2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)
2020年高考全国三卷文科数学试题
2020年高考全国三卷文科数学试题一、选择题（每题4分，共24分）若函数f(x) = x^2 + ax + 3 在区间(-∞, 2] 上是减函数，则a的取值范围是( ) A. a ≥ -2 B. a ≤ -2 C. a ≥ 4 D.a ≤ 4已知向量a = (1, 2)，向量b = (-3, 2)，则向量a与向量b的夹角为( )A. π/4B. π/3C. 2π/3D. 3π/4下列命题中，真命题是( )A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，c > d，则ac > bdC. 若a, b, m 都是实数，且a < b，则am^2 < bm^2D. 若a, b ∈ℝ，且a < b，则a^3 < b^3已知圆C: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0，则圆 C 的圆心坐标是( )A. (1, -2)B. (-1, 2)C. (1, 2)D. (-1, -2)已知双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离为b，则双曲线的离心率为( )A. √2B. √3C. √5D. √6已知数列{an} 满足a1 = 1，an+1 = 2an + 3，则数列{an} 的通项公式为( ) A. an = 2^n - 1 B. an = 3^n - 1C. an = 3^n - 2D. an = 2^(n+1) - 3二、填空题（每题4分，共16分）若x, y ∈ℝ，且x^2 + y^2 = 1，则xy 的最大值为_______。
已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，则f'(x) = _______。
已知等比数列{an} 的前n 项和为Sn，若S3 = 7，S6 = 63，则S9 = _______。
已知椭圆C: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为√3/2，且过点(2, √3)，则椭圆C 的方程为_______。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(全国卷3,参考版解析)
2020年高考新课标Ⅲ卷文数试题参考解析注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð=（A ）{48}，（B ）{026}，， （C ）{02610}，，， （D ）{0246810}，，，，， 【答案】C 【解析】试题分析：依据补集的定义，从集合}10,8,6,4,2,0{=A 中去掉集合}8,4{=B ，剩下的四个元素为10,6,2,0，故}10,6,2,0{=B C A ，故应选答案C 。
（2）若43i z =+，则||zz = （A ）1 （B ）1-（C ）43+i 55 （D ）43i 55- 【答案】D 【解析】试题分析：因i z 34+=，则其共轭复数为i z 34-=，其模为534|34|||22=+=+=i z ，故i z z 5354||-=，应选答案D 。
（3）已知向量BA →=（12，BC →=12），则∠ABC =（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）120°【答案】A（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是（A）各月的平均最低气温都在0℃以上（B）七月的平均温差比一月的平均温差大（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个【答案】D【解析】试题分析：从题设中提供的信息及图中标注的数据可以看出：深色的图案是一年十二个月中各月份的平均最低气温，稍微浅一点颜色的图案是一年十二个月中中各月份的平均最高气温，故结合所提供的四个选项，0只有7、8两个月份，故应选答案可以确定D是不正确的，因为从图中可以看出：平均最高气温高于20CD。
2020年全国高考(新课标I、II、III卷)真题 文科数学试卷(+答案+全解全析,共3套)
（2）设 DO= 2 ，圆锥的侧面积为 3π ，求三棱锥 P−ABC 的体积.
20.已知函数 f (x) = ex − a(x + 2) .
（1）当 a = 1 时，讨论 f (x) 的单调性；
（2）若 f (x) 有两个零点，求 a 的取值范围.
21.已知
1
A.
5
1
C. 2
2
B.
5
4
D.
5
【答案】A
【分析】列出从 5 个点选 3 个点的所有情况，再列出 3 点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.
【详解】如图，从 O,A,B,C,D 5 个点中任取 3 个有
{O, A, B},{O, A,C},{O, A, D},{O, B,C}
{O, B, D},{O,C, D},{A, B,C},{A, B, D}
由此散点图，在 10°C 至 40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型
的是（ ） A. y = a + bx
B. y = a + bx2
C. y = a + bex
D. y = a + b ln x
【答案】D
【分析】 根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
2020年全国卷Ⅲ高考文科数学 答案
2020年全国卷Ⅲ高考文科数学试题参考答案选择题答案 一、选择题 1．B 2．D 3．C 4．C 5．B 6．A 7．B 8．B 9．C 10．A11．C12．D非选择题答案 二、填空题 13．7 1415．1 16三、解答题17．解：（1）设{}n a 的公比为q ，则11n n a a q -=.由已知得1121148a a q a q a +=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得11,3a q ==.所以{}n a 的通项公式为1=3n n a -.（2）由（1）知3log 1.n a n =-故(1).2n n n S -=由13m m m S S S +++=得(1)(1)(3)(2)m m m m m m -++=++，即2560m m --=. 解得1m =-（舍去），6m =.18．解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1(100203003550045)350100⨯+⨯+⨯=． （3）根据所给数据，可得22⨯列联表：人次≤400人次>400空气质量好 33 37 空气质量不好228根据列联表得22100(3382237) 5.82055457030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于5.820 3.841>，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．19．解：（1）如图，连结BD ，11B D ．因为AB BC =，所以四边形ABCD 为正方形，故AC BD ⊥．又因为1BB ⊥平面ABCD ，于是1AC BB ⊥．所以AC ⊥平面11BB D D ． 由于EF ⊂平面11BB D D ，所以EF AC ⊥．（2）如图，在棱1AA 上取点G ，使得12AG GA =，连结1GD ，1FC ，FG ， 因为1123D E DD =，123AG AA =，11DD AA =∥，所以1ED AG =∥，于是四边形1ED GA 为平行四边形，故1AE GD ∥．因为1113B F BB =，1113AG AA =，11BB AA =∥，所以11FG A B =∥，11FG C D =∥，四边形11FGD C 为平行四边形，故11GD FC ∥．于是1AE FC ∥．所以1,,,A E F C 四点共面，即点1C 在平面AEF 内． 20．解：（1）2()3f x x k '=-．当k=0时，3()f x x =，故()f x 在()-∞+∞，单调递增； 当k<0时，2()30f x x k '=->，故()f x 在()-∞+∞，单调递增． 当k>0时，令()0f x '=，得x =．当(,x ∈-∞时，()0f x '>；当(x ∈时，()0f x '<；当)x ∈+∞时，()0f x '>．故()f x在(,-∞，)+∞单调递增，在(单调递减． （2）由（1）知，当0k ≤时，()f x 在()-∞+∞，单调递增，()f x 不可能有三个零点． 当k>0时，=x ()f x的极大值点，x 为()f x 的极小值点．此时，11k k --<<<+且(1)0f k --<，(1)0f k +>，(0f >． 根据()f x的单调性，当且仅当0f <，即20k -<时，()f x 有三个零点，解得427k <．因此k 的取值范围为(0)427，．21．解：（1=22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=.（2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =，因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ =11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ11APQ △的面积为1522=.22||PQ 22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q 的距离为26，故22AP Q △的面积为152262⨯=. 综上，APQ △的面积为52. 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]解：（1）因为t≠1，由220t t --=得2t =-，所以C 与y 轴的交点为（0，12）； 由2230t t -+=得t=2，所以C 与x 轴的交点为(4,0)-． 故||AB =（2）由（1）可知，直线AB 的直角坐标方程为1412x y +=-，将cos sin x y ρθθ==，代入，得直线AB 的极坐标方程3cos sin 120ρθρθ-+=． 23．[选修4—5：不等式选讲]解：（1）由题设可知，a ，b ，c 均不为零，所以22221[()()]2ab bc ca a b c a b c ++=++-++2221()2a b c =-++ 0<.（2）不妨设max{a ，b ，c}=a ，因为1,()abc a b c ==-+，所以a>0，b<0，c<0.由2()4b c bc +≤，可得34a abc ≤，故a ，所以max{,,}a b c ≥.。
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,2,3,5,7,11}，B={x|3<x<15}，则A∩B中元素的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了交集的运算和交集及其运算，属于基础题．利用交集的定义即可求解；【解答】解：∵A={1,2,3,5,7,11}，B={x|3<x<15}，∴A∩B={5,7,11}，∴A∩B中元素个数为3．故选B．2.若z(1+i)=1−i，则z=()A. 1−iB. 1+iC. −iD. i【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的四则运算，共轭复数的概念，属于基础题．先由复数的四则运算法则求出z，再利用共轭复数的概念得到答案．【解答】解：由z(1+i)=1−i，得z=1−i1+i =(1−i)22=−i，所以z=i，故选D．3.设一组样本数据x1,x2,...,x n的方差为0.01，则数据10x1,10x2,...,10x n的方差为()A. 0.01B. 0.1C. 1D. 10【答案】C【解析】【分析】本题主要考查方差的运算，是基础题．直接进行求解即可．【解答】解：设x1,x2,⋯,x n的平均数为x，方差S12=0.01,所以10x1,10x2,⋯,10x n的平均数为10x，方差S2=100S12=1，故选C．4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=K1+e−0.23(t−53)，其中K为最大确诊病例数.当I(t∗)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t∗约为()(ln19≈3)A. 60B. 63C. 66D. 69【答案】C【解析】【分析】本题主要考查指数式与对数式的互化，属于基础题．根据题意可得K1+e −0.23(t−53)=0.95K ，解出t 的值．【解答】解：由题可知K 1+e −0.23(t−53)=0.95K ，所以1+e −0.23(t−53)=2019，e −0.23(t−53)=1190.23(t −53)=ln 19≈3，解得t ≈66故选C ．5. 已知sin θ+sin (θ+π3)=1，则sin (θ+π6)=( )A. 12B. √33C. 23D. √22【答案】B【解析】【分析】本题考查两角和的正弦公式和辅助角公式，属于中档题．根据两角和的正弦公式展开sin (θ+π3) ，再整理利用辅助角公式即可得答案．【解答】解：∵sin (θ+π3)=12sin θ+√32cos θ ， ∴sin θ+sin (θ+π3)=32sin θ+√32cos θ =√3sin (θ+π6)=1得sin (θ+π6)=√33故选：B ．6. 在平面内，A,B 是两个定点，C 是动点，若AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则点C 的轨迹为( ) A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 直线【答案】A【解析】【分析】 本题考查了动点的轨迹问题及向量数量积的坐标运算，属一般题．根据题意建立平面直角坐标系，设出点A 、B 、C 的坐标，得到AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由向量数量积的坐标运算公式即得动点坐标所满足的方程，从而得到动点C 的轨迹．【解答】解：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，设A(−a,0)，B(a,0)，C(x,y)，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +a,y)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −a,y)，由题意AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，得x 2−a 2+y 2=1即x 2+y 2=1+a 2，因此，动点C 的轨迹是圆，故选A ．7. 设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C:y 2=2px(p >0)交于D,E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )A. (14,0)B. (12,0)C. (1,0)D. (2,0)【答案】B【解析】【分析】 本题考查直线与抛物线的位置关系及抛物线的性质，属于基础题．根据直线x =2与抛物线交于D 、E 两点，确定D 、E 两点坐标，由OD ⊥OE 可得OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可确定p 的值，从而得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：根据题意得D(2,2p)，E(2,−2p)，因为OD ⊥OE ，可得OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以4−4p =0，故p =1，所以抛物线C:y 2=2x ，所以抛物线的焦点坐标为(12,0)．故选B ．8. 点(0,−1)到直线y =k(x +1)距离的最大值为( ) A. 1B. √2C. √3D. 2【答案】B【解析】【分析】 本题考查定点到过定点的直线的最大距离问题，属于基础题．根据点到直线的距离和两点间的距离公式，即可求解．【解答】解：因为直线y =k(x +1)恒过点(−1,0)，要使得点(0,1)到直线的距离最大，此时点到直线的距离即为(0,1)与(−1,0)两点的距离，此时最大距离为√(0+1)2+(1−0)2=√2．故选B ．9. 右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A. 6+4√2B. 4+4√2C. 6+2√3D. 4+2√3【答案】C【解析】【分析】本题考查由三视图求几何体的表面积，考查空间想象能力，难度一般．先由三视图还原几何体，即可求出表面积．【解答】解：由三视图可知该几何体是底面为腰长2的等腰直角三角形，一侧棱长为2且垂直底面的三棱锥，如下图故其表面积为3×12×2×2+12×2√2×2√2×sin60∘=6+2√3.故选C．10.设a=log32，b=log53，c=23，则()A. a<c<bB. a<b<cC. b<c<aD. c<a<b 【答案】A【解析】【分析】本题考查了对数比较大小，属于基础题．分别将c转化为以3，5为底数的对数，与a，c比较大小，即可得到结果．解：∵c=23log33=log3√93，a=log32=log3√83，∴a<c，∵c=23log55=log5√253，b=log53=log5√273，∴c<b，故选A．11.在中，cos C=23，AC=4,BC=3，则tan B=()A. √5B. 2√5C. 4√5D. 8√5【答案】C【解析】【分析】本题考查余弦定理，利用余弦定理求出AB的值，再由余弦定理求出cos B，进而求出sin B，由同角三角函数的关系即可求出tan B．【解答】解：根据题意：cos C=AC2+BC2−AB22AC⋅BC =16+9−AB22×4×3=23，解得：AB=3，则cos B=9+9−162×3×3=19；sin B=4√59(负值舍去)故．故选C12.已知函数f(x)=sin x+1sin x，则()A. f(x)的最小值为2B. f(x)的图象关于y轴对称C. f(x)的图象关于直线x=π对称D. f(x)的图象关于直线x=π2对称【答案】D【分析】本题主要考查三角函数的性质，属于中档题．取特值使得sinx =−1时，可以否定A ；利用三角函数的性质，结合函数的奇偶性，对称性的条件，逐项作出判定．【解答】解：A. 由于f(−π2)=−2，故A 错误；B . f(−x)=−sin x −1sin x ≠f(x)，故B 错误；C . f(π−x)=sin x +1sin x ，f(π+x)=−sin x −1sin x ， f(π+x)≠f(π−x)，故C 错误；D .f(π2−x)=cosx +1cosx，f(π2+x)=cosx +1cosx ，f(π2+x)=f(π2−x)， 则f(x)的图象关于直线x =π2对称，故D 正确，故选D ．二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若x ，y 满足约束条件{x +y ≥02x −y ≥0x ≤1，则z =3x +2y 的最大值为_____． 【答案】7【解析】【分析】 本题考查了根据线性规划求最值，属较易题．本题先根据线性约束条件画出平面区域，再利用图解法即可求出目标函数的最大值．【解答】解：画出不等式组{x +y ≥02x −y ≥0x ≤1所表示的平面区域，如图所示由{x =12x −y =0得点A 坐标为(1,2)，由{x =1x +y =0得点B 坐标为(1,2)， 即不等式所表示的平面区域为ΔOAB(包括边界)，再将z =3x +2y 化为y =−32x +z ，可看作斜率为−32，截距为z 的一族平行直线， 由图可知，当直线y =−32x +z 经过点A 时，截距z 最大，因此，当{x =1y =2时，z max =3×1+2×2=7， 故答案为7．14. 设双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线为y =√2x ，则C 的离心率为______．【答案】√3【解析】【分析】本题主要考查双曲线的简单几何性质，属于基础题。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 文(全国卷3,含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 文（全国卷3）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,在涂选其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求的.）1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，，2．()()12i i +-=（ ）A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）4．若1sin 3α=，则cos2α=（ ）A ．89B ．79C ．79-D ．89-5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.76．函数 ()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为（ ）A ．4π B ．2πC ．πD ．2π7．下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是（ ）A ．()ln 1y x =-B ．()ln 2y x =-C ．()ln 1y x =+D ．()ln 2y x =+8．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是（ ）A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，9．函数422y x x =-++的图像大致为（ ）10．已知双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的离心率为2，则点()40，到C 的渐近线的距离为（ ）A ．2B ．2C ．322D ．2211．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π12．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ）A ．123B ．183C ．243D ．543二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．14．某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．15．若变量x y ，满足约束条件23024020.x y x y x ++⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥，≥，≤则13z x y =+的最大值是________．16．已知函数()()2ln11f x x x =--+，()4f a =，则()f a -=________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：共60分。
2020年全国III卷文科数学高考试题及解析
2020年普通高等学校招生全国Ⅲ卷统一考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}1,2,3,5,7,11A =，{}|315B x x =<<，则A B 中元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5解析：这是求A 和B 两个集合的交集，A 集合中的元素在（3，15）中的有5、7和11三个，所以正确答案为B，特别注意B 的不等式不包含等号，也即A 中的3不能包含进去。
点评：集合一般比较简单2.若)1z i i +=-，则z =（）A.1i- B.1i + C.i - D.i 解析：1(1)(1)21(1)(1)2i i i i z i i i i ----====-++-所以z=i点评：这个是一个复数的化简，共轭复数的概念，还是基题，送分题。
3．设一组样本数据12,,...,n x x x 的方差为0.01，则数据12n 10,10,...,10x x x 的方差为A．0.01B．0.1C．1D．10解析：设第一组数的平均值为x 则222121()()...()0.01n S x x x x x x =-+-++-=则10x1,10x2,....10xn 的平均值为10x22212222222(1010)(1010)...(1010)10(110()....10011n S x x x x x x x x x x S =-+-++-==-+-+=点评：考查统计方差的概念，特别要清楚，方差是不用开方的，而标准差是要开方的，4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531t KI t e --=+，其中K 为最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（）（其中In19≈3）A.60B.63C.66D.69解析：代入解方程即可以0.23(53)()0.951t KI t Ke --==+0.23(53)1110.9519t e ---==两边同取以19为底的对数ln190.23(53)t -=--解得t=66点评：本题结合时事，实际是取对数的形式，解指数方程，要求对对数和指数之间的转换非常熟练。
2020年全国统一高考数学试卷(文科)
【详解】因为直线 与抛物线 交于 两点，且 ，
根据抛物线的对称性可以确定 ，所以 ，
代入抛物线方程 ，求得 ，所以其焦点坐标为 ，
故选：B.
8.点(0，﹣1)到直线 距离的最大值为（）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【详解】由 可知直线过定点 ，设 ，
当直线 与 垂直时，点 到直线 距离最大，
【答案】D
【解析】
【详解】因为 ，所以 .
故选：D
3.设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（）
A. 0.01B. 0.1C. 1D. 10
【答案】C
【详解】因为数据 的方差是数据 的方差的 倍，
所以所求数据方差为
故选：C
4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： ，其中K为最大确诊病例数．当I( )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（）.
【答案】A
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：A.
11.在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则tanB=（）
A. B. 2 C. 4 D. 8
【答案】C
【详解】设
故选：C
12.已知函数f(x)=sinx+ ，则（）
A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图像关于y轴对称
因为 ，所以 ，易知截距 越大，则 越大，
平移直线 ，当 经过A点时截距最大，此时z最大，
由 ，得 ， ，
所以 .
故答案为：7.
14.设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y= x，则C的离心率为_________．
2020年高考全国3卷文科数学及答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则AB =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,22．若(1i)2i z +=，则z = A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A ．16B ．14C ．13D ．124．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0．5 B ．0．6 C ．0．7 D ．0．8 5．函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为A ．2B ．3C ．4D ．5 6．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ． 16 B ． 8 C ．4 D ． 2 7．已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．a=e ，b =-1 B ．a=e ，b =1 C ．a=e -1，b =1 D ．a=e -1，1b =-8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则 A ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线9．执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于A ．4122-B ．5122-C ．6122-D ．7122-10．已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为 A ．32B ．52C ．72D ．9211．记不等式组6,20x y x y +⎧⎨-≥⎩表示的平面区域为D ．命题:(,),29p x y D x y ∃∈+；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+．下面给出了四个命题①p q ∨②p q ⌝∨③p q ∧⌝ ④p q ⌝∧⌝ 这四个命题中，所有真命题的编号是 A ．①③ B ．①②C ．②③D ．③④12．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-） B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314） D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国卷三文科数学高考试题(word版+详细解析版)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷三文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}1235711，，，，，A =，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为 A ．2 B ．3C ．4D ．5答案：B解析：由交集的定义可知A ∩B ={5711}，，，故选B 2．若)(1i 1i z +=-，则z =A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i答案：C解析：因为)(1i 1i z +=-，所以21i (1i)2i i 1i (1i)(1i)2z ---====-++-，故选C 3．设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为A ．0.01B ．0.1C ．1D ．10答案：C解析：数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差等于数据x 1，x 2，…，x n 的方差210，即0.011001⨯=，故选C4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t KI t --+，其中K 为最大确诊病例数．当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln193)≈A ．60B ．63C ．66D ．69答案：C解析：由0.23(53)()=1e t KI t --+可得ln 1()530.23K I t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+-，所以若*()0.95I t K =时，*ln 1ln190.955353660.230.23K K t ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=+≈-，故选C. 5．已知πsin sin=3θθ++（）1，则πsin =6θ+（） A ．12 BC ．23 D答案：B解析：因为πsin sin =3θθ++（）1，所以13sin sin sin 1226πθθθθθθ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，所以πsin 6（+θ，故选B 6．在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线答案：A解析：取线段AB 的中点O ，则AC OC OA =-，BC OC OB OC OA =-=+，因为=1AC BC ⋅，所以221OC OA -=，所以22||||1OC OA =+，即|||OC OA =C的轨迹为以线段AB 中点为A。
2020年高考文科数学全国3卷(word版,含答案)
1.【ID:4007728】已知集合，，则中的元素的个数为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：集合，，，中元素的个数为．故选：B．2.【ID:4007729】若，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由，得，．故选：D．3.【ID:4007730】设一组样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：样本数据，，，的方差为，根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，数据，，，的方差为：，故选：C．4.【ID:4002704】模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(的单位：天)的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由已知可得，解得，两边取对数有，解得，故选：C．5.【ID:4007731】已知，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：，，即，得，即，得．故选：B．6.【ID:4007732】在平面内，，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为()A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 直线【答案】A【解析】解：在平面内，，是两个定点，是动点，不妨设，，设，因为，所以，解得，所以点的轨迹为圆．故选：A．7.【ID:4002705】设为坐标原点，直线与抛物线：交于，两点，若，则的焦点坐标为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：将代入抛物线，可得，，可得，即，解得，所以抛物线方程为：，它的焦点坐标．故选：B．8.【ID:4007733】点到直线距离的最大值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：因为点到直线距离；要求距离的最大值，故需；可得；当时等号成立；故选：B．9.【ID:4002708】右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由三视图可知几何体的直观图如图：几何体是正方体的一个角，，、、两两垂直，故，几何体的表面积为：，故选：C．10.【ID:4007734】设，，，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：，，，．故选：A．11.【ID:4007735】在中，，，，则()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，，，，，可得，，则．故选：C．12.【ID:4007736】已知函数，则()A. 的最小值为B. 的图象关于轴对称C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于直线对称【答案】D【解析】解：由可得函数的定义域为，故定义域关于原点对称；设，则，，由双勾函数的图象和性质得，或，故A错误；又有，故是奇函数，且定义域关于原点对称，故图象关于原点中心对称；故B错误；；，故，的图象不关于直线对称，C错误；又；，故，定义域为，的图象关于直线对称；D正确；故选：D．13.【ID:4002715】已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．【答案】【解析】解：因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，如图，圆锥母线，底面半径，则其高，不妨设该内切球与母线切于点，令，由，则，即，解得，，故答案为：．14.【ID:4007737】设双曲线：的一条渐近线为，则的离心率为________．【答案】【解析】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：，由题意可得，所以离心率，故答案为：．15.【ID:4007738】设函数，若，则________．【答案】【解析】解：函数，，若，，则，故答案为：．16.【ID:4002713】若，满足约束条件，则的最大值为________．【答案】7【解析】解：先根据约束条件画出可行域，由解得，如图，当直线过点时，目标函数在轴上的截距取得最大值时，此时取得最大值，即当，时，．故答案为：．17. 设等比数列满足，．（1）【ID:4007739】求的通项公式．【答案】【解析】解：设公比为，则由，可得，，所以．（2）【ID:4007740】记为数列的前项和．若，求．【答案】【解析】解：由有，是一个以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，，解得，或(舍去)，所以．18. 某学生兴趣小组随机调查了某市天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：（1）【ID:4002719】分别估计该市一天的空气质量等级为，，，的概率．【答案】见解析【解析】解：设表示事件“该市一天的空气质量等级”．由表格数据得：；；；．（2）【ID:4002720】求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．【答案】【解析】由题意得：一天中到该公园锻炼的平均人次的估值，一天中到该公园锻炼的平均人次的估值为．（3）【ID:4002721】若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为或．则称这天“空气质量不好”，根据所给数据，完成下面的列联表．并根据列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：，【答案】见解析【解析】由题意得：(空气质量好，人数)；(空气质量好，人数)；(空气质量不好，人数)；(空气质量不好，人数)；．，可以有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．19. 如图，长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：（1）【ID:4007741】当时，．【答案】见解析【解析】解：因为是长方体，所以平面，而平面，所以，因为是长方体，且，所以是正方形，所以，又．所以平面，又因为点，分别在棱，上，所以平面，所以．（2）【ID:4007742】点在平面内．【答案】见解析【解析】解：取上靠近的三等分点，连接，，．因为点在，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，且，又因为在上，且，所以，且，所以为平行四边形，所以，，即，，所以为平行四边形，所以，所以，所以，，，四点共面．所以点在平面内．20. 已知函数．（1）【ID:4007743】讨论的单调性．【答案】时，在递增，时，在递增，在递减，在递增．【解析】解：，，时，，在递增，时，令，解得：或，令，解得：，在递增，在递减，在递增，综上，时，在递增，时，在递增，在递减，在递增．（2）【ID:4007744】若有三个零点，求的取值范围．【答案】【解析】解：由得：，，，若有三个零点，只需，解得：，故．21. 已知椭圆：的离心率为，，分别为的左、右顶点．（1）【ID:4002724】求的方程．【答案】【解析】，，，，即，的方程为．（2）【ID:4002725】若点在上，点在直线上，且，，求的面积．【答案】【解析】设，，，则，，①，又，②，由①，，代入②式：，，，不妨设，代入①：，时，；时，；，或，，①，，，：，即，且，，．②，，，：，即，且，，，综上所述，．方法：由，设，点，根据对称性，只需考虑的情况，此时，，，有①，又，②，又③，联立①②③得或，当时，，，，同理可得当时，，综上，的面积是．22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数且)，与坐标轴交于，两点．（1）【ID:4002728】求．【答案】【解析】解：与坐标轴交于，，则令或，即或，则或(舍)或或(舍)，，，，，，，则，坐标为，，．（2）【ID:4002729】以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．【答案】【解析】：，即，由，，则直线极坐标方程为：．23. 设，，，，．（1）【ID:4002730】证明：．【答案】见解析【解析】解：，且，，．（2）【ID:4002731】用表示，，的最大值，证明：．【答案】见解析【解析】不妨设为最大值，，则由，，，，，即．。
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅲ)(含解析版)
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算,以及等差数列求和公式的应用,考查计算求解能力,属于基础题目.
18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次
空气质量等级
[0,200]
(200,400]
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 , ,则A∩B中元素的个数为（）
A.2B.3C.4D.5
【答案】B
【解析】
【分析】
采用列举法列举出 中元素的即可.
【详解】由题意, ,故 中元素的个数为3.
故选：B
【点晴】本题主要考查集合 交集运算,考查学生对交集定义的理解,是一道容易题.
【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球,球与圆锥内切时的轴截面如图所示,
其中 ,且点M为BC边上的中点,
设内切圆的圆心为 ,
由于 ,故 ,
设内切圆半径为 ,则：
,
解得： ,其体积： .
故答案为： .
【点睛】与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接．解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.
2.若 ,则z=（）
A. 1–iB. 1+iC. –iD.i
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用除法运算求得 ,再利用共轭复数的概念得到 即可.
【详解】因为 ,所以 .
2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国III卷文科) 数学试题及答案(学生版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国III 卷文科）数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上。
本试卷满分150分。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 52.若，则z =（ ）A. 1–iB. 1+iC. –iD. i3.设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为（ ）A. 0.01B. 0.1C. 1D. 104.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：，其中K 为最大确诊病例数．当I ()=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）A. 60B. 63C. 66D. 695.已知，则（ ）A.C.D.6.在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，若，则点C 的轨迹为（ ）A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 直线7.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ）A. （，0） B. （，0） C. （1，0） D. （2，0）{}1235711A =，，，，，{}315|B x x =<<()11+=-z i i 0.23(53)()=1et I K t --+*t *t πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭12232=1AC BC ⋅14128.点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）A. 1B.C.D. 29.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A. 6+4B. 4+4C. 6+2D. 4+210.设a =log 32，b =log 53，c =，则（ ） A. a<c<b B. a<b<c C. b<c<a D. c<a<b 11.在△ABC 中，cos C =，AC =4，BC =3，则tan B =（ ） A.B. 2C. 4D. 812.已知函数f (x )=sin x +，则（ ） A. f(x)的最小值为2B. f(x)的图像关于y 轴对称C. f(x)的图像关于直线对称D. f(x)的图像关于直线对称二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)13.若x ，y 满足约束条件 ，则z =3x +2y 的最大值为_________．14.设双曲线C ： (a >0，b >0)的一条渐近线为y =x ，则C 的离心率为_________．15.设函数．若，则a =_________．16.已知圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.) （一）必考题：共60分.17.设等比数列{a n }满足，． （1）求{a n }的通项公式；()1y k x =+232233232355551sin xx π=2x π=0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，22221x y a b -=2e ()xf x x a =+(1)4e f '=124a a +=318a a -=（2）记为数列{log 3a n }的前n 项和．若，求m ．18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：，n S 13m m m S S S +++=2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k 3.8416.63510.82819.如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明： （1）当时，； （2）点在平面内．20.已知函数． （1）讨论的单调性；（2）若有三个零点，求的取值范围．1111ABCD A B C D -E F 1DD 1BB 12DE ED =12BF FB =AB BC =EF AC ⊥1C AEF 32()f x x kx k =-+()f x ()f x k21.已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．（1）求的方程；（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．（二）选考题（共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.）[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点. （1）求||：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.222:1(05)25x y C m m +=<<4A B C C P C Q 6x =||||BP BQ =BP BQ ⊥APQ 2222x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩，AB[选修4-5：不等式选讲]23.设a，b，c R，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国III 卷文科）数学试题参考答案1-5.BDCCB 6-10ABBCA 11-12.CD 13.715.116.17.（1）设等比数列的公比为，根据题意，有，解得，所以；（2）令， 所以， 根据，可得， 整理得，因为，所以18.（1）由频数分布表可知，该市一天空气质量等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为； （2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为（3）列联表如下：3{}n a q 1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩113a q =⎧⎨=⎩13-=n n a 313log log 31n n n b a n -===-(01)(1)22n n n n n S +--==13m m m S S S +++=(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=2560m m --=0m >6m =的1216250.43100++=2510120.27100++=36780.21100++=47200.09100++=100203003550045350100⨯+⨯+⨯=22⨯空气质量好，因此，有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 19.（1）因为长方体,所以平面, 因为长方体,所以四边形为正方形 因为平面,因此平面,因为平面,所以；（2）在上取点使得,连, 因为,所以所以四边形为平行四边形，因为所以四边形为平行四边形， 因此在平面内20. （1）由题，，当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 令，得或，所以在上单调递减，在 ，上单调递增. （2）由（1）知，有三个零点，则，且228()21003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯95%1111ABCD A B C D -1BB ⊥ABCD ∴1AC BB ⊥1111,ABCD A B C D AB BC -=ABCD AC BD ∴⊥11,BB BD B BB BD =⊂、11BB D D AC ⊥11BB D D EF ⊂11BB D D AC EF ⊥1CC M 12CM MC =,DM MF 111112,//,=D E ED DD CC DD CC =11,//,ED MC ED MC =1DMC E 1//DM EC ∴//,=,MF DA MF DA MFAD 1//,//DM AF EC AF ∴∴1C AEF '2()3f x x k =-0k ≤'()0f x ≥()f x (,)-∞+∞0k >'()0f x =3k x =±'()0f x <33kkx -<<'()0f x >3kx <-3k x >()f x (,)33k k-(,)3k -∞-(,)3k+∞()f x 0k >()03()03kf kf ⎧->⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即，解得， 当时，，且， 所以在上有唯一一个零点，同理，， 所以在上有唯一一个零点，又在上有唯一一个零点，所以有三个零点， 综上可知的取值范围为. 21.（1），，根据离心率， 解得或(舍)， 的方程为：，即； （2）点在上，点在直线上，且，，过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为根据题意画出图形，如图2220332033kk kk k k ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩4027k <<4027k <<3kk >2()0f k k =>()f x (,)3kk 13kk --<-32(1)(1)0f k k k --=--+<()f x (1,)3kk ---()f x (,)33k k-()f x k 4(0,)27222:1(05)25x y C m m +=<<∴5a =b m =22154115c b m e a a ⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭54m =54m =-∴C 22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=221612525x y +=P C Q 6x =||||BP BQ =BP BQ ⊥P x M 6x =x N，，，又，，，根据三角形全等条件“”， 可得：，， ，，设点为，可得点纵坐标为，将其代入，可得：，解得：或，点为或，①当点为时， 故，， ，可得：点为， 画出图象，如图,，可求得直线的直线方程为：， 根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：， 根据两点间距离公式可得：，||||BP BQ =BP BQ ⊥90PMB QNB ∠=∠=︒90PBM QBN ∠+∠=︒90BQN QBN ∠+∠=︒∴PBM BQN ∠=∠AAS PMB BNQ ≅△△221612525x y +=∴(5,0)B ∴651PM BN ==-=P (,)P P x y P 1P y =221612525x y +=21612525P x +=3P x =3P x =-∴P (3,1)(3,1)-P (3,1)532MB =-=PMB BNQ ≅△△∴||||2MB NQ ==Q (6,2)(5,0)A -(6,2)Q AQ 211100x y -+=P AQ 22231111055125211d ⨯-⨯+===+()()22652055AQ =++-=面积为：；②当点为时，故，，，可得：点为，画出图象，如图，可求得直线的直线方程为：，根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，根据两点间距离公式可得：，面积为：，综上所述，面积为：.22.（1）令，则，解得或（舍），则，即. 令，则，解得或（舍），则，即.；（2）由（1）可知，则直线的方程为，即.由可得，直线的极坐标方程为.23.（1），.均不为，则，；（2）不妨设，∴APQ15555252⨯⨯=P(3,1)-5+38MB==PMB BNQ≅△△∴||||8MB NQ==Q(6,8)(5,0)A-,(6,8)Q AQ811400x y-+=P AQ()2283111405185185811d⨯--⨯+===+()()226580185AQ=++-=∴APQ1518522185⨯⨯=APQ520x=220t t+-=2t=-1t=26412y=++=(0,12)A 0y=2320t t-+=2t=1t=2244x=--=-(4,0)B-22(04)(120)410AB∴=++-=12030(4)ABk-==--AB3(4)y x=+3120x y-+=cos,sinx yρθρθ==AB3cos sin120ρθρθ-+=2222()2220a b c a b c ab ac bc++=+++++=()22212ab bc ca a b c∴++=-++,,a b c02220a b c++>()22212ab bc ca a b c∴++=-++<max{,,}a b c a=由可知，，，. 当且仅当时，取等号，，即.0,1a b c abc ++==0,0,0a b c ><<1,a b c a bc =--=()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=b c =a ∴≥3max{,,}4a b c。
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2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则中元素的个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 52.若，则( )A. B. C. D.3.设一组样本数据的方差为0.01，则数据的方差为( )A. 0.01B. 0.1C. 1D. 104.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为( )（In193）A. 60B. 63C. 66D. 695.已知，则( )A. B.C. D.6.在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为( )A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 直线7.设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，若，则的焦点坐标为( )A. B. C. D.8.点到直线距离的最大值为( )A. 1B.C.D. 29.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A. B. C. D.10.设，，，则（）A. B. C. D.11.在中，，，则（）A. B. 2 C. 4 D. 812.已知函数，则( )A. 的最小值为2B. 的图像关于轴对称C. 的图像关于直线对称D. 的图像关于直线对称二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y 满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为_____.14.设双曲线的一条渐近线为,则的离心率为______.15.设函数，若，则a=____.16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的切球表面积为_________三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.（12分）设等比数列满足，（1）求的通项公式；（2）记为数列的前n项和. 若，求m.18.（12分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：[0,200]（200,400]（400,600]锻炼人次空气质量等级1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”。
根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次400人次>400空气质量好空气质量不好附：，，19.（12分）如图，在长方体中，在,分别在棱，上，且，，证明：（1）当时，;（2）点在平面内.20.（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有三个零点，求的取值范围.21.（12分）已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点.（1）求的方程：（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积.22.[选修4-4: 坐标系与参数方程] （10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为与坐标轴交于两点.（1）求：（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程.23.[选修4-5: 不等式选讲] （10分）设（1）证明：；（2）用中的最大值，证明：答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了交集的运算，属于基础题.【解答】解：∵，，∴，∴中元素个数为3.故选B.2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的四则运算，共轭复数的概念，属于基础题.先由复数的四则运算法则求出，再利用共轭复数的概念得到答案.【解答】解：由，得，所以z＝i，故选D.3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查方差的运算，是基础题.【解答】解：设的平均数为，方差所以的平均数为，方差 ,故选.4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查指数式与对数式的互化，属于基础题.根据题意可得，解出的值.【解答】解：由题可知，所以，，解得故选C.5.【答案】B【解析】【分析】本题考查两角和的正弦公式和辅助角公式，属于基础题.根据两角和的正弦公式展开，再整理利用辅助角公式即可得答案.【解答】解：∵，∴=得故选：.6.【答案】A【解析】【分析】本题考查了动点的轨迹问题及向量数量积的坐标运算，属一般题．根据题意建立平面直角坐标系，设出点A、B、C的坐标，得到和的坐标，由向量数量积的坐标运算公式即得动点坐标所满足的方程，从而得到动点C的轨迹．【解答】解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设，，，则，，由题意，得即，因此，动点C的轨迹是圆，故选A.7.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系及抛物线的性质，基础题．根据直线x=2与抛物线交于D、E两点，确定D、E两点坐标，由OD⊥OE可得，可确定p的值，从而得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：根据题意得D（2，2p）,E（2，-2p）,因为OD⊥OE，可得，所以4-4p=0，故p=1，所以抛物线C：y2=2x，所以抛物线的焦点坐标为(,0).故选B．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查定点到过定点的直线的最大距离问题，属于基础题.根据点到直线的距离和两点间的距离公式，即可求解.【解答】解：因为直线y=k(x+1)恒过点（-1，0），要使得点（0，1）到直线的距离最大，此时点到直线的距离即为（0，1）与（-1，0）两点的距离，此时最大距离为.故答案选B9.【答案】C【解析】【分析】本题考查由三视图求几何体的表面积，考查空间想象能力，难度一般.先由三视图还原几何体，即可求出表面积.【解答】解：由三视图可知该几何体是底面为腰长2的等腰直角三角形，一侧棱长为2且垂直底面的三棱锥，如下图故其表面积为故选C.10.【答案】A【解析】【分析】本题考查了对数比较大小，属于中档题.分别将c转化为以3，5为底数，与a,c比较大小，即可得到结果.【解答】解：，，，，，，故选A.11.【答案】C【解析】【分析】本题考查解三角形，余弦定理的应用，注意三角形的形状即可.【解答】解：根据题意：，解得：AB=3 则；（负值舍去）故.故选C12.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查三角函数的性质，属于中档题.【解答】解：A. 由于，故A错误；B. ，故B错误；C. ，，，故C错误；D.，，，则的图象关于直线对称，故D正确，故选D.13.【答案】7【解析】【分析】本题考查了根据线性规划求最值，属较易题．本题先根据线性约束条件画出平面区域，再利用图解法即可求出目标函数的最大值．【解答】解：画出不等式组所表示的平面区域，如图所示由得点A坐标为，由得点B坐标为，即不等式所表示的平面区域为（包括边界），再将化为，可看作斜率为，截距为z的一族平行直线，由图可知，当直线经过点A时，截距z最大，因此，当时，，故选答案为7．14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查双曲线的简单几何性质，属于基础题。
根据渐近线方程，可得，再利用离心率公式即可求得结果。
【解答】解：∵双曲线的渐近线为，∴∴离心率故答案为：15.【答案】1【解析】【分析】本题考查导数的运算，考查运算求解能力，属于较易题.【解答】解：，解得故答案为1.16.【答案】【解析】【分析】本题考查圆锥的内切球问题以及球的体积公式，通过列方程进行求解即可.【解答】解：如图，由题意可知，，圆锥内半径最大的球满足与底面相切于，与侧面相切于点，设球的半径为，则，且，解得，故.故答案为.17.【答案】解：（1）设等比数列的公比为，因为，，；（2）由（1）可知，可判断出数列是以0为首项，1为公差的等差数列，，，解得：或（舍去）所以.【解析】本题主要考查等比数列的通项公式，等差数列的判断及其前项和公式，属基础题.（1）根据等比数列的通项公式列出关于首项与公比的方程组，解得首项与公比，得到通项公式；（2）由（1）可得数列的通项公式，从而判断出该数列为等差数列，利用等差数列的求和公式列出关于的方程，求得的值即可.18.【答案】解：（1）空气质量等级为1的概率为;空气质量等级为2的概率为;空气质量等级为3的概率为;空气质量等级为4的概率为;(2) 一天中该公园锻炼的平均人次的估计值为；（3）人次人次空气质量好3337空气质量不好228有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【解析】本题考查了独立性检验和古典概率，属于中档题.19.【答案】证明：(1)因为是长方体，所以,而,所以.又,所以四边形为正方形，有,又，平面，所以平面，又平面,所以.(2) 取靠近的三等分点,连结,因为在上，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以.又在上，且,所以,且，从而,,所以四边形为平行四边形，所以,所以,故四点共面，点在平面内.【解析】本题考查了线面垂直的判定及性质，四点共面判定等知识，属中档题.(1)通过可得，四边形为正方形，有,所以平面，进而可得.(2)通过画辅助线，可证明四边形和四边形均为平行四边形，由平行传递性可得，故四点共面，点在平面内.20.【答案】解：（1）求导得，定义域为，当时，，在上单调递增；当时，令得或，令得，故函数在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）当时，在上单调递增，不符题意，故，的极大值为，极小值为，要使有三个零点，则，∵，即，解得.【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数问题，属较难题.21.【答案】解：（1）∵，，∴，∴C的方程为 .（2）由题：A(-5,0),B(5,0),设Q(6,t),显然，则，∵，则，则直线BP方程为：，联立，化简得，解得，，∵，∴，即，代入，解得，当时，Q(6,2),P(3,1)，，PQ方程为：，点A到直线PQ的距离为，则；当时，Q(6,8),P(-3,1)，，PQ方程为：，点A到直线PQ的距离为，则，根据对称性，时面积均为，综上：的面积为.【解析】本题考查椭圆方程的求解，两点间距离公式，直线方程，点到直线距离公式的综合运用，属于较难题.22.【答案】解：（1）令，即，解得（），将代入参数方程得令，即，解得（），将代入参数方程得，不妨设，则.（2）直线AB的直角坐标方程为，化简得，由，化为极坐标方程为.【解析】本题考查参数方程的概念，直角坐标方程与极坐标方程的互化，属于基础题分别令，即可求出A、B两点的坐标，即可求解.23.【答案】证明（1）∵，∴，∵，∴，即，∴，即.（2）∵，∴a,b,c同正或两负一正，∵，∴a,b,c不可能同正，即a,b,c两负一正，不妨设，则，由题意得，a,b可看成是一元二次方程的两根，因两根存在，则，解得，即【解析】本题考查不等式的证明，属于中档题.运用恒等变换和一元二次方程根与系数的关系即可证明.。