谈对数学本质的认识
数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识,数学方法
数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，数学思想”和“数学方法”之间，没有严格的界限，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。
通常混称为“数学思想方法”。
常见的数学四大思想为：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合.运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种积累达到一种程度时就会产生飞跃，从而上升为数学思想，比如，我们用代数知识去解决某一几何问题（或用几何知识去解某一代数问题）就是数形结合法，当其在整个几何，（或代数）体系中发挥重要作用时，就自然升华为数形结合思想，因此，人们通常将数学思想与数学方法看成一个整体概念——数学思想方法。
二、初中数学教材中的主要数学思想方法纵观初中数学教材，涉及到的思想方法主要有：1、符号与换元思想方法使用符号化语言和在其中引进变元是数学高度抽象的要求，它能够使数学研究的对象更加准确、具体、形象简明，更易于揭示对象的本质，一套形式化的数学语言极大地简化加速思维过程，例如公式（a ＋b）（a－b）＝a2－b2就是采用符号化语方来表述，当a、b代的任意数、单项式、多项式等代数式都成立，这样的字母表示“换元”，初中教材中的公式、法则、运算律等绝大多数都是用含有变元及符号组合，来表示某一般规律和规则的，这种用符号表达的过程，反映了思维的概括性和简洁性。
2、化归思想方法化归思想方法是用一种联系、发展、运动与变化的观点去认识问题，而不是用孤立、静止的眼光去看待问题，它是通过观察、联想、类比等手段，把问题进行变换、转化、直到化为已经解决或容易解决的问题。
教材中几乎处处都隐含着化归思想，如把有理数的减法运算转化为加法运算，除法运算转化为乘法运算，最后转化为算术数的运算；把一元一次方程转化为最简方程；把异分母转化为同分母；将多元方程转化为一元方程；将高次方程化为低次方程；将分式方程化为整式方程；将无理方程化为有理方程；把求负数立方根问题转化为求正数立方根的问题；把不能直接查表的数转化为可以直接查表的数；把复杂图形转化为基本图形；把多边形转化为三角形或特殊四边形等等。
关注数学本质 引领深度学习——《小学数学教材中的大道理》读书心得
小学教育46张奠宙先生的《小学数学教材中的大道理》一书，是张教授站在整个数学发展历程上，去揣摩核心概念背后的大道理、思想方法的神髓。
阅读这本书，给了我不一样的思考——教材的编写是否够科学？作为一线教师也要敢于质疑甚至批判教材，要站在数学本质、适合小学生学习和数学文化教学的高度，去分析教材中的问题、缺失，悟出“小”数学中的“大”道理。
一、加法交换律应从本源上讲清道理现在教材里提到加法交换律，就拿出一组加法等式来找规律：5+6=6+5，3+8=8+3，22+34=34+22……发现两个数相加，交换加数的位置，和不变。
然后要求学生分组举很多例子，由此归纳出加法交换律成立，即a+b=b+a。
这部分内容我曾经教学过，当时觉得不太对劲，通过这次阅读，我觉得张奠宙老师讲得非常有理，加法交换律为什么成立？也就是说加数的位置为什么可以交换？没有从本源上讲清道理。
现在提出“过程与方法的教学目标”，凡是小学生能够懂的道理，还是要说理。
怎么去说理？对此我很赞同书中所提到的做法，数数是最基本的数学活动之一，教材上可以画A、B两堆苹果，引导学生发现先数A堆接着数B堆，和先数B堆接着数A堆的结果是一样的，从本源上看，这就是加法交换律成立的证明。
二、乘法交换律和乘法的意义应相统一人教版《数学》二年级上册“认识乘法”展示了三幅不同的情景图片，引出三个加法算式：3+3+3+3+3=15 ，6+6+6+6=24，2+2+2+2+2+2+2=14，然后指出“这种加数相同的加法算式，还可以用乘法表示”。
以最后一个加法算式为例，指出这个加法算式表示7个2相加，可以写成乘法算式“2×7=14”或“7×2=14”，这就是说，不管是“2×7”还是“7×2”，都可以表示7个2相加，两个不同的乘法算式可以表示同一个加法算式。
照这么说来，当a和b都是大于1的整数时，a×b和b×a都表示b个a的和，也可以表示a个b的和。
加强对数学本质的认识,提高数学教学效果
加强对数学本质的认识，提高数学教学效果作者：文坚来源：《中学课程辅导·教育科研》2019年第01期【摘要】在教学过程中，老师们通常会根据教学大纲进行知识点的教学。
但很多老师都并没有思考过数学的本质是什么？为什么要进行数学的学习以及学习数学应该达到怎样一个境界？传统的数学教学过程中，将数学与生活分离开来看，数学的学习成了表面的知识点学习，对于同学们的实际生活能力的提高并没有什么帮助。
本文具体从数学的本质入手，提出要加强对数学本质的认识，加强数学与生活的联系，提高数学教学效果。
【关键词】数学本质数学教学课堂教学【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2019）01-047-01数学的学习是为了能够将数学知识应用到生活中去，因此数学的本质就是要学习实际能够应用的技术和方法，进行问题的解答。
但是，在数学学习的过程中，因为数学和生活的脱轨，让数学在实际生活中并没有充分发挥作用，数学的思维也没有得到充分的利用，数学课程的学习也就没有达到其预期的目标，浪费了数学课程这一资源。
同学们在面对生活问题时，不会主动和数学问题建立联系，同学们在解答数学问题时，也不会想到这就是生活中会遇到的问题。
正因如此，同学们把数学仅仅当成是一种知识的学习，其实生活问题很多本质上来说都可以用数学的方法来进行解决。
一、理论结合实际在进行数学知识教学的过程中，要尽可能的从现实生活中抽象出数学问题，这样同学们以后在生活中遇到问题时，会自觉向数学问题靠拢，便于同学们对于实际问题进行解决。
很多理论对于同学们来说都是抽象不易理解的，但是对于生活中的现象和问题，同学们理解起来就会比较有感触，容易接受。
老师在进行数学教学的过程中，可以引入一些生活的场景，让同学们可以借助自己固有的常识去解决数学中的问题，提高同学们对于知识的理解程度。
例如，在学习几何图形时，我们涉及到图形的面积计算、体积计算。
几何图形在我们生活中是比较常见的，所以我们在进行题目解答时，可以适当的引入生活场景。
所谓数学思想,就是对数学知识的本质的认识,是从某些具体
所谓数学思想，就是对数学知识的本质的认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点。
它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想，它是数学的灵魂，是为学生后续学习打基础的。
因此，根据《课标》倡导的精神，在小学数学教学中很有必要有目的、有意识地向学生渗透一些基本的数学思想方法。
在小学阶段的数学课程中，学生经常体验到的数学思想有：1、符号思想；2、对应思想；3、类比思想；4、数形结合思想；5、分类思想；6、集合思想；6、建模思想；7、化归思想等。
那么，在课堂教学中如何才能做好合理有效地渗透数学思想方法呢？现在结合我平时的教学举例说明：一、让学生结合身边的生活素材灵活运用数学思想。
生活中充满着数学，作为数学教师，我们更要善于从学生生活中抽出数学问题，使学生感到数学就在自己的身边，人情数学思想的实用性，从而灵活运用数学思想。
例如：在教学四年级下册“三角形的稳定性”一知识点时，我先从学生生活中熟悉的红领巾、自行车架、架桥等引出三角形，再让学生通过推、拉等实践活动认识三角形的稳定性，并运用它来解决一些实际生活问题，如修补摇晃的椅子。
学生会马上想到应用刚学过的“三角形稳定性”，给椅子加上木档子形成三角形，从而使椅子稳当起来。
这样使学生学的容易且印象深刻，达到事半功倍的效果。
这样数学思想在实际生活中就得到很好的应用，学生就逐渐有了数学思想的意识。
二、让学生在亲历探究中充分感悟数学思想数学思想方法蕴含在数学知识之中，尤其蕴含于数学知识的形成过程中。
在学习每一数学知识时，尽可能提炼出蕴含其中的数学思想方法，即在数学知识产生形成过程中，让学生充分感悟数学思想。
例如：我在教学二年级下册“角”一课中，进行符号思想、数形结合思想、建模思想的渗透。
先让学生在媒体上观察“巨大的激光器发送了两束激光线”，然后由学生确定一点引出两条射线画角，感知角的“静止性”定义以及角的大小与所画边的长短无关的观念。
对数学本质的认识
对数学本质的认识数学是什么？这一问题对于从事数学教育事业的数学教师来说显然是个十分重要的问题，也许有的教师并未对此问题有意识地进行过认真的思考，甚至不一定能作出明确的回答，但在我们的实际工作中却必然自觉或不自觉地以某种观念指导着具体的行动，从而也影响了数学教学的实践与效果。
随着数学本身的发展和人们对数学的认识，对数学是什么？这一问题有着不同的回答：数学是模式的科学、数学是科学，数学更是一门创造性的艺术。
、数学是科学，数学也是一门技术、数学是一种语言、数学是一种文化。
这正好反映了数学是一个多元的综合产物，不能简单地将数学等同于命题和公式汇集成的逻辑体系，数学通过模式的构建与现实世界密切联系，但又借助抽象的方法，强调思维形式的探讨；现代技术渗透于数学之中成为数学的实质性内涵，但抽象的数学思维仍然是一种创造性活动；数学其实是一种语言，由此形成的思维方式不仅决定了人类对世界的认识方式，还对人类理性精神的发展具有重要的影响，因而必然成为人类文化的一个重要组成部分[5]。
综上所述，对数学的本质不外乎两种不同的看法：一种是动态的，将数学描述处于成长发展中因而是不断变化的研究领域；另一种是静态的将数学定义为具有一整套已知的确定的概念、原理和技能的体系。
数学教师所持的数学观，与他在数学教学中的设计思想，在课堂讲授中的叙述方法以及他对学生的评价都有密切的联系。
通过数学教师传递给学生的任何一些关于数学及其性质的细微信息都会对学生数学观的形成产生深刻的影响。
作为一名数学教师，其首要任务是树立正确的数学观，积极地自觉地促进自己的观念改变，以实现由静态的，片面的、机械反映论的数学观向动态的，辩正的模式论的数学观的转变。
特别是实现对上述问题的朴素的不自觉的认识向自觉认识的转化。
对数学本质特征的若干认识
对数学本质特征的若干认识对数学本质特征的若干认识什么是数学？这是任何一个数学教育工作者都应认真思考的问题。
只有对数学的本质特征有比较清晰的认识，才能在数学教育研究中把握正确的方向。
1、数学，其英文是mathematics，这是一个复数名词，“数学曾经是四门学科：算术、几何、天文学和音乐，处于一种比语法、修辞和辩证法这三门学科更高的地位。
”自古以来，多数人把数学看成是一种知识体系，是经过严密的逻辑推理而形成的系统化的理论知识总和，它既反映了人们对“现实世界的空间形式和数量关系”的认识，又反映了人们对“可能的量的关系和形式”的认识。
数学既可以来自现实世界的直接抽象，也可以来自人类思维的能动创造。
2、从人类社会的发展史看，人们对数学本质特征的认识在不断变化和深化。
“数学的根源在于普通的常识，最显著的例子是非负整数。
"欧几里德的算术来源于普通常识中的非负整数，而且直到19世纪中叶，对于数的科学探索还停留在普通的常识，”另一个例子是几何中的相似性，“在个体发展中几何学甚至先于算术”，其“最早的征兆之一是相似性的知识，”相似性知识被发现得如此之早，“就象是大生的。
”因此，19世纪以前，人们普遍认为数学是一门自然科学、经验科学，因为那时的数学与现实之间的联系非常密切，随着数学研究的不断深入，从19世纪中叶以后，数学是一远，而且数学证明（作为一种演绎推理）在数学研究中占据了重要地位，因此，出现了认为数学是人类思维的自由创造物，是研究量的关系的科学，是研究抽象结构的理论，是关于模式的学问，等等观点。
这些认识，既反映了人们对数学理解的深化，也是人们从不同侧面对数学进行认识的结果。
正如有人所说的，“恩格斯的关于数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的提法与布尔巴基的结构观点是不矛盾的，前者反映了数学的来源，后者反映了现代数学的水平，现代数学是一座由一系列抽象结构建成的大厦。
”而关于数学是研究模式的学问的说法，则是从数学的抽象过程和抽象水平的角度对数学本质特征的阐释，另外，从思想根源上来看，人们之所以把数学看成是演绎科学、研究结构的科学，是基于人类对数学推理的必然性、准确性的那种与生俱来的信念，是对人类自身理性的能力、根源和力量的信心的集中体现，因此人们认为，发展数学理论的这套方法，即从不证自明的公理出发进行演绎推理，是绝对可靠的，也即如果公理是真的，那么由它演绎出来的结论也一定是真的，通过应用这些看起来清晰、正确、完美的逻辑，数学家们得出的结论显然是毋庸置疑的、无可辩驳的。
数学文化第一讲：数学的本质
第一讲 数学的本质
一、数学研究对象的历史考察
从数学发展的每个历史时期，人们在实践中，对 数学研究对象的发现与认识，来加以考察。 数学，作为一门科学，它来源于人类社会实践， 并促进人类社会实践，也随着人类社会的进步而 发展。 1.数学萌芽时期(远古～公元前6世纪) 2.常量数学时期(公元前6世纪～公元17世纪) 3.变量数学时期(17世纪～19世纪) 4.近现代数学时期(19世纪以后)
上面三个问题，虽然都来自于现实世界的问题， 且有不同的实际背景，但是每个问题经过抽象 之后，“它们所反映的已不是某一特定事物或 现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的 方面的特性”。像这样超越特殊对象而具有普
遍意义的问题就是一种模式，即量化模式。
综上所述，数学的概念、命题(理论)、公式、 定理、问题和方法等等，事实上都是一种量 化的模式，这样一来，“数学即是关于量化 模式的建构与研究。”正如美国数学家 L.Steen所说：“数学是模式的科学，数学家 从数中、空间中、科学中和想象中寻找模式， 数学理论阐明了模式间的关系。”
1.数学萌芽时期(远古～公元前6世纪)
特点： 零零星星地认识了数学中最古老、原始的 概念——“数”(自然数)和“形”(简单几何 图形)。 数的概念起源于数(读shǔ)，脚趾和手指 记数、“结绳记数” 等； 另一方面，人类还在采集果实、打造石器、 烧土制陶的活动中，对各种物体加以比较， 区分直曲方圆，逐渐形成了“形”的概念。
（3）从数学对象来看．数学家Descarte把 数学称作“序的科学”；物理学家 Weinberg把数学看作是“模式与关系”的 科学，如像生物是有机体的科学，物理是物 和能的科学一样，“数学是模式的科学”； 如果把数学看作是一种语言，它又可认为 “是描述模式的语言”。随着现代数学的创 立与发展，人们对数学的本质的认识逐步深 化，在当今数学哲学界流行一些新颖和较成 熟的数学哲学观点. 2.数学是模式的科学 《现代汉语词典》里，对模式的解释是指 “某种事物的标准形式”，这种标准形式 是通过抽象、概括而产生的。
对数学教学本质的认识
对数学教学本质的认识数学是一门重要的基础学科，它涉及到逻辑推理、问题解决、数据分析等多个方面。
在教育领域，数学教学的本质是什么？本文将从以下几个方面进行探讨。
数学教学的核心目标是培养学生的思维能力，包括逻辑推理、抽象思维、创新思维等方面的能力。
通过数学学习，学生可以掌握分析问题、解决问题的能力，同时也可以培养创新思维和解决问题的能力。
这些能力对于学生的未来发展非常重要，因此，数学教学应该注重培养学生的思维能力。
数学教学的内容应该符合学生的认知特点，根据学生的年龄段和认知水平来确定教学内容和教学方法。
例如，对于小学生，数学教学应该注重基础知识的掌握和基本技能的培养；对于初中生，数学教学应该注重数学思想和方法的渗透；对于高中生，数学教学应该注重数学思维和数学文化的培养。
因此，数学教学内容应该根据学生的认知特点来设计，以适应不同阶段学生的需求。
数学是一门实践性很强的学科，它涉及到很多实际问题和案例。
因此，数学教学应该注重实践和应用，通过案例教学、实验操作等方式让学生更好地理解数学知识，掌握数学技能。
同时，数学教学也应该注重与实际生活的，让学生更好地了解数学在生活中的作用和应用。
数学教学评价是衡量教学质量和学生学习效果的重要手段。
因此，数学教学评价应该多元化，包括考试成绩、平时表现、作业完成情况等多个方面。
教学评价也应该注重学生的个体差异和进步情况，以更好地激发学生的积极性和创造力。
数学教学的本质是培养学生的思维能力、符合学生的认知特点、注重实践和应用以及多元化评价。
只有把握好这些方面，才能更好地提高数学教学质量和学生的学习效果。
数学，作为人类智慧的结晶，其深远的意义和广泛的应用在人类社会的各个方面都得到了充分的体现。
然而，对于数学的本质，人们的理解却各有不同。
有的人认为数学是一种逻辑游戏，有的人认为数学是一种工具，还有的人认为数学是一种抽象艺术。
然而，在我看来，数学的本质在于其普遍性、抽象性和应用性的结合。
追问数学的本质
教育实践与研究Educational Practice and Research 2016年第23期/A （8）>>>学科教学探索米斯拉说：“数学是人类的思考中最高的成就。
”追问数学的本质，就是寻找原点，或是寻找起点。
套用哲学层面的最基本的三个问题“我是谁？我从哪里来？要到哪里去？”就是要弄清数学的相关知识是什么，它从哪里来，又将到哪里去。
简而言之就是：是什么，为什么，怎么做？所以，数学教师要统观全盘，不能只关注知识点的教学而忽视了知识之间的内在联系；要盘根究底，不能只教单纯的知识，而忽视知识的所以然。
在数学教学过程中，教师要永葆一腔探究热情，多追问数学的本质，方能引领学生进入更广阔的数学天地。
一、追问数学概念数学概念是数学知识的基础。
在北师大版小学数学教材中，有许多数学概念，如，周长、面积、百分比、比例、合数、质数、分解质因数、偶数的含义等。
对于这些概念，不仅要让学生知其然（定义的内容），更要知其所以然（为什么这样定义）。
只有教师对知识的来龙去脉了如指掌，对数学概念的内涵和外延认识清晰，对相近概念的相同点和不同点把握准确，学生才能学得明了。
同时，在教学过程中，教师要有意识设计一些相应的题目，帮助学生理清概念的本质，使学生对概念的认识更为清晰。
例如，在教学“什么是周长”一课时，我通常要追问：什么是周长，周长的本质是什么（周长指的是物体表面或图形一周的长度。
它的本质是线的长度）。
所以，在教学时，要有意识引导学生用铁丝或线绕出枝叶或数学书封面的一周，然后拉直，抽象出：树叶的周长其实就是边线的长度，数学书封面的周长是四条边的总长度。
这样，学生在学习面积时，才能理清周长与面积本质的不同。
在教完“周长”一课，教师可出示这样的练习题：出示变形后成问：变形后的周长有变化吗？为什么？在教学“面积”一课时，教师可出示这样的练习题：出示变形后成问：变形后的面积有变化吗？为什么？对于第一个问题，学生比较好理解，因为变形后，四条边的长度不变，所以周长没有发生追问数学的本质高莲莲（石狮市永宁镇中心校，福建泉州362700）摘要：数学教师要有不断探究的精神，既要关注具体数学知识点的教学，又要不断追问数学概念、数学性质及数学思想的本质问题，使学生接受系统的数学知识，成为全面、健康发展中的人。
数学本质概念
高年級(一)
學生學習數學困難處 教學者之對策(處理特色)
容量單位之化聚計算 學生雖已懂得公升、毫升、 分公升，也清楚1公升 =1000毫升。可是，在計算 例如：3029毫升=( )公 升時，就有不會算，或者 寫3029000公升，或者小 數點點錯的。 先確定學生是否知道容量單位間誰大誰小 再確定學生是否了解容量單位間化聚的意義 例如：1公升=1000毫升 公升是比毫升大的容量單位要1000格(毫 升)，才累積1公升 也可能是計算問題：要乘法還是要用除法 先把 1公升 = 1000毫升寫在題目最上頭 指導學生，當題目是xxxx毫升= ? 公升 就這麼寫： 1公升 =1000毫升 ? 公升 =xxxx毫升 (可分成幾個1000的除 法問題) 或者 xx公升 = ? 毫升 (倍數問題) 【黃碧伶老師受訪，黃碧伶訪談】
1立方 公尺
1公秉
腦力激盪
1公升=_____毫公升
謝謝大家~~~
高年級(二)
學生學習數學困難處 教學者之對策(處理特色)
1.容量單位換算：公升、分公 1-1以實物代替，拿一公升的盒子，一分公 升、毫升因和生活經驗較無 升大約為一瓶養樂多，一毫升以一滴水代替， 關，學生較難有概念。 讓學生有概念。 2.學生會對於一些數學單位 名詞難以理解，沒有量感。 例如當老師在解說一公秉到 底有多大時，學生比較難以 去想像一公秉到底是有多大。 1-2請學生上台練習或是全班一起討論，藉 由不斷反覆練習的方式來建立學生的概念。 2-1由於1公秉=1立方公尺，所以當老師在講 解1公秉到底有多大時，林老師會實際做出 一個1立方公尺的教具，來讓學生能夠實際 看得到體驗得到，使學生對於1公秉有所量 感的感覺。
容量單位的關係
• 1公秉＝ 1000公升 • 1公升＝ 10分公升＝ 1000毫升 • 1分公升＝ 100毫升
整体把握数学知识揭示数学知识本质
整体把握数学知识揭示数学知识本质数学是一门基础学科，也是人类理性思维的高峰之一。
通过学习数学知识，可以培养我们的逻辑思维和数学思维能力，提高我们的分析和解决问题的能力。
然而，很多人在学习数学知识的过程中，经常会出现一些问题，比如不理解数学知识的本质，或者只是凭记忆学习而不能真正理解数学公式和概念的含义。
因此，整体把握数学知识就成为了极为重要的一步。
通过整体把握数学知识，我们可以深入理解数学知识的本质，掌握数学知识的核心内容，从而更好地应对各种挑战和复杂问题。
一、认识数学知识的本质在学习数学知识之前，我们需要认识数学知识的本质。
数学知识不仅仅是一些公式、定理和概念的堆砌，更是通过抽象化和理论化来研究自然界和社会现象的科学。
数学的根本目的是研究客观事物，探究事物之间的关系和规律，从而用科学的方式把握事物的本质和内在联系。
在学习数学知识的过程中，我们应该关注数学的本质特点，强调思维方式和逻辑方法的训练，以及对数学知识的应用。
二、整体把握数学知识的步骤整体把握数学知识是一个系统性的过程，需要遵循一定的步骤。
下面简要介绍一下整体把握数学知识的步骤：1.掌握基础知识在学习一门学科之前，我们首先需要掌握它的基础知识。
学习数学也是一样，我们需要先了解数学的基本概念和基本原理，例如数学中的函数、方程、几何等等。
只有掌握了这些基本知识，才能逐步深入理解数学的更高层次知识。
2.构建概念体系掌握了数学的基本知识之后，我们需要进一步构建数学的概念体系。
数学的概念体系是数学知识体系的基础，是数学知识内在联系的显著体现。
要全面理解数学知识的本质，我们需要理解每个概念所代表的实际意义和数学内涵，并且理解各个概念之间的联系。
3.研究定理和公式为了深入理解数学的知识体系，我们需要研究数学的定理和公式。
通过研究定理和公式，我们可以了解它们的特点、重要性和应用。
需要深入理解定理和公式的证明过程，这可以帮助我们更加深入地理解数学知识的本质。
对数学教学本质的认识
对数学教学本质的基本理解“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。
”这里，强调了数学教学是一种活动，是教师和学生的共同活动。
一、数学教学过程是教师引导学生实行数学活动的过程。
学生要在数学教师指导下，积极主动地掌握数学知识、技能，发展水平，形成积极、主动的学习态度，同时使身心获得健康发展。
数学活动能够从以下两个方面加以理解。
1、数学活动是学生经历数学化过程的活动。
数学活动就是学生学习数学，探索、掌握和应用数学知识的活动。
简单地说，在数学活动中要有数学思考的含量。
数学活动不是一般的活动，而是让学生经历数学化过程的活动。
当儿童通过模仿学会计数时，当他们把两组具体对象的集合放在一起而引出加法规律时，这实质上就是数学化的过程。
2、数学活动是学生自己建构数学知识的活动。
数学学习是学生在学数学，学生理应成为主动探索知识的“建构者”，决不但仅模仿者。
无论教师的教还是学生的学都要在学生那里表达，不懂得学生能建构自己的数学知识结构，不考虑学生作为主体的教，不会有好的效果。
实际上，教师的教总要在学生那里得到表达与落实，是学生在吸收、消化、理解、掌握、使用知识。
离开了学生积极主动的学习，数学教师讲得再好也会经常出现“教师讲完了，学生仍不会”的现象，教学对于指导学生建构数学知识理应具有重要的引导和指导作用，教师教学工作的目的应是引导学生实行有效地建构数学知识的活动。
二、数学教学过程是教师和学生之间互动的过程。
教学过程是师生间实行平等对话的过程。
在教学中，教师首先应考虑的是要充分调动学生的主动性与积极性，引导学生展开观察、操作、比较、概括、猜测、推理、交流等多种形式的活动，使学生通过各种数学活动，掌握基本的数学知识和技能，初步学会从数学的角度去观察事物和思考问題，产生学习数学的愿望和兴趣。
教师在发挥组织、引导作用的同时，又是学生的合作者和好朋友，而非居高临下的管理者。
教师的这些作用至少能够在下面的活动中表达出来。
数学思想是对数学知识的本质的认识
数学思想是对数学知识的本质的认识，是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用带有普遍的指导意义是建立数学和用数学解决问题的指导思想。
数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中。
数学抽象的思想派生出的有：分类的思想；集合的思想；数形结合的思想；变中有不变的思想；符号表示的思想；对称的思想；对应的思想；有限与无限的思想等。
※房间广播[付丹教育·神鹰(30760665)]:数学推理的思想派生出的有：归纳的思想；演绎的思想；公理化思想；转换与化归的思想；联想与类比的思想；逐步逼近的思想；代换的思想；特殊与一般的思想等。
※房间广播[付丹教育·神鹰(30760665)]:数学模型的思想派生出的有：简化的思想；量化的思想；函数的思想；方程的思想；优化的思想；随机的思想；抽样统计的思想等。
※房间广播[付丹教育·神鹰(30760665)]:数学方法：在用数学思想解决具体问题时，会形成程序化的操作，就构成数学方法。
数学方法具有层次性，较高层次的有：演绎推理的方法，合情推理的方法，变量替换的方法等价变形的方法，分类讨论的方法等。
较低层次的有分析法，综合法，穷举法，反证法，构造法待定系数法，数学归纳法，递推法，消元法，降幂法，换元法，配方法，列表法，图象法等。
※房间广播[付丹教育·神鹰(30760665)]:“活动经验”与“活动”密不可分，要有“动”——手动、口动和脑动。
既包括学生在课堂上学习数学时的探究性学习活动，也包括与数学课程相联系的学生实践活动；既包括生活、生产中实际进行的活动，也包括课程教学中特意设计的活动。
※房间广播[付丹教育·神鹰(30760665)]:数学基本活动经验是学生从数学的角度进行思考，通过亲身经历数学活动过程所获得的具有个性特征的经验。
数学本质·认识论·数学观—简评“对数学本质的认识”
１ 数 学 本 质是 一个 认 识 论 问题
数 学 作 为 对 客 观 世 界 的 一种 认 识 ，它 与其 它科
但 是 ， 文 对 这 一观 点提 出 ４个 质 疑 …一一 “ 黄 演 算 能 揭 示 数 学 强 大 创 新 功 能 之 特 性 吗 ？ ” 数 学 、“ 知 识 一 定 要 按 演 绎 体 系 展 开 吗 ？ ” “ 算 机 技 术 、 计 是 否 可 以 单 列 为 一 个 科 学 知 识 体 系 呢 ？ ” 推 动 、“ 数 学发 展 的 主 要 动力 是 归纳 而 不 是 演 绎 ” 一一是 否 在 理 ，读 者 有 能 力 做 出判 断 ，不 必 评 说 ．不 过 ，笔 者 想指 出的 是 ，黄 文 的 质 疑 不 是 从 数 学 的经 验 知 识 与理 论 知 识 的关 系 的 角 度 提 出 问题 的 ，是 文不 对 题
不 能达 到 共 识 ，只 要 言 之 有 理 ， 自成 理 论 体 系 ，形
数 学本 质在 数 学 哲 学 史 上 是 一 个 认 识论 问题 ，它 涉
及 经 验 知 识 与理 论 知 识 的 关 系 ，或 者 感 性 认 识 与理
性认识的关 系 ．
成 不 同学 派 ，对 于 学术 发 展 也 是 有 益 的 ．基 于这 一
经验性 与演绎性在实践基 础上的辩证统 一；并在此 前 提 下 ，根 据 数 学 家 的 ２项 主 要 工 作 — — 证 明 与计
算 ，把 数 学 的 演 绎 性 括 为 “ ”（ 算 和 算 法 ） 由此 提 出 ，“ 学 算 计 ； 数
是 一 门 演算 的 科 学 ” 作 为 对 数 学 本 质 的概 括 ，并 且 作 了具 体 阐 释 ．
不过 ，细读后发现 ，黄 文在论述 对数 学本质 的
数学的大观念
数学的大观念
数学的大观念可以理解为对数学的基本理解、整体认识和深层理解。
它强调对数学的本质、思想、方法及其应用的深入认识，以及从整体上把握数学的知识体系和内在逻辑。
具体来说，数学的大观念包括以下几个方面：
1. 对数学本质的理解：理解数学是研究数量、结构、空间、变化等概念的抽象科学，是人们认识世界、描述规律的重要工具。
2. 对数学思想的认识：掌握数学的基本思想，如抽象、推理、模型等，能够运用这些思想解决实际问题。
3. 对数学方法的掌握：掌握数学的基本方法，如代数、几何、微积分等，能够运用这些方法进行数学运算、推理和证明。
4. 对数学应用的认识：理解数学在各个领域的应用，如科学、工程、经济、金融等，能够运用数学知识解决实际问题。
5. 对数学整体的认识：理解数学的各个分支之间的内在联系和逻辑关系，能够从整体上把握数学的知识体系。
总之，数学的大观念强调对数学的深入理解和整体认识，它有助于培养学生的数学素养和解决问题的能力，是数学教育的重要目标之一。
质数与合数,认识数的本质
质数与合数，认识数的本质数学作为一门科学，蕴含着无穷的奥秘和魅力。
数字是人类各类活动中普遍存在的概念，而数学则是对这些数字进行归纳总结、研究分析、发现规律、探究本质的学问。
而数字的本质就在于它们之间的关系，其中一个重要的关系就是质数与合数。
质数是指不能被除了1和它本身以外的整数整除的正整数。
根据这个定义，2、3、5、7、11等都是质数。
合数则是指可以被除了1和它本身以外的其他正整数整除的正整数。
例如，4、6、8、9、10等都是合数。
数的本质是其内在的属性。
运用数学方法，通过对数之间关系的研究，我们可以更深入地认识数的本质。
首先，我们来探究质数的本质。
质数在数学中有着重要的地位，它们具有唯一分解定理和欧几里得算法的性质。
唯一分解定理指出，每一个大于1的自然数都可以唯一地表示成若干个质数乘积的形式。
例如，36=2×2×3×3，这种表法叫做分解质因数。
欧几里得算法则是寻找两个数的最大公约数的有效方法。
欧几里得算法的基础是质因数分解。
通过质因数分解，两个数的最大公约数就是它们所拥有的质因数中，每个质数的幂次数的最小值。
因此，质数具有很强的单性质，即只能被1和它本身整除。
那么，合数又有哪些特性呢？首先，我们可以通过质因数分解来研究合数的性质。
每一个合数都可以表示成它所包含的质数的乘积形式。
例如，60=2×2×3×5。
其次，合数的因数个数是无限的，而质数的因数只有两个。
这是因为一个合数可以拆分成较多个小于它的质数相乘，所以因数个数较多。
通过对合数的分解和因数个数等性质的研究，可以进一步深化我们对整数间因数关系的认识，理解加减乘除在整数运算中的实质。
认识数的本质也需要从历史、文化和自然的角度去思考。
我国古代数学发展，尤其是算术和代数的发展，对数论的研究起到了重要的推动作用。
而世界上许多文化背景和历史底蕴深厚的国家与地区，都有自己独特的数学发展和传承。
顺学而教：加速小学生对数学知识本质的认识——以“角的初步认识”教学为例
教学·现场顺学而教:加速小学生对数学知识本质的认识———以“角的初步认识”教学为例文|陈丽君【教学内容】人教版二年级上册数学第三单元“角的初步认识”【指导思想】以理论基础为导向，通过动手实践、观察等方式，让学生对“角”有初步的认知，同时能够在生活中发现角、观察角，了解角的特性，构建小学数学课堂探究式学习的教学思路，提高学生的数学素养和好奇心，为后续学习角打下良好基础。
【理论依据】“角的初步认识”在新课标中的要求是“要让学生初步认识角，在生活中感受角，认识数学与生活的密切关系”，因此，通过探究式学习法让学生在实际动手中了解角的特性，有助于培养学生的认知能力，激发学生数学学习的兴趣，实现对知识、技能等方面深入和全面的学习。
数学是一门重要的基础性和应用性科目，既有严密的逻辑性和抽象性，又有广泛的实践性和启发性。
因此，数学教学应该遵循源于生活、应用于生活的原则，采用多种手段引导学生主动探究、积极参与、合作交流，让学生在观察、实践、推理和验证的过程中，认识到数学的有趣之处。
【教材分析】新课标指出，要让学生从实际生活经验出发，在具体的情境中理解和认识数学知识并进行解释和运用。
“角的初步认识”是人教版二年级上册第三单元的内容。
在学习本单元之前，学生已经有基本的几何图形概念，能够认识长方形、正方形、圆、三角形等日常生活中常见的图形，并对其特征有了一定的认知。
通过观察、动手等环节，学生能够根据生活实际，通过眼看、耳听、手动、脑想、口说等多个方面，进行知识的学习与理解。
角在生活中出现的频率较高，因此，学生对角并不陌生。
在课堂上、教室里学生能够轻易找到角，而如何引导学生通过观察看到角、认识角是本课的关键，让学生将抽象的理论思维变得具象化，感受数学与生活的联系，形成数学的概念和法则，为学生学习几何知识做好准备。
【教学目标】1.学生掌握角的特征与概念；了解角的大小与边的长短没有关系，而是与两边叉开的大小有关；学会利用尺子画角；掌握各种角的运用和特点。
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谈对数学本质的认识
【摘要】：数学本质是一个认识论问题,它涉及到了经验知识与理论知识的关系。
数学本质是数学观的重要表现,它影响并决定着数学研究方法。
研究数学本质是数学教育工作者的一个重要课题,不是“没有必要”的;培养学生树立正确的数学观是数学教师的一项重要任务,不是“无关紧要的”.数学发展的动力是实践,而不是归纳法.
【关键词】:数学本质认识论数学观实践归纳法
对于数学的本质我们应该怎样认识呢？数学本质，简单的解释就是数学的根本性质。
对数学本质的认识，是数学认识的根本性问题，也是数学教育论的根本性问题，历来被数学家，尤其为数学哲学家所重视。
我认为对数学本质的认识我们不应该从传统数学哲学的角度退缩到方法论的一个狭隘的层面，而是应该从更广阔的、更为多样的角度对数学本质进行更为透彻的了解。
从人类社会发展史来看，对数学本质特征的认识在不断的加深。
在19世纪以前，由于数学与现实联系的比较密切，所以认为数学只是一门自然科学、经验科学，但随着对数学研究的不断深入，人们逐渐认识到数学是一门演绎科学的学问，而且这样的观点在19世纪中叶以后开始占据主导地位，这种观点在布尔巴基学派的研究中得到发展，他们认为数学是研究结构的科学，一切数学全部都建立在代数结构、序结构以及拓扑结构这三种母结构之上。
与这种观点相对应的是从古希腊的柏拉图开始，许多人认为数学是研究模式的学问，数学家怀特海在《数学与善》中说，“数学的本质特征就是：在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究，”数学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术。
”1931年，歌德尔通过不完全性定理的证明了公理化逻辑演绎系统中存在的缺憾，这样，人们又想到了数学是经验科学的观点，著名数学家冯·诺伊曼就认为，数学兼有演绎科学和经验科学两种特性。
而数学是人类思维的自由创造物，是研究量的关系的科学，是研究抽象结构的理论，是关于模式的学问等这些观点既反映了人们对数学理解的深化，也让人们从不同方面对数学进行认识的结果。
波利亚认为，“数学有两个侧面，它是欧几里德式的严谨科学，但也是别的什么东西。
由欧几里德方法提出来的数学看来象是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。
”弗赖登塔尔说，“数学是一种相当特殊的活动，这种观点“是区别于数学作为印在书上和铭，记在脑子里的东西。
”他认为，数学家或者数学教科书喜欢把数学表示成“一种组织得很好的状态，”也即“数学的形式”是数学家将数学（活动）内容经过自己的组织（活动）而形成的；但对大多数人来说，他们是把数学当成
一种工具，他们不能没有数学是因为他们需要应用数学，这就是，对于大众来说，是要通过数学的形式来学习数学的内容，从而学会相应的（应用数学的）活动。
这大概就是弗赖登塔尔所说的“数学是在内容和形式的互相影响之中的一种发现和组织的活动”的含义。
菲茨拜因（Efraim Fischbein）说，“数学家的理想是要获得严谨的、条理清楚的、具有逻辑结构的知识实体，这一事实并不排除必须将数学看成是个创造性过程：数学本质上是人类活动，数学是由人类发明的。
”
数学活动由形式的、算法的与直觉的等三个基本成分之间的相互作用构成。
库朗和罗宾逊也说，“数学是人类意志的表达，反映积极的意愿、深思熟虑的推理,以及精美而完善的愿望，它的基本要素是逻辑与直觉、分析与构造、一般性与个别性。
虽然不同的传统可能强调不同的侧面，但只有这些对立势力的相互作用，以及为它们的综合所作的奋斗，才构成数学科学的生命、效用与高度的价值。
”
另外，对数学还有一些更加广义的理解。
如有人认为，“数学是一种文化体系”，“数学是一种语言”，数学活动是社会性的，它是在人类文明发展的历史进程中，人类认识自然、适应和改造自然、完善自我与社会的一种高度智慧的结晶。
数学对人类的思维方式产生了关键性的影响．也有人认为，数学是一门艺术，“和把数学看作一门学科相比，我更喜欢把它看作一门艺术，因为数学家在理性世界指导下所表现出的经久的创造性活动，具有和艺术家的，“数学是推理的音乐，”而“音乐是形象的数学”．这是从数学研究的过程和数学家应具备的品质来论述数学的本质，还有人把数学看成是一种对待事物的基本态度和方法，一种精神和观念，即数学精神、数学观念和态度。
数学的这两个侧面之间的差异并非数学内容本身的问题，而是人们所关注的焦点不同。
无论是纯粹的还是应用的，作为科学的数学有助于产生知识和洞察力。
数学是美学的一个领域，能为许多醉心其中的人们提供对美感、愉悦和激动的体验。
作为一门学科，数学的传播和发展都要求它能被新一代的人们所掌握。
数学的学习不会同时而自动地进行，需要靠人来传授，所以，数学也是我们社会的教育体系中的一个教学科目．”
从上所述可以看出，人们是从数学内部如数学与社会的关系、数学与其它学科的关系、数学与人的发展的关系等几个方面来讨论数学的性质的。
它们都侧面反映了数学的本质特征，为我们全面认识数学的性质提供了一个视角。
基于对数学本质特征的上述认识，人们也从不同侧面讨论了数学的具体特点。
比较普遍的观点是，数学具有抽象性、精确性和应用的广泛性等特点，其中最本质的特点是抽象性。
亚历山大洛夫说，“甚至对数学只有很肤浅的知识就能容易地觉察到数学的这些特点：第一是它的抽象性，第二是精确性，或者更好他说是逻辑的严格性以及它的结论的确定性，最后
是它的应用的极端广泛、性，”另外，从数学研究的过程方面、数学与其它学科之间的关系方面来看，数学还有形象性、似真性、拟经验性。
“可证伪性”的特点。
对数学特点的认识也是有时代特征的，例如，关于数学的严谨性，在各个数学历史发展时期有不同的标准，从欧氏几何到罗巴切夫斯基几何再到希尔伯特公理体系，关于严谨性的评价标准有很大差异，尤其是哥德尔提出并证明了“不完备性定理…以后，人们发现即使是公理化这一曾经被极度推崇的严谨的科学方法也是有缺陷的。
因此，数学的严谨性是在数学发展历史中表现出来的，具有相对性。
关于数学的似真性，波利亚在他的《数学与猜想》中指出，“数学被人看作是一门论证科学。
然而这仅仅是它的一个方面，以最后确定的形式出现的定型的数学，好像是仅含证明的纯论证性的材料，然而，数学的创造过程是与任何其它知识的创造过程一样的，在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得推测证明的思路，你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比．你得一次又一次地进行尝试。
数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。
只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。
”正是从这个角度，我们说数学的确定性是相对的，有条件的，对数学的形象性、似真性、拟经验性。
“可证伪性”特点的强调，实际上是突出了数学研究中观察、实验、分析。
比较、类比、归纳、联想等思维过程的重要性。
综上所述，对数学本质特征的认识是发展的，从历史的发展的观点来看数学的本质特征，恩格斯的“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”的论断并不过时，对初等数学来说就更是如此，当然，对“空间形式和数量关系”的内涵，我们应当作适当的拓展和深化。
顺便指出，对数学本质特征的讨论中，采取现象与本质并重、过程与结果并重、形式与内容并重的观点，对数学教学具有重要的指导意义。
自上个世纪的数学基础大论战之后，关于“数学的本质及其实在性”问题的讨论占据了当前数学哲学发展的主流。
数学的本质是一个数学认识论问题。
不同时代的哲学家和数学家都从认识论角度提出不同的理论和观点。
但随着数学的发展又暴露出它们的片面性或局限性，特别是，当计算机引起数学研究方式的变革时，又提出有关数学本质更深层次的问题，从而推动着人们全面而辩证地认识数学的本质。
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[4] 郑毓信．数学哲学：20世纪末的回顾与展望[J]．哲学研究，2000，（10）：76-77．
[5] 林夏水．数学哲学译文集[M]．北京：知识出版社，1986．350．
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