弹性体的一维振动题解

习题

6-1 一等直杆沿纵向以等速v 向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶ (1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。 解；(1)杆的左端突然固定；

杆的初始条件为：()()0,00u x u x ==

(),0u x V =

由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a

p i l

π=

=,… ,...3,2,1i ,x 2l

i sin D x)U ~

i

i ==π（ 由归一化条件2

0sin 12l

i i x A D dx l πρ⎛

⎫= ⎪⎝

⎭⎰

得i D =即正则振型为,...3,2,1i ,x 2l

i sin Al 2x)U ~

i ==

π

ρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为

()0

0sin

2l

i i i AVD xdx l πηρ=⎰2i l AVD i ρπ

= ()00i η=，i=1，3，5，…

由式（８－４０）得()

0sin i i i i

p t p ηη=

，进而有：

t 2l a i sin 2l x i sin i 1a 8V l t sinp a i 2l i 2l AV D 2l x i sin D )t (U ~

)t ,x (u ,...3,1i 22i i ,...

3,1i i i ,...

3,1i i ∑∑∑∞=∞

=∞

===

=πππππρπη

(2)杆的右端突然固定；

杆的初始条件为：()()0,00u x u x ==

(),0u x V =

由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a

p i l

π=

=,… ...5,3,1i ,x 2l

i cos C x)U ~

i

i ==π（ 由归一化条件

1)2cos

(2

=⎰

dx l

x i C A i l

πρ得Al

C i ρ2=

即正则振型为,...5,3,1i ,x 2l

i cos Al 2x)U ~

i ==

π

ρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为

⎰--==l

i i i i i l

AV C dx l x i AVC 02

1

)

1(22cos )0(π

ρπρη

()00i η=，i=1，3，5，…

由式（８－４０）得()

0sin i i i i

p t p ηη=

，进而有：

t 2l a

i sin 2l x i cos i

1)1(a 8Vl t sinp a i 2l i 2l AVD 2l x i sin D )t (U ~

)t ,x (u ,...3,1i 2

2

12i i ,...3,1i i i ,...3,1i i ∑∑∑∞

=-∞

=∞

=-==

=πππππρπηi

6-2 求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动。 (1) 常力F 作用于杆的中点，如题6-2(a) 图所示；

(2) 常力F 作用于杆的三分之一点处，如题6-2(b) 图所示；

(3) 两个大小相等、方向相反的常力F 作用于杆的四分之一点及四分之三点处如题图6-2(c)所示。 解：

（1） 根据题意 ，0t =时杆内的应变 0/2

P EA

ε=

杆的初始条件为

()()()0000/2

,0{

/2x

x l u x u x l x l x l

εε≤≤==-≤≤

因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为

()()(

)1,2,sin

1,2,i i i ia P i l

i U x D x i l

a ππ=

=⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=

题6-2图

将主振型代入归一化条件，得

2

sin1

l

i

i

i

A D x dx

l

D

π

ρ⎛⎫=

⎪

⎝⎭

=

⎰

得到正则振型

(

)()

~

1,2,

i

i

U x x i

l

π

==⋅⋅⋅

得到以正则坐标表示的初始条件为

()()

()()

2

0022

2

0sin sin

2

01,2,

l

i i i

i

i l i

Au x D xdx A D

l i

x i

ππ

ηρρε

π

η∙

==

==⋅⋅⋅

⎰

得到以正则坐标表示的对初始条件的响应

()0cos

i i i

p t

ηη

=

于是杆的自由振动

(),

u x t=()

2

~

022

1,2,1,2,

2

sin sin cos

2

i i i i i

i i

i l i

U t D x A D p t

l i

ππ

ηρε

π

∞∞

=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

=

∑∑

=0

22

1,2,

sin

42

sin cos

i

i

i

l i

x p t

i l

π

επ

π

∞

=⋅⋅⋅

∑

()12

22

1,3,

1

2

sin cos

i

i

pl i i a

x t

EA i l l

ππ

π

-

∞

=⋅⋅⋅

-

=∑

（2）根据题意，0

t=时杆内的应变

120

2/3/3

P P P

EA EA EA

εεε

===

设

杆的初始条件为

()()

()

1

2

0/3

,0{

/3

x x l

u x u x

l x l x l

ε

ε

≤≤

==

-≤≤

()

2

0/3

3

{

1

/3

3

x x l

l x l x l

ε

ε

≤≤

=

-≤≤

因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为