东华大学卓越计划概率论第5章

U 0, 分布，试证明Yn max X i 依概率收敛 1 i n
于 。
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二、伯努利大数定理
设fA是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事 件A在每次试验中发生的概率，则对于 0，有
fA fA lim P p 1或 lim P p 0 n n n n
dt
⑴ 该定理为中心极限定理的特例。 ⑵ 解决了二项分布中当n很大时的概率计 算问题。
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证明：令n X 1 X 2 X n，Xi服从0-1分布。
E X i p, D X i p1 p , i 1,2,
E n np, Dn np1 p
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证明：因X1,X2,…,Xn相互独立，故
1 1 n 1 n E Yn E X i E X i n n n i 1 n i 1
1 2 1 n 1 n DYn D X i 2 D X i 2 n 2 n n n i 1 n i 1
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二、德莫佛-拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理 设随机变量 n n 1,2, 服从参数为n,p(0<p<1)
的二项分布，则对于任意区间[a,b]，恒有
b 1 n np lim P a b e n np1 p a 2π t2 2
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n np lim P a b b a n np1 p
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三、有关中心极限定理的计算步骤
1、若X1,X2,…,Xn,…独立且同分布（任何分
布均可），令 n X 1 X 2 X n，计算
E n , Dn 。
2 1 n 事实上，Yn X i， E Yn , DYn 。 n i 1 n
Yn EYn Zn 即为标准化量。 DYn
该定理表明，只要n充分大，
1 n Xi n i 1
Zn


X
i 1
n
i
n ~ N (0,1)
n
n
从而便于计算 P{Zn≤x}。
概率论中序列 Yn 为随机变量序列， Yn 依概
率收敛于a指：
0 ，当n充分大，事件 Yn a 发生的概
率很大，接近于1，即
lim PYn a 1
n
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但并不排除 Yn a 不发生，可能性很小而已。
例1：设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立，则
2、当n充分大时，n ~ N E n , Dn 。
n E n 3、对 n进行标准化，即 Z n 。 D n
4、 Z n ~ N (0,1)，查表计算。
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四、有关例子：
例1：设随机变量Xn服从二项分布B(n, p)， 0<p<1,n＝1,2,…，则对于任一实数x，有
lim P X n np x＝【 n
】
1 (B) e 2π 0
x t2 2
(A)
1 e 2π
x
t2 2
dt ；
dt ；
(C) 0；
(D) 0.5。
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例2：在概率的近似计算中的应用： ⑴ X~b(104,0.1)，P{X<990}； ⑵ Y ~ π(100)，求P{Y≥120}。 例3：某校学生会主办一次周末晚会，共发
lim PYn a 1
n
定义：设Y1,Y2,…,Yn,…是一个随机变量序列，a
则称序列Y1,Y2,…,Yn,…依概率收敛于a。 注意依概率收敛与微积分中的收敛的区别。
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微积分中序列 an , lim an a 指： n
0, N 0, 当n>N时，恒有 an a 成立。
具有有限的数学期望： E X i i 1,2,
1 n 令 Yn X i ， n i 1
前n项算术平均
则 0 ，有
1 n lim P Yn lim P X i 1 n n n i 1
2
E X i 0 1 p 1 p p
i 1,2,, n
因此X1,X2,…,Xn满足切比雪夫定理的条件，
1 n fA Yn X i n i 1 n
fA lim P p 1 n n
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§5.2 中心极限定理 一、中心极限（又称列维-林德伯格）定理
概率论与数理统计
第五章 大数定律及中心极限定理
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概率论中有两类极限定理 ⑴ 大数定律：从理论上证明随机现象的“频
率稳定性”，并进一步推广到“算术平均值法
则”。 ⑵ 中心极限定理：证明了独立随机变量标 准化和的极限分布是正态分布或近似正态分 布。
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§5.1 大数定律
一、弱大数定理（辛钦大数定理）
设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立同分布，且
设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立且同分布，
E X i , D X i 2 0, i 1,2,
则随机变量 Z n
X
i 1Biblioteka Baidu
n
i
n
n
的分布函数Fn(x)对于任意实数x，满足
n t2 X i n x 1 2 i 1 lim Fn x lim P x e d t x 2π n n n 11
出邀请书150张，按照以往的经验，接到邀
请书的人约有80％能到会，试求前来参加晚 会的人数在110～130之间的概率。
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例4：设有2500个同一年龄段和同一社会阶层
的人参加了某保险公司的人寿保险。在一年中
每个人死亡的概率为0.002。每个人在年初向
保险公司交纳保费120元，而若在一年内死亡
时，其家属可以从保险公司领到2万元的赔偿。
辛钦大数定律成立只须X1,X2,…,Xn,… 【
(A) 有相同的数学期望；
】
(B) 服从于同一离散型分布；
(C) 服从于同一连续随机变量；
(D) 服从于同一指数分布。
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例2：将一枚骰子重复掷n次，则当 n 时，
n次掷出点数的算数平均值依概率收敛于
。
例3：设随机变量X1,X2,…,Xn独立同服从于
由中心极限定理，
n X i np n np i 1 lim P x lim P n np1 p n np1 p t2 x 1 2 x e dt 2π
试求： ⑴ 保险公司亏本的概率为多少？ ⑵ 保险公司获利不少于10万元的概率为多少？
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例5：银行为支付某日即将到期的债券须准
备一笔现金，已知这批债券共发放了500
张，每张支付本息1000元。设持券人(1人1券)
到期日到银行领取本息的概率为0.4，问银行
该日应准备多少现金才能以99.9%的把握满足 客户的兑换？
该定理表达了“频率的稳定性” 原理以及 “小
概率事件实际几乎不可能发生”的原理。
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证明：引入随机变量
0 第i次试验中A不发生 Xi i 1,2,, n 1 第i次试验中A发生 f A X1 X 2 X n 则
Xi服从0-1分布且相互独立，
D X i p p p1 p
又由切比雪夫不等式
2 DYn 即 P Yn 1 2 PYn E Yn 1 2 n
所以
lim P Yn 1
n
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1 n 该定理表明，只要n充分大， n X i 以很大 i 1
的概率取值接近于数学期望 。 是一个常数，若对 0，有