相似三角形在实际生活中的应用上课讲义

相似三角形在实际生活中的应用
相似三角形在实际生活中的应用
【知识点击】
1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过，那么这样的两个图形就称为位似图形。

此时的这个点叫做，相似比又称为．
注：位似图形作为一种特殊的相似图形，是最重要的图形之一．但相似图形未必都能够成位似关系．所谓位似图形，是指两个图形不仅是相似图形，而且___________________，此时的这个点叫做位似中心，相似比又称为_____________．位似图形具有相似图形的所有性质，利用位似的方法可以将一个多边形放大或缩小．
2、相似多边形的性质_____________________________________________________
【重点演练】
知识点一、位似图形
例1、如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点.
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1︰2；
（2）连接（1）中的AA′,求四边形AA′C′C的周长.（结果保留根号）
例2、如图3，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是．
B′
A′
-1 x
1
O
-1
1
y B
A
C 标准对数视力
0.1 4.0 0.12 4.1 0.15
4.2
变式训练：
1.视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E ”之间的变换是（ ） A ．平移 B ．旋转 C ．对称 D ．位似
2. 如图，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似形，点F 的坐标为（1，1），点C 的坐标为
（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 ．
3、如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ） A ．1
2
a -
B ．1(1)2
a -+
C ．1
(1)2
a --
D ．1
(3)2
a -+
图3
O
A B
C
D
E
A ′
B ′
C ′
′
E ′
y
x A B C D F E G
O
图2
4.如图，已知△OAB 与△''B OA 是相似比为1：2的位似图形，点O 为位似中心，若△OAB 内一点p （x ，y ）与△''B OA 内一点'p 是一对对应点，则点'p 的坐标是 ．
知识点二、测量物体高度
方法一、利用光的反射定律求物体的高度
例3、（湖州市）为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图1所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B ）8.4米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝2.4米，观察者目高CD ＝1.6米，则树（AB ）的高度约为________米（精确到0.1米）.
方法二、利用影子计算建筑物的高度
例4（成都市）如图2，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和1.5
米.已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为 米.
图1
B
E D
图4
A
B
C D E F
M
N
例5（深圳市）如图4，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继续往前走3米到达E 处时，测得影子
EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 等于（ ）
A.4.5米
B.6米
C.7.2米
D.8米
跟踪练习
1、如图６，小明在一次晚自修放学回家的路上，他从一盏路灯Ａ走向相邻的路灯Ｂ．当他走到点Ｐ时，发现自己身后的影子的顶部恰好接触到路灯Ａ的底部，再走１６米到达点Ｑ时，发现身前的影子的顶部恰好接触到路灯Ｂ的底部．已知路灯的高是９米，小明的身高为１.5米．
（１）求相邻两盏路灯之间的距离；
（２）如果学校大门口恰好有一盏路灯，小明家门口也恰好有一盏路灯，小明回家共经过了２６盏路灯，问：小明家距离学校多少米？
（3）求小明走到两盏路灯Ａ、Ｂ的中点时，在Ａ、Ｂ两盏路灯下的影长及走到路灯Ｂ下时在路灯Ａ下的影长．
方法三、利用相似三角形的性质测量物体的高度或宽度
Ａ
图
Ｐ
Ｑ
Ｂ
例6、如图1，学校的围墙外有一旗杆AB ，甲在操场上的C 处直立3cm 高的竹竿CD ， 乙从C 处退到E 处，恰好看到竹竿顶端D 与旗杆顶端B 重合，量得3CE =m ，乙的眼睛到地面的距离 1.5FE =m ，丙在1C 处也直立3m 高的竹竿11C D ，乙从E 处后退6m 到1E 处，恰好看到竹竿顶端1D 与旗杆顶端B 也重合，量得114C E m =，求旗杆AB 的高.
跟踪练习
如图2，为了测量一条河的宽度，测量人员在对岸岸边点P 处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点A 和B ，使得B ，A ，P 在一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点C ，D ，使CA ⊥BP ，BD ⊥BP.由观测可以确定CP 与BD 的交点为D ，他们测得AB=45m ，BD=90m
，AC=60m ，从而确定河宽PA=90m ，你认为他们的结论对吗？
图2
例7、如图５是学校的旗杆，小明带着一条卷尺和一面镜子，他想借助这两样工具测量旗杆的高，请你为他设计测量的方法．
Ａ
Ｅ Ｄ Ｃ
Ｂ
练习：给你一条可以用来测量长度的皮尺和一根高２米的标杆，在没有太阳光的时候你能测量出操场上旗杆的高度吗？说说你的做法．
知识点三、相似多边形性质的应用
例8、 一块直角三角形余料，直角边ＢＣ＝８０ｃｍ，ＡＣ
＝６０ｃｍ，现要最大限度地利用这个余料把它加工为一个正方形，求这个正方形的边长．
跟踪练习
1、已知△ＡＢＣ的三边ＢＣ＝６，ＣＡ＝７，ＡＢ＝８，其三个内接正方形（四个顶点都在三角形三边上）中，记两个顶点在ＢＣ上的正方形面积为ａ，两个顶点在ＣＡ上的正方形的面积记为ｂ，两个顶点在ＡＢ上的正方形的面积记为ｃ，试探索ａ、ｂ、ｃ的大小关系．
Ｃ
Ｂ
Ｅ 图(1)
2、有一块直角三角形木板，已知∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，AC＝4cm，根据需要，要把它
加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁，才能使正方形木板面积最大？并求出这个正方形木板的边长．
例9、如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿
AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D
开始向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）
表示移动的时间（0≤t≤6），那么，（1）当t为何值时，△QAP为等
腰直角三角形；（2）求四边形QAPC面积，并提出一个与计算结果．
有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
课外作业(满分50分)
1、（15分）（1）选择：如图1，点O 是等边三角形PQR 的中心，P ′、Q ′、R ′分别是OP 、OQ 、OR 的中点，则△P ′Q ′R ′是位似三角形，此时△P ′Q ′R ′与△PQR 的位似比和位似中心分别是（ ）．
A 、2，点P,
B 、
21,点P C 、2,点O D 、2
1
，点O （2）、如图2， 用下面的方法可以画△AOB 的内接等腰三角形，阅读后证明相应的问题． 画法：①在△AOB 内画等边三角形CDE ，使点C 在OA 上,点D 在OB 上；
②连结OE 并延长，交AB 于点E ′，过点E ′作E ′C ′∥EC ，交OA 于点C ′,作E ′D ′∥ED ，交OB 于点 D ′；
③连结C ′D ′,则△C ′D ′E ′是△AOB 的内接三角形 求证：△C ′D ′E ′是等边三角形．
2、（15分）请在如图所示的方格纸中，将ΔABC 向上平移3格，再向右平移6个，得ΔA 1B 1C 1，再将ΔA 1B 1C 1绕点B 1按顺时针方向旋转90°，得ΔA 2B 1C 2，最后将Δ
A2B1C2以点C2为位似中心放大到2倍，得ΔA3B3C2；
（1）请在方格纸的适当位置画上坐标轴（一个小正方形的边长为一个单位长度），在你所建立的直角坐标系中，点的坐标分别为：点C（）、点C1（）点C2（）．
3.（20分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC ＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）.
（1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；
（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？
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