3、2020重庆中考数学三角形翻折变换专题三
3、2020重庆中考复习数学几何最值专题训练三(含答案解析)
2020年重庆中考数学最值专题训练三（含答案）1、（2018•明光市二模）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别为BC，AD上的点，过点E、F 的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分．过点A作AG⊥EF于点G，连接DG，则线段DG长的最小值为（）A．2B．2﹣2C．2D．2﹣22、如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是边AB、CD上的动点，且AE＝CF，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，连接DG，则线段DG长的最小值为．3、（2019•南充模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，O是BC边的中点，P是正方形内一动点，且OP＝2，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°到DQ，连接AP，CQ，PQ，则线段PQ的最小值为．4、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，且AE＝4，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为．5、（2019•惠山区一模）如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF，OF．则线段OF长的最小值（）A．2B．+2C．2﹣2 D．56、如图，在边长为2的正方形ABCD中，点O为AB中点，以AB为直径在正方形ABCD内部作半圆，E为半圆上任意一点（不与A．B重合），连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得列CF，连接DE、BF，OF．则线段OF长的最小值为．7、（2019秋•颍州区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为5，O是AB边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，将线段CE绕C点逆时针旋转90°得CF，连OF，线段OF的最小值为．8、（2019•太原二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，点D是AC边的中点，E是直线BC上一动点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接AF、EF，在点E的运动过程中线段AF的最小值为．9、（2019秋•锡山区期中）已知：如图，△ABC是边长为6的等边三角形，直线AF⊥BC于F，点D是直线AF上一动点，以BD为边在BD的右侧作等边△BDE，连接EF，则EF的最小值为．10、（2019•台州模拟）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝a（a＞1），E是BC上的一点，且BE＝1，点F是边AB上的任意一点．连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°，得到线段EG．在点F从点B运动到点A的过程中，若要点G能落在对角线AC上，则a的最大值为．11、如图1，四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE＝1：2，连接DG、BE、BG，则2BG+BE的最小值为．2020年重庆中考数学最值专题训练三（含答案）1、（2018•明光市二模）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别为BC，AD上的点，过点E、F 的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分．过点A作AG⊥EF于点G，连接DG，则线段DG长的最小值为（）A．2B．2﹣2C．2D．2﹣2解：连接AC，BD交于O，∵过点E、F的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分，∴EF过点O，∵AG⊥EF，∴∠AGO＝90°，∴点G在以AO为直径的半圆弧上，设AO的中点为M，连接DM交半圆弧于G，则此时，DG最小，∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，∴AC＝8，AC⊥BD，∴AO＝OD＝AC＝4，∴AM＝OM＝AO＝2，∴DM＝＝2，∴DG＝2﹣2，故选：B．2、如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是边AB、CD上的动点，且AE＝CF，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，连接DG，则线段DG长的最小值为．解：如图，过点F作FM⊥AB于M，过点G作GH⊥AD于H，GN⊥AB于N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝2，∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，且FM⊥AB，GH⊥AD，GN⊥AB，∴四边形BCFM，四边形AHGN是矩形，∴BM＝CF，NG＝AH，AN＝GH，MF＝BC＝2，∵将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，∴EG＝EF，∠GEF＝90°，∴∠NEG+∠FEM＝90°，且∠NGE+∠NEG＝90°，∴∠FEM＝∠NGE，且∠N＝∠FME＝90°，EF＝EG，∴△EGN≌△EFM（AAS）∴NE＝MF＝2，EM＝NG，设AE＝CF＝a，∴EM＝2﹣2a＝NG＝AH，AN＝2﹣a＝GH，∴HD＝AD﹣AH＝2﹣（2﹣2a）＝2a，∵GD＝＝∴当a＝时，GD有最小值为，3、（2019•南充模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，O是BC边的中点，P是正方形内一动点，且OP＝2，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°到DQ，连接AP，CQ，PQ，则线段PQ的最小值为．解：连接OD，如图所示：∵DQ＝DP，∠PDQ＝90°，∴PQ＝DP，OD＝＝＝5，∵OP+DP≥OD，∴DP≥OD﹣OP＝5﹣2＝3，∴PQ≥3，∴线段PQ的最小值为3．4、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，且AE＝4，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为2．解：将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，连接HG，过点H作HM⊥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝120°，∵将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，∴EF＝EG＝4，AE＝EH，∠AEH＝∠FEG＝120°，∴∠DEH＝60°，∠AEF＝∠HEG，且EF＝EG，AE＝EH，∴△AEF≌△HEG（SAS）∴∠A＝∠EHG＝120°＝∠AEH，∴AD∥HG，∴点G的轨迹是过点H且平行于AD的直线，∴当DG⊥HG时，线段GD长度有最小值，∵∠HEM＝60°，EH＝4，HM⊥AD，∴EM＝2，MH＝EM＝2，∴线段GD长度的最小值为2，5、（2019•惠山区一模）如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF，OF．则线段OF长的最小值（）A．2B．+2C．2﹣2 D．5解法一：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，∴OC＝，∴OD＝，∴OM＝，∵OF+MF≥OM，∴OF≥．故选：D．解法二：如图，由于OE＝2，所以E点可以看作是以O为圆心，2为半径的半圆上运动，延长BA到P 点，使得AP＝OC，连接PE，∵AE＝CF，∠P AE＝∠OCF，∴△P AE≌△OCF，∴PE＝OF，当O、E、P三点共线时，PE最小，OP＝＝＝5，∴PE＝OF＝OP﹣OE＝5﹣2，∴OF的最小值是5﹣2．6、如图，在边长为2的正方形ABCD中，点O为AB中点，以AB为直径在正方形ABCD内部作半圆，E为半圆上任意一点（不与A．B重合），连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得列CF，连接DE、BF，OF．则线段OF长的最小值为．解：由于OE＝2，所以E点可以看作是以O为圆心，2为半径的半圆上运动，延长BA到P点，使得AP＝OC，连接PE，∵AE＝CF，∠P AE＝∠OCF，∴△P AE≌△OCF（SAS），∴PE＝OF，当PE最小时，为O、E、P三点共线，OP＝＝＝5，∴PE＝OF＝OP﹣OE＝5﹣2，∴OF的最小值是5﹣2．7、（2019秋•颍州区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为5，O是AB边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，将线段CE绕C点逆时针旋转90°得CF，连OF，线段OF的最小值为．解：如图，连接CO，将线段CO绕点C逆时针旋转90°得CM，连接FM，OM，则∠ECF＝∠OCM＝90°，∴∠ECO＝∠FCM，∵CE＝CF，CO＝CM，∴△ECO≌△FCM（SAS），∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD中，AB＝5，O是AB边的中点，∴OB＝2.5，∴OC＝＝，∴OM＝OC＝，∵OF+MF≥OM，∴OF≥﹣2．∴线段OF的最小值为﹣2．8、（2019•太原二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，点D是AC边的中点，E是直线BC上一动点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接AF、EF，在点E的运动过程中线段AF的最小值为+1．解：如图，作DM⊥BC于M，FJ⊥DM于J交AB于N．∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，∴AC＝2BC＝4，AB＝BC＝2，∵AD＝DC．DM∥AB，∴DM＝AB＝，BM＝CM＝1，易证四边形BMJN是矩形，∴JN＝BM＝1，∵∠FDJ+∠EDM＝90°，∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠FDJ＝∠DEM，∵∠FJD＝∠DME＝90°，∴△FJD≌△DME（AAS），∴FJ＝DM＝，∴FN＝FJ+JN＝1+，∴点F在直线l上运动（直线l与直线AB之间的距离为+1），根据垂线段最短可知，当AF⊥直线l时，AF的值最短，最小值为+1，9、（2019秋•锡山区期中）已知：如图，△ABC是边长为6的等边三角形，直线AF⊥BC于F，点D是直线AF上一动点，以BD为边在BD的右侧作等边△BDE，连接EF，则EF的最小值为．解：如图，取AB中点H，连接DH，∵△ABC，△BDE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠DBE＝∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠EBC，∵△ABC是等边三角形，AF⊥BC，∴BF＝BC＝AB＝3，∠BAF＝30°，∵H是AB中点，∴AH＝BH＝AB＝BF＝3，且∠ABD＝∠EBC，BD＝BE，∴△BHD≌△BFE（SAS）∴EF＝DH，∴当DH取最小值时，EF有最小值，当DH⊥AF时，DH有最小值，∴DH＝AH＝，∴EF的最小值为，10、（2019•台州模拟）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝a（a＞1），E是BC上的一点，且BE＝1，点F是边AB上的任意一点．连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°，得到线段EG．在点F从点B运动到点A的过程中，若要点G能落在对角线AC上，则a的最大值为．解：如图，当点G落在对角线AC上，过点G作GH⊥BC于点H，∵△EFB≌△GEH，∴GH＝BE＝1，EH＝BF，∴CH＝BC﹣BE﹣EH＝a﹣1﹣BF，∵△CHG∽△CBA，∴，∴，∴BF＝∵点F是边AB上的任意一点，∴0≤BF≤AB，∴0≤≤4，∴≤a≤∴a的最大值为11、如图1，四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE＝1：2，连接DG、BE、BG，则2BG+BE的最小值为4．解：延长BE、GD相交于点H．∵矩形ECGF、矩形ABCD，∴∠ECG＝∠BCD＝90°，∴∠DCG＝∠BCE∵CD：CB＝2：4＝1：2，CG：CE＝1：2，∴CD：CB＝CG：CE，∵∠DCG＝∠BCE∴△DCG∽△BCE，∴，∠BEC＝∠DGC，∴DG＝BE作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延长线于M．易证△ECN∽△CGM，∴＝＝2，∵EN＝AB＝2，∴CM＝1，∴点G的运动轨迹是直线MG，作点D关于直线GM的对称点G′，连接BG′交GM于G，此时BG+GD的值最小，最小值＝BG′∵DG＝BE，∴BE＝2DG，∴2BG+BE＝2BG+2DG＝2（BG+DG）∴2BG+BE的最小值就是2（BG+DG）的最小值．∵BG′＝＝2，∴2BG+BE的最小值为4。
中考数学点对点-几何折叠翻折类问题(解析版)
专题33 中考几何折叠翻折类问题专题知识点概述1.轴对称（折痕）的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。
（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。
也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题（1）求角度大小；（2）求线段长度；（3）求面积；（4）其他综合问题。
3.解决折叠问题的思维方法（1）折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。
（2）折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。
（3）折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。
这对解决问题有很大帮助。
（4）折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。
（5）折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。
一般试题考查点圆最值问题。
（6）折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。
例题解析与对点练习【例题1】（2020•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，∴∠C＝40°，∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，∴∠AB'B＝∠B＝50°，∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°。
2、2020重庆中考数学三角形翻折变换专题二
三角形翻折变换专题训练二1.如图．△ABC中．∠ABC＝90°，BC＝l．将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′．C′恰好落在AC边的中点处．连接AA′，取AA′的中点D，则C′D的长为( )A ．B ．374C ．52D．3542．（2019•大连二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在AC上，点E在AB上，将△ADE沿直线DE翻折，点A的对称点A'落在BC上，在CD＝1，则A'B'的长是（）A．1 B．C．D．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在边BC上，且∠DAE＝60°．将△ADE沿AE翻折，点D的对应点是D'，连接CD'，若BD＝4，CE＝5，则DE的长为（）A．92B．21C．13D．234．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D 处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则△B′DE的面积为（）A．925B．1825C．1225D．24255、（2019•重庆一中三模）等腰Rt△ABC,AC=BC=4,点E,F分别在边AB、BC上,将三角形沿EF翻折,使得B 刚好落在AC的中点D处,则EF的长为( )A．556B．56C．253D．253B CE第6题6．已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝4，D 为斜边AB 上的中点，E 是直角边AC 上的一点，连接DE ，将△ADE 沿DE 折叠至△A ′DE ，A ′E 交BD 于点F ，若△DEF 的面积是△ADE 面积的一半，则DE 的长为（ ）．.2A .25B .22C .4D7．（2018•崇明县二模）如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，点D 是BC 的中点，将△ABD ，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，联结CE ，那么线段CE 的长等于( ) A ．125B ．135C ．145D ．1658．（2018秋•坪山区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝，BC ＝，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处，再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别 交于点E 、F ，则线段B ′F 的长为( )． A ． 22-B ．32-C ．22D ．239．（2018•沙坪坝区模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是边AB 的中点，连结CD ，将△BCD 沿直线CD 翻折得到△ECD ，连结AE ．若AC ＝6，CD ＝5，则线段AE 的长为（ ）12.5A 13.5B 14.5C 11.5D10、（2018秋•扬中市期末）如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点E是AB中点，将△CAE 沿着直线CE翻折，得到△CDE，连接AD，则线段AD的长等于（）A．8 B．C．D．1011、（2018•西华县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为．13、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）A．B．9 C．D．8111.37A 10111.37B 5111.37C 6111.37D三角形翻折变换专题训练二答案解析1.如图．△ABC中．∠ABC＝90°，BC＝l．将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'．C'恰好落在AC边的中点处．连接AA'，取AA'的中点D，则C'D的长为(A )A ．B ．374C．52D．3542．（2019•大连二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在AC上，点E在AB上，将△ADE沿直线DE翻折，点A的对称点A'落在BC上，在CD＝1，则A'B'的长是（）A．1 B．C．D．解：∵AC＝4，CD＝1，∴AD＝AC﹣CD＝3．∵将△ADE沿直线DE翻折，点A的对称点A'落在BC上，∴A′D＝AD＝3．在Rt△A′CD中，∵∠C＝90°，∴A′C＝＝＝2，∴A′B＝BC﹣A′C＝4﹣2．故选：D．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在边BC上，且∠DAE＝60°．将△ADE沿AE翻折，点D的对应点是D'，连接CD'，若BD＝4，CE＝5，则DE的长为（B）A．92B．21C．13D．234．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D 处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则△B′DE的面积为（B）A．925B．1825C．1225D．2425第6题5、（2019•重庆一中三模）等腰Rt △ABC,AC=BC=4,点E,F 分别在边AB 、BC 上,将三角形沿EF 翻折,使得B 刚好落在AC 的中点D 处,则EF 的长为( A )A ．556B ．56C ．253D ．253解：作EG ⊥BC 于G ，作DH ⊥AB 于H ，如图所示：则∠BGE ＝∠EGF ＝∠AHD ＝90°， 由折叠的性质得：DF ＝BF ，△BEF ≌△DEF ，∵D 是AC 的中点，∴CD ＝AD ＝AC ＝2， ∵等腰Rt △ABC ，AC ＝BC ＝4，∴∠A ＝∠B ＝45°，AB ＝4，∴△ADH 是等腰直角三角形，∴DH ＝AH ＝AD ＝，设DF ＝BF ＝x ，在Rt △CDF 中，CF ＝BC ﹣BF ＝4﹣x ，由勾股定理得：x 2＝（4﹣x ）2+22，解得：x ＝，∴BF ＝，CF ＝， 设EG ＝y ，∵EG ⊥BC ，∴△BEG 是等腰直角三角形，∴BG ＝EG ＝y ，BE ＝y ，则AE ＝4﹣y ，∵四边形BFDE 的面积＝△ABC 的面积﹣△CDF 的面积﹣△ADE 的面积， ∴2××y ＝×4×4﹣××2﹣（4﹣y ）×，解得：y ＝，∴BG ＝EG ＝，∴FG ＝BF ＝BG ＝，在Rt △EFG 中，由勾股定理得：EF ＝＝；6．已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝4，D 为斜边AB 上的中点，E 是直角边AC 上的一点，连接DE ，将△ADE 沿DE 折叠至△A ′DE ，A ′E 交BD 于点F ，若△DEF 的面积是△ADE 面积的一半，则DE 的长为（ C ）．.2A .25B .22C .4DM解：如图连接BE第5题图BCE∵∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝4∴AB ＝4 ∵D 是AB 中点∴BD ＝AD ＝2∵折叠∴AD ＝A 'D ＝2，S △ADE ＝S △A 'DE ∵S △DEF ＝S △ADE ∴AD ＝2DF ，S △DEF ＝S △A 'DE∴DF ＝，A 'F ＝EF ∴BF ＝DF ＝，且A 'F ＝EF∴A 'D ＝BE ＝ ∴根据勾股定理得：CE ＝2 作DM AE 可得DE=227．（2018•崇明县二模）如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，点D 是BC 的中点，将△ABD ，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，联结CE ，那么线段CE 的长等于( ) A ．125B ．135C ．145D ．165解：如图连接BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∵AC ＝8，AB ＝6， ∴BC ＝＝10，∵CD ＝DB ，∴AD ＝DC ＝DB ＝5，∵BC •AH ＝AB •AC ，∴AH ＝，∵AE ＝AB ，∴点A 在BE 的垂直平分线上．∵DE ＝DB ＝DC ，∴点D 在BE 使得垂直平分线上，△BCE 是直角三角形，∴AD 垂直平分线段BE ，∵AD •BO ＝BD •AH ，∴OB ＝， ∴BE ＝2OB ＝，在Rt △BCE 中，EC ＝＝＝，8．（2018秋•坪山区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝，BC ＝，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处，再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B ′F 的长为( )． A ． 22-B ．32-C ．22D ．23解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝，BC ＝，∴AB ＝＝3 ∵S △ABC ＝＝∴3×CE ＝×∴CE ＝∵BE ＝＝2 ∵折叠∴BF ＝B 'F ，∠ACE ＝∠DCE ，∠BCF ＝∠B 'CF ，∵∠ACE +∠DCE +∠BCF +∠B 'CF ＝90°∴∠DCE +∠FCB '＝45° ∴∠FCE ＝45°，且CE ⊥AB ∴∠ECF ＝∠EFC ＝45°∴EF ＝EC ＝∴BF ＝B 'F ＝BE ﹣EF ＝2﹣9．（2018•沙坪坝区模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是边AB 的中点，连结CD ，将△BCD 沿直线CD 翻折得到△ECD ，连结AE ．若AC ＝6，CD ＝5，则线段AE 的长为（ ）12.5A 13.5B 14.5C 11.5D解：如图，连接BE ，延长CD 交BE 与点H ，作CF ⊥AB ，垂足为F ．∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是边AB 的中点，CD ＝5，∴AD ＝DB ＝CD ＝5，AB ＝10． ∵AC ＝6，∴BC ＝＝8．∵S △ABC ＝AC •BC ＝AB •CF ，∴×6×8＝×10×CF ，解得CF ＝．∵将△BCD 沿直线CD 翻折得到△ECD ，∴BC ＝CE ，BD ＝DE ，∴CH ⊥BE ，BH ＝HE ．∵AD ＝DB ＝DE ，∴△ABE 为直角三角形，∠AEB ＝90°，∴S △ECD ＝S △ACD ，∴DC •HE ＝AD •CF ， ∵DC ＝AD ，∴HE ＝CF ＝．∴BE ＝2EH ＝．∵∠AEB ＝90°，∴AE ＝＝＝．10、（2018秋•扬中市期末）如图△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点E 是AB 中点，将△CAE 沿着直线CE 翻折，得到△CDE ，连接AD ，则线段AD 的长等于（ ）A．8 B．C．D．10解：如图，延长CE交AD于F，连接BD，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∵∠ACB＝90°，CE为中线，∴CE＝AE＝BE，∴∠ACF＝∠BAC，又∵∠AFC＝∠BCA＝90°，∴△ABC∽△CAF，∴＝，即＝，∴CF＝6.4，∴EF＝CF﹣CE＝1.4，由折叠可得，AC＝DC，AE＝DE，∴CE垂直平分AD，又∵E为AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴BD＝2EF＝2.8，∵AE＝BE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE，∠BDE＝∠DBE，又∵∠DAE+∠ADE+∠BDE+∠DBE＝180°，∴∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝90°，∴Rt△ABD中，AD＝＝＝，故选：C．11、（2018•西华县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为或．解：如图1所示；点E与点F重合时．在Rt△ABC中，BC＝＝＝4．由翻折的性质可知；AE＝AC＝3、DC＝DE．则EB＝2．设DC＝ED＝x，则BD＝4﹣x．在Rt△DBE中，DE2+BE2＝DB2，即x2+22＝（4﹣x）2．解得：x＝．∴DE＝．如图2所示：∠EDB＝90时．由翻折的性质可知：AC＝AE，∠C＝∠AED＝90°．∵∠C＝∠AED＝∠CDE＝90°，∴四边形ACDE为矩形．又∵AC＝AE，∴四边形ACE′为正方形．∴CD＝AC＝3．∴DB＝BC﹣DC＝4﹣3＝1．∵DF∥AC，∴△BDF∽△BCA．∴＝，即．解得：DF＝．点D在CB上运动，假设∠DBE＝90°，则点A到BE的距离为BC的长，而AE＝AC＜BC，故∠DBE不可能为直角．故答案为：或．答案A13、（2018•高新区模拟）如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝5，AC ＝12，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（ ）A ．B ．9C ．D ．解：如图连接BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∵AC ＝12，AB ＝5，∴BC ＝＝13，∵CD ＝DB ，∴AD ＝DC ＝DB ＝6.5，∵BC •AH ＝AB •AC ，∴AH ＝，∵AE ＝AB ，∴点A 在BE 的垂直平分线上．∵DE ＝DB ＝DC ，∴点D 在BE 的垂直平分线上，△BCE 是直角三角形，∴AD 垂直平分线段BE ， ∵AD •BO ＝BD •AH ，∴OB ＝，∴BE ＝2OB ＝，在Rt △BCE 中，EC ＝＝＝，故选：D ．8111.37A 10111.37B 5111.37C 6111.37D 答案D答案B11答案B。
3、2020重庆中考数学三角形翻折变换专题三教程文件
3、2020重庆中考数学三角形翻折变换专题三三角形翻折变换专题四1、如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D和点E分别在AB和BC上，连接DE，将△BDE沿DE翻折，点B的对应点B′刚好落在AC上，若AB'＝2B'C，AB＝3，BC＝6，则BE的长为（）A．3 B．C．D．2、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，点E为AC上一点，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，连接A′B、A′C，已知A′C＝，A′B＝3，则S△ABC＝（）A．B．9 C．D．3、已知Rt△ACB中，点D为斜边AB的中点，连接CD，将△DCB沿直线DC翻折，使点B落在点E的位置，连接DE、CE、AE，DE交AC于点F，若BC＝6，AC＝8，则AE的值为（）A．B．C．D．4、（2019秋•九龙坡区校级期中）如图，在△ABC中，过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CD⊥AB于点D，AE、CD交于点F，连接BF将△ABF沿BF翻折得到△A′BF，点A′恰好落在线段AC上．若AE＝EC，AC＝3，BE＝1，则△A′CF的面积是（）A．2B．C．D．16、如图，在ABC∆中，2AB AC ==，030BAC ∠=，将ABC ∆沿AC 翻折得到ACD ∆，延长AD 交BC 的延长线于点E ，则ABE ∆的面积为（ ）53.A 33.B + .3C 431.D -AC8、如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，D 是线段BC 的中点，连接AD ，将△ACD 沿AD 翻折得到△AED ，连接BE ，CE ．则BE 的长为（ ）12.5A 13.5B 14.5C .3DB9.（2019秋•北碚区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝+，点D为边AB上一点，连接CD．将△ACD沿直线CD翻折至△ECD，CE恰好过AB的中点F．连接AE交CD的延长线于点H，若∠ACD＝15°，则DH的长为（）A．B．C． D．110、如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，∠ADC＝45°，BD＝1，DC＝，将△ACD沿AD翻折得到△AED，连接BE．则AB的长为（）．.3+1 A3.3+2B.2.6C1.3+2D11、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）A．2 B．C．D．三角形翻折变换专题三答案解析1、一中2020届初三上半期考试如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D和点E分别在AB和BC上，连接DE，将△BDE沿DE翻折，点B的对应点B′刚好落在AC上，若AB'＝2B'C，AB＝3，BC＝6，则BE的长为（）A．3 B．C．D．解：如图，过点A作AF⊥BC，B'H⊥BC，则B'H∥AF，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF＝3，∴AF＝＝＝6，∵AB'＝2B'C，∴AC＝3B'C，∵AF∥B'H，∴＝＝，∴CH＝1，B'H＝2，∴BH＝5，∵将△BDE沿DE翻折，∴BE＝B'E，∵B'E2＝B'H2+EH2，∴BE2＝4+（5﹣BE）2，∴BE＝故选：D．2、重庆南开中学初2020级九年级上期中如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，点E为AC上一点，将△ADE＝沿DE翻折得到△A′DE，连接A′B、A′C，已知A′C＝，A′B＝3，则S△ABC （）A．B．9 C．D．解：如图，连接CD，作CH⊥BA′交BA′于H．∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝DA＝DB，由翻折的性质可知：DA＝DA′，∴DA＝DB＝DC＝DA′，∴A，B，A′，C四点共圆，∴∠CA′B+∠A＝180°，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝45°，∴∠CA′B＝135°，∴∠CA′H＝45°，∵CA′＝，∴CH＝HA′＝1，∴BC＝＝＝，＝•BC•AC＝．故选：A．∴S△ABC3、巴蜀初2020届九上周练习（五）已知Rt△ACB中，点D为斜边AB的中点，连接CD，将△DCB沿直线DC翻折，使点B落在点E的位置，连接DE、CE、AE，DE交AC于点F，若BC＝6，AC＝8，则AE的值为（）GA ．B ．C ．D ．解：连接BE 交CD 于点G ，∵Rt △ACB 中，AB ＝＝10，∵点D 为斜边AB 的中点，∴CD ＝AD ＝BD ＝AB ＝5，设DG x =，在△DBG 中，222BG BD DG =-，在△CBG 中，222BG BC CG =- ∴22225=6(5)x x ---∴7=5x ，75DG =∴DM ＝＝4， ∴BG EG =∵点D 为斜边AB 的中点，∴AE ＝2DG ＝，故选：B ．4、重庆实验外国语学校2019-2020学年度初2020级初三上数学半期如图，在△ABC 中，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，AE 、CD 交于点F ，连接BF 将△ABF 沿BF 翻折得到△A ′BF ，点A ′恰好落在线段AC 上．若AE ＝EC ，AC ＝3，BE ＝1，则△A ′CF 的面积是（ ）A ．2B ．C ．D ．1解：∵AE ⊥BC ，CD ⊥AB ，∴∠ADF ＝∠CEF ＝90°，∵∠AFD ＝∠CFE ，∴∠DAF ＝∠FCE ，∵∠BAE ＝∠ECF ，AE ＝EC ，∠AEB ＝∠CEF ＝90°，∴△AEB ≌△CEF （ASA ），∴BE ＝EF ＝1，由翻折可知：∠BAF ＝∠BA ′F ，BA ′＝BA ，∴∠BAA ′＝∠BA ′A ，∵EA＝EC，∠AEC＝90°，AC＝3∴∠EAC＝∠ECA＝45°，AE＝EC＝3，∴AF＝AE ﹣EF＝2，∵∠BAA′＝∠BAF+∠EAC，∠BA′A＝∠A′BC+∠ACE，∴∠BAF＝∠A′BC，∴∠A′BC＝∠FA′B，∴FA′∥BC，∴S△A′CF＝•FA′•EF＝×2×1＝1，故选：D．5、重庆八中2019-2020学年度初2020级九年级上半期6、重庆育才中学初2020级九上半期数学测试如图，在ABC∆中，2AB AC==，030BAC∠=，将ABC∆沿AC翻折得到ACD∆，延长AD交BC 的延长线于点E，则ABE∆的面积为（）53.A33.B+.3C431.D-A EC7、重庆巴蜀中学2091-2020学年度初2020级初三上数学半期8、如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，D 是线段BC 的中点，连接AD ，将△ACD 沿AD 翻折得到△AED ，连接BE ，CE ．则BE 的长为（ ）．12.5A 13.5B 14.5C .3DBCED解：如图中，延长AD 交EC 于H ．∵AE ＝AE ，∠HAE ＝∠HAC ，∴AH ⊥EC ，∴EH ＝CH ，∵BD ＝CD ，∴BE ＝2DH ， ∵DA ＝DC ，∴∠ACB ＝∠CAH ，∵∠CAB ＝∠AHC ＝90°，∴△ACB ∽△HAC ， ∴＝，∴＝，∴AH ＝，∴DH ＝AH ﹣AD ＝﹣5＝，∴BE ＝2DH ＝．9、重庆西南大学附中2019-2020学年初三数学上 半期 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝+，点D 为边AB 上一点，连接CD ．将△ACD 沿直线CD 翻折至△ECD ，CE 恰好过AB 的中点F ．连接AE 交CD 的延长线于点H ，若∠ACD ＝15°，则DH 的长为（ ）A．B．C．D．1解：由翻折可知：DE＝DA，AC＝AE，∴CD是AE的垂直平分线，∴CH⊥AE，∵∠ECD＝∠ACD＝15°，∴∠ACF＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°∵F是AB中点，∴FC＝FB＝FA，∴△BCF是等边三角形，∴∠BFC＝60°，∴∠FAC＝30°，∴∠FDC＝∠DCA+∠DAC＝45°，∴∠HDA＝45°，∵DA＝DE，DH ⊥AE，∴∠EDH＝∠ADH＝45°，∴DH＝HE，设DH＝x，∴ED＝x，∵∠EFD＝60°∴EF＝x，FC＝BC＝+，∴CE＝EF+FC＝x++，∵BC＝+，∠BAC＝30°，∴AC＝（+），∵AC＝CE，∴x++＝（+），解得x＝．∴DH的长为．故选：B．10、（2017•无锡）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）A．2 B．C．D．解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝3，∴BC＝＝5，∵CD＝DB，∴AD＝DC＝DB＝，∵•BC•AH＝•AB•AC，∴AH＝，∵AE＝AB，∴点A在BE的垂直平分线上．∵DE＝DB＝DC，∴点D在BE的垂直平分线上，△BCE是直角三角形，∴AD垂直平分线段BE，∵•AD•BO＝•BD•AH，∴OB＝，∴BE＝2OB＝，在Rt△BCE中，EC＝＝＝，故选：D．11、（2018•武昌区校级自主招生）如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，∠A（2018•武昌区校级自主招生）如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，∠ADC＝45°，BD＝1，DC＝，将△ACD沿AD翻折得到△AED，连接BE．则AB的长为（）．.3+1 A3.3+2B.2.6C1.3+2D方法1：由题意△ADE≌△ADC，∴ED＝CD＝，∠ADE＝∠ADC＝45°，∠EDC＝90°，∵BD＝1，在Rt△EDB中，tan∠EBD＝，∴∠EBC＝60°．在AB上截取点F，使得DF＝BD，∴∠DBF＝∠DFB＝30°，BD＝FD＝1，易知BF＝，∴∠FDA＝∠FAD＝15°，AF＝DF＝1，∴AB＝BF+AF＝+1，方法二：作AM⊥BC于M．∵∠ADM＝45°，∴DM＝AM，∵∠ABM＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴AM＝，在Rt△ABM中，sin30°＝，∴AB＝2AM＝+1．。
2020年重庆中考数学几何专练之折叠50汇编
折叠练习（50 道含解析）一．填空题（共50 小题）1.如图，在△ABC 中，CA＝3，CB＝4，AB＝5，点D 是BC 的中点，将△ABC 沿着直线EF 折叠，使点A与点D重合，折痕交A B 于点E，交A C 于点F，那么s in∠BED 的值为．2.如图，矩形A BCD中，P为A B上一动点（P与A，B不重合），将△BPC沿C P翻折至△B1PC，BP1 与AD 相交于点E，CB1 与AD 相交于点F，连接BB1 交AD 于Q，若EQ ＝8，QF＝5，BC＝20 ，则B1F 的长＝，折痕C P 的长＝．3.如图，正方形纸片ABCD 沿直线BE 折叠，点C 恰好落在点G 处，连接BG 并延长，交CD于点H，延长E G交A D于点F，连接F H．若A F＝FD＝6cm，则F H的长为cm．4.如图，已知D是等边△ABC 边A B 上的一点，现将△ABC 折叠，使点C与D重合，折痕为E F，点E、F 分别在A C 和B C 上，如果A D：DB＝1：2，则C E：CF 的值为．5.如图，在矩形ABCD 中，AB：BC＝3：4，点E 是对角线BD 上一动点（不与点B，D 重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A，B的对应点G，F分别在直线AD与BC 上，当△DEF 为直角三角形时，CN：BN 的值为．6.如图，已知正方形ABCD 的边长为6，E 为BC 的中点，将△ABE 沿直线AE 折叠后，点B 落在点F处，AF 交对角线B D 于点G，则F G 的长是．7.如图，在正方形ABCD 中，E，F 分别为BC，CD 的中点，连接AE，BF 交于点G，将△BCF 沿B F 对折，得到△BPF，延长F P 交B A 延长于点Q，若P F＝，则Q B+AE 的值为．8.如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 为BC 的中点，点F 在AB 上，AF＝2BF，点G是AD 边上一点，将△CDE 沿DE 折叠得△C′DE，将△AFG 沿FG 折叠，点A 的对应点A′刚好落在D C′上，则c os∠DA′G＝．9.四边形ABCD 中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝5，AD＝8，P 是AD 边上的一点，连结PC，将△ABP 沿直线BP 对折得到△A'BP，A'点恰好落在线段PC 上，当∠BCP＝∠D 时，△PBC 的面积为．10.如图，在矩形纸片ABCD 中，将AB 沿B M 翻折，使点A落在BC 上的点N 处，BM 为折痕，连接MN；再将CD 沿CE 翻折，使点D 恰好落在MN 上的点F 处，CE 为折痕，连接E F 并延长交B M 于点P，若A D＝8，AB＝5，则线段P E 的长等于．11.如图，在矩形ABCD 中，点N 为边BC 上不与B、C 重合的一个动点，过点N 作MN⊥BC 交AD 于点M，交BD 于点E，以MN 为对称轴折叠矩形ABNM，点A、B 的对应点分别是G、F，连接EF、DF，若AB＝6，BC＝8，当△DEF 为直角三角形时，CN 的长为．12.如图，在四边形ABCD 中，∠C+∠D＝210°，E、F 分别是AD，BC 上的点，将四边形CDEF 沿直线EF 翻折，得到四边形C′D′EF，C′F 交AD 于点G，若△EFG 有两个角相等，则∠EFG °．13.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G处（不与B、D重合），折痕为E F，若B C＝4，BG＝3，则G E的长为．14.如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，点D，E 分别在AC，BC 上，且∠CDE＝∠B，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处，CF 与DE 交于点G．下列结论：①AB＝2CF；②若∠ABC＝50°，则∠AFD＝60°；③若AB＝4，则DG•GE＝1；④若AC＝4，BC＝3，则CE＝其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）15.如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，CD 是△ABC 的中线，E 是AC 上一动点，将△AED 沿ED 折叠，点A 落在点F 处，EF 线段CD 交于点G，若△CEG 是直角三角形，则C E＝．16.如图，在菱形A BCD 中，tan A＝，M，N 分别在边A D，BC 上，将四边形A MNB 沿MN 翻折，使AB 的对应线段EF 经过顶点D，延长NF 交DC 于点H，当EF⊥AD时，的值为．17.如图，菱形A BCD 的边长为6，∠A＝60°，点O在A B 上，且B O＝2，点P是C D 上一动点，将四边形B CPO 沿直线O P 折叠，点B的对应点是E，连接D E，当D E 的长度最小时，CP 的长为．18.如图在等边△ABC 中，D、E 分别是B C、AC 上的点，且A E＝CD，AD 与B E 相交于F，CF⊥BE．将△ABF 沿A B 翻折，得△ABG，M 为B F 中点，连接G M，若A F＝2，则△ BGM 的面积为．19.已知，如图，在矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝12，点E 为线段AB 上一动点（不与点A、点B重合），先将矩形A BCD沿C E折叠，使点B落在点F处，CF交A D于点H，若折叠后，点B的对应点F落在矩形A BCD 的对称轴上，则A E 的长是．20.如图，在菱形A BCD 中，tan A＝，M，N 分别在边A D，BC 上，将四边形A MNB 沿MN 翻折，使A B 的对应线段E F 经过顶点D，当E F⊥AD 时，的值为．21.已知正方形A BCD 中，AC、BD 交于点O，＝，连A E，将△ADE 沿A D 翻折，得△ADE′，点F是A E 的中点，连C F、DF、E′F．若D E＝2 ，则四边形C DE′F 的面积是．22.如图：菱形A BCD 中，点E在边A B 上，将△BCE 沿C E 折叠，点B对应点为点F恰好使CF⊥AD，点P 为CD 边上一点，直线BA，PF 交于点G，若CE＝4，BE＝5，DP＝2，则A G 的长为．23.如图，已知菱形ABCD 中，∠B＝60°，E，F 分别为边AD，边BC 上一点，将四边形ABFE沿EF折叠得四边形EFGH，若GH⊥BC，垂足为点I，D E+CF＝AB，则＝．24.如图，在菱形A BCD 中，AB＝2，∠BAD＝120°，点E，F 分别是边A B，BC 上的动点，沿E F 所在直线折叠△BEF，使点B的对应点B'始终落在边C D 上，则点A，E 间的距离d 的取值范围是．25.如图，在菱形A BCD中，AB＝5，tan D＝，点E在B C上运动（不与B，C重合），将四边形A ECD 沿直线A E 翻折后，点C落在C′处，点D′落在D处，C′D′与A B 交于点F，当C′D'⊥AB 时，CE 长为．26.如图，四边形A BCD 是矩形，AD＝5，AB＝，点E在C D 边上，DE＝2，连接B E，F 是B E 边上的一点，过点F作F G⊥AB 于G，连接D G，将△ADG 沿D G 翻折的△PDG，设E F＝x，当P落在△EBC内部时（包括边界），x的取值范围是．27.在边长为的正方形A BCD 中，点E是边C D 上一点，连接A E，过点D作D M⊥AE于点M，连接M C．把△DMC 沿D M 翻折，点C的对应点为C′，DC′交A E 于点P，连接A C'、BC′，已知S△ABC′＝1，则△PMC'的周长为．28.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 为对角线AC 上一点，连接DE，作EF⊥DE交B C 于点F，且C F＝，把△ADE 沿D E 翻折得到△A′DE，边A′D 交E F、AC 分别于点G、H，则△A′FG 的面积为．29.如图，等腰Rt△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，以BC 为底边作等腰△DCB，DC＝DB，CD 与AB 交于E，将△DCB 沿DC 折叠，点B 落到点F 处，连接FD 刚好经过点A，连接FB，分别交AC 于G，交CD 于H．在下列结论中：①∠CBG＝30°；②△FDB 是等腰直角三角形；③FA＝FG；④S△ABC+S△ADE＝S△DCB；⑤BH＝CE+CG．其中正确的结论有．（填写所有正确的序号）．30.如图，平行四边形A BCD 中，多点B作B E⊥AD 于点E，过点E作E F⊥AB 于点F，与CD 的延长线交于点G，连接B G，且B E＝BC，BG＝5 ，∠BGF＝45°，EG＝3，若点M是线段B F上的一个动点，将△MEF沿M E所在直线翻折得到△MEF′，连接C F′，则CF′长度的最小值是．31.如图，四边形ABCD 是矩形纸片，AB＝2．对折矩形纸片ABCD，使AD 与BC 重合，折痕为EF；展平后再过点B 折叠矩形纸片，使点A 落在EF 上的点N，折痕BM 与EF 相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN 交BC 于点G．有如下结论：①∠ABN＝60°；②AM＝1；③AB⊥CG；④△BMG 是等边三角形；⑤P 为线段B M 上一动点，H 是B N 的中点，则P N+PH 的最小值是．其中正确结论的序号是．32.在直角坐标系中，矩形O ABC的边O A、OC在坐标轴上，已知B（4，2），M、N分别是边O C、OA 上的点．将△OMN 沿着直线MN 翻折，点O的对应点是O′．若O′落在△OAC 内部，过O′作平行于x 轴的直线交CO 于点E，交AC 于点F，若O′是EF 的中点，则O′横坐标x的取值范围为．33.如图，把正方形纸片对折得到矩形ABCD，点E 在BC 上，把△ECD 沿ED 折叠，使点C 恰好落在AD 上点C′处，点M、N分别是线段AC′与线段BE 上的点，把四边形ABNM 沿NM 向下翻折，点A 落在DE 的中点A′处．若原正方形的边长为12，则线段MN 的长为．34.如图，一张矩形纸片ABCD 中，AB＝3，BC＝6，点E、F 分别在边AD、BC 上，将纸片ABCD 折叠，折痕为EF，使点C 落在边AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，有以下四个结论：①四边形C FHE 是菱形；②EC 平分∠DCH；③线段B F 的取值范围是≤BF≤3；④当点H与点A重合时，EF＝．以上结论中，正确的是．（填序号）．35.已知如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 的中点，连结BE，将△ABE 沿着BE 翻折得到△FBE，EF 交BC 于点H，延长BF、DC 相交于点G，若DG＝16，BC＝24，则FH ＝．36.在矩形ABCD 中，AB＝3，点P 在对角线AC 上，直线l 过点P，且与AC 垂直交AD 边于点E．（1）如图1，若直线l 过点B，把△ABE 沿直线l 翻折，点A 与矩形ABCD 的对称中心O 重合，求BC 的长；（2）如图2，若直线l与A B 相交于点F且A P＝AC，设A D 的长为x，五边形B CDEF 的面积为S，①求S 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；②探索：是否存在这样的x，使得以A为圆心，以x﹣长为半径的圆与直线l相切？若存在，请求出x 的值若不存在，请说明理由．37.如图，在正方形ABCD 中，AD＝6，点E 是对角线AC 上一点，连接DE，过点E 作EF⊥ED，连接D F 交A C 于点G，将△EFG 沿E F 翻折，得到△EFM．连接D M．交E F 于点N．若A F＝2．则△EMN 的面积是．38.如图，有一直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，CD⊥AB 于点D．F，G 分别是线段AD，BD 上的点，H，Ⅰ分别是线段AC，BC 上的点，沿HF，GI 折叠，使点A，B 恰好都落在线段C D 上的点E处．当F G＝EG 时，AF 的长是．39.如图，把矩形ABCD 沿EF，GH 折叠，使点B，C 落在AD 上同一点P 处，∠FPG＝90°，△A′EP 的面积是8，△D′PH 的面积是4，则矩形A BCD 的面积等于．40.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D 为斜边AB 上的一点，连接CD，将△BCD 沿C D 翻折，使点B落在点E处，点F为直角边A C 上一点，连接D F，将△ ADF 沿D F 翻折，点A恰好与点E重合．若D C＝5，则A F＝．41.如图，矩形纸片ABCD 中，AB＝8cm，BC＝12cm，将纸片沿EF 折叠，使点A 落在BC边上的A′处，折痕分别交边A B、AD 于点F、E，且AF＝5．再将纸片沿E H 折叠，使点D落在线段E A′上的D′处，折痕交边C D于点H．连接F D'，则F D'的长是cm．42.如图，在矩形A BCD 中，AB＝3，点E为边C D 上一点，将△ADE 沿A E 所在直线翻折，得到△AFE，点F恰好是B C 的中点，M 为A F 上一动点，作M N⊥AD 于N，则BM+AN的最小值为．43.如图，矩形ABCD 与菱形EFGH 的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C 与点O 重合，折痕MN 恰好过点G，若，EF＝2，∠H＝120°，则DN 的长为．44.如图，在▱ABCD 中，AB＝6，BC＝6 ，∠D＝30°，点E是A B 边的中点，点F是BC 边上一动点，将△BEF 移沿直线E F 折叠，得到△GEF，当F G∥AC 时,BF 的长为．45.如图，将矩形A BCD 沿对角线B D 所在直线翻折后，点A与点E重合，且E D 交B C 于点F，连接A E．如果t an∠DFC＝，那么的值是．46.如图，将一张矩形纸片A BCD 沿对角线B D 折叠，点C的对应点为C′，再将所折得的图形沿E F 折叠，使得点D和点A重合．若A B＝3，BC＝4，则折痕E F 的长为．47.如图所示，在菱形纸片ABCD 中，AB＝4，∠BAD＝60°，按如下步骤折叠该菱形纸片：第一步：如图①，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 的对应点A′恰好落在边CD 上，折痕EF 分别与边AD、AB 交于点E、F，折痕EF 与对应点A、A′的连线交于点G．第二步：如图②，再将四边形纸片BCA′F 折叠使点C 的对应点C′恰好落在A′F 上，折痕MN 分别交边CD、BC 于点M、N．第三步：展开菱形纸片ABCD ，连接GC ′，则GC ′最小值是．48.如图，在边长为5的正方形A BCD 中，点E在边B C 上，连接A E，过D作D F∥AE 交BC 的延长线于点F，过点C作C G⊥DF 于点G，延长A E、GC 交于点H，点P是线段DG上的任意一点（不与点D、点G重合），连接C P，将△CPG沿C P翻折得到△CPG'，连接A G'．若C H ＝1，则A G'长度的最小值为．49.如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．点M、N 分别在边AB、BC 上，沿直线M N将△ABC折叠，点B落在点P处，如果A P∥BC且A P＝4，那么B N＝．50.如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 上一点，若△ADE 沿直线AE 翻折，使点D 落在BC 边上点D′处．F 为A D 上一点，且D F＝CD'，EF 与B D 相交于点G，AD′与B D 相交于点H．D′E∥BD，HG＝4，则B D＝．一．填空题（共50 小题）1.如图，在△ABC 中，CA＝3，CB＝4，AB＝5，点D 是BC 的中点，将△ABC 沿着直线EF 折叠，使点A 与点D 重合，折痕交AB 于点E，交AC 于点F，那么sin∠BED 的值为．【分析】先根据翻折变换的性质得到△DEF≌△AEF，根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是直角三角形，根据相似三角形的性质得到D H＝，BH＝，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵△DEF 是△AEF 翻折而成，∴△DEF≌△AEF，∴AE＝DE，∵CA＝3，CB＝4，AB＝5，∴CA2+CB2＝32+42＝52＝AB2，∴△ABC 是直角三角形，∵点D 是BC 的中点，∴CD＝BD＝2，过D 作DH⊥AB 于H，∴∠BHD＝∠C＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BDH∽△BAC，∴＝，∴DH＝，BH＝，∴AH＝，设A E＝DE＝x，则E H＝﹣x，在R t△DEH 中，由勾股定理得，DH2+EH2＝DE2，即（）2+（﹣x）2＝x2，解得x＝，∴sin∠BED＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质、勾股定理的逆定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．2.如图，矩形A BCD中，P为A B上一动点（P与A，B不重合），将△BPC沿C P翻折至△B1PC，BP1 与AD 相交于点E，CB1 与AD 相交于点F，连接BB1 交AD 于Q，若EQ ＝8，QF＝5，BC＝20 ，则B1F 的长＝ 5 ，折痕C P 的长＝．【分析】如图，作∠EFB1 的平分线交EB1 于T，连接TQ．首先证明FB1＝FQ＝5，由△ FTQ≌△FTB1，推出TB1＝TQ，∠TQF＝∠TB1F＝90°，设TB1＝TQ＝x，利用勾股定理求出E B1，TB1，FT，再证明△PCB∽△TFB1，推出＝，由此求出P C 即可．【解答】解：如图，作∠EFB1 的平分线交EB1 于T，连接TQ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC＝90°，AD∥BC，∠FQB1＝∠CBB1，由翻折可知：CB＝CB1，∠CB1P＝90°，∴∠CBB1＝∠CB1B，∴∠FQB1＝∠FB1Q，∴FB1＝FQ＝5，∵FQ＝FB1，∠TFQ＝∠TFB1，FT＝FT，∴△FTQ≌△FTB1，∴TB1＝TQ，∠TQF＝∠TB1F＝90°，设TB1＝TQ＝x，在R t△EFB1 中，EB1＝＝＝12，在Rt△ETQ 中，∵ET2＝EQ2+TQ2，∴（12﹣x）2＝82+x2，解得x＝，∴TB1＝，FT＝＝＝∵AD∥CB，∴∠B1FE＝∠FCB，∵∠PCB＝∠FCB，∠B1FT＝∠B1FE，∴∠PCB＝∠B1FT，∵∠PBC＝∠FB1T，∴△PCB∽△TFB1，∴＝，∴ ＝ ，∴PC ＝ ．故 答 案 为 5， ．【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质， 等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．3. 如图，正方形纸片 ABCD 沿直线 BE 折叠，点 C 恰好落在点 G 处，连接 BG 并延长，交CD 于点 H ，延长 E G 交 A D 于点 F ，连接 F H ．若 A F ＝FD ＝6cm ，则 F H 的长为cm ．【分析】先证明 Rt △ABF ≌Rt △GBF ，得到∠AFB ＝∠GFB ，FA ＝FG，再证明 Rt △FGH ≌Rt △FDH ，得到∠GFH ＝∠DFH ，于是∠BFH ＝∠BFG +∠GFH ＝180°＝90°， 根据△ABF ∽△DFH ，列出比例所以△ABF ∽△DFH ，， 求出 F H ＝． 【解答】解：如图，连接 BF ．∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝BC ＝AF +FD ＝12cm ．由折叠可知，BG ＝BC ＝12cm ，∠BGE ＝∠BCE ＝90°．∴AB ＝GB ．在 Rt △ABF 和 Rt △GBF 中BF ＝BF ，AB ＝GB∴Rt △ABF ≌Rt △GBF （HL ）．∴∠AFB ＝∠GFB ，FA ＝FG ，又∵AF ＝FD ，∴FG＝FD．同理可证Rt△FGH≌Rt△FDH，∴∠GFH＝∠DFH，∴∠BFH＝∠BFG+∠GFH＝180°＝90°，∴∠AFB+∠DFH＝90°．又∵∠AFB+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DFH．又∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF∽△DFH，∴，在R t△ABF 中，由勾股定理，得B F＝，∴，∴FH＝．故答案为3．【点评】本题考查了三角形折叠问题，熟练运用三角形全等和勾股定理、相似三角形的性质是解题的关键．4.如图，已知D是等边△ABC 边A B 上的一点，现将△ABC 折叠，使点C与D重合，折痕为E F，点E、F 分别在A C 和B C 上，如果A D：DB＝1：2，则C E：CF 的值为4：5 ．【分析】首先证明△ADE∽△BFD，表示出ED，DF，EA，DB，AD，BF，再利用相似三角形的性质解决问题即可．【解答】解：∵△EFC 与△EFD 关于EF 对称，∴∠EDF＝∠ECF＝60°，EC＝ED，FC＝FD，∵∠BDF+∠EDF＝∠BDE＝∠A+∠DEA，∵∠EDF＝∠A＝60°，∴∠BDF＝∠DEA，∴△ADE∽△BFD，设AD＝x，CE＝DE＝a，CF＝DF＝b，∵AD：BD＝1：2，∴DB＝2x，∴AB＝3x＝AC＝BC，∴AE＝3x﹣a，BF＝3x﹣b，∵△ADE∽△BFD，∴＝＝，∴＝＝，由前两项得，2ax＝b（3x﹣a），（3x﹣b）＝2x2，即：由后两项得，（3x﹣a）3x（3x﹣a）﹣b（3x﹣a）＝2x2，∴3x（3x﹣a）﹣2ax＝2x2，∴a＝x，∴＝＝，∴CE：CF＝4：5．故答案为4：5．【点评】本题考查翻折变换，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．5.如图，在矩形ABCD 中，AB：BC＝3：4，点E 是对角线BD 上一动点（不与点B，D 重合），将矩形沿过点E的直线M N折叠，使得点A，B的对应点G，F分别在直线A D与BC 上，当△DEF 为直角三角形时，CN：BN 的值为．【分析】分两种情况进行讨论：当∠DFE＝90°时，△DEF 为直角三角形；当∠EDF＝90°时，△DEF 为直角三角形，分别判定△DCF∽△BCD，得到＝，进而得出C F，根据线段的和差关系可得CN 和BN 的长，于是得到结论．【解答】解：∵AB：BC＝3：4，设AB＝3x，BC＝4x，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD＝AB＝3x，AD＝BC＝4x，分两种情况：①如图所示，当∠DFE＝90°时，△DEF 为直角三角形，∵∠CDF+∠CFD＝∠EFN+∠CFD＝90°，∴∠CDF＝∠EFN，由折叠可得，EF＝EB，BN＝FN，∴∠EFN＝∠EBN，∴∠CDF＝∠CBD，又∵∠DCF＝∠BCD＝90°，∴△DCF∽△BCD，∴＝，即＝，∴CF＝x，∴FN＝NB＝＝，∴CN＝CF+NF＝x+x＝x，∴BN＝∴CN：BN＝x：x＝25：7．②如图所示，当∠EDF＝90°时，△DEF 为直角三角形，∵∠CDF+∠CDB＝∠CDF+∠CBD＝90°，∴∠CDF＝∠CBD，又∵∠DCF＝∠BCD＝90°，∴△DCF∽△BCD，∴＝，即＝，∴CF＝x，∴NF＝BN＝＝x，∴CN＝NF﹣CF＝x﹣x＝x，∴CN：BN＝7：25，综上所述，CN：BN 的值为或，故答案为：或．【点评】本题主要考查了折叠问题，矩形的性质以及相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是依据相似三角形的对应边成比例列式计算．解题时注意分类思想的运用．6.如图，已知正方形ABCD 的边长为6，E 为BC 的中点，将△ABE 沿直线AE 折叠后，点B 落在点F处，AF 交对角线B D 于点G，则F G 的长是．【分析】延长AF，EF 分别交CD 于H，M，连接AM，根据折叠的性质得到AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝90°，根据全等三角形的性质得到DM＝FM，设DM＝FM＝x，则CM ＝6﹣x，EM＝3+x，根据勾股定理得到DM＝FM＝2，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：延长AF，EF 分别交CD 于H，M，连接AM，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADC＝90°，∵将△ABE 沿直线AE 折叠后，点B 落在点F 处，∴AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝90°，∴∠ADM＝∠AFM＝90°，AF＝AD，∵AM＝AM，∴Rt△ADM≌Rt△AFM（HL），∴DM＝FM，∵E 为BC 的中点，BC＝CD＝6，∴CE＝3，设DM＝FM＝x，则CM＝6﹣x，EM＝3+x，∵EM2＝CM2+CE2，∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，解得：x＝2，∴DM＝FM＝2，∵∠MFH＝∠ECM＝90°，∠HMF＝∠CME，∴△MFH∽△MCE，∴，∴，∴MH＝2.5，FH＝1.5，∴AH＝6+1.5＝7.5，DH＝4.5，∵AB∥DH，∴△AGB∽△HGD，∴，∴＝，∴AG＝，∴GF＝AF﹣AG＝，故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．7.如图，在正方形ABCD 中，E，F 分别为BC，CD 的中点，连接AE，BF 交于点G，将△BCF 沿B F 对折，得到△BPF，延长F P 交B A 延长于点Q，若P F＝，则Q B+AE 的值为．【分析】作QT⊥BF 于T．解直角三角形求出AE，BF，再利用相似三角形的性质求出BQ 即可解决问题．【解答】解：作QT⊥BF 于T．∵E，F 分别是正方形ABCD 边BC，CD 的中点，∴CF＝BE，在△ABE 和△BCF 中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF，由翻折的性质可知：CF＝FP＝，∴AB＝BC＝，∴BF＝AE＝＝＝，∵QT⊥BF，∴BT＝TF＝，∵∠QTB＝∠C＝∠ABC＝90°，∴∠QBT+∠FBC＝90°，∠FBC+∠BFC＝90°，∴∠QBT＝∠BFC，∴△QTB∽△CBF，∴＝，∴＝，∴QB＝1，∴QB+ AE＝1+ ＝，故答案为．【点评】本题考查翻折变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．8.如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 为BC 的中点，点F 在AB 上，AF＝2BF，点G是A D 边上一点，将△CDE 沿D E 折叠得△C′DE，将△AFG 沿F G 折叠，点A的对应点A′刚好落在D C′上，则c os∠DA′G＝．【分析】延长DC'交AB 于K，连接FK，分别过H，E 作DK 的垂线，垂足分别为M，N，利用正方形的性质及轴对称的性质，先证Rt△EBK≌Rt△EC'K，推出BK＝C'K，在Rt△ ADK 中，利用勾股定理求出BK，C'K 的长，进一步求出FK 的长，在Rt△KFN 与Rt△ KAD 中，利用三角函数求出FN 的长，在Rt△FA'N 中，求出cos∠A'FN 的值，证∠DA'H 与∠A'FN 相等即可．【解答】解：如图，延长DC'交AB 于K，连接EK，分别过H，F 作DK 的垂线，垂足分别为M，N∵四边形ABCD 为正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝6，∵E，F 分别为BC，AB 的中点，∴BE＝EC＝×6＝3，∵AF＝2BF，∴AF＝4，BF＝2，由翻折知，△DCE≌△DC'E，△AFH≌△A'FH，∴∠EC'D＝∠C＝90°，∠A＝∠HA'F＝90°，AF＝A'F＝4，C'E＝CE＝BE＝3，DC'＝DC＝6，∴∠B＝∠EC'K＝90°，又∵KE＝KE，∴Rt△EBK≌Rt△EC'K（HL），∴KB＝KC'，设KB＝KC'＝x，在Rt△ADK 中，AD＝6，AK＝6﹣x，DK＝6+x，∵DK2＝AD2+AK2，∴（6+x）2＝62+（6﹣x）2，解得，x＝，∴BK＝C'K＝，∴DK＝DC'+KC'＝6+ ＝，FK＝BF﹣BK＝2﹣＝，在Rt△KNF 与Rt△KAD 中，sin∠FKN＝＝，即＝，解得，FN＝，∵∠DA'H+∠FA'N＝90°，∠FA'N+∠NFA'＝90°，∴∠HA'D＝∠NFA'，在R t△FA'N 中，cos∠A'FN＝＝＝，即c os∠DA'H＝，故答案为．【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够作出适当的辅助线，构造和相关角相等的角．9.四边形ABCD 中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝5，AD＝8，P 是AD 边上的一点，连结PC，将△ABP 沿直线BP 对折得到△A'BP，A'点恰好落在线段PC 上，当∠BCP＝∠D 时，△PBC 的面积为．【分析】如图，作CH⊥AD 于H．证明CB＝CP＝CD，设CB＝CP＝CD＝x，证明PH＝CH，设PH＝DH＝y，想办法构建方程组即可解决问题．【解答】解：如图，作CH⊥AD 于H．∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC，∠DPC＝∠BCP，∵∠APB＝∠BPC，∠BCP＝∠D，∴∠CBP＝∠BPC，∠CPD＝∠D，∴CB＝CP＝CD，设CB＝CP＝CD＝x，∵CH⊥PD，CP＝CD，∴PH＝CH，设PH＝DH＝y，∵∠A＝∠ABC＝∠AHC＝90°，∴四边形ABCH 是矩形，∴AH＝BC＝x，AB＝CH＝5，则有，解得x＝，∴S△PBC＝•PC•BA′＝××5＝，故答案为．【点评】本题考查翻折变换，平行线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．10.如图，在矩形纸片ABCD 中，将AB 沿B M 翻折，使点A落在BC 上的点N 处，BM 为折痕，连接MN；再将CD 沿CE 翻折，使点D 恰好落在MN 上的点F 处，CE 为折痕，连接E F 并延长交B M 于点P，若A D＝8，AB＝5，则线段P E 的长等于．【分析】根据折叠可得ABNM 是正方形，CD＝CF＝5，∠D＝∠CFE＝90°，ED＝EF，可求出三角形FNC 的三边为3，4，5，在Rt△MEF 中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证△FNC∽△PGF，三边占比为3：4：5，设未知数，通过PG＝HN，列方程求出待定系数，进而求出PF 的长，然后求PE 的长．【解答】解：过点P 作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，由折叠得：ABNM 是正方形，AB＝BN＝NM＝MA＝5，CD＝CF＝5，∠D＝∠CFE＝90°，ED＝EF，∴NC＝MD＝8﹣5＝3，在R t△FNC 中，FN＝＝4，∴MF＝5﹣4＝1，在Rt△MEF 中，设EF＝x，则ME＝3﹣x，由勾股定理得，12+（3﹣x）2＝x2，解得：x＝，∵∠CFN+∠PFG＝90°，∠PFG+∠FPG＝90°，∴△FNC∽△PGF，∴FG：PG：PF＝NC：FN：FC＝3：4：5，设FG＝3m，则PG＝4m，PF＝5m，∴GN＝PH＝BH＝4﹣3m，HN＝5﹣（4﹣3m）＝1+3m＝PG＝4m，解得：m＝1，∴PF＝5m＝5，∴PE＝PF+FE＝5+ ＝，故答案为：．【点评】考查折叠轴对称的性质，矩形、正方形的性质，直角三角形的性质等知识，知识的综合性较强，是有一定难度的题目．11.如图，在矩形ABCD 中，点N 为边BC 上不与B、C 重合的一个动点，过点N 作MN⊥BC 交AD 于点M，交BD 于点E，以MN 为对称轴折叠矩形ABNM，点A、B 的对应点分别是G、F，连接EF、DF，若AB＝6，BC＝8，当△DEF 为直角三角形时，CN 的长为或．【分析】△DEF 为直角三角形时，可能出现三种情况，分别令不同的内角为直角，画出相应的图形，根据折叠的性质和相似三角形的性质进行解答即可．【解答】解：矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝8，∴BD＝＝10，由折叠得：BE＝EF，BN＝NF，∠EBF＝∠EFB，∠BEN＝∠FEN，当△DEF 为直角三角形时，（1）当∠DEF＝90°，则∠BEN＝∠FEN＝45°，不合题意；（2）当∠EFD＝90°时，如图1 所示：∵∠EFN+∠DFC＝90°，∠DFC+∠CDF＝90°，∴∠EFN＝∠CDF＝∠EBN，∵tan∠DBC＝＝＝tan∠CDF＝设CN＝x，则BN＝NF＝8﹣x，FC＝x﹣（8﹣x）＝2x﹣8，∴＝解得：x＝，即C N＝．（3）当∠EDF＝90°时，如图2 所示：易证△BDC∽△DFC，∴CD2＝BC•CF设CN＝x，则BN＝NF＝8﹣x，FC＝（8﹣x）﹣x＝8﹣2x，∴62＝8（8﹣2x）解得：x＝，即C N＝，综上所述，CN 的长为或．故答案为：或．【点评】考查折叠轴对称的性质，进矩形的性质，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质和判定等知识，分情况画出图形进行解答是解决问题的关键．12.如图，在四边形ABCD 中，∠C+∠D＝210°，E、F 分别是AD，BC 上的点，将四边形CDEF 沿直线EF 翻折，得到四边形C′D′EF，C′F 交AD 于点G，若△EFG 有两个角相等，则∠EFG 40°或50 °．【分析】根据题意△EFG 有两个角相等，于是有三种情况，分别令不同的两个角相等，通过折叠和四边形的内角和列方程求出结果即可，最后综合得出答案．【解答】解：（1）当∠FGE＝∠FEG时，设∠EFG＝x，则∠EFC＝x，∠FGE＝∠FEG＝（180°﹣x）在四边形GFCD 中，由内角和为360°得：（180°﹣x）+2x+∠C+∠D＝360°，∵∠C+∠D＝210°，∴（180°﹣x）+2x＝360°﹣210°，解得：x＝40°，（2）当∠GFE＝∠FEG 时，此时AD∥BC 不合题意舍去，（3）当∠FGE＝∠GFE 时，同理有：x+2x+∠C+∠D＝360°，∵∠C+∠D＝210°，∴x+2x+210°＝360°，解得：x＝50°，故答案为40°或50．【点评】考查轴对称的性质和四边形的内角和为360°，分情况讨论得出不同答案．13．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G处（不与B、D重合），折痕为E F，若B C＝4，BG＝3，则G E的长为．【分析】根据菱形的性质、折叠的性质，以及∠ABC＝120°，可以得到△ABD△BCD 都是等边三角形，根据三角形的内角和和平角的意义，可以找出△BGE∽△DFG，对应边成比例，设AF＝x、AE＝y，由比例式列出方程，解出y 即可．【解答】解：∵菱形ABCD 中，∠ABC＝120°，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝60°，∴AB＝BC＝CD＝DA＝BD＝3+1＝4，∴∠ADB＝∠ABD＝60°，由折叠得：AF＝FG，AE＝EG，∠EGF＝∠A＝60°，∵∠DFG+∠DGF＝180°﹣60°＝120°，∠BGE+∠DGF＝180°﹣60°＝120°，∴∠DFG＝∠BGE，∴△BGE∽△DFG，∴，设AF＝x＝FG，AE＝y＝EG，则：DF＝4﹣x，BE＝4﹣y，即：，当时，即：，当时，即：，∴，解得：y1＝0 舍去，y2＝，故答案为：．【点评】考查菱形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定和性质以及分式方程等知识，根据折叠和菱形等边三角形的性质进行转化，从而得到关于EG 的关系式，是解决问题的关键．14.如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，点D，E 分别在AC，BC 上，且∠CDE＝∠B，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处，CF 与DE 交于点G．下列结论：①AB＝2CF；②若∠ABC＝50°，则∠AFD＝60°；③若AB＝4，则DG•GE＝1；④若AC＝4，BC＝3，则CE＝其中正确的结论是①②③④（填写所有正确结论的序号）【分析】①CF 是Rt△ABC 的中线，即可求解；②∠ABC＝50°，则∠CDG＝40°＝∠GDF，则∠ADF＝80°，即可求解；③CG＝CF＝AB＝1，因为C G⊥DE，则D G•GE＝CG2，即可求解；④△ABC 的高＝，CG＝AB＝，△ABC∽△EDC，根据相似比等于高的比，即可求解．【解答】解：①∵CF 是R t△ABC 的中线，∴CF＝AB，故①正确；②∠ABC＝50°，∴∠CDG＝40°＝∠GDF，∴∠ADF＝80°，则∠AFD＝180°﹣80°﹣40°＝60°，故②正确；③CG＝CF＝AB＝1，∵CG⊥DE，则D G•GE＝CG2＝1，故正确；④AC＝4，BC＝3，则AB＝5，S△ABC＝AC×BC＝AB×△ABC 的高，则△ABC 的高＝，CG＝AB＝；∵∠CDE＝∠B，则△ABC∽△EDC，根据相似比等于高的比，则，故C G＝，故④正确．故答案为①②③④．【点评】本题考查的是翻折变换（折叠问题），涉及到直角三角形中线定理、三角形相似、三角形面积计算等，综合性强、难度较大．15.如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，CD 是△ABC 的中线，E 是AC上一动点，将△AED 沿ED 折叠，点 A 落在点F 处，EF 线段CD 交于点G，若△CEG是直角三角形，则C E＝．【分析】分两种情形：如图1 中，当∠CEG＝90°时．如图2 中，当∠EGC＝90°时，分别求解即可．【解答】解：如图 1 中，当∠CEG＝90°时．易知∠AED＝∠DEF＝45°，作DH⊥AC 于H．则DH＝EH，在Rt△ABC 中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，AC＝AB•cos30°＝，∵AD＝DB，∴AD＝1，在R t△ADH 中，DH＝AD•sin30°＝，AH＝AD•cos30°＝，∴EC＝AC﹣AH﹣EH＝﹣﹣＝．如图2中，当∠EGC＝90°时，易证点B与点F重合，此时E D⊥AB，AE＝，EC ＝﹣＝，综上所述，EC 的长为或．故答案为或．【点评】本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．16.如图，在菱形A BCD 中，tan A＝，M，N 分别在边A D，BC 上，将四边形A MNB 沿MN 翻折，使AB 的对应线段EF 经过顶点D，延长NF 交DC 于点H，当EF⊥AD 时，的值为．【分析】如图，由翻折不变性可知：∠A＝∠E，推出t an A＝tan E＝＝，可以假设：DM＝4k，DE＝3k，则EM＝5k，AD＝EF＝CD＝9k．想办法求出DH，CH 即可解决问题．【解答】解：如图，由翻折不变性可知：∠A＝∠E，∴tan A＝tan E＝＝，∴可以假设：DM＝4k，DE＝3k，则EM＝5k，AD＝EF＝CD＝9k．∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠DFH+∠EFN＝180°，∠B＝∠EFN，∴∠A＝∠DFH，∵EF⊥AD，∴∠ADF＝90°，∵AB∥CD，∴∠A+∠ADC＝180°，∴∠A+∠HDF＝90°，∴∠HDF+∠DFH＝90°，∴tan∠DFH＝tan A＝＝，设F H＝3x，则D H＝4x在R△DHF 中，DF＝EF﹣DE＝6k，根据勾股定理得，DH2+FH2＝DF2，∴16x2+9x2＝36k2，∴x＝k∴DH＝k，∴CH＝9k﹣k＝k，∴＝＝．故答案为 ．【点评】本题考查翻折变换，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．17. 如图，菱形 ABCD 的边长为 6，∠A ＝60°，点 O 在 AB 上，且 BO ＝2，点 P 是 CD 上一动点，将四边形 BCPO 沿直线 OP 折叠，点 B 的对应点是 E ，连接 DE ，当 DE 的长度最小时，CP 的长为 6﹣． 【分析】由折叠可知点 E 在以 O 为圆心，以 BO 长为半径的弧上，故当 D ，E ，O 在一条直线上时，DE 有最小值，过点D 作 DH ⊥AB ，先求得 DH 、HO 的长，则依据勾股定理可得到 DO 的长，然后再求得 PD 的长，最后可得到 CP 的长．【解答】解：如图所示：过点 D 作 DH ⊥AB ，垂足为 H ． 在Rt △ADH 中，∠A ＝60°，AD ＝6，则AH ＝ AD ＝3，DH ＝sin60°•AD ＝×6＝3 ．又∵AO ＝AB ﹣BO ＝4，∴OH ＝1．在 R t △DOH 中，依据勾股定理可知 D O ＝＝ ＝2． 由翻折的性质可知：∠BOP ＝∠EOP ．∵DC ∥AB ，∴∠BOP ＝∠DPO ，∴∠EOP ＝∠DPO ，∴DP ＝DO ＝2 ，∴CP ＝DC ﹣DP ＝6﹣2， 故答案为：6﹣2 ．【点评】本题主要考查的是菱形的性质、勾股定理的应用，翻折的性质、等腰三角形的判定，判断出DE 取得最小值时点E 的位置是解题的关键．18.如图在等边△ABC 中，D、E 分别是B C、AC 上的点，且A E＝CD，AD 与B E 相交于F，CF⊥BE．将△ABF 沿A B 翻折，得△ABG，M 为B F 中点，连接G M，若A F＝2，则△ BGM 的面积为．【分析】先证明△ABE≌△CAD 得∠ABE＝∠CAD，则∠BAD＝∠CBE，求出∠BFK＝60 °，由B K⊥DF 可得∠FBK＝30°，得出F K＝BF，再证明△ABK≌△BCF，得出A K ＝BF，即A F+FK＝BF，得出B F＝2AF＝4，证明△AFH∽△ABK，得出＝＝，求出AH、FH 的长，得出GF、BH 的长，求出△BGF 的面积，即可得出△BGM 的面积．【解答】解：过B 作AD 的垂线，垂足为K，连接GF 交AB 于H，如图所示：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，∵在△ABE 和△CAD 中，，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE＝∠CAD，∵∠ABE+∠CBE＝∠BAD+∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠CBE，∴∠BFK＝∠BAF+∠ABF＝∠CBE+∠ABF＝∠ABC＝60°，∵BK⊥DF，∴∠BKF＝90°，∴∠FBK＝30°，∴FK＝BF，BK＝FK，在△ABK 和△BCF 中，，∴△ABK≌△BCF（AAS），∴AK＝BF，即AF+FK＝BF，∴AF+ BF＝BF，∴BF＝2AF＝4，FK＝AF＝2，BK＝2 ，∴AB＝＝2 ，由折叠的性质得：AB 垂直平分GF，∴GF＝2FH，∠AHF＝90°＝∠AKB，又∵∠FAH＝∠BAK，∴△AFH∽△ABK，∴＝＝，即＝＝，解得：AH＝，FH＝，∴GF＝2FH＝，BH＝AB﹣AH＝，∴△BGF 的面积＝GF×BH＝××＝，∵M 为BF 中点，∴△BGM 的面积＝△BGF 的面积＝；故答案为：．【点评】本题考查了等边三角形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．19. 已知，如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝8，BC ＝12，点 E 为线段 AB 上一动点（不与点 A 、点B 重合），先将矩形 A BCD 沿C E 折叠，使点 B 落在点 F 处，CF 交 AD 于点 H ，若折 叠后，点 B 的对应点 F 落在矩形 ABCD 的对称轴上，则 AE 的长是 24 ﹣28 或 8﹣．【分析】依据点 B 的对应点 F 落在矩形 ABCD 的对称轴上，分两种情况讨论：F 在横对称轴上与 F 在竖对称轴上，分别求出 BF 的长即可．【解答】解：分两种情况：①当 F 在横对称轴 MN 上，如图所示，此时 C N ＝CD ＝4，CF ＝BC ＝12， ∴FN ＝ ＝8 ，∴MF ＝12﹣8 ，由折叠得，EF ＝BE ，EM ＝4﹣BE ，∵EM 2+MF 2＝EF 2，即（4﹣BE ）2+（12﹣8 ）2＝BE 2，∴BE ＝36﹣24 ，∴AE ＝24 ﹣28；。
8、2020重庆中考数学四边形翻折变换专题三(含答案解析)
四边形翻折变换专题训练三1、如图，点E是矩形纸片ABCD边AB上一点，将△EBC沿EC翻折，点B落在边AD上的点F处，BE：AE＝5：3，若EC＝15cm，则AB＝cm．2、如图，将平行四边形纸片ABCD折叠，使得点D落在AB边上的D'处，折痕为AE．再将△AD'E翻折，点A恰好落在BC的中点A'处，连结AA'，若AD＝2，则线段AA'的长为.3、折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB＝AD+2，EH＝1，则AD＝．4、（2019•辽阳模拟）在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林折叠矩形纸片ABCD进行如下操作：①把△ABF翻折，点B落在CD边上的点E处，折痕AF交BC边于点F；②把△ADH翻折，点D落在AE 边长的点G处，折痕AH交CD边于点H．若AD＝6，AB＝10，则的值是（）A．B．C．D．5、如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝+1，∠B＝45°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD边上的E处，点B落在点F处，折痕为PQ，点P，Q分别在边AD，BC上，若△PDE为直角三角形，则CE的长为．6、（2019•江都区三模）如图1，有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝5，AD＝6，现将纸片进行如下操作：首先将纸片沿折痕BF进行折叠，使点A落在BC边上的点E处，点F在AD上（如图2）；然后将纸片沿折痕DH进行第二次折叠，使点C落在第一次的折痕BF上的点G处，点H在BC上（如图3）．则BG的长为．7、（2019•济南）如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于．8、（2016•新县校级模拟）如图，将矩形纸片ABCD沿直线AE折叠，点B恰好落在线段CD的中点F上，点G是线段AF上一动点（不与A，F重合），点G过GH⊥AB，垂足为H，将矩形沿直线GH翻折，点A恰好落在线段BH上点A′处．若AB长为8，则当△A′GE为直角三角形时，AH的长为．9、如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别是E，F，要使折痕始终与边AB，AD有交点，则BP的取值范围是（）A．B．2≤BP≤6 C．D．10、（2019秋•江岸区校级月考）如图在矩形ABCD中，AB＝，AD＝3，点P是AD边上的一个动点，连接BP，作点A关于直线BP的对称点A1，连接A1C，设A1C的中点为Q，当点P从点A出发，沿边AD运动到点D时停止运动，点Q的运动路径长为（）A．πB．πC．πD．π四边形翻折变换专题训练三1、如图，点E是矩形纸片ABCD边AB上一点，将△EBC沿EC翻折，点B落在边AD上的点F处，BE：AE＝5：3，若EC＝15cm，则AB＝24cm．解：设AE＝3x，BE＝5x，则CD＝8x，EF＝5x，∵∠A＝90°，∴Rt△AEF中，AF＝4x，∵∠EFC＝∠ABC＝90°＝∠A＝∠D，∴∠AFE+∠DFC＝∠DCF+∠DFC＝90°，∴∠AFE＝∠DCF，∴△AEF∽△DFC，∴＝，即DF＝DC＝6x，∴AD＝10x＝BC，∵∠B＝90°，∴Rt△BCE中，BE2+BC2＝CE2，即（5x）2+（10x）2＝（15）2，解得x＝3，∴AB＝24，故答案为：24．2、如图，将平行四边形纸片ABCD折叠，使得点D落在AB边上的D'处，折痕为AE．再将△AD'E翻折，点A恰好落在BC的中点A'处，连结AA'，若AD＝2，则线段AA'的长为．解：由折叠可得，∠DAE＝∠D'AE，AD＝AD'＝2，∵AB∥CD，∴∠DEA＝∠D'AE，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE＝2，∴AD'＝DE，而AD'∥DE，∴四边形ADED'是平行四边形，∴AD∥D'E，由折叠可得，D'E垂直平分AA'，∴AA'⊥AD，又∵AD∥BC，∴AA'⊥BC，∴△AA'B是直角三角形，∵AD'＝A'D'＝2，∴∠D'AA'＝∠D'A'A，又∵∠D'AA'+∠B＝90°，∠D'A'A+∠D'A'B＝90°，∴∠B＝∠D'A'B，∴D'A'＝D'B＝2，∴AB＝2+2＝4，又∵A'是BC的中点，BC＝AD＝2，∴A'B＝1，∴AA'＝＝＝．故答案为：．3、（2018•杭州）折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE 上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB＝AD+2，EH＝1，则AD＝3+2．解：设AD＝x，则AB＝x+2，∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，∴DF＝AD，EA＝EF，∠DFE＝∠A＝90°，∴四边形AEFD为正方形，∴AE＝AD＝x，∵把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，∴DH＝DC＝x+2，∵HE＝1，当AH＝AE﹣HE＝x﹣1，在Rt△ADH中，∵AD2+AH2＝DH2，∴x2+（x﹣1）2＝（x+2）2，整理得x2﹣6x﹣3＝0，解得x1＝3+2，x2＝3﹣2（舍去），即AD的长为3+2．故答案为：3+2．4、（2019•辽阳模拟）在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林折叠矩形纸片ABCD进行如下操作：①把△ABF翻折，点B落在CD边上的点E处，折痕AF交BC边于点F；②把△ADH翻折，点D落在AE 边长的点G处，折痕AH交CD边于点H．若AD＝6，AB＝10，则的值是（）A．B．C．D．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6，由翻折可知：AB＝AE＝10，AD＝AG＝6，BF＝EF，DH＝HG，∴EG＝10﹣6＝4，在Rt△ADE中，DE＝＝＝8，∴EC＝10﹣8＝2，设BF＝EF＝x，在Rt△EFC中：x2＝22+（6﹣x）2，∴x＝，设DH＝GH＝y，在Rt△EGH中，y2+42＝（8﹣y）2，∴y＝3，∴EH＝5，∴＝＝，故选：D．5、（2018•鄞州区模拟）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝+1，∠B＝45°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD边上的E处，点B落在点F处，折痕为PQ，点P，Q分别在边AD，BC上，若△PDE为直角三角形，则CE的长为或．解：分两种情况：①当∠DEP＝90°时，∠D＝∠B＝45°，故△DEP是等腰直角三角形，设DE＝EP＝AP＝x，则DP＝x，由AD＝AB＝+1，可得x+x＝+1，解得x＝1，即DE＝1，∴CE＝CD﹣DE＝+1﹣1＝；②当∠DPE＝90°时，∠D＝∠B＝45°，故△DEP是等腰直角三角形，∴DP＝PE＝AP＝AD＝（+1），∴Rt△DEP中，DE＝×（+1）＝1+，∴CE＝CD﹣DE＝+1﹣（1+）＝，故答案为：或．6、（2019•江都区三模）如图1，有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝5，AD＝6，现将纸片进行如下操作：首先将纸片沿折痕BF进行折叠，使点A落在BC边上的点E处，点F在AD上（如图2）；然后将纸片沿折痕DH进行第二次折叠，使点C落在第一次的折痕BF上的点G处，点H在BC上（如图3）．则BG的长为．解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝5，BC＝AD＝6，由折叠可得：AB＝BE，且∠A＝∠ABE＝∠BEF＝90°，∴四边形ABEF为正方形；过点G作MN∥AB，分别交AD、BC于点M、N，如图3所示：∵四边形ABEF是正方形，∴AF＝AB＝5，∵MN∥AB，∴△BNG和△FMG为等腰直角三角形，且MN＝AB＝5，设BN＝x，则GN＝AM＝x，MG＝MN﹣GN＝5﹣x，MD＝AD﹣AM＝6﹣x，又由折叠的性质可知：DG＝DC＝5，在Rt△MDG中，由勾股定理可得MD2+MG2＝GD2，即（6﹣x）2+（5﹣x）2＝52，解得：x＝2，∴GN＝BN＝2，∴BG＝BN＝2．7、（2019•济南）如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于．解：过点P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，由折叠得：ABNM是正方形，AB＝BN＝NM＝MA＝5，CD＝CF＝5，∠D＝∠CFE＝90°，ED＝EF，∴NC＝MD＝8﹣5＝3，在Rt△FNC中，FN＝＝4，∴MF＝5﹣4＝1，在Rt△MEF中，设EF＝x，则ME＝3﹣x，由勾股定理得，12+（3﹣x）2＝x2，解得：x＝，∵∠CFN+∠PFG＝90°，∠PFG+∠FPG＝90°，∴△FNC∽△PGF，∴FG：PG：PF＝NC：FN：FC＝3：4：5，设FG＝3m，则PG＝4m，PF＝5m，∴GN＝PH＝BH＝4﹣3m，HN＝5﹣（4﹣3m）＝1+3m＝PG＝4m，解得：m＝1，∴PF＝5m＝5，∴PE＝PF+FE＝5+＝.8、（2016•新县校级模拟）如图，将矩形纸片ABCD沿直线AE折叠，点B恰好落在线段CD的中点F上，点G是线段AF上一动点（不与A，F重合），点G过GH⊥AB，垂足为H，将矩形沿直线GH翻折，点A恰好落在线段BH上点A′处．若AB长为8，则当△A′GE为直角三角形时，AH的长为．解：如图所示，根据翻转的性质可知：△ABE≌△AFE，∴AF＝AB＝8，EF＝BE，∠2＝∠3，DC＝AB＝8，BC＝AD，∵F是DC的中点，∴DF＝CF＝DC＝4，∴BC＝AD＝＝＝4，∵∠D＝90°，AF＝2DF，∴∠1＝30°，∴∠BAF＝60°，∴∠1＝∠2＝30°，设BE＝x，则EF＝x，CE＝4﹣x，在Rt△CEF中，EF2＝CE2+CF2，即，解得：BE＝x＝，∵矩形沿GH翻折，点A落在线段BH上点A′处，∴AG＝A′G，AH＝A′H，∵∠BAF＝60°，∴△AGA′是等边三角形，∴AG＝AA′，在△AGE与△AA′E中，，∴△AGE≌△AA′E，∴GE＝A′E，∴当△A′GE是直角三角形时，只能∠A′EG＝90°，∴△A′EG是等腰直角三角形，设AH＝y，则AA′＝A′G＝2y，A′B＝AB＝AB﹣AA′＝8﹣2y，在等腰直角三角形A′GE中，A′E＝A′G＝y，在直角三角形A′BE中，A′E＝＝，2y2＝（8﹣2y）2+（）2解得：y1＝，y2＝8（不合题意舍去），∴AH＝，9、如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别是E，F，要使折痕始终与边AB，AD有交点，则BP的取值范围是（）A．B．2≤BP≤6 C．D．解：当F与D重合时，如图1，由折叠得：AD＝AP＝10，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，∵AB＝DC＝6，在Rt△PDC中，PC＝＝8，∴BP＝10﹣8＝2；当E与B重合时，如图2，由折叠得：AB＝BP＝6，综上所述，BP的取值范围是：2≤BP≤6；故选：B．10、（2019秋•江岸区校级月考）如图在矩形ABCD中，AB＝，AD＝3，点P是AD边上的一个动点，连接BP，作点A关于直线BP的对称点A1，连接A1C，设A1C的中点为Q，当点P从点A出发，沿边AD运动到点D时停止运动，点Q的运动路径长为（）A．πB．πC．πD．π解：连接BA1，取BC的中点O，连接OQ、BD，如图所示：∵点A关于直线BP的对称点A1，∴AB＝BA1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∴tan∠ABD ＝＝＝，∴∠ABD＝60°，∵A1C的中点为Q，BC的中点为O，∴OQ是△CBA1的中位线，∴OQ ＝BA1＝AB ＝，∴点Q的运动轨迹是以O为圆心，OQ为半径的圆弧，圆心角为120°，∴点Q 的运动路径长为：＝π，故选：C．11。
1、2020重庆中考数学三角形翻折变换专题一
三角形翻折变换专题训练一1、 如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE2、 沿AE 折叠，使点B 落在点F 处，连CF ，则CF 的长为（ ）．13.5A 14B.5 17C.5 18D.5 2．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝12，∠B ＝90°，以EF 为折痕折叠，使A 与BC上一点D 重合，若BD ：DC ＝2：1，则AE 的长是( ).8A25B.3 26C.3 D.9 3.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝12，点D 为BC 边上的中点，将△ACD 沿AD 对折，使点C 落在同一平面内的点C '处，连接BC ''，则BC ' 的长为（ ）．A ．325 B．5 CD ．3654.如图，在等腰三角形Rt ABC V 中，0=90ABC ∠，1AB AC ==，点D 是AC 上一点，0=30CBD ∠，将BCD V 沿BD 折叠至BC D 'V ，连接AC '，则AC D 'V 的面积为（ ）ACD 5、已知Rt △ACB 中，点D 为斜边AB 的中点，连接CD ，将△DCB 沿直线DC翻折，使点B 落在点E 的位置，连接DE 、CE 、AE ，DE 交AC 于点F ，若BC ＝6，AC ＝8，则AE 的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 6、如图，等边三角形ABC 边长为5、D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，将△ADE 沿DE 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若BF ＝2，则BD 的长是（ ）A ． B ． C ．3 D ．2第3题图第1题图第2题图第4题图第5题图第6题图7、如图的三角形纸片中，BC＝12cm，∠C＝30°，折叠这个三角形，使B落在边AC上，且DF＝DC，折痕为EF，那么BF的长为（）cm．A．2B．4﹣3 C．6﹣6 D．68、如图，ABCD中，AB＝6，∠B＝75°，将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，B′C交AD于E，∠B′AE＝45°，则点A到BC的距离为（）A．2B．3C．D．9、如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处设DE与BB交于点F，则EF 的长为（）A．B．C．D．10.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D在BC上，且CD＝2DB，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（）A．B．C．D．11.如图，一张等腰直角三角形纸片，其中∠C＝90°，斜边AB＝4，将纸片折叠，使点A恰好落在BC边的中点D处，折痕为EF，则AE的长度为（）．4.3A5.3B3.2C6.5D12. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，连接CD，将△BCD沿直线CD翻折得到△ECD，连接AE，若AC＝5，CD＝6.5，则线段AE的长为（）A．B．9 C．D．13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是AB的中点，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接AE，BE，则线段BE的长等于（）A．B．C．D．214、如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE，若，AD＝2BD，则CF等于（）A．B．C．D．15.如图，已知△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，AB ＝，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折，使AB与AC重合，得△AED，则BD的长度为（）A ．B ．C ．D ．16、如图，已知△ABC中，∠BAC＝120°，A D为边BC上的中线，将△ACD沿AD翻折得到△AED，BF平行于AC交AE于F，若AC==15，AB=5,则BF的长为（）A.12B.6 C,9 D.8B C17、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为（）.3 A3.2B.23C或3.22D或三角形翻折变换专题训练一答案解析1、如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在点F 处，连CF ，则CF 的长为（ ）．13.5A 14B.5 17C.5 18D.5解：连接BF ，交AE 于H ，如图所示：∵BC ＝6，点E 为BC 的中点∴BE ＝3，又∵AB ＝4，∴AE ＝＝5，∴BH ＝＝，则BF ＝2BH ＝，∵FE ＝BE ＝EC ，∴∠BFC ＝90°，∴CF ＝＝． 2．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝12，∠B ＝90°，以EF 为折痕折叠，使A 与BC 上一点D 重合，若BD ：DC ＝2：1，则AE 的长是( C ).8A25B.3 26C.3 D.9 解：∵＝，AB ＝BC ＝12，∴BD ＝8，设ED ＝x ，则BE ＝12﹣x ，在Rt △BDF 中，x 2＝（12﹣x ）2+82，解得AE ＝x ＝．3.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝12，点D 为BC 边上的中点，将△ACD 沿AD 对折，使点C 落在同一平面内的点C '处，连接BC ''，则BC ' 的长为（ D ）．A ． 325 B．5 CD ．365解：如图，连接CC '，将ACD ∆沿AD 对折，使点C 落在同一平面内的点C '处AD CC '∴⊥，CN C N '=，点D 为BC 边上的中点162CD BC ∴==10AD ∴= 1122ACD S AC CD AD CN ∆=⨯⨯=⨯⨯ 4.8CN ∴=185DN ∴= CN C N '=，CD DB = 3625C B DN '∴== 4.如图，在等腰三角形Rt ABC V 中，0=90ABC ∠，1AB AC ==，点D 是AC 上一点，0=30CBD ∠，将BCD V 沿BD 折叠至BC D 'V ，连接AC '，则AC D 'V 的面积为（ A ）ACD5、已知Rt △ACB 中，点D 为斜边AB 的中点，连接CD ，将△DCB 沿直线DC 翻折，使点B 落在点E 的位置，连接DE 、CE 、AE ，DE 交AC 于点F ，若BC ＝6，AC ＝8，则AE 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．解：连接BE 交CD 于点G ，∵Rt △ACB 中，AB ＝＝10， ∵点D 为斜边AB 的中点，∴CD ＝AD ＝BD ＝AB ＝5，设DG x =，在△DBG 中，222BG BD DG =-，在△CBG 中，222BG BC CG =-∴22225=6(5)x x ---∴7=5x ，75DG =∴DM ＝＝4，由折叠得，CD 垂直平分BE ，∴BG EG =∵点D 为斜边AB 的中点，∴AE ＝2DG ＝，故选：B ． 6、（2019•福州二模）如图，等边三角形ABC 边长为5、D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，将△ADE 沿DE 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若BF ＝2，则BD 的长是（ ）A ．B ．C ．3D ．2解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝AC ＝5，∵沿DE 折叠A 落在BC 边上的点F 上，∴△ADE ≌△FDE ，∴∠DFE ＝∠A ＝60°，AD ＝DF ，AE ＝EF ，设BD ＝x ，AD ＝DF ＝5﹣x ，CE ＝y ，AE ＝5﹣y ，∵BF ＝2，BC ＝5，∴CF ＝3，∵∠C ＝60°，∠DFE ＝60°，∴∠EFC +∠FEC ＝120°，∠DFB +∠EFC ＝120°，∴∠DFB ＝∠FEC ，∵∠C ＝∠B ，∴△DBF ∽△FCE ， ∴，即，解得：x ＝，即BD ＝，故选：B7、（2018•九龙坡区校级模拟）如图的三角形纸片中，BC ＝12cm ，∠C ＝30°，折叠这个三角形，使B 落在边AC 上，且DF ＝DC ，折痕为EF ，那么BF 的长为（ ）cm ．A ．2B ．4﹣3C ．6﹣6D ．6解：过点D 作DH ⊥BC 于H ，∵折叠这个三角形，使B 落在边AC 上，∴DF ＝BF ，∵DF ＝DC ，DH ⊥BC ∴∠C ＝∠DFC ＝30°，FH ＝CH ，∴DH ＝DF ，FH ＝DH ＝DF ，∴CF＝DF，∴BC＝BF+CF＝BF+BF＝12cm，∴BF＝（6﹣6）cm故选：C．8、（2019•沙坪坝区校级月考）如图，ABCD中，AB＝6，∠B＝75°，将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，B′C交AD于E，∠B′AE＝45°，则点A到BC的距离为（C）A．2B．3C．D．解：过B′作B′H⊥AD于H，∵∠B′AE＝45°，∴△AB′H是等腰直角三角形，∴AH＝B′H＝AB′，∵将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，∴AB′＝AB＝6，∠AB′E＝∠B＝75°，∴∠AEB′＝60°，∴AH＝B′H＝×6＝3，∴HE＝B′H＝，B′E＝2，∵ABCD中，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠ACB′，∴∠EAC＝∠ACE，∴AE＝CE，∵∠AB′E＝∠B＝∠D，∠AEB′＝∠CED，∴△AB′E≌△CDE（AAS），∴DE＝B′E＝2，∴AD＝AE+DE＝3+3，∵∠AEB′＝∠EAC+∠ACE＝60°，∴∠ACE＝∠CAE＝30°∴∠BAC＝75°，∴AC＝AD＝BC，∠ACB＝30°，过A作AG⊥BC于G，∴AG＝AC＝．9、（2019秋•南岸区校级月考）如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处设DE与BB交于点F，则EF＝（C）A．B．C．D．解：∵在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，∴△AHB′是等腰直角三角形，∴AH＝B′H＝AB′，∵AB′＝AC＝，∴AH＝B′H＝1，∴BH＝3，∴BB′＝＝＝，∵将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，∴BF＝BB′＝，DE⊥BB′，∴∠BHB′＝∠BFE＝90°，∵∠EBF＝∠B′BH，∴△BFE∽△BHB′，∴＝，∴＝，∴EF＝，10.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D在BC上，且CD＝2DB，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（）A．B．C．D．解：∵△DEF是△AEF翻折而成，∴△DEF≌△AEF，∠A＝∠EDF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠EDF＝45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°＝∠BED+45°，∴∠BED＝∠CDF，设CD＝2，CF＝x，则CA＝CB＝3，∴DF＝F A＝3﹣x，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+CD2＝DF2，即x2+4＝（3﹣x）2，解得：x＝，∴sin∠BED＝sin∠CDF＝＝＝．故选：A．11.如图，一张等腰直角三角形纸片，其中∠C＝90°，斜边AB＝4，将纸片折叠，使点A恰好落在BC边的中点D处，折痕为EF，则AE的长度为（B）4.3A5.3B3.2C6.5D解：作DH⊥AB于H，可得等腰Rt△DBH，由AB＝4，可知BC＝sin45°×AB＝×4＝2，于是BD＝，BH＝DH＝×＝1，设AE＝DE＝x，则EH＝4﹣1﹣AE＝3﹣x，在Rt△DEH中，（3﹣x）2+12＝x2，解得：x＝，故AE的长度为．12. （2018春•开州区期末）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，连接CD，将△BCD沿直线CD翻折得到△ECD，连接AE，若AC＝5，CD＝6.5，则线段AE的长为（）．A．B．9 C．D．解：如图，延长CD交BE于点H，作CF⊥AB于F．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，CD＝6.5，∴AD＝DB＝CD＝6.5，AB＝13．∵AC＝5，∴BC＝＝12．∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CF，∴×5×12＝×13×CF，解得CF＝．∵将△BCD沿直线CD翻折得到△ECD，∴BC＝CE，BD＝DE，∴CH⊥BE，BH＝HE．∵AD＝DB＝DE，∴△ABE为直角三角形，∠AEB＝90°，由折叠可得S△ECD＝S△ACD，∴DC•HE＝AD•CF，∵DC＝AD，∴HE＝CF＝．∴BE＝2EH＝．∵∠AEB＝90°，∴AE＝＝＝．13．（2017秋•常熟市期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是AB的中点，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接AE，BE，则线段BE的长等于（）A．B．C．D．2解：如图延长CD交AE于点H，作CF⊥AB，垂足为F．∵在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5．∵D为AB的中点，∴AD＝BD＝DC．∵AC•BC＝AB•CF，∴×3×4＝×5×CF，解得CF＝．由翻折的性质可知AC＝CE，AD＝DE，∴CH⊥AE，AH＝HE．∵DC＝DB，BD•CF＝DC•HE，∴HE＝CF＝．∴AE＝．∵AD＝DE＝DB，∴△ABE为直角三角形．∴BE＝＝＝．故选：A．14．（2019•历城区一模）如图，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 是AB 上的一个动点（不与点A ，B 重合），连接CD ，将CD 绕点C 顺时针旋转90°得到CE ，连接DE ，DE 与AC 相交于点F ，连接AE ，若，AD ＝2BD ，则CF 等于（ ）A ． B ． C ． D ．解：∵∠ACB ＝90°，由旋转知，CD ＝CE ，∠DCE ＝90°＝∠ACB ，∴∠BCD ＝∠ACE ，∴△BCD ≌△ACE ，∴∠CAE ＝∠CBD ＝45°＝∠CEF ，∵∠ECF ＝∠ACE ，∴△CEF ∽△CAE ， ∴＝，∴CE 2＝CF •AC ，如图，过点D 作DG ⊥BC 于G ，∵AB ＝3，∴AC ＝BC ＝3， ∵AD ＝2BD ，∴BD ＝AB ＝，∴DG ＝BG ＝1，∴CG ＝BC ﹣BG ＝3﹣1＝2，在Rt △CDG 中，根据勾股定理得，CD ＝＝，∵△BCD ≌△ACE ， ∴CE ＝CD ＝，∵CE 2＝CF •AC ，∴CF ＝＝，故选：B ．15、（2018•柘城县三模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，点D 是BC 上一动点，连接AD ，将△ACD 沿AD 折叠，点C 落在点E 处，连接DE 交AB 于点F ，当△DEB 是直角三角形时，DF 的长为（ D ） .3A 3.2B .23C 或 3.22D 或解：①如图1中，当∠EDB ＝90°，四边形ACDE 是正方形，此时CD ＝AC ＝6，∵BC ＝＝8，∴BD ＝BC ﹣CD ＝8﹣6＝2，∵tan ∠ABC ＝＝，∴＝，∴DF ＝． ②如图2中，当∠DEB ＝90°时，AC ＝AE ＝6，则BE ＝4，设CD ＝DE ＝x ，在Rt △BDE 中，（8﹣x ）2＝x 2+42，∴x ＝3，综上所述，满足条件的DF 的值为3或．16、如图，已知△ABC 中，∠CAB ＝∠B ＝30°，AB ＝，点D 在BC 边上，把△ABC 沿AD 翻折，使AB 与AC 重合，得△AED ，则BD 的长度为（ ）A ．B ．C ．D ．解：作CF⊥AB于点F．∵∠CAB＝∠B∴AC＝BC，∴BF ＝AB ＝，在直角△BCF中，BC ＝＝2，在△CDE中，∠E＝∠B＝30°，∠ECD＝∠CAB+∠B＝60°，DE＝BD，∴∠CDE＝90°，设BD＝x，则CD＝DE＝2﹣x，在直角△CDE中，tan E ＝＝＝tan30°＝，解得：x＝3﹣．故选：B．11。
2020年中考数学压轴题专题3 相似三角形的存在性问题学案(原版+解析)
专题三 相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。
难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．【解题攻略】相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。
应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题：1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ，则对应线段已经确定。
2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC ∽△DEF ,②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D （或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC ∽△DEF ，②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。
【典例指引】类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】典例指引1．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A ，B 两点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知(0,3)A ，(3,0)C -．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使MB MC-的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ PA⊥交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与ABC∆相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【举一反三】（2019·海南模拟）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线335y x=+相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，∥PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ∥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得∥CNQ与∥PBM 相似?若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．类型二 【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】典例指引2．（2019年广东模拟）如图，在矩形OABC 中，AO =10，AB =8，沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC ，使点B 落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线2y ax bx c =++经过O ，D ，C 三点. (1)求AD 的长及抛物线的解析式；(2)一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动，当点P 运动到点C 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以P ，Q ，C 为顶点的三角形与△ADE 相似？(3)点N 在抛物线对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 与点N 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.【举一反三】（2019·湖南模拟）如图，已知直线y =-x +3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线y =-x 2+bx +c 经过A ，B 两点，点P 在线段OA 上，从点O 出发，向点A 以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q 在线段AB 上，从点A 出发，向点B 以2个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t 为何值时，∥APQ 为直角三角形；（3）过点P 作PE ∥y 轴，交AB 于点E ，过点Q 作QF ∥y 轴，交抛物线于点F ，连接EF ，当EF ∥PQ 时，求点F 的坐标；（4）设抛物线顶点为M ，连接BP ，BM ，MQ ，问：是否存在t 的值，使以B ，Q ，M 为顶点的三角形与以O ，B ，P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．类型三 【确定符合相似三角形的函数解析式或字母参数的值】典例指引3．（2019·江苏中考真题）如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．（1）点D 的坐标是 ______；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似． ①当275n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取值范围 ______．【举一反三】（2018武汉中考）抛物线L ：y =﹣x 2+bx +c 经过点A （0，1），与它的对称轴直线x =1交于点B ．（1）直接写出抛物线L 的解析式；（2）如图1，过定点的直线y =kx ﹣k +4（k ＜0）与抛物线L 交于点M 、N ．若△BMN 的面积等于1，求k 的值；（3）如图2，将抛物线L 向上平移m （m ＞0）个单位长度得到抛物线L 1，抛物线L 1与y 轴交于点C ，过点C 作y 轴的垂线交抛物线L 1于另一点D ．F 为抛物线L 1的对称轴与x 轴的交点，P 为线段OC 上一点．若△PCD 与△POF 相似，并且符合条件的点P 恰有2个，求m 的值及相应点P 的坐标．【新题训练】1．（2019·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初三月考）如图1，已知抛物线；C 1：y ＝﹣1m（x +2）（x ﹣m ）（m ＞0）与x 轴交于点B 、C （点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点E ．（1）求点B 、点C 的坐标；（2）当△BCE 的面积为6时，若点G 的坐标为（0，b ），在抛物线C 1的对称轴上是否存在点H ，使得△BGH 的周长最小，若存在，则求点H 的坐标（用含b 的式子表示）；若不存在，则请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．2．（2020·浙江初三期末）边长为2的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D 是边OA 的中点，连接CD ，点E 在第一象限，且DE DC ⊥，DE DC =.以直线AB 为对称轴的抛物线过C ，E 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点C 出发，沿射线CB 每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒.过点P 作PF CD ⊥于点F ，当t 为何值时，以点P ，F ，D 为顶点的三角形与COD ∆相似？ （3）点M 为直线AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M ，N ，使得以点M ，N ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.3．（2020·长沙市长郡双语实验中学初三开学考试）如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c 的图象经过点C （0，﹣2），顶点D 的坐标为（1，﹣83），与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC ，E 为直线AC 上一点，当△AOC ∽△AEB 时，求点E 的坐标和AEAB的值． （3）点C 关于x 轴的对称点为H 5FC +BF 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△QHF 是直角三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2019·贵州初三）如图，已知抛物线y =13x 2+bx +c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．5．（2020·河南初三）如图，在平面直角坐标系中，抛物线243y x bx c =-++与x 轴交于A 、D 两点，与y 轴交于点B ，四边形OBCD 是矩形，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，4），已知点E （m ，0）是线段DO 上的动点，过点E 作PE ⊥x 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，交BD 于点H ． （1）求该抛物线的解析式；（2）当点P 在直线BC 上方时，请用含m 的代数式表示PG 的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．6．（2020·浙江初三期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线2y x =的对称轴为直线l ，将直线l 绕着点()0,2P 顺时针旋转α∠的度数后与该抛物线交于AB 两点（点A 在点B 的左侧），点Q 是该抛物线上一点（1）若45α∠=︒，求直线AB 的函数表达式 （2）若点p 将线段分成2:3的两部分，求点A 的坐标（3）如图②，在（1）的条件下，若点Q 在y 轴左侧，过点p 作直线//l x 轴，点M 是直线l 上一点，且位于y 轴左侧，当以P ，B ，Q 为顶点的三角形与PAM ∆相似时，求M 的坐标7．（2020·上海初三）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝13x 2+mx +n 经过点B （6，1），C （5，0），且与y 轴交于点A ． （1）求抛物线的表达式及点A 的坐标；（2）点P 是y 轴右侧抛物线上的一点，过点P 作PQ ⊥OA ，交线段OA 的延长线于点Q ，如果∠PAB ＝45°．求证：△PQA ∽△ACB ；（3）若点F 是线段AB （不包含端点）上的一点，且点F 关于AC 的对称点F ′恰好在上述抛物线上，求FF ′的长．8．（2019·江苏初三期末）如图，抛物线y ＝ax 2＋5ax ＋c （a ＜0）与x 轴负半轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，D 是抛物线的顶点，过D 作DH ⊥x 轴于点H ，延长DH 交AC 于点E ，且S △ABD ：S △ACB ＝9：16，（1）求A 、B 两点的坐标；（2）若△DBH 与△BEH 相似，试求抛物线的解析式．9．（2019·湖南中考模拟）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点． （1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，连接AC 、AD ，求△ACD 的面积；（3）点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ．问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2019·西安市铁一中学中考模拟）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为(2,1)-，并且与y 轴交于点(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ，问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与BCO V 相似．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2019·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线122y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是32x =-且经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）①直接写出点B 的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点P 为直线AC 上方的抛物线上的一点，连接PA ，PC ．求△PAC 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．（3）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN 垂直x 轴于点N ，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2019·江苏泗洪姜堰实验学校中考模拟）如图，抛物线2481293y x x =--与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于B 点． （1）求△AOB 的外接圆的面积；（2）若动点P 从点A 出发，以每秒2个单位沿射线AC 方向运动；同时，点Q 从点B 出发，以每秒1个单位沿射线BA 方向运动，当点P 到达点C 处时，两点同时停止运动．问当t 为何值时，以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△OAB 相似？（3）若M 为线段AB 上一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交抛物线于点N ． ①是否存在这样的点M ，使得四边形OMNB 恰为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．②当点M 运动到何处时，四边形CBNA 的面积最大？求出此时点M 的坐标及四边形CBAN 面积的最大值．13．（2019·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线L ：()2y ax c a x c =+-+经过点A （-3，0）和点B （0，-6），L 关于原点O 对称的抛物线为L '. （1）求抛物线L 的表达式；（2）点P 在抛物线L '上，且位于第一象限，过点P 作PD ⊥y 轴，垂足为D .若△POD 与△AOB 相似，求符合条件的点P 的坐标.14．（2019·湖南中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，且过点(2,3)D -．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线OD 下方时，求POD ∆面积的最大值．(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当OBE ∆与ABC ∆相似时，求点Q 的坐标．15．（2018·四川中考真题）如图，抛物线y =12x 2+bx +c 与直线y =12x +3交于A ，B 两点，交x 轴于C 、D 两点，连接AC 、BC ，已知A （0，3），C （﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使|MB ﹣MD |的值最大，并求出这个最大值； （3）点P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2019·湖南中考真题）如图1，△AOB 的三个顶点A 、O 、B 分别落在抛物线F 1：21733y x x =+的图象上，点A 的横坐标为﹣4，点B 的纵坐标为﹣2.(点A 在点B 的左侧) (1)求点A 、B 的坐标；(2)将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△A 'OB '，抛物线F 2：24y ax bx =++经过A '、B '两点，已知点M 为抛物线F 2的对称轴上一定点，且点A '恰好在以OM 为直径的圆上，连接OM 、A 'M ，求△OA 'M 的面积；(3)如图2，延长OB '交抛物线F 2于点C ，连接A 'C ，在坐标轴上是否存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA 'C 相似.若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.专题三相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。
重庆中考12 翻折变换(折叠问题)(学生版)
12 翻折变换（折叠问题）一．选择题（共12小题）1．如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9m，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长为（）A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm2．如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别是边AC、BC上两点．将△ABC沿DE翻折，点C正好落在线段AB上的点F处，使得AF：BF＝2：3．若BE＝16，则点F到BC边的距离是（）A．8B．12C．D．3．如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB 边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处设DE与BB交于点F，则EF＝（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC沿AC翻折得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则△ABE的面积为（）A．B．C．3D．5．如图，点F是长方形ABCD中BC边上一点将△ABF沿AF折叠为△AEF，点E落在边CD上，若AB＝5，BC＝4，则BF的长为（）A．B．C．D．6．如图，在矩形纸片ABCD中，CB＝12，CD＝5，折叠纸片使AD与对角线BD重合，与点A重合的点为N，折痕为DM，则△MNB的面积为（）A．B．C．D．267．如图，在△ABC中∠ACB＝90°、∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形、将四边形ACBD 折叠，使点D与点C重合，HK为折痕，则sin∠ACH的是（）A．B．C．D．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，连接AE、ED，将△ABE沿AE翻折，使点B落在B'处，线段EB'交AD于点F，将△ECD沿DE翻折，使点C的对应点C'落在线段EB'上，若点C'恰好为EB'的中点，则线段EF的长为（）A．B．C．D．9．如图，▱ABCD中，AB＝6，∠B＝75°，将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，B′C交AD于E，∠B′AE＝45°，则点A到BC的距离为（）A．2B．3C．D．10．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形，E是AB 的中点，连结CE并延长交AD于F，如图2，现将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，则sin∠ACH的值为（）A．B．C．D．11．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A．B．C．D．12．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D 作DG⊥DE交BE于点G．则四边形DFEG的周长为（）A．8B．4C．2+4D．3+2二．填空题（共7小题）13．如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE、FG，得到∠AGE＝30°，若AE＝EG＝2厘米，则△ABC的边BC的长为厘米．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于．15．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝4，D为斜边AB上的中点，E是直角边AC上的一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠至△A′DE，A′E交BD于点F，若△DEF的面积是△ADE面积的一半，则CE＝．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，tan A＝，BC＝，点D是AB边上一点，连接CD，将△BCD沿着CD翻折得△B1CD，DB1⊥AC且交于点E，则DE＝．17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，把△ABC沿斜边AC折叠，使点B落在B’，点D，点E分别为BC和AB′上的点，连接DE交AC于点F，把四边形ABDE沿DE折叠，使点B与点C重合，点A落在A′，连接AA′交B′C于点H，交DE于点G．若AB ＝3，BC＝4，则GE的长为．18．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，且BC＝CA，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，AB′交CD于点E，连接B′D．若AB＝3，则B′D的长度为．19．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，使点D恰好落在BC 边上的F点处．已知折痕AE＝10，且CE：CF＝4：3，那么该矩形的周长为．。
2020重庆中考复习数学几何最值专题训练三(含答案解析)
2020年重庆中考数学最值专题训练三（含答案）1、（2018•明光市二模）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别为BC，AD上的点，过点E、F 的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分．过点A作AG⊥EF于点G，连接DG，则线段DG长的最小值为（）A．2B．2﹣2C．2D．2﹣22、如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是边AB、CD上的动点，且AE＝CF，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，连接DG，则线段DG长的最小值为．3、（2019•南充模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，O是BC边的中点，P是正方形内一动点，且OP＝2，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°到DQ，连接AP，CQ，PQ，则线段PQ的最小值为．4、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，且AE＝4，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为．5、（2019•惠山区一模）如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF，OF．则线段OF长的最小值（）A．2B．+2C．2﹣2 D．56、如图，在边长为2的正方形ABCD中，点O为AB中点，以AB为直径在正方形ABCD内部作半圆，E为半圆上任意一点（不与A．B重合），连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得列CF，连接DE、BF，OF．则线段OF长的最小值为．7、（2019秋•颍州区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为5，O是AB边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，将线段CE绕C点逆时针旋转90°得CF，连OF，线段OF的最小值为．8、（2019•太原二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，点D是AC边的中点，E是直线BC上一动点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接AF、EF，在点E的运动过程中线段AF的最小值为．9、（2019秋•锡山区期中）已知：如图，△ABC是边长为6的等边三角形，直线AF⊥BC于F，点D是直线AF上一动点，以BD为边在BD的右侧作等边△BDE，连接EF，则EF的最小值为．10、（2019•台州模拟）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝a（a＞1），E是BC上的一点，且BE＝1，点F是边AB上的任意一点．连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°，得到线段EG．在点F从点B运动到点A的过程中，若要点G能落在对角线AC上，则a的最大值为．11、如图1，四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE＝1：2，连接DG、BE、BG，则2BG+BE的最小值为．2020年重庆中考数学最值专题训练三（含答案）1、（2018•明光市二模）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别为BC，AD上的点，过点E、F 的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分．过点A作AG⊥EF于点G，连接DG，则线段DG长的最小值为（）A．2B．2﹣2C．2D．2﹣2解：连接AC，BD交于O，∵过点E、F的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分，∴EF过点O，∵AG⊥EF，∴∠AGO＝90°，∴点G在以AO为直径的半圆弧上，设AO的中点为M，连接DM交半圆弧于G，则此时，DG最小，∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，∴AC＝8，AC⊥BD，∴AO＝OD＝AC＝4，∴AM＝OM＝AO＝2，∴DM＝＝2，∴DG＝2﹣2，故选：B．2、如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是边AB、CD上的动点，且AE＝CF，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，连接DG，则线段DG长的最小值为．解：如图，过点F作FM⊥AB于M，过点G作GH⊥AD于H，GN⊥AB于N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝2，∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，且FM⊥AB，GH⊥AD，GN⊥AB，∴四边形BCFM，四边形AHGN是矩形，∴BM＝CF，NG＝AH，AN＝GH，MF＝BC＝2，∵将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，∴EG＝EF，∠GEF＝90°，∴∠NEG+∠FEM＝90°，且∠NGE+∠NEG＝90°，∴∠FEM＝∠NGE，且∠N＝∠FME＝90°，EF＝EG，∴△EGN≌△EFM（AAS）∴NE＝MF＝2，EM＝NG，设AE＝CF＝a，∴EM＝2﹣2a＝NG＝AH，AN＝2﹣a＝GH，∴HD＝AD﹣AH＝2﹣（2﹣2a）＝2a，∵GD＝＝∴当a＝时，GD有最小值为，3、（2019•南充模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，O是BC边的中点，P是正方形内一动点，且OP＝2，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°到DQ，连接AP，CQ，PQ，则线段PQ的最小值为．解：连接OD，如图所示：∵DQ＝DP，∠PDQ＝90°，∴PQ＝DP，OD＝＝＝5，∵OP+DP≥OD，∴DP≥OD﹣OP＝5﹣2＝3，∴PQ≥3，∴线段PQ的最小值为3．4、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，且AE＝4，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为2．解：将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，连接HG，过点H作HM⊥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝120°，∵将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，∴EF＝EG＝4，AE＝EH，∠AEH＝∠FEG＝120°，∴∠DEH＝60°，∠AEF＝∠HEG，且EF＝EG，AE＝EH，∴△AEF≌△HEG（SAS）∴∠A＝∠EHG＝120°＝∠AEH，∴AD∥HG，∴点G的轨迹是过点H且平行于AD的直线，∴当DG⊥HG时，线段GD长度有最小值，∵∠HEM＝60°，EH＝4，HM⊥AD，∴EM＝2，MH＝EM＝2，∴线段GD长度的最小值为2，5、（2019•惠山区一模）如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF，OF．则线段OF长的最小值（）A．2B．+2C．2﹣2 D．5解法一：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，∴OC＝，∴OD＝，∴OM＝，∵OF+MF≥OM，∴OF≥．故选：D．解法二：如图，由于OE＝2，所以E点可以看作是以O为圆心，2为半径的半圆上运动，延长BA到P 点，使得AP＝OC，连接PE，∵AE＝CF，∠P AE＝∠OCF，∴△P AE≌△OCF，∴PE＝OF，当O、E、P三点共线时，PE最小，OP＝＝＝5，∴PE＝OF＝OP﹣OE＝5﹣2，∴OF的最小值是5﹣2．6、如图，在边长为2的正方形ABCD中，点O为AB中点，以AB为直径在正方形ABCD内部作半圆，E为半圆上任意一点（不与A．B重合），连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得列CF，连接DE、BF，OF．则线段OF长的最小值为．解：由于OE＝2，所以E点可以看作是以O为圆心，2为半径的半圆上运动，延长BA到P点，使得AP＝OC，连接PE，∵AE＝CF，∠P AE＝∠OCF，∴△P AE≌△OCF（SAS），∴PE＝OF，当PE最小时，为O、E、P三点共线，OP＝＝＝5，∴PE＝OF＝OP﹣OE＝5﹣2，∴OF的最小值是5﹣2．7、（2019秋•颍州区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为5，O是AB边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，将线段CE绕C点逆时针旋转90°得CF，连OF，线段OF的最小值为．解：如图，连接CO，将线段CO绕点C逆时针旋转90°得CM，连接FM，OM，则∠ECF＝∠OCM＝90°，∴∠ECO＝∠FCM，∵CE＝CF，CO＝CM，∴△ECO≌△FCM（SAS），∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD中，AB＝5，O是AB边的中点，∴OB＝2.5，∴OC＝＝，∴OM＝OC＝，∵OF+MF≥OM，∴OF≥﹣2．∴线段OF的最小值为﹣2．8、（2019•太原二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，点D是AC边的中点，E是直线BC上一动点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接AF、EF，在点E的运动过程中线段AF的最小值为+1．解：如图，作DM⊥BC于M，FJ⊥DM于J交AB于N．∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，∴AC＝2BC＝4，AB＝BC＝2，∵AD＝DC．DM∥AB，∴DM＝AB＝，BM＝CM＝1，易证四边形BMJN是矩形，∴JN＝BM＝1，∵∠FDJ+∠EDM＝90°，∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠FDJ＝∠DEM，∵∠FJD＝∠DME＝90°，∴△FJD≌△DME（AAS），∴FJ＝DM＝，∴FN＝FJ+JN＝1+，∴点F在直线l上运动（直线l与直线AB之间的距离为+1），根据垂线段最短可知，当AF⊥直线l时，AF的值最短，最小值为+1，9、（2019秋•锡山区期中）已知：如图，△ABC是边长为6的等边三角形，直线AF⊥BC于F，点D是直线AF上一动点，以BD为边在BD的右侧作等边△BDE，连接EF，则EF的最小值为．解：如图，取AB中点H，连接DH，∵△ABC，△BDE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠DBE＝∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠EBC，∵△ABC是等边三角形，AF⊥BC，∴BF＝BC＝AB＝3，∠BAF＝30°，∵H是AB中点，∴AH＝BH＝AB＝BF＝3，且∠ABD＝∠EBC，BD＝BE，∴△BHD≌△BFE（SAS）∴EF＝DH，∴当DH取最小值时，EF有最小值，当DH⊥AF时，DH有最小值，∴DH＝AH＝，∴EF的最小值为，10、（2019•台州模拟）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝a（a＞1），E是BC上的一点，且BE＝1，点F是边AB上的任意一点．连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°，得到线段EG．在点F从点B运动到点A的过程中，若要点G能落在对角线AC上，则a的最大值为．解：如图，当点G落在对角线AC上，过点G作GH⊥BC于点H，∵△EFB≌△GEH，∴GH＝BE＝1，EH＝BF，∴CH＝BC﹣BE﹣EH＝a﹣1﹣BF，∵△CHG∽△CBA，∴，∴，∴BF＝∵点F是边AB上的任意一点，∴0≤BF≤AB，∴0≤≤4，∴≤a≤∴a的最大值为11、如图1，四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE＝1：2，连接DG、BE、BG，则2BG+BE的最小值为4．解：延长BE、GD相交于点H．∵矩形ECGF、矩形ABCD，∴∠ECG＝∠BCD＝90°，∴∠DCG＝∠BCE∵CD：CB＝2：4＝1：2，CG：CE＝1：2，∴CD：CB＝CG：CE，∵∠DCG＝∠BCE∴△DCG∽△BCE，∴，∠BEC＝∠DGC，∴DG＝BE作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延长线于M．易证△ECN∽△CGM，∴＝＝2，∵EN＝AB＝2，∴CM＝1，∴点G的运动轨迹是直线MG，作点D关于直线GM的对称点G′，连接BG′交GM于G，此时BG+GD的值最小，最小值＝BG′∵DG＝BE，∴BE＝2DG，∴2BG+BE＝2BG+2DG＝2（BG+DG）∴2BG+BE的最小值就是2（BG+DG）的最小值．∵BG′＝＝2，∴2BG+BE的最小值为4。
2020年重庆市中考数学试卷(附答案与解析)
绝密★启用前2020年重庆市初中学业水平考试数 学A 卷（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.试题的答案书写在答题卡．．．上，不得在试题卷上直接作答；2.作答前认真阅读答题卡．．．上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色．．2B ．．铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡．．．一并收回. 参考公式：抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，对称轴为2b x a=-. 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡．．．上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑. 1.下列各数中，最小的数是（ ）A .3-B .0C .1D .2 2.下列图形是轴对称图形的是（ ）ABCD3.在今年举行的第127届“广交会”上，有近26 000家厂家进行“云端销售”.其中数据26 000用科学记数法表示为（ ）A .32610⨯B .32.610⨯C .42.610⨯D .50.2610⨯4.把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（ ）A .10B .15C .18D .215.如图，AB 是O 的切线，A 为切点，连接OA ，OB ，若°20B ∠=，则AOB ∠的度数为（ ）A .40°B .50°C .60°D .70° 6.下列计算中，正确的是（ ）A .235+=B .2222+=C .236⨯=D .2323-=7.解一元一次方程()111123x x +=-时，去分母正确的是（ ）A .()3112x x +=-B .()2113x x +=-C .()2163x x +=-D .()3162x x +=-8.如图，在平面直角坐标系中，ABC △的顶点坐标分别是()12A ，，()11B ，，()31C ，，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF △，使DEF △与ABC △成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF 的长度为（ ）A .5B .2C .4D .259.如图，在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60m 的C 点处有一个山坡，山坡CD 的坡度（或坡比）1:0.75i =，山坡坡底C 点到坡顶D 点的距离45m CD =，在坡顶D 点处测得居民楼楼顶A 点的仰角为28°，居民楼AB 与山坡CD 的剖面在同一平面内，则居民楼AB 的高度约为（ ）（参考数据：°sin 280.47≈，°cos280.88≈，°tan 280.53≈）毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------A .76.9mB .82.1mC .94.8mD .112.6m10.若关于x 的一元一次不等式组3132x x x a-⎧+⎪⎨⎪⎩≤，≤的解集为x a ≤；且关于y 的分式方程34122y a y y y --+=--有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之积是（ ） A .7B .14-C .28D .56-11.如图，三角形纸片ABC ，点D 是BC 边上一点，连接AD ，把ABD △沿着AD 翻折，得到AED △，DE 与AC 交于点G ，连接BE 交AD 于点F .若DG GE =，3AF =，2BF =，ADG △的面积为2，则点F 到BC 的距离为 （ ）ABCD 12.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对角线AC 的中点与坐标原点重合，点E 是x 轴上一点，连接AE .若AD 平分OAE ∠，反比例函数()00ky x x x=＞，＞的图象经过AE 上的两点A ，F ，且AF EF =，ABE △的面积为18，则k 的值为（ ）A .6B .12C .18D .24二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡．．．中对应的横线上. 13.计算：()012π-+-=________.14.一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形是的边数是________.15.现有四张正面分别标有数字1-，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回．．，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m ，n ，则点()P m n ，在第二象限的概率为________.16.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，对角线AC 的中点为O ，分别以点A ，C 为圆心，以AO 的长为半径画弧，分别与正方形的边相交．则图中的阴影部分面积为________.（结果保留π）17.A ，B 两地相距240km ，甲货车从A 地以40km/h 的速度匀速前往B 地，到达B 地后停止.在甲出发的同时，乙货车从B 地沿同一公路匀速前往A 地，到达A 地后停止.两车之间的路程()km y 与甲货车出发时间()h x 之间的函数关系如图中的折线CD DE EF ——所示.其中点C 的坐标是()0240，，点D 的坐标是()2.40，，则点E 的坐标是________.18.火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3:5:2.随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的25，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的720，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8:5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是________.三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上. 19.计算：（1）()()22x y x x y ++-；（2）2291369m m m m m -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭. 20.为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识.某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6.七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：八年级抽取的学生测试成绩条形统计图根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表中的a ，b ，c 的值；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校七、八年级共1 200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？21.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，分别过点A ，C 作AE BD ⊥，CF BD ⊥，垂足分别为E ，F .AC 平分DAE ∠.（1）若°50AOE ∠=，求ACB ∠的度数； （2）求证：AE CF =.22.在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数261xy x =+性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题.（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡．．．上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡．．．上相应的括号内打“×”； ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y 轴.②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值.当1x =时，函数取得最大值3；当1x =-时，函数取得最小值3-.③当1x -＜或1x ＞时，y 随x 的增大而减小；当11x -＜＜时，y 随x 的增大而增大.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------（3）已知函数21y x =-的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式26211xx x -+＞的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）. 23.在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数.现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”.定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”. 例如：14524÷=，14342÷=，所以14是“差一数”； 19534÷=，但19361÷=，所以19不是“差一数”.（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由； （2）求大于300且小于400的所有“差一数”.24.“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”.为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A ，B 两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A ，B 两个品种各种植了10亩.收获后A ，B 两个品种的售价均为2.4元/kg ，且B 的平均亩产量比A 的平均亩产量高100kg ，A ，B 两个品种全部售出后总收入为21 600元. （1）请求出A ，B 两个品种去年平均亩产量分别是多少？（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A ，B 种植亩数不变的情况下，预计A ，B 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加%a 和2%a .由于B 品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨%a ，而A 品种的售价不变.A ，B 两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加20%9a .求a 的值.25.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A ，B 两点，其中()34A --，，()01B -，. （1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点，连接PA ，PB ，求PAB △面积的最大值；（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线()211110y a x b x c a =++≠，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E ，使以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．25题图25题备用图四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上.26.如图，在Rt ABC △中，°90BAC ∠=，AB AC =，点D 是BC 边上一动点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，连接CE ，DE .点F 是DE 的中点，连接CF .（1）求证：CF AD =； （2）如图2所示，在点D 运动的过程中，当2BD CD =时，分别延长CF ，BA ，相交于点G ，猜想AG 与BC 存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D 运动的过程中，在线段AD 上存在一点P ，使PA PB PC ++的值最小．当PA PB PC ++的值取得最小值时，AP 的长为m ，请直接用含m 的式子表示CE 的长.图1图2 备用图2020年重庆市初中学业水平考试数学答案解析一、 1.【答案】A【解析】有理数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.3012-∵＜＜＜，∴最小的数是3-，故选：A . 【考点】有理数的大小比较 2.【答案】A【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解. 解：A 、是轴对称图形，故本选项正确； B 、不是轴对称图形，故本选项错误； C 、不是轴对称图形，故本选项错误； D 、不是轴对称图形，故本选项错误； 故选：A .【考点】轴对称图形的概念 3.【答案】C【解析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤＜，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值10＞时，n 是正数；当原数的绝对值1＜时，n 是负数.426000 2.610=⨯，故选：C .【考点】科学记数法的表示方法 4.【答案】B【解析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n 个图案中黑色三角形的个数为1234n +++++，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数.解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1， 第②个图案中黑色三角形的个数312=+，第③个图案中黑色三角形的个数6123=++， ……∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1234515++++=，故选：B .【考点】图形的变化规律 5.【答案】D【解析】根据切线的性质可得°90OAB ∠=，再根据三角形内角和求出AOB ∠.∵AB 是O 的切线 °90OAB ∠=∴ °20B ∠=∵°°18070AOB OAB B ∠=-∠-∠=∴故选D .【考点】切线的性质 6.【答案】C【解析】根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案. 解：A不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误； B .2不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误； C==，此选项计算正确；D.与2-不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； 故选：C .【考点】二次根式的混合运算 7.【答案】D【解析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案.解：方程两边都乘以6，得：()3162x x +=-，故选：D .【考点】解一元一次方程 8.【答案】D【解析】把A 、C 的横纵坐标都乘以2得到D 、F 的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF 的长.解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF △，使DEF △与ABC △成位似图形，且相似比为2:1，而()12A ，，()31C ，， ()24D ∴，，()62F ，，DF =∴故选：D . 【考点】位似变换 9.【答案】B【解析】构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出DE 、EC 、BE 、DF 、AF ，进而求出AB .解：如图，由题意得，°28ADF ∠=，45CD =，60BC =， 在Rt DEC △中，∵山坡CD 的坡度1:0.75i =，140.753DE EC ==∴， 设4DE x =，则3EC x =， 由勾股定理可得5CD x =， 又45CD =，即545x =，9x =∴，327EC x ==∴，436DE x FB ===， 602787BE BC EC DF =+=+==∴，在Rt ADF △中，°tan 280.538746.11AF DF =⨯≈⨯≈，46.113682.11AB AF FB =+=+≈∴，故选：B .【考点】直角三角形的边角关系 10.【答案】A【解析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a 的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a 的值，求出之和即可.解：解不等式3132x x -+≤，解得7x ≤， ∴不等式组整理的7x x a ⎧⎨⎩≤≤， 由解集为x a ≤，得到7a ≤，分式方程去分母得：342y a y y -+-=-，即32y a -=， 解得：23a y +=， 由y 为正整数解且2y ≠，得到1a =，7，177⨯=，故选：A .【考点】分式方程的解 11.【答案】B【解析】首先求出ABD △的面积.根据三角形的面积公式求出DF ，设点F 到BD 的距离为h ，根据1122BD h BF DF =，求出BD 即可解决问题. 解：DG GE =∵，2ADG AEG S S ==△△∴， 4ADE S =△∴，由翻折可知，ADB ADE ≅△△，BE AD ⊥，4ABD ADE S S ==△△∴，°90BFD ∠=，()142AF DF BF +=∴， ()13242DF +=∴，1DF =∴，DB ===∴设点F 到BD 的距离为h ，则1122BD h BF DF=， h ∴， 故选：B .【考点】翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算 12.【答案】B 【解析】先证明OBAE ，得出18ABE OAE S S ==△△，设A 的坐标为k a a ⎛⎫⎪⎝⎭，，求出F 点的坐标和E 点的坐标，可得13182OAE kS a a=⨯⨯=△，求解即可.解：如图，连接BD ，∵四边形ABCD 为矩形，O 为对角线，AO OD =∴，ODA OAD ∠=∠∴，又AD ∵为DAE ∠的平分线，OAD EAD ∠=∠∴，EAD ODA ∠=∠∴，OB AE ∴，18ABE S =△∵， 18OAE S =△∴，设A 的坐标为k a a ⎛⎫⎪⎝⎭，，AF EF =∵， F ∴点的纵坐标为2k a， 代入反比例函数解析式可得F 点的坐标为22k a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，E ∴点的坐标为()30a ，， 13182OAE kS a a=⨯⨯=△，解得12k =， 故选：B .【考点】反比例函数，几何综合，矩形的性质，平行线的判定 二、 13.【答案】3【解析】根据零指数幂及绝对值计算即可.()012123π-+-=+=；故答案为3. 【考点】含零指数幂的简单实数混合运算 14.【答案】6【解析】设这个多边形的边数为n ，根据内角和公式和外角和公式，列出等式求解即可.设这个多边形的边数为n ，()°°21802360n -=⨯∴，解得：6n =， 故答案为：6.【解析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点()P m n ，在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解.解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中点()P m n ，在第二象限的结果数为3， 所以点()P m n ，在第二象限的概率316=. 故答案为：316. 【考点】列表法，树状图法，点的坐标 16.【答案】4π-【解析】根据图形可得S 2ABCD S S =-阴影扇形，由正方形的性质可求得扇形的半径，利用扇形面积公式求出扇形的面积，即可求出阴影部分面积. 由图可知，2ABCD S S S =-阴影扇形， 224ABCD S =⨯=，∵四边形ABCD 是正方形，边长为2，AC =∴，∵点O 是AC 的中点，OA ∴2°°903602S ππ==扇形∴，24ABCD S S S π=-=-阴影扇形∴，故答案为：4π-.【考点】求阴影部分面积，扇形面积公式，正方形的性质17.【答案】()4160，【解析】先根据CD 段的求出乙货车的行驶速度，再根据两车的行驶速度分析出点E 表示的意义，由此即可得出答案. 设乙货车的行驶速度为km/h a由题意可知，图中的点D 表示的是甲、乙货车相遇∵点C 的坐标是()0240，，点D 的坐标是()2.40， ∴此时甲、乙货车行驶的时间为2.4h ，甲货车行驶的距离为()40 2.4=96km ⨯，乙货车行驶的距离为()24096144km -=()144 2.460km/h a =÷=∴∴乙货车从B 地前往A 地所需时间为()240604h ÷=由此可知，图中点E 表示的是乙货车行驶至A 地，EF 段表示的是乙货车停止后，甲货车继续行驶至B 地，则点E 的横坐标为4，纵坐标为在乙货车停止时，甲货车行驶的距离，即404160⨯=.即点E 的坐标为()4160， 故答案为：()4160，.【解析】先根据题意设出相应的未知数，再结合题目的等量关系列出相应的方程组，最后求解即可求得答案.解：设6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为3k ，5k ，2k ，7月份总增加的营业额为m ，则7月份摆摊增加的营业额为2m 5，设7月份外卖还需增加的营业额为x .∵7月份摆摊的营业额是总营业额的720，且7月份的堂食、外卖营业额之比为8:5， ∴7月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为8:5:7，∴设7月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为8a ，5a ，7a ，由题意可知：3385552275k m x a k x a m k a ⎧+-=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩，解得：125215k a x a m a ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，512857208ax a a a a ==++∴， 故答案为：18.()()()()()()2233333333m m mm m m m m m ++==+-++-【解析】（1）利用完全平方公式和整式乘法展开后合并同类型即可.具体解题过程参照答案.（2）先把分子分母因式分解，然后按顺序计算即可.具体解题过程参照答案. 【考点】整式的运算，分式的混合运算 20.【答案】（1）7a =，7.5b =，50%c =（2）根据以上数据，八年级的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比比七年级的学生掌握垃圾分类知识较好. （3）七年级合格人数：18人 八年级合格人数：18人181********%108040+⨯⨯=人答：估计参加此次测试活动成绩合格的人数有1 080人.【解析】（1）七年级20名学生的测试成绩的众数找出现次数最多的即可得出的a 值，由条形统计图即可得出八年级抽取的学生的测试成绩的中位数，八年级8分及以上人数除以总人数20人即可得出c 的值. 七年级20名学生的测试成绩的众数是：7，7a =∴，由条形统计图可得，八年级抽取的学生的测试成绩的中位数是：787.52+=， 7.5b =∴，八年级8分及以上人数有10人，所占百分比为：50%50%c =∴.（2）分别比较七年级和八年级的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比即可得出结论.具体解题过程参照答案.（3）用七八年级的合格总人数除以总人数40人，得到这两个年级测试活动成绩合格的百分比，再乘以1 200即可得出答案.具体解题过程参照答案. 【考点】平均数，众数，中位数，条形统计图 21.【答案】（1）解：AE BD ⊥∵，CF BD ⊥AECF ∴DAC ACB ∠=∠∴ °50AOE ∵， °50AOECOF∴°40OCF ∠=∴，∵平行四边形ABCD ADDC ∴，DAC ACB ∠=∠∴ °40ACB ∠=∴（2）证明：∵AC 与BD 交于点O ，OA OC =∴，AE BD ⊥∵，CF BD ⊥， °90AEOCFO∴，AOE COF ∠=∠∵， AEO CFO ≌∴△△，AE CF ∴=.【解析】（1）利用三角形内角和定理求出EAO ∠，利用角平分线的定义求出DAC ∠，再利用平行线的性质解决问题即可.具体解题过程参照答案. （2）证明()AEO CFO AAS △≌△可得结论.具体解题过程参照答案【解析】（1）代入3x =和3x =-即可求出对应的y 值，再补全函数图象即可.解：当3x =-时，261899151x y x -===-++， 当3x =时，261899151x y x ===++，函数图象如下：（2）结合函数图象可从增减性及对称性进行判断. ①由函数图象可得它是中心对称图形，不是轴对称图形； 故答案为：×，②结合函数图象可得：该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当1x =时，函数取得最大值3；当1x =-时，函数取得最小值3-； 故答案为：√，③观察函数图象可得：当1x -＜或1x ＞时，y 随x 的增大而减小；当11x -＜＜时，y 随x 的增大而增大；故答案为：√.（3）根据图象求解即可.具体解题过程参照答案.【考点】一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式 23.【答案】（1）49不是“差一数”，74是“差一数”，49594÷=∵；493161÷=，∴49不是“差一数”，745144÷=∵；743242÷=，∴74是“差一数”（2）314、329、344、359、374、389【解析】（1）直接根据“差一数”的定义计算即可.具体解题过程参照答案.（2）根据“差一数”的定义可知被5除余4的数个位数字为4或9；被3除余2的数各位数字之和被3除余2，由此可求得大于300且小于400的所有“差一数”.∵“差一数”这个数除以5余数为4， ∴“差一数”这个数的个位数字为4或9，∴大于300且小于400的符合要求的数为304、309、314、319、324、329、334、339、344、349、354、359、364、369、374、379、384、389、394、399，∵“差一数”这个数除以3余数为2，∴“差一数”这个数的各位数字之和被3除余2，∴大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389.【考点】带余数的除法运算24.【答案】（1）设A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 、y 千克，由题意得1002.410 2.41021600y x x y =+⎧⎨⨯+⨯=⎩， 解得400500x y =⎧⎨=⎩.答：A ，B 两个品种去年平均亩产量分别是400、500千克.数学试卷 第21页（共26页） 数学试卷 第22页（共26页）（2）根据题意得：()()()20244001%241%50012%216001%9a a a a ⎛⎫⨯+++⨯+=+ ⎪⎝⎭. 令%a m =，则方程化为：()()()20244001241500122160019m m m m ⎛⎫⨯+++⨯+=+⎪⎝⎭. 整理得2100m m -=，解得：10m =（不合题意，舍去），20.1m = 所以%0.1a =，所以10a =， 答：a 的值为10.【解析】（1）设A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 、y 千克，根据题意列出方程组，解方程组即可得到答案.具体解题过程参照答案.（2）根据题意分别表示A 品种、B 品种今年的收入，利用总收入等于A 品种、B 品种今年的收入之和，列出一元二次方程求解即可得到答案.具体解题过程参照答案. 【考点】二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用25.【答案】（1）∵抛物线过()34A --，，()01B -， 9341b c c -+=-⎧⎨=-⎩∴41b c =⎧⎨=-⎩∴241y x x =+-∴（2）设AB y kx b =+，将点()34A --，()01B -，代入AB y 1AB y x =-∴过点P 作x 轴得垂线与直线AB 交于点F设点()241P a a a +-，，则()1F a a -， 由铅垂定理可得()()22212314123323327228PAB B AS PF x x a a a a a a =-=---+=--⎛⎫=-++⎪⎝⎭△PAB ∴△面积最大值为278（3）抛物线的表达式为：()224125y x x x =+-=+-， 则平移后的抛物线表达式为：25y x =-，联立上述两式并解得：14x y =-⎧⎨=-⎩，故点()14C --，；设点()2D m -，、点()E s t ，，而点B 、C 的坐标分别为()01-，、()14--，； ①当BC 为菱形的边时，点C 向右平移1个单位向上平移3个单位得到B ，同样()D E 向右平移1个单位向上平移3个单位得到()E D ，即21s -+=且3m t +=①或21s --=且3m t -=②，当点D 在E 的下方时，则BE BC =，即()2222113s t ++=+③， 当点D 在E 的上方时，则BD BC =，即()22222113m++=+④，联立①③并解得：1s =-，2t =或4-（舍去4-），故点()12E -，；数学试卷 第23页（共26页） 数学试卷 第24页（共26页）联立②④并解得：3s =-，4t =-(34E --+，或(34--，； ②当BC 为菱形的对角线时，则由中点公式得：12s -=-且41m t --=+⑤， 此时，BD BE =，即()()2222211m s t ++=++⑥，联立⑤⑥并解得：1s =，3t =-，故点()13E -，， 综上，点E 的坐标为：()12-，或(34--，或(34--，或()13-，.【解析】（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解.具体解题过程参照答案. （2）设AB y kx b =+，求得解析式，过点P 作x 轴得垂线与直线AB 交于点F ，设点()241P a a a +-，，则()1F a a -，，2133272228PABB A S PF x x a ⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭△，即可求解.具体解题过程参照答案.（3）分BC 为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可.具体解题过程参照答案.90BAC DAE ︒∠=∠=∵，BAD CAE ∠=∠∴，AB AC =∵，AD AE =，∴在ABD △和ACE △中BAD CAE AB ACAD AE =∠⎧⎪=⎨⎪=⎩， ABD ACE ≅∴△△， 45ABD ACE ︒∠=∠=∴，90DCE ACB ACE ︒∠=∠+∠=∴，在Rt ADE △中，F 为DE 中点（同时AD AE =），45ADE AED ︒∠=∠=，AF DE ⊥∴，即Rt ADF △为等腰直角三角形，AF DF AD =∴，CF DF =∵，CF AD ∴； （2）由（1）得ABD ACE ≅△△，CE BD =，°45ACE ABD ∠=∠=，454590DCB BCA ACE ︒︒︒∠=∠+∠=+=∴，在Rt DCB △中，()2DE BD CE CD =====，F ∵为DE 中点，122DE EF DE ===∴，在四边形ADCE 中，有90CAG DCE ︒∠=∠=，180CZG DCE ︒∠+∠=，∴点A ，D ，C ，E 四点共圆， F ∵为DE 中点，F ∴为圆心，则CF AF =，在RtAGC △中，CF AF=∵，F ∴为CG中点，即2CG CF =，AG AC ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭∴， 即BC =；（3）设点P存在，由费马定理可得120APB BPC CPA ︒∠=∠=∠=，60BPD ︒∠=∴，设PD 为a ，BD =∴，数学试卷 第25页（共26页） 数学试卷 第26页（共26页）又AD BD =，a m +∴，1m a =a【解析】（1）先证BAD CAE ≅△△，可得°45ABD ACE ∠=∠=，可求°90BCE ∠=，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得结论.具体解题过程参照答案. （2）由（1）得ABD ACE △≌△，CE BD =，°45ACE ABD ∠=∠=，推出°°°454590DCB BCA ACE ∠=∠+∠=+=，然后根据现有条件说明在Rt DCB△中，DE ==，点A ，D ，C ，E 四点共圆，F 为圆心，则CF AF =，在Rt AGC △中，推出2AG =，即可得出答案.具体解题过程参照答案.（3）设点P 存在，由费马定理可得°120APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设PD 为a，得出BD =，AD BD ==，得出a m +=，解出a ，根据BD CE =即可得出答案.具体解题过程参照答案.【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数。
2020中考数学 压轴专题 三大几何变换之折叠问题(含答案)
2020中考数学压轴专题三大几何变换之折叠问题（含答案）1. 如图，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC上的点，EF＝6，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折．得到四边形EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为()A. 6B. 12C. 18D. 24第1题图C2. 如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则线段BQ的长度为()A. 53 B.52 C. 4 D. 5第2题图C3. 如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF＝23，则∠A＝()A. 120°B. 100°C. 60°D. 30°第3题图A【解析】如解图，连接AC，则两条对角线交于点O，∵点A沿EF折叠与点O重合，∴EF垂直平分AO，∵AO⊥BD，AO⊥EF，∴EF∥BD，∴EF是△ABD的中位线，∴EF＝12BD，∴BD＝43，∴BO＝DO＝12BD＝23，∵AB＝4，∴cos∠ABO＝BOAB＝234＝32，∴∠ABO＝30°，∴∠BAO＝60°，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，∴∠A＝120°，故选A.第3题解图4. 如图的实线部分是由Rt △ABC 经过两次折叠得到的，首先将Rt △ABC 沿BD 折叠，使点C 落在斜边上的点C ′处，再沿ED 折叠，使点A 落在DC ′的延长线上的点A ′处，若图中∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝5 cm ，则折痕DE 的长为________．第4题图103【解析】∵∠A ＝30°，∠C ＝90°，∴∠ABC ＝180°－∠C －∠A ＝60°，根据折叠的性质可得，∠DBC ′＝∠DBC ＝12∠ABC ＝12×60°＝30°，在Rt △BCD 中，cos ∠DBC ＝BCBD ，∴BD ＝BC cos ∠DBC ＝5cos30°＝1033，∵∠CDB ＝180°－∠C －∠DBC ＝180°－90°－30°＝60°，∴∠BDA ′＝∠CDB ＝60°，∴∠ADA ′＝180°－∠CDB －∠BDA ′＝180°－60°－60°＝60°，∵DE 是折痕，根据折叠的性质可得，∠EDA ′＝12∠ADA ′＝12×60°＝30°，∴∠BDE ＝∠BDA ′＋∠EDA ′＝60°＋30°＝90°，在Rt △BED 中，DE ＝BD ·tan30°＝1033×33＝103.5. 将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF .若AB ＝6，则BC 的长为________．第5题图23 【解析】∵四边形AECF 是菱形，AB ＝6，假设BE ＝x ，则AE ＝6－x ，∴CE ＝6－x ，∵四边形AECF 是菱形，∴∠FCO ＝∠ECO ，∵∠ECO ＝∠ECB ，∴∠ECO ＝∠ECB ＝∠FCO ＝30°，2BE ＝CE ，∴CE ＝2x ，∴2x ＝6－x ，解得：x ＝2，∴CE ＝4，利用勾股定理得出：BC 2＋BE 2＝EC 2，BC ＝EC 2－BE 2＝42－22＝2 3.6. 用剪刀将形状如图①所示的矩形纸片ABCD 沿着直线CM 剪成两部分，其中点M 为AD 的中点．用这两部分纸片可以拼成图②所示的Rt △BCE .若Rt △BCE 是等腰直角三角形，设原矩形纸片中的边AB ＝a ，BC ＝b ，且a 、b 满足关系式a ＋b ＝m －1，ab ＝m ＋1，则点D 到CM 的距离为________．第6题图2 【解析】∵Rt △BCE 是等腰直角三角形，M 为AD 的中点，∴b ＝2a .∵a ＋b ＝m －1，∴a ＋2a ＝m －1，∴a ＝m －13，b ＝2（m －1）3，∵ab ＝m ＋1，∴m －13·2（m －1）3＝m ＋1，整理得2m 2－13m －7＝0，解得m ＝－12(舍去)或m ＝7，∴a ＝2，b ＝4，AM ＝MD ＝2，在Rt △MCD 中 ，CM ＝22＋22＝22，∴点D 到CM 的距离为2×222＝ 2.7. 将一个矩形纸片ABCD 放置到平面直角坐标系中，点A 、B 恰好落在x 轴的正、负半轴上，若将该纸片沿AF 折叠，点B 恰好落在y 轴上的点E 处，设OA ＝1.(1)如图①，若OB ＝1，则点F 的坐标为________； (2)如图②，若OB ＝2，求点F 的坐标； (3)若OB ＝n ，请直接写出点F 的坐标．第7题图解：（1）(1，233)【解法提示】由折叠的性质可知AE ＝AB ＝2, ∠EAF ＝∠BAF ，∵OA ＝1，AE ＝2，∠AOE ＝90°，∴∠AEO ＝30°，∴∠EAO ＝60°，∴∠F AB ＝30°，∴BF ＝AB ·tan ∠F AB ＝233，则点F的坐标为(1，233)．（2）如解图，作FM ⊥y 轴于点M ，∴∠AEF ＝∠ABF ＝90°，FM ⊥y 轴，∴∠AEO ＋∠FEM ＝90°，∠FEM ＋∠EFM ＝90°， ∴∠AEO ＝∠EFM ，∵sin ∠AEO ＝AO AE ＝13，第7题解图∴sin ∠EFM ＝13.设EM ＝x ，则EF ＝3x ，由勾股定理得MF ＝22x ，OE ＝22， ∵OB ＝2， ∴22x ＝2， 解得x ＝22， ∴OM ＝OE －EM ＝322，∴点F 的坐标为(2，322)；（3）(n ，n 2＋nn 2＋2n)． 【解法提示】如解图，作FM ⊥y 轴于点M ， 同理∠AEO ＝∠EFM ，∵sin ∠AEO ＝AO AE ＝1n ＋1，∴sin ∠EFM ＝1n ＋1，设EM ＝x ，则EF ＝(n ＋1)x ，由勾股定理得MF ＝n 2＋2n x ，OE ＝n 2＋2n ， ∵OB ＝n ， ∴n 2＋2n x ＝n .解得x ＝nn 2＋2n ，∴OM ＝OE －EM ＝n 2＋2n －nn 2＋2n ＝n 2＋n n 2＋2n， ∴点F 的坐标为(n ，n 2＋nn 2＋2n)．8. 如图，将一个正方形纸片AOCD 放置在平面直角坐标系中，点A (0，4)，点O (0，0)，点D 在第一象限，点P 为正方形AD 边上的一点(不与点A 、点D 重合)，将正方形纸片折叠，使点O 落在点P 处，点C 落在点G 处，PG 交DC 于点H ，折痕为EF ，连接OP ，OH .设P点的横坐标为m.(1)若∠APO＝60°，求∠OPG的大小；(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长l是否发生变化？若变化，用含m的式子表示l；若不变化，求出周长l；(3)设四边形EFGP的面积为S，当S取得最小值时，求点P的坐标(直接写出结果即可)．第8题图解：（1）∵折叠正方形纸片，使点O落在点P处，点C落在点G处，∴∠POC＝∠OPG，∵四边形AOCD是正方形，∴AD∥OC，∴∠APO＝∠POC，∴∠APO＝∠OPG，∵∠APO＝60°，∴∠OPG＝60°；（2）△PDH的周长不发生变化，理由：如解图①，过点O作OQ⊥PG，垂足为点Q，则∠DAO＝∠PQO＝90°.第8题解图①由(3)知∠APO＝∠OPG，又∵OP＝OP，∴△AOP≌△QOP，∴AP＝QP，AO＝QO，∵AO＝OC，∴OC＝OQ，∵∠OCD＝∠OQH＝90°，OH＝OH，∴Rt△OCH≌Rt△OQH，∴CH＝QH，∴△PDH 的周长l ＝PD ＋DH ＋PH ＝PD ＋DH ＋PQ ＋QH ＝PD ＋PQ ＋DH ＋QH ＝PD ＋AP ＋DH ＋CH ＝AD ＋CD ＝8，∴△PDH 的周长l 不发生变化，周长l 为定值8； （3）当S 取得最小值时，点P 的坐标为(2，4)．【解法提示】如解图②，过点F 作FM ⊥OA 于点M ，设EF 与OP 交于点N ，第8题解图②由折叠的性质知△EON 与△EPN 关于直线EF 对称， ∴△EON ≌△EPN ，∴ON ＝PN ，EP ＝EO ，EN ⊥PO ，∵∠OAP ＝∠ENO ，∠AOP ＝∠NOE ， ∴△POA ∽△EON ， ∴PO EO ＝P A EN ＝OAON①， 设P A ＝x ， ∵点A (0，4)， ∴OA ＝4，∴OP ＝OA 2＋P A 2＝16＋x 2，∴ON ＝12OP ＝1216＋x 2，将OP ，ON 代入①式得，OE ＝PE ＝ 18(16＋x 2)， ∵∠EFM ＋∠OEN ＝90°， ∠AOP ＋∠OEN ＝90°， ∴∠EFM ＝∠AOP ， 在△EFM 和△POA 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EFM ＝∠AOP FM ＝OA ∠OAP ＝∠EMF， ∴△EFM ≌△POA (ASA)， ∴EM ＝P A ＝x ，∴FG ＝CF ＝OM ＝OE －EM ＝ 18(16＋x 2)－x ＝18x 2－x ＋2，∴S＝S梯形EFGP＝S梯形OCFE＝12(FC＋OE)·OC＝12[18x2－x＋2＋18(16＋x2)]×4＝12(x－2)2＋6，∴当x＝2时，S最小，即AP＝2，∴点P的坐标是(2，4)．。
直角三角形翻折模型(解析版)-中考数学满分突破
直角三角形翻折模型已知在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =3，BC =4，AC =5模型一：沿过点A 的直线翻折使得点B 的对应点B '落在斜边AC 上，折痕为AD ，求线段AD ，DC ，B 'C 长度。
解法一(勾股定理思路)：由已知条件可知，AB =AB '，BD =B 'D∵∠ABC =90°，AB =3，AC =5∴∠AB 'D =90°，AB '=3，B 'C =2设BD =x ，则B 'D =x ，DC =4-x在Rt △DB 'C 中，由勾股定理可得DB '2+B 'C 2=DC 2即x 2+22=(4-x )2解得x =1.5∴B 'D =1.5, DC =2.5同理AD =32√5解法二(相似三角形思路)：由已知条件易证△ABC ∽△DB 'C 则AB BC =DB 'B 'C 则B 'D =1.5 再由勾股定理求解线段AD 长【模型变形】已知在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =3，BC =4，AD 为∠BAC 的角平分线，求DC 长解法(思路)：过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E则△ABD ≌△AED (AAS )(证明过程略)∴∠ABD =∠AED ，BD =DE ，AB =AE剩余步骤参照模型一解法一模型二：沿过点C 的直线翻折使得点B 的对应点B '落在斜边AC 上，折痕为CD ，求线段AD ，DC ，AB '长度。
解法一(勾股定理思路)：由已知条件可知，BD =B 'D ，BC =B 'C∵∠ABC =90°， BC =4，AC =5∴∠CB 'D =90°， B 'C =4，AB '=1设BD =x ，则B 'D =x ，AD =3-x在Rt △ADB '中，由勾股定理可得DB '2+AB '2=AD 2即x 2+12=(3-x )2解得x =43∴B 'D =43, AD =53在Rt △DCB '中，由勾股定理可Q 求得CD 长解法二(相似三角形思路)：由已知条件易证△ABC ∽△AB 'D 则AB BC=AB 'B 'D 则B 'D =43 再由勾股定理求解线段CD 长模型三：沿MN 翻折使得点A 与点C 重合，求线段AN ，BM ，MN 长度。
3、2020重庆中考数学三角形翻折变换专题三
三角形翻折变换专题四1、如图，在等腰△ ABC 中， AB ＝ AC ，点 D 和点 E 分别在 AB 和 BC 上，连接 DE ，将△ BDE 沿 DE 翻折，点 B 的对应点 B ′刚好落在 AC 上，若 AB'＝ 2B'C ，AB ＝3 ， BC ＝6，则 BE 的长为（）2、如图，在等腰 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点 D 为AB 中点，点 E 为AC 上一点，将△ ADE 沿DE 翻 折得到△ A ′DE ，连接 A ′B 、A ′C ，已知 A ′C ＝ ，A ′B ＝ 3，则 S △ABC ＝（）的位置，连接 DE 、 CE 、 AE ， DE 交 AC 于点 F ，若 BC ＝6，AC ＝8，则 AE 的值为（ ）A ．3B ．D ．A ．B ．9C ．D ．3、 已知 Rt △ ACB 中，点 D 为斜边 AB 的中点，连接 CD ，将△ DCB 沿直线 DC 翻折，使点 B 落在点 EA ．B ．C ．D．4、（2019秋?九龙坡区校级期中）如图，在△ ABC 中，过点 A 作AE ⊥BC 于点E ，过点 C 作CD ⊥AB 于点 D ，AE 、CD 交于点 F ，连接 BF 将△ ABF 沿BF 翻折得到△ A ′ BF ，点 A ′恰好落在线段 AC 上．若 AE＝EC ，AC ＝3 ，BE ＝1，则△ A ′CF 的面积是（）A ． 2B ．C ．6、如图，在 ABC 中， AB AC 2， BAC 300，将 ABC 沿AC 翻折得到 ACD ，延长 AD 交BC的延长线于点 E ，则 ABE 的面积为（ ）D ．1B. 3 32C.3D.4 3 1248、如图，△ ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，D 是线段 BC 的中点，连接 AD ，将△ ACD 沿 AD 翻折得到△ AED ，连接 BE ，CE ．则 BE 的长为（ ）1213 14 D.3A. B. C. 5 5 59. （ 2019秋?北碚区校级期中） 如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝ + ，点 D 为边 AB 上一点， 连接 CD ．将△ ACD 沿直线 CD 翻折至△ ECD ，CE 恰好过 AB 的中点 F ．连接 AE 交 CD 的延长线于点 H ， 若∠ ACD ＝15 °，则 DH 的长为（）A ． B ． C ． D ．110、如图，在△ ABC 中，∠ ABC ＝30°，∠ ADC ＝ 45°， BD ＝1，DC ＝ ，将△ ACD 沿 AD 翻折得到△ AED ，连接 BE ．则 AB 的长为（）．A. 3+1B. 3 +32， AB ＝3，AC ＝4，点 D 是 BC 的中点，将△ ABD 沿 AD 翻折得到△AED ，连 CE ，则线段CE 的长等于（ ）A ．2B ．C ．D ．C.2.6D. 3 +1211、如图，△ ABC 中，∠ BAC ＝ 90三角形翻折变换专题三答案解析1、一中 2020 届初三上半期考试如图，在等腰△ ABC 中， AB ＝AC ，点 D 和点 E 分别在 AB 和 BC 上，连接 DE ，将△ BDE 沿 DE 翻折，点B 的对应点 B ′刚好落在 AC 上，若 AB'＝2B'C ，AB ＝3 ，BC ＝6，则 BE 的长为（ ）解：如图，过点 A 作 AF ⊥ BC ， B'H ⊥ BC ，则 B'H ∥ AF ， ∵AB ＝AC ，AF ⊥BC ，∴BF ＝CF ＝3，∴ AF ＝ ＝ ＝6，∵AB'＝2B'C ，∴ AC ＝3B'C ，∵ AF ∥B'H ，∴ ＝ ＝ ，∴CH ＝1，B'H ＝2，∴ BH ＝5，∵将△ BDE 沿 DE 翻折，∴ BE ＝ B'E ，2 2 2 2 2 ∵B'E 2＝B'H 2+EH 2，∴BE 2＝4+（5﹣BE ）2，∴BE ＝ 故选： D ．2、重庆南开中学初 2020 级九年级上期中解：如图，连接 CD ，作 CH ⊥BA ′交 BA ′于 H．A ．3C ．D ．如图，在等腰 Rt △ABC 中，∠ ACB ＝ 90°，点 D 为 AB 中点，点 E 为 AC 上一点，将△ ADE 沿 DE 翻折得 到△ A ′DE ，连接 A ′B 、A ′C ，已知 A ′C ＝ ， AB ＝ 3，则 S △ABC ＝（A ．C ．D ．B ． B ．9∵∠ ACB＝90°， D 是AB 的中点，∴ CD＝DA＝DB，由翻折的性质可知：DA＝DA ′，∴ DA＝DB＝DC ＝DA ′，∴A，B，A′，C 四点共圆，∴∠ CA′B+∠A＝180°，∵CA＝CB，∠ ACB＝90°，∴∠ A＝45°，∴∠ CA′B＝135°，∴∠ CA′H＝45°，∵CA′＝，∴CH＝HA′＝1，∴ BC＝＝＝，∴ S△ABC＝?BC?AC＝．故选：A．△3、巴蜀初2020 届九上周练习（五）已知Rt△ ACB 中，点 D 为斜边AB 的中点，连接CD，将△ DCB 沿直线DC 翻折，使点 B 落在点 E 的位置，连接DE、CE、AE，DE 交AC 于点F，若BC＝6，AC＝8，则AE的值为（）解：连接BE交CD 于点G，∵ Rt△ACB 中，AB＝＝10，∵点 D 为斜边AB 的中点，∴ CD ＝AD＝BD＝AB＝5，设DG x ，在△ DBG中，BG2 BD2 DG 2，在△ CBG 中，BG2 BC2 CG2∴52 x2=62（5 x）2∴ x=7，DG 7∴DM＝＝4，55∴ BG EG ∵点 D 为斜边AB 的中点，∴ AE＝2DG ＝，故选：B．解：∵ AE⊥BC，CD⊥ AB，∴∠ ADF ＝∠ CEF ＝90°，∵∠ AFD＝∠ CFE ，∴∠ DAF ＝∠ FCE，∵∠ BAE＝∠ ECF，AE＝EC，∠ AEB＝∠ CEF＝90°，∴△ AEB≌△ CEF（ASA），∴ BE＝EF＝1，由翻折可知：∠ BAF＝∠ BA′ F，BA′＝BA，∴∠ BAA′＝∠ BA′A，∵EA＝EC，∠ AEC＝90°，AC＝3 ∴∠ EAC ＝∠ ECA＝45°，AE＝EC＝3，∴AF＝AE﹣EF＝2，∵∠ BAA′＝∠ BAF+∠EAC，∠BA′A＝∠ A′BC+∠ACE，∴∠ BAF＝∠A′BC，∴∠A′BC＝∠FA′B，∴ FA′∥ BC，∴ S△A′CF＝?FA′?EF＝×2×1＝1，故选：D．5、重庆八中2019-2020 学年度初2020 级九年级上半期4、重庆实验外国语学校2019-2020 学年度初2020 级初三上数学半期如图，在△ ABC 中，过点 A 作AE⊥ BC 于点E，过点C作CD⊥AB于点D，AE、CD交于点F，连接BF 将△ ABF沿BF翻折得到△ A′BF，点A′恰好落在线段AC 上．若AE＝EC，AC＝ 3 ，BE＝1，则△A．2 C．D．1A′CF 的面积是()B．6、重庆育才中学初 2020 级九上半期数学测试C.3BCEADD.3ABEC7、重庆巴蜀中学 2091-2020 学年度初 2020 级初三上数学半期如图，在 ABC 中， AB AC 2， BAC 300，将 ABC 沿AC 翻折得到 ACD ，延长 AD 交BC 的8、如图，△ ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，D 是线段 BC 的中点，连接 AD ，将△ ACD 沿 AD翻折得到△ AED ，连接 BE ，CE ．则 BE 的长为（ ）． D.4 32 112 A. 5B.13 5C.154 延长线于点 E ，则 ABE 的面积为（) A.5 34B. 32 3解：如图中，延长 AD 交 EC 于 H ．∵AE ＝AE ，∠ HAE ＝∠ HAC ，∴ AH ⊥EC ，∴ EH ＝ CH ，∵ BD ＝ CD ，∴ BE ＝ 2DH ， ∵DA ＝DC ，∴∠ ACB ＝∠ CAH ，∵∠ CAB ＝∠ AHC ＝90°，∴△ ACB ∽△ HAC ，＝ ，∴ ＝ ，∴ AH ＝ ，∴ DH ＝ AH ﹣ AD ＝ ﹣5＝ ，∴ BE ＝ 2DH ＝9、重庆西南大学附中 2019-2020 学年初三数学上 半期 如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝ + ，点 D 为边 AB 上一点，连接 CD ．将△ ACD 沿直线CD 翻折至△ ECD ，CE 恰好过 AB 的中点 F ．连接 AE 交 CD 的延长线于点 H ，若∠ ACD ＝15°，则 DH解：由翻折可知： DE ＝DA ，AC ＝AE ，∴CD 是 AE 的垂直平分线， ∴CH ⊥AE ，∵∠ ECD ＝∠ ACD ＝15°，∴∠ ACF ＝30°，∠ ACB ＝90°解：如图连接 BE 交AD 于 O ，作 AH ⊥BC 于H ．在 Rt △ ABC 中，∵ AC ＝4，AB ＝3， ∴BC ＝＝5，∵ CD ＝DB ，∴AD ＝DC ＝DB ＝ ，∵ ?BC ?AH ＝ ?AB?AC ，C ．D ．∴∠ B ＝60°∵ F 是AB 中点，∴ FC ＝FB ＝FA ，∴△ BCF 是等边三角形， ∴∠ BFC ＝60°， ∴∠ FAC ＝ 30°，∴∠ FDC ＝∠ DCA+∠DAC ＝45°， ∴∠ HDA ＝45°， ∵ DA ＝DE ， DH ⊥AE ， EDH ＝∠ADH ＝ 45°，∴ DH ＝HE ，设 DH ＝x ， EFD ＝60°∴EF ＝x ，FC ＝BC ＝ + ，∵ BC ＝ + ，∠ BAC ＝ 30°，∴ AC ＝ （ + ）， ∴ x+ + ＝ （ + ），解得 x ＝ ．∴ DH∴∠ ∵∠∴ ED ＝ x ， ∴ CE ＝ EF+FC ＝ x+ + ，∵ AC ＝ CE ， 的长为 ．故选： B ．10、（2017?无锡）如图，△ ABC 中，∠ BAC ＝90°，AB ＝3， AC ＝ 4，点 D 是BC 的中点，将△ ABD 沿 ADC ．D ．B ． A ．A ．2B ．∴AH ＝ ，∵ AE ＝ AB ，∴点 A 在BE 的垂直平分线上．∵ DE ＝DB ＝DC ， ∴点 D 在 BE 的垂直平分线上，△ BCE 是直角三角形，∴ AD 垂直平分线段 BE ， ∵ ?AD?BO ＝ ?BD ?AH ，∴ OB ＝ ，∴ BE ＝ 2OB ＝ ，11、（2018?武昌区校级自主招生）如图，在△ ABC 中，∠ ABC ＝30°，∠ A （ 2018?武昌区校级自主招生）如图，在△ ABC 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝45°，BD ＝1，DC ＝ ，将△ ACD 沿AD 翻折得到△ AED ， 连接 BE ．则 AB 的长为（ ）．方法 1：由题意△ ADE ≌△ ADC ，∴ ED ＝ CD ＝ ，∠ ADE ＝∠ ADC ＝ 45°，∠ EDC ＝90°，∵ BD ＝1， 在 Rt △EDB 中， tan ∠EBD ＝ ，∴∠ EBC ＝60°．在 AB 上截取点 F ，使得 DF ＝ BD ，∴∠ DBF ＝∠DFB ＝ 30°，BD ＝FD ＝1，易知 BF ＝ ， ∴∠ FDA ＝∠ FAD ＝ 15°， AF ＝DF ＝ 1，∴ AB ＝BF+AF ＝ +1， 方法二：作 AM ⊥BC 于 M ．∵∠ ADM ＝45°，∴ DM ＝AM ，∵∠ ABM ＝30°， ∴ tan30°＝ ＝ ＝ ，∴AM ＝，在 Rt △ABM 中， sin30°＝，∴ AB ＝2AM ＝ +1在 Rt △ BCE 中， EC ＝＝ ＝ ，故选：D ．C. 2. 6A. 3+1。
2020重庆中考数学专题训练四翻折变换
GFEDCBA专题训练四----- 翻折变换12．如图，矩形ABCD 中，AB = 8，BC = 6，点P 为AD 边上一点，将△ABP 沿着BP 翻折至△EBP ，PE 与CD 交于点O ，且OE = OD ，则AP 的长为（ A ） A ．4.8 B ．5 C ．4.5 D ．412如图，将边长为4的正方形纸片ABCD 折叠，使得点A 落在边CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AD 、BC 上，则折痕FG 的长度为( A )A.B.C.D.12．如图，在正方形ABCD 的边AB 上取一点E ，连接CE ，将△BCE 沿CE 翻折，点B 恰好与对角线AC 上的点F 重合，连接DF ，若BE ＝2，则△CDF 的面积是（ B ） A ．1B ．3C ．6D ．12．如图，在△ABC 中，∠ABC =45°，AB =3，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，AE =1，连接DE ，将△AED 沿直线沿直线AE 翻折至△ABC 所在的平面内，得到△AEF ，连接DF ，过点D 作DG ⊥DE 交BE 于G ，.则四边形DFEG 的周长为（ D ）A ．8 B． C． D．12.如图．△ABC 中．∠ABC ＝90°，BC ＝l ．将△ABC 绕点B 逆时针旋转得△A 'BC '．C '恰好落在AC 边的中点处．连接AA '，取AA '的中点D ，则C 'D 的长为(A )A ．BCD12．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，点D 、E 在边BC 上，且∠DAE ＝60°．将△ADE 沿AE 翻折，点D 的对应点是D '，连接CD '，若BD ＝4，CE ＝5，则DE 的长为（ B ） A ．92BCD．P第1题图第5题图第6题B′G FEDCB A12．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则△B′DE的面积为（B）A．925B．1825C．1225D．242512.（2019•重庆一中三模）等腰Rt△ABC,AC=BC=4,点E,F分别在边AB、BC上,将三角形沿EF翻折,使得B刚好落在AC的中点D处,则EF的长为( A )A．6B．6C．3D．312.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝12，点D为BC边上的中点，将△ACD沿AD对折，使点C落在同一平面内的点C'处，连接BC'，则BC'的长为（ D ）．A．325BC．5D．36512.重庆实验外国语学校2019-2020学年度九年级上期第一次月考答案B12.西南大学附属中学2020级第一次月考数学试题答案C12、如图，已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=,4D为斜边AB的中点，E是直角边AC上的点，连接DE，将△MDE沿DE折叠至A DE¢，A E¢交BD于点F，若△DEF的面积是△ADE面积的一半,则DE为( C ).2ABC.4D第7题第8题图B第9题图ACAC答案A12.如图，ABC ∆中，75BAC ∠=︒，7BC =，ABC ∆的面积为14，D 为BC 边上一动点（不与B ， C 重合）将ABD ∆和ACD ∆分别沿直线AB ，AC 翻折得到ABE ∆与ACF ∆，那么AEF ∆的面积最小值为（ C ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8解：如图，过E 作EG AF ⊥，交FA 的延长线于G ，由折叠可得，AF AE AD ==，BAE BAD ∠=∠，DAC FAC ∠=∠， 又75BAC ∠=︒， 150EAF ∴∠=︒， 30EAG ∴∠=︒，1122EG AE AD ∴==， 当AD BC ⊥时，AD 最短，7BC =，ABC ∆的面积为14，∴当AD BC ⊥时，4AD AE AF ===，AEF ∴∆的面积最小值为：1142422AF EG ⨯=⨯⨯=，答案C12.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，翻折∠C ，使点C 落在边AB 的中点D 处，折痕为EF （E 、F 分别在边AC 、BC 上），则EF 的长为（ D ）A ．B ．C ．D ．解：作CH ⊥AB 于H ，∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5，CH ＝，∵∠ACB ＝90°，AD ＝DB ，∴CD ＝AB ＝，∴CG ＝，∵∠ECG +∠CEG ＝90°，∠ECG +∠GCF ＝90°，∴∠GCF ＝∠CEG ，∵CD ＝BD ，∴∠CBD ＝∠CEG ，∴△ECF ∽△BCA ，∴＝，即＝，解得EF ＝12题图答案D5.3A 4.3B 412.37C 或 515.37D 或答案C12.如图所示,ABCD 为边长为1的正方形,E 为BC 边的中点,沿AP 折叠使D 点落在AE 上的H 处,连接PH 并延长交BC 于F 点,则EF 的长为（ A ）5.2A -5.2B3C 1.4D答案D答案A答案B.8A 32.5B 48.5C .10D答案C答案A答案B答案B。
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三角形翻折变换专题四1、如图，在等腰△ ABC 中， AB ＝ AC ，点 D 和点 E 分别在 AB 和 BC 上，连接 DE ，将△ BDE 沿 DE 翻折，点 B 的对应点 B ′刚好落在 AC 上，若 AB'＝ 2B'C ，AB ＝3 ， BC ＝6，则 BE 的长为（）2、如图，在等腰 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点 D 为AB 中点，点 E 为AC 上一点，将△ ADE 沿DE 翻 折得到△ A ′DE ，连接 A ′B 、A ′C ，已知 A ′C ＝ ，A ′B ＝ 3，则 S △ABC ＝（）的位置，连接 DE 、 CE 、 AE ， DE 交 AC 于点 F ，若 BC ＝6，AC ＝8，则 AE 的值为（ ）A ．3B ．D ．A ．B ．9C ．D ．3、 已知 Rt △ ACB 中，点 D 为斜边 AB 的中点，连接 CD ，将△ DCB 沿直线 DC 翻折，使点 B 落在点 EA ．B ．C ．D．4、（2019秋?九龙坡区校级期中）如图，在△ ABC 中，过点 A 作AE ⊥BC 于点E ，过点 C 作CD ⊥AB 于点 D ，AE 、CD 交于点 F ，连接 BF 将△ ABF 沿BF 翻折得到△ A ′ BF ，点 A ′恰好落在线段 AC 上．若 AE＝EC ，AC ＝3 ，BE ＝1，则△ A ′CF 的面积是（）A ． 2B ．C ．6、如图，在 ABC 中， AB AC 2， BAC 300，将 ABC 沿AC 翻折得到 ACD ，延长 AD 交BC的延长线于点 E ，则 ABE 的面积为（ ）D ．1B. 3 32C.3D.4 3 1248、如图，△ ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，D 是线段 BC 的中点，连接 AD ，将△ ACD 沿 AD 翻折得到△ AED ，连接 BE ，CE ．则 BE 的长为（ ）1213 14 D.3A. B. C. 5 5 59. （ 2019秋?北碚区校级期中） 如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝ + ，点 D 为边 AB 上一点， 连接 CD ．将△ ACD 沿直线 CD 翻折至△ ECD ，CE 恰好过 AB 的中点 F ．连接 AE 交 CD 的延长线于点 H ， 若∠ ACD ＝15 °，则 DH 的长为（）A ． B ． C ． D ．110、如图，在△ ABC 中，∠ ABC ＝30°，∠ ADC ＝ 45°， BD ＝1，DC ＝ ，将△ ACD 沿 AD 翻折得到△ AED ，连接 BE ．则 AB 的长为（）．A. 3+1B. 3 +32， AB ＝3，AC ＝4，点 D 是 BC 的中点，将△ ABD 沿 AD 翻折得到△AED ，连 CE ，则线段CE 的长等于（ ）A ．2B ．C ．D ．C.2.6D. 3 +1211、如图，△ ABC 中，∠ BAC ＝ 90三角形翻折变换专题三答案解析1、一中 2020 届初三上半期考试如图，在等腰△ ABC 中， AB ＝AC ，点 D 和点 E 分别在 AB 和 BC 上，连接 DE ，将△ BDE 沿 DE 翻折，点B 的对应点 B ′刚好落在 AC 上，若 AB'＝2B'C ，AB ＝3 ，BC ＝6，则 BE 的长为（ ）解：如图，过点 A 作 AF ⊥ BC ， B'H ⊥ BC ，则 B'H ∥ AF ， ∵AB ＝AC ，AF ⊥BC ，∴BF ＝CF ＝3，∴ AF ＝ ＝ ＝6，∵AB'＝2B'C ，∴ AC ＝3B'C ，∵ AF ∥B'H ，∴ ＝ ＝ ，∴CH ＝1，B'H ＝2，∴ BH ＝5，∵将△ BDE 沿 DE 翻折，∴ BE ＝ B'E ，2 2 2 2 2 ∵B'E 2＝B'H 2+EH 2，∴BE 2＝4+（5﹣BE ）2，∴BE ＝ 故选： D ．2、重庆南开中学初 2020 级九年级上期中解：如图，连接 CD ，作 CH ⊥BA ′交 BA ′于 H．A ．3C ．D ．如图，在等腰 Rt △ABC 中，∠ ACB ＝ 90°，点 D 为 AB 中点，点 E 为 AC 上一点，将△ ADE 沿 DE 翻折得 到△ A ′DE ，连接 A ′B 、A ′C ，已知 A ′C ＝ ， AB ＝ 3，则 S △ABC ＝（A ．C ．D ．B ． B ．9∵∠ ACB＝90°， D 是AB 的中点，∴ CD＝DA＝DB，由翻折的性质可知：DA＝DA ′，∴ DA＝DB＝DC ＝DA ′，∴A，B，A′，C 四点共圆，∴∠ CA′B+∠A＝180°，∵CA＝CB，∠ ACB＝90°，∴∠ A＝45°，∴∠ CA′B＝135°，∴∠ CA′H＝45°，∵CA′＝，∴CH＝HA′＝1，∴ BC＝＝＝，∴ S△ABC＝?BC?AC＝．故选：A．△3、巴蜀初2020 届九上周练习（五）已知Rt△ ACB 中，点 D 为斜边AB 的中点，连接CD，将△ DCB 沿直线DC 翻折，使点 B 落在点 E 的位置，连接DE、CE、AE，DE 交AC 于点F，若BC＝6，AC＝8，则AE的值为（）解：连接BE交CD 于点G，∵ Rt△ACB 中，AB＝＝10，∵点 D 为斜边AB 的中点，∴ CD ＝AD＝BD＝AB＝5，设DG x ，在△ DBG中，BG2 BD2 DG 2，在△ CBG 中，BG2 BC2 CG2∴52 x2=62（5 x）2∴ x=7，DG 7∴DM＝＝4，55∴ BG EG ∵点 D 为斜边AB 的中点，∴ AE＝2DG ＝，故选：B．解：∵ AE⊥BC，CD⊥ AB，∴∠ ADF ＝∠ CEF ＝90°，∵∠ AFD＝∠ CFE ，∴∠ DAF ＝∠ FCE，∵∠ BAE＝∠ ECF，AE＝EC，∠ AEB＝∠ CEF＝90°，∴△ AEB≌△ CEF（ASA），∴ BE＝EF＝1，由翻折可知：∠ BAF＝∠ BA′ F，BA′＝BA，∴∠ BAA′＝∠ BA′A，∵EA＝EC，∠ AEC＝90°，AC＝3 ∴∠ EAC ＝∠ ECA＝45°，AE＝EC＝3，∴AF＝AE﹣EF＝2，∵∠ BAA′＝∠ BAF+∠EAC，∠BA′A＝∠ A′BC+∠ACE，∴∠ BAF＝∠A′BC，∴∠A′BC＝∠FA′B，∴ FA′∥ BC，∴ S△A′CF＝?FA′?EF＝×2×1＝1，故选：D．5、重庆八中2019-2020 学年度初2020 级九年级上半期4、重庆实验外国语学校2019-2020 学年度初2020 级初三上数学半期如图，在△ ABC 中，过点 A 作AE⊥ BC 于点E，过点C作CD⊥AB于点D，AE、CD交于点F，连接BF 将△ ABF沿BF翻折得到△ A′BF，点A′恰好落在线段AC 上．若AE＝EC，AC＝ 3 ，BE＝1，则△A．2 C．D．1A′CF 的面积是()B．6、重庆育才中学初 2020 级九上半期数学测试C.3BCEADD.3ABEC7、重庆巴蜀中学 2091-2020 学年度初 2020 级初三上数学半期如图，在 ABC 中， AB AC 2， BAC 300，将 ABC 沿AC 翻折得到 ACD ，延长 AD 交BC 的8、如图，△ ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，D 是线段 BC 的中点，连接 AD ，将△ ACD 沿 AD翻折得到△ AED ，连接 BE ，CE ．则 BE 的长为（ ）． D.4 32 112 A. 5B.13 5C.154 延长线于点 E ，则 ABE 的面积为（) A.5 34B. 32 3解：如图中，延长 AD 交 EC 于 H ．∵AE ＝AE ，∠ HAE ＝∠ HAC ，∴ AH ⊥EC ，∴ EH ＝ CH ，∵ BD ＝ CD ，∴ BE ＝ 2DH ， ∵DA ＝DC ，∴∠ ACB ＝∠ CAH ，∵∠ CAB ＝∠ AHC ＝90°，∴△ ACB ∽△ HAC ，＝ ，∴ ＝ ，∴ AH ＝ ，∴ DH ＝ AH ﹣ AD ＝ ﹣5＝ ，∴ BE ＝ 2DH ＝9、重庆西南大学附中 2019-2020 学年初三数学上 半期 如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝ + ，点 D 为边 AB 上一点，连接 CD ．将△ ACD 沿直线CD 翻折至△ ECD ，CE 恰好过 AB 的中点 F ．连接 AE 交 CD 的延长线于点 H ，若∠ ACD ＝15°，则 DH解：由翻折可知： DE ＝DA ，AC ＝AE ，∴CD 是 AE 的垂直平分线， ∴CH ⊥AE ，∵∠ ECD ＝∠ ACD ＝15°，∴∠ ACF ＝30°，∠ ACB ＝90°解：如图连接 BE 交AD 于 O ，作 AH ⊥BC 于H ．在 Rt △ ABC 中，∵ AC ＝4，AB ＝3， ∴BC ＝＝5，∵ CD ＝DB ，∴AD ＝DC ＝DB ＝ ，∵ ?BC ?AH ＝ ?AB?AC ，C ．D ．∴∠ B ＝60°∵ F 是AB 中点，∴ FC ＝FB ＝FA ，∴△ BCF 是等边三角形， ∴∠ BFC ＝60°， ∴∠ FAC ＝ 30°，∴∠ FDC ＝∠ DCA+∠DAC ＝45°， ∴∠ HDA ＝45°， ∵ DA ＝DE ， DH ⊥AE ， EDH ＝∠ADH ＝ 45°，∴ DH ＝HE ，设 DH ＝x ， EFD ＝60°∴EF ＝x ，FC ＝BC ＝ + ，∵ BC ＝ + ，∠ BAC ＝ 30°，∴ AC ＝ （ + ）， ∴ x+ + ＝ （ + ），解得 x ＝ ．∴ DH∴∠ ∵∠∴ ED ＝ x ， ∴ CE ＝ EF+FC ＝ x+ + ，∵ AC ＝ CE ， 的长为 ．故选： B ．10、（2017?无锡）如图，△ ABC 中，∠ BAC ＝90°，AB ＝3， AC ＝ 4，点 D 是BC 的中点，将△ ABD 沿 ADC ．D ．B ． A ．A ．2B ．∴AH ＝ ，∵ AE ＝ AB ，∴点 A 在BE 的垂直平分线上．∵ DE ＝DB ＝DC ， ∴点 D 在 BE 的垂直平分线上，△ BCE 是直角三角形，∴ AD 垂直平分线段 BE ， ∵ ?AD?BO ＝ ?BD ?AH ，∴ OB ＝ ，∴ BE ＝ 2OB ＝ ，11、（2018?武昌区校级自主招生）如图，在△ ABC 中，∠ ABC ＝30°，∠ A （ 2018?武昌区校级自主招生）如图，在△ ABC 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝45°，BD ＝1，DC ＝ ，将△ ACD 沿AD 翻折得到△ AED ， 连接 BE ．则 AB 的长为（ ）．方法 1：由题意△ ADE ≌△ ADC ，∴ ED ＝ CD ＝ ，∠ ADE ＝∠ ADC ＝ 45°，∠ EDC ＝90°，∵ BD ＝1， 在 Rt △EDB 中， tan ∠EBD ＝ ，∴∠ EBC ＝60°．在 AB 上截取点 F ，使得 DF ＝ BD ，∴∠ DBF ＝∠DFB ＝ 30°，BD ＝FD ＝1，易知 BF ＝ ， ∴∠ FDA ＝∠ FAD ＝ 15°， AF ＝DF ＝ 1，∴ AB ＝BF+AF ＝ +1， 方法二：作 AM ⊥BC 于 M ．∵∠ ADM ＝45°，∴ DM ＝AM ，∵∠ ABM ＝30°， ∴ tan30°＝ ＝ ＝ ，∴AM ＝，在 Rt △ABM 中， sin30°＝，∴ AB ＝2AM ＝ +1在 Rt △ BCE 中， EC ＝＝ ＝ ，故选：D ．C. 2. 6A. 3+1。