高数函数与极限习题ppt课件
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《高数》数列极限课件PPT
定义与其他概念的关系
极限与连续性的关系
函数的连续性是指在某一点处的极限 值等于该点的函数值，因此，函数的 连续性可以看作是极限的一种特殊情 况。
极限与可导性的关系
极限与积分的关系
积分是研究面积和体积的重要工具， 而积分的计算需要用到极限的概念。
可导性是指函数在某一点处的切线斜 率存在，而这个切线斜率可以通过函 数在该点的极限值来定义。
数列极限与其他数学概念的关系
数列极限与函数极限的关 系
函数极限是数列极限的一个特例，即当自变 量n趋于无穷大时，函数值趋于一个常数， 这个常数就是函数的极限值。函数极限和数 列极限有许多共同的性质和定理，如单侧极 限、连续性等。
数列极限与微积分学
微积分学中的许多概念都与数列极限有关， 如导数、定积分等。通过数列极限，我们可 以更好地理解这些概念的本质和性质。同时 ，微积分学中的许多问题也需要借助数列极
04
数列极限的应用
在数学分析中的应用
极限是数学分析的基本概念之一，数列极限在数学分析中有 着广泛的应用。通过研究数列极限，可以更好地理解函数的 变化趋势、导数和积分的定义和性质等。
数列极限在证明一些数学定理和推导数学公式中也有着重要 的作用。例如，利用数列极限可以证明实数的完备性定理、 级数收敛的判别法等。
数列极限的几何解释
数列极限的几何解释是通过图形直观 地理解数列收敛和发散的概念。在平 面坐标系中，我们可以绘制数列的图 像，通过观察图像的变化趋势来理解 数列的收敛性和发散性。
收敛数列的图像会趋近于一个固定的 点，而发散数列的图像则会远离这个 点。通过比较不同数列的图像，我们 可以更好地理解数列极限的性质和特 点。
闭区间套定理
总结词
闭区间套定理是数列极限存在的一个充分条件，它表明如果一个数列的项构成一个闭区 间套，则该数列收敛。
大学高数第一章函数和极限ppt课件
16
幂函数图像（a 0时）
17
幂函数图像（a 0时）
18
指数函数基本性质
解析式: y ax (a>0，且a 1) 基本特征:定义域为实数集R，值域为(0,+∞)，函数 图像必经过点(0,1)
19
对数函数基本性质
解析式: y loga x(a 0,且a 1)
基本特征:定义域为(0,+∞)，值域为实数集R，图像
例如函数 y x2 在 (, 0) 上单调递减， 在 (0, ) 上单调递增
7
3.函数的奇偶性
如函数 y f (x) 的定义域 D 关于原点对称，且对于任意 xD ，均有： f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是偶函数； 若是 f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是奇函数；
x x0
x x0
lim | x | lim x 1，
x
x x0
x x0
左右极限不相等，所以， lim | x | 不存在. x0 x
也可以从函数的图像上明确地看出该函数的极限不存在
32
例 证明 lim | x | 0 x 0
证：因为 lim | x | lim (x) 0 ，
x0
x0
{x
|
x
2
k
,
k
Z } ,余
切函数定义域为 {x | x k , k Z} ，二者周期T均为
，值域均为(- ∞,+ ∞) ,互为倒数。
22
正切、余切函数基本图像
正切函数图像片段
23
余切函数有限次四则运算和有限 次函数复合所构成的只能用一个解析式表示的函数， 称为初等函数。 例如： y lg x 、y x tan x sin(1 ex )
幂函数图像（a 0时）
17
幂函数图像（a 0时）
18
指数函数基本性质
解析式: y ax (a>0，且a 1) 基本特征:定义域为实数集R，值域为(0,+∞)，函数 图像必经过点(0,1)
19
对数函数基本性质
解析式: y loga x(a 0,且a 1)
基本特征:定义域为(0,+∞)，值域为实数集R，图像
例如函数 y x2 在 (, 0) 上单调递减， 在 (0, ) 上单调递增
7
3.函数的奇偶性
如函数 y f (x) 的定义域 D 关于原点对称，且对于任意 xD ，均有： f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是偶函数； 若是 f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是奇函数；
x x0
x x0
lim | x | lim x 1，
x
x x0
x x0
左右极限不相等，所以， lim | x | 不存在. x0 x
也可以从函数的图像上明确地看出该函数的极限不存在
32
例 证明 lim | x | 0 x 0
证：因为 lim | x | lim (x) 0 ，
x0
x0
{x
|
x
2
k
,
k
Z } ,余
切函数定义域为 {x | x k , k Z} ，二者周期T均为
，值域均为(- ∞,+ ∞) ,互为倒数。
22
正切、余切函数基本图像
正切函数图像片段
23
余切函数有限次四则运算和有限 次函数复合所构成的只能用一个解析式表示的函数， 称为初等函数。 例如： y lg x 、y x tan x sin(1 ex )
《高等数学极限》课件
THANK YOU
无穷级数与无穷积分的收敛性
总结词
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。收敛性的判 定是高等数学中的一个重要问题，需要用到多种数学 方法和技巧。
详细描述
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。如果一个无 穷级数或无穷积分是收敛的，那么它的和就是有限的 ，否则就是发散的。收敛性的判定是高等数学中的一 个重要问题，需要用到多种数学方法和技巧，如比较 判别法、柯西判别法、阿贝尔判别法等。对于不同的 级数和积分，需要采用不同的方法和技巧进行收敛性 的判定。
03
导数与连续性
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率的极限 ，表示函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有线性、可加性、可乘性和链 式法则等性质，这些性质在研究函数 的单调性、极值和曲线的几何特性等 方面具有重要应用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函 数等基本初等函数，需要熟记其导数公式。
限的。
无穷积分的定义与性质
总结词
无穷积分是数学中另一个重要的概念，它是由无穷多个 定积分的和组成的积分。无穷积分具有一些重要的性质 ，如可加性、可乘性和可微性等。
详细描述
无穷积分是由无穷多个定积分的和组成的积分，这些定 积分可以是积分限不同的积分。无穷积分在数学中也有 着广泛的应用，如求解面积、体积和曲线长度等。无穷 积分具有一些重要的性质，如可加性、可乘性和可微性 等。其中，可加性表示无穷积分可以拆分成若干个部分 的和，可乘性和可微性则表示无穷积分可以与函数进行 运算和求导。
《高中数学-函数与极限》课件PPT
我们将学习一些常用的极限公式和定理，如幂函数的极限、三角函数的极限和指数函数的极限等。
1
幂函数的极限
特定幂函数的极限计算方法。
2
三角函数的极限
特定三角函数的极限计算方法。
3
指数函数的极限
特定指数函数的极限计算方法。
数列极限的概念和性质
我们将学习数列极限的概念和性质，如收敛数列和发散数列的判定。
1 数列极限的定义
高中数学-函数与极限
在本课程中，我们将深入探讨函数与极限的概念，掌握函数的性质和极限的 计算方法，并学习如何应用极限解决数学问题。
函数的概念和分类
函数是数学中的一个重要概念，我们将学习函数的定义、图像以及分类，如线性函数、二次函数和指数函数等。
线性函数
函数图像呈直线，具有常量斜率。
二次函数
函数图像呈抛物线，具有二次项。
2 极大值和极小值
判定函数在某一区间内的最大值和最小值。
1 无穷大
表示函数在某一点的函数值无限增大。
2 无穷小
表示函数在某一点的函数值无限接近于零。
极限等价性
我们将学习极限等价性的概念和应用，以及利用极限等价性求解复杂极限。
1 极限等价性的定义
2 极限等价性的应用
描述两个函数在某一点附近极限的相似性质。
通过极限等价性简化复杂极限的求解过程。
常用极限公式和定理
描述数列中的数值无限接 近某一值的情况。
2 收敛数列
数列逐渐趋近某一值。
3 发散数列
数列无限远离某一值。
数列极限的计算方法
我们将学习常见的数列极限计算方法，如等差数列和等比数列的极限计算。
1
等差数列的极限
求解等差数列的极限值。
高数函数与极限习题【优质PPT】
第一章 函数与极限习题课
一、主要内容
（一）函数的定义 （二）极限的概念 （三）连续的概念
（一）函数
基本初等函数
复合函数
函数 的定义
初等函数 反函数 隐函数
双曲函数与 反双曲函数
反函数与直接 函数之间关系
函数 的性质
奇偶性 单调性 有界性 周期性
1.函数的定义 函数的分类 2.函数的性质 有界、单调、奇偶、周期 3.反函数 4.隐函数 5.基本初等函数
原 li 式 ( 1 m x )1 (x )1 (x 2 )1 (x 4 ) ( 1 x 2 n )
n
1 x
(1 x 2 )1 ( x 2 )1 ( x 4 ) (1 x 2 n)
lim
n
1 x
(1x2n)1(x2n)
1 x2n1
lim
lim
n
1x
n 1 x
1 . ( 当 x 1 时 ,lix m 2 n 10 .)
证明必 [0 有 ,1]使 一 f(得 点 1)f().
2
证明 令 F (x)f(x1)f(x),
2
则F(x)在[0,1]上连. 续 2
F(0)f(1)f(0), 2
F(1)f(1)f(1),
2
2
讨论: 若 F(0)0, 则0, f(01)f(0);
2
若F(1) 0, 则 1 , f(11)f(1);
xn11 2(xnxan) a
xn1xn12(xanxn)
1 a xn2 0 2 xn
即xn单调减，有下界
故由单调有界原理得 ln imxn存在
设 ln i m xnA ，A 则 0
在xn1 12(xnxan)两边取极限得
一、主要内容
（一）函数的定义 （二）极限的概念 （三）连续的概念
（一）函数
基本初等函数
复合函数
函数 的定义
初等函数 反函数 隐函数
双曲函数与 反双曲函数
反函数与直接 函数之间关系
函数 的性质
奇偶性 单调性 有界性 周期性
1.函数的定义 函数的分类 2.函数的性质 有界、单调、奇偶、周期 3.反函数 4.隐函数 5.基本初等函数
原 li 式 ( 1 m x )1 (x )1 (x 2 )1 (x 4 ) ( 1 x 2 n )
n
1 x
(1 x 2 )1 ( x 2 )1 ( x 4 ) (1 x 2 n)
lim
n
1 x
(1x2n)1(x2n)
1 x2n1
lim
lim
n
1x
n 1 x
1 . ( 当 x 1 时 ,lix m 2 n 10 .)
证明必 [0 有 ,1]使 一 f(得 点 1)f().
2
证明 令 F (x)f(x1)f(x),
2
则F(x)在[0,1]上连. 续 2
F(0)f(1)f(0), 2
F(1)f(1)f(1),
2
2
讨论: 若 F(0)0, 则0, f(01)f(0);
2
若F(1) 0, 则 1 , f(11)f(1);
xn11 2(xnxan) a
xn1xn12(xanxn)
1 a xn2 0 2 xn
即xn单调减，有下界
故由单调有界原理得 ln imxn存在
设 ln i m xnA ，A 则 0
在xn1 12(xnxan)两边取极限得
函数的极限【高等数学PPT课件】
A(或f
( x0
0)
A)
右极限: 定理1
lim
xx0
f (x)
A(或f (x0
0)
A)
lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
xx0
xx0
xx0
x sin x, x 0
例1
试问函数f ( x)
10, x 0
(c) Sketch the graph of F.
例2 lim sin x不存在 x
lim sin 1 不存在.
x0
x
y sin 1 x
思考与练习
1. 若极限 lim f ( x) 存在, 是否一定有
x x0
lim f ( x) f ( x0 ) ？
x x0
2. 设函数 f ( x) a x2, x 1 且 2x 1, x 1
lim f ( x)
x1
存在, 则 a 3 .
3.Let F (x) x 2 1 .
x 1
(a) Find (i) lim F (x) x 2 1 .
x1
x 1
(ii) lim x1
F(x)
x2 1 .
x 1
(b) Does lim F(x). exist?
x1
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) 不存在.
x0
x0
x0
二、函数极限的性质
1.惟一性
定理1 (极限的惟一性) 如果函数极限
存在，则极限值惟一.
2.有界性
定理2 (局部有界性)
如果极限 lim f (x) xx0
考研高数总复习函数的极限(讲义)PPT课件
无穷小是函数极限的必要条件，即如果函数在某点的极限存在，那么函数在该点的值必定是无穷小。
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
contents
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
contents
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
高数极限讲解PPT课件
即
于是 故复合函数
lim f (u)
u u0
f [(x0 )]
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例如,
是由连续函数链
复合而成 ,
x R*
因此
在 x R* 上连续 .
y
y sin 1
x
o
x
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例1 .设
均在
上连续, 证明函数
也在
上连续.
证:
f (x) g(x)
根据连续函数运算法则 , 连续 .
f (x) g(x)
可知
也在
上
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二、初等函数的连续 性基本初等函数在定义区间内连续
连续函数经四则运算仍连续
连续函数的复合函数连续 例如,
y 1 x2 的连续区间为 y ln sin x 的连续区间为 而 y cos x 1 的定义域为
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例4. 求
解:
原式
3 sin
x
ln(1
2
x)
3 2x
x
说明: 若 lim u(x) 0, lim v(x) , 则有
x x0
x x0
lim 1 u(x) v(x) e
x x0
lim v(x)u(x)
e xx0
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性已知函数
在区间 I 上连续,
即:
一般情形, 与 , x0 都有关.
了一致连续的概念 .
定义:
高等数学PPT课件：函数的极限
若 0, 0, 当 0 x x0 时, 恒有
f (x) A
称x x0时函数f ( x)有极限A,
lim f ( x) A
x x0
12
函数的极限
注 (1) 定义中的 0 x x0 表示 x x0 ,
x x0时, f (x)有没有极限与在点x0 是否有定义无关.
(2) 定义中 标志x接近x0的程度,
x
y y sin x x
O
x
sin x 0 sin x 1 ,只要 1
x
x |x|
|x|
即
|
x
|
1
,
取
X
1,
当|
x
|
X时, 有
sin x 0 , 故 lim sin x 0.
x
x x
9
函数的极限
结 论
如果lim f (x) C, 直线 y C x
是函数y f ( x) 图形的 水平渐近线
试证
lim
x
x2 x2
1 1
1.
证 当x 0时,
x2 1 x2 1 1
2 x2 1
2 x2
,
0, 要使
x2 1 x2 1 1 ,
只要
2 x2
,
即 x
2
,
取
X
2 , 当 x X时,有
x2 1
2
x2 1
x2
1 1
x2
lim
x
x2
1
1.
10
函数的极限
二、函数在一点的极限
用数学语言刻划 x x0 ,
A
X O X
0,X 0,
当 | x | X时,有
f (x) A
称x x0时函数f ( x)有极限A,
lim f ( x) A
x x0
12
函数的极限
注 (1) 定义中的 0 x x0 表示 x x0 ,
x x0时, f (x)有没有极限与在点x0 是否有定义无关.
(2) 定义中 标志x接近x0的程度,
x
y y sin x x
O
x
sin x 0 sin x 1 ,只要 1
x
x |x|
|x|
即
|
x
|
1
,
取
X
1,
当|
x
|
X时, 有
sin x 0 , 故 lim sin x 0.
x
x x
9
函数的极限
结 论
如果lim f (x) C, 直线 y C x
是函数y f ( x) 图形的 水平渐近线
试证
lim
x
x2 x2
1 1
1.
证 当x 0时,
x2 1 x2 1 1
2 x2 1
2 x2
,
0, 要使
x2 1 x2 1 1 ,
只要
2 x2
,
即 x
2
,
取
X
2 , 当 x X时,有
x2 1
2
x2 1
x2
1 1
x2
lim
x
x2
1
1.
10
函数的极限
二、函数在一点的极限
用数学语言刻划 x x0 ,
A
X O X
0,X 0,
当 | x | X时,有
高数极限ppt课件
第二章 极 限
数列的极限 函数的极限 无穷小量与无穷大量 极限的运算 极限存在定理 两个重要极限 无穷小量的比较
结束
1
第二节 函数的极限
一. x 时, f (x) 的极限 二. x x0 时, f (x) 的极限 三. 函数极限的性质 四. x x0 时, f (x) 的左、右极限
4
1. x 时, 函数 f (x) 的极限
定义 0, 若 0, 当 0 | x x0 | 时,
| f (x) a |
成立 , 则称 a 为函数 f (x) 当 x x0 时的极限 ,
记为 lim f (x) a xx0
或
f (x) a
(x x0 ) .
就是说 , 需要考察的是:
在 x 轴上 , 当 x 落在点 x0 的 去心邻域时,
找找例题！
44
x2 x 1
例7
求
f
( x)
x
1
2
1
x 1 在 x = 1 处的左、右极限. x 1
解
y
lim f (x) lim x2 1
x1
x1
lim f (x) lim (x 1) 0
x1
x1
1
1 2
O1
x
45
“左右结合”
y
y f (x)
y=a
y=a
y=a
O
x0
x0
x0 +
x 1
取 min{1, }, 则当 0 | x 1| 时, 有
4
x3 1 3 .
x 1
证毕
28
在极限定义中：
1) 与 和 x0 有关, 即 = ( , x0). 一般说来, 值越小, 相应的 值也越小.
数列的极限 函数的极限 无穷小量与无穷大量 极限的运算 极限存在定理 两个重要极限 无穷小量的比较
结束
1
第二节 函数的极限
一. x 时, f (x) 的极限 二. x x0 时, f (x) 的极限 三. 函数极限的性质 四. x x0 时, f (x) 的左、右极限
4
1. x 时, 函数 f (x) 的极限
定义 0, 若 0, 当 0 | x x0 | 时,
| f (x) a |
成立 , 则称 a 为函数 f (x) 当 x x0 时的极限 ,
记为 lim f (x) a xx0
或
f (x) a
(x x0 ) .
就是说 , 需要考察的是:
在 x 轴上 , 当 x 落在点 x0 的 去心邻域时,
找找例题！
44
x2 x 1
例7
求
f
( x)
x
1
2
1
x 1 在 x = 1 处的左、右极限. x 1
解
y
lim f (x) lim x2 1
x1
x1
lim f (x) lim (x 1) 0
x1
x1
1
1 2
O1
x
45
“左右结合”
y
y f (x)
y=a
y=a
y=a
O
x0
x0
x0 +
x 1
取 min{1, }, 则当 0 | x 1| 时, 有
4
x3 1 3 .
x 1
证毕
28
在极限定义中：
1) 与 和 x0 有关, 即 = ( , x0). 一般说来, 值越小, 相应的 值也越小.
高数函数极限与连续.ppt
2 7
3
x 4
x
5
x3 1
x3
2. 7
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例4、
求
lim
x1
x
2
x2 1 2x
3
.
( 0型) 0
解：x 1时,分子,分母的极限都是零.
先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
lim
x1
x2
x2 1 2x
3
lim
x1
(x (x
1)( x 3)( x
1) 1)
yy y x2 当 x 0 时为减函数;
当 x 0 时为增函数;
o
xx
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(3) 函数的有界性:
若X D, M 0,x X ,有 f ( x) M 成立, 则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y
y 1 x
在(,0)及(0,)上无界; 在(,1]及[1,)上有界.
2
2
2
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例3、 设函数 f ( x) 1 , g( x) x 2
x 1
求 f [g( x)] 和g[ f ( x)] 解：f [g(x)] 1 1 ,
g(x) 1 x 2 1 g[ f (x)] f (x) 2 1 2
x 1
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（或n ）的过程中, 对应函数值 f ( x)无限
趋近于一个确定常数 A.
lim
n
an
A
lim f ( x) A
x
lim f ( x) A
x
lim f ( x) A
x
定理 : lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.
函数与极限ppt课件
21
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(3) 有界性
设函数 f (x)的定义域为 D, 数集 X D,
常数 M 0，使得 对 x X , 有 f (x) M,
则称 f ( x)在X上有界. 否则称为无界.
y
M y = f (x)
OX
x
-M
若 f ( x) 在D上有界, 则称 f (x) 为有界函数.
二、 区间与邻域
区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作 [a,b]
oa
b
x
8
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半开区间
表示法：
(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .
例:
有限集合
A a1
, a2
, , an
ai
n i 1
自然数集 N 0, 1 , 2 , , n, n
(2) 描述法：M x x 所具有的特征 例: 整数集合 Z x x N 或 x N 实数集合 R x x 为有理数或无理数
一般地，函数的周期性主要是指三角函数，如
y=sinx，y=cosx 的最小正周期是2π，
y=tanx, y=cotx 的最小正周期是π．
27
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注意：两个周期函数的和或积是不是周期函数，取 决于这两个周期函数的周期之比是否是有理数.
例 下列函数是不是周期函数.
(1) f ( x) sin x
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n
1 x
lim (1 x2 )(1 x2 )(1 x4 )(1 x2n )
n
1 x
(1 x 2n )(1 x 2n )
1 x 2n1
lim
lim
n
1 x
n 1 x
1 . (当 x 1时, lim x2n1 0.)
1 x
1 x3
lim
x0
sin x
x
1
cos x2
x
1
(1 sin x)cos
x
1 2
1
原式 e2 . 13
例
设p( x)是多项式,且 lim x
p( x) x2
x3
2,
lim p( x) 1,求p( x). x x0
解
lim x
p( x) x2
x3
唯一性
求极限的常用方法
极限的性质
5
1、极限的定义：" N"定义
" X"定义
单侧极限 极限存在的条件
" "定义
2、无穷小与无穷大
无穷小； 无穷大； 无穷小与无穷大的关系
无穷小的运算性质
3、极限的性质
四则运算、复合函数的极限 6
4、求极限的常用方法 a.多项式与分式函数代入法求极限;
第一章 函数与极限习题课
1
一、主要内容
（一）函数的定义 （二）极限的概念 （三）连续的概念
2
（一）函数
基本初等函数
复合函数
函数 的定义
函数 的性质
初等函数 反函数 隐函数
双曲函数与 反函数与直接 反双曲函数 函数之间关系
奇偶性 单调性 有界性 周期性
3
1.函数的定义 函数的分类 2.函数的性质 有界、单调、奇偶、周期 3.反函数 4.隐函数 5.基本初等函数 6.复合函数 7.初等函数 8.双曲函数与反双曲函数
证明必有一点 [0,1]使得f ( 1) f ( ).
2
证明 令 F ( x) f ( x 1) f ( x),
2
则 F ( x)在[0, 1]上连续. 2
F (0) f (1) f (0), 2
F (1) f (1) f (1),
2
2
讨论: 若F (0) 0, 则 0, f (0 1) f (0);
lim (1
x1
x)
2. lim x1
f (x)
lim
x1
f (x)
lim f ( x) lim cos x 0. 故f ( x)在x 1间断.
x1
x1
2
当x 1时,
x
lim f ( x) lim cos 0.
x1
x1
4
（二）极限
数列极限
lim
n
xn
a
函数极限
lim f ( x) A lim f ( x) A
x x0
x
无穷大
lim f (x)
两者的 关系
极限存在的 充要条件
无穷小
左右极限 无穷小的比较 lim f (x) 0
判定极限
两个重要 等价无穷小
存在的准则 极限
及其性质
无穷小 的性质
4、闭区间上连续函数的性质
最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理
10
二、例题
11
例 当 x 1时,
求 lim(1 x)(1 x2 )(1 x4 )(1 x2n ). n
解 将分子、分母同乘以因子(1-x), 则
原式 lim (1 x)(1 x)(1 x2 )(1 x4 )(1 x2n )
x
x
1
lim(1 x) x e
x0
1
lim (1 ) e.
某过程
7、无穷小的比较
8、等价无穷小的替换性质
9、极限的唯一性、局部有界性、保号性
8
（三）连续
连续定义
lim y 0
x 0
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
左右连续
连续的 充要条件
在区间[a,b] 上连续
2
若F (1) 0, 则 1 , f (1 1) f (1);
2,
可设p( x) x3 2x2 ax b(其中a, b为待定系数)
又lim p( x) 1, x x0
p( x) x3 2x2 ax b ~ x ( x 0)
从而得 b 0, a 1. 故 p( x) x3 2x2 x
14
x 1, x 1
n
12
例
求
lim(1
tan
x
)
1 x3
.
x0 1 sin x
解
原式
lim[1
(1
tan
x
1)]
1 x3
x0
1 sin x
lim[1
tan
x
sin
x
1
]x3
x0
1 sin x
lim tan x sin x0 1 sin x
x
1 x3
sin x(1 cos x) lim x0 (1 sin x)cos x
连续函数的 运算性质
非初等函数 的连续性
初等函数 的连续性
间断点定义
第一类 第二类 可跳 无振 去跃 穷荡 间间 间间 断断 断断 点点 点点
连续函数
的性质
9
1、连续的定义
单侧连续 连续的充要条件 闭区间的连续性
2、间断点的定义
间断点的分类 第一类、第二类
3、初等函数的连续性
连续性的运算性质 反函数、复合函数的连续性
例6
讨论f
(x)
cos
x
2
,
x
的连续性. 1
解 将f ( x)改写成
1 x, x 1
f
(x)
cos
x 2
,
1
x
1
x 1, x 1
显然f ( x)在(,1),(1,1),(1,)内连续.
15
当x 1时,
lim
x1
f (x)
2
lim f ( x) lim f ( x)
x1
x1
lim f ( x) lim( x 1) 0. 故f ( x)在x 1连续.
x1
x1
f ( x)在(,1) (1,)连续.
16
例 设f ( x)在闭区间[0,1]上连续,且f (0) f (1),
b.消去零因子法求极限;
c.无穷小因子分出法求极限;
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用左右极限求分段函数极限；
f.利用等价无穷小；
g.利用重要极限 5、判定极限存在的准则
夹逼定理、单调有界原理
7Байду номын сангаас
6、两个重要极限
(1) lim sin x 1 x0 x
sin
lim
1;
某过程
(2) lim(1 1 )x e