABE ∆与ACF ∆,那么AEF ∆的面积最小值为( C ) A .1 B .2 C .4 D .8解:如图,过E 作EG AF ⊥,交FA 的延长线于G ,由折叠可得,AF AE AD ==,BAE BAD ∠=∠,DAC FAC ∠=∠, 又75BAC ∠=︒, 150EAF ∴∠=︒, 30EAG ∴∠=︒,1122EG AE AD ∴==, 当AD BC ⊥时,AD 最短,7BC =,ABC ∆的面积为14,∴当AD BC ⊥时,4AD AE AF ===,AEF ∴∆的面积最小值为:1142422AF EG ⨯=⨯⨯=,答案C12.在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =3,BC =4,翻折∠C ,使点C 落在边AB 的中点D 处,折痕为EF (E 、F 分别在边AC 、BC 上),则EF 的长为( D )A .B .C .D .解:作CH ⊥AB 于H ,∵∠ACB =90°,AC =3,BC =4,∴AB =5,CH =,∵∠ACB =90°,AD =DB ,∴CD =AB =,∴CG =,∵∠ECG +∠CEG =90°,∠ECG +∠GCF =90°,∴∠GCF =∠CEG ,∵CD =BD ,∴∠CBD =∠CEG ,∴△ECF ∽△BCA ,∴=,即=,解得EF =12题图答案D5.3A 4.3B 412.37C 或 515.37D 或答案C12.如图所示,ABCD 为边长为1的正方形,E 为BC 边的中点,沿AP 折叠使D 点落在AE 上的H 处,连接PH 并延长交BC 于F 点,则EF 的长为( A )5.2A -5.2B3C 1.4D答案D答案A答案B.8A 32.5B 48.5C .10D答案C答案A答案B答案B。
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三角形翻折变换专题四1、如图,在等腰△ ABC 中, AB = AC ,点 D 和点 E 分别在 AB 和 BC 上,连接 DE ,将△ BDE 沿 DE 翻折,点 B 的对应点 B ′刚好落在 AC 上,若 AB'= 2B'C ,AB =3 , BC =6,则 BE 的长为()2、如图,在等腰 Rt △ABC 中,∠ACB =90°,点 D 为AB 中点,点 E 为AC 上一点,将△ ADE 沿DE 翻 折得到△ A ′DE ,连接 A ′B 、A ′C ,已知 A ′C = ,A ′B = 3,则 S △ABC =()的位置,连接 DE 、 CE 、 AE , DE 交 AC 于点 F ,若 BC =6,AC =8,则 AE 的值为( )A .3B .D .A .B .9C .D .3、 已知 Rt △ ACB 中,点 D 为斜边 AB 的中点,连接 CD ,将△ DCB 沿直线 DC 翻折,使点 B 落在点 EA .B .C .D.4、(2019秋?九龙坡区校级期中)如图,在△ ABC 中,过点 A 作AE ⊥BC 于点E ,过点 C 作CD ⊥AB 于点 D ,AE 、CD 交于点 F ,连接 BF 将△ ABF 沿BF 翻折得到△ A ′ BF ,点 A ′恰好落在线段 AC 上.若 AE=EC ,AC =3 ,BE =1,则△ A ′CF 的面积是()A . 2B .C .6、如图,在 ABC 中, AB AC 2, BAC 300,将 ABC 沿AC 翻折得到 ACD ,延长 AD 交BC的延长线于点 E ,则 ABE 的面积为( )D .1B. 3 32C.3D.4 3 1248、如图,△ ABC 中,∠BAC =90°,AB =6,AC =8,D 是线段 BC 的中点,连接 AD ,将△ ACD 沿 AD 翻折得到△ AED ,连接 BE ,CE .则 BE 的长为( )1213 14 D.3A. B. C. 5 5 59. ( 2019秋?北碚区校级期中) 如图,在 Rt △ABC 中,∠ACB =90°,BC = + ,点 D 为边 AB 上一点, 连接 CD .将△ ACD 沿直线 CD 翻折至△ ECD ,CE 恰好过 AB 的中点 F .连接 AE 交 CD 的延长线于点 H , 若∠ ACD =15 °,则 DH 的长为()A . B . C . D .110、如图,在△ ABC 中,∠ ABC =30°,∠ ADC = 45°, BD =1,DC = ,将△ ACD 沿 AD 翻折得到△ AED ,连接 BE .则 AB 的长为().A. 3+1B. 3 +32, AB =3,AC =4,点 D 是 BC 的中点,将△ ABD 沿 AD 翻折得到△AED ,连 CE ,则线段CE 的长等于( )A .2B .C .D .C.2.6D. 3 +1211、如图,△ ABC 中,∠ BAC = 90三角形翻折变换专题三答案解析1、一中 2020 届初三上半期考试如图,在等腰△ ABC 中, AB =AC ,点 D 和点 E 分别在 AB 和 BC 上,连接 DE ,将△ BDE 沿 DE 翻折,点B 的对应点 B ′刚好落在 AC 上,若 AB'=2B'C ,AB =3 ,BC =6,则 BE 的长为( )解:如图,过点 A 作 AF ⊥ BC , B'H ⊥ BC ,则 B'H ∥ AF , ∵AB =AC ,AF ⊥BC ,∴BF =CF =3,∴ AF = = =6,∵AB'=2B'C ,∴ AC =3B'C ,∵ AF ∥B'H ,∴ = = ,∴CH =1,B'H =2,∴ BH =5,∵将△ BDE 沿 DE 翻折,∴ BE = B'E ,2 2 2 2 2 ∵B'E 2=B'H 2+EH 2,∴BE 2=4+(5﹣BE )2,∴BE = 故选: D .2、重庆南开中学初 2020 级九年级上期中解:如图,连接 CD ,作 CH ⊥BA ′交 BA ′于 H.A .3C .D .如图,在等腰 Rt △ABC 中,∠ ACB = 90°,点 D 为 AB 中点,点 E 为 AC 上一点,将△ ADE 沿 DE 翻折得 到△ A ′DE ,连接 A ′B 、A ′C ,已知 A ′C = , AB = 3,则 S △ABC =(A .C .D .B . B .9∵∠ ACB=90°, D 是AB 的中点,∴ CD=DA=DB,由翻折的性质可知:DA=DA ′,∴ DA=DB=DC =DA ′,∴A,B,A′,C 四点共圆,∴∠ CA′B+∠A=180°,∵CA=CB,∠ ACB=90°,∴∠ A=45°,∴∠ CA′B=135°,∴∠ CA′H=45°,∵CA′=,∴CH=HA′=1,∴ BC===,∴ S△ABC=?BC?AC=.故选:A.△3、巴蜀初2020 届九上周练习(五)已知Rt△ ACB 中,点 D 为斜边AB 的中点,连接CD,将△ DCB 沿直线DC 翻折,使点 B 落在点 E 的位置,连接DE、CE、AE,DE 交AC 于点F,若BC=6,AC=8,则AE的值为()解:连接BE交CD 于点G,∵ Rt△ACB 中,AB==10,∵点 D 为斜边AB 的中点,∴ CD =AD=BD=AB=5,设DG x ,在△ DBG中,BG2 BD2 DG 2,在△ CBG 中,BG2 BC2 CG2∴52 x2=62(5 x)2∴ x=7,DG 7∴DM==4,55∴ BG EG ∵点 D 为斜边AB 的中点,∴ AE=2DG =,故选:B.解:∵ AE⊥BC,CD⊥ AB,∴∠ ADF =∠ CEF =90°,∵∠ AFD=∠ CFE ,∴∠ DAF =∠ FCE,∵∠ BAE=∠ ECF,AE=EC,∠ AEB=∠ CEF=90°,∴△ AEB≌△ CEF(ASA),∴ BE=EF=1,由翻折可知:∠ BAF=∠ BA′ F,BA′=BA,∴∠ BAA′=∠ BA′A,∵EA=EC,∠ AEC=90°,AC=3 ∴∠ EAC =∠ ECA=45°,AE=EC=3,∴AF=AE﹣EF=2,∵∠ BAA′=∠ BAF+∠EAC,∠BA′A=∠ A′BC+∠ACE,∴∠ BAF=∠A′BC,∴∠A′BC=∠FA′B,∴ FA′∥ BC,∴ S△A′CF=?FA′?EF=×2×1=1,故选:D.5、重庆八中2019-2020 学年度初2020 级九年级上半期4、重庆实验外国语学校2019-2020 学年度初2020 级初三上数学半期如图,在△ ABC 中,过点 A 作AE⊥ BC 于点E,过点C作CD⊥AB于点D,AE、CD交于点F,连接BF 将△ ABF沿BF翻折得到△ A′BF,点A′恰好落在线段AC 上.若AE=EC,AC= 3 ,BE=1,则△A.2 C.D.1A′CF 的面积是()B.6、重庆育才中学初 2020 级九上半期数学测试C.3BCEADD.3ABEC7、重庆巴蜀中学 2091-2020 学年度初 2020 级初三上数学半期如图,在 ABC 中, AB AC 2, BAC 300,将 ABC 沿AC 翻折得到 ACD ,延长 AD 交BC 的8、如图,△ ABC 中,∠BAC =90°,AB =6,AC =8,D 是线段 BC 的中点,连接 AD ,将△ ACD 沿 AD翻折得到△ AED ,连接 BE ,CE .则 BE 的长为( ). D.4 32 112 A. 5B.13 5C.154 延长线于点 E ,则 ABE 的面积为() A.5 34B. 32 3解:如图中,延长 AD 交 EC 于 H .∵AE =AE ,∠ HAE =∠ HAC ,∴ AH ⊥EC ,∴ EH = CH ,∵ BD = CD ,∴ BE = 2DH , ∵DA =DC ,∴∠ ACB =∠ CAH ,∵∠ CAB =∠ AHC =90°,∴△ ACB ∽△ HAC ,= ,∴ = ,∴ AH = ,∴ DH = AH ﹣ AD = ﹣5= ,∴ BE = 2DH =9、重庆西南大学附中 2019-2020 学年初三数学上 半期 如图,在 Rt △ABC 中,∠ACB =90°,BC = + ,点 D 为边 AB 上一点,连接 CD .将△ ACD 沿直线CD 翻折至△ ECD ,CE 恰好过 AB 的中点 F .连接 AE 交 CD 的延长线于点 H ,若∠ ACD =15°,则 DH解:由翻折可知: DE =DA ,AC =AE ,∴CD 是 AE 的垂直平分线, ∴CH ⊥AE ,∵∠ ECD =∠ ACD =15°,∴∠ ACF =30°,∠ ACB =90°解:如图连接 BE 交AD 于 O ,作 AH ⊥BC 于H .在 Rt △ ABC 中,∵ AC =4,AB =3, ∴BC ==5,∵ CD =DB ,∴AD =DC =DB = ,∵ ?BC ?AH = ?AB?AC ,C .D .∴∠ B =60°∵ F 是AB 中点,∴ FC =FB =FA ,∴△ BCF 是等边三角形, ∴∠ BFC =60°, ∴∠ FAC = 30°,∴∠ FDC =∠ DCA+∠DAC =45°, ∴∠ HDA =45°, ∵ DA =DE , DH ⊥AE , EDH =∠ADH = 45°,∴ DH =HE ,设 DH =x , EFD =60°∴EF =x ,FC =BC = + ,∵ BC = + ,∠ BAC = 30°,∴ AC = ( + ), ∴ x+ + = ( + ),解得 x = .∴ DH∴∠ ∵∠∴ ED = x , ∴ CE = EF+FC = x+ + ,∵ AC = CE , 的长为 .故选: B .10、(2017?无锡)如图,△ ABC 中,∠ BAC =90°,AB =3, AC = 4,点 D 是BC 的中点,将△ ABD 沿 ADC .D .B . A .A .2B .∴AH = ,∵ AE = AB ,∴点 A 在BE 的垂直平分线上.∵ DE =DB =DC , ∴点 D 在 BE 的垂直平分线上,△ BCE 是直角三角形,∴ AD 垂直平分线段 BE , ∵ ?AD?BO = ?BD ?AH ,∴ OB = ,∴ BE = 2OB = ,11、(2018?武昌区校级自主招生)如图,在△ ABC 中,∠ ABC =30°,∠ A ( 2018?武昌区校级自主招生)如图,在△ ABC 中,∠ABC =30°,∠ADC =45°,BD =1,DC = ,将△ ACD 沿AD 翻折得到△ AED , 连接 BE .则 AB 的长为( ).方法 1:由题意△ ADE ≌△ ADC ,∴ ED = CD = ,∠ ADE =∠ ADC = 45°,∠ EDC =90°,∵ BD =1, 在 Rt △EDB 中, tan ∠EBD = ,∴∠ EBC =60°.在 AB 上截取点 F ,使得 DF = BD ,∴∠ DBF =∠DFB = 30°,BD =FD =1,易知 BF = , ∴∠ FDA =∠ FAD = 15°, AF =DF = 1,∴ AB =BF+AF = +1, 方法二:作 AM ⊥BC 于 M .∵∠ ADM =45°,∴ DM =AM ,∵∠ ABM =30°, ∴ tan30°= = = ,∴AM =,在 Rt △ABM 中, sin30°=,∴ AB =2AM = +1在 Rt △ BCE 中, EC == = ,故选:D .C. 2. 6A. 3+1。