2019 年初中数学联赛试题

初中数学联赛试题

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试(A)

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1.设二次函数

2

22

2

a

y x ax

=++的图象的顶点为A，与x轴的交点为B,C.当△ABC为

等边三角形时，其边长为( )

A.6

B.22

C.23

D.32

2.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BD于点E，AB=1，∠CAE=15°，则BE=( )

A.

3

3

B.

2

2

2-1 3

3.设p,q均为大于3的素数，则使p2+5pq+4q2为完全平方数的素数对(p,q)的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

4.若实数a,b满足a-b=2,()()

22

11

4

a b

b a

-+

-=,则a5-b5=( )

A.46

B.64

C.82

D.128

5.对任意的整数x,y，定义x@y=x+y-xy，则使得(x@y)@z+(y@z)@x+(z@x)@y=0的整数组(x,y,z)的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

6.设

1111

2018201920202050

M=++++

L，则

1

M

的整数部分是( )

A.60

B.61

C.62

D.63

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1.如图，在平行四边形ABCD 中，BC =2AB ，CE ⊥AB 于E ，F 为AD 的中点，若∠AEF=48°，则∠B=_______.

2.若实数x ,y 满足()3311542

x y x y +++=，则x +y 的最大值为_______. 3.没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为_______.

4.已知实数a ,b ,c 满足a +b +c =0，a 2+b 2+c 2

=1，则555

a b c abc ++=_______.

第一试(B)

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1.满足(x 2+x-1)x+2的整数x 的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

2.已知x 1,x 2,x 3 (x 1＜x 2＜x 3)为关于x 的方程x 3-3x 2+(a+2)x-a=0的三个实数根，则

22211234x x x x -++=( )

A.5

B.6

C.7

D.8

3.已知点E ，F 分别在正方形ABCD 的边CD ，AD 上，CD=4CE ，∠EFB=∠FBC ，则tan ∠AB F ＝( )

A.12

B.35

4.=的实数根的个数为( )

A.0

B.1

C.2

D.3

5.设a,b,c为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018，则这样的三元数组(a,b,c)的个数为( )

A.4

B.5

C.6

D.7

6.已知实数a,b满足a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，则a+b=( )

A.2

B.3

C.4

D.5

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1.已知p,q,r为素数，且pqr整除pq+qr+rp-1，则p+q+r=_______.

2.已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为_______.

3.已知D是△ABC内一点，E是AC的中点，AB=6，BC=10，∠BAD=∠BCD，∠EDC=∠ABD，则DE=_______.

4.已知二次函数y=x2+2(m+2n+1)x+(m2+4n2+50)的图象在x轴的上方，则满足条件的正整数对(m,n)的个数为_______.

第二试（A）

一、（本题满分20分）设a,b,c,d为四个不同的实数，若a,b为方程x2-10cx-11d=0

的根，c,d为方程x2-10ax-b=0的根，求a+b+c+d的值.

二、（本题满分25分）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=12，点C在OA 上，AC=4，点D为OB的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为F.

（1）当四边形ODEC的面积S最大时，求EF；

（2）求CE+2DE的最小值.

三、（本题满分25分）求所有的正整数m ,n ，使得

()33222m n m n m n +-+是非负整数.

第二试（B ）

一、（本题满分20分）若实数a ,b ,c 满足(a+b+c)

11195555a b c b c a c a b ⎛⎫++= ⎪+-+-+-⎝⎭，求(a+b+c)111a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值.

二、（本题满分25分）如图，点E 在四边形ABCD 的边AB 上，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，AB =AC ，DE =DC .

（1）证明：AD //BC ；（2）设AC 与DE 交于点P ，如果∠ACE=30°，求DP PE

.

三、（本题满分25分）设x 是一个四位数，x 的各位数字之和为m ，x+1的各位数字之和为n ，并且m 与n 的最大公约数是一个大于2的素数.求x .