高中数学北师大版必修第一册一课一练：第五章 单元整合
新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第五章计数原理 学案(知识点考点汇总及配套习题)
第五章计数原理1计数原理 ................................................................................................................... - 1 -1.1计数原理......................................................................................................... - 1 -1.2计数原理的简单应用..................................................................................... - 9 -2排列 ......................................................................................................................... - 15 -2.1排列与排列数............................................................................................... - 15 -2.2排列数公式................................................................................................... - 15 -3组合 ......................................................................................................................... - 23 -3.1组合 .............................................................................................................. - 23 -3.2组合数及其性质........................................................................................... - 23 -4二项式定理.............................................................................................................. - 31 -4.1二项式定理................................................................................................... - 31 -4.2二项式系数的性质....................................................................................... - 39 -1计数原理1.1计数原理学习任务核心素养1．掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理．(重点)2．能正确选择分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题．(难点、易错点)1．通过对计数原理的学习，培养数学抽象素养．2．借助计数原理的实际应用，培养数学建模素养．一个三层书架的上层放15本不同的数学书，中层放16本不同的语文书，下层放14本不同的物理书．1．现某人从中取出一本书，应该如何“完成这件事”？2．现从三层书架上各取一本书，应该如何“完成这件事”？1．分类加法计数原理(1)定义：完成一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有m1种方法，在第2类办法中有m2种方法，……在第n类办法中有m n种方法，那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种方法．(也称“加法原理”)(2)分类加法计数原理的理解分类加法计数原理中的“完成一件事有n类办法”，是指完成这件事的所有方法可以分为n类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务，n类中没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中．2．分步乘法计数原理(1)定义：完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么，完成这件事共有N＝m1·m2·…·m n种方法．(也称“乘法原理”)(2)分步乘法计数原理的理解分步乘法计数原理中的“完成一件事需要n个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法，都需要分成n个步骤．在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成这两个步骤就能完成这件事，即各个步骤是相互依存的，每个步骤都要做完才能完成这件事．如何区分“分类”还是“分步”？[提示]如果完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是分类；而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务，且只有依次完成各种情况，才能完成这件事，则是分步．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)在分类加法计数原理中，不同类方案中的方法可以相同．()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中，完成这个步骤的方法是各不相同的．()(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分n步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有n步骤都完成后，这件事情才算完成．() [答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1人完成这项工作，不同的选法种数是() A．5B．4C．9D．20C[由分类加法计数原理求解，5＋4＝9(种)．故选C．]3．已知集合A＝{1，2}，B＝{3，4，5}，从集合A、B各取一个元素分别作为一个两位数的个位、十位数字，则可确定的不同两位数的个数为________．6[完成这件事可分两步：第一步，从集合A中任选一个元素作为个位数字，有2种不同的方法；第二步，从集合B中任选一个元素作为十位数字，有3种不同的方法．由分步乘法计数原理得，一共有2×3＝6种不同的方法．] 4．从甲地到乙地，如果翻过一座山，上山有2条路，下山有3条路．如果不走山路，由山北绕道有2条路，由山南绕道有3条路．(1)如果翻山而过，有多少种不同的走法？(2)如果绕道而行，有多少种不同的走法？(3)从甲地到乙地共有多少种不同的走法？[解](1)分两步：第一步，选一条上山路有2种方法；第二步，选一条下山路有3种方法．所以翻山而过，有2×3＝6种不同的走法．(2)分两类：第一类：由山北绕道，有2种走法；第二类：由山南绕道，有3种走法．所以绕道而行，有2＋3＝5种不同的走法．(3)分两类：第一类：翻山而过，有6种走法；第二类：绕道而行，有5种走法．所以从甲地到乙地共有6＋5＝11种不同的走法．疑难问题类型1分类加法计数原理【例1】设有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画．从这些油画、国画、水彩画中只选一幅布置房间，有几种不同的选法？[思路点拨][解]选一幅画布置房间分三类计数：第一类：选油画，有5种不同的选法；第二类：选国画，有2种不同的选法；第三类：选水彩画，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有N＝5＋2＋7＝14种不同的选法．分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原理：(1)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；(2)分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.,前者保证完成这件事的方法不遗漏，后者保证不重复，即分类要做到不重不漏.[跟进训练]1．某校高三共有三个班，各班人数如下表：男生人数女生人数总人数高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？[解](1)从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法．(2)从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法．类型2分步乘法计数原理【例2】某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤．现要配成一荤一素一汤的套餐，问可以配制成多少种不同的品种？[思路点拨][解]完成这件事是配制套餐，选一个荤菜，选一个素菜，选一个汤，因此需分三步完成此事，由分步乘法计数原理可得：配制成不同的套餐品种共有6×5×3＝90种．解决分步乘法计数问题的思考过程是(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，怎样才算是完成这件事；(2)完成这件事如何进行分步，每一步中有多少种方法；(3)完成这件事共有多少种方法.[跟进训练]2．将3封信投到4个邮筒，共有多少种投法？[解]完成这件事是“把3封信投完”，需分三步完成，而每一封有4种投法，由分步乘法计数原理知共有4×4×4＝43＝64种投法．类型3两个计数原理的综合应用【例3】已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中任取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限内不同点的个数为()A．18B．16C．14D．10[思路点拨]C[完成这件事是确定第一、二象限内的总的坐标，确定点的坐标可分两步完成，一是先确定横坐标，二是确定纵坐标；而哪个集合中的元素作横坐标，哪个集合中的元素作纵坐标，需要分两类完成．因此，完成此事可分两类办法．第一类，以集合M中的元素作为点的横坐标，集合N中的元素作为点的纵坐标．在集合M中任取一个元素，有3种不同的方法，而适合题意的点在第一、二象限，必须且只需从集合N中的5，6中取1个，有2种不同的取法．由分步乘法计数原理，有3×2＝6个不同的点．第二类，以集合N中的元素作为点的横坐标，集合M中的元素作为点的纵坐标．在集合N中任取一个元素，有4种不同的方法，而适合题意的点在第一、二象限，必须且只需从集合M中的1，3中取1个，有2种不同的取法．由分步乘法计数原理有4×2＝8个不同的点．由分类加法计数原理，得第一、二象限内不同的点共有6＋8＝14个．]应用两个计数原理解决应用问题的方法(1)分清是“分类”还是“分步”；(2)清楚“分类”或“分步”的具体标准是什么；(3)“分类”时，要遵循“不重、不漏”的原则；在“分步”时，要正确设计“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性.[跟进训练]3．现有3名医生、5名护士、2名麻醉师．(1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？[解](1)分三类：第一类，选出的是医生，有3种选法；第二类，选出的是护士，有5种选法；第三类，选出的是麻醉师，有2种选法．根据分类加法计数原理，共有3＋5＋2＝10(种)选法．(2)分三步：第一步，选1名医生，有3种选法；第二步，选1名护士，有5种选法；第三步，选1名麻醉师，有2种选法．根据分步乘法计数原理知，共有3×5×2＝30(种)选法．1．加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类中的各种方法相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．2．乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成一个事件，注意各步骤间的连续性即不漏步骤也不重步骤．1．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有()A．24种B．16种C．12种D．10种C[完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C．]2．教学大楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼的走法种数为() A．10B．25C．52D．24D[根据分步乘法计数原理，不同的走法为N＝24(种)．]3．现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是()A．81B．64C．48D．24A[每个同学都有3种选择，所以不同选法共有34＝81(种)，故选A．]4．从甲地到乙地，可以乘飞机，也可以乘火车，还可以乘长途汽车，每天飞机有2班，火车有4班，长途汽车有10班，一天中，乘坐这些交通工具，从甲地到乙地共有________种方法．16[利用分类加法计数原理，共有2＋4＋10＝16种方法．]5．从1到200这200个自然数中，各个数位上都不含数字8的共有多少个？[解]应分三类来解决该问题．第一类，一位数中符合要求的数有8个．第二类，两位数中，十位上的数字有8种选法，个位上的数字有9种选法，故两位数中符合要求的数有8×9＝72个．第三类，三位数中百位上的数字为1，十位和个位上的数字都有9种选法，故三位数中，百位上的数字为1的符合要求的数有9×9＝81个；三位数中百位上的数字为2的只有200符合要求．所以三位数中符合要求的数有81＋1＝82个．由分类加法计数原理，符合要求的数共有8＋72＋82＝162个．1.2计数原理的简单应用学习任务核心素养1．进一步掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理．(重点)2．会应用两个计数原理解决实际问题．(难点)通过计数原理的实际应用，培养数学建模素养．1．若集合A＝{a，b，c}，集合A所有子集的个数用分类计数原理如何来求？2．对于问题1中，用分步计数原理如何来求？3．问题1、2的相同点是什么？不同点是什么？两个计数原理的联系与区别：原理分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点完成一件事不同点与分类有关与分步有关每类方法都能完成这件事，它们是相互独立的，且每一次得到的都是最后结果，只需一种方法就可以完成这件事每一步得到的只是中间结果，任何一步都不可能独立地完成这件事，缺少任何一步都不可能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事各类方法之间是互斥的，并列的，独立的各步之间是有关联的，不独立的1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有81种报名方法．()(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，冠军不并列，共有64种可能的结果．()(3)由1，2，3组成的无重复数字的三位数有6个．()(4)由1，2，3组成的含有重复数字的三位数有27个．()[答案](1)√(2)√(3)√(4)√2．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有()A．21种B．315种C．143种D．153种C[从不同种类的物体中按要求选取，是应用计数原理的典型题型，解答时通常按先分类再分步的程序进行．本题可分三类，即第一类不选数学，有5×9＝45种方法；第二类不选英语，有9×7＝63种方法；第三类不选语文，有7×5＝35种方法，于是所有选法N＝45＋63＋35＝143种．]3．如图A→C有________种不同走法．6[A→C的走法可分两类：第一类：A→C，有2种不同走法；第二类：A→B→C，有2×2＝4种不同走法．根据分类加法计数原理，得共有2＋4＝6种不同走法．]4．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？(2)若每年级学生会选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？(3)若要从学生会中选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有多少种不同的选法？[解](1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选择；第二类，从高二年级选一人，有6种选择；第三类，从高三年级选一人，有4种选择．由分类加法计数原理，共有5＋6＋4＝15种选法．(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选择；第二步，从高二年级选一人，有6种选择；第三步，从高三年级选一人，有4种选择．由分步乘法计数原理，共有5×6×4＝120种选法．(3)分三类：高一、高二各一人，共有5×6＝30种选法；高一、高三各一人，共有5×4＝20种选法；高二、高三各一人，共有6×4＝24种选法．由分类加法计数原理，共有30＋20＋24＝74种选法．疑难问题类型1与数字有关的计数问题【例1】从0到9十个数字中选出4个组成一个四位数，问组成的数字不重复的四位偶数共有多少个？[思路点拨]本题就要根据0在末位和0不在末位的情况来解．[解]0在末位时，十、百、千分别有9、8、7种安排方法，共有9×8×7＝504个；0不在末位时，2，4，6，8中的一个在末位，有4种排法，首位有8种(0除外)，其余两位各有8、7种排法．∴共有4×8×8×7＝1 792个．由以上知，共有符合题意的偶数为1 792＋504＝2 296个．1．对于数字问题的计数：一般按特殊位置(末位或首位)由谁占分类，每类中再按特殊位置(或元素)优先的方法分步来计数；但当分类较多时，可用间接法．2．注意合理的画出示意图，直观的展出问题的实质．[跟进训练]1．将本例问题改为：数字不重复的四位奇数有多少个？[解]法一：无重复数字的四位数共有9×9×8×7＝4 536个，由本例知无重复数字的四位偶数有2 296个，所以数字不重复的四位奇数有4 536－2 296＝2 240个．法二：按末位是1，3，5，7，9分五类计数．每一类都有8×8×7＝448个，所以共有5×448＝2 240个数字不重复的四位奇数．类型2与几何有关的计数问题【例2】如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A．60B．48C．36D．24B[长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48．]两个计数原理在解决实际问题时常采用的方法[跟进训练]2．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答)．40[把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)．第二类，有两条公共边的三角形共有8(个)．由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)．]类型3涂色(种植)问题【例3】用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？[思路点拨]按1，2，3，4顺序涂色时，2，3区域颜色的异同对4有影响，所以应注意分类讨论．[解]完成该件事可分步进行．涂区域1，有5种颜色可选．涂区域2，有4种颜色可选．涂区域3，可先分类：若区域3的颜色与2相同，则区域4有4种颜色可选．若区域3的颜色与2不同，则区域3有3种颜色可选，此时区域4有3种颜色可选．所以共有5×4×(1×4＋3×3)＝260种涂色方法．涂色(种植)问题的一般思路(1)为便于分析问题，应先给区域(种植的品种)标上相应序号.(2)按涂色(种植)的顺序分步或按颜色(种植的品种)恰当选取情况分类.(3)利用两个原理计数.[跟进训练]3．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，共有多少种不同的种植方法？[解]黄瓜有3种种植方法，剩下的两块地，一块有3种种植方法，一块有2种种植方法．根据分步乘法计数原理，不同的种植方法有3×3×2＝18种．1．两个计数原理的共同点就是将“完成一件事”分解成若干个事件来完成；不同点是一个与分类有关，一个与分步有关．2．在解决组数问题，选(抽)问题，涂色(种植)问题时，一定要分清完成一件事是做什么？是分类还是分步？为何分类、分步等问题．1．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有() A．24种B．36种C．48种D．72种B[分两类：(1)第一道工序安排甲时有1×1×4×3＝12种；(2)第一道工序不安排甲时有1×2×4×3＝24种．∴共有36种．]2．如图所示，在A、B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，今发现A、B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况的种数有()A．16种B．15种C．14种D．13种D[四个焊点共有24种情况，其中使线路通的情况有：1、4都通，2和3至少有一个通时线路才通共有3种可能．故不通的情况有24－3＝13(种)可能．] 3．“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为________．1 359[渐升数由小到大排列，形如12××的渐升数共有：6＋5＋4＋3123×，个位可从4，5，6，7，8，9六个数字选一个，有6种等；形如134×的渐升数共有5个；形如135×的渐升数共有430个，因此从小到大的渐升数的第30个必为1 359．]4．圆周上有2n个等分点(n>1)，以其中3个点为顶点的直角三角形的个数为________个．2n(n－1)[2n个等分点可以组成n条直径，对每一条直径，其余的(2n－2)个等分点均可作为直角顶点，因此可以组成的直角三角形共有2n(n－1)个．] 5．某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的1种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，有多少种不同的选法？[解]由题意知，在艺术小组的9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(称为“多面手”)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人．按“多面手”的选法分为两类：①若“多面手”入选，则有6＋2＝8种选法；②若“多面手”不入选，则有6×2＝12种选法．因此选法共有8＋12＝20种．2排列2.1排列与排列数2.2排列数公式学习任务核心素养1．了解排列及排列数的概念．(重点)2．掌握排列数公式．(难点)1．通过排列及排列数的概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助排列数公式的应用，培养数学运算素养．1．从1，2，3三个数字中，任选两个做除法，用枚举法，写出所有不同的结果．2．在问题1中，21与12是不同结果吗？这说明什么问题？1．排列一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．我们把有关求排列的个数的问题叫作排列问题．2．排列数及排列数公式排列数定义从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数排列数表示法A m n排列数公式乘积式A m n＝n(n－1)(n－2)… (n－m＋1)阶乘式A m n＝n！(n－m)！性质A0n＝10！＝1备注n，m∈N＋，m≤n两个排列相同的条件是什么？[提示]这两个排列的元素完全相同，且元素排列的顺序也相同．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)1，2，3与3，2，1是同一个排列．()(2)求集合{a，b，c}二元子集个数是一个排列问题．()(3)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．()(4)A x10中的x满足x∈{}n∈N|n≤10．() [答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．从4名学生中选出2名学生当正、副班长，共有选法种数为()A．4B．6C．8D．12D[共有A24＝4×3＝12种选法．]3．将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法．720[问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来，共有A310＝10×9×8＝720种分法．]4．解方程：3A3x＝2A2x＋1＋6A2x．[解]由排列数公式得：3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，∵x≥3，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，即3x2－17x＋10＝0，解得x＝5或x＝2 3，∵x≥3，且x∈N*，∴原方程的解为x＝5．疑难问题类型1排列的定义【例1】判断下列问题是否为排列问题．(1)选2个小组分别去种树和种菜，共有多少种选法；(2)选10人组成一个学习小组，共有多少选法；(3)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员，共有多少种选法；(4)某班40名学生在假期相互通信，共需写多少封信．[思路点拨]解决本题的关键是要明确排列的定义，看选出的元素在安排时是否与顺序有关，若与顺序有关，则是排列问题，否则就不是排列问题．[解](1)中种树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(2)中不存在顺序问题，不属于排列问题；(3)中每个人的职务不同，例如甲当班长与甲当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(4)中A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(1)、(3)、(4)属于排列问题．1．保证是排列问题应满足两个条件：(1)元素互异；(2)元素有序．2．判断一个具体问题是否为排列问题的思路[跟进训练]1．判断下列哪些问题是排列问题：(1)从10名学生中抽出2名学生开会，共有多少种抽法；(2)从2，3，5，7，11中任取两个数相除，共有多少种不同的商；(3)以圆上的10个点为端点作弦，可以得到多少条弦．[解] (1)选出同学甲、乙与乙、甲开会是同一回事，所以与两名学生的先后顺序无关，所以(1)不是排列问题． (2)由于2÷3≠3÷2，所以本题与两数的顺序有关，是排列问题．(3)因为弦AB 与弦BA 是同一条弦，所以本题不是排列问题． 类型2 排列数的计算或化简【例2】 计算或化简下列各式： (1)A 215；(2)A 88；(3)A m －1n －1·A n －m n －m A n －1n －1；(4)1！＋2·2！＋…＋n ·n ！；(5)12！＋23！＋…＋n －1n ！． [思路点拨] 利用排列数公式和阶乘的定义进行计算，并考虑排列数之间的关系，化简可减少运算量．[解] (1)A 215＝15×14＝210；(2)A 88＝8！＝8×7×6×5×4×3×2×1＝40 320；(3)A m －1n －1·A n －m n －m A n －1n －1＝(n －1)！[n －1－(m －1)]！·(n －m )！·1(n －1)！ ＝(n －1)！(n －m )！·(n －m )！·1(n －1)！＝1； (4)1！＋2·2！＋…＋n ·n ！＝(2！－1)＋(3！－2！)＋…＋[(n ＋1)！－n ！]＝(n ＋1)！－1；(5)∵n －1n ！＝1(n －1)！－1n ！，∴12！＋23！＋…＋n －1n ！＝11！－12！＋12！－13！＋…＋1(n －1)！－1n ！＝1－1n ！．1．排列数的第一个公式A m n ＝n (n －1)…(n －m ＋1)适用于具体计算以及解当m 较小时含有排列数的方程和不等式，在运用该公式时要注意它的特点．2．排列数的第二个公式A m n ＝n ！(n －m )！，适用于与排列数有关的证明，解不等式等，在具体运用时，则应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“m ≤n 且m ，n ∈N ＋”的运用．3．常见技巧(1)n ·n ！＝(n ＋1)！－n ！；(2)n －1n ！＝1(n －1)！－1n ！； (3)A m n ＝n A m －1n －1．[跟进训练]2．(1)计算A 316－A 66A 35； (2)已知A m －1n ＝5×6×7×…×2 020，求m ，n 的值．[解] (1)原式＝16×15×14－6×5×4×3×2×15×4×3＝4×14－12＝44． (2)∵5×6×7×…×2 020中最大的数为2 020，共有2 020－5＋1＝2 016个数， ∴5×6×7×…×2 020＝A 2 0162 020，∴m －1＝2 016，n ＝2 020，∴m ＝2 017，n ＝2 020．类型3 简单的排列问题[探究问题]1．6个人站成一排照相，问有多少种不同的排法？[提示] 共有A 66＝6×5×4×3×2×1＝720种．2．6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，问有多少种不同的。
新教材高中数学第五章函数应用微专题集训(五)函数的综合应用一课一练(含解析)北师大版必修一
第五章函数应用微专题集训五函数的综合应用专题1 增长函数模型差异比较的应用1.☉%*3￥*69@5%☉(2020·北京朝阳区练习)假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案每天的回报如图5-1。
图5-1横轴为投资时间,纵轴为每天的回报,根据以上信息,若使回报最多,下列说法错误的是()。
A.投资3天以内(含3天),采用方案一B.投资4天,不采用方案三C.投资6天,采用方案一D.投资12天,采用方案二答案：D解析：由题图可知,投资3天以内(含3天),方案一的回报最多,A正确;投资4天,方案一的回报约为40×4=160(元),方案二的回报约为10+20+30+40=100(元),都多于方案三的回报,B 正确;投资6天,方案一的回报约为40×6=240(元),方案二的回报约为10+20+30+40+50+60=210(元),都多于方案三的回报,且方案一的回报最多,C正确;投资12天,明显方案三的回报最多,所以此时采用方案三,D错误。
故选D。
2.☉%*78#*@80%☉(2020·宜昌考试)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程f i(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下结论:①当x>1时,甲在最前面;②当x>1时,乙在最前面;③当0<x<1时,丁在最前面,当x>1时,丁在最后面;④丙不可能在最前面,也不可能在最后面;⑤如果它们一直运动下去那么最终在最前面的是甲。
其中,正确结论的序号为。
答案：③④⑤解析：路程f i(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),它们相应的函数模型分别是指数型函数、二次函数、一次函数和对数型函数。
(北师大版)高中数学必修第一册 第五章综合测试试卷03及答案
第五章综合测试一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数()()2123y x x x =---的零点为（ ）A .1，2，3B .1，1-，3C . 1，1-，3-D .无零点2.设()23x f x x =-，则在下列区间中，使函数()f x 有零点的区间是（ ）A .[]01，B .[]12，C .[]21--，D .[]10-，3.函数2log y x =的图象大致是（ ）A .B .C .D .4.当()24x Î，时，下列关系正确的是（ ）A .22xx ＜B .22log x x ＜C .21log x x＜D .22log x x＜5.我们定义函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）为“下整函数”；定义{}y x =（{}x 表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”；例如[]4.34=，[]55=；{}4.35=，{}55=.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时（包括1小时）收费2元，超过一小时，不超过2小时（包括2小时）收费4元，以此类推.若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费为（单位：元）（ ）A .[]21x +B .[]()21x +C .{}2x D .{}2x 6.物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案.据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预测的运输任务0Q ，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率（单位时间的运输量）逐步提高的是（ ）A .B .C .D .7.用二分法判断方程32330x x +-=在区间()01，内的根（精度为0.25）可以是（参考数据：30.750.421875=，30.6250.24414=）（ ）A .0.25B .0.375C .0.635D .0.8258.我国股市中对股票的股价实行涨停、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅均为10%.某股票在连续四个交易日中前两日每天涨停，后两日每天跌停，则该股票现在的股价相对于四天前的涨跌情况是（ ）A .跌1.99%B .涨1.99%C .跌0.99%D .涨0.99%二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9.下列函数：①lg y x =；②2x y =；③2y x =；④1y x =-，其中有零点的函数是（ ）A .①B .③C .②D .④10.甲、乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B 地.已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度.现将两人离开A 地的距离s 与所用时间t 的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象选择错误的是（ ）①②③④A .甲是图①，乙是图②B .甲是图①，乙是图④C .甲是图③，乙是图②D .甲是图③，乙是图④11.若函数()2log 43x f x a x a =++g 在区间112æöç÷èø，上有零点，则实数a 的取值范围不可能是（ ）A .3a -＜B .2334a -＜-C .334a --＜D .3122a -＜＜-12.已知()()()2f x x a xb =---，并且a ，b 是函数()f x 的两个零点，则实数a ，b ，a ，b 的大小关系不可能是（ ）A .a b a b＜＜＜B .a ba b ＜＜＜C .a b a b＜＜＜D .a ba b ＜＜＜三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上.13.用二分法求方程3246x x +=的一个近似解时，已经将一根锁定在区间()01，内，则下一步可断定该根所在的区间为________.14.某产品的总成本y （万元）与产量x （台）之间的函数关系式是20.1113000y x x =-+，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x 等于________台.15.若函数()22x f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是________.16.已知函数()()2log 10f x a x a =+¹，定义函数()()()00.f x x F x f x x ìï=í-ïî，＞，，＜给出下列四个命题：①()()F x f x =；②函数()F x 是偶函数；③当0a ＜时，若\01m n ＜＜＜，则有()()0F m F n -＜成立；④当0a ＞时，函数()2y F x =-有4个零点.其中正确命题的序号是________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）讨论方程34150x x +-=在[]12，内实数解的存在性，并说明理由.18.（本小题满分12分）若二次函数()2241f x x ax a =-+++有一个零点小于1-，一个零点大于3，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A 万元，则超出部分按()52log 1A +进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励.记奖金总额为y （单位：万元），销售利润为x （单位：万元）.（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；（2）如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？20.（本小题满分12分）已知函数()23f x x bx =-+.（1）若()()04f f =，求函数()f x 的零点；（2）若函数()f x 的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b 的范围.21.（本小题满分12分）对于实数a 和b ，定义运算“*”：22a ab a b a b b ab a b ì-ï*=í-ïî，≤，，＞，设()()()211f x x x =-*-，且关于x 的方程为()()f x m m =ÎR ，恰有三个互不相等的实数根1x ，2x ，3x ，求123x x x 的取值范围.22.（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度v （单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.（1）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =g 可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）第五章综合测试答案解析一、1.【答案】B【解析】令0y =，即()()21230x x x ---=，解得11x =，21x =-，33x =.故选B.2.【答案】D【解析】因为()11310f --=-＜，()003010f =-=＞，所以()()100f f -g ＜.3.【答案】A【解析】当4x =时2log 0y x =-=，所以舍去D ；当16x =时2log 0y x ==，所以舍去BC ；故选A.4.【答案】B【解析】当()24x Î，时，()2416x Î，，()2416x Î，，()2log 12x Î，，11142x æöÎç÷èø，，显然C ，D 不正确，对于选项A ，若3x =时，2392x =＞，故A 也不正确.5.【答案】C【解析】如1x =时，应付费2元，此时[]214x +=，[]()214x +=，排除A 、B ；当0.5x =时，付费为2元，此时{}21x =，排除D ，故选C.6.【答案】B【解析】由题意可知：曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，选项B 中，Q 的值随t 的变化越来越快.故选B.7.【答案】C【解析】令()3233f x x x =+-，()00f ＜，()10f ＞，()0.50f ＜，()0.750f ＞，()0.6250f ＜，∴方程32330x x +-=的根在区间()0.6250.75，内，0.750.6250.1250.25-=∵＜，∴区间()0.6250.75，内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意.8.【答案】A【解析】设四天前股价为a ，则现在的股价为221.10.90.9801a a ´´=，跌1.99%.二、9.【答案】ABD【解析】分别作出这四个函数的图象（图略），其中①lg y x =，③2y x =与x 轴有一个交点，图象④1y x =-的图象与x 轴有两个交点，即有2个零点，故选ABD.10.【答案】ACD【解析】由已知甲先快后慢，且前半程用时要比后半程少，也比乙后半程用时少，故符合①，而由乙的运动知其符合④.11.【答案】ABD【解析】∵函数2log y x =，4x y =在其定义域上是增加的，∴函数()2log 43x f x a x a =++g 在区间112æöç÷èø上单调且连续，∴由零点存在定理可得()1102f f æöç÷èøg ＜，即()()23430a a a -+++＜，解得334a --＜＜.12.【答案】ABD【解析】因为a ，b 是函数()f x 的两个零点，所以()()0f f a b ==.又()()20f a f b ==-＜，结合二次函数的图象（如图所示）可知a ，b 必在a ，b 之间.三、13.【答案】112æöç÷èø，【解析】设()3264f x x x =-+，显然()00f ＞，()10f ＜，又32111640222f æöæöæö=-´+ç÷ç÷ç÷èøèøèø＞，所以下一步可断定方程的根所在的区间为112æöç÷èø.14.【答案】180【解析】设产量为x 台，利润为S 万元，则()()22225250.11130000.13630000.1180240S x y x x x x x x =-=--+=-+-=--+，则当180x =时，生产者的利润取得最大值.15.【答案】()02，【解析】由函数()22x f x b =--有两个零点可得22x b -=有两个不等的根，从而可得函数22x y =-与函数y b =的图象有两个交点，结合函数的图象可得02b ＜＜.16.【答案】②③④【解析】易知()()F x f x =，故()()F x f x =不正确；②()()F x f x =∵，()()F x F x -=∴，∴函数()F x 是偶函数；③当0a ＜时，若01m n ＜＜＜，则()()()()2222log 1log 1log log 0F m F n a m a n a n m -=-+--+=-＜；④当0a ＞时，()2F x =可化为()2F x =，即2log 12a x +=，即21log x a=故12a x =或12ax -=，故函数()2y F x =-有4个零点，故②③④正确.四、17.【答案】解：令()3415f x x x =+-，34y x =∵和y x =在[]12，上都为增函数，()3415f x x x =+-∴在[]12，上为增函数，()14115100f =+-=-∵＜，()248215190f =´+-=＞，()3415f x x x =+-∴在[]12，上存在一个零点，∴方程34150x x +-=在[]12，内有一个实数解.18.【答案】解：因为二次函数()2241f x x ax a =-+++的图象开口向下，且在区间()1-¥-，，()3+¥，内各有一个零点，所以()()1030f f ì-ïíïî＞，＞，即()()22121410323410a a a a ì--+´-++ïí-+´++ïî＞，＞，即201080.a a ìí-î＞，＞解得45a ＞.即实数a 的取值范围是54æö+¥ç÷èø，.19.【答案】（1）由题意，得()50.10151.52log 1415.x x y x x ìï=+-íïî，＜≤，，＞.（2）∵当(]015x Î，时，0.1 1.5x ≤，又 5.5 1.5y =＞，15x ∴＞，()51.52log 14 5.5x +-=∴，解得39x =.即老张的销售利润是39万元.20.【答案】（1）因为()()04f f =，所以31643b =-+，即4b =，所以()243f x x x =-+，令()0f x =即2430x x -+=得13x =，21x =.所以()f x 的零点是1和3.（2）因为()f x 的一个零点大于1，另一个小于1，如图.需()10f ＜，即130b -+＜，所以4b ＞.即b 的范围为()4+¥，.21.【答案】当0x ≤，即211x x --≤时，则()()()()()()22211212112f x x x x x x x x =-*-=----=-，当0x ＞，即211x x --＞时，则()()()()()()222111211f x x x x x x x x =-*-=----=-+，画出大致图象如图，可知当104m æöÎç÷èø，时，()f x m =恰有三个互不相等的实数根1x ，2x ，3x ，其中2x ，3x 是方程20x x m -+-=的根，1x 是方程220x x m --=的一个根，则22x x m =，1x =，所以123x x x =，显然，该式随m 的增大而减小，因此，当0m =时，()123max 0x x x =；当14m =时，()123min x x x =.由以上可知123x x x 的取值范围为0ö÷÷ø.22.【答案】（1）由题意，当020x ≤≤时，()60v x =；当20200x ≤≤时，设()v x ax b =+，由已知得20002060a b a b +=ìí+=î，，，解得13200.3a b ì=-ïïíï=ïî，故函数()v x 的表达式为()()60020120020200.3x v x x x ìï=í-ïî，≤≤，，＜≤.（2）依题意并结合（1）可得()()60020120020200.3x x f x x x x ìï=í-ïî，≤≤，，＜≤.当020x ≤≤时，()f x 为增函数，故当20x =时，()f x 在区间[]020，上取得最大值60201200´=；当20200x ≤≤时，()()()21110000100002001003333f x x x x =-=--+，当且仅当100x =时，等号成立.所以当100x =时，()f x 在区间(]20200，上取得最大值100003.综上可得，当100x =时，()f x 在区间[]0200，上取得最大值100003.3333».即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时.。
北师大高中数学选择性必修第一册第五章课时作业37二项式定理
北师大高中数学选择性必修第一册第五章课时作业37二项式定理(原卷版)一、选择题1.(2－)8展开式中x4项的系数为()A.16B.1C.8D.22.二项式的展开式的常数项为第几项()A.17B.18C.19D.203.在(1＋x)－(1＋x)2－(1＋x)3－…－(1＋x)9的展开式中，x2的系数等于()A.－280B.－300C.－210D.－1204.若(m∈R)的展开式中x5的系数是80，则实数m＝()A.－2B.－1C.1D.25.二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为()A.8B.7C.6D.56.对任意实数x，有x3＝a0＋a1·(x－2)＋a2·(x－2)2＋a3·(x－2)3，则a2＝()A.6B.9C.12D.217.(多选题)若的展开式中存在常数项，则n的取值可以是()A.3B.4C.5D.68.(多选题)对于二项式(n∈N*)，以下判断正确的有()A.存在n∈N*，展开式中有常数项B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项D.存在n∈N*，展开式中有x的一次项二、填空题9.在的展开式中，含x7的项的系数是240.10.若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是45.11.(2x－1)5的展开式中的常数项是19.三、解答题12.已知＝30，设f(x)＝.(1)求n的值；(2)求f(x)的展开式中的常数项.13.二项式的展开式中：(1)求常数项；(2)有几个有理项；(3)有几个整式项.14.在(＋x)6的展开式中，项的系数为()A.200B.180C.150D.12015.1－90＋902－903＋…＋9010除以88的余数是()A.－1B.1C.－87D.8716.定义：在等式(x2－x＋1)n＝x2n＋x2n－1＋x2n－2＋…＋(n∈N)中，把，…，叫作三项式(x2－x ＋1)n的n次系数列(如三项式的1次系数列是1，－1，1).求三项式(x2－x＋1)n的2次系数列各项之和与.北师大高中数学选择性必修第一册第五章课时作业37二项式定理(解析版)一、选择题1.(2－)8展开式中x4项的系数为(B)A.16B.1C.8D.2＝·28－k(－)k＝·28－k·(－解析：(2－)8的二项式通项为T k＋11)k·，当＝4，即k＝8时，T9＝·20·(－1)8x4＝x4，∴x4项的系数为1.故选B.2.二项式的展开式的常数项为第几项(C)A.17B.18C.19D.20＝()30－k··(－解析：由二项式定理可知T k＋13)k，展开式的常数项是使＝0的项，解得k＝18为第19项，故选C.3.在(1＋x)－(1＋x)2－(1＋x)3－…－(1＋x)9的展开式中，x2的系数等于(D)A.－280B.－300C.－210D.－120解析：在(1＋x)－(1＋x)2－(1＋x)3－…－(1＋x)9的展开式中，x2项的系数为－(＋…＋)＝－(＋…＋)＝－(＋…＋)＝…＝－＝－120.故选D.4.若(m∈R)的展开式中x5的系数是80，则实数m＝(A)A.－2B.－1C.1D.2＝·(－mx2)k＝(－m)k·，解析：二项式通项为T k＋1令＝5，得k＝3，则T4＝(－m)3x5＝80x5，所以(－m)3＝80，解得m＝－2.故选A.5.二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为(B)A.8B.7C.6D.5＝2n－解析：由得展开式的二项式通项为T k＋1k x4n－7k，令4n－7k＝0，据题意此方程有解，∴n＝，当k＝4时，n最小为7.故选B.6.对任意实数x，有x3＝a0＋a1·(x－2)＋a2·(x－2)2＋a3·(x－2)3，则a2＝(A)A.6B.9C.12D.21解析：∵x3＝[2＋(x－2)]3＝·(x－2)023＋·(x－2)122＋·(x －2)221＋·(x－2)320，又x3＝a0＋a1·(x－2)＋a2·(x－2)2＋a3·(x－2)3，由对应相等得a2＝21＝3×2＝6.故选A.7.(多选题)若的展开式中存在常数项，则n的取值可以是(BD)A.3B.4C.5D.6＝x n－k·(－1)k x 解析：因为的展开式的第(k＋1)项为T k＋1－k＝(－1)k x n－2k，若的展开式中存在常数项，则只需n－2k＝0，即n＝2k，又n∈N*，k∈N，所以n只需为正偶数即可，故AC排除，BD可以取得.故选BD.8.(多选题)对于二项式(n∈N*)，以下判断正确的有(AD)A.存在n∈N*，展开式中有常数项B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项D.存在n∈N*，展开式中有x的一次项＝(x3)k 解析：(n∈N*)展开式的二项式通项为T k＋1＝x4k－n，令n＝4，则k＝1时，展开式中有常数项，故选项A正确，选项B错误；令n＝3，则k＝1时，展开式中有x的一次项，故选项C错误，选项D正确.故选AD.二、填空题9.在的展开式中，含x7的项的系数是240.＝(2x2)6－k·＝(－解析：的二项式通项为T k＋11)k26－k，令12－k＝7，解得k＝2，则含x7的项的系数为(－1)224＝240.10.若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是45.解析：的展开式中第三项的系数为，第五项的系数为，＝由题意有，解得n＝10.的二项式通项为T k＋1(x2)10－k＝(－1)k，由＝0得k＝8，所以展开式的常数项为T9＝(－1)8＝45.11.(2x－1)5的展开式中的常数项是19.＝(2x)5－k(－1)k＝25－k·x5－解析：(2x－1)5的二项式通项T k＋1k(－1)k.所以(2x－1)5的展开式中的常数项为2××2－1＝19.三、解答题12.已知＝30，设f(x)＝.(1)求n的值；(2)求f(x)的展开式中的常数项.解：(1)由已知＝30得，，解得n＝8.＝x8－k(－(2)的二项式通项为T k＋11)k，k＝0，1，2，…，8，由8－＝0，解得k＝6，即f(x)的展开式中的常数项为T7＝28.13.二项式的展开式中：(1)求常数项；(2)有几个有理项；(3)有几个整式项.＝(－1)k()15－k＝(－解：二项式通项为T k＋11)k2k，项为常数项，则＝0，得k＝6，即常数项为T7＝26 (1)设T k＋1＝320320.(2)设T k项为有理项，则＝5－k为整数，＋1∴k为6的倍数，又∵0≤k≤15，∴k可取0，6，12三个数.即共有3个有理项.(3)5－k为非负整数，得k＝0或6，∴有两个整式项.14.在(＋x)6的展开式中，项的系数为(C)A.200B.180C.150D.120＝()6－k x k＝，令解析：(＋x)6的二项式通项为T k＋1＝＝15x4，的二项式通项为＝4，可得k＝2，则T2＋1P k＋1＝×15－k×y－k，令k＝2，可得P2＋1＝y－2＝10y－2，据此可得，项的系数为15×10＝150.故选C.15.1－90＋902－903＋…＋9010除以88的余数是(B)A.－1B.1C.－87D.87解析：1－90＋902－903＋…＋9010＝(1－90)10＝(1＋88)10＝1＋88＋882＋883＋…＋8810＝1＋88(＋88＋882＋…＋889)，所以1－90＋902－903＋…＋9010除以88的余数是1.故选B.16.定义：在等式(x2－x＋1)n＝x2n＋x2n－1＋x2n－2＋…＋(n∈N)中，把，…，叫作三项式(x2－x ＋1)n的n次系数列(如三项式的1次系数列是1，－1，1).求三项式(x2－x＋1)n的2次系数列各项之和与.解：因为(x2－x＋1)2＝x4－2x3＋3x2－2x＋1，所以系数列各项之和1－2＋3－2＋1＝1.由题意可知，是(x2－x＋1)5中x7的系数，[1＋(x2－x)]5的二项式通项为(x2－x)k，0≤k≤5，(x2－x)k的二项式通项为(x2(－x＝(－1，0≤k1≤k，令2k－k1＝7，由k1＝2k－7≥0，得k ≥3.5，当k＝4时，k1＝1；当k＝5时，k1＝3，则(x2－x＋1)5中x7的系数(－1)1(－1)3＝－30.。
北师大版高中数学选择性必修第一册课后习题 第五章 §3 第1课时 组合(一)
第五章计数原理§3组合问题第1课时组合(一)课后篇巩固提升合格考达标练1.下列问题中,组合问题的个数是( )①从全班50人中选出5人组成班委会;②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员;③从1,2,3,…,9中任取两个数求积;④从1,2,3,…,9中任取两个数求差或商.A.1B.2C.3D.4,从50人中选出5人组成班委会,不考虑顺序,是组合问题;②为排列问题;对于③,从1,2,3,…,9中任取两个数求积是组合问题;因为乘法满足交换律,而减法和除法不满足,故④为排列问题.2.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( ) A.60种 B.70种 C.75种 D.150种,选2名男医生、1名女医生的方法有C 62C 51=75(种). 3.C 30+C 41+C 52+C 63+…+C 的值为( )A.C 3B.C 3C.C 4D.C 430+C 41+C 52+C 63+…+C =C 44+C 43+C 53+…+C 3=C 4.4.若集合M={的元素共有 ( )A.1个B.3个C.6个D.7个C 70=C 77=1,C 71=C 76=7,C 72=C 75=7×62!=21,C 73=C 74=7×6×53×2=35>21,∴x=0,1,2,5,6,7.5.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有 种(用数字填写答案).方法一)可分两种情况:第一种情况,只有1位女生入选,不同的选法有C 21C 42=12(种);第二种情况,有2位女生入选,不同的选法有C 22C 41=4(种).根据分类加法计数原理知,至少有1位女生入选的不同的选法有16种.(方法二)从6人中任选3人,不同的选法有C 63=20(种),从6人中任选3人都是男生,不同的选法有C 43=4(种),所以至少有1位女生入选的不同的选法有20-4=16(种).6.以下四个式子:①C n m =A n m m !;②A n m =n A n -1m -1;③C n m ÷C nm+1=m+1n -m;④C n+1m+1=n+1m+1C n m.其中正确的个数是 .;②式中A n m =n(n-1)(n-2)…(n -m+1),A n -1m -1=(n-1)(n-2)…(n -m+1), 所以A n m =n A n -1m -1,故②式成立; 对于③式,C nm ÷C nm+1=C n m C nm+1=A n m ·(m+1)!m !·A nm+1=m+1n -m,故③式成立;对于④式,C n+1m+1=A n+1m+1(m+1)!=(n+1)·A n m (m+1)m !=n+1m+1C n m,故④式成立.7.从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘,有m个不同的积;任取两个不同的数相除,有n个不同的商,则mn=.m=C42,n=A42,∴mn =12.8.如图,有A,B,C,D四个区域,用五种不同的颜色给它们涂色,要求共边的两区域颜色互异,每个区域只涂一种颜色,共有多少种不同的涂色方法?1步,涂A区域有C51种方法;第2步,涂B区域有C41种方法;第3步,涂C区域和D区域;若C区域涂与A区域相同的颜色,则D区域有4种涂法;若C区域涂A、B剩余3种颜色之一,即有C31种涂法,则D区域有C31种涂法.故共有C51·C41·(4+C31·C31)=260种不同的涂色方法.9.在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法?(1)任意选5人;(2)甲、乙、丙三人必须参加;(3)甲、乙、丙三人不能参加;(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加.从中任取5人是组合问题,共有C125=792种不同的选法.(2)甲、乙、丙三人必须参加,则只需从另外9人中选2人,是组合问题,共有C92=36种不同的选法.(3)甲、乙、丙三人不能参加,则只需从另外的9人中选5人,共有C95=126种不同的选法.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,可分为两步:先从甲、乙、丙中选1人,有C31=3种选法,再从另外9人中选4人,有C94种选法,共有C31C94=378种不同的选法.等级考提升练10.用0,1,…,9十个数字组成的三位数中,有重复数字的三位数的个数为( )A.243B.252C.261D.2799×10×10=900.没有重复数字的三位数有C91A92=648,所以有重复数字的三位数的个数为900-648=252.11.若A n3=12C n2,则n等于( )A.8B.5或6C.3或4D.4A n3=n(n-1)(n-2),C n2=12n(n-1),所以n(n-1)(n-2)=12×12n(n-1).又n∈N+,且n≥3,所以n=8.12.(山东济宁期末)某校开设10门课供学生选修,其中A,B,C三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定每位学生选修三门,则每位学生不同的选修方案种数是( )A.120B.98C.63D.35,分2种情况讨论:①从A,B,C三门中选出1门,其余7门中选出2门,选法有C31C72=63(种);②从除A,B,C三门之外的7门中选出3门,选法有C73=35(种).故不同的选法种数为63+35=98.13.(多选题)若C17x=C172x-1,则正整数x的值是( )A.1B.4C.6D.8C 17x =C 172x -1,∴x=2x-1或x+2x-1=17, 解得x=1或x=6, 经检验都满足题意. 故选AC.14.(多选题)在100件产品中,有98件合格品,2件不合格品,从这100件产品中任意抽出3件,则( )A.抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有C 21C 982种B.抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有C 21C 982+C 22C 981种C.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C 21C 982+C 22C 981种D.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C 1003−C 983种,依次分析选项:对于A,抽出的3件中恰好有1件是不合格品,即2件合格品,1件不合格品,有C 21C 982种抽取方法,A 正确,B 错误;对于C,抽出的3件中至少有1件是不合格品,即2件合格品,1件不合格品或1件合格品,2件不合格品,有C 21C 982+C 22C 981种抽取方法,C 正确;对于D,用间接法分析,抽出的3件中没有不合格品的抽取方法有C 983种,则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C 1003−C 983种,D 正确.故选ACD.15.某餐厅供应饭菜,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上不同的选择,则餐厅至少还需准备不同的素菜品种 种(结果用数值表示).x 种不同的素菜.由题意,得C 52·C x 2≥200, 从而有C x 2≥20,即x(x-1)≥40.又x ∈N +,所以x 的最小值为7.16.已知集合A={1,2,3,4,5},则至少含一个偶数的集合A 的子集个数为 .方法一)当子集中含有1个偶数时,共有C 21(C 30+C 31+C 32+C 33)=16(个);当子集中含有2个偶数时,共有C 30+C 31+C 32+C 33=8(个);满足题意的集合A的子集个数为16+8=24(个).(方法二)集合A的子集共有C50+C51+C52+C53+C54+C55=32(个),不符合题意的子集有空集、分别只含有1,2,3个奇数的子集,有C50+C31+ C32+C33=8(个),故符合题意的子集个数为32-8=24(个).17.已知10件不同产品中有4件是次品,现对它们一一进行测试,直至找出所有4件次品为止.(1)若恰在第5次测试,才测试到第一件次品,第十次测试才找到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少?(2)若恰在第5次测试后,就找出了所有4件次品,则这样的不同测试方法数是多少?先排前4次测试,只能取正品,有A64种不同的测试方法,再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试,有A42种测法,再排余下4件的测试位置,有A44种测法.所以共有不同测试方法A64·A42·A44=103680(种).(2)第5次测试恰为最后一件次品,另3件在前4次中出现,从而前4次有一件正品出现.所以共有不同测试方法C41·(C61·C33)A44=576(种).新情境创新练18.某次足球比赛中,共有32支球队参加,它们先平均分成8个小组进行循环赛,决出16强(每队均与本组其他队赛一场,各组第一、二名晋级16强),这16支球队按确定的程序进行淘汰赛,最后决出冠、亚军,此外还要决出第三名、第四名,请问这次足球赛总共进行多少场比赛?:(1)小组循环赛:每组有C42=6(场),8个小组共有48场;(2)八分之一淘汰赛:8个小组的第一、二名组成16强,根据赛制规则,每两个队比赛一场,可以决出8强,共有8场;(3)四分之一淘汰赛:根据赛制规则,8强中每两个队比赛一次,可以决出4强,共有4场;(4)半决赛:根据赛制规则,4强每两个队比赛一场,可以决出2强,共有2场;(5)决赛:2强比赛1场确定冠、亚军,4强中的另两支队比赛1场决出第三、四名,共有2场.综上,由分类加法计数原理知,共有48+8+4+2+2=64场比赛.。
【新教材】2020-2021学年高中数学北师大版必修第一册一课一练： 模块整合 Word版含解析
新21版练数学1配北师版模块整合1.☉%764###0#%☉(复旦大学自主招生)已知函数f (x )的定义域为(0,1),则g (x )=f (x +c )+f (x -c )在0<c <12时的定义域为( )。
A.(-c ,1+c )B.(1-c ,c )C.(1+c ,-c )D.(c ,1-c )答案：D解析：要使函数式有意义,需{0<x +c <1,0<x -c <1,即{-c <x <1-c ,c <x <1+c 。
因为0<c <12,所以c <x <1-c ,即定义域为(c ,1-c )。
2.☉%#*4##071%☉(全国高中数学联赛(陕西赛区)预赛)设函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c (a ,b ,c 均为非零整数)。
若f (a )=a 3,f (b )=b 3,则c 的值为( )。
A.-16B.-4C.4D.16答案：D解析：令g (x )=f (x )-x 3=ax 2+bx +c ,则由f (a )=a 3,f (b )=b 3,得g (a )=g (b )=0,所以a ,b 为方程g (x )=0的两个根,则a +b =-b a ,ab =c a 。
消去b ,得c =-a 4a+1=-(a 2+1)(a -1)-1a+1。
因为a ,b ,c 为非零整数,所以a +1=-1,即a =-2。
故c =16。
3.☉%9#611*￥@%☉(清华大学能力测试题)函数f (x )=[2x ]-2[1x ]([x ]表示不超过x 的最大整数)的值域为( )。
A.{0}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{1,2}答案：B解析：本题等价于求函数g (x )=[2x ]-2[x ],x ≠0的值域,考虑到函数g (x )是周期为1的函数,因此只需考虑在x∈(0,1]上的值域,事实上,我们有g (x )={0,x ∈(0,0.5),1,x ∈[0.5,1),0,x =1,于是所求的值域为{0,1}。
(北师大版)高中数学必修第一册 第五章综合测试试卷02及答案
第五章综合测试一、选择题（本大题共10小题，共50分）1.在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为（）A .()21--，B .()10-，C .102æöç÷èø，D .112æöç÷èø，2.已知函数()220301x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨⎪+⎩，≤＞，若函数()y f x m =-有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ）A .()13-，B .(]13-，C .()1-+∞，D .[)1-+∞，3.“函数()y f x =在区间()a b ，上有零点”是“()()0f a f b g ＜”的（ ）条件.A .充分不必要B .必要不充分C .充分必要D .非充分非必要4.函数()2=ln f x x x-的零点所在的大致区间是（ ）A .()12，B .()23，C .11e æöç÷èø，和()34，D .()e +∞，5.已知()lg 0=0x x x f x a b x -⎧⎨+⎩，＞，≤且()03f =，()14f -=，则()()3f f -=（）A .1-B .lg3-C .0D .16.设()338x f x x =+-，用二分法求方程3380x x +-=在[]13x ∈，上的近似解的过程中取区间中点02x =，那么方程有根区间为（）A .[]12，B .[]23，C .[]12，或[]23，都可以D .不能确定7.函数()324x f x x =+-的零点所在区间为（）A .()10-，B .()01，C .()12，D .()23，8.已知函数()2010.x x f x ax x ⎧=⎨-⎩，≥，，＜若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则实数a 的取值范围是（）A .(]2-∞-，B .(]1-∞-，C .[)20-，D .[)10-，9.函数()312xf x x æö=-ç÷èø的零点所在区间为（ ）A .()10-，B .102æöç÷èø，C .112æöç÷èøD .()12，10.已知函数()())100x f x x -=≤＞，若存在0x ∈R 使得()()0011f x m x --≤成立，则实数m 的取值范围为（ ）A .()0+∞，B .[)()100-+∞ ，，C .()[)11-∞-+∞ ，，D .(]()10-∞-+∞ ，，二、填空题（本大题共6小题，共30分）11.若函数()23x f x x -=-+的零点为0x ，满足()01x k k ∈+，且k ∈Z ，则k =________.12.函数()23f x x x =-的零点是________.13.已知函数()1010x f x x x⎧⎪=⎨⎪⎩，≤，，＞，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是________.14.一元二次方程()21210k x x ---=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是________.15.函数()1lg xf x x e =-的零点个数为________.16.定义在区间[]03π，上的函数cos 2y x =的图象与sin x 的图象的交点个数是________.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知幂函数()()m f x x m =∈Q 的图象经过124M æöç÷èø，.（1）求12f æöç÷èø的值；（2）若方程()120f x b b x æö+-=∈ç÷èøR 有两个相同的实数根，求实数b 的值.18.已知函数()321f x x bx cx =+++的单调递增区间是(]82--，与[)2+∞，，单调递减区间是[]22-，.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()f x 的图象与直线y m =恰有三个公共点，求m 的取值范围.19.已知函数()()1f x x x a x =--∈R .（1）当2a =时，求函数()f x 的单调增区间（写出结论即可）；（2）在（1）的条件下，当2x ＞时，()22f x kx k --≥恒成立，求实数k 的取值范围.（3）当()03a ∈，，求函数()y f x =在[]12x ∈，上的最小值()h a .20.已知函数()()242f x mx x m =--∈R .（1）若()f x 在区间[]12，上是单调减函数，求m 的取值范围；（2）若方程()0f x =在区间[]21--，上有解，求m 的取值范围；21.已知函数()f x 与()12g x x x=++的图象关于点()12A ，对称.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()=F x f x c -有两个不同零点，求实数c 的取值范围；（3）若函数()()2ah x f x x =+-在()24，上是单调减函数，求实数a 的取值范围.22.共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧.某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元.根据初步测算，自行车厂的总收益（单位：元）满足分段函数()h x ，其中()214000400280000400x x x x h x x x ⎧-∈⎪=⎨⎪∈⎩N N，＜≤，，，＞，，x 是新样式单车的月产量单位：件，=利润总收益-总成本.（1）试将自行车厂的利润y 元表示为月产量x 的函数；（2）当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？第五章综合测试答案解析一、1.【答案】C【解析】解：()03f =-，112211431022f e e æö=+⨯-=-ç÷èø＞，()1002f f æöç÷èø∴＜，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为102æöç÷èø，，故选C.2.【答案】A【解析】解：依题意，函数()f x 的图象与直线y m =有两个交点，而当0x ＞时，()()31333311x f x x x +-==-++＜，作出图象如下图所示，由图象可知，()13m ∈-，.故选：A.3.【答案】D【解析】解：由“函数()y f x =在区间()a b ，上有零点”不能推出“()()0f a f b g ＜”，如()21f x x =-在()22-，上有零点，但()()220f f -g ＞，故成分性不成立.由“()()0f a f b g ＜”不能推出“函数()y f x =在区间()a b ，上有零点”，如()1f x x=满足()()110f f -g ＜，但()1f x x=在()11-，上没有零点，故必要性不成立.故选：D.4.【答案】B【解析】解：对于函数()2ln f x x x=-在()0+∞，上是连续函数，由于()222ln 2ln 2lne ln 02f e=-=-=＜，()2323ln 3ln 3ln 03f e =-=-=，故()()230f f ＜，根据零点存在定理可知，函数()2ln f x x x=-的零点所在的大致区间是()23，.5.【答案】D【解析】解：根据题意，()lg 00x x x f x a b x -⎧=⎨+⎩，＞，≤且()03f =，()14f -=，则01134a b b a b -⎧+=+=⎪⎨+=⎪⎩，解可得122a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则()3132102f -æö-=+=ç÷èø，则()()3lg101f f -==；故选：D.6.【答案】A【解析】解：由题意得，()338x f x x =+-，则()11331820f =+⨯-=-＜，()333338280f =+⨯-=＞，且()22332870f =+⨯-=＞，所以()()120f f ＜，即方程()0f x =有根的区间为[]12，.故选：A.7.【答案】C 8.【答案】A【解析】解：由题意，存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，可得0a ＜.转化为函数2y x =与函数1y ax =--有交点.210x ax ++=∴有解，240a ∆=-∴≥，解得2a -≤，故选：A.9.【答案】C【解析】解：∵函数()312xf x x æö=-ç÷èø()11111022f æö=-=ç÷èø∴＞，1321111402228f æöæöæö=-=-ç÷ç÷ç÷èøèøèø＜，则函数()312xf x x æö=-ç÷èø的零点所在的区间为112æöç÷èø，.故选C.10.【答案】D【解析】解：函数()())100x f x x -=≤＞的图象如图，直线()011y m x =--过定点()11P -，，m 为其斜率，0m ＞满足题意，当0m ＜时，直线过原点时与函数1x y e -=-相切，x y e -'=-，0x =时，切线的斜率为1-；1m =-∴，1m -∴≤也满足题意.故选：D.二、11.【答案】3【解析】解：根据题意，函数()23x f x x -=-+，分析可得()f x 为减函数，且()31323308f -=-+=，而()4154243016f -=-+=-＜，则()()340f f ＜，则函数()f x 的零点在()34，上，则3k =.12.【答案】0，3【解析】解：由()230f x x x =-=，得0x =或3x =.故答案为0，3.13.【答案】(][)812-+∞ ，，【解析】解：方程()x f x m +=有解，即方程()f x m x =-有解，在同一坐标系中画出()1010x f x x x⎧⎪=⎨⎪⎩，≤，，＞，和y m x =-的图象，根据图象，当0x ≤时，两函数图像有交点，1m ≤，当0x ＞时，两函数图像有交点，12m x x=+≥，当且仅当1x =时，等号成立，综上，1m ≤，或2m ≥，故答案为(][)812-+∞ ，，.14.【答案】2k ＜且1k ≠【解析】解：由题意一元二次方程()21210k x x ---=有两个不相等的实数根，则()21044410k b ac k -≠⎧⎪⎨∆=-=+-⎪⎩＞解得2k ＜且1k ≠，故答案为2k ＜且1k ≠.15.【答案】2【解析】解：令()0f x =，则1lg x x e =，()1x xh x e e-==，()lg f x x =，如上图所示，所以两函数有两个交点，即函数()f x 有两个零点.故答案为：2.16.【答案】5解：依题意，令cos 2sin x x =，即212sin sin x x -=，22sin sin 10x x +-=，解得sin 1x =-或1sin 2x =，因为[]03x π∈，，所以32x π=，6π，56π，136π，176π，共5个.所以交点个数有5个.故答案为：5.三、17.【答案】解：（1）∵幂函数()f x 经过点124M æöç÷èø，，∴有()124f =，即124m =，2m =-∴，()2f x x -=∴，211422f -æöæö==ç÷ç÷èøèø∴，故12f æöç÷èø的值为4；（2）由（1）知()2f x x -=，∴由120f x b x æö+-=ç÷èø，可得220x x b +-=，220x x b +-=∵有两个相同的实数根，0∆=∴，即440b +=，1b =-∴.18.【答案】解：（1）()232f x x bx c '=++，依题意有()()2020f f '⎧-=⎪⎨'=⎪⎩即12401240b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得0b =，12c =-.∴函数()f x 的解析式为()3121f x x x =-+.（2）由条件可知，函数()f x 有极大值()217f -=，极小值()215f =-，()f x 大致图象如图，因为()f x 的图象与直线y m =恰有三个公共点，所以1517m -＜＜.19.【答案】解：（1）当2a =时，()()()22212122121212x x x x x f x x x x x x x x ⎧--=--⎪=--=⎨---=-+-⎪⎩，≥，＜，对应的图象如图，则函数的单调递增区间为(]8,1-，[)2+∞，.（2）在（1）的条件下()21f x x x =--，当2x ＞时，()()21f x x x =--，若()22f x kx k --≥恒成立，即[]2122x x kx k ----≥恒成立，即()2212x x k x -+-≥，即2212x x k x -+-≤恒成立，设2t x =-，则0t ＞，则2x t =+，则()()22222212121122t t x x t t t x t t t +-++-+++===++-，0t ∵＞，122224t t +++=+=∴≥，当且仅当1t t =，即1t =时，取等号.4k ∴≤，即实数k 的取值范围是(]84-，.（3）()2211x ax x a f x x ax x a⎧--⎪=⎨-+-⎪⎩，≥，＜，①当01a ＜≤时，1x a ≥≥，此时()21f x x ax =--的对称轴为1122a x =≤＜，则()f x 在[]12，上递增，则最小值()()111h a f a a ==--=-.②当12a ＜≤时，x a =时取得最小值()()1h a f a ==-，③当23a ＜＜时，2x a ≤＜，此时()21f x x ax =-+-，对称轴为3122a x æö=∈ç÷èø，，()12f a =-，()225f a =-，()25230a a a ---=-∵＜，252a a --∴＜，即此时函数的最小值()()225h a f a ==-.综上()11122523a a h a a a a -⎧⎪=-⎨⎪-⎩，0＜≤，＜≤，＜＜.20.【答案】解：（1）当0m =时，()42f x x =--，满足在区间[]12，上是单调递减函数，符合；当0m ＞时，要使()f x 在区间[]12，上是单调减函数，则需22m≥，即01m ＜≤；当0m ＜时，要使()f x 在区间[]12，上是单调减函数，则需21m ，即0m ＜，综上，1m ≤；（2）由()0f x =，即2420mx x --=在区间[]21--，上有解，则242x m x +=在区间[]21--，上有解，令1t x =，设()224u t t t =+，则题意即为方程()m u t =在112t ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，上有解，由于()()2232421222u t t t t ⎡⎤=+=+-∈--⎢⎥⎣⎦，，所以322m --≤≤21.【答案】解：（1）设()g x 上任意一点()m n ，，它关于点A 对称的点为()00x y ，，00.24m x n y +=⎧⎨+=⎩，则02m x =-，04n y =-，又因为12n m m=++，所以00014222y x x -=-++-，所以00012y x x =+-，所以()f x 的函数解析式为()12f x x x =+-.（2）若函数()()F x f x c =-有两个不同零点，则()y f x =与y c =有两个交点，()()()222143122x x f x x x --+'=+=--，令()0f x '=得11x =，23x =所以()f x 在()1-∞，，()3+∞，上，()0f x '＞，()f x 单调递增，()f x 在()12，，()23，上，()f x '＜0，()f x 单调递减，()10f =，()34f =，所以()()04c ∈-∞+∞ ，，.（3）()()112222a a a h x f x x x x x x x +=+=++=+----，因为函数()h x 在()24，上单调递减，所以任意()24x ∈，，()0h x '≤，即任意()24x ∈，，()()21102a x -++-≤，即任意()24x ∈，，()221x a --≤，令()()221p x x =--，()24x ∈，，所以()()13p x ∈-，，所以3a ≥.所以实数a 的取值范围[)3+∞，.22.【答案】解：（1）依题设，总成本为20000100x +，则21300200000400260000100400.x x x x y x x x ⎧-+-∈⎪=⎨⎪-∈⎩N N ，＜≤且，，＞且（2）当0400x ≤≤时，()21300250002y x =--+，则当300x =时，max 25000y =；当400x ＞时，60000100y x =-是减函数，则6000010040020000y -⨯=＜，所以当月产量为300件时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元.。
北师大高中数学选择性必修第一册第五章课时作业36组合
北师大高中数学选择性必修第一册第五章课时作业36组合(原卷版)一、选择题1.甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间距离均不相等且无通票，则车票票价的种数是()A.1B.2C.3D.62.若3－6＝4，则n＝()A.8B.7C.6D.53.集合{0，1，2，3}含有3个元素的子集的个数是()A.4B.5C.7D.84.从2，3，4，5，6五个数中任取不相同的两个数分别作为a，b，则对数式ln a＋ln b的不同值个数为()A.10B.9C.8D.65.某市选派6名主任医生，3名护士，组成3个医疗小组分配到甲、乙、丙三地进行医疗支援，每个小组包括2名主任医生和1名护士，则不同的分配方案有()A.60种B.300种C.150种D.540种6.若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A.60种B.63种C.65种D.66种7.(多选题)下列判断正确的是()A.(m≥2且m∈N*)B.从4名男生3名女生中任选2人，至少有1名女生的选法共有种C.把4本书分成3堆，每堆至少一本共有种不同分法D.从6男4女中选出5人参加一项活动，则甲当选且乙不当选的选法有70种8.(多选题)将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种?下列结论正确的有()A. B.C. D.18二、填空题9.计算：＝46.(用数值作答)10.某城市的交通道路如图，从城市的西南角A到城市的东北角B，不经过十字道路维修处C，最近的走法种数有66.11.如图，有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2，其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色，金色1、金色2是两种不同的颜色，要求红色不在两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案有288种.①②③④⑤⑥三、解答题12.一个口袋里装有除颜色外完全相同的7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球.(1)共有多少种不同的取法?(2)其中恰有1个红球，共有多少种不同的取法?(3)其中不含红球，共有多少种不同的取法?13.高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动.(1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种?(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种?(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种?(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种?(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种?14.有5名学生做志愿者服务，将他们分配到图书馆、科技馆、养老院这三个地方去服务，每个地方至少有1名学生，则不同的分配方案种数为()A.145B.150C.155D.16015.如图，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案有16种.16.从1到9的9个数中取3个偶数和4个奇数，则：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数?(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个?(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个?(4)在(1)中任意2个偶数都不相邻的七位数有几个?北师大高中数学选择性必修第一册第五章课时作业36组合(解析版)一、选择题1.甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间距离均不相等且无通票，则车票票价的种数是(C)A.1B.2C.3D.6解析：因为票价与路程的远近有关，与站点的起始无关，所以属于组合问题，从甲、乙、丙三地中任取两个地点则对应着一个票价，所有的组合为甲乙、甲丙、乙丙，故票价应为3种.故选C.2.若3－6＝4，则n＝(D)A.8B.7C.6D.5解析：因为3－6＝4，所以3－6＝4，所以3n(n－1)(n－2)－6n(n－1)＝4×，即3(n－1)(n－2)－6(n－1)＝2(n＋1)，即3n2－17n＋10＝0，解得n＝5(不合题意的舍去).故选D.3.集合{0，1，2，3}含有3个元素的子集的个数是(A)A.4B.5C.7D.8解析：由于集合中的元素是没有顺序的，一个含有3个元素的子集就是一个从{0，1，2，3}中取出3个元素的组合，这是一个组合问题，所有的组合为{0，1，2}，{0，1，3}，{0，2，3}，{1，2，3}，共4个.故选A.4.从2，3，4，5，6五个数中任取不相同的两个数分别作为a，b，则对数式ln a＋ln b的不同值个数为(B)A.10B.9C.8D.6解析：根据题意，由ln a＋ln b＝ln(ab)，可知a，b的所有组合为(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共10种，又因为ln(2×6)＝ln(3×4)，所以对数式ln a＋ln b的不同值个数为10－1＝9.故选B.5.某市选派6名主任医生，3名护士，组成3个医疗小组分配到甲、乙、丙三地进行医疗支援，每个小组包括2名主任医生和1名护士，则不同的分配方案有(D)A.60种B.300种C.150种D.540种解析：根据题意，分2步进行分析：①将6名主任医生分成3组，每组2人，有种分组方法，将3名护士分成3组，每组1人，有1种方法；②将分好的三组医生、护士全排列，对应甲、乙、丙，有种情况，则有＝540(种).故选D.6.若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(D)A.60种B.63种C.65种D.66种解析：满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1，3，5，7，9中，任意取4个，有＝5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2，4，6，8中任取2个，有＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种).故选D.7.(多选题)下列判断正确的是(CD)A.(m≥2且m∈N*)B.从4名男生3名女生中任选2人，至少有1名女生的选法共有种C.把4本书分成3堆，每堆至少一本共有种不同分法D.从6男4女中选出5人参加一项活动，则甲当选且乙不当选的选法有70种解析：选项A，由组合数性质易知错误；选项B，从4名男生3名女生中任选2人，至少有1名女生的选法共有＝15(种)，错误；选项C，把4本书分成3堆，每堆至少一本共有种不同分法，正确；选项D，甲当选且乙不当选，只需从余下的8人中任选4人，有＝70种选法，正确.故选CD.8.(多选题)将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种?下列结论正确的有(BC)A. B.C. D.18解析：根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1，2，3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个盒子中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法：(1)分2步进行分析：①先将四个不同的小球分成3组，有种分组方法；②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有种放法，则没有空盒的放法有种；(2)分2步进行分析：①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有种情况，②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有种放法，则没有空盒的放法有种.故选BC.二、填空题9.计算：＝46.(用数值作答)解析：由组合数性质可得，2n＋3≥10－n且n＋7≥3n，n∈N*，解得n＝3，所以原式＝＝36＋10＝46.10.某城市的交通道路如图，从城市的西南角A到城市的东北角B，不经过十字道路维修处C，最近的走法种数有66.解析：从城市的西南角A到城市的东北角B，最近的走法种数共有＝126(种)走法.从城市的西南角A经过十字道口维修处C，最近的走法有＝10(种)，从C到城市的东北角B，最近的走法种数为＝6(种)，所以从城市西南角A到城市的东北角B，经过十字道口维修处C最近的走法有10×6＝60(种)，所以从城市的西南角A到城市东北角B，不经过十字道路维修处C，最近的走法种数有126－60＝66(种).11.如图，有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2，其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色，金色1、金色2是两种不同的颜色，要求红色不在两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案有288种.①②③④⑤⑥解析：不考虑红色的位置，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案有()·＝432(种).这种情况下，红色在左右两端的涂色方案有()·＝144(种)；从而所求的结果为432－144＝288(种).三、解答题12.一个口袋里装有除颜色外完全相同的7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球.(1)共有多少种不同的取法?(2)其中恰有1个红球，共有多少种不同的取法?(3)其中不含红球，共有多少种不同的取法?解：(1)从口袋里的8个球中任取5个球，不同取法的种数是＝56.(2)从口袋里的8个球中任取5个球，其中恰有1个红球，可以分两步完成：第1步，从7个白球中任取4个白球，有种取法；第2步，把1个红球取出，有种取法.故不同取法的种数是＝35.(3)从口袋里任取5个球，其中不含红球，只需从7个白球中任取5个白球即可，不同取法的种数是＝21.13.高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动.(1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种?(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种?(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种?(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种?(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种?解：(1)从余下的34名学生中选取2名，有＝561(种).∴不同的取法有561种.(2)从34名可选学生中选取3名，有种.或者＝5984(种).∴不同的取法有5984种.(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有＝2 100(种).∴不同的取法有2100种.(4)选取2名女生有种，选取3名女生有种，共有选取方式N＝＝2100＋455＝2555(种).∴不同的取法有2555种.(5)选取3名的总数有，因此选取方式共有N＝＝6545－455＝6090(种).∴不同的取法有6090种.14.有5名学生做志愿者服务，将他们分配到图书馆、科技馆、养老院这三个地方去服务，每个地方至少有1名学生，则不同的分配方案种数为(B)A.145B.150C.155D.160解析：将5名志愿者分配到这三个地方服务，每个地方至少1人，其方案为2，2，1型或3，1，1型.其选法有或，而每一种选法可有安排方法，故不同的分配方案有＝150(种).故选B.15.如图，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案有16种.解析：四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥，即AB，AC，AD，BC，BD，CD，其中建三座桥连接四个小岛符合要求的建桥方案是只要三座桥不围成封闭的三角形区域就符合要求，如桥{AC，BC，BD}符合要求，而围成封闭三角形不符合要求，如桥{AC，CD，DA}不符合要求.从六座桥中选出三座桥作为一组，所有的组合为{AB，AC，AD}，{AB，AC，BC}，{AB，AC，BD}，{AB，AC，CD}，{AB，AD，BC}，{AB，AD，BD}，{AB，AD，CD}，{AB，BC，BD}，{AB，BC，CD}，{AB，BD，CD}，{AC，AD，BC}，{AC，AD，BD}，{AC，AD，CD}，{AC，BC，BD}，{AC，BC，CD}，{AC，BD，CD}，{AD，BC，BD}，{AD，BC，CD}，{AD，BD，CD}，{BC，BD，CD}，共20种组合，其中组合{AB，AC，BC}，{AB，AD，BD}，{AC，AD，CD}，{BC，BD，CD}不符合题意，所以不同的建桥方案共有20－4＝16(种).16.从1到9的9个数中取3个偶数和4个奇数，则：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数?(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个?(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个?(4)在(1)中任意2个偶数都不相邻的七位数有几个?解：(1)分步完成：第1步，在4个偶数中取3个，可有种情况；第2步，在5个奇数中取4个，可有种情况；第3步，3个偶数，4个奇数进行排列，可有种情况，所以有＝100800(个)符合题意的七位数.(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的个数共有＝14 400.(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的个数共有＝5760.(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空当中，共有＝28800(个)符合题意的七位数.。
2021_2022学年新教材高中数学第五章函数应用单元素养测评练习含解析北师大版必修第一册
第五章单元素养测评限时120分钟 分值150分 战报得分______一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一个正确选项)1．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1)D ．(1，2)【解析】选B.显然f (x )在R 上是增函数， 又f (－2)<0，f (－1)<0，f (0)>0，f (1)>0， f (2)>0，所以f (－1)·f (0)<0， 所以函数f (x )在(－1，0)上有零点．2．定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的曲线，已知函数f (x )在区间(a ，b )上有一个零点x 0，且f (a )·f (b )＜0，用二分法求x 0，当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝0时，则函数f (x )的零点是( ) A ．(a ，b )外的点 B ．a ＋b 2C ．区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2 或⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 内的任意一个实数D ．a 或b【解析】选B.由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值，由题易知，零点是a ＋b2.3．函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12 x的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数个【解析】选B.作出y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12 x的图象，如图所示，两个函数的图象只有一个交点，所以函数f (x )只有一个零点．4．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似解的是( ) ①y ＝3x 2－2x ＋5；②y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≥0，x ＋1，x <0；③y ＝2x ＋1；④y ＝x 3－2x ＋3；⑤y ＝12x 2＋4x ＋8.A ．①②③B ．⑤C ．①⑤D ．①④【解析】选B.⑤中y ＝12x 2＋4x ＋8，Δ＝0，不满足二分法求函数零点的条件．5．用二分法求关于x 的方程ln x ＋2x －6＝0的近似解时，能确定为解所在的初始区间的是( ) A ．(2，3) B ．(0，2) C ．(1，2)D ．(0，＋∞)【解析】选A.令函数f (x )＝ln x ＋2x －6，可判断在(0，＋∞)上单调递增，所以f (1)＝－4<0，f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3>0，所以根据函数的零点存在定理可得：零点在(2，3)内，即方程ln x ＋2x －6＝0的近似解在(2，3)内．6．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A ．⎝⎛⎭⎫－14，0 B ．⎝⎛⎭⎫0，14 C ．⎝⎛⎭⎫14，12D ．⎝⎛⎭⎫12，34【解析】选C.因为f ⎝⎛⎭⎫14 ＝e 14 －2<0，f ⎝⎛⎭⎫12 ＝e 12 －1>0，所以f ⎝⎛⎭⎫14 f ⎝⎛⎭⎫12 <0，又函数y ＝e x是增函数，y ＝4x －3也是增函数，由函数单调性的性质可知函数f (x )＝e x ＋4x －3是增函数，所以函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点在⎝⎛⎭⎫14，12 内．7．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么( ) A ．人可在7秒内追上汽车 B ．人可在10秒内追上汽车C ．人追不上汽车，其间距最少为5米D ．人追不上汽车，其间距最少为7米【解析】选D.设汽车经过t 秒行驶的路程为s 米，则s ＝12 t 2，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t ＝12 t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7，当t ＝6时，d 取得最小值7.8．用二分法求方程ln (2x ＋6)＋2＝3x 的根的近似值时，令f (x )＝ln (2x ＋6)＋2－3x ，并用计算器得到表格：x 为( ) A.1.125B ．1.312 5C.1.437 5D ．1.468 75【解析】选B.因为f (1.25)·f (1.375)＜0，故根据二分法的思想，知函数f (x )的零点在区间(1.25，1.375)内，但区间(1.25，1.375)的长度为0.125＞0.1，因此需要取(1.25，1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25，1.312 5)和(1.312 5，1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5＜0.1，因此1.312 5是一个近似解．二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分) 9．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)， 则( )A.f(x1)>0 B．f(x1)<0C.f(x2)>0 D．f(x2)<0【解析】选BC.在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x和函数y＝1x－1的图象，如图所示，由图可知函数y＝2x和函数y＝1x－1的图象只有一个交点，即函数f(x)＝2x＋11－x只有一个零点x0，且x0>1.因为x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，所以由函数图象可知，f(x1)<0，f(x2)>0.10．函数f(x)＝log12x＋x－4的零点所在的区间为()A.(0，1) B．(1，3) C．(3，4) D．(4，8)【解析】选AD.设y1＝log12x，y2＝4－x，则f(x)的零点个数，即函数y1与y2的图象的交点个数，作出两函数图象如图．由图知y1与y2在区间(0，1)内有一个交点，当x＝4时，y1＝－2，y2＝0；当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，所以在(4，8)内两曲线又有一个交点．即函数f(x)＝log12x＋x－4的零点所在的区间为(0，1)和(4，8).11．甲乙两人在一次赛跑中，路程s 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A.甲比乙先出发B.甲比乙跑得快C.甲、乙两人的速度相同D.甲先到达终点【解析】选BD.由题图可知两人跑的路程相同，甲比乙跑的时间少，甲比乙跑得要快，比乙先到达终点．12．已知函数f (x )＝1－x 21＋x 2 ，则下列对于f (x )的性质表述正确的是( )A.f (x )为偶函数B.f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )C.f (x )在[2，3]上的最大值为－35D.g (x )＝f (x )＋x 在区间(－1，0)上至少有一个零点【解析】选ABCD.因为f (x )＝1－x 21＋x 2 ，所以定义域为R ，A 选项f (－x )＝1－（－x ）21＋（－x ）2 ＝1－x 21＋x 2＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，故A 正确；B 选项，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1－⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2 ＝x 2－1x 2＋1 ＝－f (x )，故B 正确；C 选项，因为f (x )＝1－x 21＋x 2 ＝－1＋21＋x 2 ，当x ∈[2，3]，y ＝1＋x 2单调递增，所以f (x )＝－1＋21＋x 2单调递减，因此f(x)max＝f(2)＝－1＋21＋4＝－35，故C正确；D选项，因为g(x)＝f(x)＋x，所以g(－1)＝f(－1)－1＝－1，g(0)＝f(0)＋0＝1，即g(－1)·g(0)<0，由零点存在定理可得：g(x)＝f(x)＋x在区间(－1，0)上至少存在一个零点，故D正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2，4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．【解析】设f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＜0，f(3)＞0，f(4)＞0，有f(2)f(3)＜0，则下一个有根区间是(2，3).答案：(2，3)14．设函数f(x)＝{a－2x，x≤0，3x＋1，x>0，若函数f(x)有且仅有1个零点，则实数a的取值范围是________．【解析】当x>0时，f(x)＝3x＋1>1，函数无零点；要使函数f(x)有且仅有1个零点，则f(x)＝a－2x在(－∞，0]上有且仅有1个零点．画出函数y＝a与函数y＝2x(x≤0)的图象，如图所示．因为当x≤0时，2x∈(0，1]，所以a∈(0，1].答案：(0，1]15．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1在区间[0，1]内的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，f(1)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．【解析】因为f(0)<0，f(0.5)>0，所以f(0)·f(0.5)<0，故f(x)的一个零点x0∈(0，0.5)，利用二分法，则第二次应计算f ⎝⎛⎭⎪⎫0＋0.52 ＝f (0.25).答案：(0，0.5) f (0.25)16．已知直角梯形ABCD ，如图(1)所示，动点P 从点B 出发，由B →C →D →A 沿边运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为f (x ).如果函数y ＝f (x )的图象如图(2)所示，则△ABC 的面积为________．【解析】由题中图象可知BC ＝4，CD ＝5，DA ＝5，所以AB ＝5＋52－42 ＝5＋3＝8，所以S △ABC ＝12 ×8×4＝16.答案：16四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明a >0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在区间[0，1]内有两个实根． 【证明】因为f (1)>0，所以3a ＋2b ＋c >0，即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0.因为a ＋b ＋c ＝0，所以－b －2c >0，则－b －c >c ，即a >c .因为f (0)>0，所以c >0，则a >0.在区间[0，1]内选取二等分点12，则f ⎝⎛⎭⎫12 ＝34 a ＋b ＋c ＝34 a ＋(－a )＝－14 a <0.因为f (0)>0，f (1)>0，所以函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12 和⎝⎛⎭⎫12，1 上各有一个零点．又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在 [0，1]内有两个实根．18．(12分)某地上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度．本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间(包含0.55元/度和0.75元/度)，经测算，若电价调至x 元/度，则本年度新增用电量y (亿度)与(x －0.4)(元/度)成反比，且当x ＝0.65时，y ＝0.8. (1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每度电的成本为0.3元，则电价调至多少时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%? [收益＝用电量×(实际电价－成本价)]【解析】(1)因为y 与(x －0.4)成反比，所以可设y ＝k x －0.4 (k ≠0)，把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，得0.8＝k 0.65－0.4 ，解得k ＝0.2，所以y ＝0.2x －0.4 ＝15x －2 ，所以y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2(0.55≤x ≤0.75). (2)根据题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15x －2 (x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)，整理得x 2－1.1x ＋0.3＝0，解得x 1＝0.5(舍去)或x 2＝0.6，所以当电价调至0.6元/度时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%.19．(12分)某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，如图的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S (万元)与销售时间t (月)之间的关系(即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系).根据图象提供的信息解答下列问题： (1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润S (万元)与时间t (月)之间的函数关系式； (2)求截至第几月末公司累积利润可达到30万元； (3)求第八个月公司所获得的利润是多少万元．【解析】(1)可设S 与t 的函数关系式为S ＝at 2＋bt ＋c .由题意，得或或无论哪个均可解得a ＝12 ，b ＝－2，c ＝0，所以所求函数关系式为S ＝12 t 2－2t .(2)把S ＝30代入，得30＝12t 2－2t ，解得t 1＝10，t 2＝－6(舍去)，所以截至第10个月末公司累积利润可达到30万元． (3)把t ＝7代入，得S ＝12 ×72－2×7＝212 ＝10.5(万元)，把t ＝8代入，得S ＝12 ×82－2×8＝16(万元)，则第八个月获得的利润为16－10.5＝5.5(万元)， 所以第八个月公司所获利润为5.5万元．20．(12分)某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分). (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 【解析】(1)当x ≤6时，y ＝50x －115， 令50x －115＞0，解得x ＞2.3， 因为x 为整数，所以3≤x ≤6，x ∈Z .当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0，结合x 为整数得6＜x ≤20，x ∈Z .所以f (x )＝(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )， 显然当x ＝6时，y max ＝185； 对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎫x －343 2＋8113(6＜x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时y max ＝270.因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．21．(12分)噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明， 声音强度D (分贝)由公式D ＝a lg I ＋b (a ，b 为非零常数)给出，其中I (W/cm 2)为声音能量． (1)当声音强度D 1，D 2，D 3满足D 1＋2D 2＝3D 3时，求对应的声音能量I 1，I 2，I 3满足的等量关系式；(2)当人们低声说话，声音能量为10－13W/cm 2时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为10－12W/cm 2时，声音强度为40分贝．当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．【解析】(1)因为D 1＋2D 2＝3D 3，所以a lg I 1＋b ＋2(a lg I 2＋b )＝3(a lg I 3＋b )，所以lg I 1＋2lg I 2＝3lg I 3，所以I 1·I 22 ＝I 33 .(2)由题意得所以所以100＜10lg I ＋160＜120，所以10－6＜I ＜10－4. 当声音能量I ∈(10－6，10－4)时，人会暂时性失聪．22．(12分)某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x %(0<x <100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f (x )＝- 11 - (单位：分钟)，而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式；讨论g (x )的单调性，并说明其实际意义．【解析】(1)由题意知，当30<x <100时，f (x )＝2x ＋1 800x －90>40，即x 2－65x ＋900>0， 解得x <20或x >45，所以x ∈()45，100 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间．(2)当0<x ≤30时，g (x )＝30·x %＋40()1－x % ＝40－x 10 ； 当30<x <100时，g (x )＝⎝⎛⎭⎫2x ＋1 800x －90 ·x %＋40()1－x % ＝x 250 －1310 x ＋58； 所以g (x )＝当0<x <32.5时，g (x )单调递减；当32.5<x <100时，g (x )单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．。
2020-2021学年高中新教材北师大版数学必修第一册习题：第五章 §2 2.1 实际问题的函数刻画
第五章函数应用§2实际问题中的函数模型2.1实际问题的函数刻画2.2用函数模型解决实际问题课后篇巩固提升基础达标练1.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()A.6升B.8升C.10升D.12升(即5月1日)把油加满,而第二次把油加满加了48升,35 600-35 000=600(千米),即汽车行驶600千米耗油48升,所以每100千米平均耗油量为8升.2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是()a,由题意知ax=a(1+0.104)y,即y=log1.104x(x≥1),所以y=f(x)的图象大致为D中图象.3.(多选题)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)()A.6B.9C.8D.7解析设经过n次过滤,产品达到市场要求,则×n≤,即n≤,由n lg ≤-lg 20,即n(lg 2-lg 3)≤-(1+lg 2),得n≥≈7.4.4.已知某个病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且病毒的繁殖规律为y=e kt(其中k为常数,t表示时间,单位:小时,y表示病毒个数),则k=,经过5小时,1个病毒能繁殖个.t=0.5时,y=2,∴2=,∴k=2ln 2,∴y=e2t ln 2.当t=5时,y=e10ln 2=210=1 024.1 0245.在一场足球比赛中,一球员从球门正前方10 m处将球踢起射向球门,当球飞行的水平距离是6 m时,球到达最高点,此时球高3 m,已知球门高2.44 m并且球按抛物线飞行,踢进球门(填“能”或“不能”).建立如图所示的坐标系,拋物线经过点(0,0),顶点为(6,3).设其解析式为y=a(x-6)2+3,把x=0,y=0代入,得a=-,∴y=-(x-6)2+3.当x=10时,y=-(10-6)2+3=<2.44.∴球能射进球门.6.每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动.某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,有两种方案如下:方案一:每年植树1万平方米;方案二:每年树木面积比上年增加9%.你觉得哪个方案较好?方案一)5年后树木面积是10+1×5=15(万平方米).(方案二)5年后树木面积是10(1+9%)5≈15.386(万平方米).∵15.386>15,∴方案二较好.7.某市电力公司在电力供不应求时期,为了让居民节约用电,采用“阶梯电价”方法计算电价,每月用电不超过100度时,按每度0.5元计费,每月用电超过100度时,超过部分按每度0.6元计费,每月用电超过150度时,超过部分按每度0.7元计费.(1)设每月用电x度,应交电费y元,写出y关于x的函数;(2)已知小王家第一季度缴费情况如下:问:小王家第一季度共用了多少度电?依题意,当0≤x≤100时,y=0.5x,当100<x≤150时,y=0.5×100+0.6(x-100)=0.6x-10,当x>150时,y=0.5×100+0.6×50+0.7(x-150)=0.7x-25,所以y关于x的函数为y=(2)小王家一月份缴费87元>80元,令0.7x-25=87,得x=160,二月份缴费62元>50元,且62元<80元,令0.6x-10=62,得x=120,三月份缴费45.8元<50元,令0.5x=45.8,得x=91.6,以上三个月相加得160+120+91.6=371.6(度),所以小王家第一季度共用了371.6度电.8.有关数据显示,中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨,2016年的年增长率为50%,有专家预测,如果不采取措施,未来包装垃圾还将以此增长率增长,从第几年开始,快递行业产生的包装垃圾会超过4 000万吨.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)y万吨,n表示从2015年开始增加的年份的数量,由题意可得y=400×(1+50%)n=400×n,当y=4 000时,有n=10,两边取对数可得n(lg 3-lg 2)=1,∴n(0.477 1-0.301 0)=1,0.176 1n=1,解得n≈6,∴从2015+6=2021年开始,快递行业产生的包装垃圾会超过4 000万吨.9.某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.5千美元~8千美元的地区销售该公司A饮料的情况的调查中发现:人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多,然后向两边递减.(1)下列几个模拟函数:y=ax2+bx,y=kx+b,y=log a x,y=a x+b(x表示人均GDP,单位:千美元,y表示A饮料的年人均销量,单位:升),用哪个模拟函数来描述A饮料的年人均销量与地区的人均GDP关系更合适?说明理由.(2)若人均GDP为1千美元时,A饮料的年人均销量为2升;若人均GDP为4千美元时,A饮料的年人均销量为5升,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区中,A饮料的年人均销量最多是多少?用函数y=ax2+bx来描述A饮料的年人均销量与地区的人均GDP的关系更合适.因为函数y=kx+b,y=log a x,y=a x+b在其定义域内都是单调函数,不具备先递增后递减的特征.(2)依题意知函数过点(1,2)和(4,5),则有解得a=-,b=,所以y=-x2+x(0.5≤x≤8).因为y=-x2+x=-,所以在各地区中,当x=时,A饮料的年人均销量最多是升.能力提升练1.(多选题)某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元收费:超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是()A.出租车行驶4 km,乘客需付费9.6元B.出租车行驶10 km,乘客需付费25.45元C.某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用D.某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了9 kmA中,出租车行驶4 km,乘客需付费8+1×2.15+1=11.15元,A错误;在B中,出租车行驶10 km,乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45元,B正确;在C中,乘出租车行驶5 km,乘客需付费8+2×2.15+1=13.30元,乘坐两次需付费26.6元,26.6>25.45,C正确;在D中,设出租车行驶x km时,付费y元,由8+5×2.15+1=19.75<22.6知x>8,因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6,解得x=9,D正确.2.某工厂生产A,B两种成本不同的产品,用于市场销售,A产品连续两次提价20%,同时B产品连续两次降价20%,结果都以每件23.04元售出,此时厂家同时出售A,B产品各一件,则盈亏情况为() A.亏5.20元 B.亏5.92元C.盈6元D.盈5元A,B的成本价分别为x元、y元,则(1+20%)2×x=23.04,(1-20%)2×y=23.04,所以x=16,y=36.成本价为x+y=52(元),实际销售额为2×23.04=46.08(元),显然亏损额为52-46.08=5.92(元).故选B.3.已知有A,B两个水桶,桶A中开始有a L水,桶A中的水不断流入桶B,t min后,桶A中剩余的水符合指数衰减曲线y1=a e-nt,那么桶B中的水就是y2=a-a e-nt(n为常数).假设5 min时,桶A和桶B中的水量相等,再过 min,桶A中的水只有 L.5 min时,桶A和桶B中的水量相等,所以a·e-5n=a-a·e-5n,所以e-5n=.令a·e-nt=,则e-nt==e-15n,故有t=15.所以再过10 min,桶A中的水只有 L.4.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表:注:地震强度是指地震时释放的能量.地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y=a lg x+b(其中a,b为常数).利用散点图可知a的值等于.(取lg 2≈0.3进行计算)x=1.6×1019时,y=5.0,x=3.2×1019时,y=5.2.所以②-①,得0.2=a lg,0.2=a lg 2.所以a=.5.如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=a t(t≥0,a>0,且a≠1).有以下叙述:①第4个月时,剩留量会低于;②每月减少的有害物质量都相等;③若剩留量为所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.其中所有正确的叙述是.(填序号),当t=2时,y=,即a2=,解得a=.故y=.所以当t=4时,有害物质的剩余量为y=,所以①正确;第一个月的减少量为1-;第二个月的减少量为,显然两者不同,所以②错误;③由已知,所以,即,所以t1+t2=t3,故③正确.6.某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t-t2万元.(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x 的函数;(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?当0<x≤5时,产品全部售出,当x>5时,产品只能售出500件.所以,f(x)=即f(x)=(2)当0<x≤5时,f(x)=-x2+4.75x-0.5,所以当x=4.75时,f(x)有最大值,f(x)max=10.781 25.当x>5时,f(x)<12-0.25×5=10.75(万元).故当年产量为475件时,当年所得利润最大.7.科学研究表明:人类对声音有不一样的感觉,这与声音的强度I(单位:瓦/平方米)有关.在实际测量时,常用L(单位:分贝)来表示声音强弱的等级,它与声音的强度I满足关系式:L=a·lg (a是常数),其中I0=1×10-12瓦/平方米.如风吹落叶沙沙声的强度I=1×10-11瓦/平方米,它的强弱等级L=10分贝. (1)已知生活中几种声音的强度如下表:风吹落叶轻声耳语很嘈杂求a和m的值;(2)为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过50分贝,求此时声音强度I的最大值.将I0=1×10-12瓦/平方米,I=1×10-11瓦/平方米代入L=a·lg ,得10=a lg=a lg 10=a,即a=10,m=10lg=10lg 100=20.(2)由题意得L≤50,得10lg ≤50,得lg≤5,即≤105,即I≤105×10-12=10-7.所以此时声音强度I的最大值为10-7瓦/平方米.素养培优练为减轻手术给病人带来的痛苦,麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂,某医院决定在某小型手术中为病人采用一种新型的麻醉剂,已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量y(毫克)与时间t(小时)成正比,麻醉剂释放完毕后,y与t的函数解析式为y=(a为常数),如图所示.(1)试求从麻醉剂释放开始,血液中的麻醉剂含量y(毫克)与时间t(小时)之间的解析式;(2)根据麻醉师的统计,当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到0.125毫克以下时,病人才能清醒过来,那么实施麻醉开始,至少需要经过多长时间,病人才能清醒过来?根据题中所述,由题图可知,血液中麻醉剂的含量y(毫克)是关于时间t(小时)的一个分段函数: 当0≤t≤0.1时,函数的图象是一条经过O(0,0)的线段,设其方程为y=kt(k为待定系数),又因为A(0.1,1)是这条线段的一个端点,代入点A的坐标得k=10,所以当0≤t≤0.1时,y=10t.当t>0.1时,函数解析式为y=,而A(0.1,1)在这段函数图象上,代入得:1=,所以有0.1-a=0,解得a=0.1.故当t>0.1时,y=.综上,血液中麻醉剂的含量y(毫克)与时间t(小时)之间的解析式为y=(2)要使手术后的病人能清醒过来,需要麻醉剂含量降低到0.125毫克以下,此时t>0.1,且y≤0.125=.当t>0.1时,由,得t-0.1≥1,解得t≥1.1.所以至少需要经过1.1小时后病人才能清醒.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
北师大版高中数学课件必修第1册第五章 章末整合
4
(2)依题意并结合(1)可得
60,0 ≤ ≤ 40,
f(x)= 2
- 4 + 70,40 < ≤ 280.
当0≤x≤40时,f(x)单调递增,故当x=40时,f(x)在区间[0,40]上取得最大值,最
大值为60×40=2 400.
2
1
当 40<x≤280 时,f(x)=- +70x=- (x-140)2+4 900≤4 900,当且仅当 x=140 时,
最省,为35a元.
方法技巧求解本题的关键在于以建墙费用为目标函数建立函数关系式,而
难点在于求函数的最小值,两种方案的函数解析式结构相似,但求最值方法
不同,一个可用均值不等式求最值,而另一个则必须用函数的单调性求最值.
变式训练 3提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.一
般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是关于车流密度x(单位:辆/千
2
252
建新墙的费用为(2x+ -14)a 元,
126
7
252
7
故总费用为 y=2a+(2x+ -14)a=2a+2a(x+ -7)(x≥14).
126
令 f(x)=x+ (x≥14),设 14≤x2<x1,
(1 2 -126)
126
126
.
则 f(x1)-f(x2)=(x1+ )-(x2+ )=(x1-x2)·
个方面考虑:①判别式;②区间端点函数值的正负;③对称轴x=- 与区间
2
端点的关系.另外,对于二次函数在闭区间上的最值问题,要抓住顶点的横
高一数学北师大必修第一册课件第5章章末综合提升
(2)函数 g(x)＝f(x)＋x＋a 存在 2 个零点，即关于 x 的方程 f(x)＝－x －a 有 2 个不同的实根，即函数 f(x)的图象与直线 y＝－x－a 有 2 个交 点．作出直线 y＝－x－a 与函数 f(x)的图象，如图所示，由图可知，－ a≤1，解得 a≥－1，故选 C.
]
1. 确定函数 f(x)的零点所在区间的常用方法： (1)利用函数零点存在定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的 图象是否连续，再看是否有 f(a)·f(b)<0.若有，则函数 y＝f(x)在区间(a， b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上 是否有交点来判断．
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
(2)已知函数 f(x)＝elnx，x，x≤x>00，， g(x)＝f(x)＋x＋a.若 g(x)存在 2 个
零点，则 a 的取值范围是( )
A．[－1,0)
B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞)
D．[1，＋∞)
(1)C (2)C [(1)因为 f (x)＝ln x－12x－2 在(0，＋∞)上为增函数， 又 f (1)＝ln 1－12－1＝ln 1－2<0，f(2)＝ln 2－120<0，f (3)＝ln 3－121>0， 所以 x0∈(2,3)，故选 C.
①当 x＝10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需支付________ 元．
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销 前总价的七折，则 x 的最大值为________．
1 2 3 45
①130 ②15 [①顾客需要支付 60＋80－10＝130 元． ②设每笔订单促销前总价为 t(t≥120)，所以 0.8(t－x)≥0.7t，所以 x≤8t 恒成立，所以 x≤1820＝15，所以 x 的最大值为 15 元．]
2020-2021学年高中新教材北师大版数学必修第一册习题：第五章 1.1 利用函数性质判定方程解的
第五章函数应用§1方程解的存在性及方程的近似解1.1利用函数性质判定方程解的存在性课后篇巩固提升基础达标练1.下列图象表示的函数中没有零点的是()y=f(x)的零点就是函数图象与x轴交点的横坐标.A项中函数图象与x轴没有交点,所以该函数没有零点;B项中函数图象与x轴有一个交点,所以该函数有一个零点;C,D两项中的函数图象与x轴有两个交点,所以该函数有两个零点.故选A.2.(多选题)若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是()A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点C.f(x)在区间(1,2)上可能有零点D.f(x)在区间(1,2)上一定有零点f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,所以f(0)·f(1)<0,因为函数f(x)的图象在R上连续不断,由零点存在定理,可得f(x)在区间(0,1)上一定有零点.又f(1)·f(2)>0,因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点.3.函数f(x)=log2x-的零点所在的区间为()A.(1,2)B.(2,3)C. D.f(x)的定义域为(0,+∞),且函数f(x)是增函数,∵f(1)=log21-1=-1<0,f(2)=log22-=1->0,∴在区间(1,2)内,函数f(x)存在零点,故选A.4.函数f(x)=x3-的零点个数是()A.0B.1C.2D.无数个y=x3与y=的图象,如图所示,两个函数的图象只有一个交点,所以函数f(x)只有一个零点.故选B.5.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,则下列说法正确的是()A.若f(a)·f(b)>0,不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0B.若f(a)·f(b)<0,存在且只存在一个实数c∈(a,b),使得f(c)=0C.若f(a)·f(b)>0,有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0D.若f(a)·f(b)<0,有可能不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0,若f(a)·f(b)<0,则一定存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0,但c的个数不确定,故B,D错误.若f(a)·f(b)>0,有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0,如f(x)=x2-1,f(-2)f(2)>0,但f(x)=x2-1在区间(-2,2)内有两个零点,故A错误,C正确.6.已知函数f(x)与g(x)满足的关系为f(x)-g(x)=-x-3,根据所给数表,判断f(x)的一个零点所在的区间为()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3),由列表可知f(-1)=g(-1)+1-3=0.37-2=-1.63,f(0)=g(0)-0-3=1-3=-2,同理,f(1)=-1.28,f(2)=2.39,f(3)=14.39,∵f(1)·f(2)<0,∴函数f(x)的一个零点所在的区间为(1,2).7.已知函数f(x)=则该函数零点的个数为.x<0时,由f(x)=0,得x=-4,当x≥0时,由f(x)=0,得x=4或x=0.故函数共有3个零点.8.函数y=2|x|+x-2的零点的个数为.2|x|+x-2=0,得2|x|=2-x.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2|x|与函数y=2-x的图象,如图,图象有2个公共点,即方程2|x|+x-2=0有2个实数解,也就是函数有2个零点.9.已知函数f(x)=x2-mx+a-m对任意的实数m恒有零点,求实数a的取值范围.x2-mx+a-m=0,因为函数f(x)对任意的实数m恒有零点,故不论m取何值,方程x2-mx+a-m=0恒有解,即Δ=(-m)2-4(a-m)≥0,即a≤+m对任意的实数m恒成立.∵+m=(m+2)2-1≥-1,∴a≤-1.∴实数a的取值范围是(-∞,-1].能力提升练1.(多选题)下列函数没有零点的是()A.y=a x(a>0,且a≠1)B.y=log a(x2+1)(a>0,且a≠1)C.y=(x≠0)D.y=x2+x+1(x∈R)A选项中函数无零点;令y=log a(x2+1)=0,解得x=0,故B选项中函数有零点;由幂函数的性质知y=没有零点;令x2+x+1=0,得Δ=1-4<0,所以y=x2+x+1无零点.2.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系可能是()A.a<α<b<βB.a<α<β<bC.α<a<b<βD.α<a<β<bα,β是函数f(x)的两个零点,∴f(α)=f(β)=0.又f(a)=f(b)=-2<0,结合二次函数的图象(如图所示)可知a,b必在α,β之间.故选C.3.若函数f(x)=x2--1在区间(k,k+1)(k∈N)内有零点,则k=()A.1B.2C.3D.4k∈N,所以k≥0,y=x2和y=--1在(k,k+1)上都单调递增,因此函数f(x)=x2--1在(0,+∞)上单调递增.f(1)=-1,f(2)=4--1>0.故由f(1)·f(2)<0知函数f(x)=x2--1的零点在区间(1,2)上,所以k=1.4.若方程x lg(x+2)=1的实数根在区间(k,k+1)(k∈Z)内,则k等于()A.-2B.1C.-2或1D.0,x≠0,则原方程即为lg(x+2)=,在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg(x+2)与y=的图象,如图所示.由图象可知,原方程有两个解,一个在区间(-2,-1)内,一个在区间(1,2)内,所以k=-2或k=1.故选C.5.已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则()A.f(x1)<0,f(x2)<0B.f(x1)<0,f(x2)>0C.f(x1)>0,f(x2)<0D.f(x1)>0,f(x2)>0设y1=2x,y2=,在同一直角坐标系中作出其图象,如图所示,在区间(1,x0)内函数y2=的图象在函数y1=2x 图象的上方,即,所以<0,即f(x1)<0,同理f(x2)>0.6.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是.y=3x,y=log3x,y=-x,y=-2的图象,如图所示.观察图象可知,函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次是点A,B,C的横坐标,由图象可知a<b<c.7.若关于x的方程|x2-2x-2|-m=0有3个不相等的实数解,则实数m的值为.令f(x)=|x2-2x-2|,则由题意可得函数y=f(x)与函数y=m的图象有3个公共点.画出函数f(x)=|x2-2x-2|的图象如图所示,结合图象可知,要使两函数的图象有3个公共点,则m=3.素养培优练若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[-1,0]时,f(x)=-x2+1,如果函数g(x)=f(x)-a|x|恰有8个零点,则实数a的值为.f(x+1)=f(x-1),则f(x)=f(x-2),故函数f(x)为周期为2的周期函数.∵函数g(x)=f(x)-a|x|恰有8个零点,∴f(x)-a|x|=0在(-∞,0)上有四个解,即f(x)的图象与直线y=a|x|在(-∞,0)上有4个公共点.又当x∈[-1,0]时,f(x)=-x2+1,∴当直线y=-ax与y=-(x+4)2+1相切时,即可在(-∞,0)上有4个公共点,∴x2+(8-a)x+15=0.∴Δ=(8-a)2-60=0.∵a>0,∴a=8-2.-2莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
北师大版高中数学必修第一册 第五章综合测试01试题试卷含答案 答案在前
第五章综合测试 答案解析一、 1.【答案】C【解析】由于函数()1f x x=中，对任意自变量x 的值，均有10x ≠，故该函数不存在零点.2.【答案】B【解析】设函数()()ln 40f x x x x =+−＞，故()f x 是()0+∞，上的单调递增函数.因为()()()()23ln 22ln310f f ⨯=−⨯−＜，故函数()f x 在区间()23，上有零点，即方程ln 40x x +−=在区间()23，上有实根，故选B . 3.【答案】B【解析】如上图，在同一坐标系中作出1y x=与ln y x =的图象： 可知()1ln f x x x=−只有一个零点. 4.【答案】D【解析】设该家具的进货价是x 元，由题意得()132110%10%x x −−=，解得108x =元. 5.【答案】C【解析】由于()3202f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜，则0322x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，. 6.【答案】C【解析】只需()()010f f ＜即可，即解得112a ＜＜，∴选C . 7.【答案】D【解析】令21268y x x y k =−+=，，由题意函数()f x 只有两个零点，即这两个函数图象只有两个交点，利用数形结合思想，作出两函数图象（如下图），可得选D .8.【答案】C【解析】依题意2x =−是2y x bx c =++的对称轴，()4.222b f c =−=−=∴∵，∴，故()242020x x x f x x ⎧++=⎨⎩≤，＞，令()f x x =，解得122x =−−，，，∴方程()f x x =的解的个数为3.选C .二、9.【答案】BC【解析】由题意可得，函数在[]02，内有零点，在(]216，内无零点，故选BC . 10.【答案】ABC【解析】由图象可得，骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时，A 正确；骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，B 正确；骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者，C 正确；骑自行车者实际骑行的时间为5小时，D 错误.故选ABC . 11.【答案】BD【解析】买小包装时每克费用为3100元，买大包装时每克费用为8.4 2.8300100=（元），3 2.8100100＞，所以买大包装实惠.卖3小包的利润为()33 1.80.5 2.1⨯−−=（元），卖1大包的利润是8.4 1.830.7 2.3−⨯−=（元），2.3 2.1＞，所以卖1大包比卖3小包盈利多.因此BD 正确，故选BD .12.【答案】BC【解析】函数()()g x f x x m =+−的零点就是方程()f x x m +=的根，作出()020x x x h x x x ⎧=⎨+⎩，≤，＞的图象，如下图所示，观察它与直线y m =的交点，得知当0m ≤或1m ＞时有交点，即函数()()g x f x x m =+−有零点的实数m 的取值范围是()()01−∞+∞，，.故选BC . 三、13.【答案】1或3【解析】()()222214301f x x x x x −=−−=−+==，或3x =. 14.【答案】6 ()320206tt −≥ 【解析】从题表中数据易知半衰期为6个单位时间，初始质量为0320A =，则经过时间t 的剩余质量为()()01320201262tt A t A t T ⎛⎫==− ⎪⎝⎭≥.15.【答案】2 【解析】分别画出2122y x =−与lg y x =的图象，有2个交点. 16.【答案】514⎡⎤−⎢⎥⎣⎦， 【解析】依题意2215124m x x x ⎛⎫=−−=−− ⎪⎝⎭，当12x =时，m 的最小值为54−；当1x =−时，m 的最大值为1.所以514m ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，. 四、17.【答案】函数()f x ax b =−的一个零点是3.()30f =∴，即()2333b a g x ax ax ==+，，令()0g x =得0x =或1x =−，()g x ∴的零点是0x =或1x =−.18.【答案】设每件棉衣日租金提高x 个5元，即提高5x 元，则每天棉衣减少出租6x 件，又设棉衣日租金的总收入为y 元.()()5051206y x x =+⨯−∴，()23056750y x =−−+∴∴当5x =时，max 6750y =，这时每件棉衣日租金为()5050505575x +=+⨯=元，∴棉衣日租金提到75元时，棉衣日租金的总收入最高，最高为6750元.19.【答案】（1）当4m =−时，()0f x =，即()22810f x x x =−−=. 可以求出()()1917f f −==−，，则()()110f f −＜. 又()f x 为R 上的连续函数，()0f x =∴在()11−，内必有根存在.取中点0，计算得()()()010100f f f =−−＜，＜，()010x ∈−∴，，取其中点12−，计算得17022f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭＞， 0102x ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭∴，，取其中点14−，计算得19048f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭＞，0104x ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭∴，，取其中点18−，计算得110832f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭＞. 0108x ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭∴，，又0100.28x −−＜，∴存在的区间为108⎛⎫− ⎪⎝⎭，.（2）∵函数()2283f x x x m =−++的对称轴为2x =.∴函数()f x 在[]11−，内存在零点的条件为()()1010f f ⎧−⎪⎨⎪⎩≥≤，即13030m m +⎧⎨−⎩≥≤，解得133m −≤≤. m ∴的取值范围是[]133−，. 20.【答案】（1）证明：当7x ≥时，()()()()0.4134f x f x x x +−=−−，设()()()()()()0.43434g x h x x x x x ==−−−−，，易知()h x 的图象是抛物线的一部分，在[)7+∞，上单调递增，故()g x 在[)7+∞，上单调递减， 所以当7x ≥时，掌握程度的增长量()()1f x f x +−总是下降的. （2）由()60.85f =，可知0.115ln0.856aa +=−， 整理得0.056a e a =−，解得0.050.0561231e a e =≈−.又(]123121127∈，，所以该学科是乙学科. 21.【答案】（1）()f x ∵是R 上的奇函数，()00f =∴. 设0x ＜，则0x −＞，()21log 2f x x ⎛⎫−=−+ ⎪⎝⎭∴，()()f x f x −=−∵，()()21log 2f x f x x ⎛⎫=−−=−−+ ⎪⎝⎭∴，所以()f x 的解析式为()221log 02001log 02x x f x x x x ⎧⎛⎫−−+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩，＜，，＞. （2）画出函数()y f x =的图象如下图：由图可得{}11m M m m =≥，∴≥.22.【答案】（1）由题意可得225xy x −=25x y +=，25x y x x +∵＞，∴，解得405x ＜＜.y ∴关于x 的解析式为24505x y x +=＜＜. （2）设正十字形的外接圆的直径为d ，由图可知22222222555555442x x d x y x x +=+=+=+++⎝⎭≥，当且仅当511x y +==，d 5510252++=，则半径的，∴正十字形的外接圆面积的最小值为258π+⨯=⎝⎭.第五章综合测试第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列函数中没有零点的是（ ）A .()2log 7f x x =−B .()1f x =C .()1f x x=D .()2f x x x =+2.方程ln 40x x +−=的实根所在的区间为（ ）A .()12，B .()23，C .()34，D .()45，3.函数()1ln f x x x=−的零点个数为（ ） A .0B .1C .2D .34.某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是（ ） A .118元B .105元C .106元D .108元5.用二分法求方程()0f x =在区间()12，内的唯一实数解0x 时，经计算得()()312592f f f ⎛⎫==−= ⎪⎝⎭，，则下列结论正确的是（ ）A .0312x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，B .032x =−C .0322x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，D .01x =6.关于x 的方程10ax a +−=在()01，）内有实根，则实数a 的取值范围是（ ） A .1a ＞B .12a ＜C .112a ＜＜D .12a ＜或1a ＞7.函数()268f x x x k =−+−只有两个零点，则（ ） A .0k =B .1k ＞C .01k ≤＜D .1k ＞或0k =8.设函数()2020x bx c x f x x ⎧++=⎨⎩，≤，＞，若()()()4022f f f −=−=−，，则关于x 的方程()f x x =的解的个数为（ ） A .1B .2C .3D .4二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.若函数()f x 唯一的一个零点同时在区间[]016，，[]08，，[]04，，[]02，内，那么下列说法中正确的是（ ） A .函数()f x 在区间[]01，内有零点B .函数()f x 在区间[]01，或[]12，内有零点 C .函数()f x 在区间(]216，内无零点 D .函数()f x 在区间[]116，内无零点 10.如下图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km 的两城镇间旅行的函数图象.根据这个函数图象，关于这两个旅行者的信息正确的是（ ）A .骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时B .骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动C .骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者D .骑自行车者实际骑行的时间为6小时11.已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元.某食品加工厂对饼干采用两种包装，包装费用、销售价格如下表所示：型号 小包装 大包装 重量 100克 300克 包装费用 0.5元 0.7元 销售价格3.00元8.40元则下列说法中正确的是（ ） A .买小包装实惠B .买大包装实惠C .卖3小包比卖1大包盈利多D .卖1大包比卖3小包盈利多12.已知函数()0020x x f x x ⎧=⎨⎩，≤，，＞，则使函数()()g x f x x m =+−有零点的实数m 的取值范围可以是（ ）A .[)2+∞，B .()1+∞，C .(]0−∞，D .(]1−∞，第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13.已知函数()21f x x =−，则函数()2f x −的零点是________.14.放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化.常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为1T.现测得某种放射性元素的剩余质量A 随时间t 变化的6组数据如下：从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为()A t =________. 15.方程21lg 22x x −=的实数根的个数为________. 16.若关于x 的方程()210x x m −−+=在[]11−，上有解，则m 的取值范围是________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）若函数()()0f x ax b b =−≠有一个零点3，求函数()23g x bx ax =+的零点.18.（本小题满分12分）在泰山早晨观日出气温较低，为方便游客，一家旅馆备有120件棉衣提供出租，每件日租金50元，每天都客满.五一假期即将来临，该旅馆准备提高租金.经调查，如果每件的日租金每增加5元，则每天出租会减少6件，不考虑其他因素，棉衣日租金提到多少元时，棉衣日租金的总收入最高？19.（本小题满分12分）已知函数()2283f x x x m =−++为R 上的连续函数.（1）若4m =−，试判断()0f x =在()11−，内是否有根存在？若没有，请说明理由；若有，请在精确度为0.2（即根所在区间长度小于0.2）的条件下，用二分法求出使这个根0x 存在的区间.（2）若函数()f x 在区间[]11−，内存在零点，求实数m 的取值范围.20.（本小题满分12分）有时可用函数()0.115ln 64.464a x a x f x x x x ⎧+⎪⎪−=⎨−⎪⎪−⎩，≤，＞，描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数()()*x N f x ∈，表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关.（1）证明：当7x ≥时，掌握程度的增长量()()1f x f x +−总是下降的；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(](](]115121121127127133，，，，，.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科（参考数据：0.05 1.0512e ≈）.21.（本小题满分12分）已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且0x ＞时，()21log 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的解析式；（2）若()()(){}M m g x f x m m R ==−∈函数有两个零点，求集合M .高中数学 必修第一册 5 / 5 22.（本小题满分12分）如上图，将宽和长都分别为()x y x y ，＜5.（注：正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上，且两矩形长所在的直线互相垂直的图形.）（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当x y ，取何值时，该正十字形的外接圆面积最小？并求出其最小值.。
高中数学北师大版(新)必修第一册 第五章 函数应用 学案 利用函数性质判定方程解的存在性
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性——读教材·知识梳理——[情境导入]路边有一条河，小明从A 点走到了B 点．观察下列两幅图．[问题] 推断哪一幅能说明小明一定曾渡过河？[新知初探]知识点一 函数的零点 1．函数的零点使得f (x 0)＝0的数x 0称为方程f (x )＝0的解，也称为函数f (x )的零点．f (x )的零点就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的 ．2．函数的零点、函数的图象与x 轴的交点、对应方程的根的关系：[点一点]1．函数的零点是实数，而不是点．如函数f (x )＝x ＋1的零点是－1，而不是(－1，0)． 2．并不是所有的函数都有零点，如函数f (x )＝1x ，y ＝x 2＋1均没有零点．3．若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内．[做一做]1．函数f (x )＝log 2x 的零点是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．函数f (x )＝(x －1)(x 2＋3x －10)的零点有______个． 知识点二 函数零点存在定理若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上的图象是一条 的曲线，并且在区间端点的函数值 ，即f (a )·f (b ) 0，则在开区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )至少有 个零点，即在区间(a ，b )内相应的方程f (x )＝0至少有 个解．[做一做]1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，f (a )·f (b )<0时，能否判断函数在区间(a ，b )上的零点个数？2．函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点，是不是一定有f (a )·f (b )<0?[做一做]1．函数f (x )＝x 3－x ＋1的零点所在的区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1) D ．(1，2)【答案】A2．若函数y ＝ax 2－x －1只有一个零点，则实数a ＝________．——研教材·典例精析——题型一 求函数的零点[例1] (1)求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点；(2)已知函数f (x )＝ax －b (a ≠0)的零点为3，求函数g (x )＝bx 2＋ax 的零点．[通性通法] 函数零点的求法(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f (x )＝0，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来．图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．[跟踪训练]1．函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是( ) A ．－12，－1B ．12，1C ．12，－1D ．－12，12．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1，－1<x <2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为________．题型二 函数零点个数问题 角度一 判断函数零点个数[例2] 求函数f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2的零点个数．[通性通法]判断函数零点个数的4种常用方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点；(2)画出函数y ＝f (x )的图象，判定它与x 轴的交点个数，从而判定零点的个数； (3)结合单调性，利用零点存在定理，可判定y ＝f (x )在(a ，b )上零点的个数； (4)转化成两个函数图象的交点问题．角度二 根据零点个数求参数范围[例3] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋a ，x ≤0，3x －1，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，0) C ．(－1，0)D ．[－1，0) [通性通法]已知函数有零点(方根有根)求参数范围的常用方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．[跟踪训练]若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0，ln x ，x >0，有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．题型三 方程在某区间内解的情况问题例4 求证：方程3x ＝2－xx ＋1在区间(0，1)内必有一个实数根．[通性通法]判断方程在区间内解的存在性问题的常用方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上； (2)利用零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点；(3)数形结合法：通过画函数图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．[提醒] 函数零点存在定理是不可逆的，f (a )·f (b )<0⇒函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，但是函数y ＝f (x )在(a ，b )内有零点，不一定能推出f (a )·f (b )<0.[跟踪训练]1．方程2x －2x －a ＝0的一个解在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2)2．方程ln x ＋x －3＝0在区间(2，3)内有没有解？为什么？[随堂检测]1．(多选)下列图象表示的函数中有两个零点的有( )2．根据表格中的数据可以判定方程ln x －x ＋2＝0的一个根所在的区间为( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(4，5)3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x <2，f （x －2），x ≥2，g (x )＝3－12x ，则方程f (x )＝g (x )的解的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．54．若方程|lg x |－⎝⎛⎭⎫13x＋a ＝0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫13，＋∞ B ．⎝⎛⎭⎫－∞，13 C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)5．若方程x 2＋(m －2)x ＋1＝0的两个根分别在区间(0，1)和(1，2)之内，则实数m 的取值范围为________．参考答案——读教材·知识梳理——[新知初探]知识点一 函数的零点 1．横坐标[做一做]1．【答案】A 2．【答案】3知识点二 函数零点存在定理 连续 一正一负 < 一 一[做一做]1．提示：只能判断有无零点，不能判断零点的个数．2．提示：不一定，如f (x )＝x 2在区间(－1，1)上有零点0，但是f (－1)f (1)＝1×1＝1>0.[做一做]1．【答案】A【解析】f (－2)＝－5，f (－1)＝1，f (0)＝1，f (1)＝1，f (2)＝7.因为f (－2)·f (－1)<0，f (－1)·f (0)>0，f (0)·f (1)>0，f (1)·f (2)>0，所以函数f (x )＝x 3－x ＋1的零点所在的区间是(－2，－1)，故选A. 2．【答案】0或－14【解析】当a ＝0时，令y ＝－x －1＝0，解得x ＝－1，符合题意；当a ≠0时，函数y ＝ax 2－x －1为二次函数，因为函数y ＝ax 2－x －1只有一个零点， 所以Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14，符合题意．故实数a ＝0或－14.——研教材·典例精析——题型一 求函数的零点[例1] 解：(1)当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3； 当x >0时，令－2＋ln x ＝0，解得x ＝e 2.所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点为－3和e 2.(2)由已知得f (3)＝0，即3a －b ＝0，则b ＝3a ， 故g (x )＝3ax 2＋ax ＝ax (3x ＋1)．令g (x )＝0，即ax (3x ＋1)＝0， 解得x ＝0或x ＝－13.所以函数g (x )＝bx 2＋ax 的零点为0和－13.[跟踪训练]1．【答案】B【解析】方程2x 2－3x ＋1＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝12，所以函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是12，1.2．【答案】1＋2，1【解析】求g (x )的零点即求f (x )＝x 的根，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2或x ≤－1，x 2－x －1＝x 或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，1＝x ， 解得x ＝1＋2或x ＝1. ∴g (x )的零点为1＋2，1. 题型二 函数零点个数问题 角度一 判断函数零点个数[例2] 解：法一：∵f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋lg 2－2>0，∴f (x )在(0，1)上必定存在零点．又显然f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数． 故函数f (x )有且只有一个零点．法二：在同一坐标系下作出h (x )＝2－2x 和g (x )＝lg(x ＋1)的草图．由图象知g (x )＝lg(x ＋1)的图象和h (x )＝2－2x 图象有且只有一个交点，即f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2有且只有一个零点．角度二 根据零点个数求参数范围 [例3] 【答案】D【解析】当x >0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13.因此当x ≤0时，f (x )＝e x ＋a ＝0只有一个实根， ∴a ＝－e x (x ≤0)，则－1≤a <0.[跟踪训练]【答案】(0，1]【解析】当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点， 则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点， 令f (x )＝0得a ＝2x ，因为0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1， 所以实数a 的取值范围是(0，1]． 题型三 方程在某区间内解的情况问题例4 证明：设函数f (x )＝3x －2－x x ＋1＝3x －3x ＋1＋1，则函数f (x )在(0，1)上单调递增．而f (0)＝30－2＝－1<0，f (1)＝31－12＝52>0，f (0)·f (1)<0，因为函数f (x )在区间(0，1)内的图象是一条连续曲线，所以由零点存在定理可知函数f (x )在区间(0，1)内有零点，且只有一个． 所以方程3x ＝2－xx ＋1在区间(0，1)内必有一个实数根．[跟踪训练]1．【答案】C【解析】设函数f (x )＝2x －2x －a ，易知函数f (x )＝2x －2x－a 在区间(1，2)内是增函数，又方程2x－2x －a ＝0的一个解在区间(1，2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝2－2－a <0，f （2）＝22－1－a >0，解得0<a <3.故选C.2．解：设函数f (x )＝ln x ＋x －3，因为f (2)＝ln 2＋2－3＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3＋3－3＝ln 3>0，且f (x )的图象是一条连续的曲线，所以由零点存在定理可知方程f (x )＝0在区间(2，3)内有解，即方程ln x ＋x －3＝0在区间(2，3)内有解．[随堂检测]1．【答案】CD【解析】有两个零点就是函数图象与x 轴有两个交点，故选C 、D. 2．【答案】C【解析】设f (x )＝ln x －x ＋2＝ln x －(x －2)，易知函数f (x )在(1，＋∞)上的图象连续， 由表格数据得f (3)＝ln 3－(3－2)＝1.099－1＝0.099>0，f (4)＝ln 4－2＝1.386－2<0， f (1)>0，f (2)>0，f (5)<0，则f (3)·f (4)<0，即在区间(3，4)上，函数f (x )存在一个零点， 即方程ln x －x ＋2＝0的一个根所在的区间为(3，4)，故选C. 3．【答案】C【解析】因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x <2，f （x －2），x ≥2，当x <2时，f (x )＝2x －1是增函数，且f (x )<3，g (x )＝3－12x 是R 上的减函数，经过点(0，3)和(6，0)．又因为当x ≥2时，f (x )＝f (x －2)，所以f (x )在[2，4)，[4，6)，[6，8)，…上的图象与[0，2)上的图象相同，f (x )与g (x )的图象如图所示，共有4个交点，所以方程f (x )＝g (x )共有4个解． 故选C.4．【答案】B【解析】因为|lg x |－⎝⎛⎭⎫13x＋a ＝0有两个不相等的实数根⇔函数y ＝|lg x |与函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x－a 的图象有两个不同的交点，在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，如图． 要使两个函数的图象有两个交点， 必须有⎝⎛⎭⎫131－a >0，解得a <13.5．【答案】⎝⎛⎭⎫－12，0 【解析】∵方程x 2＋(m －2)x ＋1＝0的两个零点分别在区间(0，1)和(1，2)之内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （1）<0，f （2）>0，即⎩⎨⎧1>0，1＋m －2＋1<0，4＋2（m －2）＋1>0，解得－12<m <0.。
北师版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第五章 本章总结提升
882
10 +
-100
在区间[2,10]上是减函数,
∴g(p)max=g(2)=800,故当 p=2 时,厂家销售金额最大.
变式训练4
某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计
规律:每生产产品x(单位:百台),其总成本为G(x)(单位:万元),其中固定成本
为2.8万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产
(3)工厂生产多少台产品时,可使盈利最多?
解(1)由题意得G(x)=2.8+x.
-0.4 2 + 3.2-2.8,0 ≤ ≤ 5,
∴f(x)=R(x)-G(x)=
8.2-, > 5.
(2)①当0≤x≤5时,由-0.4x2+3.2x-2.8>0得x2-8x+7<0,解得1<x<7,
∴1<x≤5.
0.22
(1.25,1.375)
1.312 5
-0.05
(1.312 5,1.375)
1.343 75
0.08
因为|1.375-1.312 5|=0.062 5<0.1,
所以函数的一个近似零点为x=1.312 5.
变式训练2
用二分法求方程x2-5=0的一个近似正解(精确度为0.1).
解令f(x)=x2-5,
-( + 2) > 0,
(0) > 0,
故需满足 (1) < 0, 即 7-(13 + )-( + 2) < 0,
(2) > 0,
28-2(13 + )-( + 2) > 0,
解得-4<m<-2.
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第五章 函数应用单元整合1.☉%￥6*@702#%☉(2020·衡水中学月考)函数f (x )=e -x+4x -3的零点所在的区间为( )。
A.(-14,0) B.(0,14) C.(14,12) D.(12,34) 答案：D解析：因为f (x )=e -x+4x -3,所以f (-14)=e 14-1-3<0,f (0)=-2<0,f (14)=e -14+1-3=e -14-2<0,f (12)=e -12+2-3=e -12-1<0,f (34)=e -34+3-3=e -34>0,故f (-14)f (0)>0,排除A ;f (0)f (14)>0,排除B ;f (14)·f (12)>0,排除C ;f (12)f (34)<0,D 正确。
故选D 。
2.☉%#*6@￥335%☉(2020·雅礼中学期末)下列函数图像中(如图5-3),能用二分法求函数零点的是( )。
图5-3答案：D解析：由题意以及零点判定定理可知,只有选项D 能够应用二分法求解函数的零点。
故选D 。
3.☉%@91*￥5￥6%☉(2020·黄冈中学高一期中)函数f (x )=2x -1+log 2x 的零点所在区间是( )。
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)解析：根据对数的运算性质,可得当x→0时,f(x)→-∞,且f(1)=1>0,∴f(0)·f(1)<0,根据零点存在定理,可得函数f(x)的零点所在区间是(0,1)。
故选A。
4.☉%5￥4￥#0@1%☉(2020·武汉二中高一期末)函数f(x)=ln x+2x-3的零点所在的区间是()。
A.(0,1)B.(2,3)C.(1,2)D.(3,4)答案：C解析：因为f(x)=ln x+2x-3单调递增,且f(1)=0+2-3=-1<0,f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0,所以f(x)的零点所在的区间是(1,2)。
故选C。
5.☉%￥8￥#3*13%☉(2020·宜林中学模拟)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数h(x)=f(x)-log3|x|的零点个数是()。
A.6B.8C.2D.4答案：D解析：∵定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),∴满足f(x+2)=f(x),故函数f(x)的周期为2。
又当x∈[0,1]时,f(x)=x,故当x∈[-1,0]时,f(x)=-x。
函数h(x)=f(x)-log3|x|的零点的个数等于函数y=f(x)的图像与函数y=log3|x|的图像的交点个数。
在同一坐标系中画出函数y=f(x)的图像与函数y=log3|x|的图像如图。
显然函数y=f(x)的图像与函数y=log3|x|的图像有4个交点。
故选D。
6.☉%5#6￥#3*2%☉(2020·郑州一中期中)某企业2018年全年投入研发资金150万元,为激励创新,该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%,则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1.08≈0.033,lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)()。
A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年解析：设该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份为n ,则150×(1+8%)n -2 018>200,则n >2018+2lg2-lg3lg1.08≈2 018+0.602-0.4770.033≈2 021.8,取n =2 022。
故选C 。
7.☉%@07@8*7￥%☉(2020·六安一中期中)设f (x )是定义在R 上的偶函数,对任意的x ∈R ,都有f (2-x )=f (2+x ),且当x ∈[-2,0]时,f (x )=(12)x-1,若关于x 的方程f (x )-log a (x +2)=0(a >1)在区间(-2,6]内恰有3个不同实根,则实数a 的取值范围是( )。
A.(√34,√84) B.(√43,2) C.(√34,2) D.(√43,1) 答案：B解析：因为f (x )为偶函数,故f (2-x )=f (x -2),所以f (x +2)=f (x -2),所以f (x )的周期为4,因为x ∈[-2,0]时,f (x )=(12)x-1,所以f (x )在(-2,6]上的图像如图。
因为f (x )-log a (x +2)=0有3个不同的解,所以f (x )的图像与y =log a (x +2)的图像有3个不同的交点,故{f (2)>log a (2+2),f (6)<log a (6+2),即{3>log a 4,3<log a 8,解得413<a <2。
故选B 。
8.☉%8*9@7￥1#%☉(2020·成都七中高一期中)已知函数f (x )(对应的曲线连续不断)在区间[0,2]上的部分对应值如下表:由此可判断:当精确度为0.1时,方程f (x )=0的一个近似解为 。
(精确到0.01) 答案：1.41(答案不唯一)解析：由所给的表格可以看出,x =1.406与x =1.431对应的函数值的符号不同,即f (1.406)·f (1.431)<0,∴函数的零点在(1.406,1.431)上,故当精确度为0.1时,方程f (x )=0的一个近似解为1.41。
9.☉%@#7￥23@9%☉(2020·黄冈中学期末)已知函数f (x )=x 2+ax +1(a >0)。
(1)若f (x )的值域为[0,+∞),求关于x 的方程f (x )=4的解;答案：解:因为f (x )的值域为[0,+∞),所以f (x )min =f (-a 2)=14a 2-12a 2+1=0。
因为a >0,所以a =2,则f (x )=x 2+2x +1。
因为f (x )=4,所以x 2+2x +1=4,即x 2+2x -3=0,解得x =-3或x =1。
(2)当a =2时,函数g (x )=[f (x )]2-2mf (x )+m 2-1在[-2,1]上有三个零点,求m 的取值范围。
答案：g (x )=[f (x )]2-2mf (x )+m 2-1在[-2,1]上有三个零点等价于方程[f (x )]2-2mf (x )+m 2-1=0在[-2,1]上有三个不同的实根。
因为[f (x )]2-2mf (x )+m 2-1=0,所以f (x )=m +1或f (x )=m -1。
由(1)知f (x )=x 2+2x +1。
结合f (x )在[-2,1]上的图像可知,要使方程[f (x )]2-2mf (x )+m 2-1=0在[-2,1]上有三个不同的根,则f (x )=m +1在[-2,1]上有一个实数根,f (x )=m -1在[-2,1]上有两个不等实数根,即{1<m +1≤4,0<m -1≤1,解得1<m ≤2。
故m 的取值范围为(1,2]。
10.☉%#6555#@￥%☉(2020·武汉外国语学校高一期末)已知函数f (x )=ax 2-4x +2,函数g (x )=(13)f (x )。
(1)若函数f (x )在(-∞,2]和[2,+∞)上单调性相反,求f (x )的解析式;答案：解:由单调性知,函数f (x )=ax 2-4x +2为二次函数,其对称轴为直线x =--42a=2,解得a =1,∴f (x )=x 2-4x +2。
(2)若a <0,不等式g (x )≤9在x ∈(0,12]上恒成立,求a 的取值范围; 答案：依题意得(13)f (x )≤9=(13)-2,即(13)ax 2-4x+2≤(13)-2在x ∈(0,12]上恒成立,转化为ax 2-4x +2≥-2在x ∈(0,12]上恒成立,即ax 2-4x +4≥0在x ∈(0,12]上恒成立,转化为a ≥4x -4x 2=4x -4x2在x ∈(0,12]上恒成立,令1x=t (t ≥2),则转化为a ≥4t -4t 2在t ∈[2,+∞)上恒成立,即a ≥(4t -4t 2)max ,∴a ≥-8,∴-8≤a <0。
(3)已知a ≤1,若函数y =f (x )-log 2x 8在区间[1,2]内有且只有一个零点,试确定实数a 的范围。
答案：∵y =f (x )-log 2x8=ax 2-4x +5-log 2x ,设r (x )=ax 2-4x +5,s (x )=log 2 x ,x ∈[1,2],则原命题等价于两个函数r (x )与s (x )的图像在区间[1,2]内有唯一交点。
当a =0时,r (x )=-4x +5在[1,2]内为减函数,s (x )=log 2x ,x ∈[1,2]为增函数,且r (1)=1>s (1)=0,r (2)=-3<s (2)=1,∴两函数图像在区间[1,2]上有唯一交点;当a <0时,r (x )图像开口向下,对称轴为直线x =2a<0,∴r (x )在[1,2]内为减函数,s (x )=log 2 x ,x ∈[1,2]为增函数,且{r (1)≥s (1),r (2)≤s (2)⇒{a +1≥0,4a -3≤1⇒-1≤a ≤1,∴-1≤a <0。
当0<a ≤1时,r (x )的图像开口向上,对称轴为直线x =2a ≥2,∴r (x )在[1,2]内为减函数,s (x )=log 2x ,x ∈[1,2]为增函数,则由{r (1)≥s (1),r (2)≤s (2)⇒{a +1≥0,4a -3≤1⇒-1≤a ≤1,∴0<a≤1。
综上,a 的取值范围为[-1,1]。
11.☉%**18*92*%☉(2020·南京外国语学校高一期中)通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间一段时间,学生保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设f (t )表示学生注意力随时间t (min )的变化规律(f (t )越大,表明学生注意力越集中),经实验分析得知:f (t )={-t 2+24t +100(0<t ≤10),240(10<t ≤20),-7t +380(20<t ≤40)。
(1)讲课开始多少分钟,学生的注意力最集中?能持续多少分钟?答案：解:当0<t ≤10时,f (t )=-t 2+24t +100是增函数,当20<t ≤40时,f (t )=-7t +380是减函数,且f (10)=f (20)=240,所以讲课开始10 min ,学生的注意力最集中,能持续10 min 。