上海市南汇中学11-12学年高二下学期期中考试数学试题
上海市高二下学期期中数学试卷及答案(共3套)
上海市浦东新区高二第二学期期中数学试卷一、填空题（1-6题，每题3分；7-12题，每题4分）。
1. 过点)5,3(P ，且与向量)2,4(=d 平行的直线l 的点方向式方程为 24= 。
2. 直线023=++y x 的倾斜角为___________ 3arctan -π3. 直线0143=+-y x 与0743=+-y x 的距离为 56。
4.直线1y x =+被曲线2112y x =-截得的线段AB 的长为_____________ 5. 直线21:60l x m y ++=与2:(2)320l m x my m -++=平行，求实数m 的值___0或1-6.已知方程22123x y k k+=-+表示椭圆，求实数k 的取值范围_32m -<<且12≠- 7．过点)3,1(-且与直线013=+-y x 的夹角为6π的直线方程为04301=+-=+y x x 或8．已知一圆的圆心坐标为)1,2(-C ，且被直线01:=--y x l 截得的弦长为22，则此圆的方程22(2)(1)4x y -++= 。
9．若椭圆)0(14422>=++k ky x 的两焦点和两顶点构成一个正方形，则=k 4 。
10．已知点)3,2(-A 、)2,3(B --，若直线l 过点)1,1(P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的 取值范围_____4-≤k 或43≥k11.已知关于x 0x m +=有两个不等实数根，则实数m 的取值范围1m ≤-12.设AB 是椭圆221164x y +=的长轴，若把AB 分成10等分，依次过每个分点作AB 的垂线，交椭圆的上半部分于129P P P 、、。
1F 为椭圆的左焦点，则11112FA F P F P +++191F P FB ++的值___________。
44 二、选择题（每题4分）。
13. 若点P 的坐标为(,)a b ，曲线C 的方程为(,)0F x y =，则“(,)0F a b =”是“点P 在曲线C 上”的____________ （ C ）()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件 ()D 既非充分又非必要条件14．椭圆的焦距为8，且椭圆上的点到两个焦点距离之和为10，则该椭圆的标准方程是 （ B ）（A ）192522=+y x （B ）125922=+y x 或192522=+y x（C ）125922=+y x（D ）1251622=+y x 或191622=+y x15. 圆上的点到直线043=+y x 的距离的最大值是 （ C ）)(A53 B)(51)(C 552+ )(D 552-16. 已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线 必经过椭圆的另一个焦点. 今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的两个焦点， 长轴长为a 2，焦距为2c. 当静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线击出， 经椭圆壁反弹后再回到点A 时，小球经过的路程是 （ D ） （A ）a 4 （B ）)(2c a - (C) )(2c a + （D ）以上三种情况都有可能三、 解答题（共42分）。
上海市南汇中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
上海市南汇中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题一、填空题1．已知A ＝{x |2x ≤1}，B ＝{﹣1，0，1}，则A ∩B ＝.2．若()34log log 1x =，则x =．3．已知函数32()31f x x ax x =+++，若3x =-是函数()f x 的驻点，则实数=a 4．随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，若(2)0.023P ξ>=，则(22)P ξ-≤≤=．5．直线1x =与直线10x +=的夹角大小为．6．已知x ､y +∈R ，且123y x +=，则y x的最大值为 7．设甲、乙两个地区爆发了某种流行病，且两个地区感染此病的比例分别为 13、 14，若从这两个地区中任选一个地区选择一个人，则此人感染此疾病的概率是． 8．设'0()f x 表示()f x 在0x x =处的导数值， 已知'2()2(3)22ln f x f x x x =-+，则'(3)f =9．设随机变量X 服从二项分布1(),3X B n,:若随机变量X 的方差4[]3D X =，则(2)P X == 10．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x (每分钟鸣叫的次数)与气温y (单位：℃ )存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y 关于x 的线性回归方程0.25y x k =+．则当蟋蟀每分钟鸣叫62次时，该地当时的气温预报值为．11．甲乙丙丁四名医生随机派往①②③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派一名医生，A 表示事件“医生甲派往①村庄”；B 表示事件“医生乙派往①村庄”；C 表示事件“医生乙派往②村庄”， 则下列说法①事件A 与B 相互独立； ②事件A 与C 相互独立； ③()5|12P B A =；④()5|12P C A =，其中错误的个数是个． 12．已知点M 在抛物线2Γ:4x y =上运动，过点M 的两直线12,l l 与圆22:(3)4C x y +-=相切，切点分别为,A B ，当AB MC ⋅取最小值时，直线AB 的方程为.二、单选题13．已知0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ）A ．11a b <B ．2ab b <C ．b a a b >D ．1a b b+> 14．已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．615．某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是( )A ．2B ．3C ．4D ．516．设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题17．已知不等式02x x >+的解集为A ，不等式2221x x +-≤的解集为B ．(1)求A∩B ．(2)若不等式220x x m --<在(0,1]x ∈上有解，求实数m 的取值范围．18．已知函数2()ln f x x x =+(1)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)求函数()()3h x f x x =-的单调区间．19．某汽车生产企业对其生产的四款新能源汽车进行市场调研，从购买者中选取50名车主对车辆进行性能评分，每款车都有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，各评分的相应人数统计结果如下表所示．(1)求这四款车得分的平均数．(2)约定当得分不小于4时，认为该款车型性能优秀，否则认为性能一般，根据上述样本数据，完成以下2×2列联表，取显著性水平0.05α=，能否认为汽车的性能与款式有关？说明理由．(3)为进一步提升产品品质，现从样本评分不大于2的基础版车主中，随机抽取3人征求意见，设随机变量X 表示其中基础版1车主的人数，求X 的分布和期望．附： 22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++；2( 6.635)0.01P χ≥≈；222( 5.024)0.025,( 3.841)0.05,( 2.706)0.1.P P P χχχ≥≈≥≈≥≈20．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>点()3,1-在双曲线C 上．过C 的左焦点F 作直线l 交C 的左支于A 、B 两点．(1)求双曲线C 的方程．(2)若()2,0M -，试问：是否存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上？若存在出直线l 的方程；若不存在，说明理由．(3)点()4,2P -，直线AP 交直线2x =-于点Q ．设直线QA 、QB 的斜率分别1k 、2k ，求证：12k k -为定值．21．已知函数()(1)e 1,[0,1]x f x x x =-+∈.(1)求证：()0f x ≥.(2)若e 1x a b x-<<对任意(0,1)x ∈恒成立，求b a -的最小值. (3)求证：()f x 的图象恒在直线12y x =-上方.。
高二数学期中考试试卷无附参考答案 试题
卜人入州八九几市潮王学校南汇2021年高二数学期中考试试卷〔90分钟完卷，总分值一、填空题〔每一小题3分，一共36分〕：1．3501x =-，那么x 等于2．(3,4)m =-，那么与m 同向的单位向量0m 为3．设直线l 过点P(1,1)，又l 的一个法向量(1,2)n=-，那么直线l 的方程为 4．假设(8,)(2,4)m a n a ==，，且n m //，那么a 等于5．设点P 到点)0,4(A 的间隔等于它到y 轴的间隔，那么点P 的轨迹方程是6．3=a ，7=b ，6=+b a ，那么a 与b的夹角为7．经过直线1l ：052=-+y x 与2l ：0323=+-y x 的交点且垂直于直线3l ：043=+-y x 的直线方程为8．设21P P 、两点的坐标分别是)6,1(--、(5,0)，P 在线段12P P 上，使122PP PP =，那么位置向量OP 的坐标为9．假设点P 〔1，1〕到直线10ax y -+=的间隔为12，那么a = 10．假设三条直线1l ：44=+y x ，2l ：0=+y mx ，3l ：432=-my x 不能构成三角形，那么m 的值可以是〔只需写出一个答案，不必写出所有结果〕11．假设将直线01=+-y x 沿向量(3,4)a =-的方向平行挪动5个单位后，得到直线l ，那么直线l 的方程为 12．假设集合{}{}0),(2)2(),(=-=+-==y x y x Q x a y y x P ，满足Q P ⋂为单元素集合，那么a 的取值范围是二、选择题〔每一小题3分，一共12分〕：13．向量b a 、为非零向量，且不在同一直线上，0)()(=-⋅+b a b a，那么以下成立的是〔〕(A)b a=(B)a b =-(C)a b =(D)a b =- 14．在以下各对方程中，表示同一曲线的一对方程是---------------------------〔〕(A)x y =与33x y =(B)xy =与2x y = (C)022=+y x 与0=xy (D)2lg x y =与x y lg 2=15．某人买8支单价为元的红笔和10支单价为0.8元的蓝笔，设数量向量为〔8，10〕，单价向量为〔，0.8〕，那么此人一共花去的费用是以下运算------------------〔〕〔A 〕向量的加法〔B 〕向量的减法〔C 〕向量的数量积〔D 〕实数与向量的积16．直线320x y m -+=和2(1)3230m x y m +++-=的位置关系是------------〔〕 〔A 〕平行〔B 〕重合〔C 〕相交但不可能垂直〔D 〕相交但可能垂直三、解答题〔6+8+8+8+10+12分，一共52分〕：17．(3,4)a =，向量AB 与a 反向，且10AB =，假设向量(1,3)OA =-，求向量OB 坐标18．一条直线经过点P 〔2，3〕，入射到直线01=-+y x 上，反射后通过点Q 〔3，2〕，求入射光线所在直线方程19．点C B A 、、坐标分别为)5,2(、)0,1(、)1,1(-，设a CA b CB ==，，〔1〕求ACB ∠的大小；〔2〕假设向量b m a +与向量b a-垂直，求m 的值20．向量(,0)(1,)a x b y ==，，满足3a b +与3a b -互相垂直〔1〕求点(,)P x y 的轨迹C 的方程；〔2〕假设过点(0,1)A -的直线l 与上述轨迹C 有两个不同的交点，求直线l 斜率k 的取值范围21．某公司为帮助尚有2万元无息贷款没有归还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建为经营状况良好的某种消费品专卖店并约定用该店经营的利润逐步归还债务〔不计息〕。
上海高二下学期期中数学试卷(理科)
上海高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·静海月考) 命题“ ”的否定是（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二上·青岛期中) 直线的倾斜角等于（）A .B .C .D .3. （2分）甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如表：甲乙丙丁R20.980.780.500.85建立的回归模型拟合效果最差的同学是（）A . 甲B . 乙D . 丁4. （2分）“x=0”是“x=0”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件5. （2分）(2017·合肥模拟) 如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A .B .C .D .6. （2分） (2020高一上·林芝期末) 圆与圆的位置关系为（）A . 相离B . 相交C . 外切7. （2分）若则（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二上·正定期末) 已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（）A . 求数列的前10项和（n∈N*）B . 求数列的前10项和（n∈N*）C . 求数列的前11项和（n∈N*）D . 求数列的前11项和（n∈N*）9. （2分）离心率为的椭圆与离心率为的双曲线有相同的焦点，且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等比数列，则（）A .B .C .D .10. （2分） (2015高二上·朝阳期末) 若由方程x2﹣y2=0和x2+（y﹣b）2=2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，则实数b的取值范围是（）A . 或B . b≥2或b≤﹣2C . ﹣2≤b≤2D .11. （2分）(2018·黄山模拟) 我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有架“歼—”飞机准备着舰，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为（）A .B .C .D .12. （2分）如图，是直三棱柱，为直角，点、分别是的中点，若，则与所成角的余弦值是（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·阳高期末) 若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的3倍，则 ________．14. （1分）(2016·绵阳模拟) 经过双曲线﹣ =1（a＞b＞0）的右焦点为F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相较于M，N两点，若O为坐标原点，△OMN的面积是 a2 ，则该双曲线的离心率是________．15. （1分） (2015高二下·宜昌期中) 在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则△PAB的面积大于等于的概率是________．16. （1分）(2019·广州模拟) 有一个底面半径为，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则的最大值为________.三、解答题： (共6题；共45分)17. （5分）已知命题方程有两个不等的负根，命题方程无实根，若为真，为假，求的取值范围.18. （10分）已知过原点O的圆x2+y2﹣2ax=0又过点（4，2），（1）求圆的方程，（2） A为圆上动点，求弦OA中点M的轨迹方程．19. （10分）(2017·诸城模拟) 如图，在几何体ABCDQP中，AD⊥平面ABPQ，AB⊥AQ，AB∥CD∥PQ，CD=AD=AQ=PQ= AB．（1）证明：平面APD⊥平面BDP；（2）求二面角A﹣BP﹣C的正弦值．20. （5分）(2017·成安模拟) 某超市从2017年1月甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为S12与S22 ，试比较S12与S22的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（Ⅲ）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的分布列和数学期望．21. （10分） (2019高二上·龙江月考) 椭圆的两个焦点的坐标分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且椭圆经过点（，﹣）（1）求椭圆标准方程．（2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率．22. （5分）过原点作直线l和抛物线y=x2﹣4x+6交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10、答案：略11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共45分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、。
上海南汇中学2011学年第二学期期中考试高二数学
上海南汇中学2011学年第二学期期中考试高二数学满分：100分 完成时间：90分钟一、填空题（每小题3分，共36分）1、直线013=+-y x 的倾斜角是 .2、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是(0,2)，则椭圆的标准方程为____________.3、经过点(1,0)A 且与直线10x y ++=平行的直线l 的方程为 _.4、双曲线22149x y -=的虚轴长是 _. 5、已知直线220310x y x y +-=-+=和的夹角是 _. 6、直线1x y +=被圆221x y +=所截得的弦长等于 _.7、已知方程221104x y k k -=--表示双曲线，则实数k 的取值范围为 _. 8、过点(1,2)且与圆221x y +=相切的直线的方程是 _.9、已知双曲线2214y x -=的两个焦点分别为1F 、2F ,P 为双曲线上一点，且122F PF π∠=,则12F PF ∆的面积是 .10、设F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若点(1,2)A ， ABC ∆的重心与抛物线的焦点F 重合，则BC 边所在直线方程为 .11、若方程0x k +=只有一个解，则实数k 的取值范围是 _. 12、下列五个命题：①直线l 的斜率[1,1]k ∈-，则直线l 的倾斜角的范围是[,]44ππα∈-； ②直线:1l y kx =+与过(1,5)A -，(4,2)B -两点的直线相交，则4k ≤-或34k ≥-；③如果实数,x y 满足方程22(2)3x y -+=，那么y x④直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是1m ≥； ⑤方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是41<m 或1>m ； 正确的是__________ _.二、选择题（每小题3分，共12分）13、直线320x y m ++=与直线2310x y +-=的位置关系是…………………………（ ） （A ）相交 （B ）平行 （C ）重合 （D ）由m 决定14、若椭圆14222=+a y x 与双曲线12222=-y ax 有相同的焦点，则实数a 为 …………（ ） （A ） 1 （B ） 1- （C ） 1± （D ） 不确定15、已知抛物线x y C =2:与直线1:+=kx y l ，“0≠k ”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的………………………………………………………………………………………（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 16、已知曲线C ：22||||1x x y y a b-=，下列叙述中错误．．的是………………………………（ ） （A ）垂直于x 轴的直线与曲线C 只有一个交点（B ）直线y kx m =+（,k m ∈R ）与曲线C 最多有三个交点 （C ）曲线C 关于直线y x =-对称（D ）若111(,)P x y ，222(,)P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120y y x x ->-三、解答题（第17、18题各8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分） 17、已知△ABC 的三个顶点是(3,4)A -、(0,3)B 、(6,0)C -，求 （1） BC 边所在直线的一般式方程；(4分)（2） BC 边上的高AD 所在直线的一般式方程. (4分)18、求经过(3,0)A -,且与圆22(3)64x y -+=内切的圆的圆心M 的轨迹方程. (8分)19、已知双曲线1C ：2214y x -=（1）求与双曲线1C 有相同的焦点，且过点P 的双曲线2C 的标准方程；（5分）（2）直线l ：y x m =+分别交双曲线1C 的两条渐近线于A 、B 两点。
上海市南汇中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
(4) - f (2) 4-2
=
42
- 22 2
=
6．
故答案为：6．
6． arctan1 【分析】两直线的夹角的可由两直线的倾斜角表示，根据倾斜角和斜率的关系，用两角差 的正切公式可得.
【详解】
如图，设 3x - y +1 = 0 的倾斜角为a ，则 tana =3 ，
设
x
-
2y
+
3
=
0
的倾斜角为
b
上海市南汇中学 2022-2023 学年高二下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．直线 x - 3y +1 = 0 的倾斜角为_________．
2．抛物线 y2 = -x 的准线方程为______．
( ) 8．设
P
是椭圆
C
:
x a
2 2
+
y2 6
=焦点， PF 的最小值为
2 ，则椭圆 C 的长轴长为______． 9．已知 F1 ， F2 为双曲线 C : x2 - y2 = 1 的左、右焦点，点 P 在双曲线 C 上， PF1 = 2 PF2 ，
则 cos ÐF1PF2 = ______． 10．已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点， AB = 10 ，P 为 C 的准线上一点，则VABP 的面积为______． 11．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l : y = kx + 8 上存在点 P，过点 P 作圆
=
22 + 42 - 2 2´ 2´ 4
2023-2024学年上海中学高二期中数学试卷及答案(2023.11)
1上海中学2023学年第一学期高二年级数学期中2023.11一、填空题（本大题共有12题,满分42分,第16∼题每题3分,第7-12题每题4分）1．向量()1,0,1a = ，(),1,2b x = 且3a b ⋅=，则x =__________．2．已知两条相交直线a ，b ，且a 平面α，则b 与α的位置关系是__________．3．将一个圆心角为2π3，面积为3π的扇形卷成一个圆锥，那么该圆锥的体积为__________． 4．如图，我们将一本书打开放置在桌面上（每页书都有一边恰好落在桌面上）．根据我们所学的__________定理，我们可以证明书脊所在的直线AB 垂直于桌面．5．已知四棱锥P ABCD −的高为2，其底面ABCD 水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为1的正方形，则该四棱锥的体积为__________．6．正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，点E 是棱1CC 的中点，则点E 到平面1A BD 的距离是__________．7．正三棱柱ABC A B C ′′′−中，1AB =，2AA ′=，则直线BC ′与平面ABB A ′′所成角的正弦值为__________．8．下列说法正确的是__________．�一条直线和平面平行的充要条件是直线的方向向量垂直于平面的法向量．�如果直线AB 与CD 是异面直线，那么向量AB 与CD不共面�两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段． �直三棱柱任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积．29．设AB 和CD 都是平面α的垂线，其垂足分别为B ，D ．已知5AB =，9CD =，3BD =，那么线段AC =__________．10．设1O ，2O 分别是圆柱P 的上、下底面1π，2π的中心．i Q 是以i O 为顶点，3πi −为底面的圆锥体()1,2i =，若圆柱P 的体积为1，那么圆锥1Q ，2Q 的公共部分的体积为__________． 11．正四棱柱1111ABCD A B C D −中，已知2AB =，11AA =，那么以A 为球心，半径为2的球面与该四棱柱表面交线的总长度为__________．12．已知空间四个单位向量1e ，2e ，3e ，4e 满足：1234123421e e e e e e e e +=+=+++=，则13e e ⋅的最大值为__________．二、选择题（本大题共有4题,满分16分，每小题4分）13．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为2140.0km ；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为2180.0km ，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为（ ）．（保留两位有效数字） A ．931.010m × B ．931.210m × C ．931.410m ×D ．931.610m ×14．已知平面α，β，γ两两垂直，直线a ，b ，c 满足：a α⊂，b β⊂，c γ⊂，则直线a ，b ，c 的位置关系不可能是（ ）． A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面15．已知二面角l αβ−−的大小为60°，点P ，Q 分别在α，β上且PQ l ⊥，若点P 到βQ 到α，则PQ 两点之间的距离为（ ）． AB ．1C ．2D316．如图，已知正三棱柱111ABC A B C −中1AC AA =，E ，F 分别是棱BC ，11AC 上的点．记EF 与1AA 所成的角为α，EF 与平面ABC 所成的角为β，二面角F BC A −−的平面角为γ，则（ ）． A ．αβγ≤≤ B ．βαγ≤≤ C ．βγα≤≤D ．αγβ≤≤三、解答题（本大题共有4题,满分42分） 17．（本题满分10分）如图，在正四棱锥P ABCD −中，PA AB a ==，E 是棱PC 的中点； （1）求证：PA 平面EDB ； （2）求三棱锥E BDC −的体积．18．（本题满分10分）如图，在四面体ABCD 中，3AB =，2AC AD ==，2π3BAD CAD ∠=∠=，π2BAC ∠=，点M ，N 分别在棱AB ，BC 上，且AM BM =，2CN BN =． （1）请用AB ，AC ，AD 表示AN ，DM；（2）求异面直线AN ，DM 所成角的余弦值．419．（本题满分10分）如图，在底面为正三角形的三棱柱111ABC A B C −中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，160CBB ∠=°，124AA AB ==． （1）证明：111B C AC ⊥；（2）求二面角1C AB A −−的余弦值．20．（本题满分12分） 在长方体1111ABCD A B C D −中（1）如图一，点P ，Q 分别在棱AB ，1CC 上，请在图一中作出过点1D ，P ，Q 的平面与长方体的截面，保留作图痕迹，不必说明理由．（2）如图二，已知13AB =，5AD =，112AA =，过点A 且与CD 平行的平面α将长方体分成两部分，现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面α变化过程中，求这两个球的半径之和的最大值．5参考答案一、填空题1.1;2.平行或相交; 4.线面垂直定理; 8.��;9.; 10.112；11.5311．正四棱柱1111ABCD A B C D −中，已知2AB =，11AA =，那么以A 为球心，半径为2的球面与该四棱柱表面交线的总长度为__________．【答案】53+ 【解析】以A 为球心,2为半径的球面与该棱柱表面的交线如图所示,其中平面ABCD 内的交线为2为半径的圆周长的14在平面11ABB A ,平面11ADD A 内的交线为圆心角为30 的扇形的弧长, 在1111A B C D 内的交线为以A 为圆心14,∴为半径的球面与该棱柱表面的交线的总长度为11122222446πππ××+×+××53=二、选择题13.C 14.B 15.A 16.A15．已知二面角l αβ−−的大小为60°，点P ，Q 分别在α，β上且PQ l ⊥，若点P 到βQ 到α，则PQ 两点之间的距离为（ ）． AB ．1C ．2D【答案】A6【解析】如图，作,PC QD βα⊥⊥，过C 作CM l ⊥，连接,PM QM ，由l αβ∩=， 所以,PC l QD l ⊥⊥，又,PQ l l ⊥⊥平面QCDP ，即l ⊥平面QMP由二面角l αβ−−为60P ，到bQ 到a在Rt QMD ∆中,60,1QD QMD QM ∠== 在Rt PCM ∆中,60,2PC QMD PM ∠== ，在PMQ ∆中,22212cos60142232QP QM PM QM PM =+−⋅=+−××=所以PQ =故选:A16．如图，已知正三棱柱111ABC A B C −中1AC AA =，E ，F 分别是棱BC ，11AC 上的点．记EF 与1AA 所成的角为α，EF 与平面ABC 所成的角为β，二面角F BC A −−的平面角为γ，则（ ）． A ．αβγ≤≤ B ．βαγ≤≤ C ．βγα≤≤D ．αγβ≤≤【答案】A【解析】 正三棱柱111ABC A B C −中,1AC AA =,∴正三棱柱的所有棱长相等,设棱长为1, 如图,过F 作FG AC ⊥,垂足点为G ,连接GE ,则1//A A FG ,EF ∴与1AA 所成的角为,tan ,GEEFG GE FGαα∠===且 又[][]0,1,tan 0,1GE α∈∴∈,EF ∴与平面ABC 所成的角为FEG β∠=, 且[)1tan 1,,tan tan GF GE GEββα==∈+∞∴…,...(1),7再过G 点作GH BC ⊥,垂足点为H ,连接HF ,又易知FG ⊥底面,ABC BC ⊂底面ABC ,BC FG ∴⊥,又,FG GH G BC ∩=∴⊥平面GHF ,∴二面角F BC A −−的平面角为GHF γ∠=,且1tan GF GH GH γ==,又[0GH ∈,tan ,tan tan γγα ∴∈+∞∴…,...(2), 又,tan tan ,GE GH βγ∴…厔(3),由(1)(2)(3)得tan tan tan αβγ剟, 又,αβ,0,,tan 2y x πγ ∈= 在0,2π单调递增,,αβγ∴剟故选:A. 三．解答题17.（1）证明略 （2）3V =18.（1）2133AN AB AC =+ ，12DM AB AD =− ；（219．（本题满分10分）如图，在底面为正三角形的三棱柱111ABC A B C −中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，160CBB ∠=°，124AA AB ==．（1）证明：111B C AC ⊥；（2）求二面角1C AB A −−的余弦值． 【答案】（1）见解析（2【解析】(1)证明:在底面为正三角形的三棱柱111,ABC A B C −中平面ABC ⊥平面11,BCC B8160CBB ∠= ,111124,4,2AA AB CC B C ==∴==1B C =2221111111,B C B C CC B C B C ∴+=∴⊥ 平面ABC ⊥平面11,BCC B∴平面111A B C ⊥平面11BCC B , 平面111A B C ∩平面1111BCC B B C =,1B C ∴⊥平面11111A B C A C ∴⊂平面111A B C ,111B C A C ∴⊥;(2)以1B 为坐标原点,1B C 所在直线为x 轴,11B C 所在直线为y 轴,过1B 作平面11BCC B 的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系,则((),2,0A B −−,()(1,C A,(0,1,,(0,1,AB AC =−−=),()1AA =−,设平面ABC 的法向量(),,n x y z = ,则00n AB y n AC y ⋅=−= ⋅=−=,得0y z ==,则()1,0,0n = , 设平面1ABA 的法向量(),,m a b c = ,则1020m AB b m AA b ⋅=−= ⋅−+=,取1a =,得()1m =−, 设二面角1C AB A −−的平面角为θ,则1020m AB b m AA b ⋅=−= ⋅−+=,取1a =,得()1m =− ,设二面角1C AB A −−的平面角为θ,则•cos m n m nθ==⋅ , ∴二面角1C AB A −−. 20．（本题满分12分） 在长方体1111ABCD A B C D −中（1）如图一，点P ，Q 分别在棱AB ，1CC 上，请在图一中作出过点1D ，P ，Q的平面与9长方体的截面，保留作图痕迹，不必说明理由．（2）如图二，已知13AB =，5AD =，112AA =，过点A 且与CD 平行的平面α将长方体分成两部分，现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面α变化过程中，求这两个球的半径之和的最大值．【答案】（1）（2）（3）【解析】(1)�延长1D Q 交DC 延长线于点E ;�连接PE 与BC 交于点F ,并延长EP 交DA 延长线于点G ; �连接1D G 交1AA 于点H ;�分别连接线段11,,,,D H HP PF FQ QD ,则五边形1D HPFQ 及其内部(图中阴影部分)即为所求截面. (2)如图所示,平面ABMN 将长方体分成两部分,MN 有可能在平面11CDD C 上或平面1111A D C B 上,但是若MN 在平面1111A D C B 上运动,两部分几何体都是细长形状,放入的两个小球由于棱长AD 限制,易知要使两球半径和的最大,需在平面11CDD C 上运动. 延长11B C 与BM 交于点P ,作1O Q BC ⊥于Q 点,设1CBP BPB α∠=∠=,圆1O 对应的半径为1r ,根据三角形内切圆的性质, 在Rt 1O QB ∆中,12QBO α∠=,15BQ BC CQ r =−=−,10111tan 25O Q r BQ r α==−,则15tan5251tan 1tan22r ααα==−++, 又当BP 与1BC 重合时,1r 取得最大值,由内切圆等面积法求得1512251213r ×≤=++,则2tan23α≤设圆2O 对应的半径为2r ,同理可得266tan ,2r α=−又252r ≤,解得7tan 212α≥.故1255566tan1761tan ,221tan1tan 22r r αααα+=−+−=−−+ ++72tan ,1223α≤≤()19551tan,,,176,2123x x f x x x α=+∈=−−设则 由对勾函数性质易知195,123x∈,函数()f x 单减, 则()195191651761912123812f x f ≤−−×,即最大值为16538. 故两个球的半径之和的最大值为16538.。
上海市南汇中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
(3)点 P (-4, 2) ，直线 AP 交直线 x = -2 于点 Q ．设直线 QA 、 QB 的斜率分别 k1 、 k2 ，求证：
k1 - k2 为定值． 21．已知函数 f (x) = (x -1)ex +1, x Î[0,1] . (1)求证： f (x) ³ 0 .
+ 36
=
30
，
于是 30 = 0.25´ 40 + k ，解得 k = 20 ，则 y 关于 x 的线性回归方程为 y = 0.25x + 20 ， 当 x = 62 时， y = 0.25´ 62 + 20 = 35.5 ，
所以该地当时的气温预报值为 35.5 （℃）.
故答案为： 35.5 11．3 【分析】按相互独立的定义可判断 AB，用条件概率公式可判断 CD. 【详解】将甲、乙、丙、丁 4 名医生派往①，②，③三个村庄进行义诊包含
f
¢(x)
=
2
f
' (3)
-
4x
+
2 x
，
令
x
=
3
，则
f
¢(3)
=
2
f
' (3)
- 12
+
2 3
，解得
f
¢(3)
=
34 3
，
故答案为： 34 3
9． 80 243
答案第31 页，共22 页
【分析】利用二项分布的方差公式求出 n ，再利用二项分布概率公式求值即可.
【详解】依题意，
n´
1 3
´ (1-
上海市南汇中学 2023-2024 学年高二下学期期末考试数学试
2020-2021下海南汇第二中学高中必修二数学下期中试题带答案
2020-2021下海南汇第二中学高中必修二数学下期中试题带答案一、选择题1．设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（ ） A ．-4 B ．14- C ．14 D ．42．水平放置的ABC V 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（ ）A ．2B ．217C ．2D ．83．已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．()1,1-B ．()(),11,∞∞--⋃+C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+ 4．设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( )A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．42B ．32C ．322D ．226．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．307．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．||αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．||m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭C ．||||||m m n n γγ⎫⇒⎬⎭D ．||m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭ 8．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A ．72π B ．56π C ．14π D ．64π9．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ） A ．312+ B ．31- C ．22 D ．512- 10．某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．13 B ．12 C ．16 D ．111．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB 3C ．4πD 3 12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ；②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值；④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等，A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为__________．14．如图，在正方体1111—ABCD A B C D 中，M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，有以下四个结论：①直线AM 与1CC 是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与1MB 是异面直线；④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的结论的序号为________．15．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①0BD AC ⋅≠u u u r u u u r；②∠BAC ＝60°；③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直．其中正确结论的序号是 ．（请把正确结论的序号都填上）16．在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2222110y x a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为_____．17．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱1BB 的中点，则点1B 到平面ADE 的距离为__________.18．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1BB 的中点，直线1D M 与平面ABCD 交于点N ，则线段AN 的长度为________19．函数2291041y x x x =++-+的最小值为_________.20．如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD 内接于底面圆O ，则四棱锥P ABCD -侧面积为__________．三、解答题21．在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC BD ⊥于点O ，2BC AD =，9AC =，将ABD ∆沿着BD 折起，使得A 点到P 点的位置，35PC =.（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面BCD ；（Ⅱ）M 为BC 上一点，且2BM CM =，求证：//OM 平面PCD .22．在四棱锥S ABCD -中，平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAD ⊥平面ABCD .（Ⅰ）证明：SA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若底面ABCD 为矩形，23SA AD AB ==，F 为SC 的中点，23BE BC =u u u v u u u v ，求直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值.23．（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形： ①直线l 在平面α内；②直线m 不在平面α内； ③直线m 与平面α交于点A ；④直线l 不经过点A .（2）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，F 为棱1CC 的三等分点，画出由1,,D E F 三点所确定的平面β与平面ABCD 的交线.(保留作图痕迹)24．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ︒∠=，1AB AA =，,M N 分别为AC ，11B C 的中点.（1）求证：//MN 平面11ABB A ；（2）求证：1AN A B ⊥.-中，PA⊥平面ABC，且25．如图，在三棱锥P ABC===,2 2.2PA AB BCAC=-为鳖臑；（1）证明：三棱锥P ABC--的余弦值.注：在《九章算术》中鳖臑（2）若D为棱PB的中点，求二面角D AC P是指四面皆为直角三角形的三棱锥.26．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝6，M 是CC1的中点．(1)求证：A1B⊥AM；(2)求二面角B--AM--C的平面角的大小．.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】x=时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 求出原函数的导函数，得到函数在2值．解：由31x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=， ∴2'|4x y ==-， 又曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行， ∴4a -=-，即4a =．故选D ．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．2．B解析：B【解析】【分析】依题意由111A B C △的面积为114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ．【详解】依题意，因为111A B C △的面积为所以11111sin 452AC B C ︒=⨯⋅=111222B C ⨯⨯⨯，解得114B C =， 所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，由勾股定理得：AB ====故选B ．【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半. 3．D解析：D【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线L 与线段AB 有公共点， ∴直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA ，∵PA 的斜率为4031--- =﹣1，PB 的斜率为2031--=1， ∴直线l 的斜率k≥1或k≤﹣1，点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.4．B解析：B【解析】【分析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QO OPQ PO∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO …，即满足2PO …，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的．【详解】由分析可得：22200PO x y =+ 又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO …故22220000103634PO x y y y ==+-+… 解得0825y 剟，0605x 剟 即0x 的取值范围是6[0,]5，故选：B ．【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO …，从而得到不等式求出参数的取值范围． 5．B解析：B【解析】【分析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -, 所以圆心为()0,0.半径为()222m m m +-=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=. 又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值. 此时2223416m =++=,故32m =.故选：B【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型. 6．C解析：C【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为，消去的三棱锥的高为，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为和的直角三角形，所以几何体的体积为，故选C ．考点：几何体的三视图及体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．7．D解析：D【解析】试题分析：A.}r rααββ⊥⇒⊥P 不正确，以墙角为例，,αβ可能相交；B.}m l l m ββ⇒⊥⊥P 不正确，,l β有可能平行；C.}m r m n n r ⇒P P P 不正确，m,n 可能平行、相交、异面；故选D 。
上海市南汇中学11-12学年高二数学下学期期中考试试题沪教版
上海南汇中学2011学年第二学期期中考试高二数学满分：100分 完成时间：90分钟一、填空题（每小题3分，共36分）1、直线013=+-y x 的倾斜角是 .2、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是(0,2)，则椭圆的标准方程为____________.3、经过点(1,0)A 且与直线10x y ++=平行的直线l 的方程为 _.4、双曲线22149x y -=的虚轴长是 _. 5、已知直线220310x y x y +-=-+=和的夹角是 _. 6、直线1x y +=被圆221x y +=所截得的弦长等于 _.7、已知方程221104x y k k -=--表示双曲线，则实数k 的取值范围为 _. 8、过点(1,2)且与圆221x y +=相切的直线的方程是 _.9、已知双曲线2214y x -=的两个焦点分别为1F 、2F ,P 为双曲线上一点，且122F PF π∠=,则12F PF ∆的面积是 .10、设F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若点(1,2)A ， ABC ∆的重心与抛物线的焦点F 重合，则BC 边所在直线方程为 .11、若方程0x k +=只有一个解，则实数k 的取值范围是 _. 12、下列五个命题：①直线l 的斜率[1,1]k ∈-，则直线l 的倾斜角的范围是[,]44ππα∈-； ②直线:1l y kx =+与过(1,5)A -，(4,2)B -两点的直线相交，则4k ≤-或34k ≥-；③如果实数,x y 满足方程22(2)3x y -+=，那么y x④直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是1m ≥；⑤方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是41<m 或1>m ； 正确的是__________ _.二、选择题（每小题3分，共12分）13、直线320x y m ++=与直线2310x y +-=的位置关系是…………………………（ ） （A ）相交 （B ）平行 （C ）重合 （D ）由m 决定14、若椭圆14222=+a y x 与双曲线12222=-y ax 有相同的焦点，则实数a 为 …………（ ）（A ） 1 （B ） 1- （C ） 1± （D ） 不确定15、已知抛物线x y C =2:与直线1:+=kx y l ，“0≠k ”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的………………………………………………………………………………………（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 16、已知曲线C ：22||||1x x y y a b-=，下列叙述中错误．．的是………………………………（ ） （A ）垂直于x 轴的直线与曲线C 只有一个交点（B ）直线y kx m =+（,k m ∈R ）与曲线C 最多有三个交点 （C ）曲线C 关于直线y x =-对称（D ）若111(,)P x y ，222(,)P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120y y x x ->-三、解答题（第17、18题各8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分） 17、已知△ABC 的三个顶点是(3,4)A -、(0,3)B 、(6,0)C -，求 （1） BC 边所在直线的一般式方程；(4分)（2） BC 边上的高AD 所在直线的一般式方程. (4分)18、求经过(3,0)A -,且与圆22(3)64x y -+=内切的圆的圆心M 的轨迹方程. (8分)19、已知双曲线1C ：2214y x -=（1）求与双曲线1C 有相同的焦点，且过点P 的双曲线2C 的标准方程；（5分） （2）直线l ：y x m =+分别交双曲线1C 的两条渐近线于A 、B 两点。
上海市南汇中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题【含答案】
上海南汇中学2023学年第二学期期末考试高二数学满分：150分完成时间：120分钟一、填空题：（本大题满分54分，其中1-6题每小题4分，7-12题每小题5分）1．已知A ＝{x|2x≤1}，B ＝{﹣1，0，1}，则A∩B ＝.2．若()34log log 1x =，则x =．3．已知函数32()31f x x ax x =+++，若3x =-是函数()f x 的驻点，则实数=a 4．随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，若(2)0.023P ξ>=，则(22)P ξ-≤≤=．5．直线1x =与直线10x +=的夹角大小为．6．已知x ､y +∈R ，且123y x +=，则yx的最大值为7．设甲、乙两个地区爆发了某种流行病，且两个地区感染此病的比例分别为13、14，若从这两个地区中任选一个地区选择一个人，则此人感染此疾病的概率是．8．设'0()f x 表示()f x 在0x x =处的导数值，已知'2()2(3)22ln f x f x x x =-+，则'(3)f =9．设随机变量X 服从二项分布1(),3X B n, 若随机变量X 的方差4[]3D X =，则(2)P X ==10．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x(每分钟鸣叫的次数)与气温y(单位：℃)存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y 关于x 的线性回归方程0.25y x k =+．x(次数/分钟)2030405060y(℃)2527.52932.536则当蟋蟀每分钟鸣叫62次时，该地当时的气温预报值为．11．甲乙丙丁四名医生随机派往①②③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派一名医生，A 表示事件“医生甲派往①村庄”；B 表示事件“医生乙派往①村庄”；C 表示事件“医生乙派往②村庄”，则下列说法①事件A 与B 相互独立；②事件A 与C 相互独立；③()5|12P B A =；④()5|12P C A =，其中错误的个数是个．12．已知点M 在抛物线2Γ:4x y =上运动，过点M 的两直线12,l l 与圆22:(3)4C x y +-=相切，切点分别为,A B ，当AB MC ⋅取最小值时，直线AB 的方程为.二、选择题（本大题满分18分，13-14每小题4分，15-16每小题5分）13．已知0a b <<，那么下列不等式成立的是（）A ．11a b<B ．2ab b <C ．b a a b>D ．1a bb+>14．已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．615．某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：用时/秒[5，10](10，15](15，20](20，25]男性人数1522149女性人数511177以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是()A ．2B ．3C ．4D ．516．设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题（本大题共5题，满分78分）17．已知不等式02xx >+的解集为A ，不等式2221xx +-≤的解集为B ．(1)求A∩B ．(2)若不等式220x x m --<在(0,1]x ∈上有解，求实数m 的取值范围．18．已知函数2()ln f x x x =+(1)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)求函数()()3h x f x x =-的单调区间．19．某汽车生产企业对其生产的四款新能源汽车进行市场调研，从购买者中选取50名车主对车辆进行性能评分，每款车都有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，各评分的相应人数统计结果如下表所示．评分款式1分2分3分4分5分基础版基础版12231基础版244531豪华版豪华版113541豪华版2353(1)求这四款车得分的平均数．(2)约定当得分不小于4时，认为该款车型性能优秀，否则认为性能一般，根据上述样本数据，完成以下2×2列联表，取显著性水平0.05α=，能否认为汽车的性能与款式有关？说明理由．汽车性能汽车款式合计基础版豪华版一般优秀合计(3)为进一步提升产品品质，现从样本评分不大于2的基础版车主中，随机抽取3人征求意见，设随机变量X 表示其中基础版1车主的人数，求X 的分布和期望．附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++；2( 6.635)0.01P χ≥≈；222( 5.024)0.025,( 3.841)0.05,( 2.706)0.1.P P P χχχ≥≈≥≈≥≈20．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>点()3,1-在双曲线C 上．过C 的左焦点F 作直线l 交C 的左支于A 、B 两点．(1)求双曲线C 的方程．(2)若()2,0M -，试问：是否存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上？若存在出直线l 的方程；若不存在，说明理由．(3)点()4,2P -，直线AP 交直线2x =-于点Q ．设直线QA 、QB 的斜率分别1k 、2k ，求证：12k k -为定值．21．已知函数()(1)e 1,[0,1]x f x x x =-+∈.(1)求证：()0f x ≥.(2)若e 1x a b x-<<对任意(0,1)x ∈恒成立，求b a -的最小值.(3)求证：()f x 的图象恒在直线12y x =-上方.1．{﹣1，0}##{0，-1}【分析】直接根据交集的运算性质，求出A∩B 即可.【详解】解：因为A ＝{x|2x≤1}＝{x|x≤0.5}，B ＝{﹣1，0，1}，所以A∩B ＝{﹣1，0}.故答案为：{﹣1，0}.2．64【分析】利用对数运算法则直接计算即可.【详解】()34log log 1x =，则4log 3x =，故64x =.故答案为：64.3．5【分析】求出函数()f x 的导数，再利用驻点的意义列式计算即可.【详解】函数32()31f x x ax x =+++，求导得2()323f x x ax '=++，由3x =-是函数()f x 的驻点，得2(3)3(3)2(3)30f a '-=⨯-+⨯-+=，所以5a =.故答案为：54．0.954##477500【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合(22)1(2)(2)P P P ξξξ-≤≤=-<-->，即可求解.【详解】随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，可得正态分布曲线关于0x =对称，因为(2)0.023P ξ>=，可得(2)0.023P ξ<-=，所以(22)1(2)(2)10.0230.0230.954P P P ξξξ-≤≤=-<-->=--=.故答案为：0.954.5．3π##60 【分析】求出两条直线的倾斜角，可得两条直线的夹角．【详解】直线10x -+=的斜率k =π6θ=，因为直线1x =与x 轴垂直，其倾斜角为π2，所以直线1x =与直线10x +=的夹角大小为πππ263-=.故答案为：π3.6．98或1.125【分析】由题意可得132=+≥y x y x 的最大值即可.【详解】因为,x y +∈R 且123y x+=，所以132=+≥y x ，即98≤y x ，当且仅当12=y x ，即23x =且34y =时取等号，此时yx 取最大值为98.故答案为：98.7．724【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得.【详解】设事件12,A A 分别表示“此人来自甲地区和乙地区”；事件B 表示“感染此疾病”，121()()2P A P A ==，1211(|),(|)34P B A P B A ==，因此11221117()()(|)()(|)()23424P B P A P B A P A P B A =+=+=故答案为：7248．343##1113【分析】先对函数求导，然后将3x =代入导函数可求出(3)f '.【详解】由'2()2(3)22ln f x f x x x =-+，得'2()2(3)4f x f x x'=-+，令3x =，则'2(3)2(3)123f f '=-+，解得34(3)3f '=，故答案为：3439．80243【分析】利用二项分布的方差公式求出n ，再利用二项分布概率公式求值即可.【详解】依题意，114(1333n ⨯⨯-=，解得6n =，所以22461180(2)C ()(1)33243P X ==-=.故答案为：8024310．35.5【分析】根据给定数表求出样本的中心点，再求出k 值并求出预报值.【详解】依题意，2030405060405x ++++==，2527.52932.536305y ++++==，于是300.2540k =⨯+，解得20k =，则y 关于x 的线性回归方程为0.2520y x =+，当62x =时，0.25622035.5y =⨯+=，所以该地当时的气温预报值为35.5（℃）.故答案为：35.511．3【分析】按相互独立的定义可判断AB ，用条件概率公式可判断CD.【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄进行义诊包含2343C A 36=（个）样本点，它们等可能，事件A 含有的样本点个数为322332A C A 12+=，则()121363P A ==，同理，()()()13===P B P C P A ，事件AB 含有的样本点个数为22A 2=，则()213618P AB ==，事件AC 含有的样本点个数为212222C C A 5+=，则()536P AC =，对于A ，()()()11918=≠=P A P B P AB ，即事件A 与B 不相互独立，故A 不正确；对于B ，()()()15936=≠=P A P C P AC ，即事件A 与C 不相互独立，故B 不正确；对于C ，()()()11518|16123===≠P AB P B A P A ，故C 不正确；对于D ，()()()55|361123P AC P C A P A ===，故D 正确．所以其中错误的个数是3个．故答案为：3.12．10x y ±-+=【分析】设20,4x M x ⎛⎫⎪⎝⎭，利用圆的切线性质结合等面积法求出AB MC ⋅的表达式，进而结合二次函数性质，求最值，求出AB MC ⋅取得最小值时M 点坐标，再求出以M 为圆心，MA 为半径的圆的方程，和22:(3)4C x y +-=相减，即可求得答案.【详解】如图，设200,4x M x ⎛⎫⎪⎝⎭，设AB 与MC 交于H ，由题意知AB MC ^，2AC =，Rt ACM 中，2AH MC AC MA MA ⋅=⋅==，而2AB AH =，则2AB MC AH MC ⋅=⋅=当CM 最小时，AB MC ⋅取最小值.而CM =当且仅当204x =时，()22014816x -+取得最小值，此时()2,1M ±，CM =2MA =，则以M 为圆心，MA 为半径的圆的方程为：22(2)(1)4x y +-= ，与圆22:(3)4C x y +-=的方程相减，可得AB 的直线方程为：1y x =±+，即10x y ±-+=，故答案为：10x y ±-+=【点睛】关键点点睛：本题解答的关键在于利用圆的切线性质推出AB MC ⋅的表达式，结合二次函数性质求最值求出AB MC ⋅取最小值时的M 点坐标.13．D【分析】利用特值或不等式的性质可得答案.【详解】对于A ，210-<-<，而112->-，A 不成立；对于B ，210-<-<，而()()()2211-⨯->-，B 不成立；对于C ，22b a b a a b ab--=，因为0a b <<，所以220,ab a b >>，0b a a b -<，即b a a b <，C 不成立；对于D ，1a b a b b +-=，因为0a b <<，所以0a b >，即1a bb+>，D 成立.故选：D 14．C【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．【点睛】15．C【分析】由条件求出1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为15，设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为ξ，则1~20,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此可得202014()C 55kkk P k ξ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由()(1)()(1)P k P k P k P k ξξξξ=≥=+⎧⎨=≥=-⎩求其最大值，并确定对应的k 的值即可.【详解】根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为2011005=，设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为ξ，则1~20,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中202014()C 55k kk P k ξ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,,20k = ，当1k ≥时，由()(1)()(1)P k P k P k P k ξξξξ=≥=+⎧⎨=≥=-⎩，得201191202020121120201414C C 55551414C 5555k k k kk k k k k kk k C -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，化简得4(1)20214k k k k +≥-⎧⎨-≥⎩，解得162155k ≤≤，又k ∈Z ，∴4k =，∴这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4.故选：C.16．D【分析】设()()21xg x e x =-，()1y a x =-，问题转化为存在唯一的整数0x 使得满足()()01g x a x <-，求导可得出函数()y g x =的极值，数形结合可得()01a g ->=-且()312g a e-=-≥-，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】设()()21xg x e x =-，()1y a x =-，由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，()()21x g x e x '=+，当12x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.所以，函数()y g x =的最小值为12122g e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.又()01g =-，()10g e =>.直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ，故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得312a e≤<，故选D.【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.17．(1)(0,1]A B ⋂=(2)(1,)-+∞【分析】（1）先分别求出A 、B ，再求出A∩B 即可．（2）参变分离求出22m x x >-，转化为求2()2f x x x =-，(0,1]x ∈上的最小值即可．【详解】（1）根据题意可以解出0(,2)(0,)2x A x x ∞∞⎧⎫==--⋃+⎨⎬+⎩⎭，222202{|21}{|22}{|20}[2,1]x x x x B x x x x x +-+-=≤=≤=+-≤=-，则()()[](],20,2,10,1A B ∞∞⋂=--⋃+⋂-=．（2）不等式220x x m --<在(0,1]x ∈上有解等价于22m x x >-，(0,1]x ∈上有解，令2,(0,)1(2]f x x x x ∈=-，则min (1)1()m f f x =>=-，故1m >-.则实数m 的取值范围为(1,)-+∞18．(1)320x y --=(2)单调增区间为1(0,)2，(1,)+∞，单调递减区间为1(,1)2.【分析】（1）利用导数几何意义，求出曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程即可；（2）利用导数求出函数()()3h x f x x =-的单调区间即可.【详解】（1）2()ln (0)f x x x x =+>，则1()2f x x x'=+，则切线的斜率(1)3k f '==，又(1)1f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为320x y --=．（2）2()()3ln 3(0)h x f x x x x x x =-=+->，则21231()23(0)x x h x x x x x-+'=+>-=，由()0h x '>，可得102x <<或1x >；由()0h x '<，可得112x <<，所以函数()h x 的单调增区间为1(0,)2，(1,)+∞，单调递减区间为1(,1)2．19．(1)3(2)答案见解析(3)分布列见解析，()1E X =【分析】（1）利用平均数的定义求解即可；（2）利用题意写出列联表，再结合公式求解即可；（3）利用超几何分布计算概率，从而求解分布列和期望.【详解】（1）由题意，这四款车得分的平均数为()1172931641355350⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以这四款车得分的平均数为3.（2）由题意，22⨯列联表如下：汽车性能汽车款式合计基础版豪华版一般201232优秀51318合计252550则2250(2013125)50 5.556 3.841321825259χ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误概率不超过0.05的前提下认为汽车的性能与款式有关.（3）由题意可得：样本评分不大于2的基础版车主中，基础版1车主有4人，基础版2车主有8人，从这12人中随机抽取3人，其中含基础版1的人数X 服从超几何分布，则X 的所有可能取值为0123，，，，则()38312C 140C 55P X ===，()1248312C C 281C 55P X ===，()2148312C C 122C 55P X ===，()34312C 13C 55P X ===，所以X 的分布列为：X 0123P 145528551255155则()14281210123155555555E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.20．(1)22188x y -=；(2)不存在，理由见解析；(3)证明见解析【分析】（1）根据题意列式求,,a b c ，进而可得双曲线方程；（2）设()()1122:4,,,,l x my A x y B x y =-，联立方程，利用韦达定理判断MA MB ⋅ 是否为零即可；（3）用,A B 两点坐标表示出直线AP ，得点Q 坐标，表示出12,k k ，结合韦达定理，证明12k k -为定值．【详解】（1）由双曲线2222y :1x C a b-=()3,1M -在双曲线C 上，可得22222911a b c e a c a b ⎧-=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得228,8a b ==，所以双曲线的方程为22188x y -=．（2）双曲线C 的左焦点为()4,0F -，当直线l 的斜率为0时，此时直线为0y =，与双曲线C 左支只有一个交点，不符合题意，当直线l 的斜率不为0时，设:4l x my =-，由2248x my x y =-⎧⎨-=⎩，消去x 得()221880m y my --+=，显然210m -≠，222Δ=6432(1)32(1)0m m m --=+>，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122288,011m y y y y m m +==<--，得11m -<<，于是()()11222,,2,MA x y MB x y =+=+ ，()()()()211212122222MA MB x x y y my my y y ⋅=+++=--+()()()22212122281161244411m m m y y m y y m m +=+-++=-+=---，即0MA MB ⋅≠ ，因此MA 与MB 不垂直，所以不存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上．（3）由直线()1:24AP y k x -=+，得(12,22)Q k -+，则2121222222222y k y k k x my ----==+-，又11111224y y k x my --==+，于是()()()()12121121121212222222222y my my y k y y k k k my my my my ---------=-=--()2111112224222my y my mk y my my --+++=-，而1112y k my -=，即有1112k my y =-，且1212y y my y +=，所以()()()1212121212122222m y y y y k k my my y y y ---===--+-，即12k k -为定值．【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．21．(1)证明见解析(2)e 2-(3)证明见解析【分析】（1）利用导数判断()f x 在[0,1]上的单调性，求出函数的最小值即可.（2）令e 1()x g x x -=，利用导数确定单调性求出b 的最小值，等价变形不等式e 1x a x-<成立，构造函数并利用导数求出a 的最大值，即可求出b a -的最小值.（3）构造函数3()(1)e 2x x x x ϕ=--+，[0,1]x ∈，利用导数判断函数的单调性并求出最小值，即可得出结论.【详解】（1）函数()(1)e 1,[0,1]x f x x x =-+∈，求导得()e 0x f x x '=≥，则()f x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)0f x f ≥=.（2）令e 1()x g x x-=，(0,1)x ∈，求导得2(1)e 1()0x x g x x -+'=>，即函数()g x 在(0,1)上递增，则()(1)e 1g x g <=-，而e 1x b x-<对任意(0,1)x ∈恒成立，因此e 1b ≥-；要e 1x a x->对任意(0,1)x ∈恒成立，只需e 10x ax -->在(0,1)x ∈恒成立，令e ()1x h x ax =--，(0,1)x ∈，求导得()x h x e a '=-，由(0,1)x ∈，得e (1,e)x ∈，当1a ≤时，()0h x '>，函数()h x 在(0,1)上递增，()(0)0h x h >=成立，于是1a ≤，当e a ≥时，()0h x '<，函数()h x 在(0,1)上递减，()(0)0h x h <=，不符合题意，当1e a <<时，则当(0,ln )x a ∈时，()0h x '≤，函数()h x 在(0,ln )a 上递减，此时()(0)0h x h <=，不符合题意，因此1a ≤，从而e 2b a -≥-，所以b a -的最小值为e 2-.（3）令13()()()(1)e 22x x f x x x x ϕ=--=--+，[0,1]x ∈，求导得()e 1x x x ϕ'=-，令e 1x y x =-，[0,1]x ∈，求导得(1)e 0x y x '=+>，则函数()x ϕ'在[0,1]上单调递增，显然1e (10,(1)e 1022ϕϕ''=-<=->，于是存在01(,1)2x ∈，使得0()0x ϕ'=，即001e x x =，当00x x <<时，()0x ϕ'<，当01x x <<时，()0x ϕ'>，则函数()ϕx 在0[0,)x 上递减，在0(,1]x 上递增，因此0min 00000351()()(1)e ()22x x x x x x x ϕϕ==--+=-+，而函数001y x x =+在1(,1)2上递减，即00115222x x +<+=，则min 0()()0x x ϕϕ=>，从而[0,1]x ∈，()0x ϕ>，即1()2f x x >-，所以()f x 的图象恒在直线12y x =-上方.【点睛】思路点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.。
上海市南汇中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
上海市南汇中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．点()2,0到直线20x +=的距离是.2．使直线()1:3230l x k y -++=与直线()2:2310l kx k y +-+=平行，求k =.3．已知函数()2f x x =，则曲线()y f x =在点()1,1P 处的切线方程是.4．已知抛物线C:22(0)x py p =->经过点(2,1)-，则此抛物线的准线方程是. 5．已知(13)n x + 的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=.6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>一条渐近线方程为30x y -=，且过点(，则双曲线的标准方程是.7．若一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为8．已知,{1,2,3,4,5}m n ∈，m n ≠，则方程221x y mn+=表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是.9．若'0()2,f x =则()()0003lim2h f x h f x h→--=10．若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是.11．已知二次曲线k C 的方程为：22194x y k k+=-- ，当m ，n 为正整数，且m n <时存在两条曲线,m n C C ，其交点P 与点12(F F 满足120PF PF ⋅=u u u r u u u u r，则m n +=12．高二年级某同学打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆.通过自学与老师探讨，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点，他在家里做了个探究实验：如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡P （当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点，若篮球的半径为1个单位长度，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为A ，椭圆的右顶点到A 点的距离为3个单位长度，则此时椭圆的离心率e =．二、单选题13．圆221x y +=与圆22(2)1x y -+=的位置关系是（ ）A ．相交B ．外切C ．外离D ．内含14．已知函数()f x 及其导数()f x '，若存在0x 使得00()()f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”，给出下列四个函数：（1）()3f x = ；（2）2()f x x = ；（3）()ln f x x = ；（4）()sin f x x =； 其中没有“巧值点”的函数是（ ）A ．（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）15．定义点到曲线的距离为该点到这个曲线上任意点的距离的最小值.已知曲线C ：2260x y y ++=，那么平面内到曲线C 的距离与到坐标原点O 的距离相等的点的轨迹是（ ）A ．双曲线一支B ．一个椭圆C ．一条线段D ．一条射线16．已知曲线||||:143x x y y C -=，对于命题：（1）垂直于x 轴的直线与曲线C 有且只有一个交点;（2）若点 111222(,),(,)P x y P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120y y x x ->-.下列判断正确的是（ ）A ．（1）和（2）均为真命题B ．（1）和（2）均为假命题C ．（1）为真命题，（2）为假命题D ．（1）为假命题，（2）为真命题三、解答题17．已知数列{}n a 是首项为23，公差为-4的等差数列. (1)求{}n a 的通项公式；(2)设{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最大值.18．在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 为BC 的中点，PC 与底面所成的角为.(1)求证: BD ⊥PC ;(2)求点E 到平面BDP 的距离.19．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的半径为1，其圆心在射线(0)y x x =≥上，且OC =.(1)求圆C 的标准方程；(2)若直线l 过点()1,0P ， 且与圆C 相切，求直线l 的方程；(3)自点()3,3A -发出的光线m 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆C 相切，求光线m 所在直线的方程.20．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左,右焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，下顶点为A ，点M在直线:0l x y m +-=上.(1)若2a m =，线段AM 的中点在x 轴上，求M 的坐标；(2)若直线l 与y 轴交于B ，直线AM 经过右焦点2F ，在ABM V 中有一个内角的余弦值为 35，求b 的值;(3)若m =直线 l 与椭圆Γ没有公共点，在椭圆Γ上存在一点(cos ,sin )P a b θθ，[)0,2πθ∈，点P 到l 的距离为d ，且12||||4PF PF d ++=，当a 变化时，求d 的取值范围.21．在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点(,0)(0)A a a >且与直线x a =-相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K ， P 是曲线K 上一点. (1)当1a =时，求曲线K 的轨迹方程;(2)已知过点A 且斜率为k 的直线l 与曲线K 交于B ，C 两点，若//l OP 且直线OP 与直线1x =交于Q 点.求证:||||||||AB AC OP OQ ⋅⋅为定值：(3)若12a=，且点D，E在y轴上，PDE△的内切圆的方程为22(1)1x y-+=，求PDE△面积的最小值.。
上海南汇中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(解析)
上海南汇中学2024学年第一学期期中考试高三数学满分：150分 完成时间：120分钟注意：答案一律写在答题纸上，否则视为无效.一、填空题：(本大题满分54分，其中 1-6题每小题4分，7-12题每小题5分)1. 已知集合{}11A x x =-<，{}1,2,3B =，则A B =I ___________.【答案】{}1【解析】【分析】解绝对值不等式可求得集合A ，由交集定义可求得结果.【详解】{}{}11102A x x x x =-<-<=<<Q ，{}1,2,3B =，{}1A B \Ç=.故答案为：{}1.2. 已知函数12log y x = 在区间[]1,4上的最大值为________.【答案】0【解析】【分析】根据对数函数的单调性直接求解即可．【详解】因为12log y x =在区间[]1,4上单调递减，所以当1x =时，函数12log y x = 在区间[]1,4上的最大值max 12log 10y ==.故答案为：0.3. 已知角a 的终边经过点()1,2-，则sin 2p a æö+=ç÷èø________．【答案】【解析】【详解】由已知可得sin cos 2p a a æö+===ç÷èø.故答案为：.4. 已知奇函数()y f x =的周期为2，且当(0,1)x Î时，2()log f x x =，则(7.5)f 的值为_______．【答案】1【解析】分析】由条件可得()()(7.5)0.50.5f f f =-=-，然后可得答案.【详解】因为奇函数()y f x =的周期为2，且当(0,1)x Î时，2()log f x x =所以()()2(7.5)0.50.5log 0.51f f f =-=-=-=故答案为：15. 若246x x -++≥对所有实数x 都成立，则等号成立时x 的取值范围为________．【答案】[]4,2-【解析】【分析】根据绝对值三角不等式关系即可求解.【详解】因为24246x x x x -++³---=，当且仅当()()240x x ---³时，即42x -££时等号成立．故答案为：[]4,2-6. 已知正数a ，b 满足13a b =+则ab的最大值为_____.【答案】94##2.25【解析】【分析】由13a b =+得13a b =-，代入a b，利用基本不等式即可求.【详解】因为13a b=+，所以13a b =-，因为a ，b 为正数，故30a ->，所以0<<3a ，所以()239324a a a a a b +-æö=-£=ç÷èø，当且仅当3a a =-即32a =，此时23b =，ab 取到最大值为94.故答案为：947. 在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足sin sin sin sin a c A B b A C+-=-，则角C Ð=_____.【【答案】π3##60°【解析】【分析】由正弦定理可得222a b c ab +-=，再由余弦定理可得1cos 2C =，即可求角C .【详解】因为sin sin sin sin a c A Bb A C +-=-，由正弦定理可得ac a bb a c+-=-，整理得222a b c ab +-=，由余弦定理可得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，因为0πC <<，所以π3C =.故答案为：π38. 已知平面向量a r ，b r 满足3,4a b ==r r 且向量a r ，b r 的夹角为 π3，则 2a b +r r 在a r 方向上的投影数量为_____.【答案】8【解析】【分析】利用数量积来计算投影数量即可.【详解】因为3,4a b ==r r 且向量a r ，b r 的夹角为π3，所以()21222934242a b a a b a +×=+×=´+´´=r r r r r r，则2a b +r r 在a r 方向上的投影数量为：()22483a b a a +×==r r r r，故答案：8.9. 设,R a b Î，函数ln ay x x=+在1x =处切线方程为40y x b --=，则a b +=______.【答案】114##2.75【解析】【分析】求解导函数，计算1x =处的导数值，再由切线方程得切线的斜率，由导数的几何意义列式求解出a 的值，再根据函数解析式求解切点坐标，并代入切线方程即可求解出b 的值，从而计算出a b +的值.为的【详解】由ln a y x x=+得21a y x x ¢=-，因为函数ln ay x x =+在1x =处的切线方程为40y x b --=，所以11|14x y a =¢=-=，所以34a =，所以3ln 4y x x=+，当1x =时，34y =，即切点为31,4æöç÷èø，将31,4æöç÷èø代入40y x b --=得2b =，所以311244a b +=+=.故答案为：11410. 将函数()2sin 26f x x p æö=+ç÷èø的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()g x 的图像，若存在0x R Î使得()()004f x g x -=-，则a 的最小值为______.【答案】2p【解析】【分析】先根据图象变换求出()g x 解析式，根据()()004f x g x -=-可知()()002,2f x g x =-=，即可表示出a 并求出最小值.【详解】由题可知()2sin 2()2sin 2266g x x a x a p p æöæö=-+=-+ç÷ç÷èøèø，∵()()004f x g x -=-，∴()002sin 226f x x p æö=+=-ç÷èø，012262x k p p p \+=-，即()0113x k k Z pp =-Î，()002sin 2226g x x a p æö=-+=ç÷èø，0222262x a k p p p \-+=+，即()0226a x k k Z p p =--Î，()0212126362a x k k k k k ppppp p p p \=--=---=--，∴当121k k -=时，a 的最小值为2p.故答案为：2p.【点睛】本题考查三角函数图象的平移以及函数性质，属于基础题.11. 魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速､盲拧､单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一，一个三阶魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45°，则该魔方的表面积是__________.【答案】162-【解析】【分析】利用俯视图分析多出来的表面积部分，结合对称性可解.【详解】如图，转动了45o 后，此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，俯视图如图，由图形的对称性可知，A CD ¢△为等腰直角三角形，设直角边为A C x ¢=，则斜边为CD =，故(23AB x =+=，可得3x =由几何关系得：2127324A CDS ¢æ=´=-ççèV ，故所求面积27633161624S æ=´´+´=-çè¢.故答案为：162-12. 已知平面向量 ,,,a b c e →→→→满足2||4,||1,||1,,3a eb a a e p→→→→→→==-=<>=，且对任意的实数t ，均有 2c te c e -³-r r r r .则||c b →→-的最小值为__________【答案】3【解析】【分析】利用向量的坐标运算，再用数形结合思想求出最小值.详解】如图，建立直角坐标系，记,OA a OE e ==uuu r r uuu r r，因为2||4,||1,,3a e a e p→→→→==<>=，所以点()14,0,2A E æ-ççè，作OB b =uuu r r，设其坐标为(),b x y =r ，因为1AB OB OA b a =-=-=uuu r uuu r uuu r r r ，所以点B 在以点A 为圆心，1为半径的圆上，即()2241x y -+=，因为对任意的实数t ，均有 |||2|c t e c e →→→→-³-，所以222|||2|2440c t e c e t t c e c e →→→→→→→→-³-Þ-×+×-³，由于上式对任意的实数t 的一元二次不等式恒成立，则()()22Δ21616020c e c e c e =-×-×+£Þ×-£r rr r r r，即20c e →→×-=，设,OC c =uuu r r 又设(),c x y =¢¢r ，则()11,222c e x y x y æ×=×-=-+=çç袢¢¢r r，整理得：40x ¢¢+=，所以可知点C在直线40x ¢¢+=上，又因为点B 在以点A 为圆心，1为半径的圆上，且c b OC OB BC -=-=uuu r uuur uuu r r r ，所以可以把||c b →→-看成两动点B 和C 的距离，显然距离最小值为圆心A到直线40x ¢¢+=的距离减去半径1，【而点A到直线40x ¢¢+=的距离4d ,所以1413BC d ³-=-=uuu r ，即||c b →→-的最小值为3,故答案为：3.【点睛】关键点点睛：确定B ，C 点轨迹解决问题的关键.二、选择题(本大题满分18分， 13-14每小题4分， 15-16每小题5分)13. 设2:log 0p x <，:1q x <，则p 是q 成立的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分亦非必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分必要条件的定义即可得出结论．【详解】由于命题22log 0log 101p x x Û<=Û<<；:01:1p x p x \<<Þ<，q 推不出p 故p 是q 的充分不必要条件．故选：A14. 若1i -是关于x 的实系数方程20x ax b ++=的一根，则a b +的值为（ ）A. -1 B. 1 C. 0 D. 4【答案】C 【解析】【分析】将方程根代入方程进行运算化简,然后利用复数相等的条件即得答案.【详解】由题意可得()()21i 1i 0a b -+-+=，即()()2i 0a b a +-+=，所以0a b +=.故选：C.15. 如图是函数()sin 6f x x p p æö=+ç÷èø在一个周期内的图像，该图像分别与x 轴､y 轴相交于A ､B 两点，与过点A 的直线相交于另外两点C ､D ，i r为x 轴上的基本单位向量，则()BC BD i +×=uuu r uuu r r （ ）的A. -1B. 56-C.56D.53【答案】D 【解析】【分析】根据题意先求出A ，B 的坐标，结合题意得A 为CD 的中点，2BC BD BA +=uuu r uuu r uuu r，然后结合向量数量积的坐标表示可求．【详解】由题意得5(,0)6A ，1(0,)2B ，A 为CD 的中点，5(6BA =uuu r ，1)2-，(1,0)i =r ，52(3BC BD BA +==uuu r uuu r uuu r ，1)-，所以55()10(1)33BC BD i +×=´+´-=uuu r uuu r r ．故选：D ．16. 将函数3=-+y x x ，[]0,1x Î的图象绕点()1,0顺时针旋转q 角（π02q <<）得到曲线C ，若曲线C 仍是一个函数的图形，则q 的最大值为（ ）A. 1arctan2B.π6C.π4D. arctan 2【答案】A 【解析】【分析】要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转q 后的切线倾斜角最多为90o ，故只需求 1x =处的倾斜角即可.【详解】函数()3f x y x x ==-+，()231f x x ¢=-+，当x éÎê时，()0f x ¢>，函数在éê上递增，当x ùÎúû时，()0f x ¢<，函数在ùúû上递减，()12f ¢=-可得在1x =处切线的倾斜角为πarctan 2-，因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转q 后的切线倾斜角最多为90o ，也就是说，最大旋转角为ππ1πarctan 2arctan 2arctan 222--=-=，即q 的最大值为1arctan 2.故选：A.三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17. 已知复数3i z m =+其中R m Î.（1）设()113i z z =+，若1z 是纯虚数，求实数m 的值；（2）设1m =-，分别记复数z ，2z 在复平面上对应的点为A 、B ，求OA 与OB 的夹角大小.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）由已知可得1z ，根据1z 是纯虚数即可求解；（2）当1m =-时求解z ，2z ，可得复平面上对应的点A 、B 的坐标，利用向量夹角公式即可求解.【小问1详解】()()()()()113i 13i 3i 339i z z m m m =+=++=-++，由1z 是纯虚数，所以33090m m -=ìí+¹î，所以1m =；【小问2详解】当1m =-时，3i z =-，所以()223i 86i z =-=-，所以()3,1A -，()8,6B -，所以()3,1OA =-uuu r ，()8,6OB =-uuu r，cos ,OA =uuu r uuu ，所以OA 与OB的夹角为.18. 如图，在四棱锥M ABCD -中，已知AM ^平面ABCD ， AB AD ^，//AB CD ，2AB CD =，且2AB AM AD ===.（1）求四棱锥M ABCD -的体积;（2）求直线MC 与平面MBD 所成角.【答案】（1）2 （2）arcsin 【解析】【分析】（1）利用锥体的体积公式求解即可；（2）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量以及平面的法向量，利用向量夹角公式计算线面角即可.【小问1详解】梯形ABCD 中，2AB =，所以1CD =，()112232ABCD S =´+´=梯形，因为AM ^平面ABCD ，所以四棱锥M ABCD -的高2h AM ==，所以1132233M ABCD ABCD V S h -==´´=梯形；【小问2详解】。
高二数学下期中检测试卷沪教版带
高二数学下期中检测试卷沪教版带高二数学下册期中检测试卷沪教版带答案一、填空题：(每题3分，共36分)1、空间不相交的两条直线的位置关系可以为。
2、假设复数满意：(为虚数单位)，那么其共轭复数。
3、动点到点的距离与它到直线的距离相等，那么点的轨迹方程为。
4、已知：，那么=。
5、在正方体中，直线与平面的位置关系是。
(填：平行、垂直、斜交、线在面内)高二数学下册期中检测试卷6、双曲线(为常数)的焦点为，那么其渐近线方程为。
7、已知复数，假设为纯虚数，那么。
8、如图：平面外一点P在内的射影为O，，为平面内两点，与平面成300角，且，那么平面所成的正弦值为。
9、已知点，抛物线的焦点为F，假设点P在抛物线上移动，那么取最小值时，P点坐标为。
10、以下命题中，正确的选项是。
①为空间两个不重合的平面，假设平面内有三个不共线的点到平面的距离相等，那么;②有三个角为直角的空间四边形为矩形;③假设空间三个平面可以把空间分成个部分，那么的取值可为4,6,7,8;④两两相交的四条直线最多可以确定6个平面。
11、已知抛物线，过抛物线焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，的面积为，那么。
12、已知正方体中，点Q在平面内，且BCQ是正三角形，点P在侧面内运动，并且满意PQ=P，那么点P的轨迹为。
(可依据题意在图中取点、添线，并说明)二、选择题：(每题3分，共18分)13、已知空间一条直线和一个平面,假设两个点A，B满意："且'，那么下面说法正确的选项是()A、直线在平面内;B、直线上只有两点在平面内;C、平面不肯定经过直线;D、直线与平面可能平行。
14、过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，假如，那么的值为()A、2;B、3;C、4;D、5。
15、已知表示两个不同的平面，直线在平面内，那么"'是"'的()A、充分不须要条件;B、须要不充分条件;C、充要条件;D、既不充分也不须要条件。
2020-2021下海南汇第一中学高中必修二数学下期中模拟试题及答案
15．已知在直角梯形 ABCD 中， AB AD ， CD AD ， AB 2AD 2CD 4 ，将直
角梯形 ABCD沿 AC 折叠，使平面 BAC 平面 DAC ，则三棱锥 D ABC 外接球的体积
为__________．
16．在三棱锥 P ABC 中, PA 平面 ABC ， AB BC ， AB 3 ， BC 4 ， PA 5 ，
9，
2
4
故该球的表面积为 S 4 R2 81 . 4
故选：B.
【点睛】
本题考查四棱锥外接球的问题，关键的步骤是将问题转化为求长方体的外接球.
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
设切线长为 d ,则 d 2 (m 2)2 52 1 (m 2)2 24 再利用二次函数的图像和性质求函
数的最小值得解. 【详解】
三、解答题 21．在三棱锥 S ABC 中，平面 SAB 平面 SBC ， AB BC ， AS AB ，过 A 作 AF SB ，垂足为 F ，点 E ， G 分别是棱 SA ， SC 的中点． （1）求证：平面 EFG∥平面 ABC ． （ 2 ）求证： BC SA．
22．如图所示，四棱锥 B AEDC 中，平面 AEDC 平面 ABC ， F 为 BC 的中点， P 为 BD 的中点，且 AE∥DC， ACD BAC 90 ， DC AC AB 2AE ．
所以 C 错误;对于选项 D，利用 y cx 在 R 上为减函数易得 ca cb ，所以 D 错误.所以本题
选 B. 【考点】指数函数与对数函数的性质 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数 或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
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上海南汇中学2011学年第二学期期中考试高二数学满分：100分 完成时间：90分钟一、填空题（每小题3分，共36分）1、直线013=+-y x 的倾斜角是 .2、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是(0,2)，则椭圆的标准方程为____________.3、经过点(1,0)A 且与直线10x y ++=平行的直线l 的方程为 _.4、双曲线22149x y -=的虚轴长是 _. 5、已知直线220310x y x y +-=-+=和的夹角是 _. 6、直线1x y +=被圆221x y +=所截得的弦长等于 _.7、已知方程221104x y k k -=--表示双曲线，则实数k 的取值范围为 _. 8、过点(1,2)且与圆221x y +=相切的直线的方程是 _.9、已知双曲线2214y x -=的两个焦点分别为1F 、2F ,P 为双曲线上一点，且122F PF π∠=,则12F PF ∆的面积是 .10、设F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若点(1,2)A ， ABC ∆的重心与抛物线的焦点F 重合，则BC 边所在直线方程为 .11、若方程0x k +=只有一个解，则实数k 的取值范围是 _. 12、下列五个命题：①直线l 的斜率[1,1]k ∈-，则直线l 的倾斜角的范围是[,]44ππα∈-；②直线:1l y kx =+与过(1,5)A -，(4,2)B -两点的直线相交，则4k ≤-或34k ≥-；③如果实数,x y 满足方程22(2)3x y -+=，那么y x④直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是1m ≥； ⑤方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是41<m 或1>m ； 正确的是__________ _.二、选择题（每小题3分，共12分）13、直线320x y m ++=与直线2310x y +-=的位置关系是…………………………（ ） （A ）相交 （B ）平行 （C ）重合 （D ）由m 决定14、若椭圆14222=+a y x 与双曲线12222=-y ax 有相同的焦点，则实数a 为 …………（ ） （A ） 1 （B ） 1- （C ） 1± （D ） 不确定15、已知抛物线x y C =2:与直线1:+=kx y l ，“0≠k ”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的………………………………………………………………………………………（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 16、已知曲线C ：22||||1x x y y a b-=，下列叙述中错误．．的是………………………………（ ） （A ）垂直于x 轴的直线与曲线C 只有一个交点（B ）直线y kx m =+（,k m ∈R ）与曲线C 最多有三个交点 （C ）曲线C 关于直线y x =-对称（D ）若111(,)P x y ，222(,)P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120y y x x ->-三、解答题（第17、18题各8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分） 17、已知△ABC 的三个顶点是(3,4)A -、(0,3)B 、(6,0)C -，求 （1） BC 边所在直线的一般式方程；(4分)（2） BC 边上的高AD 所在直线的一般式方程. (4分)18、求经过(3,0)A -,且与圆22(3)64x y -+=内切的圆的圆心M 的轨迹方程. (8分)19、已知双曲线1C ：2214y x -=（1）求与双曲线1C 有相同的焦点，且过点P 的双曲线2C 的标准方程；（5分）（2）直线l ：y x m =+分别交双曲线1C 的两条渐近线于A 、B 两点。
当3OA OB ⋅=时，求实数m 的值.（5分）20、如图，弯曲的河流是近似的抛物线C ，公路l 恰好是C 的准线，C 上的点O 到l 的距离最近，且为0.4千米，城镇P 位于点O 的北偏东30处，10OP =千米，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路,l 以便建立水陆交通网．（1）建立适当的坐标系，求抛物线C 的方程；（5分）（2）为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q 的位置），并求公路总长的最小值（精确到0.001千米）.（7分）21、定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。
如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。
已知椭圆221:14x C y +=. （1） 若椭圆222:1164x y C +=，判断2C 与1C 是否相似？如果相似，求出2C 与1C 的相似比；如果不相似，请说明理由；（4分）（2） 写出与椭圆1C 相似且短半轴长为b 的椭圆b C 的方程；若在椭圆b C 上存在两点M 、N 关于直线1y x =+对称，求实数b 的取值范围？（6分）（3） 如图：直线y x =与两个“相似椭圆”2222:1x y M a b +=和22222:x y M a bλλ+=(0,a b >>01)λ<<分别交于点,A B 和点,C D ， 试在椭圆M 和椭圆M λ上分别作出点E 和点F （非椭圆顶点），使CDF ∆和ABE ∆组成以λ为相似比的两个相似三角形，写出具体作法。
（不必证明）.（4分）上海南汇中学2011学年第二学期期中考试高二数学（答案）满分：100分 完成时间：90分钟 命题人：吴世星 周华 审核人：潘静红一、填空题（每小题3分，共36分） 1、直线013=+-y x 的倾斜角6π. 2、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是(0,2)，则椭圆的标准方程为___2213236x y +=_________. 3、经过点(1,0)A 且与直线10x y ++=平行的直线l 的方程为 10x y +-= _.4、双曲线22149x y -=的虚轴长是 9 _. 5、已知直线220310x y x y +-=-+=和的夹角是 4π_.6、直线1x y +=被圆221x y +=7、已知方程221104x y k k -=--表示双曲线，则实数k 的取值范围为___410k k <>或 . 8、过点(1,2)且与圆221x y +=相切的直线的方程是 3450x y -+=或1x =_.9、已知双曲线2214y x -=的两个焦点分别为1F 、2F ,P 为双曲线上一点，且122F PF π∠=,则12F PF ∆的面积是 4 .10、设F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若点(1,2)A ， ABC ∆的重心与抛物线的焦点F 重合，则BC 边所在直线方程为 210x y +-= .11、若方程0x k +=只有一个解，则实数k 的取值范围是 [1,1){2}- .12、下列五个命题：①直线l 的斜率[1,1]k ∈-，则直线l 的倾斜角的范围是[,]44ππα∈-； ②直线:1l y kx =+与过(1,5)A -，(4,2)B -两点的直线相交，则4k ≤-或34k ≥-；③如果实数,x y 满足方程22(2)3x y -+=，那么y x④直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是1m ≥； ⑤方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是41<m 或1>m ； 正确的是_____②_③_⑤___ _.二、选择题（每小题3分，共12分）13、直线320x y m ++=与直线2310x y +-=的位置关系是…………………………（ A ） （A ）相交 （B ）平行 （C ）重合 （D ）由m 决定14、若椭圆14222=+a y x 与双曲线12222=-y ax 有相同的焦点，则实数a 为 …………（ C ） （A ） 1 （B ） 1- （C ） 1± （D ） 不确定15、已知抛物线x y C =2:与直线1:+=kx y l ，“0≠k ”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的………………………………………………………………………………………（ B ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 16、已知曲线C ：22||||1x x y y a b-=，下列叙述中错误．．的是………………………………（ C ） （A ）垂直于x 轴的直线与曲线C 只有一个交点（B ）直线y kx m =+（,k m ∈R ）与曲线C 最多有三个交点 （C ）曲线C 关于直线y x =-对称（D ）若111(,)P x y ，222(,)P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120y y x x ->-三、解答题（第17、18题各8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分） 17、已知△ABC 的三个顶点是(3,4)A -、(0,3)B 、(6,0)C -，求 （3） BC 边所在直线的一般式方程；(4分)（4） BC 边上的高AD 所在直线的一般式方程. (4分) 解；（1）(6,3)BC =--是BC 边所在直线的方向向量 故3:63BC x y l -=--，即:260BC l x y -+= …………………………4分（2）(6,3)BC =--高AD 所在直线的法向量故:6(3)3(4)0AD l x y ---+=，即:220AD l x y +-=…………………………8分18、求经过(3,0)A -,且与圆22:(3)64C x y -+=内切的圆的圆心M 的轨迹方程. (8分) 解：根据题意得，8MA MC AC +=>,……………………………………2分 由椭圆定义得4,3a c ==，所以27b =…………………………………………4分所以所求的圆心M 的轨迹方程为221167x y +=……………………………………8分 19、已知双曲线1C ：2214y x -= （1）求与双曲线1C有相同的焦点，且过点P 的双曲线2C 的标准方程；（5分） （2）直线l ：y x m =+分别交双曲线1C 的两条渐近线于A 、B 两点。
当3OA OB ⋅=时，求实数m 的值.（5分）解：（1）双曲线1C的焦点坐标是(，………………………………………1分设双曲线2C 的标准方程为22221x y a b -=，则222211631a b a b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩…………………3分所以双曲线2C 的标准方程为2214x y -= ……………………………………………5分 （2）双曲线1C 的两条渐近线方程为2,2y x y x ==-……………………………………6分 由2y x y x m =⎧⎨=+⎩ 得(,2)A m m 由2y x y x m=-⎧⎨=+⎩ 得2(,)33m mB -………………8分2224333m m OA OB m ⋅=-+==，得m =10分20、如图，弯曲的河流是近似的抛物线C ，公路l 恰好是C 的准线，C 上的点O 到l 的距离最近，且为0.4千米，城镇P 位于点O 的北偏东30处，10OP =千米，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路,l 以便建立水陆交通网．（1）建立适当的坐标系，求抛物线C 的方程；（5分）（2）为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q 的位置），并求公路总长的最小值（精确到0.001千米）.（7分）解：（1）如图所示，建立平面直角坐标系……1分 由题意得，0.42p=……3分 所以，抛物线2: 1.6C y x =……5分（2）设抛物线C 的焦点为F 由题意得，(P ……7分 根据抛物线的定义知，公路总长9.806QF QP PF =+≥≈……10分 当Q 为线段PF 与抛物线C 的交点（如图）时，公路总长最小，…………11分 最小值为9.806千米……12分21、定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。