量子力学习题集及答案

09光信息量子力学习题集

一、填空题

1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125

A ）。

2．

索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振

子的能级=n E （ ωn ）。

3．

德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍

射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ω=E ）和（ k p

= ）。

4．

三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p

ψ=（ r p i e

⋅2

/3)

2(1π ）， ()

()=⎰

+∞

∞

-*'τψψd r r p p （ )(p p

-'δ ）。 5．

动量算符的归一化本征态=)(r p

ψ（

r p i e

⋅2/3)2(1π ），='

∞

⎰τψψd r r p p )()(* （ )(p p

-'δ ）。

6．

t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e

x e

x ωωψψ2

522

0)(2)(--+ ）。

7．

按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2

），几率流密度j =

（

()

**2ψ∇ψ-ψ∇ψμ

i ）。 8．

设)(r ψ描写粒子的状态，2)(r ψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ψ中F

ˆ的平均值为F =（ ⎰⎰dx dx F

ψψψψ*

*ˆ ）

。 9．

波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ），

δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。

10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为

零）的状态。

11．

)i exp()()i exp()(),(2211t E

x t E x t x

-+-=ψψψ是定态的条件是

（ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。

14．

3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e

x e

x ωωψψ2

732

0)()(--+ ）。

15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为

（ 2

2

22a

μπ ）

x a π2 ）。 16． 基态是指（ 能量最低 ）的状态，写出一维线性谐振子的基态波函数：（ 2

/02

2x e N α

- ）。

17．

一维线性谐振子的第一激发态的能量为（ ω2

3

）、第一激发态的波函数

为（ 2

/12

22x xe N α

α- ）。

18． （ 对应于同一本征值的本征函数的数目 ）称为简并度，不考虑电子自旋

时，氢原子的第n 个能级的简并度为（ n 2 ）。 19． 一维无限深势阱第n 个能级的简并度为（ 1 ），不考虑电子自旋时，氢原

子的第n 个能级的简并度为（ n 2

）。

20． 一维线性谐振子第n 个能级的简并度为（ 1 ），考虑电子自旋以后，氢原

子的第n 个能级的简并度为（ 2n 2

）。

21． 氢原子的状态为),()(1223ϕθY r R ，角动量平方是 26 ）、角动量z 分量是（ ）。

22．

厄密算符F

ˆ的定义是：对于两任意函数ψ和φ, 等式（ ⎰⎰=dx F dx F φψφψ**)ˆ(ˆ ）成立。

23． 力学量算符的本征值必为（ 实数 ），力学量算符的属于两个不同本征值的本征态必（ 相互正交 ）。

24．

力学量算符的属于（ 不同本征值 ）的本征函数必相互（ 正交 ）。 25． 量子力学中，力学量算符都是（ 厄米 ）算符，力学量算符的本征函数组成（ 完全 ）系。

26．

算符在其自身表象中的矩阵为（ 对角 ）矩阵，例如在z σ表象中z σ

ˆ=（ ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-1001 ）

。 27． 如果[G F ˆˆ，]=0，则G F ˆˆ，存在组成（ 完全 ）系的共同本征态，Z

L L ˆˆ2，的共同本征态是（ ),(ϕθm l Y ）。

28．

如果G F ˆˆ，存在有组成（ 完全 ）系的共同本征态，则[G F ˆˆ，]=（ 0 ）， Z

L L ˆˆ2，的共同本征态是（ ),(ϕθm l Y ）。 29． 对易子=],[

x

e dx

d （ x

e ），=]ˆ,ˆ[x

y L L （ z L i ˆ - ）。 30． =]ˆ,[y p x （ 0 ），=]ˆ,[x p x （ i ），=]ˆ,ˆ[y x L L （ z L i ˆ ）。 31． =-],[

x

e dx

d （ x

e -- ）

。=]ˆ,[y p y （ i ），=]ˆ,[x p y （ 0 ）。 32．

能量与时间的测不准关系是（ ~t E ∆∆ ），x 和x p 的测不准关系是

（ 4

2____

2____

2

≥∆⋅∆x

p

x ）。 33．

在一维情况下，若粒子处于状态),(t x ψ中，则在动量表象中的波函数为