初等代数研究练习题

合集下载

初等代数复习题及答案

初等代数研究复习题及答案数科院包晓文（不对的地方欢迎指正）一、填空题1. 康托的基数理论给出的自然数加法的定义是:设A 、B 都是有限集，b B a A ==,，且=⋂B A φ,则称B A ⋂的基数为a 加上b 的和，记作b a +.这里a 叫做被加数，b 叫做加数，求和的运算叫做加法.2. 皮亚诺给出的自然数的公理化定义是:集合N 的元素叫做自然数，如果N 的元素间有一个基本关系“后继”，（用""+来表示），并满足下列公理： I.N ∈1；II. 对任何N a ∈，有唯一的N a ∈+； III. 对任何N a ∈，+a 不是1IV. 对任何N b a ∈,,若+a 与+b 相同，则a 等于b （记作b a =）； V. （归纳公理）若N M ⊆，且 o 1 M ∈102 对任意M a ∈,有M a ∈+,则N M =3. 自然数的最小数原理的内容是（N 任意一个非空子集中必有最小数.）.4. 第二数学归纳法的内容是: 设()n P 是关于自然数n 的命题，若o 1（奠基）()n P 在1=n 时成立；02（归纳）在()n P （k n ≤≤1，k 是任意自然数）成立的假定下，可以推出()1+k P 成立，则()n P 对一切自然数n 成立. 5.777的末两位数字是（ 07 ）．6.分母不大于7的正既约真分数的个数是（ 17 ）.7. 分数2925可以化为( 十进无限 )循环小数，其循环节的长度为（ 3 ）．8. 若(,)1,a b =则(,)ab a b +=（ 1 ）．9.(636,480)-=（ 12 ），[636,480]-=（25440）．10. 函数112+-=x x y 的值域是( ()()+∞⋃∞-,22, ).11. 函数22511x x y x x -+=-+值域是(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-37,3 ).12. 模m 的剩余类具有的性质是（至少写出两条）：定义如果N m ∈,集合},|{是任意整数t r mt x x K r+==，1,,1,0-=m r ，则称110,,,-m K K K 为模m 的剩余类. 剩余类具有下列比较明显的性质：1）模m 的剩余类110,,,-m K K K 都是Z 的非空子集； 2）每个整数必属于且只属于一个剩余类；3）两个整数属于同一个剩余类的充要条件是它们对模m 同余.13. 初等函数分为( 代数函数 )和(初等超越函数)两大类. 14. 超越方程包括 (指数方程，对数方程，三角方程和反三角方程)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧反三角方程三角方程对数方程指数方程超越方程无理方程有理方程代数方程方程15. 柯西不等式的内容是( ∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221).二、证明题1. 利用自然数的序数理论证明2510⨯=．证明 212=⨯42121222=+⨯=⨯=⨯+∴ 62222232=+⨯=⨯=⨯+ 82323242=+⨯=⨯=⨯+102424252=+⨯=⨯=⨯+2. 证明任意n 个相邻的整数都构成模n 的一个完全剩余系．证明设n a a a ,,,21 是相邻的n 个整数，任取i a ，j a （j i ≠），则1-≤-n a a ji依据题意，只需证明i a 与j a 不同余则可. 下面用反证法来证明假设()n a a j i mod =，即i a 与j a 同余则有r nq a i+=1，r nq a j +=2，由此21q q n a a j i -=-已知1-≤-n a a j i ，所以021=-q q ，即21q q =因此j ia a =，这与已知矛盾，故原命题成立。

精品《初等代数研究》练习题

《初等代数研究》作业一。

填空题1．第一数学归纳法的内容是____________. 2．函数112+-=x x y 的值域是_________. 3．函数)32(log 4222-+-=x x x y 的定义域是__________. 4．函数2xx e e y --=在),(+∞-∞内的反函数是 .5．模m 的剩余类具有的性质是（至少写出两条）_____________. 6．柯西不等式的内容是_____________. 7．切比雪夫不等式的内容是___________. 8．超越方程包括__________. 9．把方程04123356=-++-x x x x 的各个根乘以2，对应的值是 10．=-]231,525[___________. 11．排序定理的内容是_______.12．一元三次方程013=++px x ),(R q p ∈，如果它有三个不等的实根，则27432p q +____________（填大于零，小于零，或等于0）.13.对于一元三次方程),(03R q p q px x ∈=++，如果027432>+p q ，那么该方程根的情况为___________。

14.排序不等式的内容是___________。

15.函数21x x y +=在区间),0(+∞内的最小值为___________。

16.如果一元三次方程),(03R q p q px x ∈=++有三个实根，那么27432p q + ___________ （填大于、小于或等于零）。

17.第二数学归纳法的内容是___________。

18.初等超越不等式包括__________。

二．解方程（组）或不等式（组）1．解方程组⎩⎨⎧=++=+.2)(log ,7log 2log log 4333y x y x2．解不等式.13322-<-+-x x x3．解不等式 .01cos sin 1cos sin >+--+x x x x4．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+.34,21sin sin 22πy x y x5．解不等式 .0111222>+-++x x x x6．解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==;6324,91x x yy7．解不等式.1123log 21<--xx8.解方程组⎩⎨⎧=-=+.0)sin(,0)sin(y x y x 9.解不等式.01||22622≥+---x x x x10.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+3421sin sin 22πy x y x 三．证明1．已知,1),(=y x 求证1),(=-+y x y x 或2. 2．求证函数1122+-+++=x x x x y 当0=x 时取最小值2.3．已知,,N n m ∈且3≥≥m n ，求证 .)1(mmn n m +>⋅ 4．已知对任意的自然数0,>n a n ，且∑∑===nj nj j ja a1213)(，求证.n a n =5．已知q p ,都是素数，5>>q p ，求证 .24044q p -6．证明：在)(22N n nn∈⨯个相等的小方格组成的棋盘上，任意挖去一个小方格后，总可以用由这个3个小方格构成的L 形块恰好铺满.7．设q p ,是相异素数，求证 111≡+--p q q p （pq mod ）.8．证明函数3311-++=x x y 是代数函数.9．求证：).11(2131211-+>++++n n)(N n ∈10．证明：如果r b a +是二次以上有理系数方程0)(=x f 的一个根，r b a ,,都是有理数，并且r b ,0≠ 是无理数，那么r b a -也是0)(=x f 的根.11．设n a a a ,,,21 是相异的正整数，求证.121122221n n a a a n +++≥+++12．求证：方程0)(23=+++=d cx bx ax x f 的一个根和另一个根的绝对值相等，符号相反的条件是bc ad =（0≠a ）.13．设n n b b b a a a ≤≤≤<>≥≥≥ 21210,0，求证nn n n b b b a a a n b a b a b a ++++++≥++ 21212211)(14．设P 是ABC ∆内一点，321,,r r r 分别是P 到三边321,,a a a 的距离，R 表示ABC ∆ 外接圆半径，证明：.)(2121232221321a a a R r r r ++≤++15.证明：用为3分和5分的邮票可以支付任何n （n 是大于7的自然数）分的邮资。

初等数学研究作业

10、解下列无理方程。

（1）236x x ++=（2）2660x x --+=（3=（4=（1）（1）236x x ++=解：令232(0)t x x t =+-≥则则方程转化为26t ++=即40t +=1)0=4=-所以1t =，将1t =代回232t x x =+-中，解得32x =-±（2）2660x x --+=解：设y =22320y xy x --=解得32y x =-或y x =当32y x =-时，2x =-两边同时平方得：2518180x x --= 解得95x ±=当y x =x =两边同时平方得：2222x x x --= 解得1x =-经检验，1x =-，x =所以原方程的解为x =（3=解：两边平方得5327x x x ++++=+整理得 1=-即 12=-012=-矛盾，即该题无解（4=解：原式1=422x ----22=-+0=20、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。

要使这两个正方形的面积之和等于17 2cm ，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？解：设其中一个正方形的边长为x cm,则另一个正方形的边长为(5)x -cm ，依题意得：22(5)17x x +-=整理得，2540x x -+=即(4)(1)0x x --=解得121,4x x ==所以1×4=4 （cm ）, 20-4=16（cm ）答：这段铁丝剪成两段后的长度分别为4cm 和16cm 。

21、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出(35010)a -件，但物价局定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解：依题意得：(21)(35010)400a a --=整理得，2567750a a -+=解得 1225,31a a ==∵21120%25.2⨯+=（）∴231a =不符合题意，舍去即350103*********a -=-⨯=（件）答：需要进货100件，每件商品应定价25元。

《初等代数研究》试卷(A)和试卷(B)

铜仁学院2008级数学本科班《初等代数研究》期末考试卷（A ）一，填空题：每题4分，共40分1、已知实数y x ,满足1≤+≤22y x 4，则22y xy x u ++=的最大值是2、方程22)6(117236-=-+-x x x 的解是3、函数的值域是x x y -+=14、设=+=++141421,01xx x x 则5、设=⨯=+=+n n n n a a a a 则通项,23,0116、方程 012sin 22=+-xx x π的所有实数根是7,的值域是则是实数已知2222,3,,y xy x z y xy x y x +-==++8,已知数列{n a }的前n 项之和n S 满足11log 2+=+n S n ,则通项n a =9，若恒成立，则是正数，且y x a y x y x a +≤+,,的最小值为a10,若且R p ∈p x x p x p +>++<2222log 21log log ,2）不等式（恒成立，则实数x 的取值范围是二、解答题（每题10分，共70分）班级________________ 姓名1，设,,+∈N b a 证明：2在a b 与ba b a ++2之间。

2，⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+x y xy x x 100lg8lg 268)(lg 42解方程组3，已知.2,,=++∈+c b a R c b a 且（1）求证：;964)2(≤-a a （2）求S=的最大值。

333222c b a c b a ---++4考虑以下数列｛n a ｝,*∈N n(1) n a =1ln)3(;12)2(;12+=+=++n n a n a n n n n . 其中满足性质“对任意的正整数都成立122,++≤+n nn a a a n ”的数列有_____（写出所有满足条件的序号）；若数列｛n a ｝满足上述性质，且,11=a ,5820=a 求10a 的最小值5已知()()().111,,,,2≤≤≤-+=++=x f x b ax x g c bx ax x f c b a 时，当是实数，函数（1），证明：当1≤c（2），证明：当.2)(11≤≤≤-x g x 时，（3），当).(2)(11,0x f x g x a ，求的最大值为时，≤≤-> 、6，已知函数[]且同时满足，的定义域为,10)(x f ①，对任意[];2)(1,0≥∈x f x 总有 ②，;3)1(=f③，若2)()()(1.0,021212121-+=+≤+≥≥x f x f x x f x x x x ，则有且（1），求的值；)0(f （2），试求的最大值；)(x f（3），设数列｛n a ｝的前n 项和为n S ，满足,11=a n S +∈--=N n a n ),3(21。

初等代数研究练习题

1. 设复数z 1,z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1=2+i, 则z 1z 2= ( )A. -5B. 5C.-4+iD.-4-i2．a|b 表示（）A. a ÷b B .a b C. a 整除b D .b a 3. 2+= ( )A. 1B. 2C. 3D.04. 以下哪个为Q 的零元？ ( )A.[1,0]B.[0,1]C.[1,1]D.[0,0]5. 下列集合中是无限集的为（）A.{x |(x −1)(x −4)=0}B.{100以内的正偶数}C.{一年内有30天的月份}D.{奇数}6. 设复数z 满足(1+i )z =2i , 则|z |= ( )A.12B.√2 2C.√2D.27.整数[a,b ]的负元是（）A. [a,b ]B.[b,a ]C.1[a,b ] D.−[b,a ]8. 如果有限集A 和B 的基数分别是 a 和 b ，则A~B 时有（）A. a =bB. a >bC. a <bD. a 与 b 无关系9.已知函数f (x )的定义域为(−1，0)，则函数f (2x +1)的定义域为（）A.(-1,1)B.(-1,-12)C.(-1,0)D.(12,1) 10.两个整数[a,b ]=[c,d ], 当且仅当（）A. a +d =b +cB. a +b =d +cC.ab =cdD.ad =bc二、填空题（每空1分，共10分）1. (1+i )(1−i )=________2.数系扩充的方法有：_______和_________3.函数的三要素是____、______、________.4.两个有理数[a,b ]=[c,d ]当且仅当______.5.对任意的有理数[a,b ],[a,b ]+[0,1]=________.6.设f(x)=1122+-x x ,则f (2)=________,f (−2)=_________. 三、判断题（每题2分，共10分）1.√3x 2+2x 是对于字母x 而言的是有理式. ( )2.若b |a,a |b,则a =±b . ( )3.运用数学归纳法时命题p (n )的取的第一个值不一定是1.（）4.正实数和负实数构成实数集. ( )5. y =x 与y =x 2x 是同一个函数 . ( )四、简答题（每题3分，共12分）1. 数系扩展的最主要目的是什么？2. 简述有理数的稠密性。

初等代数研究练习题

写出该问题的所有基阵与基本解，并判断是否是基本可行解。
初等代数研究练习题答案一、填空题
1 3 4 x2 3x 3 1 a ab 3、 4、1 2 ab
1、 f ( x )
2、
( x 1) 2( x 1)
3
2
3( x 1) 4
5、（1）90；（2）15 8、最大值
min S 2 x1 3x 2 x3 x1 x 2 2 x3 8 2 x1 x 2 3x3 20 x1 x 2 2 x3 2
x1 0, x2 0, x3 无非负限制
2、如果某线性规划问题的约束方程组为
x1 - x2 + x3 =4
x1 - x2 +3 x3 =8
x3 =2
于是得基本解 X
( 2)
0 2 2
因为-2 0，所以它不是基本可行解
7
1、设
tan 2, 求 sin
2 cos 得值 sin cos
3
2、计算 cos[ 3、解方程
1 3 arc cot( )] 的值。 2 4
x
2
3x 4 2 x 1 1
4、设正方形 ABCD 的边长为 1，P、Q 分别为边 AB、AD 上的一点，如图，若△APQ 的周长为 2，求∠ PCQ。 5、设正方体 ABCD—A1B1C1D1 的边长为 a，试求 B 到平面 AB1C 的距离。 maxS=80 x1 +45 x2 20 x1 +5 x2 400 15 x1 +10 x2 450
初等代数研究练习题一、填空题 1、已知三次多项式 f(x)在 x=-1,0,1,2 时函数值分别为 1,2,3,2,则 f(x)= 2、多项式 3、已知 4、。。。。

初等数学研究期末复习：解答题doc

初等数学研究期末复习题：解答题代数部分1．已知函数f (n )的定义域和值域都是N ，且(1)f (2)=2；(2)对m 、n ∈N ，有f (mn )=f (m )f (n )；(3)m >n ⇒f (m ) >f (n )．求证：对任意n ∈N ，有f (n )= n ．2．用跳跃归纳法证明：任一正方形可剖分成个数多于5个的正方形．3．对任意自然数n ，设sincosnnnρθθ=+，若1sin cos ρθθ=+是有理数，试证n ρ是有理数．4．证明：当n >2时，n 与n !之间至少存在一个质数．5．设a 、b ∈Z ，证明：在a ，b ，a +b ，a －b 中必有一个是3的倍数．6．已知,k n N∈，n a 表示12kkkn++⋅⋅⋅+的个位数字，求证：120.n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是有理数．7．证明：实数集是不可数集． 8．设α是无理数，求证：3(1)α+与3(1)α-不能同为有理数．9．设(1)n N n ∈>，求证：111s in 2n n k k nnπ--==∏．10．已知cos cos cos sin sin sin 0αβγαβγ++=++=，求证：co s 2co s 2co s 2sin 2sin 2sin 20αβγαβγ++=++=．11．圆内接六边形ABCDEF 的三条边AB ，CD ，EF ，都等于该圆的半径，求证：另三边BC ，DE ，F A 的中点P ，Q ，R 构成一个正三角形．12．设1z i +≤，求z和arg z 的最大值与最小值．13．已知,,a b c R∈且0a b c ++=，求证：555222333523abcabcab c ++++++=．14．分解因式：5555()x y z xyz++---．15．已知(),(),(),()F x P x Q x R x 和()S x 都是多项式，且432()1F x xx xx =++++，5525()()()()()P x x Q x x R x F x S x ++=⋅，求证：1x-是(),(),(),()F x P x Q x R x 和()S x 的一个公因式．16．确定正整数k 值，使432()22f x xx k xk x =--+-能分解成整系数因式．17．已知a b c b cc aa b++=---，求证：222()()()a bc b c c a a b ++=---．18．已知1xyz=，2xy z ++=，22216xyz++=，求111222x y zy z xz x y+++++的值．1920．已知1224lo g 18,lo g54ab ==，求证：5()1a b a b +-=．21．实数,x y 满足2220xy x +-=，求22xy-的值域．22．求下列函数的值域：(1)yx =-(2)y=23．求函数22331221x x yxx ++=++的值域．24．证明sin cos y x x=+的最小正周期是2π．25．证明2sin yx=不是周期函数．26．证明：函数sin y x=是超越函数．27．已知()(y f x x =∈R )的图像关于点0(,)a y 和直线()xb a b =≠都对称，求证：()f x 是周期函数．28．求函数229(,)()f m n m n n =-+⎛⎫⎪⎝⎭的最小值．29．解方程：222916(3)xxx +=-．30．解方程：2660x x ---=．31(x a +=∈R )．32．解方程：3233110x x x --+=．33．解方程：3120x x --=．34．解方程：432420x x xx +---=．35．解方程：7654322513135210xxx x x x x +----++=．36．解方程组3355x yy x ==⎧⎨⎩．37．解方程组123x x y y y y z z z zx x ++=++=++=⎧⎪⎨⎪⎩．. 38．解方程组222333333x y z x y z x y z ++=++=++=⎧⎪⎨⎪⎩．39．已知：22221,1(,,,,,2)a b kab c dkcd a b c d k R k +-=+-=∈<，求证：2a c b d -≤．40．已知01(1,2,,)i x i n ≤≤=⋅⋅⋅，121nSx x x =+++⋅⋅⋅+，求证：121212(1)(1)(1)1nn nx x x x x x S x S x S x ++⋅⋅⋅++--⋅⋅⋅-≤---．41．已知0(1,2,,)i x i n >=⋅⋅⋅，求证：12121212()nnx x x x x x nnn x x x x x x ++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅．42．设,,0x y z ≥且1x y z ++=，求证：7227y z zx x y x y z ++-≤．43．解关于x 的不等式组：22(1)020x a x a x -++>-<⎧⎨⎩．441<+．45．解关于x 的不等式：2x a x ++<．46．已知数列{}n a 的前n 项和(1033)2n n n S -=，(1)求通项n a ；(2)求n S 的最大值．47．求和231234122222nn nnn S -+=+++⋅⋅⋅++．48．已知数列{}n a 中，设10a =，121n n n a a nn++=+，求通项公式n a ．49．已知数列{}n a 中，11a =，21a =，12n n n a a a --=+(3)n ≥，求通项公式na ．50．已知数列{}n a 中，11a =,27a =，且124461nn n a a a n --=-++，求通项公式n a ．几何部分1．已知：在⊿ABC 中，BE 平分∠ABC 而交AC 边于E ，CF 平分∠ACB 而交AB 边于F ，且BE =CF ．求证：AB =AC ．2．设E 是正方形ABCD 内一点，且∠ECD =∠EDC =15°．求证：⊿EAB 是正三角形． 3．AD 是⊙ABC 的直径，过点D 作圆的切线，交CB 的延长线于P ，连PO 并延长交AB 、AC 于M 、N ．求证：OM =ON ．4．设AB 是⊙O 的弦，M 是AB 的中点，过M 任作两弦CD 、EF ，记P 、Q 依次为AB 与CF 、ED 的交点．求证：PM =MQ ．5．在锐角⊿ABC 中，过各顶点作其外接圆的切线，A 、C 处的两切线分别交B 处的切线于M 、N ，BD ⊥AC 于D ．求证：BD 平分∠MDN ．6．已知：AD 是⊿ABC 的高，P 是AD 上任一点，直线BP 、CP 分别交AC 、AB 于E 、F ．求证：DA 平分∠EDF ．7．在⊿ABC 中，AB =AC ，D 是BC 上的一点，E 是AD 上的一点，且∠BED =2∠CED =∠A ．求证：BD =2CD ．8．在⊿ABC 中，若D 、E 在BC 上，且∠BAD =∠CAE ．求证：22B E A B E CB D CD CA ⋅=．9．已知：正⊿ABC 的边长为1，等腰DBC 的顶角∠BDC =120°，以D 为顶点任作一个60°的角，角的两边分别交AB 、AC 于M 、N ，连MN ．求证：⊿AMN 的周长等于2．10．已知：R 、r 分别是⊿ABC 的外接圆和内切圆的半径，I 是内心，AI 的延长线交外接圆于D ．求证：2AI ID Rr ⋅=．11．菱形ABCD 的内切圆切各边于E 、F 、G 、H ，在弧EF 与弧GH 上分别作此圆的切线交AB 于M ，交BC 于N ，交CD 于P ，交DA 于Q ．求证：MQ //NP ．12．在⊿ABC 中，已知AB =AC ，AD 、BE 是高，且交于H ，E F ⊥BC 于F ，M 是AH 的中点，延长AD 到G ，使DG =EF ．求证：BM ⊥BG ．13．已知：⊿ABC 内接于⊙O ，L 、M 和N 分别为弧BC 、弧CA 和弧AB 的中点，连结NM 、LM 分别交AB 、BC 于D 、E ，I 是⊿ABC 的内心．求证：D 、I 、E 三点共线．14．由圆内接四边形各边中点向对边引垂线，证明这四垂线共点．15．证明：三角形三边的中点，三高之足，垂心与各顶点所连线段的中点，这九点共圆．16．已知⊿ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，三条内角平分线长分别为a b c t t t 、、，求证：()2a b c t t t a b c ++≤++．17．已知⊿ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，面积为S ．求证：222222()()()abca b b c c a ++≥+-+-+-．18．在四边形ABCD 中，⊿ABD 、⊿BCD 、⊿ABC 的面积比是3︰4︰1，点M 、N 分别在线段AC 、CD 上，且B 、M 、N 三点共线，AM ︰AC =CN ︰CD ．求证：M 、N 分别是AC 、CD 的中点． 19．已知四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于其内一点，且OA =OC ，OD =3OB ，在AC 、CD 上各取一点M 、N ，使AM ︰AC =CN ︰CD =︰3．求证：B 、M 、N 三点共线．20．P 为⊿ABC 的BC 边上任一点，作PE //AB 交AC 于E ，PF //AC 交AB 于F ，设1A B CS =．求证：B P F C P E A F P E S S S 、、至少有一个不小于49．21．已知凸五边形ABCDE 中，每一顶点与其相邻的两顶点所成的三角形的面积都是1．求A B C D E S ．22．⊿PQR 与⊿P ′Q ′R ′是两个全等的正三角形，六边形ABCDEF 是它们的公共部分，若记AB =a 1，BC =b 1，CD = a 2，DE = b 2，EF = a 3，F A = b 3．求证：222222123123a a ab b b ++=++．23．设I 是⊿ABC 的内心，AI 、BI 、CI 分别交对边于A ′、B ′、C ′，记12Aα=∠，12Bβ=∠，12Cγ=∠．求证：(1)1(1ta n ta n )2A I A A βγ=+'，1(1ta n ta n )2B I B B γα=+'，1(1ta n ta n )2C I C C αβ=+'；(2)18427A IB IC I A A B B C C ⋅⋅<≤'''⋅⋅．24．证明：任意四边形的面积不大于对边乘积之和的一半．25．设一直角∠MON ，试在OM 、ON 边上及角内各求一点A 、B 、C ，使得BC +CA =l (定长)，且四边形ACBO 的面积最大．26．已知点A 为平面上两半径不等的⊙O 1 和⊙O 2的一个交点，外公切线P 1P 2的切点P 1、P 2，另一条外公切线Q 1Q 2的切点Q 1、Q 2，M 1、M 2分别为P 1Q 1、P 2Q 2的中点．求证： ∠O 1A O 2=∠M 1A M 2．27．在等腰⊿ABC 中，顶角∠ACB =80°，过A 、B 引两直线在⊿ABC 内交于一点O ，若∠OAB =10°，∠ABO =20°．求证：∠ACO =60°．28．设E 、F 分别是⊿ABC 的AB 、AC 上的点，BE =CF ．求证：EF <BC ．29．设P 是平行四边形ABCD 内一点，使∠P AB =∠PCB ．求证：∠PBA =∠PDA ． 30．在⊿ABC 中，点D 是AB 的中点，E 、F 分别在边AC 、BC 上，证明：⊿DEF 的面积不大于⊿ADE 与⊿BDF 的面积之和．31．四边形ABCD 内接于圆，另一直径在AB 上的半圆与其他三边都相切．求证： A D B C A B +=．32．设P 是正⊿ABC 内任一点，且P A a =，P B b =，P C c =，试用a 、b 、c 表示⊿ABC 的面积．33．求证：三角形的外心、垂心、重心共线．34．三个全等的圆有一个公共点O ，且都在一个已知三角形内，每一个圆都与三角形的两边相切．求证：这个三角形的内心、外心与点O 共线．35．已知四边形ABCD 的任一组对角之和为θ．求证：222()()()2c o s A C B D A B C D A D B C A B B C C D A D θ⋅=⋅+⋅-⋅⋅⋅．。

初等代数研究课后习题完整版_余元希

初等代数研究课后习题完整版（1）对任何a,b N，当且仅当a b时，b a.（2））对任何a,bN，在a b，a b，a b 中有且只有一个成立证明：对任何a,bN，设A a，Bb（1）a ” a b，则B, B,使A~ B,， B B,~ A,b aa ”b a，则B, B ,使B,~A ，A~ B,B , a b综上对任何a,b N ，a b ba（2）由（1）a b ba a b与a 1 b 不可能同时成立，假设a b与ab 同时成立，则B,B,使A~ B,且A~ B，1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即B ~ B,与B为有限集矛盾, a b与a b不可能同时成立,综上，对任何a,b N ，在a b，a b，a b 中有且只有一个成立2、证明自然数的加法满足交换律先证a 11 a，设满足此式的 a 组成集合k，显然有1+1=1+1 成立1k ，设a k ，a 1 1 a，则a1 (a ) (a 1) (1 a)1aak ，kN，取定a ，则1 M ，设 b M,a b b a，则a b (a b) (b a) b abM IMN对任何a,b N，a b b a证明：对任何a,b N设M为使等式abb a 成立的所有 b 组成的集合3、证明自然数的乘法是唯一存在的证明：唯一性：取定a ，反证：假设至少有两个对应关系f,g，对b N，有f（b）, g（b） N，设M是由使f （b） g（b）成立的所有的b组成的集合,f (b) g(b) a 1 1 M 设b N 则f (b) g(b) f (b) a g(b) af(b ) g(b )，b M ，M N 即b N，f(b) g(b)乘法是唯一的存在性：设乘法存在的所有 a 组成集合K 当a 1时， b N ,11 1,1 b b b即乘法存在A 2,A 2A3A3,As AA74,A5基数和为23 34 35 28p24— 6、证明：A a,B b ， A 中的x 与B 中的 y 对应A B ab ， B A ba abA B abA BA BB Ap24— &证明： 1) 3+4=73 13 4 3 2 3 1 (3 1) 453 33 2 (3 2) 5 63 43 3(3 3)672)3 4123 1 33 2 3 1 3 1 3 63 3 3 23 2 3 93 43 3 3 3 3 12p24—12、证明:1)(mn )mnA 5(m n )m n 1 (m 1) n有a, b 与它对应,ab aba ，对b N ，令a b ab bab ab(ab a bb) (a 1)，设 a K ,p24— 5、解：满足条件的A 有 A {1,2}，A 2 {1,2,3}，A {1,2,4}，A {125} {1,2,3, 4}，A{123,5}，A {1,2,4,5}，A {1,2,3,4,5}2) (mn ) nm m(mn ) mn 1 mn (m 1) nm mp26—36、已知f(m, n)对任何m,n N满足f(1,n) n 1f(m 1,1) f(m,2)f(m 1,n 1) f (m, f (m 1,n))求证：f(2,n) n21 )2)f(3,n) 2n 23)f(4,n) 2n 12证n 1 时，f(2,1) f(1 1,1) f(1,2) 2 1 1 2明：1)当结论成立，假设n k时，结论成立，即f (2, k) k 2 ,当n k 1时，f(2,k 1) f(1 1,k 1) f(1,f(2,k))f(1,k 2) (k 2) 1 (k 1) 2 所以对一切自然数结论都成立2)当n 1时，f(3,n) f(2 1,n) f(2,2) 2 2 2 1 2结论成立假设n k时，结论成立，即f(3,k) 2k 2当n k 1 时，f(3,k 1) f(2 1,k 1) f(2, f(3,k))f (2,2k 2) 2k 2 2 2(k 1) 2所以对一切自然数结论都成立3)当n 1 时，f(4,1) f(3 1,1) f (3,2) 2 2 2 21 1 2 结论成立假设n k时，结论成立，即k1f (4,k) 2k 1 2当n k 1 时，f(4,k 1) f (3, f (4, k)) f (3,2k 12)2(2k 12) 2 2k 22所以对一切自然数结论都成立p62 —1、证明定理2.1证明： [ a, b],[ c,d] Z ，[a,b] [c,d] [a c,b d] 因为自然数加法满足交换律 [a c,b d] [c a, d b] 而[c,d] [a,b] [c a,d b] [a,b] [c,d][c,d] [a,b]证明：“ ”已知[a,b] [c,d]则 a d b c[a,b] [c,d] [a d,b c] [1,1]“ ”已知[a,b] [c,d][1,1]则[a d,b c] [1,1], a d b c[a,b] [c,d]p62—4、已知 a,b N ，求证([a, b])[a,b]证明： [a,b][b,a]( [a,b])[b,a][a,b] p62—5、已知[a,b],[c, d] Z ，求证([a,b] [c, d])[a,b] [c,d]证明：左边 ([a,b] [c,d])[a d,b c] [b c,a d]右边 [a,b] [c,d] [b,a] [c,d] [b c,a d] 所以左边等于右边 ([a,b] [c,d]) [a,b] [c,d]p62—7、已知a,b,c N ，求证当且仅当 a d b c 时[a,b] [c,d]证明：“ ” 已知 a d b c ， [a,b] [c,d] [a d,b c]因为 a d b c [a d,b c] 是负数， [a,b][c,d]已知[a,b][c,d]则[a,b] [c,d] [a d,b c]因为 [ a d ,b c] 是负数， a d b c[a,b],[c,d],[ e, f] Z ， [a,b] [c,d] [e, f] [a c,b d]以为自然数满足加法结合律 ([a,b] 即整数加法满足交换律和结合律p62—2、已知[a,b],[c, d] Z ，求证[a, b] [e, f] [(a c) e,(b d) f ] [c,d]) [e, f] [a,b] ([c,d] [e, f])[c, d ]的充要条件是 [a,b] [c,d][1,1]p62—9、已知Z，求证：1) ,2) II 证明：设[a,b], [Gd][a c,b d] (a c) (b d)(a c) ac bd a b,(b d)(a b) (c d)[ac(ad I I bd, ad bc] ac bd (ad bc) a(c d) b(d c) b)(c d)p63—12、n名棋手每两个比赛一次，没有平局，若第k名胜负的次数各为a k,b k，、 2 2k 1,2, .......... , n ,求证：a1 a2 a2b1证明：对于a k(k 1,2,..., n)，必存在一个b j( j 1,2,..., n)使得a k b ja：b2(k, j 2 2 a?bf ...b np63—16、已知p 10a p 10c d，求证p ad bc证明：由已知: s,t Z 使10a b ps，10c d pt10a ps, d 10c ptad bc 10ac apt (10ac cps) p(cs at)p ad bcp63—17、设2不整除a，求证8 a21证明：因为2不整除a，所以存在唯一一对q, r Z，使a 2q r，其中0 r 2 r 1，a2 4q2 4q 1 a24q(q 1) 8 a21p63—20、设a Z ，求证a(a 1)(a 2)(a 3) 1是奇数的平方证明:(a 1)(a 2) 1肯定为奇数p63— 22、证明：前n 个自然数之和的个位数码不能是2、4、7、9证明：前n 个自然数的和为° n)n2因为：n 个自然数的和仍为自然数 1+n 与n 中必定一个为奇数一个为偶数若个位数码为2则1+n 与n 的个位数码只能是 1,4或4,1 而(1+n ) - n=1 个位数码不能为 2 若个位数码为4则1+n 与n 的个位数码只能是 1,8或8,1也不可能成立若个位数码为7 则1+n 与n 的个位数码有2种可能，则2,7或1,14 也不可能成立，若个位数码为9则1+n 与n 的个位数码有2种可能，即2,9或1,18 也不可能成立，综上，前n 个自然数和的个位数码不能是2,4,7,9p63—26、证明 2.3定理 1( a 1,a 2,……a.,) =( a 1 , a 2 ,……a n )证明：因为：(a 1,a 2,……a“)是印^,……a n 的公因数中的最大数所以R 需考虑非负整数(a 1, a 2, ..... a n ,) = ( a 1 , a 2 , ......... a n )p63—29、证明2.3定理4的推论(a,b)1的充要条件是有 x, y Z 使得ax by 1 证明：因为(a,b) 1a, b 不全为0“ ” 由定理4 x, y Z 使 ax by (a, b) 1“ ”设(a,b)d 则 d a,d b , d ax by d 1d (a,b)1p63— 30、证明2.3定理6及其推论。

(完整版)初等数学研究(补充版)

初等数学研究1.（P383例4）在△ABC 中,∠C=90°，∠A=30°，在△ABC 的外侧分别以AB 、AC 为一边作正△ABE,正△ACD,如图,连接DE 交AB 于F.求证：EF=FD 。

证明：作EH ⊥AB 交AB 于H 点。

∵∠CAD=60°，∠BAC=30° ∴∠EHF=∠DAF=90° 设BC=a ，则AC=EH=3a又∵∠EFH=∠DFA （对顶角） ∴△EFH ≌△DFA （AAS) ∴EF=FD2.(P395例6)已知设H 是△ABC 的垂心，O 是外心。

OD ⊥BC 于D 。

如图,求证：AH=2OD 。

证明:取AB 、H 的中点M 、N ，连接OM ，MN,DN则MN ∥AH ∥OD ND ∥CH ∥OM ∴四边形MNDO 是平行四边形。

∴OD=MN=12AH即AH=2OD 3。

（P423例21)在△ABC 的三边AB 、BC 、和CA 上分别取点M 、K 和L ，使MK ∥AC ，ML ∥BC;设BL 、MK 交于P ，AK 、ML 交于Q 。

如图，求证：PQ ∥AB 。

证明:∵ML ∥BC MK ∥AC ∴KP BP PMPL= BM KQ MAQA= BP BM PL MA=∴KP BP BM KQPM PL MA QA===因此PQ ∥AM 即PQ ∥AB4。

(P430例26）设A 、B 为平面上的二定点，C 为平面位于直线AB 同侧的一动点,各以AC 、AB 为边，在△ABC 之外作正方形CADI 、CBEJ,如图。

求证：无论C 点取在直线AB 同侧的任何位置，DE 的中点M 的位置不变。

证明:自D 、E 、C 和M 分别作AB 的垂线，设其垂足依次为G 、H 、K 和N.∵AD=AC ∠1=∠2 ∠CKA=∠AGD=90° ∴△ADG ≌△CAK （AAS ） ∴AG=CK DG=AK同理: CK=BH EH=BK ∴AG=BH∵N 平方HG （MN 是梯形中位线) ∴N 平分AB∵EH+DG=BK+AK=AB∴MN=12(EH+DG ）=12AB又∵MN ⊥AB ∴DE 的中点M 是定点.5.（P437例28)在任一三角形中，外心、垂心和重心共线. 证明：∵G 为三角形重心 ∴AG=2DG又由P395例6知AH=2DO 又∵OD ∥AH∴∠1=∠2∴△DOG ∽△AHG ∴∠OGD=∠HGA∴H 、G 、O 三点共线 6。

(完整版)代数的初步认识练习题

(完整版)代数的初步认识练习题代数的初步认识练题1. 简答题1. 什么是代数？代数是研究数学结构和运算符号的一种数学分支，包括数与代数运算（加、减、乘、除），代数方程和代数函数等。

2. 代数中的常见符号有哪些？代数中常见的符号有：数字（0、1、2、...）、运算符号（+、-、×、÷）、等号（=）、未知数（x、y、z）、代数变量（a、b、c）等。

3. 什么是方程？方程是一种陈述式，它表达了两个表达式相等的关系。

方程通常包含未知数，并通过解方程得到未知数的值。

4. 解方程的步骤是什么？解方程的步骤一般为：- 通过合并同类项化简方程；- 移项，将未知数移到一个方程的一边；- 使用逆运算消去系数；- 计算未知数的值。

2. 计算题1. 计算下列代数式的值：(2x + 3y) / (x + y)，已知 x = 5，y = 2。

将 x = 5，y = 2 代入代数式得：(2 x 5 + 3 x 2) / (5 + 2) = (10 + 6) / 7 = 16 / 7。

2. 解方程：2(x - 3) + 5 = 13。

将式子展开得：2x - 6 + 5 = 13，合并同类项得：2x - 1 = 13，移项得：2x = 14，解得：x = 7。

3. 解方程组：- 3x + 2y = 6- 4x - y = 10通过消元法可得：x = 2，y = 0。

4. 计算下列代数式的值：(a - 1)(a + 1)。

将式子展开得：a^2 - 1。

以上是代数的初步认识练题的解答。

参考资料- 《高中数学九年级上册》- 《高中数学九年级下册》。

数学系初等代数研究作业B

2012级初等代数选讲作业（11）一、选择题1、设全集U = {1，2，3，4，5}，集合A = {1，2，3}，B = {3，4，5}，则U (A ∩B ) 等于A ．{1，2，4，5}B ．{3}C ．{1，2，3，4，5}D ．∅2、sin120︒的值等于A ．21B ．－21C ．23D ．23- 3、函数2cosx y =，x ∈R 的最小正周期是 A ．2πB ．πC ．2πD ．4π4、下列函数中为偶函数的是A ．f (x ) = x 3B ．f (x ) = x 2 + 1C ．f (x ) = sin xD ．f (x ) = lg x5、58C 的值为A ．40B ．56C ．336D ．6720 6、若a ，b ∈R ，且a ＞b ，则下列结论成立的是A ．| a |＞| b |B ．a 3＞b 3C ．b a 11>D ．1>b a 7、sin cos 1212ππ的值为A ．0.5B ．22 C ．0.25 D ．42 8、等差数列－10，－6，－2，2，…的前n 项和为54，则n 的值为A ．9B ．10C ．11D ．129、命题p ：x = 1且y = 2，命题q ：(x －1)(y －2) = 0．则命题P 是命题q 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10、若x ＞0，则函数41y x x=++的最小值为A ．3B ．C ．5D ．611、四名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的1个运动队，则不同报名方法的种数是A ．34B ．43C ．34CD ．34A12、如图所示，当a ≠0时，函数y = ax + b 和y = a ax 的图象只可能是A ．B ．C ．D ．二、填空题1、星期一上午的四节课要安排语文、数学、英语、政治各一节，则不同的安排方法共有种 (用数字作答)．2、91x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 3 的系数是． 3、有4台设备，每台能正常工作的概率均为0.9，则4台中恰好有3台能正常工作的概率为． 4、已知函数⎩⎨⎧≥-<=4),1(,4,2)(x x f x x f x ，那么f (5)的值为．5、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于8分的取法有种 (用数字作答)．.______________________)01(12)(.7.______________________)(),0(.621的反函数是函数则已知函数≤≤--==≤--=-x x x f x fx x y 8、已知函数)2(log )(221++=kx x x f 的值域为R ，求k 的取值范围为三、解答题1、已知),223(,54cos ππαα∈=，试求下列各式的值：(1) cos2α；(2))4tan(πα+．2、已知等差数列{a n }中，a 2 + a 8 = 28，a 4 = 11．求：(1) 首项a 1和公差d ； (2) 该数列的前10项的和S 10的值．3、已知α，β 都是锐角，且tan α = 1，35tan =β，求sin(α +β ) 的值．4、已知函数x x x f cos 21sin 23)(-=，x ∈R ．求f (x )的最大值，并求使f (x )取得最大值时x 的集合．5、已知函数()x a f x bx c +=+的反函数是15()21x f x x --+=-，求常数,,a b c 的值6、4、设集合A={}0342<+-x x x ，B 是关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤++-≤+-05)7(20222x a x a x x 的解集，试确定a 的取值范围，使B A ⊆7、有一摊主在人流量最大的街道口设摊摸彩，其手中拿一布袋，内有且只有3个白球，3个红球，其形状、大小、质量都相同，每次让顾客从袋中摸出3个球．他规定，若摸得同一颜色球，摊主奖给摸球者5元；若摸得非同一颜色球，摸球者付给摊主1元钱．假定一天中有180人次摸球．试从概率的角度分析估算一下，这个摊主一个月(按30天计算)能赚多少钱？。

初中数学代数习题(含解答)

初中代数练习题(含解答)题目1.证明a ≤|a|2.证明a 2=|a|23.证明|−a|=|a|4.证明a 2=|a|5.若|a −b −c −d −4|+|b −c −d −3|+|c −d −2|+|d 2−1|=0,求a +b +c +d.6.证明||a|−|b||≤|a −b|7.证明(6,7学名：三角不等式)|a −b|≤|a|+|b|8.证明 |(x −1)2−|2x −x 2||≤19.求|x|+|x −1|+|x −2|+...+|x −2020| 的最小值即此时x 的值或范围10.求||x −1|−|x −2|+|x −3|−|x −4|+...−|x −2020||的最小值即此时x 取值范围.11.证明任何0.x 1x 2x 3...x k 即一个任意长度k 的以单循环结束的小数都可以写为一个分数p q12.证明任何即一个任意长度结束的小0.x 1x 2..(x m x m+1x m+2...x n )n 的以循环节x m x m+1x m+2...x n 数都可以写为一个分数. 综合11,12, 证明任何有理数都可以写为pq pq ，的形式(p,q 为整数且q ≠0)13.根据12的结论，可以证明为无理数:2.若分数如果2为有理数，那么2可以写作p q, p,q 为正整数且q ≠0,即2=p q2能写为那么一定能写成最简分数, 即互质。

两边同时平方得p,q 所以2=p 2q2→p 2=2q 2→p 2为偶数. 若p 为奇数，则p 2也是奇数。

所以p 只能是偶数.即同偶所以不是最简，矛p =2k →p 2=4k 2=2q 2→q 2=2k 2. 同理得q 为偶数.p,q pq 盾。

所以.2为无理数用类似的方法，试证明.3为无理数14.已知平方差公式可以通过如下方式推导:a 2−b 2=a 2−ab +ab −b 2=a(a −b)+b(a −b)=(a +b)(a −b)试用类似方法推导立方差公式:a 3−b 3=(a −b)(a 2+ab +b 2)15.证明立方差公式的右边的唯一解为.(a −b)(a 2+ab +b 2)=0a =b 16.11·2+12·3+...+12019·2020=?17.11+2+11+2+3+...+11+2+...+2020=?18.11·2·3+12·3·4+...+12018·2019·2020=?19.11·2·3+13·4·5+...+12017·2018·2019+12−13+14−...−12017+12018=?20.证明, 并说明等号成立条件. (学名：调和平均几何平均算21a+1b≤ab ≤a+b 2≤a 2+b 22≤≤术平均平方平均)≤21.若(3a −2b)x 2+(a +b−c)x +3=c +2, 求a +b +c.22.若,求证x >−1−3x−2x+1>−323.若, 求证(不要求二次函数)x <−12x 2−3x−2x+1<−724.是否存在一个函数：定义域为所有偶数，值域为所有奇数？并解释25.是否存在一个函数，定义域为所有整数，值域为所有正整数？并解释26.是否存在一个函数，定义域为所有正整数，值域为所有整数？并解释27.证明所有一次函数只有一个零点(和有且只有一个交点). （第一步：找出一个零点. 第x 轴二步: 如果为2个不同零点，证明)x 1, x 2x 1=x 228.求一次函数和两坐标轴构成的三角形面积（注意:为任意实数且)y =ax +b a,b a ≠029.求28中三角形的斜边长和斜边上的高长30.求和两坐标轴构成的图形面积y =2x −1, y =3x +1, y =−x +531.证明任何一次函数都可以写为的形式. (第一步: 把转化为ax +by +c =0y =kx +m 的形式. 第二步:把转化为的形式. 所以两ax +by +c =0ax +by +c =0y =kx +m 种表示法等价)32.由31，若和表示两个一次函数. 若两一次函数图a 1x +b 1y +c 1=0a 2x +b 2y +c 2=0像平行或重合，求关系. 若两一次函数图像垂直，求关系.a 1,b 1,a 2,b 2a 1,b 1,a 2,b 233.若方程组,无解，求需满足的条a 1x +b 1y +c 1=0a 2x +b 2y +c 2=0a 1,b 1,c 1,a 2,b 2,c 2件. 若,有无穷多个解，求需满足a 1x +b 1y +c 1=0a 2x +b 2y +c 2=0a 1,b 1,c 1,a 2,b 2,c 2的条件.34.解三元一次方程组3x +2y +z =1, 2x −y −z =2, 5x +7y −3z =−335.定义一个函数为增函数如果在定义域上函数值一直增加, 即对于任意定义域里的，y x 1,x 2如果,那么(或).例:为增函数，因为任取,x 1<x 2y 1<y 2y 2−y 1>0y =2x x 1<x 2. 同理,定义一个函数为减函数如果在定义域上函y 2−y 1=2x 2−2x 1=2(x 2−x 1)>0y 数值一直减小, 即对于任意定义域里的，如果,那么(或).x 1,x 2x 1<x 2y 1>y 2y 1−y 2>0例:为减函数，因为任取,y =−2x x 1<x 2y 1−y 2=(−2x 1)−.(−2x 2)=2(x 2−x 1)>0试证明：当，一次函数为增函数. 当，一次函数为减函k >0时y =kx k <0时y =kx 数。

(完整)初等代数研究试题

第【1】页共【6】页注意事项：● 适用学生：11级统招学生● 考试方式：开卷笔试● 考核时间：100分钟● 总分：100分一、选择题（总分10分，每题2分）１．若,012=++x x 则=+17171x x ( )A.1B. -1C. 2D.-2 ２．若215+=x ，则=++531x x x （）A. 215+B. 215- C. 215-- D. 215+-３．若518,9log 18==ba ．则=45log 36（） A.a ba -+2 B. ab a ++2 C. a b a --2 D. a ba +-2 ４．若0cos 2cos sin sin 6,222=-+<≤ααααππx ，则 =+αα2cos 2sin （）A.137-B.1312- C.135 D.137５．函数x x y -+=1的值域为（）A.[]2,1-B. []2,1C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,1 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,1第【2】页共【6】页二、填空题（总分20分，每空2分）1. 数系的扩展方式有和两种方式.2．如果()1,=b a ，则d by ax =+一定有；若()11,y x 是d by ax =+的特解，则d by ax =+的通解公式是．3．方程()0=+k y f 各根分别比方程()0=x f 的各根．4．y x +的互为有理化的因式为．5．把方程0104234=--++x x x x 的各个根变号，得到的方程为．6．若，则必存在整数y x ,，使d by ax =+．7．在实数集R 内，形如或的分式叫做基本真分式（或最简部分分式）．三、解答题（总分40分，每题8分）１．求不定方程71513=-y x 的通解公式．第【3】页共【6】页２．解方程组()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++=++.294,33,10x z z y y x zx yz xy z y x３．分解因式222255372z yz xz y xy x +--++．第【4】页共【6】页４．将229323+---x x x x 展开成部分分式．５．用综合除法分解()692323-+-=x x x x f 的因式．第【5】页共【6】页四、证明题（总分20分，每题10分）1．若333cz by ax ==，且1111=++zy x ，则 3333222c b a cz by ax ++=++．２．已知0,1=++=++z c y b x a c z b y a x ．求证：1222222=++cz b y a x ．第【6】页共【6】页五、应用题（总分10分，每题5分）1．（百马问题）一百马，一百瓦，大马驮五，中马驮三，两小马驮一瓦，最后不剩马和瓦，问大马、中马、小马各有几何？2．有一块正方形的钢板ABCD （如图），其中一个角有部分损坏( A 处阴影)，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH ，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，问应按怎样的角度x 来截？AB CDE F GH x。

初等代数研究课后习题答案完整版-余元希

初等代数研究课后习题完整版1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即（1）对任何N b a ∈,，当且仅当b a <时，a b >.（2））对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立.证明：对任何N b a ∈,，设a A ==，b B ==（1）“⇒” b a <，则B B ⊂∃,,使,~B A ，A B B ~,⊃∴,a b >∴“⇐” a b >，则B B ⊂∃,,使A B ~,，B B A ⊂∴,~,b a <∴综上对任何N b a ∈,，b a <⇔a b >（2）由（1）b a <⇔a b > b a <∴与b a >不可能同时成立，假设b a <∴与b a =同时成立，则B B ⊂∃,,使,~B A 且B A ~， ,~B B ∴与B 为有限集矛盾，b a <∴与b a =不可能同时成立，综上，对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立..2、证明自然数的加法满足交换律.证明：对任何N b a ∈,设M 为使等式a b b a +=+成立的所有b 组成的集合先证 a a +=+11，设满足此式的a 组成集合k ，显然有1+1=1+1成立φ≠∈∴k 1，设k a ∈，a a +=+11，则+++++++=+=+==+a a a a a 1)1()1()(1k a ∈∴+，N k =∴，取定a ，则1M φ∈≠，设,b M a b b a ∈+=+，则 ()()a b a bb a b a +++++=+=+=+ ,b M M N +∴∈∴= 对任何N b a ∈,，a b b a +=+3、证明自然数的乘法是唯一存在的证明：唯一性：取定a ，反证：假设至少有两个对应关系,f g ，对b N ∀∈，有(),()f b g b N ∈，设M 是由使()()f b g b =成立的所有的b 组成的集合，()()1f b g b a ==⋅ 1M φ∴∈≠ 设b N ∈则()()f b g b =()()f b a g b a ∴+=+ ()()f b g b ++∴=，b M +∴∈，M N ∴= 即b N ∀∈，()()f b g b =乘法是唯一的存在性：设乘法存在的所有a 组成集合K 当1a =时，b N ∀∈，111,1111b b b b ++⋅=⋅==+=⋅+ φ≠∈∴k 1，设a K ∈，b N ∀∈，有,a b 与它对应，且1a a ⋅=，ab ab a +=+，对b N ∀∈，令a b ab b +=+ 1111a a a a ++⋅=⋅+=+=1()(1)a b ab b ab a b ab b a a b a ++++++=+=+++=+++=+a K +∴∈ K N ∴= 即乘法存在p24—5、解：满足条件的A 有1{1,2}A =，2{1,2,3}A =，3{1,2,4}A =，4{1,2,5}A = 5{1,2,3,4}A =，6{1,2,3,5}A =，7{1,2,4,5}A =，8{1,2,3,4,5}A = 123456782,3,4,5A A A A A A A A ========∴========基数和为23343528+⨯+⨯+= p24—6、证明：,A a B b ==，A 中的x 与B 中的y 对应 A B ab ∴⨯=，B A ba ab ∴⨯==A B ab ⨯= A B A B B A∴⨯=⋅=⨯ p24—8、证明：1）3+4=73134++== 3231(31)4++++=+=+== 3332(32)56++++=+=+==3433(33)67++++=+=+==2）3412⋅=313⋅= 32313136+⋅=⋅=⋅+= 33323239+⋅=⋅=⋅+=343333312+⋅=⋅=⋅+=p24—12、证明：1）()m n m n +++++=+()1(1)m n m n m n m n +++++++=++=++=+2）()mn nm m +++=+ ()1(1)mn mn mn m nm m ++++=+=++=+p26—36、已知(,)f m n 对任何,m n N ∈满足(1,)1(1,1)(,2)(1,1)(,(1,))f n n f m f m f m n f m f m n =+⎧⎪+=⎨⎪++=+⎩求证：1）(2,)2f n n =+2）(3,)22f n n =+3）1(4,)22n f n +=-证明：1)当1n =时，(2,1)(11,1)(1,2)2112f f f =+==+=+结论成立，假设n k =时，结论成立，即(2,)2f k k =+，当1n k =+时，(2,1)(11,1)(1,(2,))(1,2)(2)1(1)2f k f k f f k f k k k +=++==+=++=++ 所以对一切自然数结论都成立2）当1n =时，(3,)(21,)(2,2)22212f n f n f =+==+=⋅+结论成立假设n k =时，结论成立，即(3,)22f k k =+当1n k =+时，(3,1)(21,1)(2,(3,))(2,22)2222(1)2f k f k f f k f k k k +=++==+=++=++ 所以对一切自然数结论都成立3）当1n =时，11(4,1)(31,1)(3,2)22222f f f +=+==⨯-=-结论成立假设n k =时，结论成立，即1(4,)22k f k +=- 当1n k =+时，112(4,1)(3,(4,))(3,22)2(22)222k k k f k f f k f ++++==-=-+=-所以对一切自然数结论都成立p62—1、证明定理2.1证明：[,],[,]a b c d Z ∀∈，[,][,][,]a b c d a c b d +=++因为自然数加法满足交换律[,][,]a c b d c a d b ∴++=++而[,][,][,]c d a b c a d b +=++[,][,][,][,]a b c d c d a b ∴+=+[,],[,],[,]a b c d e f Z ∀∈，[,][,][,][,][,][(),()]a b c d e f a c b d e f a c e b d f ++=+++=++++以为自然数满足加法结合律([,][,])[,][,]([,][,])a b c d e f a b c d e f ∴++=++ 即整数加法满足交换律和结合律p62—2、已知[,],[,]a b c d Z ∈，求证[,][,]a b c d =的充要条件是[,][,][1,1]a b c d -= 证明：“⇒” 已知[,][,]a b c d =则a d b c +=+[,][,][,][1,1]a b c d a d b c ∴-=++=“⇐” 已知[,][,][1,1]a b c d -=则[,][1,1]a d b c ++=，a d b c +=+ [,][,]a b c d ∴= p62—4、已知N b a ∈,，求证([,])[,]a b a b --=证明：[,][,]a b b a -= ([,])[,][,a b b a a b --=-= p62—5、已知[,],[,]a b c d Z ∈，求证([,][,])[,][,]a b c d a b c d --=-+证明：左边([,][,])[,][,]a b c d a d b c b c a d --=-++=++右边[,][,][,][,][,]a b c d b a c d b c a d -+=+=++所以左边等于右边([,][,])[,][,]a b c d a b c d ∴--=-+p62—7、已知,,a b c N ∈，求证当且仅当a d b c +<+时[,][,]a b c d <证明：“⇒” 已知a d b c +<+，[,][,][,]a b c d a d b c -=++因为 a d b c +<+ [,]a d b c ∴++是负数，[,][,]a b c d ∴<“⇐” 已知[,][,]a b c d <则[,][,][,]a b c d a d b c -=++因为[,]a d b c ++是负数，a d b c ∴+<+p62—9、已知,Z αβ∈，求证：1）αβαβ+≤+ ，2） αβαβ=证明：设[,],[,]a b c d αβ== 1）[,]a c b d αβ+=++ ()()a cb d αβ∴+=+-+ 而,a bcd αβ=-=-()()()()a c b d a b c d a b c d+-+=-+-≤-+- αβαβ∴+≤+2）[,]ac bd ad bc αβ=++ ()ac bd ad bc αβ∴=+-+而,a b c d αβ=-=-()()()()()ac bd ad bc a c d b d c a b c d a b c d +-+=-+-=--=-- αβαβ∴=p63—12、n 名棋手每两个比赛一次，没有平局，若第k 名胜负的次数各为,k k a b ，1,2,........,k n =，求证：2222221212......n n a a a b b b +++=+++ 证明：对于(1,2,...,)k a k n =，必存在一个(1,2,...,)j b j n =使得k j a b =⇒22(,1,2,...,)k j a b k j n == 222221212......n n a a a b b b ∴+++=+++ p63—16、已知10p a b -，10p c d -，求证p ad bc -证明：由已知：,s t Z ∃∈使10a b ps -=，10c d pt -=10,10b a ps d c pt =-=-10(10)()ad bc ac apt ac cps p cs at ∴-=---=-p ad bc ∴-p63—17、设2不整除a ，求证281a +证明：因为2不整除a ，所以存在唯一一对,q r Z ∈，使2a q r =+，其中02r <<1r =，22441a q q ∴=++214(1)a q q -=+ 281a ∴-p63—20、设a Z ∈，求证(1)(2)(3)1a a a a ++++是奇数的平方证明：22222(1)(2)(3)1[(1)1](1)[(2)(2)1]1[(1)(1)][(2)(2)]1(1)(2)2(1)(2)1[(1)(2)1]a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=+-+++++=+-+++++=++-+++=++- 1,2a a ++肯定一奇一偶(1)(2)a a ∴++肯定为偶数(1)(2)1a a ∴++-肯定为奇数p63—22、证明：前n 个自然数之和的个位数码不能是2、4、7、9证明：前n 个自然数的和为(1)2n n + 因为：n 个自然数的和仍为自然数1+n 与n 中必定一个为奇数一个为偶数若个位数码为2则1+n 与n 的个位数码只能是1,4或4,1而（1+n ）- n=1 ∴个位数码不能为2若个位数码为4则1+n 与n 的个位数码只能是1,8或8,1也不可能成立若个位数码为7则1+n 与n 的个位数码有2种可能，则2,7或1,14也不可能成立，若个位数码为9则1+n 与n 的个位数码有2种可能，即2,9或1,18也不可能成立，综上，前n 个自然数和的个位数码不能是2,4,7,9p63—26、证明2.3定理1（12,,......,n a a a ）=（12,,......n a a a ）证明：因为：（12,,......,n a a a ）是12,,......n a a a 的公因数中的最大数所以R 需考虑非负整数 ∴（12,,......,n a a a ）=（12,,......n a a a ） p63—29、证明2.3定理4的推论(,)1a b =的充要条件是有,x y Z ∈使得1ax by += 证明：因为(,)1a b = ,a b ∴不全为0“⇒” 由定理4 ,x y Z ∃∈使(,)1ax by a b +==“⇐” 设(,)a b d =则,d a d b ，d ax by ∴+ 1d ∴ (,)1d a b ∴== p63—30、证明2.3定理6及其推论。

中学代数研究试卷与答案

20 —20 学年上《初等代数研究》期末试卷Ａ答案及评分标准一、填空题（本大题共10题，每空3分，共30分）1、7[3,]3-； 2、2π； 3、41； 4、{}max ,αβ； 5、43； 61；7、3(3)29(3)65x x +-++； 8、10； 9、1x =； 10、0k <二、判断题（本大题共 4题，每题2分，共 8分）1、√；2、√；3、╳；4、√.三、单项选择题（选择正确答案的字母填入括号，本大题共 5题，每小题 2 分，共 10 分）1、Ｃ；2、Ｂ；3、Ｂ；4、Ａ；5、Ｄ.四、解答题（本大题共 7 题，第1－6小题每题 6分，第7小题8分，共 44 分）1、解：根据拉格朗日插值公式，有 (1)(1)(2)(1)(2)(1)(1)(2)(1)()3151(2)(3)1(1)(2)21(1)321x x x x x x x x x x x x f x +-+-++-++=--+-⋅-⋅-⋅-⋅-⋅⋅-⋅⋅—3分于是543643653654(4)3151(2)(3)1(1)(2)21(1)321f ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=--+-⋅--⋅--⋅⋅-⋅⋅ 303645300=--++279= ―――――――――――――――――――――――――――――3分2、解：因2232(2)()x xy y x y x y ++=++所以，可设2232453(2)()x xy y x y x y A x y B +++++=++++ ――――――2分又因22(2)()32()(2)x y A x y B x xy y A B x A B y AB ++++=+++++++于是有4,25,3A B A B AB +=+== ――――――――――――――――――2分解得3,1A B ==故2232453(23)(1)x xy y x y x y x y +++++=++++―――――――――――2分3、解：设log a b y =，据题意有 1103y y += ―――――――――――――――1分即231030y y -+=，解得13y =或3y = ―――――――――――――――――2分因1a b >>，所以log 1a b <，3y =不合题意――――――――――――――――1分于是1log 3a b =，log 3b a =，所以8log log 3a b b a -=-－――――――――――2分4、解：原方程可写为222(75)3(75)4x x x x ++=+++即 222(75)3(75)40x x x x ++-++-= ――――――――――――――――２分 22[(75)4][(75)1]0x x x x ++-+++=22(71)(76)0x x x x ++++= ――――――――――――――――――――2分 2(71)(1)(6)0x x x x ++++=所以原方程的解为：1,x =-- ―――――――――――――――2分5、解：因特征方程321x x x =-++有二重根121x x ==-，单根31x = ―――――――――――――――――2分所以通项公式为 123()(1)1n n n a c c n c =+⋅-+⋅－―――――――――――――1分代入初始条件得12311232123312201310c c c c c c c c c c c c +-=-=-⎧⎧⎪⎪++=⇒=⎨⎨⎪⎪+-==⎩⎩ ―――――――――――――――――――2分所以 (1)(2)n n a n =-- ――――――――――――――――――――――1分6、解：不等式可写为 122311()()22x x ++-< 因为函数1()()2uf u =是减函数，所以 1223x x ++-> ―――――――――――――――――――――2分（1）当12x <-时，不等式为(12)23x x -++->，得23x <-，于是，有23x <-；（2）当122x -≤<时，不等式为1223x x ++->，得0x >，于是，有02x <<；（3）当2x ≥时，不等式为1223x x ++->，得43x >，于是，有2x ≥；―――3分由（1）、（2）、（3）知，不等式的解集为：{}0x x x <->２３或 ――――――1分7、解：令1sin cos 4,3x y u v ==，则方程组变形为211522u v u v +=⎧⎨-=⎩ ――――――――――――――――――――――――――2分消去v ，得252240u u +-=，解得125u =-（舍），或2u = ―――――――――2分再由11v u =-，得9v =――――――――――――――――――――――――――1分从而 sin 1cos 1sin 422139cos 2x y x y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩―――――――――――――――――――――1分得方程组的解为(1)623k x n y m ππππ⎧=+-⋅⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩――――――――――――――――――――2分五、证明题（本大题共1题，总分8分）1、证明：（1）当4n =时，因为 (1)(2)1,(3)(2)(1)2,(4)(3)(1)3f f f f f f f f ===+==+=所以 3(4)f ，命题成立. ――――――――――――――――――――――――3分（2）假设当n k =时命题成立，即3()f k则当4n k =+时，因(4)(3)(2)f k f k f k +=+++2(2)(1)f k f k =+++2[(1)()](1)f k f k f k =++++3(1)2()f k f k =++ 由于33(1)f k +，再由假设，知3(4)f k +，命题成立.根据（1）、（2），当4n 时，3()f n ――――――――――――――――――――5分。

(完整版)初等代数研究课后习题答案

初等代数研究课后习题20071115033 数学院 07（1）杨明1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即（1）对任何N b a ∈,，当且仅当b a <时，a b >.（2））对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立.证明：对任何N b a ∈,，设a A ==，b B ==（1）“⇒” b a <，则B B ⊂∃,,使,~B A ，A B B ~,⊃∴,a b >∴“⇐” a b >，则B B ⊂∃,,使A B ~,，B B A ⊂∴,~,b a <∴综上对任何N b a ∈,，b a <⇔a b >（2）由（1）b a <⇔a b > b a <∴与b a >不可能同时成立，假设b a <∴与b a =同时成立，则B B ⊂∃,,使,~B A 且B A ~， ,~B B ∴与B 为有限集矛盾，b a <∴与b a =不可能同时成立，综上，对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立..2、证明自然数的加法满足交换律.证明：对任何N b a ∈,设M 为使等式a b b a +=+成立的所有b 组成的集合先证 a a +=+11，设满足此式的a 组成集合k ，显然有1+1=1+1成立φ≠∈∴k 1，设k a ∈，a a +=+11，则+++++++=+=+==+a a a a a 1)1()1()(1k a ∈∴+，N k =∴，取定a ，则1M φ∈≠，设,b M a b b a ∈+=+，则 ()()a b a b b a b a +++++=+=+=+ ,b M M N +∴∈∴= ∴ 对任何N b a ∈,，a b b a +=+3、证明自然数的乘法是唯一存在的证明：唯一性：取定a ，反证：假设至少有两个对应关系,f g ，对b N ∀∈，有 (),()f b g b N ∈，设M 是由使()()f b g b =成立的所有的b 组成的集合， ()()1f b g b a ==⋅ 1M φ∴∈≠ 设b N ∈则()()f b g b =()()f b a g b a ∴+=+ ()()f b g b ++∴=，b M +∴∈，M N ∴= 即b N ∀∈，()()f b g b =乘法是唯一的存在性：设乘法存在的所有a 组成集合K 当1a =时，b N ∀∈，111,1111b b b b ++⋅=⋅==+=⋅+ φ≠∈∴k 1，设a K ∈，b N ∀∈，有,a b 与它对应，且1a a ⋅=，ab ab a +=+，对b N ∀∈，令a b ab b +=+ 1111a a a a ++⋅=⋅+=+=1()(1)a b ab b ab a b ab b a a b a ++++++=+=+++=+++=+a K +∴∈ K N ∴= 即乘法存在p24—5、解：满足条件的A 有1{1,2}A =，2{1,2,3}A =，3{1,2,4}A =，4{1,2,5}A = 5{1,2,3,4}A =，6{1,2,3,5}A =，7{1,2,4,5}A =，8{1,2,3,4,5}A = 123456782,3,4,5A A A A A A A A ========∴========基数和为23343528+⨯+⨯+= p24—6、证明：,A a B b ==，A 中的x 与B 中的y 对应 A B ab ∴⨯=，B A ba ab ∴⨯==A B ab ⨯= A B A B B A ∴⨯=⋅=⨯p24—8、证明：1）3+4=73134++== 3231(31)45++++=+=+== 3332(32)56++++=+=+==3433(33)67++++=+=+==2）3412⋅= 313⋅= 32313136+⋅=⋅=⋅+=33323239+⋅=⋅=⋅+=343333312+⋅=⋅=⋅+=p24—12、证明：1）()m n m n +++++=+()1(1)m n m n m n m n +++++++=++=++=+2）()mn nm m +++=+ ()1(1)mn mn mn m nm m ++++=+=++=+p26—36、已知(,)f m n 对任何,m n N ∈满足(1,)1(1,1)(,2)(1,1)(,(1,))f n n f m f m f m n f m f m n =+⎧⎪+=⎨⎪++=+⎩求证：1）(2,)2f n n =+2）(3,)22f n n =+3）1(4,)22n f n +=-证明：1)当1n =时，(2,1)(11,1)(1,2)2112f f f =+==+=+结论成立，假设n k =时，结论成立，即(2,)2f k k =+，当1n k =+时，(2,1)(11,1)(1,(2,))(1,2)(2)1(1)2f k f k f f k f k k k +=++==+=++=++ 所以对一切自然数结论都成立2）当1n =时，(3,)(21,)(2,2)22212f n f n f =+==+=⋅+结论成立假设n k =时，结论成立，即(3,)22f k k =+当1n k =+时，(3,1)(21,1)(2,(3,))(2,22)2222(1)2f k f k f f k f k k k +=++==+=++=++所以对一切自然数结论都成立 3）当1n =时，11(4,1)(31,1)(3,2)22222f f f +=+==⨯-=-结论成立假设n k =时，结论成立，即1(4,)22k f k +=- 当1n k =+时，112(4,1)(3,(4,))(3,22)2(22)222k k k f k f f k f ++++==-=-+=-所以对一切自然数结论都成立p62—1、证明定理2.1证明：[,],[,]a b c d Z ∀∈，[,][,][,]a b c d a c b d +=++因为自然数加法满足交换律[,][,]a c b d c a d b ∴++=++而[,][,][,]c d a b c a d b +=++[,][,][,][,]a b c d c d a b ∴+=+[,],[,],[,]a b c d e f Z ∀∈，[,][,][,][,][,][(),()]a b c d e f a c b d e f a c e b d f ++=+++=++++以为自然数满足加法结合律([,][,])[,][,]([,][,])a b c d e f a b c d e f ∴++=++ 即整数加法满足交换律和结合律p62—2、已知[,],[,]a b c d Z ∈，求证[,][,]a b c d =的充要条件是[,][,][1,1]a b c d -= 证明：“⇒” 已知[,][,]a b c d =则a d b c +=+[,][,][,][1,1]a b c d a d b c ∴-=++=“⇐” 已知[,][,][1,1]a b c d -=则[,][1,1]a d b c ++=，a d b c +=+ [,][,]a b c d ∴=p62—4、已知N b a ∈,，求证([,])[,]a b a b --=z证明：[,][,]a b b a -= ([,])[,][,]a b b a a b --=-=p62—5、已知[,],[,]a b c d Z ∈，求证([,][,])[,][,]a b c d a b c d --=-+证明：左边([,][,])[,][,]a b c d a d b c b c a d --=-++=++右边[,][,][,][,][,]a b c d b a c d b c a d -+=+=++所以左边等于右边([,][,])[,][,]a b c d a b c d ∴--=-+p62—7、已知,,a b c N ∈，求证当且仅当a d b c +<+时[,][,]a b c d <证明：“⇒” 已知a d b c +<+，[,][,][,]a b c d a d b c -=++因为 a d b c +<+ [,]a d b c ∴++是负数，[,][,]a b c d ∴< “⇐” 已知[,][,]a b c d <则[,][,][,]a b c d a d b c -=++因为[,]a d b c ++是负数，a d b c ∴+<+p62—9、已知,Z αβ∈，求证：1）αβαβ+≤+ ，2） αβαβ=证明：设[,],[,]a b c d αβ== 1）[,]a c b d αβ+=++ ()()a c b d αβ∴+=+-+而,a b c d αβ=-=-()()()()a c b d a b c d a b c d +-+=-+-≤-+-αβαβ∴+≤+2）[,]ac bd ad bc αβ=++ ()ac bd ad bc αβ∴=+-+而,a b c d αβ=-=-()()()()()ac bd ad bc a c d b d c a b c d a b c d +-+=-+-=--=-- αβαβ∴=p63—12、n 名棋手每两个比赛一次，没有平局，若第k 名胜负的次数各为,k k a b ，1,2,........,k n =，求证：2222221212......n n a a a b b b +++=+++ 证明：对于(1,2,...,)k a k n =，必存在一个(1,2,...,)j b j n =使得k j a b =⇒22(,1,2,...,)k j a b k j n == 2222221212......n n a a a b b b ∴+++=+++p63—16、已知10p a b -，10p c d -，求证p ad bc -证明：由已知：,s t Z ∃∈使10a b ps -=，10c d pt -=⇒ 10,10b a ps d c pt =-=-10(10)()ad bc ac apt ac cps p cs at ∴-=---=-p ad bc ∴-p63—17、设2不整除a ，求证281a +证明：因为2不整除a ，所以存在唯一一对,q r Z ∈，使2a q r =+，其中02r <<⇒1r =，22441a q q ∴=++⇒214(1)a q q -=+ 281a ∴-p63—20、设a Z ∈，求证(1)(2)(3)1a a a a ++++是奇数的平方证明：22222(1)(2)(3)1[(1)1](1)[(2)(2)1]1[(1)(1)][(2)(2)]1(1)(2)2(1)(2)1[(1)(2)1]a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=+-+++++=+-+++++=++-+++=++- 1,2a a ++肯定一奇一偶(1)(2)a a ∴++肯定为偶数(1)(2)1a a ∴++-肯定为奇数p63—22、证明：前n 个自然数之和的个位数码不能是2、4、7、9证明：前n 个自然数的和为(1)2n n + 因为：n 个自然数的和仍为自然数∴ 1+n 与n 中必定一个为奇数一个为偶数若个位数码为2则1+n 与n 的个位数码只能是1,4或4,1而（1+n ）- n=1 ∴个位数码不能为2若个位数码为4则1+n 与n 的个位数码只能是1,8或8,1也不可能成立若个位数码为7则1+n 与n 的个位数码有2种可能，则2,7或1,14也不可能成立，若个位数码为9则1+n 与n 的个位数码有2种可能，即2,9或1,18也不可能成立，综上，前n 个自然数和的个位数码不能是2,4,7,9p63—26、证明2.3定理1（12,,......,n a a a ）=（12,,......n a a a ）证明：因为：（12,,......,n a a a ）是12,,......n a a a 的公因数中的最大数所以R 需考虑非负整数 ∴（12,,......,n a a a ）=（12,,......n a a a ） p63—29、证明2.3定理4的推论(,)1a b =的充要条件是有,x y Z ∈使得1ax by += 证明：因为(,)1a b = ,a b ∴不全为0“⇒” 由定理4 ,x y Z ∃∈使(,)1ax by a b +==“⇐” 设(,)a b d =则,d a d b ，d ax by ∴+ 1d ∴ (,)1d a b ∴== p63—30、证明2.3定理6及其推论。

初等代数试卷加答案

第 1 页（共 3 页）玉溪师范学院20 至20 学年上学期期末考试试卷课程名称：《初等代数研究》（编号：Ｂ）（本卷满分100分，考试时间120分钟）考试方式:考试考查闭卷开卷仅理论部分其他 )系（院）：数学系专业：数学与应用数学年级：05 级班学号：姓名：考试时间: 月日时分一、填空题（本大题共 8 题，每空3 分，共24 分）1、设2356,0,0,0a b c a b c ++=>>>，求2a bc 的最大值 2780.2、已知函数()xf x a b =+的图象经过点（1，7），其反函数的图象经过点（4，0），则()f x =43x + .3、已知3310(mod 9),09a a ≡≤<，则a = 1 .4、既约真分数ab可以化为纯循环小数的充要条件是 (,10)1b = .5、如果复数22(34)(56)m m m m i --+--是纯虚数，则m = 4 . 6、求的值12. 7、若不等式27x x m ++-≤有实数解，则m 的取值范围是 9m ≥ . 8、已知(1)(32)0x x --<21x - . 二、判断题（本大题共5题，正确的打“√”，错误的打“×”，每题2分，共 10分）1、若12(,,,)1n a a a =，则12,,,n a a a 两两互素. （ × ）2、设α是无理数，则33(1)(1)αα++-不能全是有理数. （ √ ） 3、函数()1f x =与0()g x x =表示同一个函数. （ × ） 4、函数(y ln x =是非奇非偶函数. （ ×）５、设110n n a a a a a -=，则正整数a 能被11整除的充要条件是01211(1)n na a a a -+-+- （ √ ）三、单项选择题（选择正确答案的字母填入括号，本大题共 5题，每小题 2分，共 10 分）1、函数22()log (23)f x x x =--的单调递增区间是（ D ）Ａ、(,1)-∞- Ｂ、(,1)-∞ Ｃ、(1,)+∞ Ｄ、(3,)+∞ 2、下列不等式中，正确的是（ C ）Ａ、12x x +≥ Ｂ、sin cos 2αα+≥ 22≥ Ｄ、2412216x x x ++≥ 3、曲线32(1)(1)x y x -=+在区间[]1,5上是（ A ）Ａ、凹的Ｂ、凸的Ｃ、有凹有凸4、多项式32()51f x x ax x =+++被2x -除所得余数为3，则a =（ D ）Ａ、1 Ｂ、1- Ｃ、4 Ｄ、4- 5、已知集合{}(,)2M x y x y =+=，集合{}(,)4N x y x y =-=，则MN =（ B ）Ａ、3,1x y ==- Ｂ、{}(3,1)- Ｃ、(3,1)- Ｄ、{}3,1-请考生注意：答题时不要超过“装订线”，否则后果自负。