柱面的方程

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空间直角坐标系曲面是柱面得方程

空间直角坐标系曲面是柱面的方程一、概述空间直角坐标系是解析几何中的重要概念，其中曲面是曲线在三维空间中的延伸，而柱面是一种特殊的曲面。

在解析几何中，研究空间直角坐标系曲面的方程是一项重要的课题，本文将重点介绍空间直角坐标系中柱面的方程。

二、柱面的定义在空间直角坐标系中，柱面是由一直线（轴线）和平行于此直线的所有直线（侧面直线）组成的集合。

简单来说，柱面就是平行于同一直线的无数直线在三维空间中形成的曲面。

在数学上，柱面可以用方程表示，方程的形式与柱面的特性密切相关。

三、空间直角坐标系中柱面的一般方程1. 一般方程形式空间直角坐标系中柱面的一般方程形式为：Ax^2 + By^2 = 2Fxy + 2Gx + 2Hy + C其中A、B、F、G、H、C为常数，且A、B不全为零。

2. 方程的几何意义这一般方程实际上描述了一个二次曲面在空间中的形状。

当A、B、F、G、H、C都为实数时，这个方程表示了一个实数系数的二次曲面，它可以是一个椭圆柱面、双曲柱面或抛物柱面。

四、求解柱面的方程空间直角坐标系中的柱面方程可以通过以下步骤求解：1. 根据柱面的特性确定方程的一般形式。

2. 根据所给的条件，代入方程中的系数，得出准确的柱面方程。

五、实际应用空间直角坐标系中柱面的方程在实际生活中有许多应用。

在建筑设计中，通过对立体图形的分析，可以使用柱面方程来描述建筑物的柱状结构，在工程设计中也可以用柱面方程描述柱状物体的形状。

在数学建模中，柱面方程的求解可以帮助我们更好地理解和分析实际问题。

六、总结空间直角坐标系曲面是柱面的方程是解析几何中的重要内容，通过理解柱面的定义和特性，我们可以掌握求解柱面方程的方法，并且了解柱面方程在实际应用中的意义。

在学习和应用解析几何的过程中，深入研究空间直角坐标系曲面是柱面的方程，对于提高数学建模和工程设计的能力也是十分有益的。

七、参考文献[1] 董西立.解析几何[M].北京:高等教育出版社,2006.[2] 高等数学教研组.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2010.八、进一步探讨柱面的方程1. 柱面的参数方程除了一般方程外，柱面也可以用参数方程表示。

投影柱面方程

投影柱面方程在物理学和数学中，柱面是一种具有无限长、半径相等且平行的圆柱体。

柱面广泛应用于各种领域中，如航空、计算机图形学、建筑设计、机械工程等。

在这些领域中，人们需要对柱面进行建模、计算和分析，因此掌握柱面方程是非常重要的。

投影柱面是指将一个柱面在平面上的投影。

投影是一种将三维空间中的物体映射到二维平面上的方法。

在投影过程中，我们可以通过某些方法来表示柱面的形状和特征。

本文将介绍柱面方程的基本概念和计算方法，以及在实际应用中的一些例子。

一、柱面方程的基本概念柱面方程是用来表示柱面形状和特征的数学公式。

在三维空间中，柱面可以由一条直线（轴线）和一条平行于轴线的圆柱面组成。

柱面的方程可以表示为：(x - a) + (y - b) = r其中，(a, b)表示柱面轴线上的一点，r表示柱面的半径。

该方程表示了一个以(a, b)为中心，半径为r的圆的所有点的集合。

这些点在柱面上的投影是一条与轴线平行的线段。

柱面方程的另一种形式是：x + y = r这个方程表示了一个以原点为中心，半径为r的圆的所有点的集合。

这些点在柱面上的投影是一条与轴线垂直的线段。

二、柱面方程的计算方法柱面方程的计算方法可以分为两种：基于轴线和基于圆柱面。

基于轴线的计算方法需要知道柱面轴线上的一点和半径，然后使用柱面方程的第一种形式进行计算。

基于圆柱面的计算方法需要知道圆柱面的方程，然后使用柱面方程的第二种形式进行计算。

例如，假设某个柱面的轴线在点(2, 3, 4)，半径为5。

我们可以使用柱面方程的第一种形式来计算该柱面的方程：(x - 2) + (y - 3) = 5这个方程表示了一个以(2, 3)为中心，半径为5的圆的所有点的集合。

这些点在柱面上的投影是一条与轴线平行的线段。

另一个例子是，假设某个圆柱面的方程为x + y = 9。

我们可以使用柱面方程的第二种形式来计算该柱面的方程：x + y = 9这个方程表示了一个以原点为中心，半径为3的圆的所有点的集合。

常用的二次曲面方程及其图形

这些交线都是椭圆。
3）再看这个曲面平行于 xoy 的平面 z= z1 ( z1 c )的交线
x 2 y 2 z12 1 a2 b2 c2
a2 c2
x2 (c2
z
2 1
)
b2 c2
y2 (c2
z12 )
1
z= z 1
4）如果 a=b,那么方程变为：
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
x2 y2 a2
4、双曲面
方程为：单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
1）当 z=0 时，为过原点的圆，圆点在原点上。
x2 y2 1 a2 b2
2）当用平行与 z=0 的平面 z= z1 截双曲面时，
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
Z= z1
x 2 y 2 1 z12
a2 b2
c2
-------------椭圆
3）当 y=0 时，在 xoz 平面上为一双曲线
x2 z2 1 a2 c2
4）当用平行 y=0 的平面 y= y1（ y1 ≠±b）截得曲面为中心在 y 轴上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
双曲线知识回顾：
双曲线定义图形
m MF1 MF2 2a2a F1F2
常用的二次曲面方程及其图形
旋转曲面：L 是 XOZ 平面内的一个曲面
p0
P
f (x, z) 0
y0
其方程是：
得到旋转面的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
柱面：是空间的一个曲线，直线 L 沿着平行移动所形成的曲面，叫做柱面，称作柱面的准线，L 称作柱面的母线。

§4.1 柱面

§4.1 柱面一、概念：在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫做柱面，定方向叫做柱面的方向，定曲线叫做柱面的准线，那族平行直线中的每一直线，都叫做柱面的母线.二、方程：如图4-1, 设柱面的准线方程为Γ:母线的方向数为X, Y, Z. 如果M1(x1, y1, z1)为准线上的任意点，那么过M1的母线方程为＝＝,且有从以上四个等式中消去参数x1, y1, z1，得一个三元方程F(x, y, z)＝0.这就是所求的柱面方程.例1. 设柱面的准线为Γ:母线的方向矢量为＝{1, 1,－1}，求这柱面的方程.解：设M1(x1, y1, z1)为准线上的任意一点，那么过点M1(x1, y1, z1)的母线方程为＝＝，且有x21+y21+z21=1,x1+y1+z1=0,为消参数x1, y1, z1，可设＝＝t,则x1＝x－t, y1＝y－t, z1＝z+t,从而有 (x－t)2＋(y－t)2+(z+t)2＝1,(x－t)＋(y－t)+(z+t)＝0,以上两式消去参数t，化简整理即得所求柱面的方程为2x2+2y2+6z2+2xy+6yz+6xz－1＝0.例2. 已知圆柱面的准线是过三点A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1)的圆，母线垂直于这三点所在的平面，求这圆柱面的方程.解法一：由已知条件可得圆柱面的准线方程为Γ:母线的方向矢量为＝{1, 1, 1}.设M1(x1, y1, z1)为Γ上任意一点，则过M1的母线方程为＝＝t,且有x21+y21+z21=1,x1+y1+z1=1,以上四式消去参数x1, y1, z1, t得所求圆柱面方程为x2+y2+z2－xy－xz－yz－1＝0.解法二：由已知条件可得所求圆柱面的轴线方程为l：＝＝.设M(x, y, z)是圆柱面上任意一点，则M到l的距离与A(1, 0, 0)到l的距离相等，即有＝，从而 ||＝||，即＝，或 (y－z)2＋(z－x)2＋(x－y)2＝2，从而有x2＋y2＋z2－xy－xz－yz－1＝0.例3. 求过三条平行直线l1: x＝y＝z, l2：x＋1＝y＝z－1与l3：x－1＝y＋1＝z－2的圆柱面方程.解法一：在直线l1上取点O(0, 0, 0)，则过O与l i(i＝1, 2, 3)垂直的平面方程为π：x＋y＋z＝0, 其与l i的交点分别为O(0, 0, 0), A(－1, 0, 1), B(,－，)，设C(a, b, c)是π上由O, A, B所确定的圆的圆心，则有解得a＝－, b＝－，c＝,于是所求柱面的准线方程为设M1(x1, y1, z1)为准线上任意一点，则过M1的母线方程为＝＝,且以上四式消去参数x1, y1, z1得所求圆柱面方程为5x2+5y2+5z2+5xy－5xz－5yz＋2x＋11y－13z＝0.解法二：由已知条件知，过O(0, 0, 0)且垂直于l i(i＝1, 2, 3)的平面为π：x+y+z＝0，其与l i的交点分别为O(0, 0, 0)，A(－1, 0, 1), B,由O, A, B三点所确定的圆的圆心为C,于是所求圆柱面的轴为l0：＝＝.设M(x, y, z)为圆柱面上任意一点，则M到轴l0的距离等于||，即有＝,＝,化简整理就有5x2+5y2+5z2－5xy－5xz－5yz＋2x＋11y－13z＝0.注：由此题可知，三平行直线确定一个圆柱面时，要求三平行直线不共面才行，正如不共线三点确定一个圆一样.例4. 已知椭圆柱面＝1(a>b>0)，试求过x轴且与椭圆柱面的交线是圆的平面方程.解：由题设交线圆可以看成以原点为中心a为半径的球面与已知椭圆柱面的交线，即交线圆方程为由于此圆在过x轴的平面上，故此圆对于yOz平面的投影平面即为所求平面. 为此，从上述二式中消去x得+＝1,y＝±z,或.作业题：1. 设柱面的准线方程为母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程.2. 设柱面的准线为母线的方向矢量为＝{1, 0,－1}, 求这柱面的方程.。

常用的二次曲面方程及其图形

双叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
图形
标准方程
x2 y 2 1a 0，b 0 a2 b2
y2 x2 1a 0，b 0 a2 b2
F1 c， 0
焦点坐标
a, b, c
F2 c， 0
F1 0， c
F2 0，c
c 2 a 2 b 2 c a 0，c b 0
x 2 y 2 x1 x 2 y 2 2 pz1
2
3)
z1 =z 时，得到：
x2 y2 z 2 p 2 p
3、双曲抛物面（鞍型曲面）
方程为：

x2 y2 z （p 与 q 同号） 2 p 2q
4、双曲面
方程为：单叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
1、椭圆球
x 方程为： a
曲线为：
2 2

y2 z2 2 2 1 b c
-------------------（1）
1） 2）
由方程（1）可知
x2 y2 z2 1 ， 1 ， 1， b2 c2 a2
其与三个坐标平面的交线为：
x2 y2 2 1 a2 b
z=0
x2 z2 1 a2 c2
1）当 z=0 时，为过原点的圆，圆点在原点上。
x2 y2 2 1 a2 b
2）
当用平行与 z=0 的平面 z= z1 截双曲面时，
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
Z= z1
z1 2 x2 y2 1 a2 b2 c2
-------------椭圆
3）
当 y=0 时，在 xoz 平面上为一双曲线

解析几何中的柱面及其方程求解

解析几何中的柱面及其方程求解柱面是三维空间中一个非常重要的几何体，它由一条直线（直母线）和沿该直线平移的一条平面曲线（截面）形成。

在解析几何中，柱面发挥了非常重要的作用，是许多几何问题的基础。

本文将分别介绍柱面的基本概念和一般方程，以及如何利用方程求解柱面的截面等问题。

一、基本概念在三维空间中，一条通过直线L 的平面沿着该直线作无限平移，形成的几何体称为柱面。

一般来说，柱面由两个参数来确定：直母线上的一个点和它到直母线距离为 t 的点的轨迹（曲线），其中t 表示参数。

柱面的边界是直母线上的点和曲线两端的点。

当 t 取值范围在一定区间内时，曲线将描绘出柱面的一个部分。

如果该区间为 (-∞, +∞)，则曲线将描绘出柱面的整个部分。

二、一般方程在解析几何中，我们通常使用一般方程来描述柱面。

一般方程的形式如下：Ax + By = z^2其中 A、B、C 均为常数，x、y、z 分别表示三个坐标轴。

该方程描述的是一个沿着 y 轴的柱状物体。

如果 A、B、C 中只有两个非零项，那么该方程描述的是一个具有一定倾斜角度的柱状物体。

三、求解柱面截面求解柱面截面是解析几何中重要的问题之一。

我们可以通过一般方程来求解柱面的截面。

具体步骤如下：1、将一般方程表示为沿着 z 轴平移的方程。

经过平移后，方程变为 Ax + By - z^2 = 0。

2、设某一平面的方程为 Ax + By + Cz + D = 0，将它代入上式中，得到 Ax + By - (Cz + D)^2 = 0。

3、将上式中的 x 和 y 表示成 z 和一个参数 t 的形式，即：x =zx'，y = zy'，其中 x' 和 y' 为与 z 无关的实数。

方程变为 Az(x')^2 + Bz(y')^2 - (Cz + D)^2 = 0。

4、将上式移项，化为关于 x' 和 y' 的二次方程。

根据二次方程的解法，可以求得 x' 和 y' 的值。

解析几何-柱面

y 2 2 px z 2 准线 : 2 抛物柱面 : y 2 px (4) z 0 母线 // z轴
一般地，若一曲面方程中仅含有两个变量，则此曲面一定是柱面，它的母线平行于和缺少的那个变量同名的坐标轴．
如: 8 x 2 25 y 2 4 xy 20 x 10 y 0 为母线平行于 z轴的柱面 .
x x 1 y y1 z z1 1 1 0 2 2 (1)
三.母线平行于坐标轴的柱面母线 0
S
y
f ( x, y, z)=0 z=0
x 准线
N (x, y, 0)
点N满足方程，故点M满足方程
f ( x, y, z ) 0 设柱面的准线是 xoy 坐标面上曲线 : z 0 母线平行于 z轴 , 则柱面的方程为 f ( x , y ) 0. 证由题设 , 母线方向为 v 0,0,1 设 M 1为准线上任一点 , 则过 M 1的母线方程为 :
§3.3
柱面
一.定义平行于定直线并沿定曲线c移动的直线l 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线c 叫柱面的准线, 动直线l叫柱面的母线.
准线
c
l
柱面是直纹面
母线
二.柱面的方程
F1 ( x , y , z ) 0 已知准线方程为 : F2 ( x , y , z ) 0 母线的方向为 : l , m , n 设 M 1为准线上任一点 , 则过 M 1的母线方程为 : F1 ( x1 , y1 , z1 ) 0 ( 2 ) 又 M 1在准线上 , 故 F2 ( x1 , y1 , z1 ) 0 ( 3 ) 联立 (1)( 2 )( 3 )消去 x1 , y1 , z1 , 得柱面方程为 : F ( x, y, z ) 0

柱面的概念定义411在空间

.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y2+(z – 2)2 = 4
L
0
.
x
y2 = – 4x
y
x x

Xt, Xt,
y y
Yt, z Yt, z

Zt Zt

0 0
F x, y, z 0
二、柱面的方程
例1 柱面的准线方程为求这柱面的方程.
x2 y2
2
x2

2
，z2 而1，母线的方向数是
y2 z2 2
， 1,0,1
的圆柱面的方程
l3 : x 1 y 1 z 2
椭圆柱面（直角坐标系）
x2 y2
z
1
a2 b2
方程的形式与柱面的图形特征之间有联系
吗？
o
y
x
三、柱面的判定定理
定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含有两个元（坐标）的三元方程
所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元（坐标）的同名坐标轴。
y2 = – 4x ( 消去z ) y2+(z – 2)2 = 4 (消去x )
0
.
x
y2 = – 4x
y
空间曲线作为射影柱面的交线
2 y2 z2 4x 4z
L:

y
2

3z 2

8x

12
z
将其换成投影柱面的交线
y2 = – 4x ( 消去z ) L： y2+(z – 2)2 = 4 (消去x )
Contents
一、柱面的概念二、柱面的方程三、柱面的判定定理四、空间曲线的射影柱面

柱面方程的一点注记

柱面方程的一点注记何国庆（安徽师范大学数计学院，芜湖，241000）摘要：本文对母线方向为}{,,v l m n =的柱面讨论其方程，得到一个定理.并举例说明了此定理的应用.关键词：柱面，母线方向，方程柱面是日常生活中常见的一种曲面，它有很明显的几何特征，是教学的重点内容.所谓的[]1柱面，指的是动直线l 平行于定方向v 且与定曲线C 相交而产生的曲面.每一条动直线称为柱面的直母线，定曲线C 称为柱面的准线，v 称为柱面的母线方向.显然，柱面被它的准线及母线方向完全确定.但对于一个柱面，它的准线并不是唯一的，每一条和所有直母线均相交的曲线都可当准线.许多教材都给出求柱面方程的一般方法，但对柱面方程的特征讨论的较少.本文给出了母线方向为}{,,v l m n =的柱面方程的几种形式.有定理：在空间直角坐标系中，设柱面S 的母线方向}{,,v l m n =，则S 的方程一定可写为(,)0l m f x z y z n n --=，或0),(=--y m n z y m l x g ，或(,)0m n h y x z x l l--=；反之，若一个曲面的方程可改写为上述三种方程之一，则它一定是柱面，其母线方向为}{,,v l m n =. 证明：由于柱面S 的母线方向}{,,0v l m n =≠，故S 一定与某个坐标面相交.如0n ≠，则S 的母线与xoy 面相交，取其交线(,)0:0f x y C z =⎧⎨=⎩为柱面S 的准线.在准线C 上任取1111(,,)P x y z ，则过1P 的母线方程为111x x lt y y mt z z nt =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩又1P C ∈,则111(,)00f x y z =⎧⎨=⎩ 由(1)(2)消去111,,x y z ，得(,)0l m f x z y z n n --=收稿日期：2011年9月作者简介：何国庆（1979—），女，安徽巢湖，讲师，研究方向：微分几何. E-mail:wh_hgq@（1）（2）（3）则方程（3）就是母线方向为}{,,(0)v l m n n =≠的柱面S 的方程. 同理可证：当0m ≠时，柱面S 方程为0),(=--y mn z y m l x g 当0l ≠时，柱面S 方程为(,)0m n h y x z x l l --= 反之，设曲面S 的方程可改写为(,)0l m f x z y z n n --=，则它与以曲线(,)00f x y z =⎧⎨=⎩为准线，母线方向平行于}{,,v l m n =的柱面有相同方程，故曲面S 表示一个柱面，其母线方向为}{,,v l m n =. 推论：若一个柱面的母线平行于z 轴（或x 轴，或y 轴），则它的方程不含z 项（或x 项，或y 项）；反之，一个三元方程中如果不含z 项（或x 轴，或y 轴），则这个三元方程一定表示一个母线平行于z 轴（或x 轴，或y 轴）的柱面.注：此推论为文[2]中的定理.下面举例说明定理及推论的应用.例1[]1试说明方程()()2x y y z x y z ++=++表示柱面. 解：将已知方程改写为()()()()x y z y x y z y ++=+++.由定理知此曲面是以曲线0xz x z y =+⎧⎨=⎩为准线，母线方向平行于}{1,1,1v =-的柱面注：此题也可有其他证法，如文[1]中的证法.例2[]2空间直角坐标系中，方程22221x y a b +=，22221x y a b-=，22y px =都表示母线平行于z 轴的柱面，分别称为椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面，统称为二次柱面.参考文献：[1]宋卫东.《解析几何》[M].北京：高等教育出版社，2003:144-147[2]杨文茂.李全英.《空间解析几何》[M].武汉：武汉大学出版社，2000:94-97A NOTE ON THE EQUA TION OF CYLINEDERHe Guoqing(College of Maththetics and Computer Science,Anhui Normal University,WUHU 241000)Abstract:The paper discusses the equation of cylineder which element parallels the vector }{,,v l m n =,and a gives theorem.Then there are some examples which use the theorem. Key words: Cylineder,The direction of element,Equation。

柱面的讲解

柱面方程
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定义观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.C L 这条定曲线叫柱面的准线，
动直线叫柱面的母线.
C L 一、柱面的定义
只含y x ,而缺z 的方程0),(=y x F ，在空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面，其准线为xoy 面上曲线 C .
实例122
22=-b y a x 双曲柱面// 轴z
只含z y ,而缺x 的方程0),(=z y G ，在空间直角坐标系中表示母线平行于 x 轴的柱面，其准线为yoz 面上曲线 C .
122
22=+c z b y 椭圆柱面// 轴x 实例
只含z x ,而缺y 的方程0),(=z x H ，在空间直角坐标系中表示母线平行于 y 轴的柱面，其准线为zox 面上曲线 C .
pz x 22=抛物柱面//
轴y 实例
x
o
z
y
x
o
z
y
x
y2
2=
抛物柱面
x
y=
平面
三、常见的柱面及其方程
x
o
z
y
1
2
2=
+y
x
圆柱面
四、小结
柱面的概念(母线、准线).
柱面方程的特点( 缺).。

解析几何(第四章)

y2 = – 4x
y2 = – 4x
L：
L:
x
z
y
0
L
( )
.
消去z
(消去x )
y2+(z – 2)2 = 4
y2 = – 4x
y2+(z – 2)2 = 4
y2 = – 4x
空间曲线作为射影柱面的交线
P147 2, 8(3)
一、锥面的概念
S
Ⅰ 母线上任意一点绕旋转轴 l 旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面的纬圆或纬线
ⅱ 任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。
经线和母线一样吗？
l
M
经线
满足什么条件母线就是经线？
旋转曲面也可看作经线绕轴旋转生成
纬圆（纬线）
经线
二、旋转曲面的方程
设旋转曲面的母线，
§4.4 椭球面
椭球面的几种特殊情况：
长形旋转椭球面
扁形旋转椭球面
三轴椭球面
球面
二、椭球面的性质
1 对称性
2 范围
3 形状
截口是曲面与平面的交线
椭球面与三个坐标面的交线
椭球面
椭球面的主截线（主椭圆）
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截口）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。
规律：一般地，当坐标面上的曲线绕此坐标面里的一个坐标轴旋转时，为求得旋转曲面的方程，只需将曲线方程保留和旋转轴同名的坐标，以其余两坐标平方和的平方根代替方程中的另一个坐标
1 单叶旋转双曲面 2 双叶旋转双曲面 3 旋转抛物面 4 环面 5 旋转椭球面
三、几种特殊的旋转曲面
b
y
z
例1 求直线绕直线旋转所得的旋转曲面的方程

特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面知识讲解

特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面引言空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。

但是也可以研究一些非二次特殊曲面。

本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。

主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。

1.柱面定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线Γ相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线Γ作叫做准线。

构成柱面的每一条直线叫做母线。

显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。

特别地，若取准线Γ为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱面的特例。

下面分几种情形讨论柱面的方程。

1.1 母线平行于坐标轴的柱面方程选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。

设柱面的母线平行于z 轴，准线为Oxy 面上的一条曲线，其方程为：(),00f x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩图1u v又设(),,P x y z 为柱面上一动点（图2），则过点P 与z 轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线Γ的交点记为(),,0M x y ，因点M 在准线上，故其坐标应满足准线方程，这表明柱面上任一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =反过来，若一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =，过P 作z 轴的平行线交Oxy 面于点M ，则点M 的坐标(),,0x y 满足准线Γ的方程(),0,0f x y z ==，这表明点M 在准线Γ上，因此直线MP 是柱面的母线 (因为直线MP 的方向向量为{}{}0,0,||0,0,1z )，所以点P 在柱面上。

综上所述，我们有如下结论：母线平行上于z 轴，且与Oxy 面的交线为(),0,0f x y z ==的柱面方程为：(),0f x y = （1）它表示一个无限柱面。

若加上限制条件a z b ≤≤，变得它的一平截段面。

同理，母线平行于x 轴，且与Oyz 面的交线为(),0,0g y z x ==的柱面方程为(),0g y z =；母线平行于y 轴，且与Ozx 面的交线为(),0,0h x z y ==的柱面方程为(),0h x z =。

柱面方程与柱面坐标

§3 柱面方程与柱面坐标一母线平行于坐标轴的柱面方程1 定义：一动直线l 在运动过程中，总是平行于一定方向V 。

，且总与一曲线c 相交，则l 的运动轨迹称为柱面，其中V 。

——柱面的方向，c——柱面的准线，l 的任一位置——柱面的母线。

2 方程及特征：定理：在空间坐标系下，三元方程F （x,y,z ）=0为一母线，平行于z 轴的柱面的方程〈═〉该方程同解于一关于x,y 的二元方程f （x,y ）=0 证： “═〉”设三元方程F （x,y,z ）为一母线平行于z 轴的柱面Σ的方程，则Σ与面的交线c ：〈═〉y x ⎩⎨⎧==00),,(z z y x F ⎩⎨⎧==00),(z y x f 其中f （x,y ）≡F（x,y,0），可以证明M （x,y,z ）∈Σ〈═〉M 点的坐标满足f （x,y ）=0， ∴f（x,y ）=0是Σ的方程，从而F （x,y,z ）=0与 f （x,y ）=0同解。

“〈═”若F （x,y,z ）=0同解于f （x,y ）=0，记以c ：为⎩⎨⎧==00),(z y x f 准线，母线平行于z 轴的柱面为Σ，可以证明M （x,y,z ）∈Σ〈═〉M 的坐标满足f （x,y ）=0 ∴f（x,y ）=0表示柱面Σ，从而F （x,y,z ）=0亦表示柱面Σ 例：在直角坐标系下，圆柱面，双曲柱面，平面222R y x =+12222=-b y a x 和抛物柱面的图形如下：1=+z y )0(22>=p px y(图2.4)(图2.5)(图2.6) (图2.7)二柱面坐标：1 圆柱面的参数方程：设圆柱面Σ的中心轴重合于z 轴，半径=R对P∈Σ，记P 在x.y 面上的投影为P′∀ θ=∠（i ，OP′），则 r= = + = Rcosθi+Rsinθj+uk ————矢量式参数方程OP P O 'P P ' 而 0≦θ<2π,∣u∣<——————坐标式参数方程⎪⎩⎪⎨⎧===u z R y R x θθsin cos ∞ 2 定义：空间中建立了直角坐标系之后，对M （x,y,z ），设其到z 轴的距离为ρ，∀则 M 落在以z 轴为中心轴，以ρ为半径的圆柱面上，从而θ，u ，使∃ （*）⎪⎩⎪⎨⎧===u z y x θρθρsin cos 反之，对给的ρ（ρ≥0），θ（0≦θ<2π），u （∣u∣<）,依据（*）式∀∞也可确定空间中一点M （x,y,z ），称有序三数组ρ，θ，u 为M 点的柱面坐标，记作M （ρ，θ，u ）注：1°空间中的点与其柱面坐标并非一一对应 2°曲柱面坐标求直角坐标,利用(*)即可,而由直角坐标求柱面坐标,则需按下式进行. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=z u y x y y x x y x 222222sin ,cos θθρ。

解析几何第四版吕林根课后习题答案第四章

第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。

解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即：0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。

（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线⎩⎨⎧==c z yx 的直线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y tx x 000000 而0M 在准线上，所以⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：02688823222=--+--++z y x xy z y x此即为要求的柱面方程。

2、设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=z x z y x 222，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。

解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z yy tx x tz z y y tx x 2200000而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x此即为所求的方程。

3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。

解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为)1513,1511,152(0--M ，圆的方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++07598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。

柱面的方程

C
z
M(x,y,z)
o
L
y

x
M1(x,y,0)
2.几种常见的柱面
1.椭圆柱面 2.双曲柱面 3.抛物柱面
x y 2 1 2 a b
x2 y2 2 1 2 a b
2
2
x 2 py
2
4.特殊的平面
Ax By C 0
1.椭圆柱面
-2 Y 0 2 -1
X 0 1
2
x y 2 1 2 a b
2 2 f ( x0 y0 , z 0 ) 0 (1)
o x
M(x,y,z),有
f ( x 2 y 2 , z ) 0 (2)
若点M(x,y,z)，则其坐标x,y,z不满足(2)式。故(2)式为此旋转曲面的方程。故对曲线C:f(y,z)=0：绕z轴旋转而成的曲面方程为
y2 z2 1, 9 4 x0
x2 z2 1, 16 4 y0
再用平行于xoy面的平面z = h (0 < ︱h︱< c )去截这个曲面，所得截痕的方程是
x2 y2 h2 2 2 1 2 , a b c z h.
M ( x, y , z ) , 过点M的母线交准线于点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ), 则有
x x0 t y y0 t z z t 0
2 2 从而x 2 y 2 ( x0 y0 )t 2 R 2t 2 z0 t z2 2 2
f ( x 2 y 2 , z ) 0
曲线C绕y轴旋转而成的曲面方程为 f ( y, x 2 z 2 ) 0 类似地，可考虑其他的在某一坐标平面上的曲线绕相应的坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程。

椭圆柱面的方程

椭圆柱面的方程
椭圆柱面的方程可以通过一系列的操作得到。

首先，我们需要确定椭圆柱面的几何特征。

椭圆柱面是由无限多条平行且同心的椭圆沿着一条直线方向拉伸而成的。

因此，我们可以将椭圆柱面的方程分解为两部分：椭圆的方程和直线的方程。

对于椭圆的方程，我们需要知道椭圆在平面上的表现形式。

一般来说，椭圆的方程可以表示为(x-a)²/b² + (y-c)²/d² = 1，其中(a, c)表示椭圆的中心坐标，b和d分别表示椭圆在x和y轴上的半长轴和半短轴。

在椭圆柱面的情况下，我们还需要考虑它的高度。

因此，通过引入一个新的变量z，我们可以将椭圆柱面的方程写成(x-a)²/b² + (y-c)²/d² = 1 搭配 z²/h² = 1，其中h
表示椭圆柱面的高度。

另一方面，我们还需要考虑柱面的方向和位置。

假设柱面的轴线与z轴重合，
那么我们可以将柱面的方程表示为(x-a)²/b² + (y-c)²/d² = 1 搭配 z = k，其中k表示柱面轴线与z轴的截距。

总结起来，椭圆柱面的方程可以通过将椭圆的方程和直线的方程结合起来得到。

具体而言，椭圆柱面的方程可以表示为(x-a)²/b² + (y-c)²/d² = 1 搭配 z²/h² = 1，并且
考虑到柱面的位置和方向，我们还可以加上z = k的限制条件。

这样，我们就可以
得到一个完整描述椭圆柱面的方程。

柱面方程

柱面方程
1、柱面方程表达式：对空间坐标系中F(x,y)=0；G(y,z)=0；
H(x,z)=0，这些都是柱面方程。

如：x²+y²=1，就是圆柱面方程表达式。

2、抛物柱面表达式：y=x²。

双曲柱面表达式：x²/a²-y²/b²=1。

椭圆柱面表达式：x²/a²+y²/b²=1。

3、直圆柱面：如果直母线垂直于圆所在平面时，所得柱面称为直圆柱面（或正圆柱面）。

直圆柱面也可以看成是动直线平行于定直线且与定直线保持定距离平行移动产生的，定直线是它的轴，定距离是它的半径。

二次柱面分别以平面上的椭圆、双曲线和抛物线为准线的柱面，称为椭圆柱面、双曲柱面和抛物柱面。

它们的方程都是二次的，统称为二次柱面。

在空间直角坐标系中，只含两个变量的二次方程一般总表示一个二次柱面或者两个平面。

抛物柱面方程

抛物柱面方程概述抛物柱面方程是一个二次曲面的特例，它由平行于某个坐标轴的一条直线沿着另外两个坐标轴的二次曲线运动形成。

在三维空间中，抛物柱面可以描述为一个抛物线在与其平行的方向上运动所形成的曲面。

本文将介绍抛物柱面的定义、方程和性质。

定义抛物柱面是指一个二次曲面，其平面截面是平行于某个坐标轴的一条二次曲线。

我们可以将其形象地比喻为一个沿着该坐标轴方向无限延伸的抛物线。

抛物柱面方程抛物柱面的方程可以表示为：Ax2+By2=z其中，A和B是控制抛物柱面形状的参数。

当参数A和B的值不同时，抛物柱面的形状也会发生变化。

例如，当A和B都为正数时，抛物柱面将是一个凸面，其最低点位于平面z=0上方；当A和B中一个为正数，另一个为负数时，抛物柱面将是一个开口朝上或朝下的抛物面；当A和B都为负数时，抛物柱面将是一个凹面，其最低点位于平面z=0下方。

抛物柱面的性质抛物柱面的性质包括：对称性抛物柱面具有与坐标轴平行的对称轴。

如果抛物柱面方程中只有x和y的系数，而没有z的系数，则抛物柱面在与x和y轴平行的平面上具有对称性。

交点抛物柱面与坐标轴的交点可以通过将x、y或z等于零代入抛物柱面方程得到。

当x=0时，方程变为By2=z，这是一个关于y的二次方程，它表示抛物柱面与yz平面的交点；同样地，当y=0时，方程变为Ax2=z，这是一个关于x的二次方程，它表示抛物柱面与xz平面的交点；当z=0时，方程变为Ax2+By2=0，这是一个关于x和y的二次方程，它表示抛物柱面与xy平面的交点。

焦点抛物柱面的焦点是指沿着其对称轴方向的焦点。

焦点的位置可以通过将抛物柱面方程化简为标准形式来确定。

例如，当A和B都为正数时，抛物柱面的焦点位于与坐标轴平行的对称轴上的$(0, 0, \\frac{1}{4AB})$点。

总结本文介绍了抛物柱面的定义、方程和性质。

抛物柱面是一个由平行于某个坐标轴的一条直线沿着另外两个坐标轴的二次曲线运动形成的二次曲面。

抛物柱面的方程

抛物柱面的方程
（原创版）
目录
1.抛物柱面的定义和性质
2.抛物柱面的方程表示形式
3.抛物柱面的参数方程
4.抛物柱面的应用
正文
1.抛物柱面的定义和性质
抛物柱面，又称为抛物柱或旋转抛物面，是一种由抛物线绕着其对称轴旋转而成的几何体。

它具有以下性质：
（1）抛物柱面的顶部和底部分别为两个相等的抛物线；
（2）抛物柱面的侧面是由一条直线和一条抛物线组成；
（3）抛物柱面的对称轴与抛物线的对称轴重合。

2.抛物柱面的方程表示形式
抛物柱面的标准方程形式为：
R = a(x - h) + b(y - k)
其中，(h, k) 为抛物柱面的顶点，a 为抛物柱面的形状参数，决定了抛物柱面的扁平程度。

3.抛物柱面的参数方程
抛物柱面的参数方程为：
x = x + at
y = y + bt
z = z + rt
其中，(x, y, z) 为抛物柱面上任意一点的坐标，a、b、r 为参数，t 为参数值。

4.抛物柱面的应用
抛物柱面在实际应用中具有广泛的应用，例如：
（1）在机械工程中，抛物柱面可用于设计旋转叶片；
（2）在光学领域，抛物柱面可用于制作光学元件，如反射镜和聚焦镜；
（3）在建筑设计中，抛物柱面可用于设计异形建筑结构。

射影柱面方程

射影柱面方程
射影柱面方程是描述射影几何学中柱面的一种数学表达方式。

柱面是一个无限延伸的曲面，由一条直线（母线）沿着一个封闭曲线（准线）移动而形成。

射影柱面方程能够准确地描述柱面的形状和特征。

在射影柱面方程中，我们通常使用参数方程来表示柱面的曲线。

参数方程可以使用两个参数来描述柱面上的点的坐标。

通过选择合适的参数范围，我们可以描述出柱面上的所有点。

在柱面方程中，我们还可以通过改变参数的取值来控制柱面的特征。

例如，改变参数的取值可以改变柱面的曲率或者形状。

这使得射影柱面方程成为了研究柱面性质和应用的重要工具。

射影柱面方程在几何学和计算机图形学中都有广泛的应用。

在几何学中，射影柱面方程可以用来研究曲面的形状和性质。

在计算机图形学中，射影柱面方程可以用来生成逼真的三维模型和动画。

射影柱面方程是描述柱面的一种数学表达方式，具有广泛的应用。

通过使用参数方程，我们可以准确地描述柱面的形状和特征。

射影柱面方程在几何学和计算机图形学中都有重要的应用，可以帮助我们研究和生成逼真的三维模型和动画。

柱面的方程

空间直角坐标系曲面是柱面得方程

投影柱面方程

常用的二次曲面方程及其图形

§4.1 柱 面

常用的二次曲面方程及其图形

解析几何中的柱面及其方程求解

解析几何-柱面

柱面的概念定义411在空间

柱面方程的一点注记

柱面的讲解

解析几何(第四章)

特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面知识讲解

柱面方程与柱面坐标

解析几何第四版吕林根课后习题答案第四章

柱面的方程

椭圆柱面的方程

柱面 方程

抛物柱面方程

抛物柱面的方程

射影柱面方程

§4.1 柱面

柱面方程