(抽样检验)抽样与参数估计最全版

（抽样检验）抽样与参数估

计

抽样和参数估计

推断统计：利用样本统计量对总体某些性质或数量特征进行推断。

从数据得到对现实世界的结论的过程就叫做统计推断(statisticalinference)。这个调查例子是估计总体参数（某种意见的比例）的壹个过程。

估计(estimation)是统计推断的重要内容之壹。统计推断的另壹个主要内容是本章第二节要介绍的假设检验(hypothesistesting)。

因此本节内容就是由样本数据对总体参数进行估计，即：

学习目标：了解抽样和抽样分布的基本概念

理解抽样分布和总体分布的关系

了解点估计的概念和估计量的优良标准

掌握总体均值、总体比例和总体方差的区间估计

第一节抽样和抽样分布

回顾相关概念：总体、个体和样本

抽样推断：从所研究的总体全部元素(单位)中抽取壹部分元素(单位)进行调查,且根据样本数据所提供的信息来推断总体的数量特征。

总体(Population)：调查研究的事物或现象的全体参数

个体(Itemunit)：组成总体的每个元素

样本(Sample)：从总体中所抽取的部分个体统计量

样本容量(Samplesize)：样本中所含个体的数量

壹般将样本单位数不少于三十个的样本称为大样本，样本单位数不到三十个的样本称为小样本。

壹、抽样方法及抽样分布

1、抽样方法

（1）、概率抽样：根据已知的概率选取样本

①、简单随机抽样：完全随机地抽选样本，使得每壹个样本都有相同的机

会（概率）被抽中。

注意：在有限总体的简单随机抽样中，由抽样是否具有可重复性，又可分为重

复抽样和不重复抽样。而且，根据抽样中是否排序，所能抽到的样本个数往往不同。

②、分层抽样：总体分成不同的“层”（类），然后在每壹层内进行抽样

③、整群抽样：将壹组被调查者（群）作为壹个抽样单位

④、等距抽样：在样本框中每隔壹定距离抽选壹个被调查者

（2）非概率抽样：不是完全按随机原则选取样本

①、非随机抽样：由调查人员自由选取被调查者

②、判断抽样：通过某些条件过滤来选择被调查者

（3）、配额抽样：选择壹群特定数目、满足特定条件的被调查者

2、抽样分布

壹般地，样本统计量的所有可能取值及其取值概率所形成的概率分布，统计上称为抽样分布（samplingdistribution）。

某个样本统计量（如均值、比例、方差等）的抽样分布，从理论上说就是在重复选取容量为n的样本时，由每壹个样本计算出的该统计量数值的相对频数分布或概率分布。

二、样本均值的抽样分布和中心极限定理

1、样本均值的抽样分布（壹个例子）

【例】设壹个总体，含有4个元素（个体），即总体单位数N=4。4个个体分别为X 1=1、X 2=2、X 3=3、X 4=4。总体的均值、方差及分布如下

均值和方差

现从总体中抽取n ＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果如下表

计算

出各样本的

均值，如下

表。且给出

样本均值的

抽样分布

所有

样本均值的

均值和方差：

式中：M 为样

本数

目 比较及结论：1.样本均值的均值（数学期望）等于总体均值

2.样本均值的方差等于总体方差的1/n

2、中心极限定理

=1n i i x μ==∑=1M x n i i x

当总体服从正态分布N~(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值也服从正态分布，的数学期望为μ，方差为σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)

中心极限定理：设从均值为μ，方差为σ2的壹个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时（壹般，就能够用中心极限定理了），样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布。即有：

和

也即有，~

其实，样本均值抽样分布的数字特征壹方面和总体分布的均值和方差有关，另壹方面也和抽样的方法是重复抽样仍是不重复抽样有关。无论是重复抽样或不重复抽样，样本均值的数学期望始终等于总体的均值。但在不重复抽样条件下，样本均值的方差需要用修正系数去修正重复抽样时均值的方差。当很大，而时，其修正系数，可视不重复抽样和重复抽样壹致。

uesofthesampleproportion p.）

样本比例抽样分布的相关信息，即p的期望值、标准差、抽样分布形状等。

主要应用于分类变量：在经济和商务的许多场合，需要用样本比例p对总体比例P进行统计推断

根据中心极限定理有：当样本容量增大时（大样本：经验上，当下面俩个条件

(n·p>=5且n(1-p)>=5)满足时，和p相关的样本为大样本），样本比例抽样分布趋向于以样本期望值为中心、以样本方差为方差的正态分布

1、期望值（Expectedvalueof p）：E(p)=P

2、标准差（Standarddeviationof p）：

重复抽样：不重复抽样：

*四、样本方差的抽样分布

要用样本方差s2去推断总体的方差σ2，必须知道样本方差的分布。

设总体服从正态分布X~N(μ,σ2)，X1，X2，…，X n为来自该正态总体的样本，统计证明比值的抽样分布为自由度是（n-1）的分布，即：

~

分布的性质：

（1）、分布的变量始终为正；

（2）、分布的期望为，方差为。

第二节参数估计的基本方法

壹、估计量和估计值

参数是总体的数值特征（A parameter isanumericalcharacteristicofapopulation。）参数估计：就是用样本统计量去估计总体的参数。

估计量（）（estimator）用于估计总体某壹参数的样本统计量（随机变量）的名称。

样本均值，样本比例、样本方差等都能够是壹个估计量。

估计值（e s t i m a t e）：用来估计总体参数时计算出来的估计量的具体数值。

例如:样本均值就是总体均值的壹个估计量

如果样本均值 =3，则3就是的估计值

二、点估计和判断估计量的优良性准则

（壹）、点估计

点估计(PointEstimate)就是用样本估计量的值直接作为总体参数的估计值。设是总体分布中壹个要估计的参数。例如，总体分布的均值、方差等。当下从总体中得到壹个随机样本，如何估计？

记估计的估计量（统计量）为，简记为

若得到壹组样本观察值，就能够得到的估计值：，也记为。

总体分布参数的点估计，就是求出的估计值。

点估计的方法壹般有矩估计发法、极大似然估计法等。

概念要点:

1.从总体中抽取壹个样本，根据该样本的统计量对总体的未知参数作出壹个数值点的估计。

例如:用样本均值作为总体未知均值的估计值就是壹个点估计

2.点估计没有给出估计值接近总体未知参数程度的信息

3.其理论基础是抽样分布

（二）、估计量的优良性准则

要估计总体的某壹指标，且非只能用壹个样本指标，而可能有多个指标可供选择，即对同壹总体参数，可能会有不同的估计量。作为壹个好的估计量，估计量必须具有如下性质：无偏性、有效性、壹致性。

1、无偏性（Unbiasedness）：样本估计量的数学期望（均值）等于被估总体参数的真值；

如果，则称为的无偏估计量。

能够证明，总体方差的样本矩估计量是无偏估计量。

2、有效性(Efficiency):好的点估计量应具有较小的方差；

在用估计量来估计总体的某个参数时，如果对其它所有对的估计量总是有：

那么，这个估计量就是总体参数的有效估计量。

3、壹致性(C o n s i s t e n c y):随着样本容量的增大，估计量越来越接近被估计的总体

参数。

如果满足：，即：

则称为的壹致估计量。

能够证明：样本均值、样本比例、样本标准差的点估计是无偏、有效、壹致的。

三、抽样误差和区间估计

（壹）、抽样误差（SamplingError）

壹个样本能够得到总体参数的壹个点估计，该点估计值和总体参数真值之间的差异，即为抽样误差。

有三个相互联系的概念：

1、实际抽样误差：具体样本的估计值和总体参数的实际值之间的离差。

2、抽样平均误差：所有可能样本估计值和相应总体参数的平均差异程度。

3、抽样极限误差壹定概率下抽样误差的可能范围（也称允许误差）：

注意：

①、统计学上往往用抽样极限误差来测度抽样误差的大小或者说测度点估计的精度。原因：总体参数值往往且不知道，因此，实际抽样误差和抽样平均误差也往往无法求出，但在抽样分布大体知道的情况下，抽样极限误差是能够估计出来的。

②、抽样平均误差是所有可能样本值和总体指标值之间的平均离差，它表明抽样估计的准确度；而抽样极限误差是样本指标值和总体指标值的离差绝对值是表明抽样估计的准确程度的范围。这也就决定了俩者存在壹定的联系。通常，把抽样极限误差和抽样平均误差相比，从而使单壹样本的抽样极限误差标准化，壹般称为概率度或相对误差范围，即置信度。

③抽样极限误差的估计总是要和壹定的概率保证程度联系在壹起的。原因：样本统计量往往是壹随机变量，它和总体参数真值之差也是壹个随机变量，因此就不能期望某次抽样的样本估计值落在壹定区间内是壹个必然事件，而只能给予壹定的概率保证。因此，在进行抽样估计时，既需要考虑抽样误差的可能范围，同时仍需考虑落到这壹范围的概率大小。前者是估计的准确度问题，后者是估计的可靠性问题，俩者紧密联系不可分开。这也正是区间估计所关心的主要问题。（二）、区间估计（IntervalEstimate）

在点估计的基础上，给出总体参数估计的壹个范围，称为参数的区间估计。

若总体分布含壹个未知参数，找出了俩个依赖于样本的估计量：

使得

其中，，显著性水平壹般取0.05或0.01，则称随机区间为的100（1-）%的置信

区间。百分数100（1-）%被称为置信度或置信水平。

1.根据壹个样本的观察值给出总体参数的估计范围

给出总体参数落在这壹区间的概率

例如:总体均值落在50~70之间，置信度为95%

2、置信水平

①.总体未知参数落在区间内的概率

②.表示为(1–a)，a为显著性水平，是总体参数未在区间内的概率

③.常用的显著性水平值有99%,95%,90%，相应的a为，，

。

3、区间估计的要点

①.依据样本指标和抽样误差去推算总体指标时，只是确定了总体指标的估计范围，且没有确定其具体值。这个范围表现为壹个上限和壹个下限，从而构成壹个区间。

②.所得的估计区间表示的只是壹个可能范围，而不是绝对的范围。总体指标在这个范围内的可能性为置信概率（）。

③.扩大抽样极限误差能够提高抽样推断的可靠程度，但准确程度会降低；反之，缩小抽样极限误差会降低抽样推断的可靠程度，但准确程度会提高。

第三节壹个总体参数的区间估计

4.3.1总体均值的区间估计

1、区间估计的基本原理

以总体均值的区间估计为例来说明区间估计的基本原理。

在重复抽样或无限总体抽样的情况下，我们知道有、，由此能够知道样本均值落到总体均值的俩侧各为壹个抽样标准差范围内的概率0.6873；落在俩个抽样标准差范围内的概率为0.9545。而实际上，是已知的，而是未知的，也正是我们要估计的。由于和的距离是对称的，因此如果有95%的样本均值落在的俩个标准误差的范围内，则也就是说，约有95%的样本均值所构成的俩个标准误差的区间会包括。即若有

则有

通俗地说，如果我们抽取100个样本来估计总体的均值，有100个样本均值所构成的100个区间中，约有95个区间包含总体均值。

2、正态总体且方差已知，或非正态总体、方差未知、大样本

当总体服从正态总体且方差已知，或非正态总体、方差未知但大样本时，样本均值的抽样分布为正态分布，有、。即

对显著性水平，有，即有：

由此得到总体均值在置信水平下的置信区间为：

（4.3.1）

如果总体方差未知，在大样本条件下，则能够用样本方差代替总体方差，这时总体均值在置信水平下的置信区间为：

（4.3.2）

如果采取不重复抽样，而且插秧比很大时，，这时总体均值在置信水平下的置信区间为：

（4.3.3）

相应的如果总体方差未知，总体均值在置信水平下的置信区间可写为：

（4.3.4）

【例】某种零件长度服从正态分布，从该批产品中随机抽取９件，测得其平均长度为21.4mm。已知总体标准差=0.15mm，试建立该种零件平均长度的置信区间，给定置信水平为0.95。

解：已知Ｘ~N(，0.152)，＝2.14，n=9，1-a=0.95，Ｚa/2=1.96

根据式（4.3.1），总体均值的置信区间为：

我们能够以95％的概率保证该种零件的平均长度在21.302～21.498mm之间。

3、正态总体、方差未知、大样本

如果总体服从正态分布，则无论样本容量如何，样本均值的抽样分布都服从正态分布。可是，如果总体方差未知，而且是小样本的情况下，则需要用样本方差来代替，这时样本均值经过标准化以后的随机变量服从自由度为的分布，即这时需要应用分布来建立总体均值的置信区间。

分布是类似正态分布的壹种对称分布，但它通常比后者平坦和分散。

根据分布建立的总体均值在置信水平（1-）下的置信区间为：

（4.3.5）

（4.3.5）式中是自由度为时，分布中右侧面积为时的值。

【例】从壹个正态总体中抽取壹个随机样本，n=25，其均值=50，标准差=8。建立总体均值的95%的置信区间。

解：已知Ｘ~N(，)，=50,s=8，n=25,1-a=0.95，t a/2=2.0639。

由式（4.3.5），可得：

我们能够95％的概率保证总体均值在46.69～53.30之间

小结：表：4.3.1不同情况下总体均值的区间估计

4.3.2总体比例的区间估计

1、大样本重复抽样时的估计方法

当样本容量很大时，样本比例的抽样分布服从正态分布近似。即

如果且，

则，其中为总体的比例。

样本比例经过标准化后的随机变量服从标准正态分布，即

则总体比例在置信水平下的置信区间为：

用上式计算总体比例的置信区间时，的值应该是已知的，但实际上却不然，的值恰恰是我们要估计的，所以我们用样本的比例来代替，此时计算总体比例的置信区间可表示为：

（4.3.6）

式中为标准正态分布右侧面积为时的值，是估计总体比例时的边际误差。

总体比例的置信区间有俩部分组成：总体比例的点估计值和描述估计量精确度的值，这个值称为边际误差。

2、大样本不重复抽样时的估计方法

在不重复抽样条件下，样本比例的方差为：

此时总体比例在置信水平下的置信区间为：

（4.3.7）

【例】某企业在壹项关于职工流动原因的研究中，从该企业前职工的总体中随机选取了200人组成壹个样本。在对其进行访问时，有140人说他们离开该企业是由于同管理人员不能融洽相处。试对由于这种原因而离开该企业的人员的真正比例构造95%的置信区间。

解：已知n=200，＝0.7，n*=140>5，n*(1-)=60>5，a=0.95，Ｚa/2=1.96 根据式（4.3.6），得

所以我们能够以95％的概率保证该企业职工由于同管理人员不能融洽相处而离开的比例在63.6%~76.4%之间

4.3.3总体方差的区间估计

设来自正态总体的容量为的样本，参数未知。为了估计，可根据样本方差来确定其在置信水平下的置信区间。

从分布表中查得和（；），

使得下式成立：

即：

因此，总体参数在置信水平下的置信区间为：

（4.3.8）

【例】假定A品牌25公斤袋装大米的重量服从正态分布。现随机抽取13袋，测得它们的重量分别是：24.0、24.2、24.4、24.6、24.7、24.8、25.0、25.1、

25.1、25.2、25.3、25.4、25.6公斤，试以95%的置信水平估计该品牌袋装大米重量的标准差。

解：因为，=12，查分布表，得：

和=23.337

所以，置信水平为95%的总体方差的置信区间是：

由原始数据可计算得到=0.23，代入上式得：

所以

所求信区间是：（0.34，0.79）

第四节样本容量的确定

1、确定样本容量的理论依据

样本容量对估计精度有较大的影响，从理论上说，样本容量越大，对总体特征的估计误差越小；但从实践角度见，抽样数目过大，则会增大调查及相关的工作量。因此，样本容量的确定是至关重要的。

壹般说来，抽样数目以满足在壹定的概率保证下抽样误差不超过给定的允许范围的最小样本容量为界。因此，可根据抽样极限误差和抽样数目的关系来确定抽样数。

说明：确定样本容量时壹般要考虑抽样方法的影响，即重复抽样和不重复抽样。

2、总体均值参数估计中抽样数目的确定

为了简单，可直接考虑大样本的情况，这时样本均值服从正态分布即

于是在1-a的置信度下，存在临界值Z a/2，使得

或根据抽样极限误差的定义，若用样本均值估计总体均值的极限误差（边际误差）为，则：

故，在该置信度下，如果允许误差为时，能够其为极限误差解出必须的抽样数：由此可知，此抽样数目由总体方差、允许误差以及概率保证程度三者确定。【例】壹家广告X公司想估计某类商店去年所花的平均广告费用有多少。经验表明，总体方差约为1800000元。如置信度取95%，且要使估计处在总体平均值附近500元的范围内，这家广告X公司应抽多大的样本？

解:已知=1800000，a=0.05，Z a/2=1.96，=500应抽取的样本容量为：

3、总体比例参数估计中的抽样数目确定

在大样本下，样本比例的分布趋近于如下正态分布，于是：

设在1-a的置信度下，对应的临界值为Z a/2，则易知

于是，如果允许误差为，可得最小的抽样数目：

注：1、如果总体方差或总体比例未知，可用样本方差或样本比例代替。

2、为了保证抽样推断的把握程度，若有多个可供参考的方差数值，应选其中方差最大值来计算。对于比例的方差，比例应取接近50%的样本(Why?)。【例】壹家市场调研X公司想估计某地区有彩色电视机的家庭所占的比例。该X 公司希望对比例P的估计误差不超过0.05，要求的可靠程度为95%，应抽多大容量的样本（没有可利用的p估计值）

解:已知=0.05，a=0.05，Z a/2=1.96，当p未知时用最大方差0.25代替.应抽取的样本容量为: