水资源系统分析数学模型

水资源系统分析数学模型

水资源系统数学模型在水资源的系统分析中起着十分重要的作用。水资源系统的数学模型一般包括决策变量、约束条件和目标函数三个部分，每一个具体的水资源项目由于自然条件和经济条件的不同，兴建工程的目的和要求不同，其数学模型是不同的。本例综合应用高等数学中的线性规划、矩阵、数学建模等知识，建立了一个简单的水资源系统数学模型。

数学模型在水资源的系统分析中起着十分重要的作用。首先能放大深化人们对于复杂系统性能、行为的理解,模型不会产生新的信息,但能从已有的数据库中综合出许多有用的、便于做出决策的信息；其次，数学模型可以将复杂系统和所提出的系统规划中的许多特征用一个单项表达式显示出来，可以将众多数据有效地组织起来；数学模型还可以将各种性能的测度汇集起来，并进行比较评价。 水资源系统的数学模型一般包括决策变量、约束条件和目标函数三个部分，每一个具体的水资源项目由于自然条件和经济条件的不同，兴建工程的目的和要求不同，其数学模型是不同的。数学模型的建立一般包括以下几个方面内容：

（1）对系统的性能、目标、环境等因素进行调查，并给出定量描述；

（2）确定系统结构和界限，并进行数学描述；

（3）确定决策变量和常量；

（4）建立目标函数；

（5）建立约束条件的数学表达式。

下面简例说明水资源系统数学模型的建立：

1、约束条件

（1）水流连续性约束（水量平衡约束）

该约束的物理基础是：水的质点在系统中运动时，符合物质的不灭定律。因此对于系统中的任意一点，流入水量一定等于流出水量。以图1.1中的水库为例。（图1.1表示水库处的水流关系，图1.2表示有上游水流影响的水库水流关系）

对某一季节，其水流连续性关系可写为

st st st st st t s D E I Q S S --++=+1, （1）

式中：s ─水库位置标号；

t —所讨论的季节；

S —水库的蓄水量；

Qs ，t —t 季节内的来水量；

Ist —t 季节内从支流进入水库的水量；

Dst —水库的泄水量；

Est —通过渠道送往灌区用水单位的水量；

单位：1×10m 3/

图 1.1 图 1.2

式中的st I ，Dst ，Est 均为决策变量，而st Q 是与上游s-1处的决策变量有关的变量。由图1.2可以写出：

+-=t Ss Q st ,1Δt s F ,t S RI ,1-+ (2)

其中：ΔF t s , ——从s-1到s 处主河流中增加的天然流量；

t S RI ,1-——从灌区流回主河道的流量。

将公式（2）代入（1）得：

t s t s t s st st st st t s F RI D I E D S S ,,1,11,∆=---++---+ (3)

设一季度含 t k 秒，改用 s m /3 为单位，则当 0,=-t s RI 时，（3）式可写为

t s st st st t s st st t

t s t F F I E D D S k S k ,1,16

1,61010--+-=-+-+- (4) 其中：t s F ,∆近似地用s 处与s-1处实测平均径流量之差t s st F F ,1-- 表示，实际上还要考虑蒸发效应和流量损失。此处从略。

(2)限界约束

①水库的限界约束

水库中所蓄水量 Sst 应小于水库的兴利库容Vst 即

Vst -Sst ≤0 (5)

水库的总库容（兴利库容 Vst + 调洪库容Vsf - 重叠库容Vc ）不得大于极限库容Vsm 即

Vst +Vsf -Vc ≤Vsm （6）

② 灌溉界限约束

灌溉面积s A 不得大于耕地面积 Asm 即

s A -Asm ≤0 （7）

③任何时段渠道流量Qst 不得大于其输水能力Qsm ，即

Qst -Qsm ≤0 （8）

④ 灌溉用水量不得大于水源供水量

st st st A q IR -≥0 （9）

式中 st IR ——水源供水量；

st q ——灌水率；

st A ——灌溉面积。

（3） 水力发电约束

水电站的发电量不大于工作水头、水轮机过水流量与单位变换因素的乘积，即

73.2(-Pst ×610-）

（s e ）（t k ）Dst st H ≤0 （10） 式中 st P ——s 处发电站在t 季节内的发电量，310k W ﹒h ；

Dst——s处发电站在t季节内的平均泻放量，s

m/3；

H——s处水库在t季节开始时的水头，m；

st

e——s处水电站效率。

s

其它如水库泻洪流量是泻洪水头的函数；水库放水量是水库蓄水量与放水涵管尺寸的函数等。这些物理函数关系都应该根据系统的具体条件，用相应的数学表达式反映出来。

2.目标函数

水资源系统的目标函数一般有两种表现形式：

（1）目标函数以物理量来反映，如灌溉面积最大、水量损失最小等。

（2）目标函数以货币量来表示，如灌区年净效益最大、年产值最高等。

具备了目标函数和约束条件，再加上设计变量的非负条件，就构成了完整的数学模型，通过对数学模型的求解，即可求得水资源问题的最优化方案。