系统的频率响应函数
系统的频域响应函数
系统的频域响应函数系统的频域响应函数是指系统对不同频率的输入信号所产生的输出响应。
在信号处理和控制系统中，频域分析是一种重要的工具，通过分析系统的频域响应函数可以得到系统的频率特性，进而对系统进行设计和优化。
1. 概述在信号处理领域中，频域响应函数通常用传递函数或频率响应来表示。
传递函数是输入信号和输出信号之间的比值，它描述了输入信号在不同频率下通过系统时的增益和相位变化。
频率响应则是传递函数在复平面上的表示，它包含了传递函数的幅度和相位信息。
2. 传递函数传递函数是描述线性时不变系统（LTI）的重要工具之一。
它用H(s)表示，其中s为复变量。
传递函数可以由系统的微分方程或差分方程推导得到。
3. 频率响应频率响应是传递函数在复平面上的表示。
它可以通过将s替换为jω来得到，其中j为虚数单位，ω为角频率。
将传递函数H(s)转换为H(jω)，即可得到系统在不同角频率下的幅度和相位信息。
4. 幅度特性幅度特性描述了系统对不同频率输入信号的增益情况。
通常用dB来表示，即20log10(|H(jω)|)。
幅度特性可以通过将传递函数H(s)转换为H(jω)，然后计算|H(jω)|来得到。
5. 相位特性相位特性描述了系统对不同频率输入信号的相位变化情况。
通常用角度来表示，即arg(H(jω))。
相位特性可以通过将传递函数H(s)转换为H(jω)，然后计算arg(H(jω))来得到。
6. 频域响应函数的求解方法求解频域响应函数有多种方法，包括直接计算、傅里叶变换、拉普拉斯变换等。
具体选择哪种方法取决于系统的特点和问题的要求。
7. 直接计算法直接计算法是一种简单直观的方法，适用于简单系统或已知传递函数的情况。
它通常通过将传递函数H(s)转化为频率响应H(jω)，然后计算幅度和相位来得到频域响应函数。
8. 傅里叶变换法傅里叶变换法是一种广泛应用于信号处理领域的方法。
它利用傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，从而得到频域响应函数。
系统的频率响应函数
系统的频率响应函数
频率响应函数通常用H(ω)表示，其中ω为角频率。
频率响应函数
可以分为振幅响应和相位响应两个部分。
振幅响应函数H(ω)的模值，H(ω)，表示系统对不同频率的输入信
号的放大或衰减程度。
振幅响应函数通常使用分贝（dB）单位表示。
若，
H(ω)，为0dB，则表示系统对该频率的信号不进行放大或衰减；若，
H(ω)，为正值，则表示系统对该频率的信号进行放大；若，H(ω)，为负值，则表示系统对该频率的信号进行衰减。
相位响应函数H(ω)的角度表示系统对不同频率的输入信号的相位差。
相位响应函数通常使用角度（°）单位表示。
相位响应可以告诉我们系统
对不同频率信号的相位差，尤其对于时域信号的传输和滤波具有重要的意义。
系统的频率响应函数可以通过多种方法来得到，比如频率域采样、离
散傅里叶变换、Z变换等。
对于线性时不变系统，频率响应函数H(ω)可
以通过系统的冲激响应函数h(t)和冲激函数δ(t)之间的关系求得，即
H(ω) = ∫h(t)e^(-jωt)dt。
频率响应函数对于系统分析和设计具有重要的意义。
在系统控制和滤
波方面，我们可以通过频率响应函数对系统的频率特性进行评估和优化。
在通信系统中，频率响应函数可以帮助我们了解系统对不同频率的信号的
传输特性，从而对系统进行调整和改进。
总结起来，系统的频率响应函数是系统对不同频率信号的放大或衰减
程度以及相位差的表征。
通过频率响应函数，我们可以对系统的频率特性
进行评估和优化，从而在系统分析和设计中起到重要的作用。
传递函数和频率响应函数的概念
传递函数和频率响应函数的概念1. 传递函数与频率响应函数的定义传递函数和频率响应函数是在控制系统分析中经常被使用的两个重要概念。
传递函数表示了系统的输入和输出之间的关系，通常用于描述线性时不变系统的动态特性。
而频率响应函数则是描述系统对不同频率信号的响应特性，帮助我们分析系统对于输入信号频率的衰减或放大情况。
2. 传递函数的深入理解传递函数通常用 H(s) 或 G(s) 表示，其中 s 是复数变量。
传递函数可以表示为系统的输出与输入的比值，其实际上是系统的冲激响应与冲激输入的拉普拉斯变换。
通过传递函数，我们可以分析系统对于各种输入信号的时域和频域响应，从而更好地理解系统的动态特性。
3. 频率响应函数的广度分析频率响应函数通常可以表示为H(jω)，其中ω 是频率变量。
它可以描述系统对于不同频率输入信号的幅度和相位特性，通过频率响应函数，我们可以清晰地了解系统在不同频率下的放大或者衰减情况，从而更好地设计控制系统并进行频域分析。
4. 传递函数和频率响应函数间的关系传递函数和频率响应函数之间存在着密切的关系。
事实上，频率响应函数可以通过传递函数来得到，通过传递函数的极点和零点，我们可以清晰地了解系统对于不同频率信号的响应情况，从而利用频率响应函数来优化系统的控制性能。
5. 个人观点和理解对于传递函数和频率响应函数的理解，我认为它们是控制系统分析和设计中非常重要的概念。
通过对传递函数和频率响应函数的深入理解，我们可以更好地了解系统的动态特性，在控制系统设计中更加灵活地选择合适的控制策略。
频率响应函数还可以帮助我们进行系统的稳定性分析和频域设计，对于系统的性能指标如稳定裕度、相位裕度等有着重要的指导意义。
总结回顾传递函数和频率响应函数作为控制系统分析中的重要概念，对于系统的动态特性和频域特性有着深刻的影响。
通过对传递函数和频率响应函数的分析，我们可以更好地理解系统的动态响应和频率特性，从而更好地设计和优化控制系统。
信号与系统讲义第五章1引言及无失真传输条件
无失真：时域波形传输不变
e(t )
e(t)
线性网络
t
H ( j)
R( j) KE( j)e jt0 R( j) E( j)H ( j)
r (t )
t t0
r(t) K e(t t0 )
H ( j) R( j) Ke jt0 E( j)
频域无失真条件： H ( j) Ke jt0
H( j) K () t0
r(t) e(t)*h(t)
R( j) E( j)H( j) H ( j) LT[h(t)] H ( j) R( j)
E( j)
对稳定系统
H (s)
H ( j) H (s) s j
系统函数还可以通过对微分方程取傅氏变换而得到
求矩形脉冲通过低通滤波器的响应
v1 (t )
E
t
0
输入信号波形
R
傅里叶变换在现代通信系统中的应用非常多，典 型的应用就是——滤波、调制与解调、抽样
频域系统函数——系统的频率响应函数H(jw)
稳定系统：s域系统函数→频域系统函数
频域系统函数H(jw)描述了系统对信号的各频率
成份的加权
傅氏变换将信号分解为无穷多项ejwt信号的叠加
S域系统函数H(s)描述系统对复指数信号est的加
5.3 无失真传输
信号通过系统传输，由于系统对信号中各频率分 量幅度产生不同程度的衰减，使得响应中各频率 分量的相对幅度产生变化，引起幅度失真。
同样地，由于系统对输入信号各频率分量产生的 相移，信号也会出现失真，称为相位失真
频域由相于移系→统时对域信延号时各频率分量产生的相移不与频
输 输
入 出率成yx正((t相t))比对，ss位iinn使((置响11t产t )应生的s1变)in各(化s频i2，nt率()而分2t引量起在2的) 时失间真轴上的
信号与系统复习题
一、填空题（3*10=30′）1、信号e -2t ε(t)的傅里叶变换为 。
2、已知信号f 1（t ），f 2（t ）的拉普拉斯变换为F 1(s), F 2(s)。
如果y(t)= f 1（t ）* f 2（t ）,则Y(s)= 。
3、若信号f(t)的傅里叶变换为F (jw)，则f(3t-2) 傅里叶变换为 。
4、已知F(jω)=[δ(ω+ω0)-δ(ω-ω0)]，则f （t ）=_________。
5、已知f （t ）=δ（t ）,则其傅立叶变换F(jω)=_________。
6、已知f （t ）的象函数32)(2-+=S S S S F ，则f(0+)=_______,f(∞)=________.7、f （t ）=ε(t)的拉普拉斯变换为_________。
8、某系统差分方程为y(k-2)-5/6y(k-1)+ 1/6y(k)=f(k-1)+2f(k),则该系统函数为H(z)=_________,系统的频率响应函数H (jw e )=_______,9、信号()cos 2f t t π=是否是周期信号 （是或不是），周期= 。
10、已知信号f(t), 则()*()f t t δ = ； ()*(2)f t t δ-= 。
11、从信号频谱的连续性和离散性来考虑，周期信号的频谱是_______________。
12、有限频带信号f(t)的最高频率为100HZ,如果对信号f (2t)进行时域抽样，则最小抽样频率f s 等于13、若信号f （t ）的拉普拉斯变换为F (s)，则f(2t-3) 拉普拉斯变换为 。
14、已知f （t ）的象函数F(S)=2232s s s +++，则f(0+)=_______,f(∞)=________.15、某LTI 的系统微分方程为y ″(t)+5y ′(t)+ 6y(t)=f ′(t)+2 f(t),则该系统的系统函数为H(s )=_________，频率响应函数H (jω)=_______。
系统函数系统频率响应系统单位冲激响应三者之间的关系
系统函数系统频率响应系统单位冲激响应三者之间的关系
系统函数、系统频率响应和系统单位冲激响应是数字信号处理中描述离散系统的重要概念。
三者之间的关系如下：
1. 系统函数（Transfer Function）：系统函数是描述离散系统
的一个复数函数，通常表示为H(z)或H(e^(jω))。
它将输入信
号的频谱与输出信号的频谱之间的关系联系起来。
系统函数是系统频率响应和系统单位冲激响应的拉普拉斯或Z变换。
2. 系统频率响应（Frequency Response）：系统频率响应是系
统函数H(z)在复平面上的取值。
它描述了系统对不同频率的
输入信号的响应情况。
系统频率响应可以通过将系统函数H(z)的变量变为单位复指数来得到，即H(e^(jω))。
3. 系统单位冲激响应（Unit Impulse Response）：系统单位冲
激响应是指当输入信号为单位冲激函数（单位脉冲函数）时，系统的输出响应。
它是系统函数H(z)在z=1处的取值，通常
表示为h[n]。
系统单位冲激响应是系统函数的离散时间反变换。
综上所述，系统函数H(z)是系统频率响应H(e^(jω))和系统单
位冲激响应h[n]]之间的关系。
系统频率响应描述了系统对不
同频率的输入信号的响应情况，而系统单位冲激响应描述了系统对单位冲激函数的响应情况。
系统函数则将这两者联系起来，通过对系统频率响应进行频域拉普拉斯变换或Z变换得到系
统函数，并通过对系统函数进行逆变换得到系统单位冲激响应。
信号与系统§6.4 由系统函数求频率响应
m
s
z
j
m
j
ω
z
j
H jω H s sjω K
j 1 n
sjω K
j 1 n
s Pi
jω pi
i 1
i 1
可见H jω的特性与零极点的位置 有关。
令分子中每一项 jω z j N j ejψj 分母中每一项 jω Pi Mi ejθi
ω ψ1 ψ2 ψm θ1 θ2 θn
当沿虚轴移动时，各复数因子(矢量)的模和
辐角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相 频特性曲线。
s jω
Hjω ——幅频特性
ω ——相频特性（相移特性）
几种常见的滤波器
H ( j) 低通滤波器
H ( j) 高通滤波器
0
c
(a)
H ( j) 带通滤波器
0
c
H ( j)
(b)
带阻滤波器
0
c1
c 2
0
c1
c 2
(c)
(d)
图4-15 滤波网络频响特性示例
根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线
H
jω
K
N1 e jψ1 M1 e jθ1
N2 e jψ2 M 2 e jθ2
Nm e jψm M n e jθn
K
N1N2
N e jψ1ψ2 ψm m
M1M2
M e jθ1θ2 θn n
H jω K N1N2 Nm
M1M 2 M n
将 jω z j、jω - pi都看作两矢量之差，将矢量图画于复 平面内。
§4-6 系统函数与系统的频响特性
H (s)
k s1
(s 1)(s 2 )
H ( j)
k j1
( j 1)( j 2 )
系统函数的零极图如下：
《Signals & Systems》
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
⑴ 当Ω=0，零点矢量的模等于0，相角
等于π/2，幅频响应|H( jΩ)|=0；极点 矢量的相角均等于零， φ(Ω)= (π/2)。 1
如上两例RC电路，试根据其零极图，粗略的画出其频响曲线。
先看以电容电压为输出的情况。其零极 图如下：
R
ui (t)
C
uo (t)
⑴ 当Ω=0，极点矢量指向原点，其模长 为α，相角等于0；于是 |H( jΩ)|=α/α=1,φ(Ω)=0。
⑵ 当Ω↑，极点矢量模↑，相角↑； |H( jΩ)|↓,φ(Ω)=-arctg(Ω/α)↓。
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
§4-6 系统函数的零极点分布与系统的频率响应
一、H(s)与H(jΩ)
由前所讲，拉氏变换是傅氏变换由实频域Ω至复频域s的推广， 傅氏变换是拉氏变换在s平面虚轴上的特例。即
j
H ( j) H (s) |s j
二、H(s)的零极点分布与H(jΩ)
由于H(s)一般是有理分式，即它可表示为
s
C (s p1)(s p2)
上式中 1 ( 1 )2 4
p1,2 RC
RC 2
LC
1 ( 1 )2 1 2RC 2RC LC
《Signals & Systems》
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
令 1
2RC
1 LC
3.系统函数和频率响应
h(n ) z n
稳定系统的系统函数H(z)的ROC须包含 单位圆，即频率响应存在且连续。
因果稳定：ROC： r z , 0 r 1
H(z)须从半径小于1的圆到 的整个z域内 收敛，即系统函数H(z)的全部极点必须在 单位圆内。
2019/1/15 电子工程系
例. 已知系统的极点为
2019/1/15
电子工程系
(2)绘制频率响应的matlab函数：freqz() （3）计算和绘制系统零极点的matlab函数 roots()、zplane() 4.几种特殊的系统
全通滤波器 梳状滤波器 最小相位系统
2019/1/15 电子工程系
P67
本章回顾
1、z变换及性质、收敛域 2、求z反变换：长除法、部分分式展开法 3、利用z变换求解差分方程 4、序列的Fourier变换及性质 5、z变换与Laplace/Fourier变换的关系 6、因果/稳定系统的收敛域 7、离散系统的系统函数和频率响应
0.2e j / 4 , 0.2e j / 4 , 0.4, 2e j / 6 , 2e j / 6 , 1.5 什么情况下，系统为因果系统， 什么情况下，系统为稳定系统
j Im[ z ]
2e
0.2e 4 0.4
j
j
6
1.5
1
Re[ z ]
6
解： 因果系统 z 2
稳定系统 0.4 z 1.5
8、几种特殊的系统
2019/1/15 电子工程系
本章作业： P71-74
4. 5. 6.（3）（4） 8. 13. 15. (1) (3) 18. 21. （3） 23. 24. 28.
系统的频率响应函数
系统的频率响应函数系统的频率响应函数是描述系统输入与输出之间的频率关系的数学函数。
它通常表示为H(ω)，其中H是频率响应函数的符号，ω表示频率。
频率响应函数可以是连续时间系统的拉普拉斯变换，也可以是离散时间系统的Z变换。
在以下的讨论中，我们将主要关注连续时间系统的频率响应函数。
频率响应函数对系统的稳态性能和滤波特性具有重要的影响，因此对于系统的设计和分析来说是非常关键的。
下面我们将介绍一些关于系统频率响应函数的重要概念和性质。
1.频率响应函数的定义：频率响应函数是系统的输出与输入之间的幅度和相位关系的数学表示。
在连续时间系统中，频率响应函数H(ω)可以表示为系统的拉普拉斯变换：H(ω)=G(jω)其中，G(s)是系统的传递函数，s是复变量，j是虚数单位。
2. 幅频特性：系统的幅频特性是频率响应函数的幅度分布关系。
它决定了系统对不同频率的输入信号的放大或衰减程度。
通常用幅度特性曲线表示，可以是Bode图、奈奎斯特图等。
幅频特性的分析可以帮助我们了解系统的增益衰减情况和频率选择性能。
3.相频特性：系统的相频特性是频率响应函数的相位分布关系。
它决定了系统对不同频率的输入信号的相位变化。
相频特性也通常用相位特性曲线表示。
相频特性的分析可以帮助我们了解系统的相位延迟和相位失真情况。
4.幅相特性的分离：频率响应函数可以分解为幅度响应函数和相位响应函数的乘积形式：H(ω)=，H(ω)，*ϕ(ω)其中，H(ω)，表示幅度响应函数，ϕ(ω)表示相位响应函数。
幅相特性的分离可以使系统的分析更加方便和直观。
5.系统的稳定性：频率响应函数对系统的稳态性能具有重要影响。
当频率响应函数在所有ω值处有界时，系统是稳定的。
稳态性能的分析可以通过频率响应函数的幅值来进行，以确定系统的增益补偿。
6.频率响应函数的设计：频率响应函数的设计可以通过选择适当的系统传递函数来实现。
通常，需要根据特定的系统要求和设计目标来选择合适的传递函数，以达到所需的频率响应特性。
机械工程测试技术复习题(有答案)
一,简答题1。
什么叫测试系统的频率响应函数？它和系统的传递函数有何关系?答：测试装置输出信号的傅里叶变换和输入信号的傅里叶变换之比称为装置的频率响应函数，若在系统中的传递函数H(s)已知的情况下，令H(s)中的s=jw 便可求得频率响应函数。
2. 测试装置的静态特性和动态特性各包括那些？答：静态特性：（1）线性度,（2）灵敏度，（3）回程误差,（4）分辨率，（5)零点漂移和灵敏度漂移.动态特性：（1）传递函数，(2）频率响应函数,（3）脉冲响应函数，(4）环节的串联和并联。
3. 在什么信号作用下，系统输出的拉斯变换就是系统的传递函数.答:在单位脉冲信号作用下，(单位脉冲函数δ（t ）=1）。
4. 为什么电感式传感器一般都采用差动形式？答：差动式电感器具有高精度、线性范围大、稳定性好和使用方便的特点。
5. 测试装置实现不失真测试的条件是什么？答:幅频和相频分别满足A （w ）=A 0=常数，Φ（w)=-t 0w ；6. 对于有时延t 0的δ函数）（0t -t =δ ，它与连续函数f （t)乘积的积分dt )(0⎰∞∞--t f t t ）（δ将是什么？答： 对于有时延t 0的δ函数）（0t -t =δ ,它与连续函数f （t ）乘积只有在t=t 0时刻不等于零，而等于强度为f （t 0)的δ函数,在(-∞，+∞)区间中积分则dt )(0⎰∞∞--t f t t ）（δ=dt )(0⎰∞∞--t f t t ）（δ=f （t 0） 8. 巴塞伐尔定即 的物理意义是什么？在时域中计算总的信息量等于在频域中计算总的信息量.9. 试说明动态电阻应变仪除需电阻平衡外，还需电容平衡的原因?答：由于纯电阻交流电桥即使各桥臂均为电阻，但由于导线间存在分布电容，相当于在各桥臂上并联了一个电容，因此，除了有电阻平衡外，必须有电容平衡。
10.说明测量装置的幅频特性A(ω）和相频特性φ(ω)的物理意义。
答：测量装置的幅频特性A(ω）是指定常线性系统在简谐信号的激励下，其稳态输出信号和输入信号的幅值比。
频率响应函数Hjw定义
谐波分析的LabVIEW实现
Express VI----失真测量.vi
P122
波形VI-----谐波分析
P122---谐波分析
4.4 谐波分析及其LabVIEW
谐波------一个周期电气量中的正弦波分量，谐波频 率为基波频率的整数倍。
谐波污染------非线性负载在电力系统中的使用，使 电流和电压波形产生畸变，也称谐波污染。
谐波分析------测量周期信号波形的畸变情况。 各次谐波频率、幅值、相位、 总谐波畸变率THD（谐波相对基波的幅值比例） 基波信号相对于谐波信号的均方值比例SINAD
输入为数组（无采样时间和频率信息） 输出为复数序列（显示需要取实数幅值）
P97例题
4.2 测试信号谱分析及LabVIEW实现
频谱分析 功率谱分析 频率响应函数分析 相干函数分析
4.2.1 频谱分析及其VI
三个层次VI Express VI-----频谱测量
P101-102
H ( j) Y ( j) X ( j)
H(j率响应函数（信号处理\波形测量）
例P112
4.2.4 相关函数分析及其LabVIEW实 现
相干函数 r2xy ( jw) 在频域中反映两个信号 的相关程度。
理想线性系统 r2xy ( jw) 1 输入输出完全不相关 r2xy ( jw) 0
波形VI进行频谱分析
基本函数谱分析
4.2.2 功率谱分析及其VI
Express VI---频谱测量
波形VI计算功率谱
4.2.3 频率响应函数分析及其VI
频率响应函数表述了一个测试系统输入和输出 的频域关系，描述系统频域的动态特性。
传感器简答题及答案
1.用频域描述分析设备故障有何突出优点？ 答：频域描述反映了信号的频率组成及其幅值。
2.信号调理阶段的放大滤波、调制。
解调的作用分别是什么？什么是采样定理？采样频率是不是越高越好？放大：提高传感器输出的电压、电流和电荷信号使其的幅值和功率可以进行后续的处理。
调制：将微弱的缓变信号加载到高频交流信号中去，然后利用交流放大器进行放大。
解调：从放大器的输出信号中提取放大的缓变信号。
滤波：使信号中特定的频率成分用过而极大地衰减其他频率成分。
3.在设备故障诊断时，为什么要对测试信号进行频域分析？频域分析法只要是对信号的频率结构进行分析，确定信号是由哪些成分所组成，以及这些频率成分幅值的大小。
通过对故障特征频率及故障特征频率幅值的分析，就可以准确地对设备的故障情况进行诊断。
4.什么是功率信号？什么是能量信号？什么是随机信号？什么是模拟信号？什么是数字信号？功率信号：若信号在区间（-∞，+∞）的能量是无限的。
即dt t x )(2⎰+∞∞-，但它在有限区间（t t ，2t ）的平均功率是有限的，即dt t x t t t t )(121212⎰-这种信号称功率信号。
能量信号：当满足时，认为信号的能量是有限的，称为能量有限信号，简称能量信号。
随机信号：是一种不能准确预测且未来瞬时值，也无法用数学关系式来描述的信号。
模拟信号：在所讨论的时间间隔内，对任意时间值，除第一类间断点外都可以给出确定的函数的信号。
数字信号：时间离散而幅值量化，称为数字信号（幅值和时间上都离散的信号）。
5. 试述信号的幅值谱与系统的幅频特性之间的区别。
信号的幅值谱表征信号的幅值随频率的分布情况，幅值特性指方法电路的电压放大倍数与频率的关系。
前者描述信号各频率分量得幅度后者是系统对输入各频率分量得幅度怎么样变化。
6. 周期信号的频谱图有何特点？其傅里叶级数三角函数展开式与复指数函数展开式的频谱有何特点？（1）1.离散性2.谐波性3.收敛性。
（2）周期信号的傅里叶级数三角函数展开式频率谱是位于频率右侧的离散谱，谱线间隔为整数个ω。
阐述脉冲响应函数h(t)与频率响应函数H(jω),与传递函数H(s)的关系。
阐述脉冲响应函数h(t)与频率响应函数H(jω),与传递函数H(s)的关系。
在信号与系统领域中，脉冲响应函数h(t)、频率响应函数H(jω)和传递函数H(s)都是常见的概念。
它们之间存在着密切的联系和相互转换的关系。
一、脉冲响应函数h(t)的定义和作用脉冲响应函数h(t)是指系统对一个单位脉冲信号的响应。
一般情况下，系统的输出信号可以看作是输入信号与系统脉冲响应函数的卷积积分。
因此，脉冲响应函数是描述线性时不变系统动态特性的一个重要参数。
二、频率响应函数H(jω)的定义和作用频率响应函数H(jω)是指在复平面上，系统传输函数H(s)在s=jω处的取值，其中j表示虚数单位。
频率响应函数描述了系统对不同频率的输入信号的变化，可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换得到。
三、传递函数H(s)的定义和作用传递函数H(s)是指输入信号与响应信号的相对传递函数。
它是描述线性时不变系统动态行为的函数。
系统的传递函数可以通过脉冲响应函数h(t)与拉普拉斯变换相结合得到。
四、脉冲响应函数、频率响应函数与传递函数的关系1. 脉冲响应函数与传递函数的关系在时域中，我们有：h(t) = L^{-1} {H(s)}其中，L^{-1}表示拉普拉斯反变换的运算。
这个式子告诉我们，脉冲响应函数h(t)是由传递函数H(s)与拉普拉斯反变换组合而成。
2. 频率响应函数与传递函数的关系在频域中，我们有：H(jω) = H(s) |_{s=jω}这个式子告诉我们，频率响应函数H(jω)是由传递函数H(s)在s=jω处的取值所组成。
因此，我们可以通过对传递函数H(s)的计算，得到频率响应函数H(jω)的信息。
3. 脉冲响应函数与频率响应函数的关系根据傅里叶变换的性质，可得到：H(jω) = \int_{-\infty}^{+\infty} {h(t) e^{-jωt} dt}这个式子告诉我们，频率响应函数H(jω)可以通过脉冲响应函数h(t)的傅里叶变换来得到。
第六章频响函数脉冲响应函数
分别作傅里叶变换
X () x(t)e jtdt (t)e jtdt 1
Y () y(t)e jtdt h(t)e jtdt
对于非周期输入信号x(t)，可将其利用傅立叶变换展 成一系列谐和分量之和。分别考虑各个谐和分量对系 统的作用结果，然后把它们叠加起来，就得到系统的 总响应。
y(t) H ()x0e jt
H(ω)又可写成复指数形式
H() H() e j
|H(ω)|表示复数H(ω)的模，φ表示其幅角。于是:
y(t)
y0e jt
y0e j e jt
y0 x0
e j x0e jt
y(t) H ()x0e jt
用复数H(ω)表示输出与输入的振幅比y0/x0和相位φ， 其模代表了振幅比，幅角即为输出与输入之间的相
y(t) Ae pt sin(qt )
p k m
c 2p 2 k
m
m
q 12 p c
2 km
两种初始条件分别为：
(1)当t≤0时，系统是静止的
y(0 ) y(0 ) 0
(2) 在t=0的邻域内，单位脉冲力δ(t)引起
位移与速度:
y(0 ) 0
y(0 )
1 m
y(t) Ae pt sin(qt )
t
y(t) x( ) h(t )d
该形式的积分称为卷积积分或杜哈美(Duhamel)积分
对于线性系统来说，该定理为最重要的输入—输出 关系式之一。这是卷积积分的第一种形式。
卷积积分的第二种形式
Y () H ()
H () h(t)e jtdt
H () h(t)e jtdt
说明频率响应函数是脉冲响应函数的傅里叶变换。
h(t) 1 H ()e jtd
3.系统函数和频率响应
2）由于系统为因果稳定系统， 1 故收敛域： z 2
2013-9-12
1/ 3
0.5
0.25
Re[ z ]
0
1
电子工程系
3) 对H(z)求z反变换即得单位脉冲响应h(n)，
1 (z )z 3 H z 1 1 1 1 1 1 (1 z )(1 z ) ( z )( z ) 2 4 2 4 1 10 7 z H z 3 3 3 1 1 1 1 z ( z )( z ) z z 2 4 2 4
零点矢量极点矢量2015711电子工程系系统的频率响应2015711电子工程系零点位置影响频响的谷点位置及形状零点在单位圆上谷值为零零点靠近单位圆谷值趋向于零极点位置影响频响的峰值位置及尖锐程度极点在单位圆上系统不稳定极点靠近单位圆峰值趋向于无穷2015711电子工程系已知试定性画出系统的幅频特性
2.9 离散系统的系统函数和频率响 应
极点位置影响频响的峰值位置及尖锐程度 极点在单位圆上，系统不稳定 极点靠近单位圆，峰值趋向于无穷
电子工程系
2013-9-12
例. 频特性。
H ( z ) 1 z N，试定性画出系统的幅 已知
解: H ( z ) 1 z N
z N 1 N z
j 2 k N
H(z)的极点为z=0（N阶）。 H(z)的零点有N个：z e
(1)频率响应的几何确定法 对系统函数H(z)因式分解得到
2013-9-12 电子工程系
H ( z)
br z r
M
ar z
r 0
r 0 N
A
(1 cr z 1 ) (1 d r z 1 )
r 1 r 1 N
《机械工程测试技术基础》期末试题及答案
第一章信号及其描述（一）填空题1、测试的基本任务是获取有用的信息,而信息总是蕴涵在某些物理量之中，并依靠它们来传输的。
这些物理量就是信号,其中目前应用最广泛的是电信号.2、信号的时域描述，以时间为独立变量；而信号的频域描述，以频率为独立变量。
3、周期信号的频谱具有三个特点：离散性，谐波性, 收敛性 .4、非周期信号包括准周期信号和瞬变周期信号。
5、描述随机信号的时域特征参数有均值、均方值、方差。
6、对信号的双边谱而言，实频谱（幅频谱）总是关于Y轴（偶）对称，虚频谱（相频谱)总是关于原点（奇) 对称。
（二）判断对错题（用√或×表示）1、各态历经随机过程一定是平稳随机过程。
( √）2、信号的时域描述与频域描述包含相同的信息量。
( √）3、非周期信号的频谱一定是连续的。
( ×）4、非周期信号幅频谱与周期信号幅值谱的量纲一样。
( ×）5、随机信号的频域描述为功率谱。
（√）（三)简答和计算题1、求正弦信号的绝对均值μ｜x|和均方根值x rms。
2、求正弦信号的均值，均方值，和概率密度函数p(x)。
3、求指数函数的频谱。
4、求被截断的余弦函数的傅立叶变换.5、求指数衰减振荡信号的频谱。
第二章测试装置的基本特性（一）填空题1、某一阶系统的频率响应函数为,输入信号，则输出信号的频率为，幅值,相位。
2、试求传递函数分别为和的两个环节串联后组成的系统的总灵敏度。
3、为了获得测试信号的频谱，常用的信号分析方法有、和。
4、当测试系统的输出与输入之间的关系为时，该系统能实现测试。
此时，系统的频率特性为.5、传感器的灵敏度越高，就意味着传感器所感知的被测量越小。
6、一个理想的测试装置，其输入和输出之间应该具有线性关系为最佳.（二)选择题1、不属于测试系统的静特性。
（1）灵敏度（2）线性度（3）回程误差(4）阻尼系数2、从时域上看，系统的输出是输入与该系统响应的卷积.(1）正弦(2)阶跃（3)脉冲(4）斜坡3、两环节的相频特性各为和，则两环节串联组成的测试系统，其相频特性为。
离散系统的系统函数和频率响应
i
p2
p1 p3 Re[z]
⇔ cau sality
p2
Im[z]
p1
| z |< m | pi | ⇔anti - causality in
i
p3
因果、稳定系统： 因果、稳定系统：
H（z）的收敛域为： （ ）的收敛域为：
ρ ≤| z |≤ ∞
包含单位圆且 （ROC包含单位圆且极点均在单位圆内） 包含单位圆 极点均在单位圆内）
离散系统的系统函数和频率响应 系统函数： 系统函数： H(z) = FT[h(n)] = Y(z) X (z)
频率响应： 频率响应： H(e ) 单位圆上的系统函数(传输函数 传输函数) 单位圆上的系统函数 传输函数
jω
H(e ) = H(z) |z=e jω
jω
1、零极点分布对系统因果、稳定性的影响： 、零极点分布对系统因果、稳定性的影响： 稳定性： 稳定性：
G = (1− R) 1− 2Rcos(2ω0) + R
2
Resonator----谐振器
3-dB width----3 分贝带宽
|H(e jω)|²
1 1/2
∆ω
ω
0
ω0
π/2
陷波器
梳状滤波器
• Notch and Comb Filters
e
pole
jω
1
|H(ω)|²
unit circle
zero
2、利用零极点分布确定系统的频率特性： 、利用零极点分布确定系统的频率特性：
Y(z) H(z) = = X (z)
M
bi z−i ∑ ai z−i ∑
系统存在频率响应函数的条件
系统存在频率响应函数的条件系统存在频率响应函数啊，这可不是个简单的事儿呢。
咱先把这个概念给弄明白点，就好比你听歌的时候，不同的频率发出的声音你耳朵听起来不一样，系统呢，就像一个超级耳朵，它对不同频率的输入信号也有不一样的反应，这个反应就用频率响应函数来描述。
那啥样的系统才有这个频率响应函数呢？线性时不变系统就有这个函数。
啥叫线性时不变系统呢？咱打个比方，就像一个很守规矩的工人，不管你给他多少活（输入信号的大小），他完成的速度和质量都是按照一定比例来的，这就是线性。
今天这么干活，明天还这么干活，不会今天一个样明天一个样，这就是时不变。
你想啊，如果系统一会儿这样一会儿那样，就像个调皮捣蛋的小孩，那还怎么用一个稳定的函数去描述它对频率的响应呢？肯定不行啊。
再说说这个系统要是稳定的才行。
不稳定的系统就像个摇摇欲坠的房子，随时可能塌掉。
你给它一个输入信号，它可能就疯了似的输出一些乱七八糟的东西，根本没办法找到一个规律去描述它对频率的反应。
比如说，你在一个不平的桌子上做实验，桌子晃来晃去的，你的数据肯定不准，这个不稳定的系统就像那张晃悠的桌子。
稳定的系统呢，就像坚固的地基，不管外界怎么折腾，它都稳稳当当的，这样才能有个靠谱的频率响应函数。
而且啊，这个系统得是因果性的。
因果性是啥呢？就是有因才有果呗。
就好比你先敲了鼓，然后才听到鼓声，不能说你还没敲鼓就先听到声音了。
系统也得这样，输入信号在前，输出信号在后。
要是一个系统违背了这个因果性，那就乱套了。
这就像你看到一个人先吃到嘴里东西然后才拿起来，多奇怪啊。
还有个事儿得说说，系统得是有界输入有界输出的。
这就好比你把一定大小的东西放进一个盒子里，从盒子里出来的东西也得是在一定范围里的。
要是你放进去一个小苹果，结果出来个大西瓜，这系统就不正常了。
如果系统不满足这个条件，那这个频率响应函数就没法好好定义了，就像你想给一个没有规则的游戏制定规则一样，根本做不到。
咱总结一下，系统要想存在频率响应函数啊，就得像个听话的好学生一样，线性时不变、稳定、有因果性、有界输入有界输出。
python频响函数
python频响函数频响函数是控制系统分析中的重要概念，它描述了系统对不同频率输入信号的响应。
在Python中，可以使用NumPy和SciPy等库来计算频响函数。
首先，需要定义系统的传递函数。
传递函数是描述系统输入和输出之间关系的数学表达式，通常表示为复数形式。
例如，一个简单的一阶系统传递函数可以定义为：def transfer_function(s):return s / (s + 1)其中，s是复数变量，表示频率。
接下来，可以使用SciPy库中的lfilter函数来计算频响函数。
lfilter函数可以对传递函数进行卷积运算，得到系统对不同频率输入信号的响应。
例如，可以使用以下代码计算传递函数的频响函数：from scipy import signalimport numpy as np# 定义传递函数s = plex(0, 1) # 定义复数变量snum = [1] # 分子多项式系数den = [1, s] # 分母多项式系数system = signal.TransferFunction(num, den) # 创建传递函数对象# 计算频响函数w, h = signal.freqz(system.num, system.den) # freqz函数计算频响函数# 绘制频响函数曲线import matplotlib.pyplot as pltplt.plot(w / np.pi, abs(h)) # 绘制幅度-频率曲线plt.xlabel('Normalized frequency') # 横坐标标签plt.ylabel('Magnitude') # 纵坐标标签plt.show() # 显示图形以上代码将绘制出系统的幅度-频率曲线，其中幅度表示系统对不同频率输入信号的响应大小。
可以看到，不同频率输入信号的响应不同，这表明系统具有频率选择性。
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例如某位移测量系统在位移变化 1m时输出的电压变化有5mV， 则其灵敏度S＝5V/mm，
3.1 测试系统静态响应特性
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b)非线性度 标定曲线与拟合直线的偏离程度就是非线性度。 F = B 100% A
c)回程误差
测试装置在输入量由小增大和由大减小的
系统对各输入之和的输出等于各单个输入的输出之和 ，即
若 x1(t) → y1(t)，x2(t) → y2(t) 则 x1(t)±x2(t) → y1(t)±y2(t)
b)比例性 （也称均匀性）
常数倍输入所得的输出等于原输入所得输出的常数倍，
即:
若
x(t) → y(t)
则
kx(t) → ky(t)
c)微分性
分辨力：指能引起输出量发生变化时输入量的最 小变化量，表明测试装置分辨输入量微小变化的 能力。
测量范围：是指测试装置能正常测量最小输入量 和最大输入量之间的范围。
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稳定性：是指在一定工作条件下，当输入量不变时， 输出量随时间变化的程度。 漂移：测量装置的测量特性随时间的慢变化。在规 定条件下，对一个恒定的输入在规定时间内的输出 变化，称为点漂；标称范围最低值处的点漂，称为 零点漂移。 可靠性：是与测试装置无故障工作时间长短有关的 一种描述。
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3.2 测试系统动态响应特性
对运行设备进行测量时，得到的测量 结果不仅受设备动态特性的影响，也会受 到测量系统动态特性的影响，因此需要对 测量系统的动态特性有清楚的了解。
（一）用传递函数或频率响应函数描述系统 的传递特性 ；
（二）测试系统对典型激励的响应函数 ； （三）测试系统特性参数的实验测定 ；
稳态输出将为同一频率的谐波信号，即
若
x(t)=Acos(ωt+φx)
则
y(t)=Bcos(ωt+φy)
线性系统的这些主要特性，特 别是符合叠加原理和频率保持性， 在测量工作中具有重要作用。
3.2 测试系统动态响应特性
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对运行设备进行测量时，得到的测量 结果不仅受设备动态特性的影响，也会受 到测量系统动态特性的影响，因此需要对 测量系统的动态特性有清楚的了解。
测试过程中，对于同一个输入量所得到的两个 数值不同的输出量之间差值最大者为hmax，则 定义回程误差为
回程误差=(hmax/A)×100%
3.1 测试系统静态响应特性
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d) 静态响应特性的其他描述 精度：是与评价测试装置产生的测量误差大小有 关的指标。
灵敏阈：又称为死区，用来衡量测量起始点不灵 敏的程度。
（一）用传递函数或频率响应函数描述系统 的传递特性 ；
（二）测试系统对典型激励的响应函数 ； （三）测试系统特性参数的实验测定 ；
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(一)用传递函数或频率响应函数描述 系统的传递特性
2.传递函数 若系统的初始条件为零，对式（2-4）作
拉氏变换得
Y s an s n an1s n1 a1s a0 X s bm s m bm1s m1 b1s b0
y(t)
系统分析中的三类问题：
1)当输入、输出是可测量的(已知)，可以通过它 们推断系统的传输特性。 (系统辨识)
3)当系统特性已知，输出可测量，可以通过它 们推断导致该输出的输入量。 (反求)
3)如果输入和系统特性已知，则可以推断和估 计系统的输出量。(预测)
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测试系统基本要求 理想的测试系统应该具有单值的、确定的输
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1.线性定常系统及其主要性质
系统输入x(t)和输出y(t)间的关系可以用常系 数线性微分方程来描述：
dn y(t)
d n-1y(t)
dy(t)
a n dt n + a n-1 dt n-1 + a1 dt + a 0 y( t )
dm x(t)
d m-1x(t)
dx(t)
机械工程测试技术
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第三章 测试系统特性
本章学习要求： 1.建立测试系统的概念 2、掌握测试系统的动态特性 2.了解测试系统特性对测量结果的影响 3.了解测试系统特性的测量方法
重点：测试系统的动态特性 难点：测试系统的频率响应特性
预备知识：拉普拉斯变换
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测量系统的特性
入－输出关系。对于每一输入量都应该只有单一 的输出量与之对应。知道其中一个量就可以确定 另一个量。其中以输出和输入成线性关系最佳。
线性 y
线性 y
非线性 yxxx来自三峡大学机械与材料学院
有关测试和测试装置的若干术语
1、测量、计量和测试 2、测量装置的误差和精确度 3、量程和测量范围 4、信噪比（SNR）
SNR
10 lg
N S
或SNR
V 20lg S
Nn
Vn
5、动态范围
DR 20 lg ymas ymin
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3.1 测量系统的静态特性 如果测量时，测试装置的输入、输出信号不
随时间而变化，则称为静态测量。静态测量时， 测试装置表现出的响应特性称为静态响应特性。
a)灵敏度 当测试装置的输入x有一增量△x，引起输出y发生相应
测试系统是执行测试任务的传感器、仪器 和设备的总称。
简单测试系统(光 电池)
失真
V
复杂测试系统(轴承缺陷检测)
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线性测量系统基本性质
无论复杂度如何，把测量装置作为一个系统来 看待。问题简化为处理输入量x(t)、系统传输特性 h(t)和输出y(t)三者之间的关系。
x(t)
h(t)
b m dt m + b m-1 dt m-1 + b1 dt + b0 x( t )
当 a n a … n-1 a 0和 … b m bm-1 b 0均为常数时，上式描述 的就是线性系统，也称为时不变线性系统
一般在工程中使用的测试装置都是线性系统。
线性系统性质：
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a)叠加原理
系统对原输入信号的微分等于 原输出信号的微分，即
若
x(t) → y(t)
则
x'(t) → y'(t)
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d)积分性
当初始条件为零时，系统对原输入信号的积分等于原
输出信号的积分，即
若
x(t) → y(t)
则
∫x(t)dt → ∫y(t)dt
e)频率保持性
若系统的输入为某一频率的谐波信号，则系统的