北师大2013版第四章三角形复习与小结

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北师大版数学七年级下册第四章三角形复习(教案)

突破方法：设计综合性的练习题，让学生在解决问题时，学会运用三角形知识与其他数学知识相结合，提高解决问题的能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要复习的是《三角形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否注意过三角形的稳定性及其应用？”比如，自行车的三角架为什么能支撑整个车身？这个问题与我们将要复习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同回顾三角形的稳定性及其在日常生活中的应用。
1.加强对学生的个别辅导，关注他们在学习过程中遇到的困难，帮助他们突破学习难点。
2.注重培养学生的动手操作能力，让他们在实际操作中感受数学知识的魅力。
3.在小组讨论环节，要关注每个学生的参与度，鼓励他们积极发言，提高课堂氛围。
4.及时总结课堂教学经验，不断调整和优化教学方法，以提高教学效果。
举例：通过实际图形，让学生判断三角形是否相似，并解释原因。
2.教学难点
（1）全等三角形的判定方法应用：学生在运用判定方法时，容易混淆各条件，难以准确判断全等三角形。
突破方法：通过实际操作，让学生动手画图，加深对判定方法的理解和运用。
（2）等腰三角形的判定：学生在判断等腰三角形时，容易忽视底角相等的条件，导致判断错误。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。

(北师大2013版)七年级数学下册第四章三角形

A
C
三角形的三条角平分线交于一点
E BE=EC 图5−11
C
• 在ΔABC中,CD是中线,已知BCAC=5cm, ΔDBC的周长为25cm,求 ΔADC的周长. A
D B C
• 如图,在ΔABC中,角平分线BD，CE相交与O,则∠BOC与∠A有什么关系?如果设∠A为α,求∠BOC(用α表示).利用上述关系,计算: • (1)当∠A=50°时,求∠BOC; • (2)当∠BOC=130°时,求∠A.
∵ ∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°
∴ ∠BCA+∠A+∠B= 180°
猜一猜
（１）下图中小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？小颖的呢？试着说明理由．
(2)下图中三角形被遮住的两个内角可能是什么角?将所得结果与(1)的结果进行比较.
认真看课本P83想一想以前的内容，时间3分钟。思考下列问题 1、三角形按角怎么分？ 2、什么叫锐角三角形、直角三角形、钝角三角形? 3、直角三角形怎样表示？ 4、直角三角形的两个锐角有什么关系？
本课概要
三角形的“角平分线”、“中线”的概念与性质。
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。 B
A 1 2
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线(median). 三角形的三条中线交于一点. B
D ∠ 1= ∠ 2 图5−10
5cm,
11cm
2.现有长度分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm的五条线段，从其中选三条线段为边可以构成 3 个的不同的三角形。
3.如果三角形的两边长分别是2和4，且第三边是奇数，那么第三边长为 3或5 。若第三边为偶数，那么三角形的周长 10 。

北师大2013版第四章三角形复习与小结2

试判断AB与ED有什么关系？并说明理由。
课堂小结
交流本节课的收获，说说存在的困惑
布置作业
1、总结第三环节中练习中的错题，对其中的某些题还有什么好的建议或变形 2 、通过交流把自己的总结再完善和改进后粘贴到班级的板报中
C D
（三）回顾“三角形三条重要线段”
1、三角形ABC中，D为BC上的一点，且S△ABD =S△ADC，则AD为（）. A.高 B.角平分线 C.中线 D.不能确定 2、如图，已知AD、AE分别是三角形ABC的中线、高，且AB＝5cm，AC＝3cm，则三角形 ABD与三角形ACD的周长之差为，三角形ABD与三角形ACD的面积之间的关系为＿＿＿＿＿＿．
2、已知一个三角形的两边长分别是2cm和4cm，则第三边长x的取值范围是 ;若x是奇数，则x的值是 ; 此三角形的周长p的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
3、一个等腰三角形的一边是2cm，另一边是 9cm ,则这个三角形的周长是 cm 4、一个等腰三角形的一边是5cm，另一边是 7cm ,则这个三角形的周长是 cm
（二）回顾“三角形内角和”
1、在△ABC中，（1）∠C=70°，∠A=50°，则∠B= 度；（2）∠B=100°，∠A=∠C，则∠C= 度；（3）2∠A=∠B+∠C，则∠A= 度。（4） ∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，则∠A = ∠B= ∠C= 。 A 2、如图，已知五角星ABCDE，求 E B ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和为。
C
A D
B
4、如图所示：要说明△ABC≌△BAD，（1）已知∠1=∠2，若要以SAS为依据，则可添加一个条件是；（2）已知∠1=∠2，若要以AAS为依据，则可添加一个条件是；

北师大版数学七年级下册第4章《三角形》知识复习练习题

北师大版七年级数学作业题第4章《三角形》知识复习一．选择题1．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．2．下列说法中,正确的是（）A．三角形的高都在三角形内B．三角形的三条中线相交于三角形内一点C．三角形的一个外角大于任何一个内角D．三角形最大的一个内角的度数可以小于60度3．下列各组图形中,表示AD是△ABC中BC边的高的图形为（）A．B．C．D．4．下列每组数分别是三根小木棒的长度,它们首尾顺次相接能摆成三角形的是（）A．1cm,2cm,4cm B．12cm,13cm,20cmC．5cm,5cm,11cm D．14cm,16cm,30cm5．如图,点B,F,C,E共线,∠B＝∠E,BF＝EC,添加一个条件,不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD6．一块三角形玻璃,被摔成如图所示的四块,小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃,借助“全等三角形”的相关知识,小敏只带了一块去,则这块玻璃的编号是（）A．①B．②C．③D．④7．在测量一个小口圆形容器的壁厚时,小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量,其中OA ＝OD,OB＝OC,测得AB＝a,EF＝b,圆形容器的壁厚是（）A．a B．b C．b﹣a D．（b﹣a）8．如图,点C是∠BAD内一点,连CB、CD,∠A＝80°,∠B＝10°,∠D＝40°,则∠BCD的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．150°二．填空题9．直角三角形的三条高的交点在．10．如图,把两根钢条的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）,在图中,要测量工件内槽宽AB,只要测量A′B′的长度即可,该做法的依据是．11．如果三角形的三条边长分别为2、x、6,那么x的取值范围是．12．如图,四边形ABCD中,∠BAC＝∠DAC,请补充一个条件,使△ABC ≌△ADC．13．如图所示,要测量河两岸相对的两点A、B的距离,在AB的垂线段BF上取两点C、D,使BC＝CD,过D作BF的垂线DE,与AC的延长线交于点E,若测得DE的长为20米,则河宽AB长为米．14．如图,在△ABC中,∠A＝30°,∠B＝50°,CD平分∠ACB,则∠ADC的度数是．15．如图,四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′,则∠A的大小是．16．如图,是一个3×3的正方形网格,则∠1+∠2+∠3+∠4＝．三．解答题17．如图,指出图中的全等图形．18．如图,点A、B、D、E在同一条直线上,AB＝DE,AC∥DF,BC∥EF．求证：△ABC≌△DEF．19．如图,已知AD＝AE,∠B＝∠C．求证：△ACD≌△ABE．20．如图,BD∥AC,BD＝BC,点E在BC上,且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．21．如图,在四边形ABCD中,AD＝BC,AC＝BD,AC与BD相交于点E．求证：∠DAC＝∠CBD．22．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC,∠ACB＝90°）,点C在DE上,点A和B分别与木墙的顶端重合,求两堵木墙之间的距离．23．将两个完全相同的含30°角直角三角板ABE、CBF如图所示放置．（1）求证：△ADF≌△CDE；（2）连接BD,求∠ABD的度数．24．如图,△AOC和△BOD中,OA＝OC,OB＝OD,∠AOC＝∠BOD＝α（0＜α＜90°）,AD与BC交于点P．（1）求证：△AOD≌COB；（2）求∠APC（用含α的式子表示）；（3）过点O分别作OM⊥AD,ON⊥BC,垂足分别为点M、N,请直接写出OM和ON的数量关系．参考答案一．选择题1．解：A、两个图形不能完全重合,故本选项错误；B、两个图形能够完全重合,故本选项正确；C、两个图形不能完全重合,故本选项错误；D、两个图形不能完全重合,故本选项错误；故选：B．2．解：A、锐角三角形的三条高在三角形内部,相交于三角形内一点,故本选项错误；B、三角形的三条中线相交于三角形内一点,故本选项正确；C、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角,故本选项错误；D、根据三角形内角和等于180°,三角形最大的一个内角的度数大于或等于60度,故本选项错误；故选：B．3．解：△ABC的高AD是过顶点A与BC垂直的线段,只有D选项符合．故选：D．4．解：A、1+2＜4,不能组成三角形,不符合题意；B、13+12＞20,能够组成三角形,符合题意；C、5+5＜11,不能组成三角形,不符合题意；D、14+16＝30,不能组成三角形,不符合题意；故选：B．5．解：∵BF＝EC,∴BF+FC＝EC+FC,∴BC＝EF,又∵∠B＝∠E,∴当添加条件AB＝DE时,△ABC≌△DEF（SAS）,故选项A不符合题意；当添加条件∠A＝∠D时,△ABC≌△DEF（AAS）,故选项B不符合题意；当添加条件AC＝DF时,无法判断△ABC≌△DEF,故选项C符合题意；当添加条件AC∥FD时,则∠ACB＝∠DFE,故△ABC≌△DEF（ASA）,故选项D不符合题意；故选：C．6．解：因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边,利用ASA易证三角形全等,故应带第3块．故选：C．7．解：连接AB．在△AOB和△DOC中,,∴△AOB≌△DOC（SAS）,∴AB＝CD＝a,∵EF＝b,∴圆柱形容器的壁厚是（b﹣a）,故选：D．8．解：延长BC交AD于E,∵∠BED是△ABE的一个外角,∠A＝80°,∠B＝10°,∴∠BED＝∠A+∠B＝90°,∵∠BCD是△CDE的一个外角∴∠BCD＝∠BED+∠D＝130°,故选：C．二．填空题9．解：∵直角三角形有两条高与直角边重合,∴它们的交点是直角顶点,故答案为：直角顶点．10．解：连接AB,A′B′,如图,∵点O分别是AA′、BB′的中点,∴OA＝OA′,OB＝OB′,在△AOB和△A′OB′中,,∴△AOB≌△A′OB′（SAS）．∴A′B′＝AB．答：需要测量A′B′的长度,即为工件内槽宽AB．其依据是根据SAS证明△AOB≌△A′OB′；故答案为：根据SAS证明△AOB≌△A′OB′．11．解：根据题意得：6﹣2＜x＜6+2,即4＜x＜8．故答案为：4＜x＜8．12．解：添加的条件是AD＝AB,理由是：在△ABC和△ADC中,∴△ABC≌△ADC（SAS）,故答案为：AD＝AB（答案不唯一）．13．解：在△ABC和△EDC中,,∴△ABC≌△EDC（ASA）,∴AB＝DE＝20米．故答案为：20．14．解：∵∠A＝30°,∠B＝50°,∠A+∠B+∠ACB＝180°,∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°,∵CD平分∠ACB,∴∠BCD＝∠ACB＝×100°＝50°,∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝50°+50°＝100°,故答案为：100°．15．解：∵四边形ABCD≌四边形A'B'C'D',∴∠D＝∠D′＝130°,∴∠A＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠D＝360°﹣75°﹣60°﹣130°＝95°,故答案为：95°．16．解：∵∠1和∠4所在的三角形全等,∴∠1+∠4＝90°,∵∠2和∠3所在的三角形全等,∴∠2+∠3＝90°,∴∠1+∠2+∠3十∠4＝180°．故答案为：180°．三．解答题17．解：⑤和⑨是全等形；故答案为：⑤和⑨．18．证明：∵AC∥DF,∴∠CAB＝∠FDE(两直线平行,同位角相等),又∵BC∥EF,∴∠CBA＝∠FED(两直线平行,同位角相等),在△ABC和△DEF中,,∴△ABC≌△DEF(ASA)．19．证明：在△ACD和△ABE中,,∴△ACD≌△ABE（AAS）．20．证明：∵BD∥AC,∴∠ACB＝∠EBD,在△ABC和△EDB中,,∴△ABC≌△EDB（SAS）,∴∠ABC＝∠D．21．证明：在△DCA和△DCB中,,∴△CDA≌△DCB（SSS）,∴∠DAC＝∠CBD．22．解：由题意得：AC＝BC,∠ACB＝90°,AD⊥DE,BE⊥DE,∴∠ADC＝∠CEB＝90°,∴∠ACD+∠BCE＝90°,∠ACD+∠DAC＝90°,∴∠BCE＝∠DAC,在△ADC和△CEB中,,∴△ADC≌△CEB（AAS）；由题意得：AD＝EC＝6cm,DC＝BE＝14cm,∴DE＝DC+CE＝20（cm）,答：两堵木墙之间的距离为20cm．23．（1）证明：根据题意知,Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝CB,BE＝BF,∴BE﹣CB＝BF﹣AB,∴CE＝AF,在△CDE和△ADF中,,∴△CDE≌△ADF（AAS）．（2）解：由（1）知,△ADF≌△CDE,∴DE＝DF,在△DFB和△DEB中,,∴△DFB≌△DEB（SAS）,∴∠FBD＝∠EBD,∵∠EBF＝60°,∴∠ABD＝∠EBF＝30°．24．解：（1）∵∠AOC＝∠BOD,∴∠AOC+∠COD＝∠BOD+∠COD,∴∠AOD＝∠COB,在△AOD和△COB中,,∴△AOD≌△COB（SAS）；（2）由（1）可知△AOD≌△COB,∴∠OAD＝∠OCB,令AD与OC交于点E,则∠AEC＝∠OAD+∠AOC＝∠OCB+∠APC,∴∠AOC＝∠APC,∵∠AOC＝α,∴∠APC＝α；（3）∵△AOD≌△COB,∴∠P AP＝∠BCO,即∠MAO＝∠NCO,∵OM⊥AD,ON⊥BC,∴∠AMO＝∠CNO＝90°,在△AOM和△CON中,,∴△AOM≌△CON（AAS）,∴OM＝ON．。

北师大版七年级数学下册第四章三角形小结与复习

按边分
4. 直角三角形的两个锐角互余.
三边各不相等的三角形
等腰三角形等边三角形
5. 三角形的三边关系三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边.
6.三角形的三条角平分线交于一点；三角形三条中线交于一点；
三角形的三条高所在的直线交于一点.
二. 全等三角形 1. 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等 SSS AAS 2. 全等三角形的判定 ASA SAS 3. 三角形的稳定性的依据：SSS
知识点三三角形的角平分线、中线、高
例3 如图，在△ABC 中，E 是 BC 上的一点，EC＝2BE，
点 D 是 AC 的中点，设△ABC，△ADF 和△BEF 的面
积分别为 S△ABC，S△ADF 和 S△BEF，且 S△ABC＝12，
则 S△ADF－S△BEF＝___2_____．
解析：因为点
所以 S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.
方法总结
三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；
高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．
针对训练
3.如图，在△ABC 中，CE，BF 是两条高， A
若∠A = 70°，∠BCE = 30°，则∠EBF 的度 E 数是 20 °，∠FBC 的度数是 40 °.
考点讲练
知识点一三角形的三边关系
例1 已知两条线段的长分别是 3 cm、8 cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段 a 的长为奇数，问第三条线段应取多长？解：由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得 8－3 < a < 8 + 3，所以 5 < a < 11.

北师大版初中数学第四章《三角形》复习课件(共57张PPT)

3、用7根火柴首尾顺次连结摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数为 2 ．
（3，3，1；2，2，3）
4、三角形的两边长分别为2和5，则三角形的周
长L的取值范围是（）
A． 3＜L＜7
B． 9＜L＜12
C． 10＜L＜14 D．无法确定
5、已知一个三角形的两边长分别为a，b，且a
＞b，那么这个三角形的周长l的取值范围是
二、三角形分类
三角形
锐角三角形
直角三角形钝角三角形
三个角都是锐角
有一个角是直角
有一个角是钝角
请问：一个三角形最多有几个钝角？几个直角？几个锐角？
考点2、三角形的内角和及推论
1、如图， ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= _________ ．
变形：如图，5条直线相交，得∠1， ∠2， ∠3， ∠4， ∠5， ∠6， ∠7．已知∠5=20º，求∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4的度数．
2
1
7
3 6
4
5
2、锐角三角形的最大内角α的范围和钝角三角形的最大内角β的范围分别是（）A． 0°＜α＜90°，90°＜β ＜180° B． 60°≤α＜90°，90°＜β ＜180° C． 0°＜α＜90°，90°＜β＜150° D． 0°＜α≤60°，90°△ABC的高
2、能把一个三角形分成面积相等的两部分是三角形的（）A．中线 B．高线
C．角平分线 D．过一边的中点且和这
条边垂直的直线
3、如图，AD是△ABC的中线，如果 △ABC的面积是18cm2，则△ADC的面积是 _________ cm2．
4、如下图，已知AD是△ABC的中线，CE是 △ADC的中线，若△ABC的面积是8，求△DEC的面积．

北师大版七年级下册第四章全等三角形复习课优秀教学案例

（三）小组合作
1.教师将学生分成小组，鼓励学生进行合作交流，共同解决问题。
2.教师设计一些需要团队合作完成的任务，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
3.教师引导学生分享自己的学习心得和解决问题的方法，促进学生之间的相互学习和共同进步。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对自己的学习过程进行反思，总结学习方法和经验，提高自我认知和评价能力。
在全等三角形的复习中，教师以生活中的实际问题为背景，创设情境，激发学生的学习兴趣。通过设计一系列具有层次性的问题，引导学生逐步深入探讨全等三角形的性质和判定方法。在解决问题的过程中，教师引导学生运用转化思想，将复杂问题转化为简单问题，从而提高学生的思维品质和解决问题的能力。
此外，教师还注重发挥学生的主体作用，鼓励学生主动参与课堂讨论，分享自己的学习心得。在课堂上，教师与学生互动频繁，及时给予学生反馈，使学生在轻松愉快的氛围中掌握全等三角形的知识。
3.教学方法灵活多样：教师在教学过程中运用了观察、操作、思考、交流等多种教学方法，使学生在轻松愉快的氛围中掌握全等三角形的知识。同时，教师还注重培养学生的空间思维能力和解决问题的能力，提高学生的数学素养。
4.注重学生个体差异：教师关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性和主动性。通过设置具有挑战性和开放性的问题，激发学生的创新意识和解决问题的能力，使学生在课堂上得到充分的发展。
本节课的设计紧密结合学生的生活实际，遵循学生的认知规律，注重培养学生的问题解决能力和空间思维能力。通过本节课的学习，学生对全等三角形的知识有了更深入的理解，能够运用所学知识解决实际问题，提高了学生的数学素养。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解全等三角形的定义及其性质，能够熟练运用全等三角形的性质解决实际问题。

七年级数学下册第四章三角形知识归纳北师大版

七年级数学下册第四章三角形知识归纳北师大版年级：姓名：第四章三角形三角形三边关系三角形三角形内角和定理角平分线三条重要线段中线高线全等图形的概念全等三角形的性质SSS三角形SAS全等三角形全等三角形的判定ASAAASHL（适用于RtΔ）全等三角形的应用作三角形一、三角形概念1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示。

2、顶点是A、B、C的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”。

3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB、BC、AC，有时也用a，b，c 来表示，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b，c来表示；4、∠A、∠B、∠C为ΔABC的三个内角。

二、三角形中三边的关系1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a；a-b<c,a-c<b,b-c<a。

2、判断三条线段a,b,c能否组成三角形：（1）当a+b>c,a+c>b,b+c>a同时成立时，能组成三角形；（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。

3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边-<<+.的和，即a b c a b三、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。

2、三角形按内角的大小可分为三类：（1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；（2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。

注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。

（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。

3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。

第四章三角形(单元小结)-2022-2023学年七年级数学下册同步精品课堂(北师大版)

（2） 3， 4， 7；
（3） 9， 13， 5；
（4） 11， 12， 20；
（5） 14， 15， 31.
解：能摆成三角形的是（1）（3）（4），根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
考点专练
1.已知一个三角形的两边长分别是 2 cm和 4 cm，则第三边长 x 的取值范围是 2 <x<6 ；若 x 是奇数，则 x 的值是 3 或 5 ；此三角形的周长 y 的取值范围是___8_<_y_<_1_2______ . 2. 一个等腰三角形的一边是 2 cm，另一边是 9 cm ，则这个三角形的周长是 20 cm. 3. 一个等腰三角形的一边是 5 cm，另一边是 7 cm ，则这个三角形的周长是 17或19 cm.
A D
2.如图3，在△ABC 中，BC 边上的高为__A__E____．
C EB
F
图3
考点专练
（四）关于全等三角形性质及判定
A
例4：如图，在△ABC 中，AB=AC，BE=CE，则由
E
“SSS”可以判定是（C ）
A.△ABD≌△ACD C.△ABE≌△ACE
B.△BDE≌△CDE D. △ABE≌△CDE
B
DC
例5：如图，已知∠1＝∠2，要使△ABC≌△ADE，
A
还需条件（D ）
12
A.AB＝AD，BC＝DE
B.BC＝DE，AC＝AE
EC
C.∠B＝∠D，∠C＝∠E
D.AC＝AE，AB＝AD B
D
考点专练
1.如图，点C，F在BE上，∠A=∠D，AC∥DF，BF=EC，试判断 AB 与 ED 有什么关系？并说明理由.

2022-2023学年初中数学北师大版七年级下册第四章三角形单元复习课课件

第四章三角形
本章知识梳理
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目录
1.
目录
2.
课标要求
3.
知识梳理
课标要求
1. 理解三角形相关概念(内角、外角、中线、高、角平分线)，会画出任意三角形的中线、高线和角平分线，了解三角形的稳定性 . 2. 掌握三角形的内角和定理(三角形的内角和等于180度)，掌握 “三角形任意两边之和大于第三边”. 3. 了解全等图形的概念，理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边、对应角.
3．如图M4-3，已知△ABC≌△CDE，其中AB=CD，那么下列结论中，不正确的是（C ）
A． AC=CE
B． ∠BAC=∠ECD
C． ∠ACB=∠ECD
D． ∠B=∠D
4．如图M4-4，全等的三角形是（ D ）
A． Ⅰ和Ⅱ
B． Ⅱ和Ⅳ C． Ⅱ和Ⅲ D． Ⅰ和Ⅲ
三、SSA是指两个三角形的两边对应相等及一边的对角对应相
等，但是这种判断方法是不能判定这两个三角形全等的，SAS
是指两个三角形的两条对应边相等且两边的夹角对应相等.
【例3】如图M4-5，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能
证明△ABC≌△DCB的是（）
A． ∠A=∠D
B． AB=DC
C． ∠ACB=∠DBC D． AC=BD
易错条件都是两条边及一个角对应相等，但是选项B是以 SAS来判定两个三角形全等，而选项D是SSA. 正解：A. 添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B. 添加AB=DC可利用SAS定理判定 △ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C. 添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；D. 添加 AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意. 答案:D

完整word版,北师大版七年级数学下册第四章知识点汇总(全)

第四章三角形三角形三边关系三角形三角形内角和定理角平分线三条重要线段中线高线全等图形的概念全等三角形的性质SSS三角形 SAS全等三角形全等三角形的判定 ASAAASHL （适用于Rt Δ）全等三角形的应用作三角形一、三角形概念1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示。

2、顶点是A 、B 、C 的三角形，记作“ΔABC ”，读作“三角形ABC ”。

3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB 、BC 、AC ，有时也用a ，b ，c 来表示，顶点A 所对的边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b ，c 来表示；4、∠A 、∠B 、∠C 为ΔABC 的三个内角。

二、三角形中三边的关系1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a ；a-b<c,a-c<b,b-c<a 。

2、判断三条线段a,b,c 能否组成三角形：当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。

3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即.三、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。

2、三角形按内角的大小可分为三类：（1）锐角三角形：即三角形的三个内角都是锐角的三角形；（2）直角三角形：即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“Rt Δ”表示“直角三角形”,其中直角∠C 所对的边AB 称为直角三角表的斜边，其余两边称为直角三角形的直角边。

直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。

（3）钝角三角形：即有一个内角是钝角的三角形。

a b c a b -<<+3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。

4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。

四、三角形的三条重要线段1、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。

北师大版七年级数学下册第四章三角形复习课件 (26PPT)

“边角边”或“SAS”．
考点攻略
►考点一三角形的有关概念
例 1 下列各组长度的线段为边，能构成三角形( D ) A．7 cm、5 cm、12 cm B．6 cm、8 cm、15 cm C．8 cm、4 cm、3 cm D．4 cm、5 cm、6 cm
[解析] 7＋5＝12；6＋8＝14＜15；4＋3＝7＜8；4＋5 ＝9＞6.
例 7 如图 3－4，山脚下有 A、B 两点，要测出 A，B 两点的距离，在地上取一个可以直接到达 A、B 两点的点 O，连接 AO 并延长到 D，使 AO＝DO，连接 BO 并延长到 C，使 BO＝CO，量得 CD＝12 米，那么山脚 A、B 两点的距离为 _____1_2_米___．
图 3－4
图YK－2－4
[解析] 根据已知条件，可得△ABC≌△EDC，进而 AB＝ED. 解：根据题意，在△ABC 和△EDC 中，
∠ABC＝∠EDC＝90°， BC＝DC， ∠1＝∠2，
所以△ABC≌△EDC(ASA)．所以 AB＝DE(全等三角形对应边相等)．
解：设腰长为 a，底边长为 b. 则由题意 2a＋b＝10.而 2a>b， ∴b＋b<10，∴b<5. ∵a、b 为整数，讨论当 b＝4 时，则 a＝3. 当 b＝3 时，a＝3.5(舍)．当 b＝2 时，a＝4. 当 b＝1 时，a＝4.5(舍)．所以三边长为 3,3,4 或 4,4,2.
►考点二三角形的内角和定理
解：(1)在△ABC 中， ∠BAC＝180°－∠B－∠C ＝180°－44°－72° ＝64°； (2)因为 AD 是△ABC 的角平分线，
所以∠CAD＝12∠BAC＝12×64°＝32°. 在△ACD 中，∠ADC＝180°－∠CAD－∠C ＝180°－32°－72°＝76°.

北师大版七年级数学下册第四章全等三角形的性质和判定的归纳总结 (无答案)

全等三角形的性质及判定运用知识清单全等三角形的认识与性质全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形．全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等．全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．考点扫描板块一全等三角形的认识【例1】 (四川遂宁)已知ABC ∆中，AB BC AC =≠，作与ABC ∆只有一条公共边，且与ABC ∆全等的三角形，这样的三角形一共能作出个．【例2】如图所示，ABD CDB ∆∆≌，下面四个结论中，不正确的是（）A.ABD ∆和CDB ∆的面积相等B.ABD ∆和CDB ∆的周长相等C.A ABD C CBD ∠+∠=∠+∠D.AD BC ∥，且AD BC =【拓展延伸1】已知ABC DEF ≌△△，DEF △的周长为32cm ，912DE cm EF cm ==，，则AB = ，BC = ，AC = ．板块二、三角形全等的判定与应用DCBA全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．判定三角形全等的基本思路：SAS HL SSS →⎧⎪→⎨⎪→⎩找夹角已知两边找直角找另一边ASA AAS SAS AAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角边就是角的一条边找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASAAAS →⎧⎨→⎩找两角的夹边已知两角找任意一边全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： ⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型由全等可得到的相关定理：⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．⑶ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)． ⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．⑸ 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)． ⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．平移全等模型【例3】已知：如图，AB DE ∥，AC DF ∥，BE CF =．求证：AB DE =．【例4】如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．【拓展延伸1】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥．对称全等模型【例5】已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：OA OD =．【拓展延伸1】已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．【拓展延伸2】已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．【例6】如图所示，已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =．【拓展延伸1】在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．基本旋转全等模型【例7】（成都市高中阶段教育学校统一招生考试)如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：FC AD =．【例8】如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：AC BD ∥．【例9】已知：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．F DC BAM EDC BAK 字型模型【例10】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．【拓展延伸】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=．课后作业1、判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ ；⑹ ．全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别．2、不能确定两个三角形全等的条件是（）A ．三边对应相等B ．两边及其夹角相等C ．两角和任一边对应相等D ．三个角对应相等3、如图，ABC △中，90C AC BC AD ∠=︒=，，平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E 且6AB cm =，则DEB △的周长为（）A ．40 cmB ．6 cmC ．8cmD ．10cmPDQCBEAEDCBA4、如图，△ABC ≌ΔADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为（） A ．40°B ．35°C ．30°D ．25°5、已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．6、如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．7、如图所示，C 是AB 的中点，CD CE =，DCA ECB ∠=∠，求证DAE EBD ∠=∠．8、如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ．求证：AM AN =．全等三角形与旋转问题知识清单把图形G 绕平面上的一个定点O 旋转一个角度θ，得到图形G '，这样的由图形G 到G '变换叫做旋转变换，点O 叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G '叫做G 的象；G 叫做G '的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．很明显，旋转变换具有以下基本性质：①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角．旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．考点扫描“拉手”模型【例1】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：AN BM =．【例2】如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ∆与DCE ∆是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC于M ，N 点．求证：CM CN =．【拓展延伸1】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：CF 平分AFB ∠．【拓展延伸2】如图，点为线段上一点，、是等边三角形，是中点，是中点，求证：是等边三角形．C AB ACM ∆CBN ∆D ANE BM CDE ∆等边三角形共顶点模型【例3】如图，等边三角形与等边共顶点于点．求证：．等腰直角三角形共顶点问题【例4】如图，等腰直角三角形中，，，为中点，．求证：为定值．【拓展延伸1】如图，正方形绕正方形中点旋转，其交点为、，求证：．正方形旋转模型【例5】、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：．ABC ∆DEC ∆C AE BD=ABC 90B =︒∠AB a =O AC EO OF ⊥BE BF+OGHK ABCD O E F AE CF AB +=E F ABCD BC CD 45EAF =︒∠AH EF ⊥H AH AB =【拓展延伸1】如图，正方形的边长为，点在线段上运动，平分交边于点．求证：．【例6】以△ ABC 的两边AB 、AC 为边向外作正方形ABDE 、ACFG ，求证：CE=BG ，且CE ⊥BG ．对角和180°模型【例7】如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120o 的等腰三角形，以D 为顶点作一个60o 的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．ABCD 1F CD AE BAF ∠BC E AF DF BE =+OGFEDCA【例8】 (1)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=∠BAD ．求证：EF ＝BE FD;(2) 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ B+∠ D ＝，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠ EAF=∠ BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．90︒12+FED CBA180︒12FEDB A课后作业1、如图，已知和都是等边三角形，、、在一条直线上，试说明与相等的理由．2、(湖北省黄冈市初中毕业生升学考试)已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点．求证：．3、已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．、分别是、的高．求证：．4、在等腰直角中，，，是的中点，点从出发向运动，交于点，试说明的形状和面积将如何变化．5、如图，正方形中，．求证：．ABC ∆ADE ∆B C D CE AC CD+E ABCD AB D DF DE ⊥BC F DE DF=C AB ACM ∆CBN ∆CG CH ACN ∆MCB ∆CG CH=ABC ∆90ACB ∠=o AC BC =M AB P B C MQ MP ⊥AC Q MPQ∆ABCD FAD FAE ∠=∠BE DF AE +=6、等边和等边的边长均为1，是上异于的任意一点，是上一点，满足，当移动时，试判断的形状．全等三角形与中点问题知识清单三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．考点扫描倍长中线模型【例1】在△ABC 中，9,5==AC AB ，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【拓展延伸1】已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．ABD ∆CBD ∆E BE AD ⊥A D 、F CD 1AE CF +=E F 、BEF∆【例2】如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．【拓展延伸1】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【例3】如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥AB类倍长中线模型【例4】已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．【拓展延伸1】在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？中位线的运用【例5】已知，如图四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，AD 、EF 、BC的延长线分别交于M 、N 两点．求证：AME BNE ∠=∠．【例6】在四边形ABCD 中，设M ,N 分别为CD ,AB 的中点，求证()12MN AD BC +≤，当且仅当AD BC ∥时等号成立．【例7】如图，在五边形ABCDE 中，，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．课后作业1、如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．2、如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？3、如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．全等三角形与角平分线问题知识清单与角平分线相关全等问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，考点扫描角平分线基本性质与全等的关系【例1】已知ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．【例2】如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．【拓展延伸1】如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．【拓展延伸2】如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =．两边作垂线问题【例3】如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？【拓展延伸1】ABC ∆中，D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，EF AB ⊥于F EG AC⊥于G ．求证：BF CG =．作角平分线的垂线问题【例4】如图所示，在ABC ∆中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若CF AD ⊥且交AD 的延长线于F ，求证()12MF AC AB =-．【例5】如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．取线段长度相等【例6】如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．【例7】如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．课后作业1、在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AB BD AC +=．求:B C ∠∠的值．2、如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE ⊥于E ．求证：AD AE =．3、如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．4、如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．全等三角形截长补短及方法总结知识清单常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2) 遇到三角形的中点或中线，倍长中线或倍长类中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”.5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．考点扫描截长模型【例1】已知ABC ∆中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【例2】如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．“补短”模型【例3】已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .【例4】点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD =DC ，∠BDC =120°，∠MDN =60°，求证MN =MB +NC ．补形法【例5】如图，在四边形ABCD 中，90A C ︒∠=∠=，AB AD =，若这个四边形的面积为16，则BC CD+=___________.对称法【例6】如图，ABC △中，由点A 作BC 边上的高线，垂足为D . 如果2C B ∠=∠，求证：AC CD BD +=.旋转法【例7】正方形ABCD 中，E 为上的一点，F 为CD 上的一点，BE DF EF +=，求EAF ∠的度数.【拓展延伸1】如图所示．正方形ABCD 中，在边CD 上任取一点Q ，连AQ ，过D 作DP AQ ⊥，交AQ 于R ，交BC 于P ，正方形对角线交点为O ，连OP OQ ，．求证：OP OQ ⊥．割补面积法【例8】如图P 为等腰三角形ABC 的底边AB 上的中点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，AD BC⊥于点D ，，求证：PE PF AD +=．【拓展延伸1】如图，点P 为等腰三角形ABC 的底边BA 的延长线上的一点，PE CA ⊥的延长线于点E ，PF BC ⊥于点F ，AD BC ⊥于点D ．PE 、PF 、AD 之间存在着怎样的数量关系?【例9】如图，点P 为正三角形ABC 内任意一点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，PG AB ⊥于点G ，AD ⊥BC 于点D ．PE 、PF 、PG 、AD 之间存在怎样的数量关系?。

三角形复习北师大版

三角形复习【教学结构】⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. ⒉ 三角形的分类：(1)按边分类：(2)按角分类：⒊ 三角形的主要线段的定义：(1)三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三象形的角平分线.(2)三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.(3)三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高. ⒋ 三角形的主要线段的表示法：三角形的角平分线的表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：①AD 是∆ABC 的角平分线；②AD 平分∠BAC ，交BC 于D ；③如果AD 是∆ABC 的角平分线，那么∠BAD =∠DAC =21∠BAC .(2)三角形的中线表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：①AE 是∆ABC的中线；②AE 是∆ABC 中BC 边上的中线；③如果AE 是∆ABC 的中线，那么BE=EC =21BC . (3)三角线的高的表示法：如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示：①AM 是∆ABC 的高；②AM 是∆ABC 中BC 边上的高；③如果AM 是∆ABC 中BC 边上高，那么AM ⊥BC ，垂足是E ；④如果AM 是∆ABC 中BC 边上的高，那么∠AMB =∠AMC =90︒.⒌ 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部.(2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形三角形直角三象形斜三角形锐角三角形钝角三角形A B C D E 图1 图2如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.⒍三角形的边与边之间的关系：(1)三角形两边的和大于第三边；(2)三角形两边的差小于第三边；⒎三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180︒;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余.适当添加辅助线，寻找基本图形(1)基本图形一，如图8，在∆ABC中，AB=AC，B,A,D成一条直线，则∠DAC=2∠B=2∠C或∠B=∠C=21∠DAC.(2)基本图形二，如图9，如果CO是∠AOB的角平分线，DE∥OB交OA,OC于D,E，那么∆DOE是等腰三角形，DO=DE.当几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的两个时，就应找出这个基本图形，并立即推证出第三个作为结论.即：角平分线+平行线→等腰三角形.图3图4图5图6图7图8图9基本图形三，如图10，如果BD 是∠ABC 的角平分线，M 是AB 上一点，MN ⊥BD ，且与BP,BC 相交于P,N .那么BM=BN ，即∆BMN 是等腰三角形，且MP=NP ，即：角平分线+垂线→等腰三角形.当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基本图形，如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整，如图11，图12.【解题点要】例1. 如图13，已知∠A =27︒，∠CBE =90︒，∠C =30︒，求∠ADE 的度数.分析：求一个角的度数，可以先看一下它是否在某个三角形中，如果是三角形的一个内角，可考虑三角形内角和定理，或利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和来求.解：∵∠CBE =90︒，∠C =30︒ ∴∠DE C=180︒-(∠CBE +∠C )=180︒-(90︒+30︒)=60︒（三角形内角和定理）又∵∠DEC =∠A +∠ADE （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴60︒=27︒+∠ADE∴∠ADE =60︒-27︒=33︒例2. 已知：等腰三角形的周长是24cm ，(1)腰长是底边长的2倍，求腰长；(2)已知其中一边长为6cm ，求其他两边长.分析：第(1)题，用设未知数，找相等关系，列方程来解，体现了几何问题用代数方法解和方程思想，第(2)题，要注意分两种情况考虑，注意检查是否符合两边之和都大于第三边，体现了数学中的分类讨论思想.解：(1)设底边长x cm ，则腰长为2x cmx +2x +2x =24x =4.8∴腰长=2x =2×4.8=9.6 (cm)因为长为6 cm 的边可能是腰，也可能是底，所以要分两种情况计算则 2x +6=24x =12∵6+6=12 两边之和等于第三边，6 cm 长为腰不能组成三角形 ∴舍去∴三角形其他两边长为9 cm.例3. 已知∆ABC 中，AB=AC ，D 是BA 的延长线上的一点，E 是AC 上的一点，AD=AE ，DE 的延长线交BC 于F ，如图14，求证：DF ⊥BC分析：利用基本图形一，可得∠B =21∠DAE ，∠D =21∠BAC ，而∠DAE +∠BAC =180︒，可证明∠B +∠D =90︒，利用三角形内角和定理得图11 图13∠DFB =90︒，即DF ⊥BC .证明：∆ABC 中，∵AB=AC ∴∠DAE =2∠B 即∠B =21∠DAE ∆ABC 中，∵AD=AE ∴∠BAC =2∠D 即∠D=21∠BAC ∵∠DAE +∠BAC =180︒∴∠B +∠D =21(∠DAE +∠BAC )=90︒ ∴∠DFB =180︒-(∠B +∠D )=90︒ ∴DF ⊥BC例4. 已知：如图15，A 是直线MN 上的一点，AD,AC 分别是∠BAN 和∠BAM 的角平分线，KL ∥MN ，并分别与AC,AB,AD 相交于K,P,L ，求证：KP=PL分析：本题的条件只有两类，角平分线和平行线，因此容易找出它的基本图形是等腰三角形，从而证明，AP=PL ，同理可证：AP=KP ∴KP=PL 证明：∵AD 是∠BAN 的平分线 ∴∠1=∠2∴KL ∥MN ∴∠2=∠3 ∴∠1=∠3 ∴AP=PL同理可证；AP=KP ∴KP=PL例5. 已知，如图16，AD 是∆ABC 的角平分线，BF ⊥AD 交AD的延长线于F ，E 是BC 的中点，求证：EF =21(AB-AC ) 分析：本题的条件有两类，即角平分线和垂线，所以它的基本图形是等腰三角形，由于基本图形不完整，故将等腰三角形补全，即延长AC 交BF 的延长线于G ，可证明AB=AG ，BF=GF 可证明EF 是∆BGC 的中位线，∴EF=21CG=21(AG-AC )=21(AB-AC ) 证明：延长AC 交BF 的延长线于G∵AD 是∆ABC 的角平分线 ∴∠1=∠2∵BF ⊥AD ∴∠AFB =∠AFG =90︒∴∠ABF =180︒-(∠1+∠AFB)∠G =180︒-(∠2+∠AFG )（三角形内角和等于180︒）∴∠ABF =∠G ∴AB=AG （等角对等边）∵∠1=∠2 AF=AF ∠AFB =∠AFG =90︒∴∆AFB ≌∆AFG ∴BF=FG 又∵E 是BC 中点∴EF 是∆BGC 的中位线∴EF =21CG ∵CG=AG-AC=AB-AC ∴EF =21(AB-AC ) 例6. 已知：如图17，∆ABC 中，D 是AB 边上任意一点，连结CD ，求证：AB+AC>DB+DC分析：证明三角形中边与边的关系要利用：“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”定理和推论.此题的∆ADC 中，可图14图15 图16推出AD+AC>DC ，再根据不等式的基本性质，在不等式AD+AC>DC 的两边都加上BD ，不等号方向不变，得AD+AC+BD>DC+BD ，而AD+DB=AB ，故AB+AC>DB+DC证明：∆ADC 中，AD+AC>DC （三角形的两边之和大于第三边）∵AD+AC+DB=DC+DB∴AB+AC>DB+DC【同步练习】一、填空题⒈ 一个三角形的三个内角的度数的比为1:2:3，则这个三角形是______三角形.⒉ 一个等腰三角形的两边长分别是3 cm 和6 cm ，则它的周长是_____cm.⒊ 在∆ABC 中，∠A =30︒，∠B =2∠C ，则∠C =______度，∠B =______度.⒋ 已知如图18，AB ∥CD ，则∠α=______度.⒌ 如果一个等腰三角形的顶角是底角的4倍，那么顶角的度数是_____度. 二、选择题⒈ 一个三角形的三边长分别是3,4,x ，则x 的取值范围是（）A.x >3B.x >4C.3<x <4D.1<x <7⒉ 已知：∆ABC 中，∠C =80︒，∠A -∠B =40︒，则∠B 的度数是（）A.20︒B.30︒C.40︒D.60︒⒊ 在等腰∆ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，∠CDB =150︒，则∠A =（）A.130︒B.140︒C.150︒D.160︒⒋ 下面四个结论中，正确的是（）A. 三角形的三个内角中最多有一个锐角B. 等腰三角形的底角一定大于顶角C. 钝角三角形最多有一个锐角D. 三角形的三条内角平分线都在三角形内如图19，∆ABC 中，D 是BC 上一点，且BA=BD ，∠DAC =21∠B ，∠C =50︒，则∠BAC 的度数是（） A.60︒ B.90︒ C.120︒ D.80︒三、简答题⒈ 已知：∆ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于D ，过D 作BC 的平行线交AB,AC 于E ，F （图20），求证：EF=BE+CF 已知：如图21，∆ABC 中，D 是BC 中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于N ，AB =10，AC =16，求：ND 的长.图21图18图19 图20⒊ 已知：如图22，在∆ABC 中，∠A =90︒，AB=AC ，∠1=∠2，CE ⊥BE 于E ，求证：BD=2CE.⒋ 已知：如图23，在∆AB C 中，∠A =2∠B ，CD 是∠C 的平分线，求证：BC=AC+BD .⒌ 已知：如图24，∆ABC 中，AB>AC ，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD 于G ，交AB 于E ，AC 于F ，交BC 的延长线于M ，求证：∠M =21(∠ACB -∠B ).【同步练习答案与提示】一、⒈ 直角；⒉15；⒊ 50︒,100︒；⒋ 135︒；⒌ 120︒二、⒈D ；⒉B ；⒊B ；⒋D ；⒌ B⒈ 证BE=DE ，CF=DF ，则EF=DE+CF=BE+CF .⒉ 延长BN 交AC 于M ，证∆ABN ≌∆AMN ，则AB=AM ，BN=MN ，证DN 是∆BCM 中位线，∴ND =21CM =3 ⒊ 延长BA 交CE 的延长线于F ，由AB=AC ，∠BAC =∠FAC =90︒，∠EDC =∠F =∠ADB ；可证∆ABD ≌∆ACF ∴BD=CF 又∵BE 是 ∠ABC 的平分线 ∠BEC =∠BEF =90︒，BE=BE ，可证∆BEC ≌∆BEF ∴EF=EC ∴CF=2CE ∴BD=2CE⒋ 延长CA 到 E ，使CE=CB ，连结ED ，可证∆CBD ≌∆CED ∴∠B =∠E ∵∠BAC =2∠B ∴∠BAC =2∠E =∠EDA +∠E ∴∠EDA =∠E ∴AD=AE ∴BC=CE=CA+AE=AC+AD⒌ 可证∆AEG ≌∆AFG ，∆AEF 是等腰三角形 ∴∠AEG =∠AFG ∵∠AFG =∠CFM ∴∠AEG=∠CFM ∵∠ACB 是∆CFM 的外角 ∴∠M =∠ACB -∠CFM 同理可证∠M =∠AEG -∠B ∴2∠M =∠ACB -∠CFM +∠AEG -∠B =∠ACB -∠B ∴∠M =21(∠ACB -∠B )图22 图23图24。

北师大版七年级数学下册第四章证明(构造)全等三角形常用方法与技巧(含答案)

第四章证明（构造）全等三角形常用方法与技巧一、截长补短法1．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？解：成立．理由如下：如图，延长AD至F，使DF＝BE，连接CF.在正方形ABCD中，BC＝DC，∠B＝∠CDA＝90°，所以∠CDF＝∠B＝90°.又因为BE＝DF，所以△CBE≌△CDF(SAS)．所以CE＝CF，∠BCE＝∠DCF.所以∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD.所以∠ECF＝∠BCD＝90°.因为∠GCE＝45°，所以∠GCF＝∠GCE＝45°.又因为CE＝CF，GC＝GC，所以△ECG≌△FCG(SAS)．所以GE＝GF.所以GE＝DF＋GD＝BE＋GD.2．如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，AD ⊥BE ，垂足为D.试说明：∠2＝∠1＋∠C.解：如图，过点B 作BG ⊥BC 交CF 的延长线于点G.因为∠ACB ＝90°，所以∠2＋∠ACF ＝90°.因为CE ⊥AD ，所以∠AEC ＝90°.所以∠1＋∠ACF ＝180°－∠AEC ＝180°－90°＝90°.因为CE ⊥AD ，所以∠AEC ＝90°.所以∠1＋∠ACF ＝180°－∠AEC ＝180°－90°＝90°.在△ABD 和△F BD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABD ＝∠FBD ，BD ＝BD ，∠ADB ＝∠FDB ＝90°，所以△ABD ≌△FBD (ASA)．所以∠2＝∠DFB .又因为∠DFB ＝180°－∠AFC ，∠1＋∠C ＝180°－∠AFC ，所以∠DFB ＝∠1＋∠C .所以∠2＝∠1＋∠C .3．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∠ABC ＝45°，点D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于点E ，其延长线交AB 于点F ，连接DF.试说明：∠ADC ＝∠BDF.解：如图，过点B 作BG ⊥BC 交CF 的延长线于点G.因为∠ACB ＝90°，所以∠2＋∠ACF ＝90°.因为CE ⊥AD ，所以∠AEC ＝90°.所以∠1＋∠ACF ＝180°－∠AEC ＝180°－90°＝90°.因为CE ⊥AD ，所以∠AEC ＝90°.所以∠1＋∠ACF ＝180°－∠AEC ＝180°－90°＝90°.所以∠1＝∠2.在△ACD 和△CBG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，AC ＝CB ，∠ACD ＝∠CBG ＝90°，所以△ACD ≌△CBG (ASA)．所以∠ADC ＝∠G ，CD ＝BG .因为点D 为BC 的中点，所以CD ＝BD .所以BD ＝BG .所以∠GBF ＝∠DBG －∠DBF ＝90°－45°＝45°.所以∠DBF ＝∠GBF .在△BDF 和△BGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝BG ，∠DBF ＝∠GBF ，BF ＝BF ，所以△BDF ≌△BGF (SAS)．所以∠BDF ＝∠G .所以∠ADC ＝∠BDF .四、旋转法4. 如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE ＋DF ＝EF ，求∠EAF 的度数．解：如图，延长CB 到点H ，使得BH ＝DF ，连接AH.所以∠D ＝∠ABH ＝90°.在△ABH 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABH ＝∠D ＝90°，BH ＝DF ，所以△ABH ≌△ADF (SAS)．所以AH ＝AF ，∠BAH ＝∠DAF .所以∠BAH ＋∠BAF ＝∠DAF ＋∠BAF .所以∠HAF ＝∠BAD ＝90°.因为BE ＋DF ＝EF ，所以BE ＋BH ＝EF ，即EH ＝EF .在△AEH 和△AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AH ＝AF ，AE ＝AE ，EH ＝EF ，所以△AEH ≌△AEF (SSS)．所以∠EAH ＝∠EAF .所以∠EAF＝12∠HAF ＝45°.五、倍长中线法5. 如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点．若AB ＝5，AC ＝3，求AD 长度的取值范围．解：如图，延长AD 至点E ，使DE ＝AD ，连接BE.因为D 为BC 的中点，所以CD ＝BD.又因为AD ＝ED ，∠ADC ＝∠EDB ，所以△ADC ≌△EDB(SAS)．所以AC ＝EB.因为AB －EB<AE<AB ＋EB ，又因为AB ＝5，AC ＝3，所以2<2AD<8. 所以1<AD<4.综合练习1．如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，AE ＝EC ，DE ＝EF ，则下列结论中：①∠ADE ＝∠EFC ；②∠ADE ＋∠ECF ＋∠FEC ＝180°；③∠B ＋∠BCF ＝180°；④S △ABC ＝S 四边形DBCF ，正确的结论有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．如图，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，BC 上的点，且DE ∥BC ，△ABC 沿线段DE 折叠，使点A 落在点F 处．若∠B＝50°，则∠BDF ＝________．3．如图，已知边长为1的正方形ABCD ，AC ，BD 交于点O ，过点O 任作一条直线分别交AD ，BC 于点E ，F ，则阴影部分的面积是________．4．如图，AD ，AE 分别是△ABC 的角平分线、高线，且∠B ＝50°，∠C ＝70°，则∠EAD ＝________．5．如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝1(AB ＋AD )，若∠D ＝115°，则∠B ＝________．6．如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A的直线l绕点A旋转，BD⊥l于D，CE⊥l于E.(1)试说明：DE＝BD＋CE.(2)当直线l绕点A旋转到如图②所示的位置时，(1)中结论是否成立？若成立，请说明；若不成立，请探究DE，BD，CE又有怎样的数量关系，并写出探究过程．7．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE.设∠BAC＝α，∠DCE＝β.(1)如图①，点D在线段BC上移动时，角α与β之间的数量关系是____________，请说明理由；(2)如图②，点D在线段BC的延长线上移动时，角α与β之间的数量关系是____________，请说明理由；(3)当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在图③中画出完整图形并猜想角α与β之间的数量关系是________________．参考答案1.A2．80° 3．144．10° 点拨：由AD 平分∠BAC ，可得∠DAC ＝12∠BAC ＝12×(180°－50°－70°)＝30°.由AE ⊥BC ，可得∠EAC ＝90°－∠C ＝20°，所以∠EAD ＝30°－20°＝10°.5．65° 点拨：过C 作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于F .因为AC 平分∠BAD ，所以∠CAF ＝∠CAE .因为CF ⊥AF ，CE ⊥AB ，所以∠AFC ＝∠AEC ＝90°.在△CAF 和△CAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CAF ＝∠CAE ，∠AFC ＝∠AEC ，AC ＝AC ，所以△CAF ≌△CAE (AAS )．所以FC ＝EC ，AF ＝AE .因为AE ＝12(AB ＋AD )，所以AF ＝12(AE ＋EB ＋AD )，即AF ＝BE ＋AD .所以DF ＝BE .在△FDC 和△EBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧CF ＝CE ，∠CFD ＝∠CEB ，DF ＝BE ，所以△FDC ≌△EBC (SAS )．所以∠FDC ＝∠EBC .又因为∠ADC ＝115°，所以∠FDC ＝180°－115°＝65°.所以∠B ＝65°.6．解：(1)因为BD ⊥l ，CE ⊥l ，所以∠ADB ＝∠AEC ＝90°.又因为∠BAC＝90°，所以∠BAD＋∠CAE＝90°.所以∠DBA＝∠CAE.因为AB＝AC，∠ADB＝∠CEA＝90°，所以△ABD≌△CAE(AAS)．所以AD＝CE，BD＝AE.则AD＋AE＝BD＋CE，即DE＝BD＋CE.(2)(1)中结论不成立．DE＝BD－CE.同(1)说明△ABD≌△CAE，所以BD＝AE，AD＝CE.又因为AE－AD＝DE，所以DE＝BD－CE.7．解：(1)α＋β＝180°理由：因为∠DAE＝∠BAC，所以∠DAE－∠CAD＝∠BAC－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.又因为AB＝AC，AD＝AE，所以△ABD≌△ACE(SAS)．所以∠ABC＝∠ACE.在△ABC中，∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠ABC＝∠ACE，所以∠BAC＋∠ACB＋∠ACE＝180°.因为∠ACB＋∠ACE＝∠DCE＝β，所以α＋β＝180°.(2)α＝β理由：因为∠DAE＝∠BAC，所以∠BAD＝∠CAE.又因为AB＝AC，AD＝AE，所以△ABD≌△ACE(SAS)．所以∠ABC＝∠ACE.因为∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°，所以α＝β.(3)α＝β.画图略．。

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