复变函数与积分变换：8-Laplace变换习题课

s
2
s
1 ( arctan s ).
s2
2
5
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设L[
f
(t )]
F (s), a
0,
则L[e
t a
f
(
t
)]
.
a
aF(as 1)
设f (t) 2 (1 cos at),则L[ f (t)]
.
t
s2 a2 ln s2
6
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练习：
利用延迟性质，
L[g(t b)] F (s)ebs .
令h(t ) g(t b),则
L[ f (at b)u(at b)] L[g(at b)]
L[h(at)]
1
F(
s
b s
)e a
.
aa
13
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例3 已 知(1)F (s)
2s2 3s 3 (s 1)(s 3)3
9
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例4 已知L[ f (t )] F (s), m n, a 0, b 0, 试求下列
函数的Laplace变换.
(1)t m f (n) (t );
(2)
dn dt n
[t m
f
(t )];
(3) f (at b)u(at b).
解（1）由L[ f (t)] F (s)以及微分性质得
16
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k0
(k ) (0)}
因m n, 所 以
dm
ds m
n1
s nk 1 f (k ) (0) 0.
k0
L[t m
f
(n) (t )]
(1)m
dm ds m
(snF (s)).
11
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(2)令g(t ) t m f (t ), 则由象函数的微分性质
及m n可知L[ g(t )] (1)m F (m ) ( s), g(0)
n1
L[ f (n) (t )] snF (s) snk1 f (k ) (0) G(s). k0
由象函数的微分性质得
L[t m f (n) (t )] (1)m G(m) (s)
10
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(1)m
{
dm ds m
[snF (s)]
dm ds m
n1
snk1 f
所以
L[
f
(t )]
1 s
1 s2
1 s2
es .
4
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例2
求函数f
(t)
t
0
sin t
2t
dt的Laplace变换.
解 由积分性质
L[ t sin2t dt] 1 L[sin2t ] 1 L[sin2t]ds
0t
st
ss
| 1 2
1
s
s
s
4
s2
ds
[arctan ]
1 2!
2s2 lim[
s 3
3s s1
百度文库
3
e st
]
1 et (3t 2 3 t 1 )e3t .
4
24
14
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(2) 令F (s) 1 1 1 ,易 知 s(s 1) s s 1
L1[F (s)] 1 e t .
由延迟性质得
L1[ e 2s ] L1[e 2s F ( s)] s(s 1) [1 e (t 2) ]u(t 2).
第八章 Laplace变换
一、求函数的Laplace变换及逆变换 二、求解微积分方程
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重点：1. 求函数的Laplace变换；
2. Laplace变换在微分方程(组)上的应用
难点： 求函数的Laplace变换.
2
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性质
Laplace变换
g(0) g (n1) (0) 0, 再由微分性质可得
L[
dn dt n
(t
m
f
(t))]
L[ g(n) (t )]
snL[ g(t )] (1)m snF (m) (s).
12
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(3) 令g(t ) f (t )u(t ), 而 L[ g(t )] L[ f (t )u(t )] F (s),
,(2)F (s)
e 2s s(s 1)
,
求f (t ) L1[F (s)].
解 (1)由于s1 1, s2 3分别为F (s)的一级极点 和三级极点,因此
f (t ) Res[F (s)e st ,1] Res[F (s)e st ,3]
lim
s1
2s2 3s (s 3)3
3
e st
15
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1
函
数
s1 (s 2)4
的Laplace逆
变
换L-1[
(
s1 s 2)4
]
.
1 t 2e2t 1 t 3e2t
2
6
2 函数ln
s2 1
的Laplace逆 变 换L-1[ln
s2 1 ]
s(s 1)
s(s 1)
.
1 (1 et 2 cos t )
t
8
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练习：
1. 设 f (t) etu(t 2), 则 L[ f (t)] （ B ）
e 2( s1)
(A)
s1
(B) e 2( s1) s1
e2s
e2s
(C)
(D)
s1
s1
2.
设
F
(s)
2s2es
(s s3
1)e 2 s
,
则L-1[F (s)]
2u(t 1) (t 2)u(t 2) 1 (t 2)2 u(t 2) 2
设L[ f (t )] F (s), 则L[ t (t 2)e2t f (t )dt] ( A ) 0
( A) 1 [F (s 2) 2F (s 2)] s
(B) 1 [F (s 2) 2F (s 2)] s
(C ) 1 [F (s 2) 2F (s 2)] s
(D) 1 [F (s 2) 2F (s 2)] s
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利 用Laplace变 换 的 性 质, 实 积 分
teat sinbtdt(a 0)的值为( C ) 0
b2 a2 ( A) (a2 b2 )2
a2 b2 (B) (a2 b2 )2
2ab (C ) (a2 b2 )2
2ab (D) (a2 b2 )2
Laplace变换 的应用
线位微积延 性移分分迟 性性性性性 质质质质质
卷积
留数
Laplace变换逆变换
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一、 求函数的Laplace变换及逆变换
例1
计算
函
数f
(t
)
1 0,
t,
0 t 其它
1的Laplace变 换.
解 函数f (t)可写成
f (t) (1 t)u(t) (t 1)u(t 1)