(抽样检验)抽样与参数估计最全版

（抽样检验）抽样与参数估计抽样和参数估计推断统计：利用样本统计量对总体某些性质或数量特征进行推断。

从数据得到对现实世界的结论的过程就叫做统计推断(statisticalinference)。

这个调查例子是估计总体参数（某种意见的比例）的壹个过程。

估计(estimation)是统计推断的重要内容之壹。

统计推断的另壹个主要内容是本章第二节要介绍的假设检验(hypothesistesting)。

因此本节内容就是由样本数据对总体参数进行估计，即：学习目标：了解抽样和抽样分布的基本概念理解抽样分布和总体分布的关系了解点估计的概念和估计量的优良标准掌握总体均值、总体比例和总体方差的区间估计第一节抽样和抽样分布回顾相关概念：总体、个体和样本抽样推断：从所研究的总体全部元素(单位)中抽取壹部分元素(单位)进行调查,且根据样本数据所提供的信息来推断总体的数量特征。

总体(Population)：调查研究的事物或现象的全体参数个体(Itemunit)：组成总体的每个元素样本(Sample)：从总体中所抽取的部分个体统计量样本容量(Samplesize)：样本中所含个体的数量壹般将样本单位数不少于三十个的样本称为大样本，样本单位数不到三十个的样本称为小样本。

壹、抽样方法及抽样分布1、抽样方法（1）、概率抽样：根据已知的概率选取样本①、简单随机抽样：完全随机地抽选样本，使得每壹个样本都有相同的机会（概率）被抽中。

注意：在有限总体的简单随机抽样中，由抽样是否具有可重复性，又可分为重复抽样和不重复抽样。

而且，根据抽样中是否排序，所能抽到的样本个数往往不同。

②、分层抽样：总体分成不同的“层”（类），然后在每壹层内进行抽样③、整群抽样：将壹组被调查者（群）作为壹个抽样单位④、等距抽样：在样本框中每隔壹定距离抽选壹个被调查者（2）非概率抽样：不是完全按随机原则选取样本①、非随机抽样：由调查人员自由选取被调查者②、判断抽样：通过某些条件过滤来选择被调查者（3）、配额抽样：选择壹群特定数目、满足特定条件的被调查者2、抽样分布壹般地，样本统计量的所有可能取值及其取值概率所形成的概率分布，统计上称为抽样分布（samplingdistribution）。

某个样本统计量（如均值、比例、方差等）的抽样分布，从理论上说就是在重复选取容量为n的样本时，由每壹个样本计算出的该统计量数值的相对频数分布或概率分布。

二、样本均值的抽样分布和中心极限定理1、样本均值的抽样分布（壹个例子）【例】设壹个总体，含有4个元素（个体），即总体单位数N=4。

4个个体分别为X 1=1、X 2=2、X 3=3、X 4=4。

总体的均值、方差及分布如下均值和方差现从总体中抽取n ＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。

所有样本的结果如下表计算出各样本的均值，如下表。

且给出样本均值的抽样分布所有样本均值的均值和方差：式中：M 为样本数目 比较及结论：1.样本均值的均值（数学期望）等于总体均值2.样本均值的方差等于总体方差的1/n2、中心极限定理=1n i i x μ==∑=1M x n i i x当总体服从正态分布N~(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值也服从正态分布，的数学期望为μ，方差为σ2/n。

即x～N(μ,σ2/n)中心极限定理：设从均值为μ，方差为σ2的壹个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时（壹般，就能够用中心极限定理了），样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布。

即有：和也即有，~其实，样本均值抽样分布的数字特征壹方面和总体分布的均值和方差有关，另壹方面也和抽样的方法是重复抽样仍是不重复抽样有关。

无论是重复抽样或不重复抽样，样本均值的数学期望始终等于总体的均值。

但在不重复抽样条件下，样本均值的方差需要用修正系数去修正重复抽样时均值的方差。

当很大，而时，其修正系数，可视不重复抽样和重复抽样壹致。

uesofthesampleproportion p.）样本比例抽样分布的相关信息，即p的期望值、标准差、抽样分布形状等。

主要应用于分类变量：在经济和商务的许多场合，需要用样本比例p对总体比例P进行统计推断根据中心极限定理有：当样本容量增大时（大样本：经验上，当下面俩个条件(n·p>=5且n(1-p)>=5)满足时，和p相关的样本为大样本），样本比例抽样分布趋向于以样本期望值为中心、以样本方差为方差的正态分布1、期望值（Expectedvalueof p）：E(p)=P2、标准差（Standarddeviationof p）：重复抽样：不重复抽样：*四、样本方差的抽样分布要用样本方差s2去推断总体的方差σ2，必须知道样本方差的分布。

设总体服从正态分布X~N(μ,σ2)，X1，X2，…，X n为来自该正态总体的样本，统计证明比值的抽样分布为自由度是（n-1）的分布，即：~分布的性质：（1）、分布的变量始终为正；（2）、分布的期望为，方差为。

第二节参数估计的基本方法壹、估计量和估计值参数是总体的数值特征（A parameter isanumericalcharacteristicofapopulation。

）参数估计：就是用样本统计量去估计总体的参数。

估计量（）（estimator）用于估计总体某壹参数的样本统计量（随机变量）的名称。

样本均值，样本比例、样本方差等都能够是壹个估计量。

估计值（e s t i m a t e）：用来估计总体参数时计算出来的估计量的具体数值。

例如:样本均值就是总体均值的壹个估计量如果样本均值 =3，则3就是的估计值二、点估计和判断估计量的优良性准则（壹）、点估计点估计(PointEstimate)就是用样本估计量的值直接作为总体参数的估计值。

设是总体分布中壹个要估计的参数。

例如，总体分布的均值、方差等。

当下从总体中得到壹个随机样本，如何估计？记估计的估计量（统计量）为，简记为若得到壹组样本观察值，就能够得到的估计值：，也记为。

总体分布参数的点估计，就是求出的估计值。

点估计的方法壹般有矩估计发法、极大似然估计法等。

概念要点:1.从总体中抽取壹个样本，根据该样本的统计量对总体的未知参数作出壹个数值点的估计。

例如:用样本均值作为总体未知均值的估计值就是壹个点估计2.点估计没有给出估计值接近总体未知参数程度的信息3.其理论基础是抽样分布（二）、估计量的优良性准则要估计总体的某壹指标，且非只能用壹个样本指标，而可能有多个指标可供选择，即对同壹总体参数，可能会有不同的估计量。

作为壹个好的估计量，估计量必须具有如下性质：无偏性、有效性、壹致性。

1、无偏性（Unbiasedness）：样本估计量的数学期望（均值）等于被估总体参数的真值；如果，则称为的无偏估计量。

能够证明，总体方差的样本矩估计量是无偏估计量。

2、有效性(Efficiency):好的点估计量应具有较小的方差；在用估计量来估计总体的某个参数时，如果对其它所有对的估计量总是有：那么，这个估计量就是总体参数的有效估计量。

3、壹致性(C o n s i s t e n c y):随着样本容量的增大，估计量越来越接近被估计的总体参数。

如果满足：，即：则称为的壹致估计量。

能够证明：样本均值、样本比例、样本标准差的点估计是无偏、有效、壹致的。

三、抽样误差和区间估计（壹）、抽样误差（SamplingError）壹个样本能够得到总体参数的壹个点估计，该点估计值和总体参数真值之间的差异，即为抽样误差。

有三个相互联系的概念：1、实际抽样误差：具体样本的估计值和总体参数的实际值之间的离差。

2、抽样平均误差：所有可能样本估计值和相应总体参数的平均差异程度。

3、抽样极限误差壹定概率下抽样误差的可能范围（也称允许误差）：注意：①、统计学上往往用抽样极限误差来测度抽样误差的大小或者说测度点估计的精度。

原因：总体参数值往往且不知道，因此，实际抽样误差和抽样平均误差也往往无法求出，但在抽样分布大体知道的情况下，抽样极限误差是能够估计出来的。

②、抽样平均误差是所有可能样本值和总体指标值之间的平均离差，它表明抽样估计的准确度；而抽样极限误差是样本指标值和总体指标值的离差绝对值是表明抽样估计的准确程度的范围。

这也就决定了俩者存在壹定的联系。

通常，把抽样极限误差和抽样平均误差相比，从而使单壹样本的抽样极限误差标准化，壹般称为概率度或相对误差范围，即置信度。

③抽样极限误差的估计总是要和壹定的概率保证程度联系在壹起的。

原因：样本统计量往往是壹随机变量，它和总体参数真值之差也是壹个随机变量，因此就不能期望某次抽样的样本估计值落在壹定区间内是壹个必然事件，而只能给予壹定的概率保证。

因此，在进行抽样估计时，既需要考虑抽样误差的可能范围，同时仍需考虑落到这壹范围的概率大小。

前者是估计的准确度问题，后者是估计的可靠性问题，俩者紧密联系不可分开。

这也正是区间估计所关心的主要问题。

（二）、区间估计（IntervalEstimate）在点估计的基础上，给出总体参数估计的壹个范围，称为参数的区间估计。

若总体分布含壹个未知参数，找出了俩个依赖于样本的估计量：使得其中，，显著性水平壹般取0.05或0.01，则称随机区间为的100（1-）%的置信区间。

百分数100（1-）%被称为置信度或置信水平。

1.根据壹个样本的观察值给出总体参数的估计范围给出总体参数落在这壹区间的概率例如:总体均值落在50~70之间，置信度为95%2、置信水平①.总体未知参数落在区间内的概率②.表示为(1–a)，a为显著性水平，是总体参数未在区间内的概率③.常用的显著性水平值有99%,95%,90%，相应的a为，，。

3、区间估计的要点①.依据样本指标和抽样误差去推算总体指标时，只是确定了总体指标的估计范围，且没有确定其具体值。

这个范围表现为壹个上限和壹个下限，从而构成壹个区间。

②.所得的估计区间表示的只是壹个可能范围，而不是绝对的范围。

总体指标在这个范围内的可能性为置信概率（）。

③.扩大抽样极限误差能够提高抽样推断的可靠程度，但准确程度会降低；反之，缩小抽样极限误差会降低抽样推断的可靠程度，但准确程度会提高。

第三节壹个总体参数的区间估计4.3.1总体均值的区间估计1、区间估计的基本原理以总体均值的区间估计为例来说明区间估计的基本原理。

在重复抽样或无限总体抽样的情况下，我们知道有、，由此能够知道样本均值落到总体均值的俩侧各为壹个抽样标准差范围内的概率0.6873；落在俩个抽样标准差范围内的概率为0.9545。

而实际上，是已知的，而是未知的，也正是我们要估计的。

由于和的距离是对称的，因此如果有95%的样本均值落在的俩个标准误差的范围内，则也就是说，约有95%的样本均值所构成的俩个标准误差的区间会包括。