弹性体的一维振动题解
弹性体的振动
l 0
l 0
EA U iU j dx 0
i 当： j
2
i
j
l
l 0
AU j dx M
2
pj
K M
pj pj
EA (U j ) dx U j ( EA U j ) dx K
0
pj
采用正则振型归一化：
l 0
AU j dx M
X (l ) 0
a
l 0
频率方程
a
i l
i 1, 2 ,
振型函数： X i ( x ) B i sin 各阶固有频率为： i i
a l
i l
x
i l T0
初始张力 线分布密度
i 1, 2 ,
各阶主振动：y i ( x , t ) X i ( x ) T i ( t ) ( A i 1 sin i t A i 2 cos i t ) sin 自由振动解：y ( x , t )
a
B 2 sin
a
l 0
i 0 ,1, 2 ,
i 0 ,1, 2 ,
sin
a
l 0
i
i a l
相应的主振型： U i ( x ) B i cos 当 i 0
0
i l
x
刚体振型
杆的纵向自由振动可以叠加为：
u( x, t)
U
i 1
i
( x ) A i sin( i t i )
振型函数
a
弹性体的一维振动_图文
就是杆的主振型关于质量的正交性。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
上二式则是杆的主振型关于刚度的正交性。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
Mechanical and Structural Vibration
6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
此题也可以用直接求解方法解出。根据已解出的固有频率 及主振型函数可写出杆的振动方程为
常数Ai , Bi由初始条件确定。初始条件为
再利用三角函数的正交性可得
Mechanical and Structural Vibration
根据类似于多自由系统的线性变换，设通解为
第i阶正则振型函数
Mechanical and Structural Vibration
第i阶正则坐标
6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
通乘以 并沿杆长l积分
考虑到正交性条件及标准化条件，上式成为 这就是以正则坐标表示的杆作纵向自由振动的运动方程。
杆上所有的点将同时经过平衡位置，并同时达到极限位置。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
解可以用x的函数U(x)与t的谐函数的乘积表示，即
即为杆的主振动的一般形式。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
一维波动方程的推导
一维波动方程的推导波动方程是研究波动现象的基本方程，可以用于描述电磁波、声波、水波等物理现象。
本文重点介绍一维波动方程的推导，该方程用于描述一条细长的弹性介质中的波动。
一、假设考虑一根无限长细弹性介质（如一根线），其质量和长度均匀分布在整个介质中。
为简化情况，我们假设该介质在垂直于其初始方向的方向上运动（如在横向振动）。
为进一步简化情况，我们也假设振动幅度很小且初始速度为零。
这些假设可以使我们向更简单的物理模型过渡。
二、波动方程的推导根据牛顿第二定律可得，在 x 处截面内的物质元素受到 x+dx 处截面内的物质元素产生的力的作用。
因此，其受力可以表示为：F = ma = ρdx · A(x+dx) - ρdx · A(x) (1)其中，ρ表示介质的密度，A(x)表示在 x 处截面内的介质的横截面积，dx表示两截面之间的距离。
根据胡克定律可得，介质受到的合力可以表示为：F = -k[dA(x+dx) - dA(x)] (2)其中，k表示介质的弹性系数。
将公式（1）和公式（2）代入牛顿第二定律可得：ρA(x) ∂^2u/∂t^2 · dt = k[dA(x+dx) - dA(x)] (3)这里，u(x, t)表示在 x 处的位移，t表示时间。
我们可以化简后的上面公式为：∂^2u/∂t^2 = (k/ρA(x)) [A(x+dx) - A(x)]/dx (4)引入波速 c 来替换k/ρ，c 的定义为：c = sqrt(k/ρ) (5)则公式（4）可以简化为：∂^2u/∂t^2 = (c^2/dx^2) [A(x+dx) - A(x)] (6)通过对这一细弹性介质的初始状态和运动方式的假设，我们推导出一维波动方程。
这个方程描述了弹性介质中的波动，具有广泛的应用价值。
它可以应用于物理、地质学和工程学中等多领域。
《振动力学》习题集(含问题详解)
《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
图E1.1解： 系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解： 系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
弹性力学课后习题及答案
弹性力学课后习题及答案弹性力学课后习题及答案弹性力学是力学的一个重要分支，研究物体在受力作用下的形变和应力分布规律。
在学习弹性力学的过程中，课后习题是巩固所学知识、提高解题能力的重要环节。
本文将为大家提供一些常见的弹性力学课后习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、弹性体的应力与应变1. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下产生了长度为ΔL的形变。
求该弹性体的应变。
答案：根据胡克定律，应变ε等于形变ΔL与原始长度L的比值，即ε = ΔL / L。
2. 一个弹性体的应变为ε，如果该弹性体的截面积为A，求该弹性体在受力F作用下的应力。
答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。
二、弹性体的应力分布1. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下，其应力沿着截面的分布是否均匀？答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。
由此可知，应力与截面积成反比，即截面积越大，应力越小；截面积越小，应力越大。
因此，弹性体受力作用下的应力分布是不均匀的。
2. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下，其应力是否与截面的形状有关？答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。
由此可知，应力与截面积成正比，即截面积越大，应力越小；截面积越小，应力越大。
因此，弹性体受力作用下的应力与截面的形状有关。
三、弹性体的弹性模量1. 一个弹性体的应力为σ，应变为ε，求该弹性体的弹性模量E。
答案：根据胡克定律，应力σ等于弹性模量E与应变ε的乘积，即σ = E * ε。
由此可得，弹性模量E等于应力σ与应变ε的比值，即E = σ / ε。
2. 一个弹性体的弹性模量为E，如果该弹性体的截面积为A，求该弹性体在受力F作用下的形变。
答案：根据胡克定律，形变ΔL等于弹性模量E与受力F的乘积再除以截面积A，即ΔL = (E * F) / A。
物理振动试题及答案解析
物理振动试题及答案解析1. 简谐运动的振动周期与哪些因素有关？答案：简谐运动的振动周期与振子的质量以及弹簧的劲度系数有关，与振幅无关。
2. 什么是阻尼振动？其振动周期与自由振动相比有何不同？答案：阻尼振动是指在振动过程中受到阻力作用的振动。
与自由振动相比，阻尼振动的振动周期会变长。
3. 简述单摆的周期公式。
答案：单摆的周期公式为 \( T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \)，其中 \( T \) 是周期，\( L \) 是摆长，\( g \) 是重力加速度。
4. 什么是共振现象？请举例说明。
答案：共振现象是指当驱动力的频率接近或等于系统的固有频率时，系统振幅急剧增大的现象。
例如，当行人在桥上行走时，如果步频与桥的固有频率接近，可能会引起桥梁的共振，导致桥梁剧烈振动甚至断裂。
5. 请解释为什么在声波传播中，频率越高的声波传播距离越短？答案：频率越高的声波波长越短，波长越短的声波在传播过程中更容易受到空气分子的散射作用，因此传播距离较短。
6. 什么是多普勒效应？请用物理公式表达。
答案：多普勒效应是指当波源和观察者相对运动时，观察者接收到的波频率与波源发出的频率不同的现象。
多普勒效应的公式为 \( f'= \frac{f(u + v)}{u + v \cos \theta} \)，其中 \( f' \) 是观察者接收到的频率，\( f \) 是波源发出的频率，\( u \) 是波源的速度，\( v \) 是观察者的速度，\( \theta \) 是波源和观察者之间的夹角。
7. 请解释为什么在弹簧振子的振动过程中，振幅会逐渐减小？答案：在弹簧振子的振动过程中，振幅逐渐减小是因为存在阻力作用，如空气阻力或摩擦阻力，这些阻力会消耗振子的机械能，导致振幅减小。
8. 什么是机械波？请列举三种常见的机械波。
答案：机械波是指需要介质传播的波，其传播过程中介质的质点并不随波迁移，而是在平衡位置附近做振动。
振动理论习题答案
《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。
试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
解：222221v gW h W =，gh v 22=动量守恒：122122v gW W v g W +=，gh W W W v 221212+=平衡位置：11kx W =，kW x 11=1221kx W W =+，kW W x 2112+=故：kW x x x 21120=-= ()2121W W kgg W W k n +=+=ω故：tv t x txt x x n nn n nn ωωωωωωsin cos sin cos 12000+-=+-=xx 0x 1x 12平衡位置2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角2a＝h 2F ＝mg由动量矩定理：ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12cossin ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π222===2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。
试求其摆动的固有频率。
图2-3 图2-42-4 如图2-4 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
图T 2-9 答案图T 2-9解：（1）保持水平位置：m kk n 21+=ω（2）微幅转动：mglllF2112+=mgl1l2xx2xx'mglll2121+=k2k1ml1l2()()()()()()()()()mgk k l l k l k l mgk k l l k l l k l l l k l mg k k l l k l k l l l l k l l mg l mgk l l l k l l l l l l k l l mg l l l l x x k F x x x 2122122212121221221121212221212211211121212122211211121221112111 ++=+-++=+-⋅+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++=+-+='+=故：()22212121221k l k l k k l l k e++=mk en =ω 2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。
振动习题答案
振动习题答案振动习题答案振动是物体在固定轴线附近做往复运动的现象。
它在我们的日常生活中随处可见，比如钟摆的摆动、弹簧的振动等等。
振动习题是学习振动理论的重要一环，通过解答习题可以加深对振动原理的理解和应用。
下面是一些常见的振动习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 一个质点沿直线做简谐振动，振幅为2cm，周期为4s，求该质点的速度和加速度。
解答：简谐振动的速度和加速度与位置的关系可以通过振动的位移方程得到。
位移方程为：x = A * sin(ωt + φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
根据周期和角频率的关系，可知ω = 2π / T，其中T为周期。
根据题目中的数据，振幅A = 2cm，周期T = 4s。
代入上述公式可得ω = 2π /4 = π / 2。
因此，位移方程可写为：x = 2 * sin(π/2 * t + φ)。
速度v = dx / dt，加速度a = dv / dt。
对位移方程求一次导数得到速度和加速度的表达式：v = d(2 * sin(π/2 * t + φ)) / dt = 2 * (π/2) * cos(π/2 * t + φ) = π * cos(π/2 * t + φ)，a = d(π * cos(π/2 * t + φ)) / dt = - (π/2)^2 * sin(π/2 * t + φ) = - (π^2 / 4) *sin(π/2 * t + φ)。
2. 一个弹簧的振动周期为2s，振幅为5cm，求该弹簧的角频率和振动频率。
解答：角频率ω = 2π / T，振动频率f = 1 / T，其中T为周期。
根据题目中的数据，周期T = 2s。
代入上述公式可得角频率ω = 2π / 2 = π，振动频率f = 1 / 2 = 0.5Hz。
3. 一个质点的振动方程为x = 3sin(2πt + π/4)，求该质点的振幅、周期、角频率、初相位、速度和加速度。
第三章习题解答3.1一维谐振子处在基态，求：（1）势能的平均值；（2...
第三章习题解答3.1 一维谐振子处在基态t i x ex ωαπαψ2222)(--=，求：(1)势能的平均值2221xU μω=；(2)动能的平均值μ22pT =；(3)动量的几率分布函数。
解：(1) ⎰∞∞--==dxex xU x2222222121απαμωμωμωμωππαμω⋅==⋅=2222221111221ω 41= (2) ⎰∞∞-==dx x px p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ⎰∞∞----=dx edxd ex x 22222122221)(21ααμπα⎰∞∞---=dx ex x22)1(22222αααμπα][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx ex dx exxααααμπα]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222ω41=或 ωωω 414121=-=-=U E T(3) ⎰=dx x x p c p )()()(*ψψ212221⎰∞∞---=dx eePxi xαπαπ⎰∞∞---=dxeePxi x2221 21απαπ⎰∞∞--+-=dx ep ip x 2222222)(21 21αααπαπ⎰∞∞-+--=dx eeip x p222222)(212 21αααπαππαπαπα2212222pe-=22221απαpe-=动量几率分布函数为 2221)()(2απαωpep c p -==#3.2.氢原子处在基态0/301),,(a r ear -=πϕθψ，求：(1)r 的平均值； (2)势能re2-的平均值；(3)最可几半径； (4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。
解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r read r r r a r sin 1),,(0220/2302⎰⎰⎰⎰∞-== ⎰∞-=0/2334drar a a r04030232!34a a a=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22302/230220/2302202/23022214 4 sin sin 1)()2(0a ea a edr r e a e d drd r ea ed drd r eraer eU a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 sin )],,([)(d drd r r dr r drr eaa r 2/2304-=2/2304)(rea r a r -=ω/2030)22(4)(a r rer a adrr d --=ω令0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置/22203022)482(4)(a r er ar a adrr d -+-=ω8)(23022<-=-=e adrr d a r ω∴ 0a r =是最可几半径。
第七章一维波动方程的解题方法与习题答案
第七章一维波动方程的傅里叶解小结及习题答案第二篇数学物理方程——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程；2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件(自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题；3、方程齐次化；４、数理方程的线性导致解的叠加。
一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律）1、来源I．质点力学：牛顿第二定律Fmr连续体力学弦2u(r,t)弹性体力学杆振动：22波动方程);au(r,t)0(2t(弹性定律)膜流体力学：质量守恒律：(v)0;t热力学物态方程：v1(v)vpf0(Eulereq.).tII.麦克斯韦方程DddD;EdlBdsEB;Bd0B0;Hdl(jD)dsHjD.Eu,BA,u,A满足波动方程。
Lorenz力公式力学方程；Maxwelleqs.+电导定律电报方程。
III.热力学统计物理热传导方程：扩散方程：Ttt2kT2D0;0.特别:稳态（0t）:20(Laplaceequation).IV.量子力学的薛定谔方程：2u2.iuVut2m2.分类物理过程方程数学分类振动与波波动方程2u 12u22at双曲线输运方程能量：热传导质量：扩散ut20ku抛物线1稳态方程Laplaceequation 2u0椭圆型二、数理方程的导出推导泛定方程的原则性步骤：（1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。
（2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化”---“无理取闹”（物理趣乐）。
（3）取局部：从对象中找出微小的局部（微元），相对于此局部一切高阶无穷小均可忽略---线性化。
（4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。
（5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。
Chapter7一维波动方程的傅里叶解第一节一维波动方程-弦振动方程的建立1.弦横振动方程的建立（一根张紧的柔软弦的微小振动问题）（1）定变量：取弦的平衡位置为x轴。
第七章 一维波动方程的解题方法及习题答案
第二篇 数学物理方程——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程；2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件(自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题；3、方程齐次化；４、数理方程的线性导致解的叠加。
一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律）1、来源I ．质点力学：牛顿第二定律F mr = 连续体力学2222()(,)(,)0(()0;v 1()0(Euler eq.).u r t a u r t t v t v v p f t ρρρ⎧⎧∂⎪⎪-∇=⎨⎪∂⎪⎪⎩⎪∂⎪+∇⋅=⎨∂⎪∂-⎪+⋅∇=+=⎪∂⎪⎪⎩弹性定律弦弹性体力学杆 振动：波动方程);膜流体力学：质量守恒律：热力学物态方程： II.麦克斯韦方程;;00;().,,,D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A σρτρσ⎧⋅=⇒∇⋅=⋅=⋅⇒∇⨯=⎪⎪⎪⋅=⇒∇⋅=⋅=+⋅⇒∇⨯=+⎨⎪=-∇=∇⨯⎪⇒⇒⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d d d 满足波动方程。
Lorenz 力公式力学方程；Maxwell eqs.+电导定律电报方程。
III. 热力学统计物理220;0.T k T t D t ρρ∂⎧-∇=⎪⎪∂⎨∂⎪-∇=⎪∂⎩热传导方程：扩 散方程：特别: 稳态（0t ρ∂=∂）:20ρ∇= (Laplace equation). IV . 量子力学的薛定谔方程：22.2u i u Vu t m∂=-∇+∂稳态方程 Laplace equation 20u ∇= 椭圆型二、数理方程的导出推导泛定方程的原则性步骤：（1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。
（2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化”---“无理取闹”（物理趣乐）。
第九章弹性振动的准确解(2011版)
第九章 弹性体振动的准确解9.1 引言在引论中我们曾经提到，实际的振动系统都是弹性体系统。
弹性体具有分布的物理参数（质量，阻尼，刚度）。
它可以看做由无数个质点借弹性联系组成的连续系统，其中每个质点都具有独立的自由度。
所以，一个弹性体的空间位置需要用无数个点的独立空间坐标来确定。
也就是说，弹性体具有无限多个自由度。
在数学上，弹性体的运动需要用偏微分方程来描述。
前面我们论述的多自由度系统只是弹性体的近似力学模型。
本章讨论理想弹性体的振动，所谓理想弹性体．．．．．是指满足以下三个条件的连续系统模型：（1）匀质分布；（2）各向同性；（3）服从虎克定律。
通过对一些简单形状的弹性体的振动分析，着重说明弹性体振动的特点，弄清它与多自由度系统振动的共同点与不同点。
我们将看到，任何一个弹性体具有无限多个固有频率以及无限多个与之相应的主振型；而且这些主振型之间也存在着关于质量与刚度的正交性；弹性体的自由振动也可以表示为各个主振动的线性叠加；而且对于弹性体的动响应分析，主振型叠加法仍然是适用的。
所以说，弹性体振动与多自由度系统的振动，二者有着一系列共同的特性，这就是它们的共性。
而二者的差别仅在于数量上弹性体有无限多个固有频率与主振型，而多自由度系统只有有限多个。
我们还将看到，对于一些简单情形下的弹性体振动问题，可以很方便地找到它们的准确解。
尽管实际问题往往是复杂的，很少可以归结为这些简单情形；但是了解这些简单情形下准确解的特征，对于处理复杂问题是有帮助的。
为了避免用到弹性力学的知识，而仅以材料力学作为基础，我们将限于讨论一维弹性体（梁，轴，杆等）。
9.2弦的振动设有理想柔软的细弦张紧于两个固定支点之间，张力为T ，跨长为l ,弦单位长度的质量为ρ。
两支点连线方向取为x 轴（向右为正），与x 轴垂直的方向取为y 轴（向上为正），如图9.2-1（a ）。
设弦的振动发生在xoy 平面内，弦的运动可表示为y=y (x,t ).还假设弦的振动幅度是微小的，即 y 与xy∂∂均为小量；在这假设下弦的张力T 可近似地看做常量。
结构动力学 一维杆件系统的振动分析
第8章 一维杆件系统的振动分析
安庆长江大桥施工情况
第8章 一维杆件系统的振动分析
都江堰安谰桥(1)
第8章 一维杆件系统的振动分析
云南永平县霁虹桥
云南永平县霁虹桥，跨澜沧江，是中国现存最古、最宽、 铁索最多的铁索桥，桥净跨57.3m，全长113.4m，桥宽约 4.1m。桥底有索16根，左右栏杆索共两根，桥位于通往印 度、缅甸的千年古道上。
(0) 0
(l ) 0
A1 0
( x) A2 sin x / c
n n c n
l l T
A2 sin l / c 0
sin l / c 0
(n 1, 2, 3)
非零解： A 2 0
n l / c n
第n阶固有振型: 振型函数的正交性： 一般解答：
两式同乘 m ( x) sinm x / l ，从0到 l 积分,并利用正交条件 :
(t ) 2Y (t ) f (t ) Y m m m m
f m (t )
2 l l 0
(m 1, 2,)
F ( x , t ) sinm x / l dx
结论：一个弹性系统相当于具有无穷多个自由度，具有 无穷多个固有频率，每个固有频率都对应一个振型。
第8章 一维杆件系统的振动分析
8.2.3 直杆的纵向自由振动 自由振动方程 :
u c2 u t2 x2
2 2
分离变量法： u( x, t ) U (t ) ( x) 类似得到解答： 边界条件 ：
与弦的方程在数 学上相似，一个 是横向振动，一 个是纵向振动。
( x) A1 cos x / c A2 sin x / c
量子力学中的一维谐振子问题求解
量子力学中的一维谐振子问题求解量子力学是研究微观粒子行为的一门学科，它描述了微观世界中的粒子的运动和相互作用。
谐振子是量子力学中一个经典的模型，它在多个领域中都有广泛的应用，如原子物理、固体物理和量子计算等。
在本文中，我们将探讨一维谐振子问题的求解方法。
一维谐振子是指一个质量为m的粒子在势能为V(x) = 1/2 kx²的势场中运动。
其中，k是弹性系数，x是粒子相对平衡位置的位移。
根据量子力学的原理，我们可以用薛定谔方程来描述一维谐振子的运动。
薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了粒子的波函数随时间的演化。
对于一维谐振子，薛定谔方程可以写成如下形式：Hψ(x) = Eψ(x)其中，H是哈密顿算符，定义为H = -ħ²/2m d²/dx² + 1/2 kx²。
ψ(x)是波函数，描述了粒子在不同位置的概率分布。
E是能量的本征值，对应于不同的能级。
为了求解一维谐振子的薛定谔方程，我们可以使用分离变量法。
假设波函数可以表示为ψ(x) = φ(x)χ(t)，其中φ(x)是位置的波函数，χ(t)是时间的波函数。
将这个形式代入薛定谔方程，可以得到两个方程：-ħ²/2m d²φ(x)/dx² + 1/2 kx²φ(x) = Eφ(x)iħ dχ(t)/dt = Etχ(t)第一个方程是一个关于位置的定态薛定谔方程，它描述了粒子在不同位置的运动。
第二个方程是一个关于时间的薛定谔方程，它描述了波函数随时间的演化。
对于定态薛定谔方程，我们可以使用数学方法求解。
一种常用的方法是使用升降算符。
升降算符是一对算符，可以将波函数的能级提升或降低一个单位。
对于一维谐振子，升降算符定义为a⁺ = (ħ/mω)^(1/2)(-d/dx + iωx)和a = (ħ/mω)^(1/2)(-d/dx - iωx)，其中ω = (k/m)^(1/2)是谐振子的频率。
第6章--弹性体的一维振动题解
126习题6-1 一等直杆沿纵向以等速v 向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶ (1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。
解；(1)杆的左端突然固定；杆的初始条件为：()()0,00u x u x == 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i ap i lπ==,… 由归一化条件20sin 12li i x A D dx l πρ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰得i D =即正则振型为,...3,2,1i ,x 2li sin Al 2x)U ~i ==πρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为()00i η=，i=1，3，5，…由式（８－４０）得()0sin i i i ip t p ηη=，进而有：(2)杆的右端突然固定；杆的初始条件为：()()0,00u x u x == 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i ap i lπ==,… 由归一化条件1)2cos(2=⎰dx lx i C A i lπρ得AlC i ρ2= 即正则振型为,...5,3,1i ,x 2li cos Al 2x)U ~i ==πρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为()00i η=，i=1，3，5，…由式（８－４０）得()0sin i i i ip t p ηη=，进而有：6-2 求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动。
(1) 常力F 作用于杆的中点，如题6-2(a) 图所示；(2) 常力F 作用于杆的三分之一点处，如题6-2(b) 图所示；127(3) 两个大小相等、方向相反的常力F 作用于杆的四分之一点及四分之三点处如题图6-2(c)所示。
解：（1） 根据题意 ，0t =时杆内的应变杆的初始条件为因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为 将主振型代入归一化条件，得 得到正则振型得到以正则坐标表示的初始条件为得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 于是杆的自由振动（2） 根据题意 ，0t =时杆内的应变 杆的初始条件为因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为 将主振型代入归一化条件，得 得到正则振型得到以正则坐标表示的初始条件为得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 于是杆的自由振动（3） 根据题意 ，0t =时杆内的应变 杆的初始条件为因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为 将主振型代入归一化条件，得 得到正则振型得到以正则坐标表示的初始条件为得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 于是杆的自由振动6-3 如题6-3图所示，一端固定一端自由的等直杆受到均匀分布力lF p 00=的作用，求分布力突然移去时杆的响应。
2.7 一维谐振子问题
V (a) V0
V x
V 0 0 x a x x a
1 2V V0 2! x 2
( x a )2
x a
2V 其中：k 2 x
例如双原子分子，两原 子间的势V是二者相对距 离x的函数，如图所示。 在 x = a 处，V 有一极小 值V0 。在 x = a 附近势 可以展开成泰勒级数：
Hn ( )
归一化系数
封闭形式解：
n d H n ( ) (1) n exp[ 2 ] n exp[ 2 ] d
H n ( ) 的最高次幂是 n 其系数是 2n。 由上式可以看出，
厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：
dH n 2nH n 1 ( ) d H n 1 2H n 2nH n 1 0
1 2
（5）厄密多项式 附加有限性条件得到了 H(ξ)的 一个多项式，该多项式称为 厄密 多项式，记为 Hn(ξ)，于是总波 函数可表示为：
2 n N n exp[ 1 ]H n ( ) 2
H 2H ( 1) H 0
H n 2H n 2nH n 0
d n1 d n1
e
]d
2
(1)
2 n 1 N n
[ H n ( )][
d d
d n1 d n1
]d (1)
2 nn Nn dn d n
[
H n ( )]e d
(1)
n ( x)
2 n n! e
2 x 2 / 2
k
为此考察相邻 两项之比：
exp[ 2 ] 1
2
1!
一维简谐振动方程
一维简谐振动方程
(1)一维简谐振动：是指单位质量上单个物体沿着一条直线往复运动，它受到线性弹簧的弹力以及空气阻力的影响而有一定的规律。
(2) 一维简谐振动方程：它的运动方程用一阶欧拉方程表示：
d^2x/dt^2 + 2βdx/dt + ω_0^2x = 0，其中，X表示一维简谐振动的位移，ω_0为自振频率，β为阻尼系数。
(3)该方程用于描述一维简谐振动的动态行为，使用该方程可以求出
振动幅值和相位随时间变化的特征，以及在特定频率中振动的振幅大小。
此外，它还可以用来分析悬挂系统的振动行为、水力传输系统的液动传输、电路等系统的动态响应情况。
第8章 弹性体的一维振动
d dx
(EA
dU j dx
)
=
−
p
j
2ρAU
j
（8-22b）
用U j 乘以式（8-22a），用U i 乘以式（8-22b），并分别沿杆长 l 对 x 进行积分，得
190
∫ ∫ l
0U j
d (EA dU i )dx = − dx dx
pi2
l
0 ρAU iU j d x
（8-23a）
∫ ∫ l
0Ui
d2 U (x) + p2 U (x) = 0
d x2
a2
（8-7）
当U (x) 具有非零解，而且符合杆端边界条件的情况下，求解 p2 值及振型函数U (x) 称为杆作纵向
振动的特征值问题。 p2 为特征值，U (x) 又称为特征函数或主振型；而 p 是固有频率。
式（8-7）的解可表示为
U (x) = C cos px + D sin px
d (EA dU j )dx = − dx dx
p
2 j
l
0 ρAU iU j d x
再利用分部积分，可将式（8-23）中左边积分为
∫ ∫ U
j
( EA
dUi dx
)
l 0
−
l EA dU i 0 dx
dU j dx
d x = −pi2
l
0 ρAU iU j d x
（8-23b） （8-24a）
∫ ∫ Ui
3.00
4.00
5.00
10.0
20.0
100.0 ∞
β1
1.08
1.20
1.27
1.32
1.42
16-4 一维谐振子问题
I p x p x 2 p x
电子与阱壁碰撞一次，阱壁所受到的冲量：
I I 2 px
'
电子连续两次碰撞同一 侧阱壁所需要的时间： 单位时间内电子碰撞同 一侧阱壁的次数：
2a T vx
1 vx f T 2a
2 px
单位时间内电子对同一侧阱壁的冲量，即冲力为
,
考虑一维谐振子的基态：
1 E 0 2 2 1 x
=
1 U ( x ) 2 x 2 2
——谐振子的特征长度
1 1
按照经典理论，
x , 经典允许区； x , 经典禁区.
按照量子力学中波函数的统计诠释，基态粒子处于经 典禁区中的概率为：
最简单的几个厄米多项式为： n=0,
H 0 ( ) 1,
n=1,
H1 ( ) 2 ,
iE n t /
n=2,
H 2 ( ) 4 2 2 ,
一维谐振子的波函数的一般形式为
n ( x, t ) n ( x)e
N ne
2 x 2 2
H n ( x ) e
2 d2 1 2 2 x ( x ) E ( x ) 2 2 2 dx
————一维谐振子的定态薛定谔方程 ————一维谐振子的能量本征值方程
2 d2 1 2 2 x ( x ) E ( x ) 2 2 2 dx
由（2.7.2）可知方程(2.7.1)有解的条件为
1 2n, n 0,1,2,3,
2.7.3
d 2 Hn dH n 此时，有 2 2nH n 0 2 d d
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习题6-1 一等直杆沿纵向以等速v 向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶ (1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。
解；(1)杆的左端突然固定；杆的初始条件为：()()0,00u x u x ==(),0u x V =由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i ap i lπ==,… ,...3,2,1i ,x 2li sin D x)U ~ii ==π（ 由归一化条件20sin 12li i x A D dx l πρ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰得i D =即正则振型为,...3,2,1i ,x 2li sin Al 2x)U ~i ==πρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为()00sin2li i i AVD xdx l πηρ=⎰2i l AVD i ρπ= ()00i η=，i=1，3，5，…由式（８－４０）得()0sin i i i ip t p ηη=，进而有：t 2l a i sin 2l x i sin i 1a 8V l t sinp a i 2l i 2l AV D 2l x i sin D )t (U ~)t ,x (u ,...3,1i 22i i ,...3,1i i i ,...3,1i i ∑∑∑∞=∞=∞====πππππρπη(2)杆的右端突然固定；杆的初始条件为：()()0,00u x u x ==(),0u x V =由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i ap i lπ==,… ...5,3,1i ,x 2li cos C x)U ~ii ==π（ 由归一化条件1)2cos(2=⎰dx lx i C A i lπρ得AlC i ρ2=即正则振型为,...5,3,1i ,x 2li cos Al 2x)U ~i ==πρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为⎰--==li i i i i lAV C dx l x i AVC 021)1(22cos )0(πρπρη()00i η=，i=1，3，5，…由式（８－４０）得()0sin i i i ip t p ηη=，进而有：t 2l ai sin 2l x i cos i1)1(a 8Vl t sinp a i 2l i 2l AVD 2l x i sin D )t (U ~)t ,x (u ,...3,1i 2212i i ,...3,1i i i ,...3,1i i ∑∑∑∞=-∞=∞=-===πππππρπηi6-2 求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动。
(1) 常力F 作用于杆的中点，如题6-2(a) 图所示；(2) 常力F 作用于杆的三分之一点处，如题6-2(b) 图所示；(3) 两个大小相等、方向相反的常力F 作用于杆的四分之一点及四分之三点处如题图6-2(c)所示。
解：（1） 根据题意 ，0t =时杆内的应变 0/2P EAε=杆的初始条件为()()()0000/2,0{/2xx l u x u x l x l x lεε≤≤==-≤≤因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为()()()1,2,sin1,2,i i i ia P i li U x D x i la ππ==⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=题6-2图将主振型代入归一化条件，得2sin1liiiA D x dxlDπρ⎛⎫=⎪⎝⎭=⎰得到正则振型()()~1,2,iiU x x ilπ==⋅⋅⋅得到以正则坐标表示的初始条件为()()()()2002220sin sin201,2,li i iii l iAu x D xdx A Dl ix iππηρρεπη∙====⋅⋅⋅⎰得到以正则坐标表示的对初始条件的响应()0cosi i ip tηη=于是杆的自由振动(),u x t=()2~0221,2,1,2,2sin sin cos2i i i i ii ii l iU t D x A D p tl iππηρεπ∞∞=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=∑∑=0221,2,sin42sin cosiiil ix p ti lπεππ∞=⋅⋅⋅∑()12221,3,12sin cosiipl i i ax tEA i l lπππ-∞=⋅⋅⋅-=∑（2）根据题意，0t=时杆内的应变1202/3/3P P PEA EA EAεεε===设杆的初始条件为()()()120/3,0{/3x x lu x u xl x l x lεε≤≤==-≤≤()20/33{1/33x x ll x l x lεε≤≤=-≤≤因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为()()()1,2,sin 1,2,i i i ia P i li U x D xi lππ==⋅⋅⋅==⋅⋅⋅将主振型代入归一化条件，得20sin 1li i i A D x dx l D πρ⎛⎫= ⎪⎝⎭=⎰得到正则振型()()~1,2,i i U x x i lπ==⋅⋅⋅得到以正则坐标表示的初始条件为()()()()2002200sin sin301,2,li i i i i l i Au x D xdx A D l i x i ππηρρεπη∙====⋅⋅⋅⎰ 得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 ()0cos i i i p t ηη= 于是杆的自由振动(),u x t =()2~0221,2,1,2,sin sin cos 3i i i i i i i i l i U t D x A D p t l i ππηρεπ∞∞=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=∑∑=0221,2,sin23sin cos ii i li x p t i lπεππ∞=⋅⋅⋅∑22121sin cos i pl i i a x t EA i l lπππ∞==∑（3） 根据题意 ，0t =时杆内的应变 0P EAε= 杆的初始条件为()()()()00000/4,0{/2/43/43/4xx l u x u x l x l x l l x l x lεεε≤≤==-≤≤-≤≤因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为()()()1,2,sin 1,2,i i i ia P i li U x D xi lππ==⋅⋅⋅==⋅⋅⋅将主振型代入归一化条件，得20sin 1li i i A D x dx l D πρ⎛⎫= ⎪⎝⎭=⎰得到正则振型()()~1,2,i i U x x i lπ==⋅⋅⋅得到以正则坐标表示的初始条件为()()()()20022030sin sin sin 4401,2,li i i i i l i i Au x D xdx A D l i x i πππηρρεπη∙⎛⎫==- ⎪⎝⎭==⋅⋅⋅⎰ 得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 ()0cos i i i p t ηη= 于是杆的自由振动(),u x t =()2~0221,2,1,2,3sin sin sincos 44i i i i i i i i l i i U t D x A D p t l i πππηρεπ∞∞=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑ =0221,2,3sin sin244sin cos ii i i l i x p t i lππεππ∞=⋅⋅⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭∑()24222,6,1014sincos i i pli i a x t EA i l lπππ-∞=⋅⋅⋅-=∑6-3 如题6-3图所示，一端固定一端自由的等直杆受到均匀分布力lF p 00=的作用，求分布力突然移去时杆的响应。
解：杆左端固定端，右端为自由端())sin cos )((,pt B pt A x U t x u +=题6-3图a pxD a px C x U sincos)(+= 边界条件0)0(=U0==lx dxdU得固有频率，主振型a l i p i 2)12(π-=x li D x U i i 2)12(s i n )(π-= i=1,2,…… )2sin 2cos (2sin),(,3,1t lai B t l a i A l x i t x u i i i πππ+=∑∞⋯⋯= 杆在x 处的应变⎰=xdx EAx l F 00εEAl x F 220=初始条件⎪⎩⎪⎨⎧=====∙∙0)()0,(2)()0,(03000x u x u EAl x F x x u x u ε 由0)()0,(0==∙∙x u x u ，得 0=i Bt lai A l x i t x u i i 2cos 2sin),(,3,1ππ∑∞⋯⋯==再利用三角函数正交性⎰⎰==l li dx lxi x dx l x i A 00022sin )2(sin πεπ⎰=l dx l x i EAl x F 0302sin2π 得EAi lF A i 33016π=t l a i A l x i t x u i i 2cos 2sin ),(,3,1ππ∑∞⋯⋯==t l ai l x i i EA i l F i 2cos 2sin 116,3,13330πππ∑∞⋯⋯==解二：用直接法。
因为ε=x p dx p x000=⎰ 其中，lF p 00=杆的初始条件为 ()()⎰==xx u x u 000,EAεdx =EAl x F 220()()00,0==x u x u由于此题为一端自由一端固定，则由公式可直接得出杆的固有频率及主振型(1,3,5......)2()sin (1,3,5......)2i i i i ap i li U x D x i l ππ====将主振型代入归一化条件得得2(sin)12li i i A D x dx lD πρ==⎰得到正则振型为()x li Al x U i 2sin 2~πρ=i=1,3,5… 则得到正则坐标表示的初始条件为()()xdx l i Al EAl x F A dx U x Au l i li 2sin 22~002000πρρρη⎰⎰===⎪⎭⎫⎝⎛-ππρπρi i Al Ei l F 22sin 242220 i η()00= i=1,3,5… 以正则坐标表示对初始条件的响应为(0)cos i i i p t ηη=得到杆对初始条件的总响应()()()t lai i i Al Ei l F x l i Al x U t x u i i i i 2cos22sin 242sin 2~,2220...5,3,1...3,2,1πππρπρπρη⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑∑∞=∞= 即 t l ai l x i iEA l F t x u i 2πcos 2πsin 1π16),(,3,1330∑∞=⋅=6-4 假定一轴向常力F 突然作用于题6-2的等直杆的中点处，初始时刻杆处于静止平衡状态，求杆的响应。