磁介质中的高斯定理和安培环路定理
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磁场高斯定理 安培环路定理
(1)环路要经过所研究的场点。
B的方向与环路方向 (3)要求环路上各点 B 大小相等， 一致，目的是将: B dl μ0 I 写成 B μ0 I L dl 或 B 的方向与环路方向垂直， B dl , cos θ 0 B dl 0
I
a
b
B
B d l lb c d d a c B d l B d l B d l B d l Bab
a
得长直载流螺线管内的磁场： B μ0 nI 无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外 部磁场为零。
l l
根据安培环路定理：
B dl μ0 NI
l
Amperian loop
μ0 NI B 2πr
磁场不均匀
B
0 NI B 2 r
o
R1
R2
o r
R2
R1
r
若 R1、R2 R2 R1
N n 2 R1
则:
B μ0nI
当 2 R d 时，螺绕环内可视为均匀场 。
0 I B r 2 2 R
多电流情况
I1
I2
I3
B B1 B2 B3 B d l 0 ( I 2 I 3 )
l
l
以上结果对任意形状 的闭合电流（伸向无限远 的电流）均成立.
n B dl 0 Ii i 1
安培环路定理
2. 明确几点 (1) 电流正负规定：电流方向与环路方向满足 右手定则时电流 I取正；反之取负。 (2) B 是指环路上一点的磁感应强度，不是任 意点的，它是空间所有电流共同产生的。
磁场的高斯定理和安培环路定理
L
解:
Bp
发生变化. 发生变化.
I2 I1
∫
L
B dl 不发生变化 P
L
例如: 例如: I1 >0 L I2<0 I1 I2 I3 L I L
I3
∫
L
B dl = o ( I1 I 2 )
∫
L
B dl = o ( I1 + I 3 )
∫ B dl
l
= 4 0 I
二,安培环路定理
∑Ii
i =0
§8-4
稳恒磁场的高斯定理与 安培环路定理
一,稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知, 对任意闭合曲面, 由磁感应线的闭合性可知 , 对任意闭合曲面 , 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同, 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同 , 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零. 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零.
Φ = BS 2 = (6i + 3 j + 1.5k ) (0.15) i = 0.135Wb ( 2) z Φ = ∫∫ B dS = 0
S
O l
x
l
l
一长直导线通有电流I 距其d 例,一长直导线通有电流I,距其d处有 一长为a 宽为b的长方形, 一长为a,宽为b的长方形,求通过这个 长方形的磁通量. 长方形的磁通量.
n
闭合回路所包围的所有电流 的代数和. 的代数和. 所取的闭合路径上各点的磁 感强度值, 感强度值,是由闭合路径内 外所有的电流产生的. 外所有的电流产生的.即是 由空间所有的电流产生的. 由空间所有的电流产生的.
B
二,安培环路定理
定理的物理意义 由安培环路定理可以看出, 由安培环路定理可以看出,由于 磁场中的磁感强度的环流一般不 为零,所以磁场是非保守场 非保守场. 为零,所以磁场是非保守场.
解:
Bp
发生变化. 发生变化.
I2 I1
∫
L
B dl 不发生变化 P
L
例如: 例如: I1 >0 L I2<0 I1 I2 I3 L I L
I3
∫
L
B dl = o ( I1 I 2 )
∫
L
B dl = o ( I1 + I 3 )
∫ B dl
l
= 4 0 I
二,安培环路定理
∑Ii
i =0
§8-4
稳恒磁场的高斯定理与 安培环路定理
一,稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知, 对任意闭合曲面, 由磁感应线的闭合性可知 , 对任意闭合曲面 , 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同, 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同 , 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零. 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零.
Φ = BS 2 = (6i + 3 j + 1.5k ) (0.15) i = 0.135Wb ( 2) z Φ = ∫∫ B dS = 0
S
O l
x
l
l
一长直导线通有电流I 距其d 例,一长直导线通有电流I,距其d处有 一长为a 宽为b的长方形, 一长为a,宽为b的长方形,求通过这个 长方形的磁通量. 长方形的磁通量.
n
闭合回路所包围的所有电流 的代数和. 的代数和. 所取的闭合路径上各点的磁 感强度值, 感强度值,是由闭合路径内 外所有的电流产生的. 外所有的电流产生的.即是 由空间所有的电流产生的. 由空间所有的电流产生的.
B
二,安培环路定理
定理的物理意义 由安培环路定理可以看出, 由安培环路定理可以看出,由于 磁场中的磁感强度的环流一般不 为零,所以磁场是非保守场 非保守场. 为零,所以磁场是非保守场.
12磁场的高斯定理和安培环路定理解读
穿过一面元的磁通量：
d m BdS BdS cos B dS 式中：dS dSn ˆ 称为面元矢量。 ˆ 为法线方向单位矢量。 n
4
2.穿过某一曲面的磁通量
m d m B dS
d m
B
BdS cos
dS
ˆ n
S
3.穿过闭合曲面的磁通量
m d m B dS
规定：取闭合面外法线方向为正向。 磁力线穿出闭合面为正通量， 磁力线穿入闭合面为负通量。
2
B
磁通量单位：韦伯，Wb
2
ˆ n
Байду номын сангаас
B
5
3.磁场中的高斯定理 定理表述：穿过任意闭合面的磁通量等于 0。
dB
dB ' dB' '
dl '
p
d
dl ' '
l
c
B
结果
o j
2
o
方向如图所示。
a
b
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为 均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
15
例5 一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如图所示， 其上均匀绕有N匝线圈，线圈中通有电流I。试求： （1）环内距轴线为r 远处的磁感应强度；（2）通过 螺线管截面的磁通量。 I
解：在管内作环路半径为 r的圆环 ，
环路内电流代数和为： I NI
rR
o R1
2
当 r >> ( R2 – R1) 时N n 为沿轴向线圈密度；
0 NI B 2r 0 NI B 2r
磁介质中的高斯定理和安培环路定理.
B 0(H M ) 0(H mH) 0(1 m)H
在各B向0H同r0H性r H介质r中H10B.rH为m磁相关导对系 率磁：B导 率。0D r电H介0质rHE中
E
在真空 中 r 1, B0 0H
3.明确几点：
①. H 是 一辅助物理量，描述磁场的基本物理量仍然
是 B。H是 为消除磁化电流的影响而引入的，
B 和H 的名字张冠李戴了。
4
②. H 既与磁感应强度B 有关，又与磁化强度M 有
关，所以H 又是混合物理量。
③.磁场强度 的单 位与磁化强度相同，安培/米，A/m
④.若 H dl 0不一定环路内无电流。
或由 I s (r 1)I c
求 Is；
9
例1：长直螺线管半径为 R ，通有电流 I，线圈密度 为 n , 管内插有半径为 r ,相对磁导率为 r 磁介质， 求介质内和管内真空部分的磁感应强度 B 。
解： 由螺线管的磁场分布 可知，管内的场各处均匀
R
r
a Bb
一致，管外的场为0；
H
1.介质内
10
H dl H dl 0
bc
da
因为 cd 段处在真空中，真
a
B ab H b
空中的 M = 0；B = 0 ，
有 H dl 0
d
c d
Ic
cd H dl
H dl
Hdl cos H dl H ab I c
§12.2 磁介质中的高斯定理和安培环路定理
1
一、磁介质中的高斯定理
磁介质放在磁场中，磁介质受到磁场的作用要产
磁场的高斯定理和安培环路定理
. . . . . . . . ..
第4节
. . . .. . .. B . ∮H ·dl = 2rH = NI . . . . . H = NI/2r， r . . . . R 1 . . B = o NI/2r . . R 2 . . .. . 环管截面 r R， . .. . . ... B o NI/2R = o n I 解：1、环管内：
第八章
I
R
r B
R
r
第4节
第八章
直线电流的磁力线
I
I B
第4节
例8-5 求通电螺绕环的磁场分布。设环管 的轴线半径为 R，环上均匀密绕 N 匝线圈， 线圈中通有电流 I，管内磁导率为 o 。
第八章
I
I
. . . . . . ..
. . . .. . .. . . R1 R2
..
. . . ...
第八章
第4节
第八章
通电螺线管的模型
I
第4节
思考题： 如果通电螺线管的磁力线如下所示，图 中环路积分 ∮H ·dl = ？
第八章
I
L
I
二、磁场的安培环路定理 1、真空中 根据闭合电流产生的磁场公式，即安 培 — 拉普拉氏定律，可证明真空中磁场 B 沿闭合回路 L 的积分，即环流为： ∮L B ·dl =μoΣI 此式称为真空中磁场的安培环流定理，式 中ΣI 是闭合回路 L 所包围的所有闭合电流 I 的代数和。 物理意义：磁场 B 是有旋场，非保守场
第八章
I
R
o dS
B
Io
r
第4节
2、r＞R ∮H ·dl =∮H dl = 2rH ΣIo = I H = I /2r ，B = oI /2r 上式表明，从导线外部看， 磁场分布与全部电流 I 集中 在轴线上相同。 μ I B H 2 πR I μ 0I 2 R π 2 πR 0 r 0
133磁场的基本特征 高斯定理和安培环路定理
S 恒定电流磁场是散度为零的场 B = 0
B d S = 0
1
1.磁感线
切线方向—— B 的方向； 疏密程度—— B 的大小.
I I I
2
I S N S I N
3
直线电流的磁感应线
I I B
4
圆电流的磁感应线
I
5
通电螺线管的磁感应线
I
I
6
各种典型的磁感应线的分布：
围绕单根载流导线的任一回路 L
L2
对L每个线元 d l 以过垂直导线平面作参考分解 为分量 dl// 和垂直于该平面的分量 d l d l B 0 B d l B d l B d l //
L
B d l B d l I 证明步骤同上 // 0 L L //
直线电流的磁感线
圆形电流的磁感线
7
直螺线管电流的磁感线
环形螺线管电流的磁感线
8
1.磁力线的特征 无头无尾 与电流套连 与电流成右手螺旋关系 闭合曲线
I
2. 磁通量
B d s 单位：韦伯(Wb) m S
9
2. 磁通量 磁场的高斯定理
S B
ΔN B ΔS
磁场中某点处垂直 B 矢量的单位面积上 通过的磁感线数目等于该点 B 的数值.
讨论
S 0 1）Bd
S
磁场的基本性质方程
2）关于磁单极：
将电场和磁场对比： 由电场的高斯定理
d Sq 0 D
S
可把磁场的高斯定理写成 与电场类似的形式
BdS qm
S
q0 －自由电荷
qm － 磁荷
磁场的高斯定理和安培环路定律
0I
是否成立？？？
设任意回路L在垂直于导线的平面内，与电流
成右手螺旋。
l B dl Bdl cos
0I
2πr
dlc
os
d
B
I
dl
r
0I
2πr
rd
0I
2π
d
l
B dl
l
0I
dl cos rd
闭合回路不环绕电流时
B1
0I
2 π r1
B2
0I
2 π r2
B1
B2
d
I
dl1
r1
dl2
I
I
解：取垂直纸面向里为法
B
线方向，以导线1所在位
置为坐标原点，建立如图 所示的坐标轴。
x
l
取细长条面元，面元内为
均匀磁场
a aa
B
0I 2x
2
0I
3a
x
o
x
窄条形面元的元磁通为
dm B dS BdS Bldx I
通过矩形面积内的磁通量
m
dm
2a
Bldx
a1
2a
a
0I 2x
2
0I
o
B 0I
2π x
B // S
x
方向垂直于纸面向里
dΦ BdS 0I ldx I
2π x
B
Φ
S
B dS
0Il
2π
d2
d1
dx x
l
Φ 0Il ln d2
2π d1
d1 d2
o
x
例2 两平行的无限长直导线通有电流 I , 相距3a，
矩形线框宽为a，高为l与直导线共面，求通过线框的
磁场的高斯定理和安培环路定理.
第二4节 、磁场的安培环路定理
第八章
1、真空中
根据闭合电流产生的磁场公式，即安
培 — 拉普拉氏定律，可证明真空中磁场 B
沿闭合回路 L
∮L B ·dl =μoΣI 此式称为真空中磁场的安培环流定理，式
中ΣI 是闭合回路 L 所包围的所有闭合电流
I 的代数和。
物理意义：磁场 B 是有旋场，非保守场
第4节
第八章
电流正负符号按右手螺旋定则：
电流方向与 L 的绕行方向符合右手螺
旋关系时，此电流为正，否则为负。
举例说明：
+I I
+ I1 + I2
- I3
L
第24、节 有磁介质
第八章
∮L B ·dl =μoΣI = μoΣIo +μoΣI’
式中ΣIo 和ΣI’ 分别是穿过安培环路 L 的自 由电流和束缚电流的总和。
其中 n = N/2R 为螺绕环单位长度的匝数。
2、环管外：ΣIo = 0，H// = 0，B// = 0 此式说明密绕螺绕环外部无磁场。
第特4节 例：当
R
第八章
时，即为无限长螺线管。
因此，长直螺线管内磁感应强度公式为：
B = o n I 此式表明，理想长直螺线管内部的磁感应强
注意：螺绕环和螺线管的外部磁场为零的结 论是在假定它们由许多不相连的圆环密集排 列组成的模型下得出的。实际上圆环以螺旋 线形式相连形成螺绕环和螺线管，沿螺绕环 和螺线管有一电流分量通过，即等效一圆电 流和长直载流导线，因此它们的外部磁场不 为零。但相比内部磁场而言，则相对很小。
2π R
μ 0I
2π R
第八章
I R
r
6-2磁场的高斯定理和安培环路定理
例6-3 如图所示,载流长直导线上的电流强度为 I , 它与边长分别为 a 和 b 矩形共面，边与长直导线平 行,两者之间的距离 d .求载流长直导线的磁场穿过 该平面的磁通量. 0 I 解 B 2π x B C B I
dΦ BdS
0
I
b
A dx D
2π x
bdx
o
x
d
a
0 Ib d a dx Φ 2 π d x 0 Ib d a ln 2π d
I2 I 3
l
B B1 B2 B3 B d l 0 ( I 2 I 3 )
l
L
I1
B d l 0 (I1 I1 I1 I 2 )
L
0 I1 I2） （
第六章 恒定磁场
11
6－2
磁场的高斯定理和安培环路定理
即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任
0 乘以该闭合路径
I
电流 I 正负的规定 ：I 与 为正；反之为负.
L 成右螺旋时，
第六章 恒定磁场
9
6－2
磁场的高斯定理和安培环路定理
注意
(1)环路定理中的磁感强度 B
为闭合路径 L 上的 磁感强度,它是由空间所有电流产生的。 (2)磁感强度沿闭合路径的环流,仅与闭合路径所包
6－2
磁场的高斯定理和安培环路定理
一、磁 感 线 规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感 强度 B 的方向，曲线的疏密程度表示该点的磁感强度 B 的大小.
I I I
第六章 恒定磁场
1
6－2
磁场的高斯定理和安培环路定理
I S S N I
N
03磁场中的高斯定理-安培环路定理讲解
S
7
例1、如图 矩形线圈与载流无限长直导线共面，直导 线电流为I,求线圈的磁通量。 解：选距离电流r处，宽度为dr ,平 行于直导线的面积元 ds=ldr I
a
b
B
0 I dm Bldr ldr 2r a b 0 I m ldr 2r a
l
r
8
0 Il a b ln( ) 2 a
3
直线电流的磁感应线
磁感应线为一组环 绕电流的闭合曲线。
4
圆电流的磁感应线
I
5
通电螺线管的磁感应线
磁感应线的特点：
（1） 磁感应线是连续的，不会相交。 （2） 磁感应线是围绕电流的一组闭合曲线，没有 起点，没有终点。 （3）磁感线密处 B 大；磁感线疏处 B 小。 6
1.穿过一面积元dS的磁通量
得距电流垂直距离为r处的一点磁感应 强度的大小
r
L
0 I B 2r
18
问题：能否用安培环路定理求有限长直线电流的B？
设ab为闭合电流 I 中的一段直线电流， 长为 2R。取半径 为R 、圆心为 ab 的中点o、 且垂直于 ab 的圆为回路 L。 有人用安培环路定理求 L 上各点的 B: a 2R
I
0 R L
L
B d l 0 I
B Biblioteka B2 π R 0 I 0 I
2π R
b
对不对？ 【答】不对。
19
检验：用毕－萨定理＋叠加原理，可得
a
I
2
2R b
R
L
1
L
Bdl
4πr 0 I 0 I 0 0 P 4 π r cos45 cos135 4 π r 2 B的方向与圆周相切（右手定则）。 所以正确的环流应为：
磁场的高斯定理和安培环路定理
L
I
dϕ v
dB
v v B ⋅ dl = Brdϕ v v µ0I ∫L B⋅ dl = ∫L rdϕ = µ0I
2 r π
在围绕单根载流导线的 垂直平面内的任一回路。 垂直平面内的任一回路。
v v I B ⋅ dl = Brdϕ v v µ0I ∫L B⋅ dl = ∫L rdϕ = µ0I
2 r π
6
3. 安培环路定理的应用 例1：求无限长载流圆柱体磁场分布。 ：求无限长载流圆柱体磁场分布。 圆柱体轴对称， 解：圆柱体轴对称，以轴上一点为 I 圆心取垂直轴的平面内半径为 r 的 圆为安培环路
v v Q∫ B⋅ dl = 2πrB = µ0 ∑I
L
v dB
dl'
2πr v r Ir 2 ∴ ∫ B ⋅ dl = µ0 2 r R
为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。 为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
o dl ' ' a
b
结果： 结果：在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都
13
ab bc cd da
无垂直于轴的磁场分量，管外部磁场趋于零， 无垂直于轴的磁场分量，管外部磁场趋于零， 因此管内为均匀磁场，任一点的磁感应强度为： 因此管内为均匀磁场，任一点的磁感应强度为：
r r ∫ B ⋅ dl = Bab ⇒ Bab = µ 0nab I
∴B = µ0nI
9
其方向与电流满足右手螺旋法则。 其方向与电流满足右手螺旋法则。
v v 表达式 ∫ B⋅ dl = µ0 ∑Ii
L i
符号规定： 符号规定：穿过回路 L 的电 流方向与 L 的环绕方向服从右 手关系的， 为正，否则为负。 手关系的，I 为正，否则为负。
磁场的高斯定理和安培环路定理
磁场是无源场 磁场是 无源场 比较 静电场 稳恒 磁场 磁感应线闭合成环，无头无尾 不存在磁单极。 磁感应线闭合成环，或两端伸向 不存在磁单极（？） 高斯定理 环路定理
内
3. 磁场的高斯定理
1 E dS
S
0
q
有源场 无源场
E dl 0
L
保守场
B dS 0
三.安培环路定理的应用
—— 求解具有某些对称性的磁场分布
LB dl 0 I i
( 穿过L )
适用条件：稳恒电流的磁场 求解条件：电流分布(磁场分布)具有某些对称性，
以便可以找到恰当的安培环路L，使 LB dl 能积
出，从而方便地求解 B 。
[例一] 无限长均匀载流圆柱体 I , R 内外磁场.
无限长直螺线管内为均匀磁场
思考： 如果要计管外磁场（非线密绕）对以上结果有无影响？
I
n
B内 0nI
外
B
I //
0 //
I B 2r
练习： 半径 R 无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速旋转
.R. 求： 内部 B ?
已知：
解：
R
等效于长直螺线管 B 0 nI 单位长度上电流 nI ?
I
i
I1 I 2 I 3
(穿过L )
I
i
注意：
LB dl 0 I i
( 穿过L )
B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关 穿过 L 的电流：对 B 和 B dl 均有贡献
L
B : 与空间所有电流有关
不穿过 L 的电流：对 L 上各点 B有贡献； 对 LB dl 无贡献
内
3. 磁场的高斯定理
1 E dS
S
0
q
有源场 无源场
E dl 0
L
保守场
B dS 0
三.安培环路定理的应用
—— 求解具有某些对称性的磁场分布
LB dl 0 I i
( 穿过L )
适用条件：稳恒电流的磁场 求解条件：电流分布(磁场分布)具有某些对称性，
以便可以找到恰当的安培环路L，使 LB dl 能积
出，从而方便地求解 B 。
[例一] 无限长均匀载流圆柱体 I , R 内外磁场.
无限长直螺线管内为均匀磁场
思考： 如果要计管外磁场（非线密绕）对以上结果有无影响？
I
n
B内 0nI
外
B
I //
0 //
I B 2r
练习： 半径 R 无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速旋转
.R. 求： 内部 B ?
已知：
解：
R
等效于长直螺线管 B 0 nI 单位长度上电流 nI ?
I
i
I1 I 2 I 3
(穿过L )
I
i
注意：
LB dl 0 I i
( 穿过L )
B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关 穿过 L 的电流：对 B 和 B dl 均有贡献
L
B : 与空间所有电流有关
不穿过 L 的电流：对 L 上各点 B有贡献； 对 LB dl 无贡献
磁介质中的高斯定理和安培环路定理
r R1
H1
2rH1
I
2R12
I
R12
r
r 2
B1
r10 I 2R12
r
同理 R1 r R1
I
H2 2r
B2
r 2 0 I 2r
R2 r H3 0 B3 0
I
R1 R2
I
H
r
R1
R2
9
B 0r H H
0
r
为磁导率
B 0r H H
在各向同性介质中
B.H
关系：B
• 定义：H磁场 强B度
0r
电介质中
D
0
r
E
E
0r H H
在真空中 r 1, B0 0H
3.应用介质中安培环路定理解题方法
1.场对称性分析； 2.选取环路；
3.求环路 内传导电流的代数和 Ic；
4.由 H dl Ic 求 H； 由 B 0r H
磁介质的分类
顺磁介质： B
B0, r
1
抗磁介质: B B0,0 r 1
是真空中的r倍。
铁磁介质: B B0, r 1
2
二、介质中的高斯定理
磁介质放在磁场中，磁介质受到磁场的作用产生
附任加一磁点场的。总磁强为：B
B0
B'
量为磁零力。线无头B无dS尾。0穿过任何一个闭合曲面的磁通 s 二、磁介质中的安培环路定理
有 H dl 0
d
c d
Ic
cd H dl
H dl
Hdl cos H dl H ab I c
ab
ab
ab
H ab Ic nabI, H nI
B 0r H 0rnI
06磁场的高斯定理和安培环路定理
∫
∑
(4)安培环路定理说明磁场性质 磁场定理说明磁场性质 磁场是有旋场。
6
特例：以无限长载流直导线为例。 特例：以无限长载流直导线为例。 长直导线周围的磁力 线为一系列的同心圆， 长直导线周围的磁力 线为一系列的同心圆，选 取路径方向与磁感应强度方向相同； 感应强度方向相同 取路径方向与磁感应强度方向相同； 左边= 左边
dB ' '
dl '
o dl ' '
点的总磁场方向平行于电流平面。 无数对称元在 p点的总磁场方向平行于电流平面。 因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的各点 因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的各点B 的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。 的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。
13
. .. . .. . .. . .. . ..
a
b
B
B外 = 0
d
d a c d
c
∫ B ⋅ dl = ∫
b
a
B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl
b
c
∵ B ⊥ d l , cosθ = 0
B 螺线管外： 螺线管外： 外 = 0,
b
∫
c
b
B ⋅ dl = ∫ B ⋅ dl = 0,
∫ dl
B ⊥ dl , cosθ = 0
∫ B⋅ dl = 0
L
8
例1：长直密绕载流螺线管通有电流为 I，线圈密度 ： 线圈密度 为 n，求管内一点的磁感应强度 。 ，求管内一点的磁感应强度 解：理想密绕螺线管，管内的磁 理想密绕螺线管， 场是均匀的， 场是均匀的，管外的磁场为 0 ； 作闭合环路 abcda,环路内的 环路内的 电流代数和为： 电流代数和为：∑ I = nabI
磁场的高斯定理和安培环路定理
§2-4 磁场的高斯定理和安培环路定理
一、磁场的高斯定理(Gauss’ theorem of magnetic field) 垂直于电流元平面内的磁感线是头尾相接的闭合同心 圆，穿入或穿出闭合曲面的磁感应线的净条数必等于 零。即，通过任意闭合曲面的通量都等于零。
由叠加原理，在整个电流回路形成的
磁场中，通过任意闭合曲面的磁通量
L Bn dl 0In ,
L Bnk dl 0
任意回路
¸¸
n
B dl L
0
Ii
i1
穿过回路 的电流
闭合路径包围的电流为电
流 密度沿所包围的曲面的
¸
Ii
j dS
S
i
积分 安培环路定理说明磁场不是保守场，不存在标
量势函数。这是恒磁场不同于静电场的一个十分
重要的性质。
安培环路定理可以用来处理电流分布具有一定 对称性的恒磁场问题。
设 I1 , I 2 , … , I n电流过回路L，In 1 , I n 2 , … , I n k
电流不穿过回路L。令 B1 , B2 , … , Bn k 分别为单根
导线
I1
,
I
2
,
L
…
¸ B1
,
In
dl
பைடு நூலகம்
k产生的磁场，则有
¸
0I1 ,
L Bn1
dl
0
¸ #¸
# 所有电流的总¸ 场 ¸
小结
应用环路定理求解磁感应强度的步骤：
(1)根据通电电流产生的磁场的对称性，选 择合适的闭合曲线L，并规定计算方向；
(2)计算磁感应强度的环流以及通过曲线L 所包围的平面的电流的代数和；
一、磁场的高斯定理(Gauss’ theorem of magnetic field) 垂直于电流元平面内的磁感线是头尾相接的闭合同心 圆，穿入或穿出闭合曲面的磁感应线的净条数必等于 零。即，通过任意闭合曲面的通量都等于零。
由叠加原理，在整个电流回路形成的
磁场中，通过任意闭合曲面的磁通量
L Bn dl 0In ,
L Bnk dl 0
任意回路
¸¸
n
B dl L
0
Ii
i1
穿过回路 的电流
闭合路径包围的电流为电
流 密度沿所包围的曲面的
¸
Ii
j dS
S
i
积分 安培环路定理说明磁场不是保守场，不存在标
量势函数。这是恒磁场不同于静电场的一个十分
重要的性质。
安培环路定理可以用来处理电流分布具有一定 对称性的恒磁场问题。
设 I1 , I 2 , … , I n电流过回路L，In 1 , I n 2 , … , I n k
电流不穿过回路L。令 B1 , B2 , … , Bn k 分别为单根
导线
I1
,
I
2
,
L
…
¸ B1
,
In
dl
பைடு நூலகம்
k产生的磁场，则有
¸
0I1 ,
L Bn1
dl
0
¸ #¸
# 所有电流的总¸ 场 ¸
小结
应用环路定理求解磁感应强度的步骤：
(1)根据通电电流产生的磁场的对称性，选 择合适的闭合曲线L，并规定计算方向；
(2)计算磁感应强度的环流以及通过曲线L 所包围的平面的电流的代数和；
04磁介质的磁化和介质中的安培环路定理
解： 由螺线管的磁场分布 可知，管内的场各处均匀
R
r
a Bb
一致，管外的场为零；
H
1、介质内部
作 abcda 矩形回路。
d Ic
回路内的传导电流代数和为： I c n ab I
在环路上应用介质中的环路定理：
H dl H dl H dl H dl H dl
有半径为 R2的无限长同轴圆柱面，该面也通有电流 I，
圆柱面外为真空，在R1<r<R2区域内，充满相对介质常 数为 r2的 磁介质，且r2 >r1。求B和 H的分布?
解：根据轴对称性，以轴上一点为圆心在
垂直于轴的平面内取圆为安培回路：
r R1
H1
2rH1
I
2R12
I
R12
磁介质的磁化 磁介质中的高斯定 理和安培环路定理
1
一、磁介质的磁化现象
凡是能与磁场发生相互作用的物质叫磁介质。
磁场中放入磁介质
磁介质发生磁化
出现磁化电流
产生附加磁场
磁介质内部的总场强 B B0 B
在各向同性均匀介质中：
r 称为相对磁导率。
B内
r B0
磁介质的分类：
介质中的磁感 应强度是真空
美国在 磁谱仪中，将采用超导磁铁产生强磁场，
2003 年再次送入地球轨道，观察暗物质和反物质。
高温超导现已达到 -153°C。
11
L
对各B向同性的磁介质
dl
L 0r
I0内
B r B0
B
定义:磁场强度
H
0r
磁场中的高斯定理和安培环路定律
写成
L Bdl cos B dl 0 I
B 0 I
dl
要求环路上各点 B 大小相等，B 的方向
与环路方向一致， B // dl , cos 1 22
或 Bdl , cos 0
环路要经过所研究的场点。
五、解题方法
1.场对称性分析； 2.选取环路； 3.确定环路内电流的代数和 I ； 4.应用环路定理列方程求解。
2.环流
Bdl
只与环路内的电流有关，
而与环路外电流无关。
3. B为环路上一点的磁感应强度，它与环路内外电流
都有关。
若
Bdl 0
并不一定说明环路上各点的 B 都为 0。
若
B dl 0 环路内并不一定无电流。
4.环路定理只适用于闭合电流或无限电流，
16
例2：利用安培环路定律计算载流无限长直导线外一点 的磁感应强度。
由于环路上各点的 B 大小相等； 且 B // dl ；θ=0
B dl
L
0 I 2r
2r
0 I
B
Ir
L
I 向下时为负值。
13
当L B环 d路l 为 任0 意I形左状边时=：右边定理成立I。
LB dl LBdlcos
由于 Bdlcos Brd
2 0I rd
0 2r
0I
d r
L
θ
B
dl
当电流不在环路内时
r
选择如图所示的环路
b c d a
B dl ( )B dl
a
b
c
d
24
其中
c a
B dl B dl 0,
m dm B dS
/2
n
规定闭合面的外法线方向为正
磁的高斯定理和安培环路定理讲述
S
3. 磁场的高斯定理（磁通连续原理） (Gauss law of magnetic field )
通过任意闭合曲面的 磁通量恒为零。
B dS 0
S
此式说明磁场是无源场, 磁感应线是闭合曲线，磁 单极即磁荷不存在。
真空中稳恒磁场的安培环路定理
从静电场的电场线是非闭合的，静电场的环流
E dl 0 E 是保守场 →电势
③ 安培环路定律中的 B 是空间总磁感应强
度 ——空间所有电流都对 B 有贡献，但公式右
边只有环路内所包围的 I内 对 环流有贡献。
I1
I2
B dl 0 Ii
L
i
L
I3
P
0 (I1 I2 )
I4
P点的 BP是这四个电流 共同产生的 ，且随电流
分布的变化而变化。
三、环路定律的应用
在静电场中：
B dl 0 Ii
L
i
——磁场为涡旋场 (有旋场)
——磁场为非保守场
证明：
我们以无限长直导线的特例来证明。
I
1. 安培环路包围导线（电流）
且在垂直于导线的平面内
o
L
在L路径上取一线元
d
L d L d cos
0rd
L 2r
(d cos rd)
B
0
2
d 0
I○· d r
dl
若I反向,则 为 钝角，d cos rd
第三节
Gauss theorem and Ampere circuital theorem in magnetic field
磁场的高斯定理 ( Gauss law of magnetic field )
1.磁感应线(magnetic induction line)
3. 磁场的高斯定理（磁通连续原理） (Gauss law of magnetic field )
通过任意闭合曲面的 磁通量恒为零。
B dS 0
S
此式说明磁场是无源场, 磁感应线是闭合曲线，磁 单极即磁荷不存在。
真空中稳恒磁场的安培环路定理
从静电场的电场线是非闭合的，静电场的环流
E dl 0 E 是保守场 →电势
③ 安培环路定律中的 B 是空间总磁感应强
度 ——空间所有电流都对 B 有贡献，但公式右
边只有环路内所包围的 I内 对 环流有贡献。
I1
I2
B dl 0 Ii
L
i
L
I3
P
0 (I1 I2 )
I4
P点的 BP是这四个电流 共同产生的 ，且随电流
分布的变化而变化。
三、环路定律的应用
在静电场中：
B dl 0 Ii
L
i
——磁场为涡旋场 (有旋场)
——磁场为非保守场
证明：
我们以无限长直导线的特例来证明。
I
1. 安培环路包围导线（电流）
且在垂直于导线的平面内
o
L
在L路径上取一线元
d
L d L d cos
0rd
L 2r
(d cos rd)
B
0
2
d 0
I○· d r
dl
若I反向,则 为 钝角，d cos rd
第三节
Gauss theorem and Ampere circuital theorem in magnetic field
磁场的高斯定理 ( Gauss law of magnetic field )
1.磁感应线(magnetic induction line)
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由
求 H； 求 B；
B
0 由 M js
由
M H
求 M；
求 js； 求 Is；
I s js L 或由 I s ( r 1)I c
求 Is；
9
例1：长直螺线管半径为 R ，通有电流 I，线圈密度 为 n , 管内插有半径为 r ,相对磁导率为 r 磁介质， 求介质内和管内真空部分的磁感应强度 B 。 R 解：由螺线管的磁场分布 B r a 可知，管内的场各处均匀 b H 一致，管外的场为0； 1.介质内 c I d 作 abcda 矩形回路。 部 回路内的传导电流代数和为： I c nab I
H dl
在环路上应用介质中的环路定理：
ab bc cd
H dl H dl H dl H dl
da
∵在bc和da段路径上 H dl , cos 0
10
bc
H dl H dl 0
L
(
L
B
0
M ) dl I
L
L
L
B H M
0
3
0 H d l I
L
(
B
M ) dl I
L
定义：磁场强度
B H M
0
L
L
磁介质中的环路定理
H的环流仅与传导电流 I 有关,与介质无关。(当 I相同 时，尽管介质不同， H 在同一点上也不相同，然而环 流却相同。因此可以用它求场量 H ，就象求D那样。
3.明确几点： H 是一辅助物理量，描述磁场的基本物理量仍然 ①. 是 B。 是为消除磁化电流的影响而引入的， H B 和H 的名字张冠李戴了。
物理意义：磁场强度沿闭合路径的线积分，等于环路 所包围的传导电流的代数和。
4
②. H 既与磁感应强度 B 有关，又与磁化强度M 有关， 所以 又是混合物理量。 H
1
H
r
R1
R2
12
• 本节重点
1 磁介质中的高斯定理
B dS 0
s
2 磁介质中的安培环路定理
H dl I
L L
13
S
H dl I
L
0
M
D d S q 0
S S
7
D 0E P
def
S
B, H , M 之间的关系
M mH def B H M
• P、D、E 之间的关系：
B 0 (1 m ) H
B 即 r 介质中的磁感应强度是真空中的r倍。 B0 顺磁介质： B B0 , r 1
6
磁介质中的安培环路定理
电介质中的高斯定理
1 E dS
S
L
L
B dl 0 I 0 i '
L L
L
0
S
' ( q q ) 0 S
da
因为 cd 段处在真空中，真 空中的 M = 0；B = 0 ，
a d
cd I H dl H ab Hdl cos H d l H d l c
有 H dl 0
ab
b a Hb c I c d
ab
B
ab
B 0 r H 0 r nI
0
def D 0E P
D (1 e ) 0 E
D r 0 E E
P e E
r (1 m ) B 0 r H H
r (1 e )
r 称为相对磁导率
0 r磁导率
或相对介电常量。
r 称为相对电容率
0r 介电常数
8
4.应用介质中安培环路定理解题方法 1.场对称性分析； B M dl I c 2.选取环路； 0 3.求环路内传导电流的代数和 Ic；
4 . 由 H dl I c 由 B 0 r H
§12.2 磁介质中的高斯定理和安培环路定理
1
一、磁介质中的高斯定理
磁介质放在磁场中，磁介质受到磁场的作用要产 生磁化电流，磁化电流又产生附加磁场。 任一点的总磁强为：B B B'
0
磁力线无头无尾。穿过任何一个闭合曲面的磁通 量为零。 B dS 0
s
二、磁介质中的安培环路定理
M m H m 为磁化率。 B 由H M 有：B 0 ( H M )
，
0
5
B 0 ( H M ) 0 (H m H ) 0 (1 m )H 0 r H r 1 m相对磁导率。 电介质中 0 r 为磁导率 H
H ab I c nabI , H nI
2.管内真空中 作环路 abcda ; 在环路上应用 介质中的安培环路定理，同理 有：
H nI 真空中 r 1 B 0 H 0nI
11
I r 1 0 I H1 r B1 r 2 2 2R1 2R1 同理 R1 r R1 I I r 2 0 H2 B2 2r 2r R2 r H 3 0 B3 0
B dl 0 I 0 M dl
(
L
B
0
L
1 E dS
S
0
q
0
1
0
P dS
S
M ) dl I
def H
L
B
L
( 0 E P) dS q0
安培/米，A/m ③.磁场强度的单位与磁化强度相同，
④.若 H dl 0不一定环路内无电流。 ⑤.若 H dl 0 不一定环路上各点的 H 为 0，
因为 H 是环路内、外电流共同产生的。
在各向同性的均匀磁介质（非铁磁介质）中，磁 化强度与磁场强度具有线性关系：
1.问题的提出 由于束缚电流和磁介质磁化的程度有 关，而磁化的程度又决定于总磁场，所以 磁介质和磁场的相互影响呈现一种比较复 杂的关系。
B B0 B' Is M
2
可以象研究电介质与电场的相互影响一样，通过 引入适当的物理量加以简化。 2.磁介质中的安培环路定理
在真空中的安培环路定理中： B dl 0 I
在各向同性介质中 B.H 关系：B 0 r H H 在真空中 r 1, B0 0 H
B 0 r H
D 0 r E E
抗磁介质: B B0 ,0 r 1 铁磁介质: B B0 , r 1
例题2：如图载流无限长磁介质圆柱其磁导为 r1，外 面有半径为 R2的无限长同轴圆柱面，该面也通有电流 I，圆柱面外为真空，在R1<r<R2区域内，充满相对介 质常数为 r2的 磁介质，且r2 >r1。求B和 H的分布? 解：根据轴对称性，以轴上一点为圆心 I R1 在垂直于轴的平面内取圆为安培回路： R 2 I 2 r R1 2rH1 r 2 I R
有磁介质的总磁场 传导电流 束缚电流
将其应用在磁介质中时，I为所有电流的代数和；
M d l I s B d l ( I I ) 0 s L L 定义：磁场强度 B d l I M d l 0 0
求 H； 求 B；
B
0 由 M js
由
M H
求 M；
求 js； 求 Is；
I s js L 或由 I s ( r 1)I c
求 Is；
9
例1：长直螺线管半径为 R ，通有电流 I，线圈密度 为 n , 管内插有半径为 r ,相对磁导率为 r 磁介质， 求介质内和管内真空部分的磁感应强度 B 。 R 解：由螺线管的磁场分布 B r a 可知，管内的场各处均匀 b H 一致，管外的场为0； 1.介质内 c I d 作 abcda 矩形回路。 部 回路内的传导电流代数和为： I c nab I
H dl
在环路上应用介质中的环路定理：
ab bc cd
H dl H dl H dl H dl
da
∵在bc和da段路径上 H dl , cos 0
10
bc
H dl H dl 0
L
(
L
B
0
M ) dl I
L
L
L
B H M
0
3
0 H d l I
L
(
B
M ) dl I
L
定义：磁场强度
B H M
0
L
L
磁介质中的环路定理
H的环流仅与传导电流 I 有关,与介质无关。(当 I相同 时，尽管介质不同， H 在同一点上也不相同，然而环 流却相同。因此可以用它求场量 H ，就象求D那样。
3.明确几点： H 是一辅助物理量，描述磁场的基本物理量仍然 ①. 是 B。 是为消除磁化电流的影响而引入的， H B 和H 的名字张冠李戴了。
物理意义：磁场强度沿闭合路径的线积分，等于环路 所包围的传导电流的代数和。
4
②. H 既与磁感应强度 B 有关，又与磁化强度M 有关， 所以 又是混合物理量。 H
1
H
r
R1
R2
12
• 本节重点
1 磁介质中的高斯定理
B dS 0
s
2 磁介质中的安培环路定理
H dl I
L L
13
S
H dl I
L
0
M
D d S q 0
S S
7
D 0E P
def
S
B, H , M 之间的关系
M mH def B H M
• P、D、E 之间的关系：
B 0 (1 m ) H
B 即 r 介质中的磁感应强度是真空中的r倍。 B0 顺磁介质： B B0 , r 1
6
磁介质中的安培环路定理
电介质中的高斯定理
1 E dS
S
L
L
B dl 0 I 0 i '
L L
L
0
S
' ( q q ) 0 S
da
因为 cd 段处在真空中，真 空中的 M = 0；B = 0 ，
a d
cd I H dl H ab Hdl cos H d l H d l c
有 H dl 0
ab
b a Hb c I c d
ab
B
ab
B 0 r H 0 r nI
0
def D 0E P
D (1 e ) 0 E
D r 0 E E
P e E
r (1 m ) B 0 r H H
r (1 e )
r 称为相对磁导率
0 r磁导率
或相对介电常量。
r 称为相对电容率
0r 介电常数
8
4.应用介质中安培环路定理解题方法 1.场对称性分析； B M dl I c 2.选取环路； 0 3.求环路内传导电流的代数和 Ic；
4 . 由 H dl I c 由 B 0 r H
§12.2 磁介质中的高斯定理和安培环路定理
1
一、磁介质中的高斯定理
磁介质放在磁场中，磁介质受到磁场的作用要产 生磁化电流，磁化电流又产生附加磁场。 任一点的总磁强为：B B B'
0
磁力线无头无尾。穿过任何一个闭合曲面的磁通 量为零。 B dS 0
s
二、磁介质中的安培环路定理
M m H m 为磁化率。 B 由H M 有：B 0 ( H M )
，
0
5
B 0 ( H M ) 0 (H m H ) 0 (1 m )H 0 r H r 1 m相对磁导率。 电介质中 0 r 为磁导率 H
H ab I c nabI , H nI
2.管内真空中 作环路 abcda ; 在环路上应用 介质中的安培环路定理，同理 有：
H nI 真空中 r 1 B 0 H 0nI
11
I r 1 0 I H1 r B1 r 2 2 2R1 2R1 同理 R1 r R1 I I r 2 0 H2 B2 2r 2r R2 r H 3 0 B3 0
B dl 0 I 0 M dl
(
L
B
0
L
1 E dS
S
0
q
0
1
0
P dS
S
M ) dl I
def H
L
B
L
( 0 E P) dS q0
安培/米，A/m ③.磁场强度的单位与磁化强度相同，
④.若 H dl 0不一定环路内无电流。 ⑤.若 H dl 0 不一定环路上各点的 H 为 0，
因为 H 是环路内、外电流共同产生的。
在各向同性的均匀磁介质（非铁磁介质）中，磁 化强度与磁场强度具有线性关系：
1.问题的提出 由于束缚电流和磁介质磁化的程度有 关，而磁化的程度又决定于总磁场，所以 磁介质和磁场的相互影响呈现一种比较复 杂的关系。
B B0 B' Is M
2
可以象研究电介质与电场的相互影响一样，通过 引入适当的物理量加以简化。 2.磁介质中的安培环路定理
在真空中的安培环路定理中： B dl 0 I
在各向同性介质中 B.H 关系：B 0 r H H 在真空中 r 1, B0 0 H
B 0 r H
D 0 r E E
抗磁介质: B B0 ,0 r 1 铁磁介质: B B0 , r 1
例题2：如图载流无限长磁介质圆柱其磁导为 r1，外 面有半径为 R2的无限长同轴圆柱面，该面也通有电流 I，圆柱面外为真空，在R1<r<R2区域内，充满相对介 质常数为 r2的 磁介质，且r2 >r1。求B和 H的分布? 解：根据轴对称性，以轴上一点为圆心 I R1 在垂直于轴的平面内取圆为安培回路： R 2 I 2 r R1 2rH1 r 2 I R
有磁介质的总磁场 传导电流 束缚电流
将其应用在磁介质中时，I为所有电流的代数和；
M d l I s B d l ( I I ) 0 s L L 定义：磁场强度 B d l I M d l 0 0