材料力学第三章 扭转
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材料力学 第03章 扭转
sin 2 , cos 2
由此可知：
sin 2 , cos 2
(1) 单元体的四个侧面( = 0°和 = 90°)上切 应力的绝对值最大； (2) =-45°和 =+45°截面上切应力为零，而 正应力的绝对值最大；
[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从 动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马 力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
NA 50 M A 7024 7024 1170 N m n 300 NB 15 M B M C 7024 7024 351 m N n 300 NC 20 M D 7024 7024 468N m n 300
第3章
扭
转
§3.1
一、定义 二、工程实例 三、两个名词
概
述
一、定义
Me Me
扭转变形 ——在一对大小相等、转向相反的外力偶矩
作用下，杆的各横截面产生相对转动的
变形形式，简称扭转。
二、工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。
Me
主动力偶
阻抗力偶
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
公式的使用条件：
1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
2 A
I p d A (2π d )
2
d 2 0
O
2 π(
4
d /2
4
)
0
πd 4 32
d
d A 2π d
材料力学第三章 扭转
n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2
材料力学：第三章扭转强度
解：
A
TA
Ip
1000 0.015 0.044 (1 0.54 )
63.66MPa32max来自T Wt1000
0.043 (1 0.54 )
84.88MPa
16
min
max
10 20
42.44 MPa
例：一直径为D1的实心轴，另一内外径之 比α＝d2／D2＝0.8的空心轴，若两轴横截面上 的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直
NA=50 马力，从动轮B、C、D输出功率分 别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马力，轴的 转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
mA
7024
NA n
7024 50 300
1170 N m
mB
mC
7024
NB n
7024 15 300
351 N m
mD
7024 NC n
/m
例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半
时，横截面的最大剪应力是原来的 8 倍？
圆轴的扭转角是原来的 16 倍？
max
T Wt
T
d3
16
Tl Tl
GIp
d4
G
32
例：图示铸铁圆轴受扭时，在＿45＿ 螺＿旋＿ 面上 发生断裂，其破坏是由 最大拉 应力引起的。 在图上画出破坏的截面。
例：内外径分别为20mm和40mm的空心圆截 面轴，受扭矩T=1kN·m作用，计算横截面上A 点的切应力及横截面上的最大和最小切应力。
7024 20 468 N m 300
N A 50 PS N B N C 15 PS N D 20 PS n = 300 rpm
mA 1170 N m mB mC 351 N m mD 468 N m
材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学第3章扭转
τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转：壁厚 、薄壁圆筒扭转：
t≤
1 r0 10
为平均半径） （r0：为平均半径）
A）观察实验： ）观察实验：
实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念： 纯剪切的概念：
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L，半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 且的剪应变 γ Φ的关系如下： 与 的关系如下：
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理
第三章扭转
T=Fs×r
材料力学
0
Fs=2 r
0
扭转/圆轴扭转时的应力
一.圆轴扭转时的应力分布规律
T
T
材料力学
扭转/圆轴扭转时的应力
1. 单元格的变化
A
B
C
A B
C
D
D
现象一： 方格的左右两边发生相对错动
横截面上存在切应力
方格的左右两边距离没有发生改变 现象二：
材料力学
横截面上没有正应力
2. 半径的变化
材料力学
扭转/纯剪切
§3.3 纯剪切
材料力学
相关概念
纯剪切：单元体各个面上只承受切应力而没有正应力。
单元体：是指围绕受力物体内一点截取一边长为无限小 的正立方体，以表示几何上的一点。
材料力学
扭转/纯剪切
一.薄壁圆筒扭转时的切应力
纯剪切的变形规律通过薄壁圆筒的纯扭转进 行研究。 受扭前，在薄壁圆筒的表面上用圆周线和 纵向线画成方格。
扭转/圆轴扭转时的变形
两横截面间相对扭转角的计算：
=TL/GIP
T：扭矩；
L：两横截面间的距离； G：切变模量； IP：极惯性矩。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
=TL/GIP
GIP越大，则越小。 GIP称为抗扭刚度。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
`=/L
`：单位长度扭转角（rad/m）。
思路：
最大扭矩
最大切应力
max
校核强度
相等
强度相同，则两轴的最大切应力 求出实心轴直径
材料力学
两轴面积比即为重量比
扭转/圆轴扭转时的应力
计算Wt:
3 Wt=D
材料力学第3章扭转总结
5 圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wt
πd 4 实心圆截面： I P 32
πd 3 Wt 16
πD4 空心圆截面： I （ 4） 1 P 32
πd 3 Wt （ 4） 1 16
6. 强度条件
max [ ]
对于等直圆轴亦即
Tmax [ ] Wt
7. 刚度条件 等直圆杆在扭转时的刚度条件：
圆周扭转时切应力分布特点：
T
max
Tr r Ip
max
d
圆周扭转时切应力分布特点：在横截面的同一半径 r 的圆周上各点处的切应力r 均相同，其值 与r 成正比，
其方向垂直于半径。
横截面周边上各点处(r r)切应力最大。
即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线 垂直的切应力 和 数值相等，且均指向(或背离)该两个 面的交线——切应力互等定理。
Tmax
180 [ ] GI p
l
Ti li *若为阶梯扭矩、阶梯截面 GI i 1 pi
总结
1 扭转外力特点：
垂直轴线的平面内受一对大小相等、转向相反 力偶作用
变形特点： 杆件的任意两个横截面围绕其轴线作相对转动
外力矩计算
{M e }Nm
{P}kw 9.55 10 {n} r
3
min
2 扭转时内力：扭矩
扭矩(torque)－－其力偶作用面与横截面平行
Me
T(+) T
T(-)
3
材料力学-第三章
21
第三章 扭转
3.5 圆轴扭转强度计算
22
扭转失效与扭转极限应力
扭转屈服应力：s 扭转强度极限：b 扭转强度极限：b 扭转屈服应力（s ）和扭转强度极限（b ），统 称为材料的扭转极限应力u。
23
圆轴扭转强度条件
材料的扭转许用应力为：
u
n
n为安全系数。
强度条件为：
max
（2) 若将轮1与轮2的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
（3) 若将轮1与轮3的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
33
提高圆轴扭转时强度和刚度的措施
• 提高轴的转速 • 合理布局主动轮和被动轮的位置 • 采用空心轴 • 选用优质材料，提高剪切模量
34
例3-8：图示圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向载荷F作用。 所谓密圈螺旋弹簧，是指螺旋升角α很小（例如小于5º ）的 弹簧。设弹簧的平均直径D，弹簧丝的直径d，试分析弹簧 丝横截面上的应力并建立相应的强度条件。
第三章 扭转
3.1 扭转的概念
1
扭转的概念
以横截面绕轴 线作相对旋转为 主要特征的变形 形式，称为扭转。
2
受力特点： 变形特点：
受到垂直于构件轴线的外力偶 矩的作用。
构件的轴线保持不变，各横截面绕 轴线相对转动 截面间绕轴线的相对角位移，称为扭转角
使杆发生扭转变形的外力偶，称为扭力偶，其矩 称为扭力偶矩。 凡是以扭转为主要变形的直杆，称为轴。
公式的适用条件：以平面假设为基础；适用胡克定律。
18
圆轴截面的极惯性矩和抗扭截面模量
IP
d4
32
WP
d3
16
19
空心圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量
材料力学——第三章 扭转
33
材 料 力 学
表明： 当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力； 横截面上便只有切于截面的切应力；
34
材 料 力 学
4、切应力分布规律假设
因为筒壁的厚度很小，可以认为沿筒壁厚度切应力均匀分布；
35
材 料 力 学
5、薄壁圆筒的扭转切应力
T
rm
2 rm t T
m1
m4
15.9(kN m)
A
P2 m2 m3 9.549 4.78 (kN m) n P4 m4 9.549 6.37 (kN m) n
17
B
C
D
材 料 力 学
2、求扭矩
m2
T1 m2 0
T1 4.78kN m
T2 m2 m3 0
材 料 力 学
三、切应变
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动， a
´
c
´
b
d
t
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
圆筒两端的相对扭转角为υ，圆筒 的长度为L，则切应变为
L r
r L
39
材 料 力 学
四、剪切虎克定律：
当剪应力不超过材料的剪切比例
齿轮轴
9
材 料 力 学
§3-2、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
一.外力偶矩的计算 ——直接计算
M=Fd
10
材 料 力 学
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 计算：力偶矩M
电机每秒输入功： 外力偶作功：
W P 1000(N.m)
材料力学 第三章 扭转
为一很小的量，所以
tan 1.0103rad
G
(80 109 Pa)(1.0 103rad) 80 MPa
注意： 虽很小，但 G 很大，切应力 不小
例 3-3 一薄壁圆管，平均半径为R0，壁厚为，长度为l， 横截面上的扭矩为T，切变模量为G，试求扭转角。
解：
T
2πR02
G
T
2πGR02
塑性材料：[] =（0.5~0.6）[s] 脆性材料：[] = （0.8~1.0）[st]
例 3-1 已知 T=1.5 kN . m，[τ] = 50 MPa，试根据强度条 件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。 解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
max
T Wp
T πd 3
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
Tmax ml
[例3-1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：1、计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
m1
9.55
P1 n
9.55
一、薄壁圆筒扭转时的应力
t
1、试验现象
壁厚
t
1 10
r0（r0：平均半径）
rO
各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动，距离不变。 当变形很小时，各纵向平行线仍然平行，倾斜一定的角度。
由于管壁薄，可近似认 为管内变形与管表面相 同，均仅存在切应变γ 。
2、应力公式 微小矩形单元体如图所示：
´
①无正应力
d T
dx GI p
材料力学 第 三 章 扭转
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
材料力学课件第三章 扭转
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
3.4 圆轴扭转时横截面上的应力
3.4.2 最大扭转切应力和强度条件
第三章 扭转
1. 最大扭转切应力：
由
T
Ip
知：当
R , max
max
TR Ip
T Ip R
T Wp
(令 Wp I p R )
max
T Wp
Wp — 扭转截面系数，单位：mm3或m3。
对于实心圆截面： 对于空心圆截面：
Wp
d3
16
Wp
(D4
16
d4)
D3(1 4 )
16
3.4 圆轴扭转时横截面上的应力
2、强度条件
强度条件：
max
Tm a x Wp
[ ]
第三章 扭转
许用切应力 u
n
τ s---- 扭转屈服极限 ——塑性材料 τ b---- 扭转强度极限 ——脆性材料 τ u---- 扭转极限应力 ——τs和τb的统称
MB
MC
MA
MD
B
C
解：计算外力偶矩
A
D
MA
9549 PA n
1592N m
MB
MC
9549 PB n
477.5N m
MD
9549 PD n
637N m
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
第三章 扭转
3.2.2 扭矩和扭矩图
1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。
2 截面法求扭矩
剪应力在互相垂直的面上同时存在，数值相等，其方向都垂直于这 两个面的交线，且都指向或者都背离该交线。
材料力学第三章扭转
材料力学
中南大学土木工程学院
三、扭 矩
x 扭矩的矢量表示
Me
Me
Me
T
定义：扭转内力偶矩， 1、定义：扭转内力偶矩，用T表示 大小： 2、大小：可用截面法取局部平衡求出 扭矩大小= 截面一侧所有外扭转力偶矩之代数和 T =ΣMe 正负号： 3、正负号：扭矩矢与截面外法线一致为正 （图中T为正，必须按“设正法”画扭矩） 为正，必须按“设正法”画扭矩） 单位： 4、单位：N·m 或 kN·m
τ =τ′
切应力互等定理
在单元体相互垂直的两个平面上， 在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出 且数值相等，两者都垂直于两平面的交线， 现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方 向则共同指向或共同背离该交线。 向则共同指向或共同背离该交线。
材料力学
中南大学土木工程学院
单元体的四个侧面上只有切应力而无正应 纯剪切应力状态。 力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态 力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。
O
定义内径与 外径的比值
d α= D
D d
πD πD 4 Ip = (1 − α 4 ) 32
I p π(D 4 − d 4 ) πD 3 Wp = = = (1 − α 4 ) D 16 D 16 2
特别注意：抗扭截面系数不满足叠加法的计算，括号里的仍是四次方。 特别注意：抗扭截面系数不满足叠加法的计算，括号里的仍是四次方。
材料力学 中南大学土木工程学院
分布如图所示。 横截面上各点处的切应力τ 分布如图所示 取微面积dA，则横截面上的分布 的合成其主矢为零， 力系τ dA的合成其主矢为零，主矩就 是扭矩T。
δ
r0
O
τ
∫
上海电机学院材料力学第三章扭转
D
d
t
M
M
*
解：轴的扭矩等于轴传递的转矩
轴的内，外径之比
由强度条件
由刚度条件
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。
空心轴
d2＝0.5D2=23 mm
§3.4 圆轴扭转时的应力
*
确定实心轴与空心轴的重量之比
空心轴
D2＝46 mm
*
δ<<R0 ---薄壁圆筒
规定：矢量方向与横截面外法线方向一致的扭矩为正
m
m
薄壁圆筒的扭转
m
T
1
1
扭矩
切应力
对应
扭转
*
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
微机控制扭转试验机
*
扭转实验前
平面假设成立
相邻截面绕轴线作相对转动
横截面上各点的剪（切）应力的方向必与圆周线相切。
纵线
圆周线
扭转实验后
ρ
dρ
O
D
d
ρ
dρ
（2）空心圆截面
其中
*
应力公式
1)横截面上任意点：
2)横截面边缘点：
其中：
d/2
ρ
O
T
抗扭截面模量
D/2
O
T
d/2
空心圆
实心圆
扭转
*
例题2 图示空心圆轴外径D=100mm，内径d=80mm，M1=6kN·m，M2=4kN·m，材料的剪切弹性模量 G=80GPa.
材料力学第三章
等直圆杆扭转时的应力·强度条件 §3-4 等直圆杆扭转时的应力 强度条件
3.理论分析 3.理论分析 变形几何关系： (1) 变形几何关系： G1G′ ρ ⋅ dϕ γ ρ ≈ tanγ ρ = =
dϕ γρ = ρ dx dϕ ：扭转角 沿x轴的变化 轴的变化 ϕ dx 率。对给定截面上的各 它是常量。 点，它是常量。
28
等直圆杆扭转时的应力·强度条件 §3-4 等直圆杆扭转时的应力 强度条件
5
§3-2 薄壁圆筒的扭转
1 为平均半径） 薄壁圆筒： 薄壁圆筒：壁厚 δ ≤ r0 （r0：为平均半径） 10
实验： 实验：
实验前：绘纵向线，圆周线； 实验前：绘纵向线，圆周线；
然后施加一对外力偶 Me。
6
§3-2 薄壁圆筒的扭转
当其两端面上作用有外力 偶矩时，任一横截面上的 内力偶矩——扭矩(torque) T = Me
4
§3.1 概述
工程实际中，有很多构件，如车床的光杆、 工程实际中，有很多构件，如车床的光杆、搅拌机 轴、汽车传动轴等，都是受扭构件。 汽车传动轴等，都是受扭构件。 还有一些轴类零件，如电动机主轴、水轮机主轴、 还有一些轴类零件，如电动机主轴、水轮机主轴、 机床传动轴等，除扭转变形外还有弯曲变形， 机床传动轴等，除扭转变形外还有弯曲变形，属于组合 变形。 变形。 本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略 的情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为 主要研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范 围内工作的情况。
Ⅰ. 横截面上的应力 表面 变形 情况 横截面 上应力 变化规 律 内力与应力的关系 横截面上应 力的计算公 式
23
横截 推断 面的 变形 情况
横截面 上应变 应力-应变关系 的变化 规律
材料力学第3章-扭转
第3章 扭转1、扭转的概念：杆件的两端个作用一个力偶，其力偶矩大小相等、转向相反且作用平面垂直于杆件轴线，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，即为扭转变形。
2、外力偶矩的计算{}{}{}min /95491000602r KW m N e e n P M P M n=⇒⨯=⨯⨯⋅π 式中，e M 为外力偶矩。
又由截面法：e e M T M T =⇒=-0 T 称为n n -截面上的扭矩。
规定：若按右手螺旋法则把T 表示为矢量，当矢量方向与研究部分中截面的外法线的方向一致时，T 为正；反之为负。
3、纯剪切（1）薄壁圆筒扭转时的切应力 δπττδπ222r M r r M ee =⇒••=（2）切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于平面的交线，方向则共同指向或背离这一交线。
（3）切应变 剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变γ与切应力τ成正比。
γτG = G 为比例常数，称为材料的切变模量。
弹性模量E 、泊松比μ和切变模量G 存在关系：)1(2μ+=EG 4、圆轴扭转时的应力（1）变形几何关系：距圆心为ρ处的切应变为dxd ϕργρ=（2）物理关系：ρτ为横截面上距圆心为ρ处的切应力。
dxd G G ϕρτγτρρρ=⇒= （3）静力关系：内力系对圆心的力矩就是横截面的扭矩：dA d d GdA T AxA⎰⎰==2ρρτϕρ 以p I 表示上式右端的积分式：dA I Ap ⎰=2ρ p I 称为横截面对圆心O 点的极惯性矩（截面二次极矩）横截面上距圆心为ρ的任意点的切应力：pI T ρτρ=ρ最大时为R ，得最大切应力：pI TR =max τ引用记号RI W p t =t W 称为抗扭截面系数。
则tW T =max τp I 和t W 的计算（1）实心轴：3224420032D R d d dA I RAp ππθρρρπ====⎰⎰⎰16233D R RI W p t ππ===（2）空心轴：)1(32)(324444202/2/32αππθρρρπ-=-===⎰⎰⎰D d D d d dA I D d Ap)1(16)(164344αππ-=-==D d D DRI W p t5、圆轴扭转时的变形pGI Tl =ϕ ϕ为扭转角，l 为两横截面间的距离。
材料力学课件第3章扭转
扭转外力及变 形特点:
杆件受到大小相等,方向相反且作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截 面绕轴线产生相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
第3章-扭 转
圆轴扭转的内力
3-2 圆轴扭转的内力
1.外力偶矩 直接计算
3-2 圆轴扭转的内力
dx
也发生在垂直于
半径的平面内。
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
2.物理关系
根据剪切胡克定律
G
距圆心为
处的切应力：
G
G
d
dx
垂直于半径
横截面上任意点的切应力 与该点到圆心的距离 成正比。
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
3.静力学关系
T A dA
T A dA
令
Wt
Ip R
抗扭截面系数
在圆截面边缘上，有最 大切应力
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
I
与
p
Wt
的计算
实心轴
T
Ip
max
T Wt
Wt I p / R 1 D3
16
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
空心轴
则
令
Wt I p /(D / 2)
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
实心轴与空心轴 I p 与 Wt 对比
m1=1000Nm，m2=600Nm，m3=200Nm，m4=200Nm，G=79GPa，试求：
（1）各段轴内的最大切应力 （2）若将外力偶m1和m2的位置互换一下，问轴的直径可否减小
3-4 圆轴扭转的强度条件和强度计算
4.强度条件及应用
B
C
杆件受到大小相等,方向相反且作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截 面绕轴线产生相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
第3章-扭 转
圆轴扭转的内力
3-2 圆轴扭转的内力
1.外力偶矩 直接计算
3-2 圆轴扭转的内力
dx
也发生在垂直于
半径的平面内。
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
2.物理关系
根据剪切胡克定律
G
距圆心为
处的切应力：
G
G
d
dx
垂直于半径
横截面上任意点的切应力 与该点到圆心的距离 成正比。
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
3.静力学关系
T A dA
T A dA
令
Wt
Ip R
抗扭截面系数
在圆截面边缘上，有最 大切应力
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
I
与
p
Wt
的计算
实心轴
T
Ip
max
T Wt
Wt I p / R 1 D3
16
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
空心轴
则
令
Wt I p /(D / 2)
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
实心轴与空心轴 I p 与 Wt 对比
m1=1000Nm，m2=600Nm，m3=200Nm，m4=200Nm，G=79GPa，试求：
（1）各段轴内的最大切应力 （2）若将外力偶m1和m2的位置互换一下，问轴的直径可否减小
3-4 圆轴扭转的强度条件和强度计算
4.强度条件及应用
B
C
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B
W P t 1000P 60(N m)
外力偶矩Me一分钟做功：
W Me Me 2 n(N m)
令 W W
则：
Me
1000P 60
2 n
9549
P n
(N m)
注意：
主动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向一致
从动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向相反
二、扭矩与扭矩图 方法：截面法
Me
Mx 0 T1 M A 0
A
B
C
D
得： T1 M A 1.91kN m
MA 1 MB 2 MC 3 MD
2-2截面
M x 0 T2 M A MB 0
得： T2 M A MB 5.73kN m 3-3截面
A 1 B2 C
MA
T1
MA
M B T2
3D
M x 0 T3 M A MB MC 0
由扭矩图可知： T 5.73kN m
max
在BC和CD段
A
B
C
D
MA
MB
A
B
T / kN m
MC
MD
C
D
5.73
O
x
1.91
5.73
D
B
§3-3 薄壁圆筒的扭转 R0 10
一、薄壁圆筒扭转时的应力与变形
D
δ
D / 20
实验情形
ab cd
① 各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作相 对转动。
dx
将（a）式代入上式得：
G
G
d
dx
（b）
由（b）式可知，圆杆横截面上的切应力 和 成正比，即
切应力沿半径方向按线性规律变化，其方向垂直于半径。
G
d
dx
3.静力学方面
切向内力对o的的矩为： dA
G
G
d
dx
dA
O
T A dA
A
G
d
dx
dA
G
d
dx
A
2dA
令 I p A 2dA
练习 无缝钢管制成的汽车传动轴，
D＝90mm，δ＝2.5mm。
Me 1.5kN.m
Me 1.5kN.m
试求:(1) 两种求法的最大切应力比较；
(2)把此轴换成同材料且最大切应力相同
的实心圆轴，重量之比为多少?
解：(1)最大切应力
A
B
精确值
1,max
T WP1
1.5 103 903(1 0.944 ) 109
单元体直角的改变量γ称为切应变
单位为弧度（rad）
d
a
ds
´
c
dx
b
d
与切应变相对应，单元体左、右两个面 上必有切应力τ。
单元体
切应力分布规律
（1）因为沿圆周方向所有单元
体的切应变γ是相同的，所以圆 周各点处的切应力τ应相等，而
方向垂直于半径。（因为剪切变 形发生在垂直于半径的平面内）
（2）又因壁很薄，又可近似 的
称为圆截面的极惯性矩
则有
T
GI p
d
dx
或
d
dx
T GI p
带入（b）式，得
T
Ip
（3-8） （3-9）
T
Ip
max
TR IP
T IP
R
令： I P
R
WP
则:
max
T
WP
（3-9）
T max
0
R
称为圆截面的扭转截面系数
（3-11）
注意：(1)上述公式同样适用空心圆截面杆； (2) 只有圆轴处于弹性范围内时上述切应力公式才成立。
0.01m
31.2 106
Pa
31.2
MPa
例 3-3 已知:传动轴M1=2.5kN.m， M2=4kN.m， M3=1.5kN.m，
G=80GPa
求： C截面相对于A截面的扭转角 AC
解：（1）计算扭矩
T1 M1 2.5kN m
M1 75 M 2 50 M3
T2 M3 1.5k N m
转向
MA
9549 PA n
9549 60 300
1.91103 N m
1.91kN m
A
B
C
D
MB
9549
PB n
9549 120 300
3.82103
N m
3.82kN m
MA
MB
MC
MD
MC
9549 PC n
9549 360 11.46103 300
N m
A
B
C
D
11.46kN m
MA
得：T3 M A MB MC 5.73kN m
MB
MC
T3
A
B
C
例3-1 已知:传动轴转n=300r/min,主动轮C输入功率PC =360kW,
三个从动轮输出功率分别为PA =60kW ，PB =120kW , PD =180kW
试绘该轴的扭矩图。
转向
3.绘扭矩图
T1 1.91kN m T2 5.73kN m T3 5.73kN m
表明：在单元体互相垂直的两个截面上，切应力必然成对存 在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，而指向均 对着或背离两截面的交线。
上述单元体四个侧面上只有切应力而无正应力，这种应力状 态称为纯剪切应力状态。
三、塑性材料在纯剪切时的力学性能
由塑性材料制成的薄壁圆筒的扭转实验表明，当外力偶矩在某 一范围之内时，扭转角φ和外力偶矩Me成线性关系。
T
0
T
0
T
0
二、极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp的计算
基本公式: I p A 2dA
WP
IP R
实心轴 ：
IP
2dA
d 2
2
2d
d
4
0
32
A
WP
IP R
Ip d2
d3
16
空心轴 ：
IP 2dA A
D
2 d
2
2
2 d
(D4 32
d
4
)
D4 (1 4 )
32
WP
IP R
D3
16
(1 4 )
其中 d
D
d
o dA
d
d
o dA
d D
三、扭转角
d T (x) dx
GI p
相距为l的两个横截面的相对 扭转角为
l T (x) dx
0 GI p
（3-16）（普遍式）
对于长为l、在两端受一对外力偶Me作用的等直杆，此时T、G、 IP均为常量，故有
T
l
dx
Tl
任意两横截面绕轴线转动的相对角位移称为扭转角,用 表示。 工程中，把以扭转为主要变形的直杆称为轴。
扭转实例：
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩及扭矩图
一、功率、转速和力偶矩之间的关系 主动轮 转向 从动轮
设某传动轴,其传递的功率为P(kW),
转速为n（r／min）
A
B
功率在1分钟做功：
Me
A
Me
第三章 扭转
目录
§3-1 概述 §3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3-3 薄壁圆筒的扭转 §3-4 等直圆杆的扭转 §3-5 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件 §3-6 矩形截面杆的扭转 §3-7 圆杆的极限扭矩
§3-1 概述
受力特点:一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆件轴线的 外 力偶。 变形特点：相邻横截面绕轴线作相对转动。
② 各纵向线均倾斜了同一角度γ，所有矩形都变成平行
四边形。
因为壁很薄，故可将圆周线绕轴线的
转动视为横截面的转动，任意两个横
a
截面相对转动的角度称为相对扭转角。
a1
ab cd
由于相邻横截面的距离未变，圆周 线长度也未变，故单元体沿x和s方 向均无线应变，从而可知杆的横截 面和径截面上均无正应力。
单元体左、右两个面发生了相对错 动，因错动而倾斜的角度，也就是
1.几何方面
R
•
dx
R
•
dx
（1）表面变形现象：各圆周线的形状、大小及其间距均未改变，
只是绕轴线作相对转动；各纵向线均倾斜了同一角度γ，表面上
所有矩形均变成平行四边形。
（2）平面假设：圆杆扭转时，各横截面仍保持为平面，其大小、 形状及其间距均未改变；半径仍为直线，只是各横截面像刚性平 面一样绕轴线作相对转动。
MD
9549 PD n
9549 180 5.73103 300
N m
5.73kN m
例3-1 已知:传动轴转n=300r/min,主动轮C输入功率PC =360kW,
三个从动轮输出功率分别为PA =60kW ，PB =120kW , PD =180kW
试绘该轴的扭矩图。
转向
2.计算扭矩
1-1截面
l R
a
a1
R
l
（3-3）
式中R为外半径，对于薄成顺时针转向力偶，其矩为
( dzdy)dx
组成逆时针转向力偶，其矩为
( dzdx)dy
a
dy
´
c
Mz 0 ( dzdx)dy ( dzdy)dx 0z
dx
´
b
d dz
得
（3-4）（切应力互等定理）
求：AC段、CB段的最大和最小切应力。
T
BC,max
WP 2
Me
199N m
0.033
1
W P t 1000P 60(N m)
外力偶矩Me一分钟做功：
W Me Me 2 n(N m)
令 W W
则：
Me
1000P 60
2 n
9549
P n
(N m)
注意：
主动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向一致
从动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向相反
二、扭矩与扭矩图 方法：截面法
Me
Mx 0 T1 M A 0
A
B
C
D
得： T1 M A 1.91kN m
MA 1 MB 2 MC 3 MD
2-2截面
M x 0 T2 M A MB 0
得： T2 M A MB 5.73kN m 3-3截面
A 1 B2 C
MA
T1
MA
M B T2
3D
M x 0 T3 M A MB MC 0
由扭矩图可知： T 5.73kN m
max
在BC和CD段
A
B
C
D
MA
MB
A
B
T / kN m
MC
MD
C
D
5.73
O
x
1.91
5.73
D
B
§3-3 薄壁圆筒的扭转 R0 10
一、薄壁圆筒扭转时的应力与变形
D
δ
D / 20
实验情形
ab cd
① 各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作相 对转动。
dx
将（a）式代入上式得：
G
G
d
dx
（b）
由（b）式可知，圆杆横截面上的切应力 和 成正比，即
切应力沿半径方向按线性规律变化，其方向垂直于半径。
G
d
dx
3.静力学方面
切向内力对o的的矩为： dA
G
G
d
dx
dA
O
T A dA
A
G
d
dx
dA
G
d
dx
A
2dA
令 I p A 2dA
练习 无缝钢管制成的汽车传动轴，
D＝90mm，δ＝2.5mm。
Me 1.5kN.m
Me 1.5kN.m
试求:(1) 两种求法的最大切应力比较；
(2)把此轴换成同材料且最大切应力相同
的实心圆轴，重量之比为多少?
解：(1)最大切应力
A
B
精确值
1,max
T WP1
1.5 103 903(1 0.944 ) 109
单元体直角的改变量γ称为切应变
单位为弧度（rad）
d
a
ds
´
c
dx
b
d
与切应变相对应，单元体左、右两个面 上必有切应力τ。
单元体
切应力分布规律
（1）因为沿圆周方向所有单元
体的切应变γ是相同的，所以圆 周各点处的切应力τ应相等，而
方向垂直于半径。（因为剪切变 形发生在垂直于半径的平面内）
（2）又因壁很薄，又可近似 的
称为圆截面的极惯性矩
则有
T
GI p
d
dx
或
d
dx
T GI p
带入（b）式，得
T
Ip
（3-8） （3-9）
T
Ip
max
TR IP
T IP
R
令： I P
R
WP
则:
max
T
WP
（3-9）
T max
0
R
称为圆截面的扭转截面系数
（3-11）
注意：(1)上述公式同样适用空心圆截面杆； (2) 只有圆轴处于弹性范围内时上述切应力公式才成立。
0.01m
31.2 106
Pa
31.2
MPa
例 3-3 已知:传动轴M1=2.5kN.m， M2=4kN.m， M3=1.5kN.m，
G=80GPa
求： C截面相对于A截面的扭转角 AC
解：（1）计算扭矩
T1 M1 2.5kN m
M1 75 M 2 50 M3
T2 M3 1.5k N m
转向
MA
9549 PA n
9549 60 300
1.91103 N m
1.91kN m
A
B
C
D
MB
9549
PB n
9549 120 300
3.82103
N m
3.82kN m
MA
MB
MC
MD
MC
9549 PC n
9549 360 11.46103 300
N m
A
B
C
D
11.46kN m
MA
得：T3 M A MB MC 5.73kN m
MB
MC
T3
A
B
C
例3-1 已知:传动轴转n=300r/min,主动轮C输入功率PC =360kW,
三个从动轮输出功率分别为PA =60kW ，PB =120kW , PD =180kW
试绘该轴的扭矩图。
转向
3.绘扭矩图
T1 1.91kN m T2 5.73kN m T3 5.73kN m
表明：在单元体互相垂直的两个截面上，切应力必然成对存 在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，而指向均 对着或背离两截面的交线。
上述单元体四个侧面上只有切应力而无正应力，这种应力状 态称为纯剪切应力状态。
三、塑性材料在纯剪切时的力学性能
由塑性材料制成的薄壁圆筒的扭转实验表明，当外力偶矩在某 一范围之内时，扭转角φ和外力偶矩Me成线性关系。
T
0
T
0
T
0
二、极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp的计算
基本公式: I p A 2dA
WP
IP R
实心轴 ：
IP
2dA
d 2
2
2d
d
4
0
32
A
WP
IP R
Ip d2
d3
16
空心轴 ：
IP 2dA A
D
2 d
2
2
2 d
(D4 32
d
4
)
D4 (1 4 )
32
WP
IP R
D3
16
(1 4 )
其中 d
D
d
o dA
d
d
o dA
d D
三、扭转角
d T (x) dx
GI p
相距为l的两个横截面的相对 扭转角为
l T (x) dx
0 GI p
（3-16）（普遍式）
对于长为l、在两端受一对外力偶Me作用的等直杆，此时T、G、 IP均为常量，故有
T
l
dx
Tl
任意两横截面绕轴线转动的相对角位移称为扭转角,用 表示。 工程中，把以扭转为主要变形的直杆称为轴。
扭转实例：
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩及扭矩图
一、功率、转速和力偶矩之间的关系 主动轮 转向 从动轮
设某传动轴,其传递的功率为P(kW),
转速为n（r／min）
A
B
功率在1分钟做功：
Me
A
Me
第三章 扭转
目录
§3-1 概述 §3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3-3 薄壁圆筒的扭转 §3-4 等直圆杆的扭转 §3-5 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件 §3-6 矩形截面杆的扭转 §3-7 圆杆的极限扭矩
§3-1 概述
受力特点:一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆件轴线的 外 力偶。 变形特点：相邻横截面绕轴线作相对转动。
② 各纵向线均倾斜了同一角度γ，所有矩形都变成平行
四边形。
因为壁很薄，故可将圆周线绕轴线的
转动视为横截面的转动，任意两个横
a
截面相对转动的角度称为相对扭转角。
a1
ab cd
由于相邻横截面的距离未变，圆周 线长度也未变，故单元体沿x和s方 向均无线应变，从而可知杆的横截 面和径截面上均无正应力。
单元体左、右两个面发生了相对错 动，因错动而倾斜的角度，也就是
1.几何方面
R
•
dx
R
•
dx
（1）表面变形现象：各圆周线的形状、大小及其间距均未改变，
只是绕轴线作相对转动；各纵向线均倾斜了同一角度γ，表面上
所有矩形均变成平行四边形。
（2）平面假设：圆杆扭转时，各横截面仍保持为平面，其大小、 形状及其间距均未改变；半径仍为直线，只是各横截面像刚性平 面一样绕轴线作相对转动。
MD
9549 PD n
9549 180 5.73103 300
N m
5.73kN m
例3-1 已知:传动轴转n=300r/min,主动轮C输入功率PC =360kW,
三个从动轮输出功率分别为PA =60kW ，PB =120kW , PD =180kW
试绘该轴的扭矩图。
转向
2.计算扭矩
1-1截面
l R
a
a1
R
l
（3-3）
式中R为外半径，对于薄成顺时针转向力偶，其矩为
( dzdy)dx
组成逆时针转向力偶，其矩为
( dzdx)dy
a
dy
´
c
Mz 0 ( dzdx)dy ( dzdy)dx 0z
dx
´
b
d dz
得
（3-4）（切应力互等定理）
求：AC段、CB段的最大和最小切应力。
T
BC,max
WP 2
Me
199N m
0.033
1