第五章 方差分析(上)
第5章方差分析
5.1.4 方差分析中的基本假定
(基本前提:独立、同分布、同方差)
一、因素中的k个水平相当于r个正态总体。 每个水平下的n个观察数据(试验结果)相当 于从正态总体中抽取的容量为n的随机样本。 (同分布) 二、r个正态总体的方差是相同。 即:σ12=σ22…….=σr2=σ2 (同方差) 三、从不同的正态总体中抽取的各个随机样 本是相互独立的。(独立)
SSE
j1 i1
r
nj
xijxj
(续前)
方差分析的优点之二:增加了稳定性 由于方差分析将所有的样本资料结合在一起, 故而增加了分析结论的稳定性。 例如:30个样本,每一个样本中包括10个观 察单位(n=10)。如果采用t检验法,则在两 两检验中,一次只能研究2个样本和20个观察 单位,而在方差分析中,则可以把30个样本 和300个样本观察单位同时放在一起、结合进 行研究。 所以,方差分析是一种实用、有效的分析方 法。
r
2
j1 i r
xij xj 2 x
j1 i1 2 r
nj
ij
xj
x
2
j
x
j1 i1
r
nj
x j x
2
j1 i1
nj
xij xj xj x SSE SSA
nj
j1 i1
2、随机误差项离差平方和(SSE)的计算 SSE反映的是水平内部或组内观察值的离散状 况。它实质上反映了除所考察因素以外的其 他随机因素的影响,反映样本数据( x i j ) 与水平均值 ( x j )之间的差异,故而称之 为随机误差项离差平方和或组内误差。计算 公式如下:
5章 方差分析
3、检验两个或多个因素间有无交互作用。
应用条件(P63)
1、各个样本是相互独立的随机样本; 2、各个样本来自正态总体; 3、各个处理组的总体方差方差相等, 即方差齐。
不满足应用条件时处理方法
1、进行变量变换,以达到方差齐或 正态的要求;
H0:三种卡环抗拉强度的总体均数相等;各区组 卡环抗拉强度的总体均数相等
H1:三种卡环抗拉强度的总体均数不全相等;各 区组卡环抗拉强度的总体均数不全相等
0.05
2、计算F值
方差分析表
──────────────────────────
变异来源 SS
V
MS
F
──────────────────────────
2、如果方差分析无差别,分析结束。
多样本均数之间的多重比较
两两比较,又称基于方差分析的后续 检验(post hoc test)。
LSD-t检验和SNK检验
多个样本均数的比较一般分为两种情况:
①证实性实验研究:在设计阶段就根据研究目的或专业 知识决定某些均数间的两两比较,例如多个处理组与 对照组的比较,处理后不同时间与处理前的比较等。
MS组内 2
1 nA
1 nB
a 指样本均数排序后,比较的两组间包含的组数。
例5-3,SNK多重比较:
处理组
甲组
乙组
丙组
丁组
xi
ni
组次
0.2913 8 1
1.0200 8 2
2.1488 8 3
2.2650 8 4
S xA xB
MS组内 2
医学统计:方差分析
变异分解
单因素方差分析是把总变异的离均差平方 和与自由度分别分解成组间和组内 2 部分, 各部分的离均差平方和相互之间有以下关系
SS总 SS组间 SS组内
总 组间 组内
单因素方差分析的计算公式
变异来源
SS
MS
F
总变异
1122.68( x )
26( n )
43.18( x ) 56923.11( x 2 )
计算步骤
1.建立检验假设,确定检验水准
H0 :4 组家兔的血清 ACE 浓度总体均数相等, 1 2 3 4
H1 :4 组家兔的血清 ACE 浓度总体均数不等
或不全相等,各 i 不等或不全相等
称为均方差,简称均方(mean square,MS)。组
间均方和组内均方的计算公式为:
MS组间
SS组间
组间
MS组内
SS组内
组内
均方之比=F value
如果各组样本的总体均数相等(H0: 1 2 … k ),
即各处理组的样本来自相同总体,无处理因素的作用,则组 间变异同组内变异一样,只反映随机误差作用的大小。组间
372.592 6
229.172 191.002
484.77.3224
7
7
5515.3665
SS组内 SS 总 - SS 组间 8445.7876 5515.3665
2930.4211
计算步骤
总 n-1 26-1 25 组间 k 1 4 1 3
形形状,因此 F 分布可用 F (1, 2 ) 表示。以 F 为横轴, f (F) 为纵轴可绘制 F 分布的图形。
第五章 方差分析
例
例: n=4,se2 =9.113, dfe=12
S se2 9.11 31.50(9k4)g
x
n
4
查附表8,当dfe =12,M=2时, SSR0.05 =3.08,SSR0.01=4.32
LSR0.05 =1.5094×3.08=4.65 LSR0.01 =1.5094 ×4.32=6.52
按照方差分析的思想,把一个试验的总变异依 据变异来源分为处理效应的变异和试验误差的变异。 首先,将总平方和和总df分解为两个变异部分。
因为 x x x x j x j x
处理内的变异是 由随机误差引起
处理间平均数的 差异是由处理效
应引起的:
根据线性可加模型,则有:
(x - x )= (x- xi )+ ( xi – x )
差数> LSD0.05
差异显著*
差数> LSD0.01
差异极显著**
差数≤ LSD0.05
差异不显著
梯形比较法
不同品种间4个月增重量差异显著表
品种
xi 大白
平均数 30.9
差异显著性
xi 24.1 xi 25.8 xi 27.9
6.8 ** 5.1 * 3.0
沈花 27.9 3.8
2.1
沈白 25.8 1.7
平方和
自由度 方差
处理间 SSt 1n
Ti2Cdft k1
st 2
SS t df t
处理内
SSe SSTSSt
defk(n1)
se2
SS e df e
总变异 SST x2CdTf nk1
F值 F0.05、
0.01
如果F值不显著,则方差分析结论是变异来源主要 是误差引起的,所以过程到此结束。而如果F值显 著,说明变异来源主要是因为处理的差异,具体 何种处理存在差异?还需要进一步多重比较!
第五章方差分析
5.1.3方差分析的原理
方差分析认为,如果控制变量的不同水平对观测变量产生了显著影 响,那么它和随机变量共同作用必然使得观测变量值显著变动;反之, 如果控制变量的不同水平没有对观测变量产生显著影响,那么观测变量 值的变动就不明显,其变动可以归结为随机变量影响造成的。 建立在观测变量各总体服从正态分布和同方差的假设之上,方差 分析的问题就转化为在控制变量不同水平上的观测变量均值是否存在显 著差异的推断问题了。 综上所述,方差分析从对观测变量的方差分解入手,通过推断控 制变量各水平下各观测变量的均值是否存在显著差异,分析控制变量是 否给观测变量带来了显著影响,进而再对控制变量各个水平对观测变量 影响的程度进行剖析。 根据控制变量的个数可将方差分析分为单因素方差分析、多因素 方差分析;根据观测变量的个数可将方差分析分为一元方差分析(单因 变量方差分析)和多元方差分析(多因变量方差分析)。
从左侧的变量列表中选择观测变量“胰岛质量”到 Dependent List框中,选择控制变量“药物组”到 Factor框中。
10
选择各组间两两比较的方法,单击“One-Way ANOVA”对 话框下方的“Post Hoc…”按钮,出现上图对话框,在Equal Variances Assumed复选框中选择“LSD”。
协变量“原工资”的相伴概率Sig为0.000,即 协变量对青年教师现工资的影响显著;“教师 级别”的相伴概率为0.997,大于0.05,即对青 年教师的工资影响不显著;“政策实施”的相 伴概率0.029,小于0.05,对青年教师工资影响 显著;两因素的交互作用的相伴概率为0.551, 大于0.05,即交互作用没有对结果造成显著影 响。
5.4.2 协方差分析的基本步骤 • 提出原假设:协变量对观测变量的线性影响是不显著的 ;在扣除协变量的影响条件下,控制变量各水平下观测 变量的各总体均值无显著差异。 • 计算检验统计量和概率P值 给定显著性水平与p值做比较:如果p值小于显著性水平 ,则应该拒绝原假设,反之就不能拒绝原假设。
SPSS统计分析_第五章__方差分析
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1
一、方差分析的概念
在科学实验中常常要探讨不同实验条件或处 理方法对实验结果的影响。通常是比较不同 实验条件下样本均值间差异。 方差分析是检验两个或多个样本均数间差异 是否具有统计意义的一种统计学方法。
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2
方差分析主要用于均数差别的显著性检验、 分离各有关因素并估计其对总变异的作用、 分析因素间的交互作用和方差齐性检验;
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12
① 比较第二组的均值与第一组的均值是否有显 著性差异。
② 比较第三组的均值与第一组的均值是否有显 著性差异。 前两项研究的是A、B两因素的主效应。
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13
③ 除了比较第四组的均值与第一组的均值是否 有显著性差异外还要研究A药对B药的疗效 是否有影响。若A药对B药疗效无影响,那 么除抽样误差外,第四组与第二组均值之差 应该等于第三组均值减去第一组均值。但是 实际上(2.1-1.2)=0.9;(1.0-0.8) =0.2。竞相差0.7,该差值几乎与第一组均 值相同。 0.7的差值包括抽样误差和A、B药 的相互作用。
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27
使用系统默认值进行单因素方差分析只能得 出是否有显著性差异的结论,本例数据量少, 哪两组之间差别最大,哪种饲料使猪体重增 加更快,几乎是可以看出来的。实际工作中 往往需要两两的组间均值比较。这就需要使 用 One-way ANOVA进行单因素方差分析时 使用选择项从而获得更丰富的信息,使分析 更深入。
6
二、方差分析中的术语
因素与处理(Factor and Treament) 水平(Level) 单元(Cell) 因素的主效应和因素间的交互效应 均值比较 协方差分析
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第五章方差分析[统计学经典理论]
第五章方差分析•如果要检验两个总体的均值是否相等,我们可以用t检验。
当要检验多个总体的均值是否相等,则需要采用方差分析。
•方差分析是R.A.Fister发明的,它是通过对误差的分析研究来检验两个或多个正态总体均值间差异是否具有统计意义的一种方法。
•由于各种因素的影响,研究所得的数据呈现波动,造成波动的原因可分成两类,一是不可控的随机因素,另一是研究中施加的对结果造成影响的可控因素,方差分析认为不同处理组的均值间的差异基本来源有两个:•组内差异:由随机误差造成的差异,用变量在各组的均值与该组内变量值之差平方和的总和表示,记作SSE。
•组间差异:由因素中的不同水平造成的差异,用变量在各组的均值与总均值之差平方和的总和表示,记作SSA。
•方差分析的基本思想是:通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小,从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
•方差分析的三个条件:•被检验的各总体均服从正态分布;•各总体的方差皆相等;•从每一个总体中所抽出的样本是随机且独立的;方差分析的基本步骤:建立原假设H0:两个或多个总体均值相等。
将各不同水平间的总离差分成两个部分:组间差异SSA组内差异SSE构造检验统计量: F= MSA / MSE判断:在零假设为真时,F~F[(k-l),(n-k)]的F分布。
若各样本平均数的差异很大,则分子组间差异会随之变大,而F值也随之变大,故F检验是右尾检验。
当检验统计量F大于临界值时则拒绝原假设;或者根据 p值来判断,若p<α,则拒绝原假设§5.1 单因素方差分析(One-Way ANOVA过程)One-Way ANOVA过程用于进行两组及多组样本均数的比较,即成组设计的方差分析,如果做了相应选择,还可进行随后的两两比较,甚至于在各组间精确设定哪几组和哪几组进行比较。
5.1.1 界面说明【Dependent List框】选入需要分析的变量,可选入多个结果变量(应变量)。
第5章 方差分析
F检验
若实际计算的F值大于 F 0 . 0 5 ( d f , d f ) ,则 F 值在 α=0.05的水平上显著,我们以95% 的可靠性推断 2 2 St代表的处理间方差大于Se 代表的处理内方差。
1 2
这种用F值出现概率的大小推断两个总体方差 是否相等的方法称为 F检验。
F检验时,是将由试验资料所算得的F值与根 ,F 据df1=dft 和df2=dfe查表所得的临界F值F 相比较作出统计推断的。
1 1
k
n
x ) n (x i x )
2 2 1
k
(x
1 1
k
n
xi )
2
上式可简写成:SST=SSt+SSe 分别表示总 平方和,处理间平方和,处理内平方和。 即:总平方和=处理间平方和+处理内平
方和。
C=T2/kn:
SST
x C
2
1 2 SS t Ti C n SS e SS T SS t
P ( F F ) 1 F ( F )
F
f (F )d F
F表列出的是不同df1和df2下, P(F≥Fα)=0.05和P(F≥Fα)=0.01时的F值, 即右尾概率α=0.05和α=0.01时的临界F 值,一般记作F0.05(df1,df2), F0.01(df1,df2) 。
所以 d f T d f t d f e 综合以上各式得:
df T kn 1 df t k 1 df e df T df t
均方差,均方(mean square,MS)
变异程度除与离均差平方和的大小有关外, 还与其自由度有关,由于各部分自由度不相等, 因此各部分离均差平方和不能直接比较,须将 各部分离均差平方和除以相应自由度,其比值 称为均方差,简称均方 (mean square , MS )。组 间均方和组内均方的计算公式为 :
spss统计分析及应用教程-第5章 方差分析
单因素方差分析由SPSSl7.0的比较均值过程过程中的单 因素ANOVA子过程实现。下面以案例说明单因素方差分 析的单因素ANOVA子过程的基本操作步骤。
实验一 单因素方差分析
实验步骤
(1)准备工作 在SPSSl7.0中打开数据文件4-1.sav,通过选择“ 文件—打开”命令将数据调入SPSSl7.0的工作文件窗 口,结果如图。
实验二 多因素方差分析
准备知识 多因素方差分析定义
多因素方差分析用来研究两个及两个以上控制变量是否对观测 变量产生显著影响。多因素方差分析不仅能够分析多个控制变 量对观测变量的独立影响,还能够分析多个控制变量的交互作 用能否对观测变量的结果产生显著影响,进而最终找到有利于 观测变量的最优组合。
Sidak:Sidak法,根据t统计量进行配对多重比较,调整多重比 较的显著性水平。 Scheffe:塞弗检验法,对所有可能的组合进行同步进入的配对 检验。
R-E-G-WF:Ryan-Einot-Gabriel-Welsch F法,根据F检验的 多重下降过程。
R-E-G-WO:Ryan-Einot-Gabriel-Welsch Q法,根据 Student极差的多重下降过程。
多因素方差分析基本原理
多因素方差分析中,观测变量取值的变动会受到控制变 量独立作用、控制变量交互作用和随机变量三方面的影 响,据此,将观测变量总的离差平方和分解为三部分内 容:控制独立作用引起的变差,控制变量交互作用引起 的变差和随机因素引起的变差。以两个控制变量为例
1
组内离差平方和
定义组内离差平方和(SSE)为:
缺失值选框提供了两种缺失值的处 理方法。 按分析排序排除个案:剔除各 分析中含有缺失值的个案。 按列表排除个案:剔除含有缺 失值的全部个案。
05方差分析
第五章 数值资料的统计推断(二)——方差分析5.1 方差分析的意义、应用条件及常见设计类型在一个分类变量(自变量)不同水平下或是在多个分类变量的水平组合下测量一个连续反应变量(因变量),这个反应变量的总变异可被解释为分类变量的效应(即主效应,如A ,B 分别表示由于分类变量A 和B 的不同水平引起的变异)或分类变量的组合产生的效应(即交互效应,如A*B 表示A 和B 的交互作用,或嵌套效应,如B(A)表示B 的效应嵌套在A 之下),余下的变异为随机误差;同时将总自由度ν分解为对应的各部分自由度之和。
例如在单因素完全随机设计方差分析中,方差分析的统计量为F 值,误差误差组间组间误差组间=νν=/SS /SS MS MS F ,F 值服从F 分布,在一定的显著水平下,如果F 大于F 界值,说明该分类变量有统计学意义,即对应的各水平间的总体均数的差别有显著性,这就是方差分析的基本思想。
方差分析有三个应用条件∶①各样本是相互独立的;② 各样本数据来自正态总体;③各处理组总体方差相等即方差齐性。
因此在作方差分析之前,要作正态性检验和方差齐性检验,如不满足上述要求,可考虑作变量变换,使其基本达到正态和方差齐性。
常用的变量变换方法有平方根变换(如Poisson 分布的计数资料)、平方根反正弦变换(如服从二项分布的率的资料)、对数变换(标准差与均数之间成正比关系,各组CV 值比较接近时的资料)及倒数变换(标准差与其均数的平方成正比关系时的资料)。
方差分析的常用设计类型有完全随机设计、随机区组设计、拉丁方设计、析因试验设计、正交设计、系统分组设计、裂区试验设计等。
5.2 多样本的正态性检验和方差齐性检验利用测得的三组大白鼠营养试验中每组测得12只大鼠的尿中氨氮的排出量x (mg/6天)建立SAS 数据集work .ex1,编写的SAS 程序如下:DATA EX1;DO GROUP=1 TO 3; DO I=1 TO 12; INPUT X@@; OUTPUT; END; END; CARDS;30 27 35 35 29 33 32 36 26 41 33 31 43 45 53 44 51 53 54 37 47 57 48 42 82 66 66 86 56 52 76 83 72 73 59 53 ; RUN;5.2.1 多样本的正态性检验例5.1对SAS数据集work.ex1中以group分组的三组数据x分别作正态性检验。
田间统计第5章_方差分析(第1节)
在计算处理内平方和时,kn个离均差
( xij xi ) 要受k个条件的约束,即
(x
j 1
n
ij
xi ) 0 (i=1,2,…,k)
故处理内自由度为资料中观测值的总个数
减 k ,即 kn - k 。 处理内自由度记为 dfe
dfe=kn-k=k(n-1)
因为
nk 1 (k 1) (nk k ) (k 1) k (n 1)
F 分布密度曲线是随自由度df1、df2的
变化而变化的一簇偏态曲线,其形态随着df1、 df2的增大逐渐趋于对称,如图3-15所示。
特点:1、F分布的平均数μ F=1; 2、取值范围[0,+∞]; 3、只有一尾概率,右尾概率; 4、F分布是一组曲线系,当V1、V2都 趋近于+∞时,F分布趋于对称分布。
(二)、F检验
用 F 值出现概率的大小推断一个总
体方差是否大于另一个总体方差的方法
称为F检验(F-test)。F检验是一尾检验。
对于单因素完全随机设计试验资料的方差
分析:
无效假设H0:μ1=μ2=…=μk
备择假设HA:各μi不全相等 或 假设 H0:σt2=σe2 对 HA:σt2﹥σe2, F=MSt / MSe,也就是要判断处理间均方
j
Hale Waihona Puke LSDa t a ( dfe ) S xi x j
t ( df e ) 为在F 检验中误差项自由度下,显著水平
为α的临界t 值, S x x 为均数差数标准误, i j
S xi x j
2MS e / n
MS e 为F 检验中的误差均方,n为各处理的重复数。
当显著水平α=0.05和0.01时,从t 值表中查出
第五章方差分析
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5.2
单因素方差分析
5.2.1 用INSIGHT作单因素方差分析
5.2.2 用“分析家”作单因素方差分析
5.2.3 用过程进行单因素方差分析
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STAT
5.2.1 用INSIGHT作单因素方差分析
1. 实例
【例5-1】消费者与产品生产者、销售者或服务的提供 者之间经常发生纠纷。当发生纠纷后,消费者常常会向 消费者协会投诉。为了对几个行业的服务质量进行评价, 消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业 分别抽取了不同的企业作为样本。每个行业各抽取5家 企业,所抽取的这些企业在服务对象、服务内容、企业 规模等方面基本上是相同的。然后统计出最近一年中消 费者对总共20家企业投诉的次数,结果如表5-4。
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3. 方差分析表
通常将上述计算结果表示为表5-1所示的方差分析表。
表5-1 单因素方差分析表
来源Source 自由度DF 平方和Sun of Square 平均平方和 Mean Square F统计量 F value p值Pr > F
组间
组内 全部(C-tatol)
对于给定的显著性水平α 当值p = P{FA > FA0} < α时拒绝H0A; 当值p = P{FB > FB0} < α时拒绝H0B。 其中,FA0为FA统计量的观测值,FB0为FB统计量的观 测值。
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2. 有交互作用的多因素方差分析
对于有交互作用的观测{xijk},采用以下的模型: xijk= + i + j + ij + ijk, 1≤i≤l,1≤j≤m,1≤k≤n 其中表示平均的效应,i和j分别表示因素A的第i个 水平和因素B的第j个水平的附加效应, ij 表示因素A的 第i个水平和因素B的第j个水平交互作用的附加效应。 ijk为随机误差,这里也假定它是独立的并且服从等方差 的正态分布。 注意,其中n必须大于1,即为了检验交互作用,必须 有重复观测。
第五章方差分析Word文档
第五章方差分析方差分析是通过实验数据对影响产品的质量、产量的多个可控因素作统计分析,以分清因素的主次及水平组合形式,并求出最优组合形式,以提高产品质量、产量的一种数学分析方法。
1单因素方差分析,设影响指标的因素仅有一个,设为A 因素,该因素有a 个水平(状态)A 1,A 2^\A a ,在每个水平下,分别作 ni 次实验,i=1,2,|||a 其样本值X jj 〜N (7d 2), i =1,2,|||a ,2或 X j =斗• ;ij , ;ij 〜N (0,二)。
(1)方差分析主要解决: 1、检验A 因素对指标是否有影响及影响的程度,首先提出假设:H 。
「打=二川=4 (在各水平下的均值相等)H i : " i = " j j = j i, j,二 1 112 a (至少有一对不相等)其检验的思想方法是若组间(各水平间)平方和大,表明 A 因素对指标是有影响的,否则,组间平方和小,表明A 因素对指标没有影响。
又组内(随机误差)平方和小, 用F -检验法即F 值大可拒绝 H 0,表明 A 因素影响显著,否则接受 H 0,表明 A 因素影响不 显著。
2、计总体的均值和方差 7,「2川 叮二2。
(2)方差分析的方法:a1、样本值 X j ,i =1,2,1 Ha ,j =1,2^|n i ,n^n ,共有n个样本值,7a n i设X L = 7、Xij ,表所有样本值之和,总平均值1 j m又X x- X 表示第i 个的水平下样本值之和,i =1,2,1"a , X L =乙 X ijj 亠和=丄:X,表示第i 个的水平下样本均值,'m j± n '',且有:a门)a aa门) _1 1X L = ' n i X i_ =' X i X j = nX ,1 2 1 2X X L , X 2X_,nnyjm i¥i 1 i =1 j :in. ii' (Xj —X [)»X j —n i XT =n i 可—n 区=0, j 4 j 4 ~~ ~2、平方和:a n称S T(X j -X)2为总的离差平方和,其计算公式为i 2 j 二a na gS r =、、(X i j -X)X ij—X 二二(X j-X)i =1 j =1i = 1j 1a m x2ija n=E Z-X" 'X j -X(nX -nX)i4 'j = 1i= 1 = :1a n i =s zx 2ij—2- nXi 4 j 4a niX j-丄X[2i 4 j 4na m称S A■ (X^ -X)2为因素A 的组间平方和,其计算公式为:i二 j 二a m _ _ a ni _S A ' (X^ -X)X T - X! 1 (X T -X)i J j 1-i 4 j ±- ani ___ 2=、'' X i || i士 j 吕a2二、nX j|_i z !a _______ ,=、n X Li妊「丄xl i i 口a m _-X' '、■ X i -X(nX -nX) i 4 j 4 -a-X 二 r )i X ii =1—2—nX -X : n(X ; —- X j =丄人」,),n j 壬n iani称S E —' (X ij -XL 2为第i 个水平下的组内平方和,其计算公式为:i =i j =1a n i__ ______ _____由 S r 一 a a (X jj —X jL X j_ — X)2i :1 j :1…i2 a □ …•二二(X j —X iL )2+、、(瓦 _X )2 + 2'、(X j —X i"* —X)i A j Aa二 S ES A 2、 i丄二 S ES A即有:S^S T -S A ,3统计分析又由 E^) =E 2(n - a)匕 n -a ,有 E (--;「2, n —a 得方差二2的估计量为;「=旦。
第五章方差分析144页PPT
性降低,从而降低检验的灵敏性。
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例如,试验有5个处理 ,每个处理 重复 6次,共有30个 观测值。进行t检验时,每次只能利用两个处理共12个观 测值估计试验误差 ,误差自由度为 2(6-1)=10 ;若利 用整个试验的30个观测值估计试验误差 ,显然估计的精 确性高,且误差自由度为5(6-1)=25。可见,在用t检 法进行检验时 ,由 于估计误差的精确性低,误差自由度
方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。
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1 方差分析的基本原理与步骤
1.1 线性模型与基本假定
假设某单因素试验有k个处理,每个处理有n 次重复,共有nk个观测值。试验资料的数据模式 如表5-1所示。
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表5-1 k个处理每个处理有n个观测值的数据模式
用 t 检验,须采用方差分析法。
上一张 下一张 主 f variance) 是由英国统计学家
R.A.Fisher于1923年提出的。
方差分析是将k个处理的观测值作为一个整体 看待,把观测值总变异的偏差平方和及自由度分解 为相应于不同变异来源的偏差平方和及自由度,进 而获得不同变异来源的总体方差估计值;由总体方 差估计值构造F统计量,计算F值,检验各样本所属 总体平均数是否相等。
束,即
n
(xi
j
xi.
)
0(i=1,2,…,k。故处理内自
j1
由度为资料中观测值的总个数减k,即kn-k 。
处理内自由度记为dfe,
dfe=kn-k=k(n-1)
《应用数理统计》第五章方差分析课后作业参考答案
第五章 方差分析课后习题参考答案5.1 下面给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数:设小白鼠存活日数服从方差相等的正态分布,试问三种菌型的平均存活日数有无显著差异?(01.0=α)解:(1)手工计算解答过程 提出原假设:()3,2,10:0==i H i μ记167.2081211112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑∑====r i n j ij ri n j ij T i iX n X S467.7011211211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∑====r i n j ij ri n j ij iA ii X n X n S7.137=-=A T e S S S当H成立时,()()()r n r F r n S r S F e A ----=,1~/1/本题中r=3经过计算,得方差分析表如下:查表得()()35.327,2,195.01==---F r n r F α且F=6.909>3.35,在95%的置信度下,拒绝原假设,认为不同菌型伤寒杆菌对小白鼠的存活日数有显著影响。
(2)软件计算解答过程组建效应检验Dependent Var iable: 存活日数a70.429235.215 6.903.004137.73727 5.101208.16729方差来源菌型误差总和平方和自由度均值F 值P 值R Squared = .338 (Adjusted R Squared = .289)a.从上表可以看出,菌种不同这个因素的检验统计量F 的观测值为6.903,对应的检验概率p 值为0.004,小于0.05,拒绝原假设,认为菌种之间的差异对小白鼠存活日数有显著影响。
5.2 现有某种型号的电池三批,他们分别是甲、乙、丙三个工厂生产的,为评论其质量,各随机抽取6只电池进行寿命试验,数据如下表所示:工厂 寿命(小时) 甲 40 48 38 42 45 乙 26 34 30 28 32 丙39 40 43 50 50试在显著水平0.05α=下,检验电池的平均寿命有无显著性差异?并求121323,μμμμμμ---及的95%置信区间。
第5章 方差分析
x1
x2
xi
K xk
1 xi = ni
∑x
j =1
ni
ij
1 总均数 x = N
1 ∑∑ xij = N i j
∑n x
i =1
k
i i
总离差平方和: 总离差平方和:即所有样本值与其总均数偏差的平方和
SS = ∑∑ ( xij − x ) = ∑∑ ( xij − xi ) + ( xi − x )
有六种不同的中药杀虫剂,为了分析它们的杀虫效果, 例2 有六种不同的中药杀虫剂,为了分析它们的杀虫效果,对其 杀虫率做了如下试验, 杀虫率做了如下试验,推断这六种杀虫剂的效果差异是否有显 著意义. 著意义. 药物
杀 虫 率 一 87.4 85.0 80.2 二 90.5 88.5 87.3 94.7 361.0 三 56.2 62.4 四 55.0 48.2 五 92.0 99.2 95.3 91.5 378.0 六 75.2 72.3 81.3
∑n (x − x)
i =1 i i
2
它表示系统误差, 它表示系统误差,即各组均数对总均数的离差平方和 结论:总离差平方和=组内离差平方和+ 结论:总离差平方和=组内离差平方和+组间离差平方和
根据:自由度=统计量中独立变量的个数根据:自由度=统计量中独立变量的个数-约束条件个数
SSe中
∑( x
j =1
− xi ) + ∑ ni ( xi − x )
2 k i =1
2
从上式可看出,SS可分解成两项之和 从上式可看出,SS可分解成两项之和 组内离差平方和: 组内离差平方和: =1 j =1
k
ij
− xi
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两因素完全随机实验的简单效应分析演示
例6 某心理学工作者从两个高中班级的男生和女生中各抽取了10
名学生参加心理健康水平测查,结果如下。试分析学生的心理健 康水平是否具有班级差异和性别差异。
被试 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1班 男 45 30 52 40 28 38 50 52 30 35 女 55 45 30 56 35 40 48 40 50 65 男 22 30 40 30 35 20 36 25 30 28 2班 女 53 32 54 50 40 35 39 40 50 30
一、单因素完全随机实验设计方差分析(One way 方差分析)
例1 某研究者为考察所喝咖啡的浓度是否会影响人们反应的快慢,从
某大学一年级男生中随机抽取了15名学生,再随机分成三组。每一学
生都要喝一杯咖啡,20分钟后测试每一被试的简单反应时间。三组所 喝咖啡的浓度分别为:淡、中、浓,实验数据如下表所示,请问:咖
法分解,所以本研究的变异可分解为两部分:一部分是自变量水平差异
引起的变异、一部分是被试差异和测量引入的误差,研究中把后一部分 变异叫做残差。方差分析的过程是: 第一步:计算总变异,即全体数据的离差平方和; 第二步:计算自变量水平差异引起的变异:可以将各组内部的差异性平 均掉,即以各组数据的平均数替代各组中的每一个数,这样构成的数据
如何选择事后多重比较的方法
(1)当研究者只关心成对比较时,Tukey检验和S-N-K检验
是较好的选择。但S-N-K检验更容易拒绝虚无假设。 (2)有人(Petrinovich & Hardyck, 1969)建议: 当进行成对 比较时, Tukey检验是较好的选择,它既有较好的检验力, 也能控制Ⅰ类错误;当进行任意多个比较的时候,Scheffe检
几种事后多重比较方法的优劣 (1)LSD:对全方差分析显著后所作的比较不做任何校正。 相当于纯粹的t检验,犯Ⅰ类错误的概率会比较大。 Bonferroni对此进行了一定的校正。
(2)Tukey:对所有可能的比较控制实验错误率,并对所有
的比较使用相同的严格的校正。 (3)S-N-K:使得每个比较,甚至极端组的比较,都被调整 在α水平。 (4)Scheffe:使用了非常严格的校正。
就只有了组间差异,所以此时计算总的变异,就等于是自变量水平引起
的变异; 第三步:总变异减去自变量水平引起的变异就等于被试差异和测量误差
共同引起的数据变异。
第四步:用各自对应的自由度去除变异平方和,得到各自的方差; 第五步:计算自变量引起的方差除以误差项引起的方差,得到检验统计 量F,从而检验自变量引起的方差是否显著的大于误差引起的方差; 第六步:根据F分布,确定自变量效应的显著性水平; 第七步:如果F达到显著性水平,则可以进行多重比较,考察两两之间 的差异性是否显著。
在反应时间的显著性差异?
5岁 10岁 15岁 20岁
300
350 320
230
190 185
190
175 180
165
160 145
345
330
215
190
165
210
150
170
这一研究的数据可以通过SPSS程序来完成
One Way方差分析程序的适用条件: 1.三个以上的相等独立被试组参加不同条件下的实验, 观测得到三组以上的独立数据组; 2.来自不同总体的三个以上的独立被试组在相同条件 下接受同样的观测,得到三组以上的独立数据组; 3.因变量必须是连续测量的数据或近似于连续变化的
验是较合适的选择。
上述过程均可以通过SPSS程序来完成 ONEWAY ANOVA
ONEWAY方差分析过程2
ONEWAY方差分析过程3
例4 研究者为考察反应时间的发展性变化趋势,分别从5岁、10岁、15 岁、20岁人群中随机抽取5名男性被试,在相同实验条件下完成一相同 的快速反应作业,记录反应时间,结果如下表所示。试问:被试是否存
数据;
4.符合方差齐性的条件。
二、多因素完全随机实验设计方差分析个,每个自变量的水平在两个
以上时,就会结合出四个以上的实验处理。将选取来的被试分成四个
独立组,每个组被试只接受一种条件下的实验观察,则构成多因素完 全随机实验设计。其数据分析则要使用SPSS程序中的“General
Linear Model-Univariate”模块。
例5 某心理学工作者为研究线段长度和箭头角度对缪勒-莱伊尔错觉
的影响,选取20名被试再随机分成四组,分别在四种实验条件下完成 线段长度判断任务。被试的错觉量如下页表所示。请采用手工方式和 使用SPSS软件进行方差分析。
被试 1 2 3 4 5
150
啡浓度对反应速度有明显影响吗?
被试号 1 2 3 4 5 淡 150 160 165 155 160 中 160 155 170 145 160 浓 145 130 140 150 130
这一实验中,得到了三组共15个数据,这些数据存在变异性,而变异的
原因至少可以分解为如下方面:所喝咖啡的浓度不同、被试之间反应的 差异、测量中引入的测量误差。但是被试差异和测量误差带来的数据无
使用SPSS程序处理
三因素完全随机实验的简单效应分析程序 假设:一个两因素完全随机实验中,A因素有两个水平、B因
素有两个水平,C因素有两个水平,因变量是Y,检验B因素
在A和C的两个水平上的简单效应、在C1和C2水平上B因素在 A1和A2水平上的简单简单效应程序如下: MANOVA Y BY A(1,2)B(1,2)C(1,2) /DESIGN=B WITHIN A(1) B WITHIN A(2) B WITHIN C(1) B WITHIN C(2) /DESIGN=B WITHIN A(1)WITHIN C(1) B WITHIN A(1)WITHIN C(2) B WITHIN A(2)WITHIN C(1) B WITHIN A(2)WITHIN C(2).
事后多重比较
LSD: Least-Significant Difference 最小显著差法。α 可指定0-1 之间任何显著性水平,默认值0.05
Bonferroni: α 可指定0-1之间任何显著性水平,默认值0.05 Duncan: 多范围检验。α 可指定0.05、0.01、0.1,默认值0.05 S-N-K: Student-Newman-Keuls检验,即q检验。 α只能为0.05 Tukey: Student-Newman-Keuls检验,即q检验。 α只能为0.05 Scheffe: 差别检验法,α可指定0-1之间任何显著性水平,默认值 0.05 Tukey-HSD检验、 S-N-K检验主要使用q检验 LSD检验、 Bonferroni检验主要使用t检验 Scheffe检验主要使用F检验
450
10cm 2 1
2 1 3
20cm 5 4
3 6 4
10cm 2 1
1 0 2
20cm 3 2
4 5 3
多因素完全随机实验设计的方差分析
两因素完全随机实验的简单效应分析程序
假设:一个两因素完全随机实验中,A因素有两个水平、B因
素有三个水平,因变量是Y,检验B因素在A的两个水平上的 简单效应的程序如下: MANOVA Y BY A(1,2)B(1,3) /DESIGN=B WITHIN A(1) B WITHIN A(2) .
第五章 方差分析
方差分析(Analysis of Variance, 简称ANOVA)是因素型实验研究
的数据处理的核心方法,这是由其基本的研究逻辑决定的。因素型实验 研究会得到多组数据,而这些数据必然存在变异,即出现大小变化。数
据变异的原因是多方面的,一般包括:自变量或准自变量的水平间差异、
被试间的差异、测试过程引入的测量误差、其它的额外变量等。因素型 实验的目的就是考察自变量或准自变量引起的数据变化是不是足够的大, 以至于可以认为其不同水平间因变量的差异性并非误差因素造成,而且 这种评估是与误差因素引起数据的变化量相比较而完成的。数据变异可 以通过离差平方和或方差来反映,所以关于数据变异的分析叫方差分析。