用导数研究三次函数
应用导数研究三次函数课件
知识点2 切线条数 切点的个数
数学思想方法 数形结合，特殊与一般，化归转化
思考
一般情形的证明
对于对称问题，在函数中讲到了很 多，你能用所学知识证明一般三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) 的对称中心 是 ( b , f ( b ))的这个结论吗？
3a 3a
g(x) x3 3x2 2x 1 (1,1)
x y20
过对称中心的切线只有1条
上下区域 1条
左右区域 3条
切线上（除对称中心） 2条
曲线上（除对称中心） 2条
一般情形
小结
知识点1 对称中心
三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横 坐标与其导函数顶点的横坐标相同. ( b , f ( b ))
应用导数研究三次函数
图像的对称性及切线条数
湖北省黄冈中学 袁小幼
函数 y x3图像的对称性
函数 y 的x3图像关于（0，0）对称.
三次函数的图像有唯一的对称中心，对称中 心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
一般三次函数图像的对称性
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)图像 的对称中心是什么?
f (x) 3ax2 2bx c 3a(x b )2 c b2
3a
3a
( b , f ( b )) 3a 3a
三次函数在对称中心处的切线
函数 g(x) x3 3x2 2x 1 过对称中心 (1,数图像切线条数的探究
同样的，你能证明切线条数的一般 性结论吗？
谢 谢！
三次函数的图象与性质教学设计与实践①.pdf
设计意图 引导学生明确研究对象和研究方法，学会将零点个数的研究转化为函数的极 值或解析式结构形式的研究，并在尝试中猜测、归纳三次函数有不同零点个数时的图象所具 有的基本特征，探究不同零点个数的函数解析式的系数应满足的关系，进一步巩固用导数研
3
究函数性质的方法．
设计意图 本题研究系数 a ， b ， c ， d 对三次函数的单调性的影响．在学生确定研究
对象和研究方法，并认识到函数的单调性有多种情形下，引导学生明晰研究的思路，并正确 进行分类讨论：一要关注分类的标准，二要选择分类的方法，三要注意分类的原则．
5.3 借助探究，拓展应用
问题 3 你能得出函数 f (x) ax3 bx2 cx d(a 0) 只有一个零点时系数应该满足
对函数单调性的影响让我们眼花缭乱，为了简化研究，我们可以选择什么方法？
（3）用图形计算器单独验证系数 a 对三次函数 f (x) 的单调性的影响，你得到什么结
论？你想怎样继续研究函数的单调性？ （4）在用图形计算器画不同单调性的图象时，你想过如何界定“不同单调性”吗？用什
么标准对“不同单调性”进行划分？你能借助导数写出不同单调性的情形下，各系数应满足的 关系式吗？
设计意图 迁移本课的研究思路和方法．
5． 已知 n R ，函数 f (x) x2 (x 3) n ． （Ⅰ）若曲线 y f (x) 的切线中，斜率最小的切线 l 经过点 A(3,0) ，求 n 值； （Ⅱ）若经过点 A(3,0) 可作曲线 y f (x) 的三条切线，求 n 的取值范围．
2 目标和目标解析
本课是为了进一步掌握用导数研究函数性质的方法，感受导数在解决问题中的作用，体 会导数的思想及其丰富内涵，同时扩展学生的数学视野，发展学生独立获取数学知识的能力， 提高学生应用所学知识解决问题的能力．具体目标是：
4导数研究三次函数的性质
4导数研究三次函数的性质复习目标：掌握三次函数的图象和性质，尤其是利用导数研究单调性、极值情况，以及三次函数的零点。
复习重点难点：（1）三次函数的图象的四种情况；（2）三次函数的极值情况；【典型例题】题型一：三次函数单调性的讨论例1．已知函数32()2f x ax x x =++在R 上恒为增函数，求实数a 的取值范围.例2．已知函数f (x )=-x 3＋3x 2＋9x ＋a ,（I ）求f (x )的单调递减区间；（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．题型二：三次函数极值，最值的讨论例3. 已知a 是实数，函数2()()f x x x a =-；（1）若'(1)3f =，求a 的值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()f x 在区间[]2,0上的最大值．例4．已知函数()f x 的导数2()33,f x x ax '=-(0).f b =,a b 为实数，12a <<.（1）若()f x 在区间[1, 1]-上的最小值、最大值分别为2-、1，求a 、b 的值；（2）设函数2()(()61)x F x f x x e '=++⋅，试判断函数()F x 的极值点个数．【课后作业】1.过曲线y ＝x 3+x-2上的点P 0的切线平行于直线y ＝4x-1,则切点P 0的坐标为2．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )．若函数f (x )＝a·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．3．函数f (x )=x 3＋x 2－x 在区间［－2，1］上的最大值和最小值分别是4.已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为5．设函数b x a ax x x f +-+-=2233231)( (0<a <1)． (1)求函数)(x f 的单调区间； (2)当x ∈[]2,1++a a 时，不等式|()x f/ |≤a ，求a 的取值范围．6.已知函数3221()21(0)32a f x x x a x a =--+> （1）求函数()f x 的极值；（2）若函数()y f x =的图象与值线0y =恰有三个交点，求实数a 的取值范围；（3）已知不等式2'()1f x x x <-+对任意(1,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围.7.已知函数()()a x x f -=2()x b -,b a ,为常数,(1)若a b ≠,求证:函数()x f 存在极大值和极小值(2)设()x f 取得极大值、极小值时自变量分别为12,x x ,令点A 11(,()x f x ),B 22(,()x f x ),若a >b ，直线AB 的斜率为12-,求函数()x f 和/()f x 的公共递减区间的长度.答案：【典型例题】1． 61≥a . 2．（I ） 0)(,963)(2<'++-='x f x x x f 令，解得x <－1或x >3所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II ）)}2(),2(max{)(,5)1()(,3212m ax m in f f x f a f x f -=+-=-=∴<<-<-)2()2(,22)2(,2)2(->∴+=+=-f f a f a f 于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝－7，即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．3. 解析：（1）2'()32f x x ax =-．因为'(1)323f a =-=，所以0a =．又当0a =时，(1)1,'(1)3f f ==，所以曲线()(1,(1))y f x f =在处的切线方程为3x y --2=0．（2）令'()0f x =，解得1220,3a x x ==． 当203a ≤，即a ≤0时，()f x 在[0，2]上单调递增，从而max (2)84f f a ==-． 当223a ≥时，即a ≥3时，()f x 在[0，2]上单调递减，从而max (0)0f f ==． 当2023a <<，即03a <<，()f x 在20,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，从而max 84,0 2.0,2 3.a a f a -<≤⎧⎪=⎨<<⎪⎩综上所述，max 84, 2.0, 2.a a f a -≤⎧⎪=⎨>⎪⎩4.解（Ⅰ）由已知得，323()2f x x ax b =-+； 由()0f x '=，得10x =，2x a =． ∵[1, 1]x ∈-，12a <<，∴ 当[1, 0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 递增；当(0, 1]x ∈时，()0f x '<，()f x 递减．∴ ()f x 在区间[1, 1]-上的最大值为(0)f b =，∴1b =． 又33(1)11222f a a =-+=-，33(1)1122f a a -=--+=-，∴ (1)(1)f f -<． 由题意得(1)2f -=-，即322a -=-，得43a =．故43a =，1b =为所求． （Ⅱ） 2222()(3361)33(2)1x x F x x ax x e x a x e ⎡⎤=-++⋅=--+⋅⎣⎦． ∴ []222()63(2)233(2)1x x F x x a e x a x e '⎡⎤=--⋅+--+⋅⎣⎦22[66(3)83]x x a x a e =--+-⋅．二次函数266(3)83y x a x a =--+-的判别式为22236(3)24(83)12(31211)123(2)1a a a a a ⎡⎤∆=---=-+=--⎣⎦，令0∆≤，得：21(2),22333a a -≤-≤≤+令0∆>，得2,233a a <->+或 ∵20x e >，12a <<，∴当22a ≤<时，()0F x '≥，函数()F x 为单调递增，极值点个数为0；当12a <<()0F x '=有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数()F x 有两个极值点．【课后作业】1.(1,0)或(-1,-4)2.解：f (x )＝a·b ＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，……4分∴f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t . …………7分∵f (x )在(－1,1)上是增函数，∴－3x 2＋2x ＋t ≥0在x ∈(－1,1)上恒成立．∴t ≥3x 2－2x ， ……………11分令g (x )＝3x 2－2x ，x ∈(－1,1)．∴g (x )∈⎣⎡⎭⎫－13，5，∴t ≥5. ……………15分3． f (x )max =1,f (x )min =－2。
三次函数研究课教案
附录1：课前练习题1、若函数322()25f x x mx m =-+-在区间(9,0)-上单调递减，则m 的取值范围为 . 2、若函数322()f x x ax bx a =+++在x=1处有极值10，求a,b 的值.3、已知函数3()-3f x x x =，若()-0f x a =有三个不等的实根，求a 的取值范围.4、已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如图所示，则b 的取值范围是（ ）．A ．(-∞,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,+∞)附录2：附录3：巩固练习题：判断下列三次函数32(0)y ax bx cx d a =+++≠各图象中的a,b,c,d 的符号： （1） （2） （3） （4）判别式系数a>0，0∆> a<0，0∆>a>0，0∆≤a<0，0∆≤图象导函数原函数性质单调性 增区间为12(,),(,)x x -∞+∞； 减区间为12(,)x x增区间为12(,)x x ；减区间为12(,),(,)x x -∞+∞ 增区间为(,)-∞+∞减区间为(,)-∞+∞极值点2个2个0个0个零点12()()0f x f x <：三个零点；12()()=0f x f x ：一个零点； 12()()0f x f x >：无零点.1个零点对称中心 ,())33b b f a a(-- 参数对函数图象的影响0a >：两边为增函数,0a <：两边为减函数；230b ac ->：为双峰函数,230b ac -≤为单调函数； b ：与a 共同影响函数的对称中心 c :0x =处的切线斜率 d :纵截距xx 1x 2x 1x 2xx 0xxxx 1 x 2xx 1x 2 xx（3）（4）A a<0,b>0,c>0,d<0B a>0,b<0,c>0,d=0C a>0,b<0,c<0,d>0D a<0,b<0,c<0,d<0。
三次函数图象切线问题的探究
三次函数图象切线问题的探究作者：杜春晓来源：《文理导航》2011年第04期三次函数是在学习导数时候开始重点接触的一类函数，他的性质很多，也是我们用导数研究函数性质经常遇到的一类函数，对于用这种函数为例分析问题和解决问题学生是很好接受的，对于曲线的切线问题，考查了导数的几何意义，用三次函数的切线性质来引导学生解决复杂曲线问题可以作为这部分教学的切入，高考中三次函数的切线问题也频频出现，下面三次函数切线问题做如下探究。
一、当直线斜率为时的相切情况三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）1.a＞0,斜率k= 时，有且只有一条切线；k＞时，有两条不同的切线；k＜时，没有切线；2.a＜0,斜率k= 时，有且只有一条切线；k＜时，有两条不同的切线；k＞时，没有切线；证明f'（x）3ax2+2bx+c1.a＞0当当k= 时，方程3ax2+2bx+c= 有两个相同解，所以斜率为k的切线有且只有一条；其方程为：当k＞时，方程3ax2+2bx+c=k，有两个不同的解x1，x2，且x1+x2=-，即存在两个不同的切点（x1，f(x1)），（x2，f（x2）），且两个切点关于三次函数图象对称中心对称。
所以斜率为k的切线有两条。
当k＜时，方程3ax2+2bx+c=k无实根，所以斜率为k的切线不存在。
2.a＜0时，读者自己证明。
二、过三次函数图象上一点的切线设点P为三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）图象上任一点，则过点P一定有直线与y=f（x）的图象相切。
若点P为三次函数图象的对称中心，则过点P有且只有一条切线；若点P不是三次函数图象的对称中心，则过点P有两条不同的切线。
证明设p（x1，y1）过点P的切线可以分为两类。
1 P为切点k1=f'（x1）=3ax12+2bx1+c切线方程为：y-y1=（3ax12+2bx1+c）（x-x1）2 P不是切点，过P点作y=f（x）图象的切线，切于另一点Q（x2，y2）∴，也就是说，∴当时，两切线重合，所以过点P有且只有一条切线。
第37讲 三次函数的图像与性质(学生版)
第37讲三次函数的图像与性质三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)具有丰富的性质，利用导数研究这些性质，其研究的过程与方法具有普遍性,一般性和有效性,可以迁移到其他函数的研究中．本专题主要研究三次函数的单调性,极值,最值,对称性等,并在研究的过程中体会数形结合,分类与整合,化归与转化等思想方法.1.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a,b,c,d∈R),设直线l1,l2分别是曲线y＝f(x)的两条不同的切线,若函数f(x)为奇函数,且当x＝1时f(x)有极小值为－4.①求a,b,c,d的值；②若直线l3亦与y＝f(x)相切,且三条不同的直线l1,l2,l3交于点G(m,4),求实数m的取值范围.2.已知函数f(x)＝x3－tx2＋1,求证：对任意实数t，函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行.3.已知函数32()3f x x x ax =-+()a ∈R ，()|()|g x f x =．（1）求以(2,(2))P f 为切点的切线方程，并证明此切线恒过一个定点；（2）若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立，求k 的最小值()h a 的表达式；（3）设0a >，求()y g x =的单调增区间．4.已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在,求出a,b的所有值；若不存在,说明理由．5.已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：33b a >；（3）若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．。
高考复习用导数研究三次函数的性质
专题：用导数研究三次函数的性质★★★教学目标1、 掌握三次函数的定义和解析式；2、 掌握用导数求三次函数的切线方程、单调区间、极值和最值；3、 能利用三次函数的图象和性质解决与三次函数有关的问题．知识梳理1．三次函数的定义：形如 的函数叫做三次函数． 2．三次函数的几种表达式：（1）一般形式： ；（2）已知函数的对称中心为),(n m ，则()f x = ；（3）已知函数图象与x 轴三个交点的横坐标)(,,γ<β<αγβα，则()f x = ； （4）已知函数图象与x 轴的一个交点的横坐标0x ，则()f x = ． 3．三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 的性质：2()32(0)f x ax bx c a '=++>，则2()320f x ax bx c '=++=的判别式222124(4)b ac b ac =-=-△()．（1）函数的定义域为 ，值域为 ；（2）单调性：①若22120b ac =-≤△()，此时函数()f x 在上 是增函数；②若22120b ac =->△()，令2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <，则()f x 在上 单调递增，在 上单调递减；（3）极值：①若 ，此时函数无极值；②若0△>，且2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <，此时函数()f x 在 处取极大值 ，在 处取极小值 ． 答案：１．)0(23≠+++=a d cx bx ax y ．2．（1）32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠；（2）3()()(0)A x m B x m n a -+-+≠；（3）()()()(0)a x x x a αβγ---≠；（4）20()()(0)x x ax mx n a -++≠．3．（1）R ， R ；（2）①R ；②12(,),()x x -∞+∞，12(,)x x ；（3）①0≤△，②1x x =，)(1x f ，2x x =，)(2x f ．思维升华：1． 三次函数d cx bx ax x f +++=23)(当且仅当 时是奇函数？2． 三次函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象是对称图形吗？如果是，那么对称中心或对称轴是什么？ 答案：1． 0==d b ．2．图象关于点))3(,3(abf a b --中心对称． 证明如下：三次函数d cx bx ax x f +++=23)(关于点（m ，n ）对称的充要条件是n x m f x m f 2)()(=++-，即])()()([23d x m c x m b x m a +-+-+-+32[()()a m x b m x +++ ()]2c m x d n +++=，整理得，n d mc bm am x b ma 2)2222()26(232=+++++，据多项式恒等对应系数相等，可得a b m 3-=且d mc bm am n +++=23=)3()(abf m f -=，从而三次函数是中心对称曲线，且对称中心是))3(,3(abf a b --． 典例精讲30 min.例1（★★★）（全国卷2文）已知函数f （x ）=x 3-3ax 2+3x+1． （Ⅰ）设a=2，求f （x ）的单调期间；（Ⅱ）设f （x ）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求的取值范围．分析：（1）求出函数的导数，由导数大于0，可求得增区间，由导数小于0，可求得减区间．（2）求出函数的导数'()f x ，在（2，3）内有极值，即为'()f x 在（2，3）内有一个零点，即可根据'(2)'(3)0f f <，即可求a 出的取值范围．解：当2a =时，32()631f x x x x =-++，'()3(23)(23)f x x x =--，当(,23)x ∈-∞时，'()0f x >，()f x 在(,23)-∞单调增加； 当(23,23)x ∈时，'()0f x <，()f x 在(23,23)单调减少； 当(23,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 在(23,)+∞单调增加．综上所述，()f x 的单调增区间是(,23)(23,)-∞+∞和．()f x 的单调减区间是(23,23)．（II ））22'()3[()1]f x x a a =-+-．当210a -≥时， '()0f x >，()f x 为增函数，故()f x 无极值点；当210a -<时，'()0f x =有两个根12x a x a ==+由题意知，23a << ①或23a < ② ①式无解，②式的解为5543a <<， 因此a 的取值范围是5543⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 点评：三次函数的单调性判定与一般函数一样，利用函数的导数来求解，求极值时，要注意函数取得极值时的充要条件． 巩固练习（★★★）已知函数f (x )=-x 3＋3x 2＋9x ＋a ， （I ）求f (x )的单调递减区间；（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 解析：（I ） 0)(,963)(2<'++-='x f x x x f 令，解得x <－1或x >3 所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）． （II ）)}2(),2(max{)(,5)1()(,3212m ax m in f f x f a f x f -=+-=-=∴<<-<-(2)2,(2)22,(2)(2)f a f a f f -=+=+∴>-，于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝－7， 即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．例2（★★★）已知函数f （x ）=3231()2ax x x R -+∈，其中a>0． （Ⅰ）若a=1，求曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程； （Ⅱ）若在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，f （x ）>0恒成立，求a 的取值范围． 分析：先求切点坐标，再利用导数求出切线斜率，可得切线方程；再利用三次函数的图象求解函数的极值来解不等式．解：（Ⅰ）当a=1时，f （x ）=323x x 12-+，f （2）=3；'()f x =233x x -， '(2)f =6．所以曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9．（Ⅱ）'()f x =2333(1)ax x x ax -=-．令'()f x =0，解得x=0或x=1a．以下分两种情况讨论： （1） 若110a 2<≤≥，则，当x 变化时，'()f x ，f （x ）的变化情况如下表： 当11x f x 22⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，（）>0等价于5a 10,()0,8215a ()0,0.28f f -⎧⎧>->⎪⎪⎪⎪⎨⎨+⎪⎪>>⎪⎪⎩⎩即 解不等式组得-5<a<5．因此0a 2<≤．（2） 若a>2，则11<<．当x 变化时，'()f x ，f （x ）的变化情况如下表：当11x 22⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，f （x ）>0等价于1f(-)21f()>0,a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩>0,即25811->0.2a a -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩>0,解不等式组得52a <<或2a <-．因此2<a<5． 综合（1）和（2），可知a 的取值范围为0<a<5．点评：三次函数的切线问题，要看清问题是在某点处的切线，还是过某点的切线，确定切线的切点是关键点．利用函数的图象来求解不等式也是常用之法． 巩固练习（★★★）已知函数xxxxf3231)(23+-=（Rx∈）的图象为曲线C．（1）求过曲线C上任意一点的切线的倾斜角的取值范围；（2）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围；解析：（1）34)(2+-='xxxf，则11)2()(2-≥--='xxf，即过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围是[)+∞-,1；故倾斜角取值范围为3[0,)[,)24πππ⋃．（2）由（1）可知，⎪⎩⎪⎨⎧-≥--≥111kk解得01<≤-k或1≥k，由03412<+-≤-xx或1342≥+-xx．得：(][)+∞+-∞-∈,22)3,1(22,x；例3（★★★）设Ra∈，讨论关于x的方程0323=-+axx的相异实根的个数？分析：讨论三次方程的根的问题，可化为讨论三次函数的极值点与x轴之间的关系问题．解：0,263)()(212=-==+='xxxxxfxf的两根为导函数函数，，fxffxf0)0()(,4)2()(==-∴的极小值是的极大值是函数如图所示，（1）当0<a或4>a时，函数)(xf与)(xg只有一个交点，即方程只有一个根．（2）当0=a或4=a时，函数)(xf与)(xg只有两个交点，即方程只有两个根．（3）当40<<a时，函数)(xf与)(xg有三个交点，方程有三个根．点评：讨论三次函数的极值的大小与0的关系，可以解决三次方程根的个数问题．可以总结如下的经验：从数形结合的视角看三次方程320(0)ax bx cx d a+++=>的实数根：（1）若22120b ac =-≤△()，方程有且只有一个实数解；（2）若22120b ac =->△()，令2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <， ①若0)()(21<⋅x f x f ，则方程有三个不同的实数解)(,,γ<β<αγβα，且有γ<<β<<α21x x ，②若0)(0)(21==x f x f 或，则方程有两个不同的实数解，③若0)()(21>⋅x f x f ，则方程有且只有一个实数解α，且21x x >α<α或， 巩固练习（★★★）若函数()33f x x x a =-+有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．答案：()2,2- 解析：2'()33f x x =-，则'()0f x =可得1x =±，则有(1)0(1)0f f <⎧⎨->⎩，可解得22x -<<．回顾总结4 min.1．容易忽视三次函数的切线的特殊性而出错．例如3()2f x x x =-+经过(1,2)P 有几条切线？常见的错解有：把P 点当做切点，判定经过P 点只有一条，而实际上要分是否为切点两种情况来看． 2．容易忽视三次函数的图象的特殊性而出错．例如在讨论三次方程有三个根的问题时，不知道函数的极大值大于0且函数的极小值小于0．典型错题反思反思是自觉地对数学认知活动进行分析、总结、评价和调控的过程，是一种自我挑战、自我完善和自我超越，是优化解法、深化思维的有效手段，是高效的学习方法、最佳的纠错手段，是走出“题海”的最有效途径．请整理出本课时的典型错误，找出错因，并从审题、知识、方法和策略的层面进行反思！ 我的错题：错因：反思：。
导数在三次函数中的应用教学设计
导数在三次函数中的应用教学设计一.教学内容分析三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠ 是高中数学利用导数研究函数单调性、极值、最值等内容的一个重要载体，是应用二次函数图像和性质的重要素材. 本课立足于一道题目，建构三次函数图像特征，对零散知识进行串联，运用变式，探究解决问题的通性通法，同时根据问题的自身特点寻求简化解法，培养提高学生思考问题分析解决问题的能力. 二．学生学习情况分析学生已经学习了导数在研究函数单调性及其极（最）值的应用，掌握了利用导数求函数单调区间、求极值最值、求切线方程，求参数取值范围的一般方法.三．教学目标导数及其应用主要两个方面：一是利用导数研究函数的单调性，二是用导数研究函数的极（最）值，三次函数是一类重要的函数，在高考中占有重要地位，因此以三次函数为载体，掌握利用导数研究三次函数单调性，求极值最值的通性通法，巩固数形结合、分类讨论、化归数学思想的应用.四．教学重点与难点教学重点：用导数解决三次函数的单调性、极值最值、切线方程等问题教学难点：分类讨论,数形结合，化归思想在解决问题中的综合应用五．教学过程一、课前练习1.3()31=--f x x x 的单调递减区间为2. 322()3=+++f x x ax bx a 在1=-x 时有极值0，则-=a b3. 3()1=--f x x ax 在(2,)-+∞上既有极大值又有极小值，则a 的取值范围是4. 3()3=-+f x x x a 有三个零点，则a 的取值范围二、问题分析问题13()31=-+f x ax x ，讨论()f x 的单调性，做出大致图像.32()0f x ax bx cx d a =+++>（）类似于二次函数的图像和性质表：232(0）=++>ax bx c a问题2、已知函数3()31=-+f x ax x 在(1,1)-单调递减，求实数a 的取值范围变式：已知函数3()31=-+f x ax x 单调递减区间为(1,1)-，求实数a 的取值范围问题3：已知函数3()31=-+f x ax x 在(1,2)上不单调，求实数a 的取值范围问题4：已知函数3()31=-+f x ax x 在[1,2]上存在单调增区间，求实数a 的取值范围问题5： 设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0，则实数a 的值为__________________三、小结反思通过本节课学习谈谈你的收获 032>-ac b 032≤-ac b图像()0f x =根的个数与x 轴的交点单调性极值。
x三次方的导数定义式_解释说明
x三次方的导数定义式解释说明1. 引言1.1 概述在微积分中，导数是一个核心概念，用于描述函数在每个点处的变化率。
对于一次函数、二次函数以及常见的多项式函数，我们可以通过导数定义式来求出它们的导数，从而研究函数的性质和特点。
本文将重点讨论x三次方函数及其导数定义式，并展示推导过程和高阶导数计算方法。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述：第二部分将介绍x的三次方函数的定义与性质，以及导数的概念和常见计算方法。
第三部分将详细解释x三次方函数导数定义式的推导过程，包括使用极限定义和幂函数求导法则。
第四部分将探讨x三次方函数高阶导数的计算方法，回顾一阶导数计算方法并推广至二阶和三阶导数，并介绍更高阶导数的递归计算方法。
最后，在结论部分对x三次方函数及其导数定义式进行总结与拓展思考，分析其理解与应用意义，并探讨其他类型函数类比思考与推广讨论。
同时给出一个综合案例分析：x四次方和更高次方函数的导数定义式解释说明。
1.3 目的通过本文的阐述，我们旨在帮助读者更深入地理解x三次方函数及其导数定义式。
同时，本文也将为读者提供进一步研究其他类型函数导数定义式和高阶导数计算方法的思路和启示。
希望读者能通过这篇长文，对微积分中函数的导数概念有更全面和深入的认识。
2. x的三次方函数2.1 定义与性质x的三次方函数是指形如f(x) = x^3的函数。
它是一个二次多项式函数，由x的立方项构成。
在数学中，我们通常将其称为立方函数或三次函数。
x的三次方函数具有以下性质：- 定义域为全体实数，即对于任意实数x都可以计算出对应的函数值；- 值域也是全体实数集合，因为无论x取任何实数值，其立方都是一个实数；- 函数图像关于原点对称，在第一象限、第三象限上呈现正增长趋势，在第二象限、第四象限上呈现负增长趋势；- 当x>0时，函数值随着自变量x的增大而增大；当x<0时，函数值随着自变量x的减小而减小。
2.2 导数的概念导数是描述函数斜率和变化率的概念。
用导数研究报告三次多项式曲线
用导数研究报告三次多项式曲线引言在数学中，多项式函数是一类重要的函数。
其中，三次多项式函数的特点是在自变量的三次方次项与一次方次项之间存在关系。
因此，研究三次多项式函数的性质对于数学理论的发展具有重要意义。
导数的定义导数是用来描述函数变化率的工具。
对于函数$f(x)$，它的导数$f'(x)$可以通过以下公式计算：$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$三次多项式函数的导数对于三次多项式函数$P(x)$，它的一般形式可以表示为：$$P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$其中$a$，$b$，$c$和$d$为常数。
为了研究三次多项式函数的性质，我们需要计算它的导数。
根据导数的定义，可以得到三次多项式函数$P(x)$的导数$P'(x)$：$$P'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$三次多项式曲线的特点通过对三次多项式函数的导数$P'(x)$进行分析，我们可以得到三次多项式曲线的一些特点：1. 曲线的斜率：导数$P'(x)$描述了曲线在不同点上的斜率。
当导数为正时，曲线上升；当导数为负时，曲线下降；当导数为零时，曲线达到极值点。
2. 曲线的拐点：拐点是指曲线从凸向上凹或从凹向上凸变化的点。
在三次多项式曲线上，拐点的位置可以通过导数$P'(x)$的二阶导数来确定。
3. 曲线的极值点：极值点是曲线上最高或最低的点。
在三次多项式曲线上，极值点可以通过导数$P'(x)$的一阶导数为零的点来确定。
结论通过导数的研究，我们可以了解到三次多项式曲线的斜率、拐点和极值点的位置，进而对曲线的形状和性质进行分析。
这为进一步研究和应用三次多项式函数提供了重要的理论基础。
需要注意的是，在实际应用中，有时会出现多个极值点或拐点的情况。
此外，导数可以应用于许多其他数学领域，如最优化问题和微分方程的求解等。
用导数法解三次函数问题
导数法解“三次”函数问题新教材中导数内容的介入，为研究函数的性质提供了新的活力，通过求导可以研究函数的单调性和极值，其操作的步骤学生易掌握，判别的方法也不难。
特别地，当f(x)为三次函数时，通过求导得到的f /(x)为二次函数，且原函数的极值点就是二次函数的零点；同时利用导数的几何意义：曲线在某一点P （00,y x ）处的切线的斜率)(0/x f k =，可得到斜率 k 为关于0x 的二次函数。
根据这些特点，一般三次函数问题，往往可通过求导，转化为二次函数或二次方程问题，然后结合导数的基本知识及二次函数的性质来解决。
下面笔者从课堂或试卷上出现的这一类型题目中选择几例，同时结合学生产生的问题，略作说明。
例1：已知f(x)=d cx bx x +++23在（—∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f(x)=0有三个根，它们分别为α、2、β.（1） 求c 的值；（2） 求证：f(1)≥2（3） 求｜α-β｜的取值范围。
解：（1）,23)(2/c bx x x f ++=由题意可得：x=0为f(x)的极值点，∴0,0)0(/=∴=c f（2）令023)(2/=+=bx x x f ，得32,021b x x -== ∵f(x)在（—∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数， ∴232≥-b ，即3-≤b 又∵b d d b f 48,048,0)2(--=∴=++∴=∴.2371)1(≥--=++=b d b f（3）∵方程f(x)=0有三个根α、2、β.∴设),)(2()(223n mx x x d cx bx x x f ++-=+++= 由待定系数法得2,2d n b m -=+= ∴α、β为方程02)2(2=-++d x b x 的两根， ∴ α+β=-（b+2），αβ=-d/2；∴｜α-β｜2=16)2(1242)2(222--=--=++b b b d b∵3-≤b ，∴｜α-β｜2≥9，∴｜α-β｜ ≥3一般地，若已知三次函数f(x)=)0(23>+++a d cx bx ax 在（—∞，m ）上是增函数，在[m ，n]上是减函数，在（n,+∞）上是增函数,则二次方程f /(x)=0即0232=++c bx ax 的两个根为m ，n ；且当),(),(+∞⋃-∞∈n m x 时f /(x)>0，当),(n m x ∈时f /(x)<0，反之亦然。
三次函数性质总结
三次函数性质的研究我们已经学习了一次函数，知道图象是单一递加或单一递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间获得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单一性呢？利用已学过的知识得出：当k>0时函数单一递加；当k<0时函数单一递加；b决定函数与y轴订交的地点．此中运用的许多的一次函数不等式性质是： fx 0在[m，n]上恒建立的充要条件fm 0fn 0接着，我们相同学习了二次函数，图象大概以下：图1 图2利用已学知识概括得出：当时(如图1)，在对称轴的左边单一递减、右边单一递加，对称轴上获得最小值；当时(图2)，在对称轴的左边单一递加、右边单一递减，对称轴上获得最大值．在某一区间获得最大值与最小值．此中a决定函数的张口方向， a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴订交的地点．总结：一次函数只有一个单一性，二次函数有两个单一性，那么三次函数能否就有三个单一性呢？1三次函数专题一、定义：定义1、形如y ax3bx2cx d(a 0)的函数，称为“三次函数”（从函数分析式的构造上命名）。
定义2、三次函数的导数y 3ax2 2bx c(a 0)，把4b212ac叫做三次函数导函数的鉴别式。
因为三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热门和亮点。
特别是文科。
系列研究1：从最简单的三次函数yx3开始y反省1：三次函数y x31的有关性质呢？反省2：三次函数y x 3Ox 1的有关性质呢？反省3：三次函数y x31的有关性质呢？1（2012天津理）（4）函数f ()2xx32在区间(0,1)内的零点个数是B x（A）0（B）1（C）2（D）3系列研究2：研究一般三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)的性质：先求导f(x)3ax22bx c(a0)1．单一性：（1）若△(2b)212ac0，此时函数f(x)在R上是增函数；（2）若△(2b)212ac0，令f(x)3ax22bx c0两根为x1,x2且x1x2，则f(x)在(,x1),(x2)上单一递加，在(x1,x2)上单一递减。
试探三次函数的图像性质与应用(定稿)
6ma b 12m2a 4mb c (8m3a 4m2b
2mb
d
2n)
m n
b 3a
f ( b 3a
)
由上又可得以下结论： y f (x) 是可导函数，若 y f (x) 的图象关于点 (m, n) 对称，则
y f '(x) 图象关于直线 x m 对称.
证明 y f (x) 的图象关于 (m, n) 对称，则 f (x) f (2m x) 2n,
3 解：依题意可得 f (x) x2 2x m
上为单调函数或两极值同号，所以 b 2 3ac 0 或 b 2 3ac 0 ，且 f (x1 ) f (x2 ) 0 . (3) f (x) 0 有两个相异实根的充要条件是曲线 y f (x) 与 X 轴有两个公共点且其中之一为切点，
所以 b2 3ac 0 ，且 f (x1) f (x2 ) 0 . (4) f (x) 0 有三个不相等的实根的充要条件是曲线 y f (x) 与 X 轴有三个公共点，即 f (x) 有一
处取得极小值. 以上两个性质的图像特征如下图： 3.根的性质
三次函数 f (x) ax3 bx 2 cx d (a 0) (1) 若 b 2 3ac 0 ，则 f (x) 0 恰有一个实根； (2) 若 b2 3ac 0 ,且 f (x1) f (x2 ) 0 ，
则 f (x) 0 恰有一个实根； (3) 若 b2 3ac 0 ,且 f (x1) f (x2 ) 0 ，
(3) 若 b2 3ac 0 ，则 f (x) 在 (,) 上为减函数；
(4) 若 b 2 3ac 0 ，则 f (x) 在 (, x1) 和 (x2 ,) 上为减函数， f (x) 在 (x1, x2 ) 上为增函数，
三次函数的导数问题
三次函数的导数问题在微积分学中，导数被用于研究函数的变化率。
在下面的文章中，我们将研究三次函数的导数问题。
三次函数的定义三次函数是指具有一次、二次和三次项的函数，可以表示为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d其中a、b、c和d是常数。
三次函数的图像通常是一个“S”形的曲线，其形状取决于函数的系数。
具体来说，当a>0时，曲线呈现“下凸”，当a<0时，曲线则呈现“上凸”。
三次函数的导数三次函数的导数通常表示为f'(x)，它是指在某个点x处的切线斜率，也是函数在该点处的变化率。
为了求出三次函数的导数，我们可以使用微积分理论中的求导法则。
具体来说，我们需要求出三次函数的每一项的导数，然后将它们相加。
因此，三次函数的导数可以表示为：f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c其中3a、2b和c是三次函数的一次导数项的系数。
三次函数的导数图像三次函数的导数图像通常是一个二次函数，并且其形状与三次函数本身的形状有很大的关系。
当三次函数的a>0时，它的导数图像呈现“上凸”的U形；当a<0时，导数图像则呈现“下凸”的n形。
如果三次函数有其导数为0的点，则该点是函数的临界点，也是函数的最值点之一。
应用三次函数的导数在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，三次函数可以用来描述物体的加速度变化；在经济学中，三次函数可以用来描述收入和消费之间的关系；在工程学中，三次函数可以用来描述材料的强度和韧性之间的关系等等。
结论通过本文，我们学习了三次函数的导数问题。
我们发现，三次函数的导数是函数变化率的表示，它可以帮助我们更好地理解和使用这些函数。
同时，我们也了解到了三次函数和导数图像的形状及其应用。
高中数学新湘教版精品学案《三次函数的性质：单调区间和极值》
三次函数的性质：单调区间和极值
【学习目标】
1．了解三次函数的图象和简单性质，三次函数与二次函数的联系。
2．会用导数研究三次函数的单调性，并且求解出三次函数的单调区间，认识它们之间的内在联系，进一步培养运算能力。
3．会用导数研究三次函数的极值，并且学会求解，认识事物之间的相互联系，培养辨证思维能力
【学习重难点】
重点：理解并掌握三次函数的单调区间和极值。
难点：理解并掌握求解三次函数的单调区间和极值的步骤，会运用到解决实际问题当中。
【学习过程】
一、新课学习。
知识点一：三次函数的单调区间和极值。
三次函数的导数是二次函数，二次函数的零点是容易求出的。
所以，用导数方法可以彻底了解三次函数的增减变化和极大极小，这个增减区间，就是三次函数的单调区间，列出表格，对函数的极大极小值点就可以一目了然。
根据前面的知识做一做：
练习：
1．指出函数3234y x x =+-的单调递增区间。
2．指出函数32454y x x x =+-的单调递减区间。
3．若函数()323321y x ax a x =++++有极大值和极小值，求a 的取值范围。
4．函数326y x x a =-+的极值是什么？
二、课程总结。
1．这节课我们主要学习了哪些知识？
2．它们在解题中具体怎么应用？
三、习题检测。
1．求下列函数在指定闭区间上的最大值和最小值。
（1）()[]32241,2,1f x x x x =+-+-；（2）()()[]2e 43,3,2x f x x x =-+-。
2．求解函数322611y x x =-+的单调减区间及极值。
三次函数的图像和性质
导数是新课标下高考的必考内容之一，利用导数研究函数的 性质，主要是利用导数求函数的单调区间、极值和最值等，这 些年来也是高考的重点.考纲的主要要求有：(1)导数的概念及其 意义；(2)导数的运算；(3)导数在研究函数中的应用.其中第（3） 点有两个小点：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数 研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般 不超过三次).②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过 三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一 般不超过三次).括号中的内容：其中多项式函数一般不超过三次. 这提示着我们，如果考与多项式有关的导数问题，多项式函数 中一元三次函数是重点.从近几年各地的高考题来看这一点也是 值得肯定的，特别是文科的高考题.基于导数高考大纲多项式函 数中一元三次函数的重要地位，因此我们有必要着重于对一元 三次函数的图象进行深入的研究，其目的在于通过研究函数
y
f ( x)
y
f / ( x)
o
x
图1
o
图1中函数f ( x)在x R
x
y
严格递增,没有极值点;
y
f ( x)
f / ( x)
图2中函数f ( x)在x R 严格递增,有一拐点x0 ;
o x0 x
图2
o
y
x1
图3
x0
x
y
x1o x2
f ( x)
f / ( x) 图3中函数f ( x)有两个
f ( x) x 3x.
3
4.已知f ( x) ax3 bx 2 3x在x 1处取得极值. (1)求函数f ( x)的解析式. 求实数m的取值范围.
3次函数曲线-概念解析以及定义
3次函数曲线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在数学中，三次函数是一种常见的多项式函数，其最高次项的指数为3。
三次函数的一般形式可以表示为y = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c和d都是实数，并且a不等于0。
三次函数曲线通常呈现出一种典型的"弓形"形状，有时可能具有一个局部极值点或者一个拐点。
它们在图像上的走势和特点在多个领域中都有重要的应用，例如物理学、经济学和计算机图形学等。
理解和掌握三次函数曲线的特点对于解决实际问题和进行进一步的数学研究都是非常重要的。
本文将围绕三次函数曲线展开讨论，首先介绍三次函数的基本定义和性质，然后探讨三次函数曲线的图像特点以及如何进行函数图像的变换和分析。
接下来，我们将进一步研究三次函数曲线的局部极值点和拐点的性质，并举例说明在实际问题中的应用。
最后，我们将总结所讨论的内容，并展望一些可能的研究方向。
通过研究和理解三次函数曲线的性质和特点，我们可以更好地应用它们解决实际问题，并且有助于我们对数学的深入理解和进一步研究。
接下来，我们将详细介绍本文的组织结构和目的。
1.2 文章结构2. 正文在本文中，我们将着重研究3次函数曲线。
通过对这种特殊类型的函数曲线进行深入的分析和研究，我们可以更好地理解它们的数学性质和应用。
本文的正文部分将分为三个要点来探讨3次函数曲线所涉及的关键概念和性质。
2.1 第一要点在第一要点中，我们将首先介绍3次函数曲线的基本定义和表达形式。
我们将学习如何根据给定的系数，利用函数表达式来绘制3次函数曲线的图像。
此外，我们还将讨论3次函数曲线的对称性和奇偶性，并探索其在数学和科学领域中的实际应用。
2.2 第二要点在第二要点中，我们将进一步研究3次函数曲线的性质和特征。
我们将通过对曲线的导数和导数变化率的分析，探讨曲线的增减性和凸凹性。
此外，我们还将介绍曲线的转折点和拐点，并讨论这些特殊点对曲线整体形状的影响。
用导数研究三次函数
用导数研究三次函数一、知识点解析 1、定义：定义1、形如32(0)y ax bx cx d a =+++¹的函数，称为“三次函数”。
定义2、三次函数的导函数为二次函数、三次函数的导函数为二次函数::)0(23)(2/¹++=a c bx ax x f ，我们把)3412422ac b ac b -=-=D （,叫做三次函数导函数的判别式。
叫做三次函数导函数的判别式。
2、三次函数图象与性质的探究：1、单调性、单调性一般地，当032£-ac b 时，三次函数)0(23¹+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数；当032>-ac b 时，三次函数)0(23¹+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。
上有三个单调区间。
2、对称中心、对称中心三次函数)0()(23¹+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点))3(,3(a b f a b --，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
y ＝f(x)f(x)图象的对称中心在导函数图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。
同时也是二阶导为零的点。
3、三次方程根的问题、三次方程根的问题（1）当032£-=D ac b 时，由于不等式0)(³¢x f 恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。
程仅有一个实根。
（2）当△=032>-ac b 时，由于方程0)(=¢x f 有两个不同的实根21,x x ，不妨设21x x <，可知，))(,(11x f x 为函数的极大值点，))(,(22x f x 为极小值点，且函数)(x f y =在),(1x -¥和),(2+¥x 上单调递增，在[]21,x x 上单调递减。
数以形而直观,形以数而入微
数以形而直观，形以数而入微作者：郭金玲来源：《新教育时代·学生版》2018年第25期摘要：普通高中新课标清晰地阐述了导数的重要地位和广泛应用，并强调了它的基础性的和工具性。
导数在研究函数中的应用，它包括能利用导数研究函数的单调性，会用导数求函数的极值和在区间上的最值，会用导数研究三次函数的零点等问题。
如果能够充分运用数形结合思想，有利于提高课堂教学的效率和有效性。
关键词：导数数形结合效率极值自从导数进入新教材之后，就显示了它强大的生命力。
因为它不仅本身内容精彩，还可以与函数、不等式、三角函数、数列等许多方面的知识进行交汇融合。
通过对近几年全国各地高考数学试题的研究发现，很多试题在强调导数本质属性的同时，也十分注重导数的工具性。
解决问题的方法和手段也不再十分单一，向既注重定义又注重图象的方向迈进。
如何提高课堂教学的有效性？如何提高课堂教学的效率？就显得尤为重要。
导数的应用包括能利用导数研究函数的单调性，会用导数求函数的极值和在区间上的最值，利用导数解决生活中的优化问题等，而要解决这些问题，如果能够充分运用数形结合思想，就能够比较深刻的认识到问题的本质。
一、有关极值问题已知原函数，其导函数的正负是由二次函数决定的这一类问题是我们研究的重点，而解决这一类问题的关键就是要弄清楚导函数的图象对原函数图象的影响。
例：已知函数，其中求函数的单调区间与极值。
二、有关函数的零点对于三次方程的根，在特殊情况下，我们可以直接猜出它的一个有理根，然后转化为，再解。
按照这种方法可以求出三次方程的根。
那么对于一个三次方程，如果我们猜不出它的一个根，怎样来求解呢？这时，我们就可以利用导数这一有力的工具，解决这一类方程的根的问题。
由的图象性质不难看出：方程的实数根的个数即图象与轴交点的个数。
（图略）1.若三次函数无极值，即三次函数在定义域内是单调函数，则其图象与轴恰有一个交点。
由此得：当的判别式时，方程有且仅有一个实根（此处重根不重复计算）。
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用导数研究三次函数一、知识点解析1定义:定义1、形如y =ax3∙bx2∙ CX ∙d(a =0)的函数，称为“三次函数”。
定义2、三次函数的导函数为二次函数：f / (x) = 3ax2 2bx c(a = 0),我们把2 2=4b -12ac=4(b -3ac),叫做三次函数导函数的判别式。
2、三次函数图象与性质的探究：1、单调性2 3 2一般地，当b -3ac二0时，三次函数y = ax bx ∙cχ∙d(a=0)在R上是单调函数；当b -3ac 0时，三次函数y = ax bx CX d(a 0)在R上有三个单调区间。
2、对称中心3 2三次函数f (x) = ax bx CX d (^∙-z 0)是关于点对称，且对称中心为点b b(—I f (—))，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
3a 3ay= f(x)图象的对称中心在导函数y=∕'O)的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。
3、三次方程根的问题(1)当.∙, =b2 _3ac乞0时，由于不等式「(X)恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。
■ 0时，由于方程f(X)= 0有两个不同的实根x1, X2,不妨设(2)当厶=b2 _3acX i ：：：x2, 可知，(χ1,f(χj)为函数的极大值点,(X2, f(x2))为极小值点，且函数y = f(x)在(」：，X1)和(x2, ■--)上单调递增，在"x1,x2 I上单调递减。
此时：①若f (x1) f (x2) 0 ,即函数y = f (x)极大值点和极小值点在X轴同侧，图象均与X轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。
②若f (χ1) f (χ2) ：：：0 ,即函数y = f (x)极大值点与极小值点在X轴异侧，图象与X轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。
③若f(X1) f(X2^0 ,即f(X1)与f(X2)中有且只有一个值为0,所以，原方程有三个实根，其中两个相等。
4、极值点问题若函数f(X)在点X o的附近恒有f(X 0) ≥ f(X)(或f(X 0) ≤ f(x)),则称函数f(x) 在点X o 处取得极大值(或极小值)，称点X o为极大值点(或极小值点)。
当.「0时，三次函数y=f X在一:：，•：:上的极值点要么有两个。
当「：_0时，三次函数y =f X在-：L上不存在极值点。
5、最值问题。
函数JV ∈［^f丹h 若心w［删F 畀］,且,'-'I1,则：f maX X -∖ f m ,f X o ,f n：■；，「、----- 。
6、过三次函数上一点的切线问题3 2设点P为三次函数f (χ) =ax bX ∙ ex ∙ d(a = 0)图象上任一点，则过点 P —定有直线与y = f (X)的图象相切。
若点 P为三次函数图象的对称中心，则过点 P有且只有一条切线；若点P不是三次函数图象的对称中心，则过点 P有两条不同的切线。
7、过三次函数外一点的切线问题3 2设点P(X,yO)为三次函数f(x) =ax bx ex d(a=0)图象外，则过点P —定有直线与N = f (X)图象相切。
可能有一条、两条或三条。
(具体情况分析不作要求) 8、f (x) =ax3 bx2 ex d( a - 0)类似于二次函数的图像和性质表：的交点单调性在(—I Xj和(X2,畑)上为增函数•，在(X1, X2)上为减函数在R上为增函数极值有两个极值，一个极大值f(xj ,—个极小值f(X2)无极值、经典题型一、考查函数的奇偶性和单调性例1 已知函数f(x)=x3+px+q(x∈ R)是奇函数，且在 R上是增函数，则( )A、p=0,q=0B、P ∈ R,q=0 C P ≤ 0,q=0D、P ≥解析由奇函数以及增函数的定义易知选D二、考查函数图象的对称性例2函数f(x)=x3-3x2+x-1的图象关于()对称A、直线x=1B、直线y=x C 点(1,-2)D、原点解析由f(x)=ax3+bχ2+cx+d(a≠0)的图象关于 -3⅛,d -牆•黑成中心对称知选 C2 7a2 2例3、( 2013课标全国，16)若函数f(x)=(1-x)(X +ax+b)的图像关于直线 x=-2对称，则f (x)的最大值为_______________2 2 f (0) = f (—4)解析：函数f (x) =(1 -X )(x +ax + b)的图象关于直线 x=-2对称，则Jf(1)= f(—5)解得a=8, b=5,所以f(x) =(1-χ2)(χ2∙ 8χ 15)可以解得f (x)的最大值为16。
三、运用函数的性质和数形结合思想解题3 2 .. ..例4 已知函数f(x)=ax +bx +cx+d的图象如图所示，则(A、b ∈ (-∞ ,0)B、b ∈ (0,1)C b ∈ (1,2) D、b∈(2,+ ∞)解析显然 f(0)=d=0 ,由 f(x)=ax(x-1)(x-2)知 a>0,又 f(x)= ax -3ax+2ax比较系数可知 b=-3a<0，故选 A 引申试确定的a,b,c,d符号(答：a>0,b<0,c>0,d=0)例5 (2013课标全国π卷，10)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c下列结论中错误的是()(A) T X α∈ R,f(Xα ) = 0(B) 函数y=f(x)的图像是中心对称图形(C) 若X a是f(x)的极小值点，贝U f(x)在区间(-∞,Xα)单调递减(D) 若X0是f (X)的极值点，贝U f ' X0 =0解析：由三次函数值域为R知f(x)=0有解，A正确；由性质可知B正确;由性质可知若f(x)有极小值点，则 f (X) = 0由两个不相等的实数根X1,X2(X1 ：：：X2), f (x) =3X2∙ 2ax ∙ b =3(X -X I)(X-X2),则 f(x)在(-∞,xQ上为增函数，在(x h x2)上为减函数，在(X2, , :：)上为增函数，故C错。
D正确。
选C O四、考查单调区间、极值、最值的问题3 2例6 (2010年全国卷∏文)已知函数 f (X) =X -3ax +3x+1°(I)设a=2,求f (X)的单调区间；(∏)设f (X)在区间(2,3 )中至少有一个极值点，求a的取值范围。
解析：(2)求出函数的导数f(X),在(2, 3)内有极值，即为 f (X)在(2, 3)内有一个零点，即可根据f⑵f(3)“° ,即可求出a的取值范围。
五、考查交点个数问题3例 7 (2009 陕西文2°)已知函数f (x) = X - 3ax- 1, a °(1)求f (X)的单调区间；(II )若f (X)在X= _1处取得极值，直线 y=m与y = f (X)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.解：(1) f'(x) = 3x2 - 3a =3(x2 - a),当a < 0时，对X ∙ R ,有f '(x) 0,所以f (x)的单调增区间为(-：：，•：：)当a 0时，由f (x) > 0解得X < -Va或XA Ja ,由f( X) < 0解得一為* G,所以f (x)的单调增区间为、a),(. a ,：：),单调减区间为(-.a, .a)∙(2)因为f (X)在x = -1 处取得极大值，所以f'(-i) =3 (-1)2-3a=0,∙ a=1.所以f(x) = x -3x-1,f(x)=3x -3由彳(x) = 0解得x1- - 1,x2 = 1 ∙由(1)中f (X)的单调性可知，f (X)在X = -1处取得极大值1 ,在X = 1处取得极小值-3.因为直线与函数月=f(X)的图象有三个不同的交点，所以m的取值范围是(-3,1).点评：(1)本题是三次函数零点存在性问题的典型变式题，涉及图象交点向函数零点的转化关系；(2)本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值(最值)控制法；(3)在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值(最值)的认识和对利用导数研究函数性质.六、考查曲线的切线问题3例8( 2007全国II理22)已知函数f(x) =X -X .( 1)求曲线y = f(x)在点M (t, f (t))处的切线方程；(2)设a 0 ,若过点(a, b)可作曲线y = f(x)的三条切线，证明：£ ：：b ：：f(a)解：(1) f (x)的导数f(x)=3χ2-1 •曲线y = f(x)在点M(t, f(t))处的切线方程为:2 3y 一f (t) = f (t)(x —t),即y =(3t —1)x —2t •2 3(2)如果有一条切线过点(a, b),则存在t ,使b=(3t -1)a-2t .若过点(a, b)可作曲线y = f (X)的三条切线，2则方程2t -3at a ^0有三个相异的实数根.记g(t) =2t3 -3at2 a b ,则g (t) = 6t2 -6at = 6t(t -a).当t变化时，g(t), g (t)变化情况：由g(t)的单调性，当极大值a b ：0或极小值b-f(a) ∙0时，方程g(t)=O最多有一个实数根；当a ^O时，解方程g(t) =0得t =0, t =3a,即方程g(t) =0只有两个相异的实2a数根；当b-f(a)=O时，解方程g(t)=0得t , t=a ,即方程g(t) = 0只有两个相异2的实数根.综上所述，如果过(a, b)可作曲线y= f(x)三条切线，即g(t)=0有三个相异的实数Ia + b > 0,根，贝U 即—a ：：： b ：：： f (a).lb — f (a) cθ.点评：(1)本题是前一个问题的延伸，其以导数几何意义为载体；(2)本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值(最值)控制法；(3)在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值(最值)的认识和对利用导数研究函数性质七、含参数的恒成立问题例9 (2008年安徽文)设函数f (X)=旦X 3 _3X2 3(a ■ 1)x -1,其中a 为实数。
3 2(I)已知函数 f (X)在x =1处取得极值，求 a 的值；(∏)已知不等式f (x) . χ2「X -a 1对任意a (0, •：：)都成立，求实数X 的取值范围。
解析：(I) f (X)= ax -3X (a 1),由于函数f (X )在x = 1时取得极值，所以f(1) = 0 即 a -3 a 1 = 0,.∙∙ a = 1对于问题(∏)有两种方法： 方法一转化为关于a 的函数g(a)2 2由题设知：ax -3x (a 1) X - x - a T 对任意a (0√ :：)都成立2 2即a(x • 2) -X -2x 0对任意a (0,匸：)都成立设g(a) =a(x 2+2) —X 2—2x(a^ R),则对任意XER , g(a)为单调递增函数 所以对任意a ∙ (0, •：：) , g(a) 0恒成立的充分必要条件是 g(0) _0即-x 2-2x _0 , .∙. -2 _x _0 于是X 的取值范围是IX I -2空X 空0? 方法二 恒成立问题，转化为不等式的最值问题2 2由题设知：ax -3x (a 1) X -x-aV 对任意a (0√::)都成立.一2^x^0于是X 的取值范围是IX I -2空X 空0?2 2即a(x ，2)-X -2x 0对任意a (0,匸：)都成立3 (2011广东，12)函数f(x) = x 3- 3χ2+ 1在X = _______ 取得极小值.解析 T f'x (= 3x 2- 6x = 0 得 X = 0 或 X = 2..当 X ∈ (— ∞ , 0) ∪ (2,+ ∞)时 f'x (>O , f(x)为增函数.当 x ∈ (0, 2)时，f ' (x)<0, f(x)为减函数.于是ax 2 2x x 22对任意a • (0, •：：)都成立，即X 2 2x X 22<0三、高考试题检测• ∙∙ f(x)在X= 2处取得极小值.答案22、(2014辽宁，11)当x∈ [ — 2, 1]时，不等式aχ3— X2 + 4x+ 3≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A •[-5,—3] B』-6,—9'C [ — 6,— 2]D . [ — 4,— 3]a≥— 3t3— 4t2 +1,令 g(t) = — 3t3— 4t2+1, t ∈[1 , +∞),则 g't)( —9t2— 8t + 1=—(t + 1)(9t — 1),显然在［1 , +∞)上,g' (t)<0 , g(t)单调递减,所以g(t)max =g(1) = — 6,因此a≥— 6;同理，当X∈［— 2 , 0)时，得a≤— 2•由以上两种情况得—6≤ a≤— 2,显然当X= 0时也成立•故实数a的取值范围为［—6 ,—2] •答案 C3、(2015陕西西安模拟)曲线f(x) = x3+ x— 2在p0处的切线平行于直线y=4x—1 , 则P0点的坐标为()A . (1 , 0)B • (2 , 8)C. (1 , 0)和(—1, — 4) D . (2 , 8)和(一1, — 4)解析设p0(x0 , y0),则3x o+ 1 = 4,所以X0=± ,所以p0点的坐标为(1 , 0) 和(—1, — 4) •故选 C.答案 C4、(2015 绵阳诊断)已知函数 f(x) = X3+ (1 — a)x2— a(a + 2)x+ b(a , b∈R).(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为一 3,求a , b的值；⑵若曲线y= f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.解 f' X)= 3x2+ 2(1 — a)x— a(a+ 2).(1)由题意得J f (0)= b= 0 ,F( 0)= — a (a + 2)= — 3 ,解析当x∈(0,1]时，得a≥——4^ + X 令t=W,贝U t∈[1 , +∞),解得 b = 0 , a= — 3 或 1.⑵•••曲线y= f(x)存在两条垂直于y轴的切线,•••关于X 的方程f'x) = 3x 2+ 2(1 -a)x — a(a + 2)= 0有两个不相等的实数根,∙°∙ △= 4(1— a)?+ 12a(a+ 2)>0，即 4a 2+ 4a+ 1>0,• ∙ a≠- 2• a 的取值范围是一∞,- 1 U — 2+∞ .5. (2015 江苏，19)已知函数 f(x) = X 3+ ax 2+ b(a, b ∈ R ).⑴试讨论f(x)的单调性;⑵若b= C-a(实数C 是与a 无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(一∞,- 3)U 1, 2 U 3,+∞ ,求C 的值. 解(1)f'x) = 3x 2 + 2ax,令 f'x) = 0,解得 X 1 = 0, X 2= —鲁.当 a= 0 时，因为 FX) = 3X 2>0(x≠0),所以函数f(x)在(-∞,+∞ )上单调递增；当 a>0 时，x ∈ -∞,- 2a U (0,+∞)时，f' (x) >0, x ∈ -号，0 时，f' (x)V 0,所以函数f(x)在-∞,- 2a , (0, +∞)上单调递增，在—号，0上 单调递减；当 a v 0 时，x ∈ (-∞, 0)U -2a,+∞ 时，F (x) >0, x ∈ 0,-号时， F (x)V 0,所以函数f(x)在(-∞, 0), -23a,+∞上单调递增，在0,-上 单调递减. ⑵由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0) = b, f -2a = 27a 3+ b,则函数f(x)有三个零点等价于 f(0) • - 2a = b 27a 3+ b V 0,又 b= C — a,所以当 a> 0 时，27*' — a+ C >0 或当 a v 0 时，27*' — a + c v 0.设g(a) = ^7a 3-a+ C,因为函数f(x)有三个零点时，a 的取值范围恰好是(一∞, a > 0,a v 0,b v 0或 0v b v- 27a 3. 从而-—3)∪ 1, 2 U 2,+∞ ,则在(—∞, — 3)上 g(a) V 0,且在 i 1, 3 U 3,+∞ 上 g(a)>0 均恒成立.从而 g(— 3) = c — 1 ≤0,且 g 2 = c — 1 ≥0,因此 C= 1.此时，f(x) = x 3 + ax 2 + 1 — a= (x+ 1)[x 2+ (a — 1)x+ 1 — a],因函数有三个零点，贝U x 2 + (a — 1)x+ 1 — a= 0有两个异于一1的不等实根，所以 Δ= (a — 1) — 4(1— a) = a + 2a — 3 > 0,且(—1)2— (a — 1)+ 1— a≠ 0,解得 a ∈ (— ∞, — 3)U 1, 2 U ∣,+∞ .综上 C= 1.3 16、(2015 新课标全国 I , 21)已知函数 f(x) = x 3+ ax+ 4, g(x)=— ln x. (1) 当 a 为何值时，X 轴为曲线y= f(x)的切线；(2) 用 min{m, n}表示 m, n 中的最小值，设函数 h(x) = min{f(x), g(x)}(x>0), 讨论h(x)零点的个数.解 (1)设曲线 y= f(x)与 X 轴相切于点(X 0, 0),贝U f(x 0) = 0, f' (X 0) = 0.即 X 3+ ax 0+ 4= 0,3x 0 + a= 0, (2)当 x ∈ (1,+∞)时，g(x) = — In x<0,从而 h(x) = min{f(x), g(x)} ≤ g(x)<0,故h(x)在(1,+∞)无零点. 5 5当 X= 1 时，若 a ≥ — 4,贝U f(1)= a+ 4≥0, h(1) = min{f(1), g(1)} = g(1)= 0,5故 X= 1 是 h(x)的零点；若 a< — ”，贝U f(1)<0, h(1) = min{f(1), g(1)} = f(1)<0,故X= 1不是h(x)的零点.当x ∈ (0, 1)时，g(x)= — In x>0.所以只需考虑f(x)在(0, 1)的零点个数. X 轴为曲线y =f(χ)的切线•止匕(i )若 a≤— 3或 a≥0,则f'x)= 3χ2+ a在(0, 1)无零点，故 f(x)在(0, 1)单调.而1 5f(0)= 4, f(I)= a+ 4,所以当 a≤- 3 时，f(x)在(0, 1)有一个零点；当 a≥0 时，f(x)在(0, 1)没有零点.(ii)若—3<a<0 ,则f(x)在0, I - a单调递减，在i / - 3，1单调递增，故在(0,1)中，当x=、y—i时，f(x)取得最小值，最小值为3卜2^J-3+4.①若f r■- - 3 >0,即一4<a<0,f(x)在(0, 1)无零点；②若 f i：..：-3 = 0,即 a= — 4,则f(x)在(0, 1)有唯一零点；(/、 3 1 5 5 3③若 f iJ—3 <0,即—3<a<-4,由于 f(0) = 4，f(1) = a+4，所以当—4<a<-45时，f(x)在(0, 1)有两个零点；当一3<a≤-4时，f(x)在(0, 1)有一个零点.3 5 3 5综上，当3>-4或3<- 4时，h(x)有一个零点；当3=- 4或3=- N时，h(x)有5 3两个零点；当一5<3<-4时，h(x)有三个零点.。